Kas ir regulāra četrstūra piramīda. Pareizās piramīdas galvenās īpašības

Studenti saskaras ar piramīdas jēdzienu ilgi pirms ģeometrijas studijām. Vainojiet slavenos lielos ēģiptiešu pasaules brīnumus. Tāpēc, uzsākot šī brīnišķīgā daudzskaldņa izpēti, lielākā daļa studentu jau to skaidri iztēlojas. Visi iepriekš minētie tēmēkļi ir pareizā formā. Kas labā piramīda, un kādas tam piemīt īpašības, un tas tiks apspriests tālāk.

Saskarsmē ar

Definīcija

Ir daudz piramīdas definīciju. Kopš seniem laikiem tas ir bijis ļoti populārs.

Piemēram, Eiklīds to definēja kā cietu figūru, kas sastāv no plaknēm, kuras, sākot no vienas, saplūst noteiktā punktā.

Herons sniedza precīzāku formulējumu. Viņš uzstāja, ka tā ir figūra ir bāze un lidmašīnas trijstūri, saplūst vienā punktā.

Paļaujoties uz mūsdienu interpretācija, piramīda ir attēlota kā telpisks daudzskaldnis, kas sastāv no noteiktas k-gona un k plakanas figūras trīsstūra forma kam ir viens kopīgs punkts.

Apskatīsim tuvāk, No kādiem elementiem tas sastāv?

• k-gon tiek uzskatīts par figūras pamatu;
• 3 leņķa figūriņas izvirzītas kā sānu daļas malas;
• augšējo daļu, no kuras rodas sānu elementi, sauc par augšējo;
• visus segmentus, kas savieno virsotni, sauc par malām;
• ja taisne ir nolaista no augšas uz figūras plakni 90 grādu leņķī, tad tās iekšējā telpā ietvertā daļa ir piramīdas augstums;
• jebkurā sānu elementā uz mūsu daudzskaldņa pusi varat uzzīmēt perpendikulu, ko sauc par apotēmu.

Malu skaitu aprēķina, izmantojot formulu 2*k, kur k ir k-stūra malu skaits. Cik skalu ir daudzskaldnim, piemēram, piramīdai, var noteikt ar izteiksmi k + 1.

Svarīgs! Regulāras formas piramīda ir stereometriska figūra, kuras pamatplakne ir k-gon ar vienādām malām.

Pamatīpašības

Pareiza piramīda ir daudz īpašību kas ir unikāli viņai. Uzskaitīsim tos:

1. Pamatne ir pareizas formas figūra.
2. Piramīdas malām, kas ierobežo sānu elementus, ir vienādas skaitliskās vērtības.
3. Sānu elementi ir vienādsānu trīsstūri.
4. Figūras augstuma pamatne iekrīt daudzstūra centrā, bet tajā pašā laikā centrālais punkts ievadīts un aprakstīts.
5. Visas sānu ribas ir noliektas pret pamatplakni tādā pašā leņķī.
6. Visām sānu virsmām ir vienāds slīpuma leņķis attiecībā pret pamatni.

Pateicoties visām uzskaitītajām īpašībām, elementu aprēķinu veikšana ir ievērojami vienkāršota. Pamatojoties uz iepriekš minētajām īpašībām, mēs pievēršam uzmanību divas zīmes:

1. Gadījumā, ja daudzstūris iekļaujas aplī, sānu virsmām būs pamatne vienādi leņķi.
2. Aprakstot apli ap daudzstūri, visām piramīdas malām, kas izplūst no virsotnes, būs vienāds garums un vienādi leņķi ar pamatni.

Laukums ir balstīts

Regulāra četrstūra piramīda - daudzskaldnis, kura pamatā ir kvadrāts.

Tam ir četras sānu virsmas, kas pēc izskata ir vienādsānu.

Plaknē ir attēlots kvadrāts, bet to pamatā ir visas regulāra četrstūra īpašības.

Piemēram, ja ir nepieciešams savienot kvadrāta malu ar tā diagonāli, tad tiek izmantota šāda formula: diagonāle ir vienāda ar kvadrāta malas un divu kvadrātsaknes reizinājumu.

Pamatojoties uz regulāru trīsstūri

Pareizi trīsstūrveida piramīda ir daudzskaldnis, kura pamatne ir regulārs 3 stūru.

Ja pamatne ir regulārs trīsstūris un sānu malas ir vienādas ar pamatnes malām, tad šāds skaitlis sauc par tetraedru.

Visas tetraedra skaldnes ir vienādmalu 3 stūri. Šajā gadījumā jums jāzina daži punkti un netērējiet tiem laiku, veicot aprēķinus:

• ribu slīpuma leņķis pret jebkuru pamatni ir 60 grādi;
• visu iekšējo virsmu vērtība arī ir 60 grādi;
• jebkura seja var darboties kā pamats;
• attēlā ir vienādi elementi.

Daudzskaldņa griezumi

Jebkurā daudzskaldņā tādi ir vairāku veidu sadaļas lidmašīna. Bieži vien iekšā skolas kurssģeometrijas darbojas ar diviem:

• aksiāls;
• paralēlā bāze.

Aksiālo griezumu iegūst, krustojot daudzskaldni ar plakni, kas iet caur virsotni, sānu malām un asi. Šajā gadījumā ass ir augstums, kas novilkts no virsotnes. Griešanas plakni ierobežo krustošanās līnijas ar visām skaldnēm, kā rezultātā veidojas trīsstūris.

Uzmanību! Parastas piramīdas aksiālais posms ir vienādsānu trīsstūris.

Ja griešanas plakne iet paralēli pamatnei, tad rezultāts ir otrā iespēja. Šajā gadījumā mēs esam kontekstā ar skaitli, kas ir līdzīgs bāzei.

Piemēram, ja pamatne ir kvadrāts, tad arī pamatnei paralēlā sadaļa būs kvadrāts, tikai mazāka izmēra.

Risinot problēmas ar šo nosacījumu, tiek izmantotas figūru līdzības zīmes un īpašības, pamatojoties uz Thales teorēmu. Pirmkārt, ir jānosaka līdzības koeficients.

Ja plakne ir novilkta paralēli pamatnei, un tā nogriež daudzskaldņa augšējo daļu, tad apakšējā daļā tiek iegūta regulāra nošķelta piramīda. Tad nošķelta daudzskaldņa pamati tiek uzskatīti par līdzīgiem daudzstūriem. Šajā gadījumā sānu virsmas ir vienādsānu trapeces. Aksiālā daļa ir arī vienādsānu.

Lai noteiktu nošķelta daudzskaldņa augstumu, augstums jānozīmē aksiālā griezumā, tas ir, trapecveida formā.

Virsmas laukumi

Galvenās ģeometriskās problēmas, kas jāatrisina skolas ģeometrijas kursā, ir piramīdas virsmas laukuma un tilpuma atrašana.

Ir divu veidu virsmas laukums:

• sānu elementu laukums;
• visu virsmas laukumu.

No paša virsraksta ir skaidrs, par ko ir runa. Sānu virsma ietver tikai sānu elementus. No tā izriet, ka, lai to atrastu, jums vienkārši jāsaskaita sānu plakņu laukumi, tas ir, vienādsānu 3 stūru laukumi. Mēģināsim iegūt formulu sānu elementu laukumam:

1. Vienādsānu 3 stūra laukums ir Str=1/2(aL), kur a ir pamatnes mala, L ir apotēma.
2. Sānu plakņu skaits ir atkarīgs no k-gon veida pie pamatnes. Piemēram, regulārai četrstūra piramīdai ir četras sānu plaknes. Tāpēc ir jāsaskaita četru skaitļu laukumi Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izteiksme ir vienkāršota šādā veidā, jo vērtība 4a=POS, kur POS ir bāzes perimetrs. Un izteiksme 1/2 * Rosn ir tā pusperimetrs.
3. Tātad, mēs secinām, ka regulāras piramīdas sānu elementu laukums ir vienāds ar pamatnes pusperimetra un apotēmas reizinājumu: Sside \u003d Rosn * L.

