Atrodiet konusa kopējo virsmas laukumu. Konusa sānu un pilnas virsmas laukums

Mēs zinām, kas ir konuss, mēģināsim atrast tā virsmas laukumu. Kāpēc ir nepieciešams risināt šādu problēmu? Piemēram, jums ir jāsaprot, cik daudz pārbaude ies uztaisīt vafeļu konusu? Vai arī cik ķieģeļu būtu nepieciešams, lai uzliktu pils ķieģeļu jumtu?

Nav viegli izmērīt konusa sānu virsmas laukumu. Bet iedomājieties to pašu ragu, kas ietīts audumā. Lai atrastu auduma gabala laukumu, tas ir jāizgriež un jāizklāj uz galda. Mēs iegūstam plakanu figūru, mēs varam atrast tās laukumu.

Rīsi. 1. Konusa griezums gar ģenerātoru

Darīsim to pašu ar konusu. “Nogriezīsim” tā sānu virsmu pa jebkuru ģenerātoru, piemēram, (skat. 1. att.).

Tagad mēs “atritinām” sānu virsmu uz plaknes. Mēs iegūstam sektoru. Šī sektora centrs ir konusa augšdaļa, sektora rādiuss ir vienāds ar konusa ģenerātoru, un tā loka garums sakrīt ar konusa pamatnes apkārtmēru. Šādu sektoru sauc par konusa sānu virsmas attīstību (skat. 2. att.).

Rīsi. 2. Sānu virsmas attīstība

Rīsi. 3. Leņķa mērīšana radiānos

Mēģināsim atrast sektora platību pēc pieejamajiem datiem. Vispirms ieviesīsim apzīmējumu: ļaujiet sektora augšdaļas leņķim būt radiānos (skat. 3. att.).

Mēs bieži saskarsimies ar leņķi, kas atrodas uzdevumu slaucīšanas augšdaļā. Pa to laiku mēģināsim atbildēt uz jautājumu: vai šis leņķis nevar izrādīties lielāks par 360 grādiem? Tas ir, vai neizrādīsies, ka slaucīšana pati uzliksies virsū? Protams, nē. Pierādīsim to matemātiski. Lai slaucīšana "pārklājas" pati. Tas nozīmē, ka slaucīšanas loka garums ir lielāks par rādiusa apkārtmēru. Bet, kā jau minēts, slaucīšanas loka garums ir rādiusa apkārtmērs. Un konusa pamatnes rādiuss, protams, ir mazāks par ģenerātoru, piemēram, jo ​​taisnleņķa trijstūra kāja ir mazāka par hipotenūzu

Tad atcerēsimies divas formulas no planimetrijas kursa: loka garums. Nozares apgabals: .

Mūsu gadījumā lomu spēlē generatrix , un loka garums ir vienāds ar konusa pamatnes apkārtmēru, tas ir. Mums ir:

Visbeidzot mēs iegūstam:

Kopā ar sānu virsmas laukumu var atrast arī laukumu pilna virsma. Lai to izdarītu, pievienojiet pamatnes laukumu sānu virsmas laukumam. Bet bāze ir rādiusa aplis, kura laukums saskaņā ar formulu ir .

Beidzot mums ir: , kur ir cilindra pamatnes rādiuss, ir ģenerators.

Atrisināsim pāris uzdevumus uz dotajām formulām.

Rīsi. 4. Vēlamais leņķis

1. piemērs. Konusa sānu virsmas attīstība ir sektors ar leņķi virsotnē. Atrodiet šo leņķi, ja konusa augstums ir 4 cm un pamatnes rādiuss ir 3 cm (skat. 4. att.).

Rīsi. 5. Taisns trijstūris, kas veido konusu

Ar pirmo darbību, saskaņā ar Pitagora teorēmu, mēs atrodam ģenerātoru: 5 cm (sk. 5. att.). Turklāt mēs to zinām .

2. piemērs. Konusa aksiālās sekcijas laukums ir , augstums ir . Atrodiet kopējo virsmas laukumu (skat. 6. att.).

Skolā pētītie revolūcijas ķermeņi ir cilindrs, konuss un bumba.

Ja USE uzdevumā matemātikā jums jāaprēķina konusa tilpums vai sfēras laukums, uzskatiet, ka esat laimīgs.

Izmantojiet formulas cilindra, konusa un sfēras tilpumam un virsmas laukumam. Tie visi ir mūsu tabulā. Iemācīties no galvas. Šeit sākas zināšanas par stereometriju.

Dažreiz ir labi uzzīmēt skatu no augšas. Vai, kā šajā problēmā, no apakšas.

2. Cik reižu konusa tilpums ir ierobežots tuvu pareizajam četrstūra piramīda, lielāks par šajā piramīdā ierakstītā konusa tilpumu?

Viss ir vienkārši - mēs zīmējam skatu no apakšas. Mēs redzam, ka lielākā apļa rādiuss ir vairākas reizes lielāks par mazākā apļa rādiusu. Abu konusu augstumi ir vienādi. Tāpēc lielākā konusa tilpums būs divreiz lielāks.