Kvadrāts pilna virsma piramīda sastāv no sānu plakņu un pamatnes laukumu summas: Sp.p = Sside + Sbase.

Kas attiecas uz pamatnes laukumu, šeit tiek izmantota formula atbilstoši daudzstūra veidam.

Regulāras piramīdas tilpums ir vienāds ar pamatplaknes laukuma un augstuma reizinājumu, kas dalīts ar trīs: V=1/3*Sbāze*H, kur H ir daudzskaldņa augstums.

Kas ir regulāra piramīda ģeometrijā

Regulāras četrstūra piramīdas īpašības

Trīsdimensiju figūra, kas bieži parādās ģeometriskās problēmās, ir piramīda. Vienkāršākā no visām šīs klases figūrām ir trīsstūrveida. Šajā rakstā mēs detalizēti analizēsim pareizās pamatformulas un īpašības

Figūras ģeometriskie attēlojumi

Pirms turpināt apsvērt regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašības, apskatīsim tuvāk, kura figūra jautājumā.

Pieņemsim, ka trīsdimensiju telpā ir patvaļīgs trīsstūris. Mēs izvēlamies jebkuru punktu šajā telpā, kas neatrodas trijstūra plaknē, un savienojam to ar trim trijstūra virsotnēm. Mēs saņēmām trīsstūrveida piramīdu.

Tas sastāv no 4 malām, no kurām visas ir trīsstūri. Punktus, kur saskaras trīs sejas, sauc par virsotnēm. Arī attēlā ir četri no tiem. Divu skaldņu krustošanās līnijas ir malas. Apskatāmajā piramīdā ir 6 ribas Zemāk esošajā attēlā ir parādīts šī attēla piemērs.

Tā kā figūru veido četras malas, to sauc arī par tetraedru.

Pareiza piramīda

Iepriekš tika apsvērta patvaļīga figūra ar trīsstūrveida pamatni. Tagad pieņemsim, ka mēs novelkam perpendikulāru līniju no piramīdas augšdaļas līdz tās pamatnei. Šo segmentu sauc par augstumu. Ir skaidrs, ka ir iespējams iztērēt 4 dažādi augstumi par figūru. Ja augstums krusto trīsstūra pamatni ģeometriskajā centrā, tad šādu piramīdu sauc par taisnu piramīdu.

Taisnu piramīdu, kuras pamats ir vienādmalu trīsstūris, sauc par regulāru piramīdu. Viņai visi trīs trīsstūri, kas veido figūras sānu virsmu, ir vienādsānu un vienādi viens ar otru. Īpašs regulāras piramīdas gadījums ir situācija, kad visas četras malas ir vienādmalu identiski trīsstūri.

Apsveriet regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašības un sniedziet atbilstošās formulas tās parametru aprēķināšanai.

Pamatnes mala, augstums, sānu mala un apotēma

Jebkuri divi no uzskaitītajiem parametriem unikāli nosaka pārējās divas īpašības. Mēs dodam formulas, kas savieno nosauktos lielumus.

Pieņemsim, ka regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes mala ir a. Tā sānu malas garums ir vienāds ar b. Kāds būs regulāras trīsstūrveida piramīdas un tās apotēmas augstums?

Augstumam h mēs iegūstam izteiksmi:

Šī formula izriet no Pitagora teorēmas, kurai ir sānu mala, augstums un 2/3 no pamatnes augstuma.

Piramīdas apotēma ir jebkura sānu trīsstūra augstums. Apotēmas a b garums ir:

a b \u003d √ (b 2 - a 2/4)

No šīm formulām var redzēt, ka neatkarīgi no trīsstūrveida regulāras piramīdas pamatnes malas un tās sānu malas garuma, apotēma vienmēr būs vairāk augstuma piramīdas.

Abas piedāvātās formulas satur visas četras lineārie raksturlielumi attiecīgais skaitlis. Tāpēc no zināmajiem diviem var atrast pārējos, atrisinot sistēmu no rakstītajām vienādībām.

figūras apjoms

Pilnīgi jebkurai piramīdai (arī slīpai) tās ierobežotās telpas tilpuma vērtību var noteikt, zinot figūras augstumu un tās pamatnes laukumu. Atbilstošā formula izskatās šādi:

Piemērojot šo izteiksmi attiecīgajam skaitlim, mēs iegūstam šādu formulu:

Kur regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums ir h un tās pamatnes mala ir a.

Nav grūti iegūt tetraedra tilpuma formulu, kurā visas malas ir vienādas viena ar otru un attēlo vienādmalu trīsstūrus. Šajā gadījumā figūras apjomu nosaka pēc formulas:

Tas ir, to unikāli nosaka malas a garums.

Virsmas laukums

Mēs turpinām apsvērt trīsstūrveida regulāras piramīdas īpašības. kopējais laukums no visām figūras sejām sauc par tās virsmas laukumu. Pēdējo ir ērti izpētīt, ņemot vērā atbilstošo attīstību. Zemāk redzamajā attēlā parādīts, kā izskatās parasta trīsstūrveida piramīda.

Pieņemsim, ka mēs zinām figūras augstumu h un pamatnes a malu. Tad tā pamatnes laukums būs vienāds ar:

Katrs skolēns var iegūt šo izteiksmi, ja viņš atceras, kā atrast trijstūra laukumu, kā arī ņem vērā, ka vienādmalu trijstūra augstums ir arī bisektrise un mediāna.

Sānu virsmas laukums, ko veido trīs vienādi vienādsānu trīsstūri, ir:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Šī vienlīdzība izriet no piramīdas apotēmas izteiksmes pamatnes augstuma un garuma izteiksmē.

Kopējais attēla virsmas laukums ir:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ņemiet vērā, ka tetraedram, kura visas četras malas ir vienādi vienādmalu trīsstūri, laukums S būs vienāds ar:

Regulāras nošķeltas trīsstūrveida piramīdas īpašības

Ja aplūkojamās trīsstūrveida piramīdas virsotni nogriež pamatnei paralēla plakne, tad pārējā Apakšējā daļa tiks saukta par nošķelto piramīdu.

Trīsstūrveida pamatnes gadījumā aprakstītās griezuma metodes rezultātā tiek iegūts jauns trīsstūris, kas arī ir vienādmalu, bet ir mazāks malas garums nekā pamatnes malai. Zemāk ir parādīta nošķelta trīsstūrveida piramīda.

Mēs redzam, ka šo skaitli jau ierobežo divas trīsstūrveida pamatnes un trīs vienādsānu trapeces.

Pieņemsim, ka iegūtās figūras augstums ir h, apakšējās un augšējās pamatnes malu garums ir attiecīgi a 1 un a 2, un apotēms (trapeces augstums) ir vienāds ar a b. Tad nošķeltas piramīdas virsmas laukumu var aprēķināt pēc formulas:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4* (a 1 2 + a 2 2)

Šeit pirmais termins ir sānu virsmas laukums, otrais termins ir trīsstūrveida pamatņu laukums.

Figūras tilpumu aprēķina šādi:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 * a 2)

Lai nepārprotami noteiktu nošķeltas piramīdas raksturlielumus, ir jāzina trīs tās parametri, ko parāda iepriekš minētās formulas.

Trīsstūrveida piramīda ir piramīda, kuras pamatā ir trīsstūris. Šīs piramīdas augstums ir perpendikuls, kas ir nolaists no piramīdas augšas līdz pamatiem.

Piramīdas augstuma atrašana

Kā uzzināt piramīdas augstumu? Ļoti vienkārši! Lai atrastu jebkuras trīsstūrveida piramīdas augstumu, var izmantot tilpuma formulu: V = (1/3)Sh, kur S ir pamatlaukums, V ir piramīdas tilpums, h ir tās augstums. No šīs formulas iegūstiet augstuma formulu: lai atrastu trīsstūrveida piramīdas augstumu, piramīdas tilpums jāreizina ar 3 un pēc tam iegūtā vērtība jādala ar pamatlaukumu, tā būs: h \u003d (3V ) / S. Tā kā trīsstūrveida piramīdas pamatne ir trīsstūris, varat izmantot formulu trijstūra laukuma aprēķināšanai. Ja zinām: trijstūra S laukums un tā malas z, tad pēc laukuma formulas S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kur h piramīdas augstums, γ ir trīsstūra mala; leņķi starp trijstūra malām un pašām abām malām, pēc tam, izmantojot šādu formulu: S = (1/2)γφsinQ, kur γ, φ ir trijstūra malas, mēs atrodam trīsstūra laukumu. Leņķa Q sinusa vērtība jāskatās sinusu tabulā, kas ir internetā. Tālāk mēs aizvietojam laukuma vērtību augstuma formulā: h = (2S)/γ. Ja uzdevums prasa aprēķināt trīsstūrveida piramīdas augstumu, tad piramīdas tilpums jau ir zināms.

Regulāra trīsstūrveida piramīda

Atrodiet regulāras trīsstūrveida piramīdas, t.i., piramīdas, kuras visas skaldnes ir vienādmalu trīsstūri, augstumu, zinot malas γ lielumu. Šajā gadījumā piramīdas malas ir vienādmalu trīsstūru malas. Regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums būs: h = γ√(2/3), kur γ ir vienādmalu trijstūra mala, h ir piramīdas augstums. Ja pamatnes laukums (S) nav zināms un ir norādīts tikai daudzskaldņa malas garums (γ) un tilpums (V), tad nepieciešamais mainīgais iepriekšējā soļa formulā ir jāaizstāj. ar tā ekvivalentu, ko izsaka ar malas garumu. Trijstūra laukums (regulārs) ir vienāds ar 1/4 no šī trijstūra malas garuma reizinājuma, kas reizināts ar kvadrātsakni no 3. Mēs aizstājam šo formulu iepriekšējās formulas pamatlaukuma vietā. , un mēs iegūstam šādu formulu: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12 V/(γ 2 √3). Tetraedra tilpumu var izteikt ar tā malas garumu, tad no figūras augstuma aprēķināšanas formulas var izņemt visus mainīgos un atstāt tikai figūras trīsstūrveida skaldnes malu. Šādas piramīdas tilpumu var aprēķināt, dalot ar 12 no reizinājuma tās sejas garumu kubā ar kvadrātsakni no 2.

Šo izteiksmi aizstājam ar iepriekšējo formulu, aprēķinam iegūstam šādu formulu: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Tāpat sfērā var ierakstīt regulāru trīsstūrveida prizmu, un, zinot tikai sfēras rādiusu (R), var atrast pašu tetraedra augstumu. Tetraedra malas garums ir: γ = 4R/√6. Mainīgo γ aizstājam ar šo izteiksmi iepriekšējā formulā un iegūstam formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. To pašu formulu var iegūt, zinot tetraedrā ierakstīta riņķa rādiusu (R). Šajā gadījumā trīsstūra malas garums būs vienāds ar 12 attiecībām starp kvadrātsakne 6 un rādiuss. Mēs aizstājam šo izteiksmi ar iepriekšējo formulu un iegūstam: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kā atrast regulāras četrstūra piramīdas augstumu

Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrast piramīdas augstuma garumu, jums jāzina, kas ir parastā piramīda. Četrstūra piramīda ir piramīda, kuras pamatā ir četrstūris. Ja problēmas apstākļos mums ir: piramīdas tilpums (V) un pamatnes laukums (S), tad daudzskaldņa (h) augstuma aprēķināšanas formula būs šāda. - sadaliet tilpumu, kas reizināts ar 3, ar laukumu S: h \u003d (3V) / S. Ar piramīdas kvadrātveida pamatni ar zināmu: doto tilpumu (V) un malas garumu γ, aizvietojiet laukumu (S) iepriekšējā formulā ar malas garuma kvadrātu: S = γ 2 ; H = 3 V/γ 2 . Parastās piramīdas augstums h = SO iet tieši caur apļa centru, kas ir norobežots netālu no pamatnes. Tā kā šīs piramīdas pamats ir kvadrāts, punkts O ir diagonāļu AD un BC krustošanās punkts. Mums ir: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Tālāk taisnleņķa trijstūrī SOC (saskaņā ar Pitagora teorēmu) atrodam: SO = √(SC 2 -OC 2). Tagad jūs zināt, kā atrast parastās piramīdas augstumu.

Šī video apmācība palīdzēs lietotājiem gūt priekšstatu par piramīdas tēmu. Pareiza piramīda. Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu, sniegsim tam definīciju. Apsveriet, kas ir parastā piramīda un kādas īpašības tai piemīt. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu, sniegsim tam definīciju.

Apsveriet daudzstūri A 1 A 2...A n, kas atrodas plaknē α, un punkts P, kas neatrodas plaknē α (1. att.). Savienosim punktu P ar virsotnēm A 1, A 2, A 3, … A n. gūt n trīsstūri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R utt.

Definīcija. Daudzskaldnis RA 1 A 2 ... A n, sastāv no n-gon A 1 A 2...A n un n trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , zvanīja n- ogļu piramīda. Rīsi. viens.

Rīsi. viens

Apsveriet četrstūrveida piramīdu PABCD(2. att.).

R- piramīdas virsotne.

ABCD- piramīdas pamats.

RA- sānu riba.

AB- pamatnes mala.

No punkta R nometiet perpendikulu RN uz zemes plaknes ABCD. Novilktais perpendikuls ir piramīdas augstums.

Rīsi. 2

Piramīdas kopējo virsmu veido sānu virsma, tas ir, visu sānu virsmu laukums un pamatnes laukums:

S pilna \u003d S puse + S galvenais

Piramīdu sauc par pareizu, ja:

• tā pamatne ir regulārs daudzstūris;
• segments, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes centru, ir tās augstums.

Paskaidrojums par regulāras četrstūra piramīdas piemēru

Apsveriet parastu četrstūra piramīdu PABCD(3. att.).

R- piramīdas virsotne. piramīdas pamats ABCD- regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Punkts O, diagonāļu krustpunkts, ir kvadrāta centrs. nozīmē, RO ir piramīdas augstums.

Rīsi. 3

Paskaidrojums: labajā pusē n-gon, ierakstītā apļa centrs un ierobežotā apļa centrs sakrīt. Šo centru sauc par daudzstūra centru. Dažreiz viņi saka, ka augšdaļa tiek projicēta centrā.

Tiek saukts regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas apotēma un apzīmēts h a.

1. regulāras piramīdas visas sānu malas ir vienādas;

2. sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri.

Pierādīsim šīs īpašības, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru.

Ņemot vērā: RABCD- regulāra četrstūra piramīda,

ABCD- kvadrāts,

RO ir piramīdas augstums.

Pierādīt:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Skat. att. 4.

Rīsi. 4

Pierādījums.

RO ir piramīdas augstums. Tas ir, taisni RO perpendikulāri plaknei ABC un līdz ar to tieši AO, VO, SO un DO guļot tajā. Tātad trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD- taisnstūrveida.

Apsveriet kvadrātu ABCD. No kvadrāta īpašībām izriet, ka AO = BO = CO = DO.

Tad taisnie trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD kāju RO- vispārīgi un kājas AO, VO, SO un DO vienādi, tāpēc šie trīsstūri ir vienādi divās kājās. No trīsstūru vienādības izriet segmentu vienādība, RA = PB = PC = PD. 1. punkts ir pierādīts.

Segmenti AB un Saule ir vienādas, jo tās ir viena kvadrāta malas, RA = RV = dators. Tātad trīsstūri AVR un VCR - vienādsānu un vienādas no trim malām.

Līdzīgi mēs iegūstam, ka trīsstūri ABP, BCP, CDP, DAP ir vienādsānu un vienādi, kas bija jāpierāda 2. punktā.

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma:

Pierādījumam izvēlamies parastu trīsstūrveida piramīdu.