Cits svarīgs punkts. Atcerieties, ka B daļas uzdevumos IZMANTOT opcijas matemātikā atbildi raksta kā veselu vai galīgu skaitli decimāldaļdaļa. Tāpēc atbildē B daļā nevajadzētu būt nevienam vai nav. Cipara aptuvenās vērtības aizstāšana arī nav nepieciešama! Tas ir jāsamazina! Tieši tāpēc dažos uzdevumos uzdevums tiek formulēts, piemēram, šādi: "Atrodiet cilindra sānu virsmas laukumu, kas dalīts ar".

Un kur vēl tiek izmantotas apgriezienu ķermeņu tilpuma un virsmas laukuma formulas? Protams, uzdevumā C2 (16). Par to arī pastāstīsim.

Šeit ir problēmas ar konusiem, stāvoklis ir saistīts ar tā virsmas laukumu. Jo īpaši dažās problēmās rodas jautājums par laukuma maiņu, palielinoties (samazinoties) konusa augstumam vai tā pamatnes rādiusam. Teorija problēmu risināšanai . Apsveriet šādus uzdevumus:

27135. Konusa pamatnes apkārtmērs ir 3, ģenerātors ir 2. Atrodi konusa sānu virsmas laukumu.

Konusa sānu virsmas laukums ir:

Datu pievienošana:

75697. Cik reizes palielināsies konusa sānu virsmas laukums, ja tā ģenerātoru palielinās 36 reizes un pamatnes rādiuss paliek nemainīgs?

Konusa sānu virsmas laukums:

Ģeneratrix tiek palielināts par 36 reizēm. Rādiuss paliek nemainīgs, kas nozīmē, ka pamatnes apkārtmērs nav mainījies.

Tātad modificētā konusa sānu virsmas laukums izskatīsies šādi:

Tādējādi tas palielināsies par 36 reizēm.

*Atkarība ir vienkārša, tāpēc šo problēmu var viegli atrisināt mutiski.

27137. Cik reizes samazināsies konusa sānu virsmas laukums, ja tā pamatnes rādiuss tiks samazināts par 1,5 reizēm?

Konusa sānu virsmas laukums ir:

Rādiuss tiek samazināts 1,5 reizes, tas ir:

Tika konstatēts, ka sānu virsmas laukums samazinājās 1,5 reizes.

27159. Konusa augstums ir 6, ģenerātors ir 10. Atrodi tā kopējās virsmas laukumu, dalītu ar pi.

Pilna konusa virsma:

Atrodiet rādiusu:

Augstums un ģenerators ir zināmi, pēc Pitagora teorēmas mēs aprēķinām rādiusu:

Tādējādi:

Sadaliet rezultātu ar Pi un pierakstiet atbildi.

76299. Konusa kopējais virsmas laukums ir 108. Paralēli konusa pamatnei novilkts griezums, dalot augstumu uz pusēm. Atrodiet nošķelta konusa kopējo virsmas laukumu.

Sadaļa iet caur vidējo augstumu paralēli pamatnei. Tas nozīmē, ka nošķelta konusa pamatnes un ģenerātora rādiuss būs 2 reizes mazāks nekā sākotnējā konusa rādiuss un ģenerators. Pierakstīsim, ar ko ir vienāds nogrieztā konusa virsmas laukums:

Saņēma viņu 4 reizes mazāka platība oriģināla virsma, tas ir, 108:4 = 27.

* Tā kā sākotnējais un nogrieztais konuss ir līdzīgi korpusi, bija iespējams izmantot arī līdzības īpašību:

27167. Konusa pamatnes rādiuss ir 3, augstums ir 4. Atrodiet konusa kopējo virsmas laukumu, kas dalīts ar pi.

Konusa kopējās virsmas formula ir šāda:

Rādiuss ir zināms, nepieciešams atrast ģenerātoru.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Tādējādi:

Sadaliet rezultātu ar Pi un pierakstiet atbildi.

Uzdevums. Konusa sānu virsmas laukums ir četras reizes lielāks par pamatnes laukumu. Atrodiet kosinusu leņķim starp konusa ģenerātoru un pamatnes plakni.

Konusa pamatnes laukums ir:

Tas ir, kosinuss būs vienāds ar:

Atbilde: 0,25

Izlemiet pats:

27136. Cik reizes palielināsies konusa sānu virsmas laukums, ja tā ģenerātoru palielinās 3 reizes?

27160. Konusa sānu virsmas laukums ir divreiz lielāks par pamatnes laukumu. Atrodiet leņķi starp konusa ģenerātoru un pamatnes plakni. Sniedziet atbildi grādos. .

27161. Konusa kopējais virsmas laukums ir 12. Paralēli konusa pamatnei novilkts griezums, dalot augstumu uz pusēm. Atrodiet nošķelta konusa kopējo virsmas laukumu.

Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs.

* Kopīgojiet informāciju par vietni ar draugiem, izmantojot sociālos tīklus.

Konusa virsmas laukums (vai vienkārši konusa virsma) ir vienāds ar pamatnes un sānu virsmas laukumu summu.

Konusa sānu virsmas laukumu aprēķina pēc formulas: S = πR l, kur R ir konusa pamatnes rādiuss un l- konusa ģenerators.