Ņemot vērā: RAVS ir regulāra trīsstūrveida piramīda.

AB = BC = AC.

RO- augstums.

Pierādīt: . Skatīt att. 5.

Rīsi. 5

Pierādījums.

RAVS ir regulāra trīsstūrveida piramīda. T.i AB= AC = BC. Ļaujiet būt O- trijstūra centrs ABC, tad RO ir piramīdas augstums. Piramīdas pamats ir vienādmalu trīsstūris. ABC. ievērojiet, tas .

trijstūri RAV, RVS, RSA- vienādi vienādsānu trijstūri (pēc īpašības). Trīsstūrveida piramīdai ir trīs sānu malas: RAV, RVS, RSA. Tātad piramīdas sānu virsmas laukums ir:

S puse = 3S RAB

Teorēma ir pierādīta.

Regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m, piramīdas augstums ir 4 m. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.

Ņemot vērā: regulāra četrstūra piramīda ABCD,

ABCD- kvadrāts,

r= 3 m,

RO- piramīdas augstums,

RO= 4 m.

Atrast: S puse. Skatīt att. 6.

Rīsi. 6

Lēmums.

Saskaņā ar pārbaudīto teorēmu,.

Vispirms atrodiet pamatnes pusi AB. Mēs zinām, ka regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m.

Tad m.

Atrodiet kvadrāta perimetru ABCD ar 6 m malu:

Apsveriet trīsstūri BCD. Ļaujiet būt M- vidus puse DC. Kā O- vidus BD, tad (m).

Trīsstūris DPC- vienādsānu. M- vidus DC. T.i., RM- mediāna un līdz ar to arī augstums trīsstūrī DPC. Tad RM- piramīdas apotēma.

RO ir piramīdas augstums. Tad taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un līdz ar to tiešais OM guļot tajā. Atradīsim apotēmu RM no taisnleņķa trīsstūra ROM.

Tagad mēs varam atrast piramīdas sānu virsmu:

Atbilde Platība: 60 m2.

Pie regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes norobežotā riņķa rādiuss ir m. Sānu virsmas laukums ir 18 m 2. Atrodiet apotēmas garumu.

Ņemot vērā: ABCP- regulāra trīsstūrveida piramīda,

AB = BC = SA,

R= m,

S puse = 18 m 2.

Atrast: . Skatīt att. 7.

Rīsi. 7

Lēmums.

Taisnleņķa trīsstūrī ABCņemot vērā ierobežotā apļa rādiusu. Atradīsim pusi ABšis trīsstūris, izmantojot sinusa teorēmu.

Zinot regulāra trīsstūra malu (m), mēs atrodam tā perimetru.

Saskaņā ar teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu, kur h a- piramīdas apotēma. Pēc tam:

Atbilde: 4 m.

Tātad, mēs pārbaudījām, kas ir piramīda, kas ir regulāra piramīda, mēs pierādījām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu. Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar nošķelto piramīdu.

Bibliogrāfija

1. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., Rev. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
2. Ģeometrija. 10.-11.klase: Mācību grāmata vispārējai izglītībai izglītības iestādēm/ Šarigins I.F. - M.: Bustards, 1999. - 208 lpp.: ill.
3. Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar matemātikas padziļinātu un profila apguvi / E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 008. - 233 lpp.: ill.

1. Interneta portāls "Yaklass" ()
2. Interneta portāls "Pedagoģisko ideju festivāls "Pirmais septembris" ()
3. Interneta portāls "Slideshare.net" ()

Mājasdarbs

1. Vai regulārs daudzstūris var būt neregulāras piramīdas pamats?
2. Pierādīt, ka regulāras piramīdas nekrustojas malas ir perpendikulāras.
3. Atrodiet divstūrveida leņķa vērtību regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malā, ja piramīdas apotēma ir vienāda ar tās pamatnes malu.
4. RAVS ir regulāra trīsstūrveida piramīda. Izveidojiet diedrāla leņķa lineāro leņķi piramīdas pamatnē.

Hipotēze: mēs uzskatām, ka piramīdas formas pilnība ir saistīta ar matemātiskie likumi iestrādāts tā formā.

Mērķis: piramīdas apskate ģeometrisks ķermenis, lai izskaidrotu tās formas pilnību.

Uzdevumi:

1. Sniedziet piramīdas matemātisko definīciju.

2. Pētīt piramīdu kā ģeometrisku ķermeni.

3. Saprast, kādas matemātiskās zināšanas ēģiptieši ielikuši savās piramīdās.

Privātie jautājumi:

1. Kas ir piramīda kā ģeometrisks ķermenis?

2. Kā matemātiski izskaidrojama piramīdas unikālā forma?

3. Kas izskaidro piramīdas ģeometriskos brīnumus?

4. Kas izskaidro piramīdas formas pilnību?

Piramīdas definīcija.

PIRAMĪDA (no grieķu piramis, ģints n. pyramidos) - daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris, bet atlikušās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni (figūra). Pēc pamatnes stūru skaita piramīdas ir trīsstūrveida, četrstūrveida utt.

PIRAMĪDA - monumentāla celtne, kurai ir piramīdas ģeometriskā forma (dažkārt arī pakāpienveida vai torņa formas). Senās Ēģiptes faraonu milzu kapenes 3.-2. gadu tūkstotī pirms mūsu ēras sauc par piramīdām. e., kā arī seno amerikāņu tempļu postamenti (Meksikā, Gvatemalā, Hondurasā, Peru), kas saistīti ar kosmoloģiskajiem kultiem.

Iespējams, ka Grieķu vārds"piramīda" cēlies no ēģiptiešu izteiciena per-em-us, t.i., no termina, kas nozīmēja piramīdas augstumu. Ievērojamais krievu ēģiptologs V. Struve uzskatīja, ka grieķu “puram…j” nāk no senēģiptiešu “p”-mr.

No vēstures. Izpētījis materiālu Atanasjana autoru mācību grāmatā "Ģeometrija". Butuzova un citi, mēs uzzinājām, ka: Daudzskaldnis, kas sastāv no n-stūra A1A2A3 ... An un n trijstūriem RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, sauc par piramīdu. Daudzstūris A1A2A3 ... An ir piramīdas pamats, un trijstūri RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ir piramīdas sānu malas, P ir piramīdas virsotne, segmenti RA1, RA2, .. ., RAn ir sānu malas.

Tomēr šāda piramīdas definīcija ne vienmēr pastāvēja. Piemēram, sengrieķu matemātiķis, līdz mums nonākušo teorētisko matemātikas traktātu autors Eiklīds piramīdu definē kā cietu figūru, ko ierobežo plaknes, kas saplūst no vienas plaknes vienā punktā.

Bet šī definīcija ir kritizēta jau senatnē. Tāpēc Herons ieteica šādu definīciju piramīdas: "Šī ir figūra, ko ierobežo trijstūri, kas saplūst vienā punktā un kura pamatne ir daudzstūris."

Mūsu grupa, salīdzinot šīs definīcijas, nonāca pie secinājuma, ka tajās nav skaidra jēdziena “pamats” formulējuma.

Mēs izpētījām šīs definīcijas un atradām Adrienas Marijas Ledžendras definīciju, kura 1794. gadā savā darbā “Ģeometrijas elementi” piramīdu definēja šādi: “Piramīda ir ķermeņa figūra, ko veido trīsstūri, kas saplūst vienā punktā un beidzas dažādās piramīdas malās. plakana pamatne."

Mums tā šķiet pēdējā definīcija sniedz skaidru priekšstatu par piramīdu, jo tas runā par to, ka pamatne ir plakana. Vēl viena piramīdas definīcija parādījās 19. gadsimta mācību grāmatā: "piramīda ir ciets leņķis, ko šķērso plakne."

Piramīda kā ģeometrisks ķermenis.

Tas. Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena skaldne (pamatne) ir daudzstūris, pārējās skalas (malas) ir trijstūri, kuriem ir viena kopīga virsotne (piramīdas virsotne).

Tiek saukts perpendikuls, kas novilkts no piramīdas augšdaļas līdz pamatnes plaknei augstumsh piramīdas.

Papildus patvaļīgai piramīdai ir labā piramīda, kura pamatnē ir regulārs daudzstūris un nošķelta piramīda.

Attēlā - piramīda PABCD, ABCD - tās pamatne, PO - augstums.

Pilna virsmas laukums Piramīdu sauc par visu tās virsmu laukumu summu.

Pilns = Sside + Sbase, kur Sside ir sānu virsmu laukumu summa.

piramīdas tilpums tiek atrasts pēc formulas:

V=1/3Sbāze h, kur Sosn. - bāzes platība h- augstums.

Parastās piramīdas ass ir taisna līnija, kas satur tās augstumu.
Apothem ST - regulāras piramīdas sānu virsmas augstums.

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir izteikts šādi: Sside. =1/2P h, kur P ir pamatnes perimetrs, h- sānu virsmas augstums (parastas piramīdas apotēma). Ja piramīdu šķērso plakne A'B'C'D' paralēli pamatnei, tad:

1) sānu malas un augstumu ar šo plakni dala proporcionālās daļās;

2) griezumā iegūts daudzstūris A'B'C'D', līdzīgi kā pamats;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Nošķeltas piramīdas pamati ir līdzīgi daudzstūri ABCD un A`B`C`D`, sānu malas ir trapeces.

Augstums nošķelta piramīda - attālums starp pamatnēm.

Saīsināts apjoms Piramīdu var atrast pēc formulas:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Parastas nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir izteikts šādi: Sside. = ½(P+P') h, kur P un P’ ir pamatu perimetrs, h- sānu sejas augstums (dzīres saīsināta regulāra apotēma

Piramīdas sekcijas.

Piramīdas sekcijas ar plaknēm, kas iet cauri tās virsotnei, ir trīsstūri.

Tiek saukts posms, kas iet cauri divām piramīdas sānu malām, kas nav blakus diagonālā daļa.

Ja posms iet caur punktu sānu malā un pamatnes malā, tad šī puse būs tā pēda piramīdas pamatnes plaknē.

Posmam, kas iet caur punktu, kas atrodas uz piramīdas virsmas, un noteiktai sekcijas pēdai uz pamatnes plaknes, tad konstrukcija jāveic šādi:

atrodiet dotās skaldnes plaknes un piramīdas griezuma pēdas krustošanās punktu un apzīmējiet to;

izveidot taisnu līniju, kas iet cauri dots punkts un iegūtais krustošanās punkts;

· Atkārtojiet šīs darbības nākamajām sejām.

, kas atbilst taisnleņķa trijstūra kāju attiecībai 4:3. Šī kāju attiecība atbilst labi zināmajam taisnleņķa trīsstūrim ar malām 3:4:5, ko sauc par "ideālo", "svēto" vai "Ēģiptes" trīsstūri. Pēc vēsturnieku domām, "Ēģiptes" trīsstūrim tika piešķirta maģiska nozīme. Plutarhs rakstīja, ka ēģiptieši Visuma dabu salīdzināja ar "svētu" trīsstūri; viņi simboliski pielīdzināja vertikālo kāju vīram, pamatni sievai un hipotenūzu ar to, kas ir dzimis no abiem.

Trijstūrim 3:4:5 vienādība ir patiesa: 32 + 42 = 52, kas izsaka Pitagora teorēmu. Vai tā nav tā teorēma, kuru viņi gribēja iemūžināt Ēģiptes priesteri, uzbūvējot piramīdu, pamatojoties uz trīsstūri 3:4:5? Ir grūti atrast labāku piemēru, lai ilustrētu Pitagora teorēmu, kas ēģiptiešiem bija zināma ilgi pirms Pitagora atklājuma.

Tādējādi ģeniālie radītāji Ēģiptes piramīdas centās pārsteigt attālos pēcnācējus ar savu zināšanu dziļumu, un viņi to panāca, izvēloties par "galveno ģeometrisko ideju" Heopsa piramīdai - "zelta". taisnleņķa trīsstūris, un Khafre piramīdai - "svētais" vai "Ēģiptes" trīsstūris.

Ļoti bieži savos pētījumos zinātnieki izmanto piramīdu īpašības ar Zelta griezuma proporcijām.

Matemātikā enciklopēdiskā vārdnīca ir dota sekojoša Zelta griezuma definīcija - tas ir harmoniskais dalījums, dalījums galējā un vidējā attiecībā - segmenta AB sadalīšana divās daļās tā, ka tā lielākā daļa AC ir vidējais proporcionālais starp visu segmentu AB un tā mazākā daļa CB.

Segmenta zelta griezuma algebriskais atradums AB = a reducē līdz vienādojuma a atrisināšanai: x = x: (a - x), kur x ir aptuveni vienāds ar 0,62a. Attiecību x var izteikt kā daļskaitļus 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kur 2, 3, 5, 8, 13, 21 ir Fibonači skaitļi.

Segmenta AB zelta griezuma ģeometriskā konstrukcija tiek veikta šādi: punktā B tiek atjaunots perpendikuls pret AB, uz tā tiek uzlikts segments BE \u003d 1/2 AB, A un E ir savienoti, DE \ u003d BE tiek atlikta un, visbeidzot, AC \u003d AD, tad ir izpildīta vienādība AB: CB = 2: 3.

zelta griezums bieži izmanto mākslas darbos, arhitektūrā, atrodami dabā. Spilgti piemēri ir Apollona Belvederes skulptūra, Partenons. Partenona būvniecības laikā tika izmantota ēkas augstuma attiecība pret tās garumu un šī attiecība ir 0,618. Apkārtējie objekti sniedz arī zelta koeficienta piemērus, piemēram, daudzu grāmatu iesējumos platuma un garuma attiecība ir tuvu 0,618. Ņemot vērā lapu izvietojumu uz kopēja augu stumbra, var pamanīt, ka starp katriem diviem lapu pāriem Zelta koeficienta (slaidu) vietā atrodas trešā. Katrs no mums “nēsā” Zelta koeficientu ar mums “rokās” - tā ir pirkstu falangu attiecība.

Pateicoties vairāku matemātisko papirusu atklāšanai, ēģiptologi ir kaut ko uzzinājuši par seno ēģiptiešu aprēķinu un mēru sistēmām. Tajos ietvertos uzdevumus risināja rakstu mācītāji. Viens no slavenākajiem ir Rhind matemātiskais papiruss. Pētot šīs mīklas, ēģiptologi uzzināja, kā senie ēģiptieši tika galā ar tiem dažādi daudzumi kas radās, aprēķinot svara, garuma un tilpuma mērus, kuros bieži tika izmantotas frakcijas, kā arī to, kā tie tika galā ar leņķiem.

Senie ēģiptieši izmantoja leņķu aprēķināšanas metodi, pamatojoties uz taisnleņķa trijstūra augstuma un pamatnes attiecību. Viņi izteica jebkuru leņķi gradienta valodā. Slīpuma gradients tika izteikts kā vesela skaitļa attiecība, ko sauca par "seked". Ričards Pillins grāmatā Matemātika faraonu laikos skaidro: “Regulāras piramīdas seked ir jebkuras no četrām trīsstūrveida skaldnēm slīpums pret pamatnes plakni, ko mēra ar n-to horizontālo vienību skaitu uz vertikālo augstuma vienību. . Tādējādi šī mērvienība ir līdzvērtīga mūsu mūsdienu slīpuma leņķa kotangensam. Tāpēc ēģiptiešu vārds "seked" ir saistīts ar mūsu mūsdienu vārds"gradients"".

Piramīdu ciparu atslēga slēpjas to augstuma attiecībā pret pamatni. AT praktiskā ziņā- tas ir vienkāršākais veids, kā izveidot veidnes, kas nepieciešamas, lai piramīdas būvniecības laikā pastāvīgi pārbaudītu pareizo slīpuma leņķi.