Tā kā konusa pamatnes laukums ir πR 2 (kā apļa laukums), tad konusa pilnas virsmas laukums būs vienāds ar : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Konusa sānu virsmas laukuma formulas iegūšana ir izskaidrojama ar šādu argumentāciju. Ļaujiet zīmējumam parādīt konusa sānu virsmas attīstību. Sadaliet loku AB iespējamajā vairāk vienādās daļās un savieno visus dalīšanas punktus ar loka centru, bet blakus esošos vienu ar otru ar akordiem.

Mēs iegūstam sēriju vienādi trīsstūri. Katra trīsstūra laukums ir Ak! / 2, kur a- trijstūra pamatnes garums, a h- viņa augsto.

Visu trīsstūru laukumu summa ir: Ak! / 2 n = anh / 2, kur n ir trīsstūru skaits.

Ar lielu sadalījumu skaitu trīsstūru laukumu summa kļūst ļoti tuva attīstības laukumam, t.i., konusa sānu virsmas laukumam. Trīsstūru pamatu summa, t.i. an, kļūst ļoti tuvu loka AB garumam, t.i., konusa pamatnes apkārtmēram. Katra trīsstūra augstums kļūst ļoti tuvs loka rādiusam, tas ir, konusa ģenerātoram.

Neņemot vērā nelielas atšķirības šo daudzumu izmēros, mēs iegūstam formulu konusa sānu virsmas laukumam (S):

S=C l / 2, kur C ir konusa pamatnes apkārtmērs, l- konusa ģenerators.

Zinot, ka C \u003d 2πR, kur R ir konusa pamatnes apļa rādiuss, mēs iegūstam: S \u003d πR l.

Piezīme. Formulā S = C l / 2, ir dota precīzas, nevis aptuvenas vienlīdzības zīme, lai gan, pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs šo vienlīdzību varētu uzskatīt par aptuvenu. Bet vidusskolā vidusskola ir pierādīts, ka vienlīdzība

S=C l / 2 ir precīzs, nevis aptuvens.

Teorēma. Konusa sānu virsma ir vienāda ar pamatnes apkārtmēra un pusi ģenerātora reizinājumu.

Ieraksim konusā (Zīm.) dažus pareiza piramīda un apzīmē ar burtiem R un l skaitļi, kas izsaka šīs piramīdas pamatnes perimetra garumus un apotēmu.

Tad tā sānu virsmu izteiks produkts 1/2 R l .

Tagad pieņemsim, ka pamatnē ierakstītā daudzstūra malu skaits palielinās bezgalīgi. Tad perimetrs R tiecas līdz robežai, kas ņemta par pamatnes apkārtmēra garumu C, un apotēmu l ierobežojums būs konusa ģenerators (jo ΔSAK nozīmē, ka SA - SK
1 / 2 R l, būs tendence līdz 1/2 C robežai L. Šo robežu ņem par konusa sānu virsmas vērtību. Apzīmējot konusa sānu virsmu ar burtu S, mēs varam rakstīt:

S = 1/2 C L = C 1/2 l

Sekas.
1) Kopš C = 2 π R, tad konusa sānu virsmu izsaka ar formulu:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Mēs iegūstam pilnu konusa virsmu, ja pamatnes laukumam pievienojam sānu virsmu; tāpēc, apzīmējot visu virsmu ar T, mums būs:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorēma. Nocirsta konusa sānu virsma ir vienāda ar pusi no pamatņu un ģenerātora apkārtmēru summas reizinājumu.

Nogrieztā konusā (zīm.) ierakstīsim kādu regulāru nošķelta piramīda un apzīmē ar burtiem r, r 1 un l skaitļi, kas vienādās lineārajās vienībās izsaka šīs piramīdas apakšējās un augšējās pamatnes perimetru garumus un apotēmu.

Tad ierakstītās piramīdas sānu virsma ir 1/2 ( p + p 1) l

Neierobežoti palielinot ierakstītās piramīdas sānu virsmu skaitu, perimetrs R un R 1 tiecas uz robežām, kas pieņemtas kā pamatu apļu garumi C un C 1, un apotēms l ierobežojums ir nošķelta konusa ģenerārijs L. Līdz ar to ierakstītās piramīdas sānu virsmas vērtība tiecas uz robežu, kas vienāda ar (С + С 1) L. Šo robežu ņem par nošķelta konusa sānu virsmas vērtību. Apzīmējot nošķelta konusa sānu virsmu ar burtu S, mums būs:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Sekas.
1) Ja R un R 1 nozīmē apakšējās un augšējās pamatnes apļa rādiusus, tad nošķelta konusa sānu virsma būs:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Ja trapecē OO 1 A 1 A (att.), No kuras griešanās iegūts nošķelts konuss, zīmējam vidējā līnija BC, mēs iegūstam:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Tāpēc

S=2 π BC L,

t.i. nošķelta konusa sānu virsma ir vienāda ar vidējā griezuma un ģenerātora apkārtmēra reizinājumu.

3) Nošķelta konusa kopējo virsmu T izsaka šādi:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)