Ēģiptologi labprāt mūs pārliecinātu, ka katrs faraons ļoti vēlējies paust savu individualitāti, tāpēc arī katras piramīdas slīpuma leņķi atšķiras. Bet var būt cits iemesls. Varbūt viņi visi vēlējās iemiesot dažādas simboliskas asociācijas, kas slēptas dažādās proporcijās. Tomēr Hafres piramīdas leņķis (pamatojoties uz trijstūri (3:4:5)) parādās trijās problēmās, ko uzrāda Rhind matemātiskā papirusa piramīdas. Tātad šī attieksme bija labi zināma senajiem ēģiptiešiem.

Lai būtu godīgi pret ēģiptologiem, kuri apgalvo, ka senie ēģiptieši nezināja trīsstūri 3:4:5, pieņemsim, ka 5. hipotenūzas garums nekad netika minēts. Bet matemātiskās problēmas, kas attiecas uz piramīdām, vienmēr tiek atrisinātas, pamatojoties uz slīpuma leņķi - augstuma un pamatnes attiecību. Tā kā hipotenūzas garums nekad netika minēts, tika secināts, ka ēģiptieši nekad nav aprēķinājuši trešās puses garumu.

Gīzas piramīdās izmantotās augstuma un pamatnes attiecības, bez šaubām, zināja senie ēģiptieši. Iespējams, ka šīs attiecības katrai piramīdai tika izvēlētas patvaļīgi. Tomēr tas ir pretrunā ar nozīmi, kas tiek piešķirta skaitliskajai simbolikai visu veidu ēģiptiešu valodā vizuālās mākslas. Ļoti iespējams, ka šādām attiecībām bija liela nozīme, jo tās pauda konkrētas reliģiskas idejas. Citiem vārdiem sakot, viss Gīzas komplekss tika pakļauts saskaņotam dizainam, kas paredzēts, lai atspoguļotu kādu dievišķu tēmu. Tas izskaidro, kāpēc dizaineri izvēlējās dažādus leņķus trim piramīdām.

Grāmatā "Oriona noslēpums" Bauvals un Gilberts sniedza pārliecinošus pierādījumus par Gīzas piramīdu saistību ar Oriona zvaigznāju, jo īpaši ar Oriona jostas zvaigznēm. Tas pats zvaigznājs ir sastopams mītā par Isīdu un Ozīrisu, un ir iemesls uzskatīt katru piramīdu par vienas no trim galvenajām dievībām - Ozīrisa, Izīdas un Hora - attēlu.

BRĪNUMI "ĢEOMETRISKA".

Starp grandiozajām Ēģiptes piramīdām īpašu vietu ieņem Lielā faraona Heopsa piramīda (Khufu). Pirms turpināt Heopsa piramīdas formas un izmēra analīzi, jāatceras, kādu mēru sistēmu izmantoja ēģiptieši. Ēģiptiešiem bija trīs garuma vienības: "olektis" (466 mm), kas vienāds ar septiņām "plaukstām" (66,5 mm), kas, savukārt, bija vienāds ar četriem "pirkstiem" (16,6 mm).

Analizēsim Heopsa piramīdas izmērus (2. att.), ievērojot ukraiņu zinātnieka Nikolaja Vasjutinska brīnišķīgajā grāmatā "Zelta proporcija" (1990) sniegto argumentāciju.

Lielākā daļa pētnieku piekrīt, ka piramīdas pamatnes malas garums, piemēram, GF ir vienāds ar L\u003d 233,16 m. Šī vērtība gandrīz precīzi atbilst 500 "ekti". Pilnīga atbilstība 500 "ektim" būs tad, ja uzskatīs, ka "olektis" garums ir vienāds ar 0,4663 m.

Piramīdas augstums ( H) pētnieki lēš atšķirīgi no 146,6 līdz 148,2 m Un atkarībā no pieņemtā piramīdas augstuma mainās visas tās ģeometrisko elementu attiecības. Kāds ir iemesls piramīdas augstuma novērtējuma atšķirībām? Fakts ir tāds, ka, stingri ņemot, Heopsa piramīda ir saīsināta. Tās augšējās platformas izmērs šodien ir aptuveni 10 × 10 m, un pirms gadsimta tā bija 6 × 6 m. Ir acīmredzams, ka piramīdas virsotne tika demontēta, un tā neatbilst oriģinālajai.

Novērtējot piramīdas augstumu, ir jāņem vērā tāds fiziskais faktors kā konstrukcijas "iegrime". Aiz muguras ilgu laiku kolosāla spiediena ietekmē (sasniedzot 500 tonnas uz 1 m2 apakšējās virsmas) piramīdas augstums samazinājās, salīdzinot ar tās sākotnējo augstumu.

Kāds bija piramīdas sākotnējais augstums? Šo augstumu var atjaunot, ja atrodat piramīdas pamata "ģeometrisko ideju".

2. attēls.

1837. gadā angļu pulkvedis G. Wise izmērīja piramīdas šķautņu slīpuma leņķi: izrādījās, ka tas ir vienāds ar a= 51°51". Šo vērtību joprojām atzīst lielākā daļa pētnieku arī mūsdienās. Norādītā leņķa vērtība atbilst pieskarei (tg a), vienāds ar 1,27306. Šī vērtība atbilst piramīdas augstuma attiecībai AC līdz pusei no tās pamatnes CB(2. att.), t.i. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Un šeit pētniekus gaidīja liels pārsteigums!.png" width="25" height="24">= 1,272. Salīdzinot šo vērtību ar tg vērtību a= 1,27306, mēs redzam, ka šīs vērtības ir ļoti tuvas viena otrai. Ja ņemam leņķi a\u003d 51 ° 50", tas ir, samaziniet to tikai par vienu loka minūte, tad vērtība a kļūs vienāds ar 1,272, tas ir, tas sakritīs ar vērtību . Jāpiebilst, ka 1840. gadā G. Wise atkārtoja savus mērījumus un precizēja, ka leņķa vērtība a=51°50".

Šie mērījumi ir noveduši pētniekus uz sekojošo interesanta hipotēze: Heopsa piramīdas trīsstūris ASV tika balstīts uz sakarību AC / CB = = 1,272!

Apsveriet tagad taisnleņķa trīsstūri ABC, kurā kāju attiecība AC / CB= (2. att.). Ja tagad taisnstūra malu garumi ABC apzīmē ar x, y, z, kā arī jāņem vērā, ka attiecība y/x= , tad saskaņā ar Pitagora teorēmu garums z var aprēķināt pēc formulas:

Ja pieņem x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3. attēls"Zelta" taisnleņķa trīsstūris.

Taisnstūra trīsstūris, kura malas ir saistītas kā t:zelta" taisnleņķa trīsstūris.

Tad, ja par pamatu ņemam hipotēzi, ka galvenā Heopsa piramīdas "ģeometriskā ideja" ir "zelta" taisnleņķa trīsstūris, tad no šejienes ir viegli aprēķināt Heopsa piramīdas "dizaina" augstumu. Tas ir vienāds ar:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Tagad atvasināsim dažas citas Heopsa piramīdas attiecības, kas izriet no "zelta" hipotēzes. Jo īpaši mēs atrodam piramīdas ārējā laukuma attiecību pret tās pamatnes laukumu. Lai to izdarītu, mēs ņemam kājas garumu CB uz vienību, tas ir: CB= 1. Bet tad piramīdas pamatnes malas garums GF= 2 un pamatnes laukums EFGH būs vienāds ar SEFGH = 4.

Tagad aprēķināsim Heopsa piramīdas sānu virsmas laukumu SD. Tā kā augstums AB trīsstūris AEF ir vienāds ar t, tad sānu virsmas laukums būs vienāds ar SD = t. Tad visu četru piramīdas sānu virsmu kopējais laukums būs vienāds ar 4 t, un piramīdas kopējā ārējā laukuma attiecība pret pamatplatību būs vienāda ar zelta griezumu! Tā tas ir - galvenais Heopsa piramīdas ģeometriskais noslēpums!

Heopsa piramīdas "ģeometrisko brīnumu" grupā ietilpst reālas un tālejošas attiecības starp dažādi izmēri piramīdā.

Parasti tos iegūst, meklējot kādu "konstanti", jo īpaši skaitli "pi" (Lūdolfa skaitlis), kas vienāds ar 3,14159...; naturālo logaritmu bāzes "e" (Napjē skaitlis), kas vienādas ar 2,71828...; skaitlis "F", "zelta sekcijas" numurs, vienāds, piemēram, 0,618 ... utt.

Varat nosaukt, piemēram: 1) Hērodota īpašums: (augstums) 2 \u003d 0,5 st. galvenais x Apotēms; 2) Īpašums V. Cena: Augstums: 0,5 st. osn \u003d Kvadrātsakne no "Ф"; 3) M. Eista īpašums: Pamatnes perimetrs: 2 Augstums = "Pi"; citā interpretācijā - 2 ēd.k. galvenais : Augstums = "Pi"; 4) G. Rēbera īpašums: Ierakstītā apļa rādiuss: 0,5 st. galvenais = "F"; 5) K. Klepiša īpašums: (St. Main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. Main. W. Apothem) \u003d 2 (st. Main. x Apothem) : (( 2. galvenā X Apothem) + (st. galvenā) 2). utt. Jūs varat izdomāt daudz šādu īpašību, it īpaši, ja savienojat divas blakus esošās piramīdas. Piemēram, kā "A. Arefjeva īpašības" var minēt, ka starpība starp Heopsa piramīdas un Hafres piramīdas tilpumiem ir vienāda ar divreiz lielāku Menkaures piramīdas tilpumu...

Daudzi interesantas pozīcijas, jo īpaši par piramīdu būvniecību saskaņā ar "zelta griezumu" ir aprakstītas D. Hambiddža grāmatās "Dinamiskā simetrija arhitektūrā" un M. Gīka "Proporcionalitātes estētika dabā un mākslā". Atgādinām, ka "zelta griezums" ir segmenta dalījums šādā proporcijā, kad daļa A ir tik reižu lielāka par daļu B, cik reižu A ir mazāka par visu segmentu A + B. Attiecība A / B ir vienāds ar skaitli "Ф" == 1,618. .. "Zelta griezuma" izmantošana norādīta ne tikai atsevišķās piramīdās, bet visā piramīdu kompleksā Gīzā.

Tomēr pats dīvainākais ir tas, ka tā pati Heopsa piramīda vienkārši "nevar uzņemt" tik daudz brīnumainas īpašības. Paņemot kādu konkrētu īpašumu pa vienam, var to "pieregulēt", bet visi uzreiz neder - nesakrīt, ir pretrunā viens otram. Tāpēc, ja, piemēram, pārbaudot visas īpašības, sākotnēji tiek ņemta viena un tā pati piramīdas pamatnes mala (233 m), tad arī piramīdu augstumi ar dažādām īpašībām būs atšķirīgi. Citiem vārdiem sakot, pastāv noteikta piramīdu "ģimene", kas ārēji līdzīga Heopsa piramīdam, bet atbilst dažādām īpašībām. Ņemiet vērā, ka "ģeometriskajās" īpašībās nav nekā īpaši brīnumaina - daudz kas rodas tīri automātiski, no pašas figūras īpašībām. Par "brīnumu" jāuzskata tikai kaut kas senajiem ēģiptiešiem acīmredzami neiespējams. Tas jo īpaši ietver "kosmiskos" brīnumus, kuros Heopsa piramīdas vai piramīdas kompleksa Gīzā mērījumi tiek salīdzināti ar dažiem astronomiskiem mērījumiem un norādīti "pāra" skaitļi: miljons reižu, miljards reižu mazāk un tā tālāk. Apskatīsim dažas "kosmiskās" attiecības.

Viens no apgalvojumiem ir šāds: "ja dalām piramīdas pamatnes malu ar precīzu gada garumu, mēs iegūstam tieši 10 miljono daļu no zemes ass." Aprēķiniet: sadaliet 233 ar 365, iegūstam 0,638. Zemes rādiuss ir 6378 km.

Cits apgalvojums patiesībā ir pretējs iepriekšējam. F. Noetlings norādīja, ka, ja izmanto viņa izgudroto "Ēģiptes elkoni", tad piramīdas mala atbildīs "visprecīzākajam ilgumam saules gads, izteikts ar precizitāti līdz tuvākajai dienas miljardajai daļai" - 365.540.903.777.

P. Smita apgalvojums: "Piramīdas augstums ir tieši viena miljardā daļa no attāluma no Zemes līdz Saulei." Lai gan parasti tiek ņemts augstums 146,6 m, Smits to uztvēra kā 148,2 m.Pēc mūsdienu radara mērījumiem zemes orbītas puslielākā ass ir 149 597 870 + 1,6 km. Tas ir vidējais attālums no Zemes līdz Saulei, bet perihēlijā tas ir par 5 000 000 kilometru mazāks nekā afēlijā.

Pēdējais ziņkārīgais paziņojums:

"Kā izskaidrot, ka Heopsa, Khafres un Menkaures piramīdu masas ir saistītas viena ar otru, tāpat kā planētu Zeme, Venera, Marss masas?" Aprēķināsim. Trīs piramīdu masas ir saistītas šādi: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerīns - 0,0915. Trīs planētu masu attiecības: Venera - 0,815; Zeme - 1000; Marss - 0,108.

Tātad, neskatoties uz skepsi, atzīmēsim labi zināmo apgalvojumu uzbūves saskaņu: 1) piramīdas augstums, kā līnija "iet kosmosā" - atbilst attālumam no Zemes līdz Saulei; 2) piramīdas pamatnes puse, kas ir vistuvāk "substrātam", tas ir, Zemei, ir atbildīga par zemes rādiusu un zemes cirkulāciju; 3) piramīdas tilpumi (lasi - masas) atbilst Zemei tuvāko planētu masu attiecībai. Līdzīgu "šifru" var izsekot, piemēram, bišu valodā, ko analizējis Kārlis fon Frišs. Tomēr mēs pagaidām atturamies to komentēt.

PIRAMĪDU FORMA

Slavenā piramīdu tetraedriskā forma neparādījās uzreiz. Skīti apbedījumus veidoja zemes pakalniņu - ķerru veidā. Ēģiptieši no akmens cēla “pakalnus” – piramīdas. Pirmo reizi tas notika pēc Augšēģiptes un Lejasēģiptes apvienošanās, 28. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad III dinastijas dibinātājs faraons Džosers (Zosers) saskārās ar uzdevumu stiprināt valsts vienotību.

Un šeit, pēc vēsturnieku domām, liela nozīme centrālās varas stiprināšanā bija cara "jaunajai dievišķības koncepcijai". Lai gan karaliskie apbedījumi izcēlās ar lielāku krāšņumu, tie principā neatšķīrās no galma muižnieku kapiem, tie bija vienas un tās pašas būves – mastabas. Virs kameras ar sarkofāgu, kurā atrodas mūmija, tika uzbērts taisnstūrveida mazo akmeņu paugurs, kurā pēc tam tika novietota neliela celtne no lieliem akmens blokiem - "mastaba" (arābu valodā - "sols"). Sava priekšgājēja Sanakhtas mastaba vietā faraons Džosers uzcēla pirmo piramīdu. Tas bija pakāpiens un bija redzams pārejas posms no vienas arhitektūras formas uz otru, no mastabas uz piramīdu.

Tādā veidā faraonu "izaudzināja" gudrais un arhitekts Imhoteps, kuru vēlāk uzskatīja par burvi un grieķi identificēja ar dievu Asklēpiju. Likās, ka pēc kārtas būtu uzceltas sešas mastabas. Turklāt pirmā piramīda aizņēma 1125 x 115 metrus lielu platību, un tās augstums bija 66 metri (pēc Ēģiptes mēriem - 1000 "plaukstu"). Sākumā arhitekts plānoja uzbūvēt mastabu, taču nevis iegarenu, bet kvadrātveida plānojumā. Vēlāk to paplašināja, bet, tā kā pagarinājumu taisīja zemāku, izveidojās it kā divi pakāpieni.

Šāda situācija arhitektu neapmierināja, un uz milzīgas plakanas mastabas augšējās platformas Imhoteps novietoja vēl trīs, pakāpeniski samazinoties uz augšu. Kaps atradās zem piramīdas.

Ir zināmas vēl vairākas pakāpju piramīdas, bet vēlāk celtnieki pārgāja uz pazīstamāku tetraedrisku piramīdu būvniecību. Kāpēc tomēr ne trīsstūrveida vai, teiksim, astoņstūrains? Netiešu atbildi sniedz fakts, ka gandrīz visas piramīdas ir lieliski orientētas uz četriem galvenajiem punktiem, un tāpēc tām ir četras malas. Turklāt piramīda bija "māja", četrstūrainas apbedīšanas kameras apvalks.

Bet kas izraisīja seju slīpuma leņķi? Grāmatā "Proporciju princips" tam ir veltīta vesela nodaļa: "Kas varētu noteikt piramīdu leņķus." Jo īpaši ir norādīts, ka "attēls, uz kuru gravitējas vecās valstības lielās piramīdas, ir trīsstūris ar taisnu leņķi augšpusē.

Kosmosā tas ir daļēji oktaedrs: piramīda, kurā pamatnes malas un malas ir vienādas, skaldnes ir vienādmalu trīsstūri.Atsevišķi apsvērumi par šo tēmu ir sniegti Hembidža, Gīka un citās grāmatās.

Kāda ir pusoktaedra leņķa priekšrocība? Saskaņā ar arheologu un vēsturnieku aprakstiem dažas piramīdas sabruka zem sava svara. Bija vajadzīgs "izturības leņķis", enerģētiski visuzticamākais leņķis. Tīri empīriski šo leņķi var ņemt no virsotnes leņķa drūpošu sausu smilšu kaudzē. Bet, lai iegūtu precīzus datus, jums ir jāizmanto modelis. Paņemot četras stingri fiksētas bumbiņas, uz tām jāuzliek piektā un jāizmēra slīpuma leņķi. Tomēr šeit jūs varat kļūdīties, tāpēc teorētiskais aprēķins palīdz: jums vajadzētu savienot bumbiņu centrus ar līnijām (garīgi). Pamatnē jūs iegūstat kvadrātu, kura mala ir divreiz lielāka par rādiusu. Kvadrāts būs tikai piramīdas pamatne, kuras malu garums arī būs vienāds ar divkāršu rādiusu.

Tādējādi blīvs 1:4 tipa lodīšu iepakojums mums iegūs regulāru pusoktaedru.

Tomēr kāpēc daudzas piramīdas, kas tiecas uz līdzīgu formu, tomēr to nesaglabā? Droši vien piramīdas noveco. Pretēji slavenajam teicienam:

"Viss pasaulē baidās no laika, un laiks baidās no piramīdām", piramīdu celtnēm ir jānoveco, tajās var un jānotiek ne tikai ārējās laikapstākļos, bet arī iekšējās "sarukšanas" procesiem. , no kuras piramīdas var kļūt zemākas. Saraušanās iespējama arī tāpēc, ka, kā noskaidrots D. Davidoviča darbos, senie ēģiptieši izmantoja tehnoloģiju, lai izgatavotu blokus no kaļķu skaidām, citiem vārdiem sakot, no "betona". Tieši šie procesi varētu izskaidrot Medum piramīdas, kas atrodas 50 km uz dienvidiem no Kairas, iznīcināšanas iemeslu. Tā ir 4600 gadus veca, pamatnes izmēri 146 x 146 m, augstums 118 m. “Kāpēc tas ir tik sakropļots?” jautā V. Zamarovskis “Parastās norādes uz laika postošo ietekmi un “akmens izmantošanu citām ēkām” šeit neder.

Galu galā lielākā daļa tā bloku un apšuvuma plātņu ir palikušas savās vietās līdz mūsdienām, tās pakājē drupās. "Kā mēs redzēsim, vairāki noteikumi liek domāt pat par to, ka slavenā piramīda Cheops arī "sarāvies". Jebkurā gadījumā visos senajos attēlos piramīdas ir smailas ...

Piramīdu formu varētu radīt arī imitācija: daži dabiski raksti, "brīnumaina pilnība", teiksim, daži kristāli oktaedra formā.

Šādi kristāli varētu būt dimanta un zelta kristāli. Raksturīgi liels skaits"krustošas" zīmes tādiem jēdzieniem kā faraons, saule, zelts, dimants. Visur - cēli, izcili (izcili), lieliski, nevainojami un tā tālāk. Līdzības nav nejaušas.

Saules kults, kā jūs zināt, bija svarīga reliģijas sastāvdaļa. senā Ēģipte. “Neatkarīgi no tā, kā mēs tulkojam lielākās piramīdas nosaukumu,” vienā no mūsdienu mācību grāmatām teikts “Sky Khufu” vai “Sky Khufu”, tas nozīmēja, ka karalis ir saule. Ja Khufu sava spēka spožumā iedomājās sevi par otro sauli, tad viņa dēls Džedefs-Ra kļuva par pirmo no Ēģiptes karaļiem, kurš sāka saukt sevi par "Ra dēlu", tas ir, par dēlu Saule. Sauli gandrīz visas tautas simbolizēja kā "saules metālu", zeltu. "Liels spoža zelta disks" - tā ēģiptieši sauca mūsējos dienasgaisma. Ēģiptieši ļoti labi pazina zeltu, zināja tā dzimtās formas, kur zelta kristāli var parādīties oktaedru veidā.

Kā "formu paraugs" šeit interesants ir arī "saules akmens" - dimants. Dimanta nosaukums cēlies no Arābu pasaule, "almas" - visgrūtākais, grūtākais, neiznīcināmais. Senie ēģiptieši pazina dimantu, un tā īpašības ir diezgan labas. Pēc dažu autoru domām, viņi pat izmantoja bronzas caurules ar dimanta griezējiem urbšanai.

Pašlaik galvenais dimantu piegādātājs ir Dienvidāfrika, bet Rietumāfrika ir arī bagāta ar dimantiem. Mali Republikas teritoriju tur pat sauc par "Dimantu zemi". Tikmēr tieši Mali teritorijā dzīvo dogons, ar kuru paleovīta hipotēzes atbalstītāji saista daudz cerību (skatīt zemāk). Dimanti nevarēja būt par iemeslu seno ēģiptiešu kontaktiem ar šo reģionu. Tomēr tā vai citādi, bet iespējams, ka tieši pēc dimanta un zelta kristālu oktaedru kopēšanas senie ēģiptieši dievišķoja tos par "neiznīcināmiem" kā dimantiem un "izcilus" kā zelta faraonus, Saules dēlus, salīdzināms tikai ar lielāko daļu brīnišķīgi darbi dabu.

Secinājums:

Izpētot piramīdu kā ģeometrisku ķermeni, iepazīstoties ar tās elementiem un īpašībām, pārliecinājāmies par viedokļa par piramīdas formas skaistumu pamatotību.

Pētījuma rezultātā nonācām pie secinājuma, ka ēģiptieši, savākuši visvērtīgākās matemātiskās zināšanas, tās iemiesoja piramīdā. Tāpēc piramīda patiešām ir vispilnīgākais dabas un cilvēka veidojums.

BIBLIOGRĀFIJA

"Ģeometrija: Proc. 7-9 šūnām. vispārējā izglītība iestādes \ uc - 9. izdevums - M .: Izglītība, 1999

Matemātikas vēsture skolā, M: "Apgaismība", 1982

Ģeometrijas klase 10-11, M: "Apgaismība", 2000.g

Pīters Tompkinss "Lielās Heopsa piramīdas noslēpumi", M: "Centropoligrāfs", 2005

Interneta resursi

http://veka-i-mig. *****/

http://tambovs. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html