Nodarbība no sērijas "Ģeometriskie algoritmi"

Sveiks dārgais lasītāj!

Šodien mēs sāksim apgūt ar ģeometriju saistītos algoritmus. Fakts ir tāds, ka datorzinātnēs ir daudz olimpiādes uzdevumu, kas saistīti ar skaitļošanas ģeometriju, un šādu uzdevumu risināšana bieži rada grūtības.

Dažās nodarbībās mēs apskatīsim vairākas elementāras apakšproblēmas, uz kurām balstās lielākās daļas skaitļošanas ģeometrijas problēmu risinājums.

Šajā nodarbībā mēs rakstīsim programmu priekš taisnas līnijas vienādojuma atrašana ejot cauri dotajam divi punkti. Lai atrisinātu ģeometriskās problēmas, mums ir nepieciešamas zināšanas par skaitļošanas ģeometriju. Daļu nodarbības veltīsim viņu iepazīšanai.

Informācija no skaitļošanas ģeometrijas

Skaitļošanas ģeometrija ir datorzinātņu nozare, kas pēta ģeometrisko problēmu risināšanas algoritmus.

Sākotnējie dati šādām problēmām var būt plaknes punktu kopa, segmentu kopa, daudzstūris (ko dod, piemēram, tā virsotņu saraksts pulksteņrādītāja virzienā) utt.

Rezultāts var būt vai nu atbilde uz kādu jautājumu (piemēram, vai punkts pieder segmentam, vai divi segmenti krustojas, ...), vai kāds ģeometrisks objekts (piemēram, mazākais izliektais daudzstūris, kas savieno dotos punktus, laukums daudzstūris utt.).

Aprēķinu ģeometrijas problēmas aplūkosim tikai plaknē un tikai Dekarta koordinātu sistēmā.

Vektori un koordinātas

Lai pielietotu skaitļošanas ģeometrijas metodes, nepieciešams ģeometriskos attēlus pārtulkot skaitļu valodā. Mēs pieņemam, ka plaknē ir dota Dekarta koordinātu sistēma, kurā rotācijas virzienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam sauc par pozitīvu.

Tagad ģeometriski objekti saņem analītisko izteiksmi. Tātad, lai noteiktu punktu, pietiek norādīt tā koordinātas: skaitļu pāris (x; y). Nozaru var norādīt, norādot tā galu koordinātas, taisni var norādīt, norādot tās punktu pāra koordinātas.

Bet galvenais problēmu risināšanas instruments būs vektori. Tāpēc ļaujiet man jums atgādināt kādu informāciju par tiem.

Līnijas segments AB, kam ir jēga BET uzskatīja sākumu (piemērošanas punktu) un punktu AT- beigas sauc par vektoru AB un apzīmē vai nu , vai treknrakstu mazie burti, Piemēram a .

Lai apzīmētu vektora garumu (tas ir, atbilstošā segmenta garumu), mēs izmantosim moduļa simbolu (piemēram, ).

Patvaļīgam vektoram būs koordinātas, vienādas atšķirības atbilstošās tā beigu un sākuma koordinātas:

,

punkti šeit A un B ir koordinātas attiecīgi.

Aprēķiniem mēs izmantosim jēdzienu orientēts leņķis, tas ir, leņķis, kas ņem vērā vektoru relatīvo stāvokli.

Orientēts leņķis starp vektoriem a un b pozitīvs, ja rotācija ir prom no vektora a uz vektoru b tiek darīts pozitīvā virzienā (pretēji pulksteņrādītāja virzienam) un negatīvs citā gadījumā. Skatīt 1.a, 1.b attēlu. Ir arī teikts, ka vektoru pāris a un b pozitīvi (negatīvi) orientēti.

Tādējādi orientētā leņķa vērtība ir atkarīga no vektoru uzskaitīšanas secības un var iegūt vērtības intervālā .

Daudzas skaitļošanas ģeometrijas problēmas izmanto vektoru vektoru (šķībās vai pseidoskalārās) reizinājumu jēdzienu.

Vektoru a un b vektorreizinājums ir šo vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa sinusa reizinājums:

.

Vektoru reizinājums koordinātēs:

Labajā pusē esošā izteiksme ir otrās kārtas determinants:

Atšķirībā no analītiskajā ģeometrijā sniegtās definīcijas, tas ir skalārs.

Krusta reizinājuma zīme nosaka vektoru stāvokli viens pret otru:

a un b pozitīvi orientēts.

Ja vērtība ir , tad vektoru pāris a un b negatīvi orientēts.

Nenulles vektoru šķērsreizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja tie ir kolineāri ( ). Tas nozīmē, ka tie atrodas uz vienas līnijas vai paralēlām līnijām.

Apskatīsim dažus vienkāršus uzdevumus, kas nepieciešami sarežģītāku risināšanai.

Definēsim taisnes vienādojumu ar divu punktu koordinātām.

Taisnes līnijas vienādojums, kas iet cauri diviem dažādiem punktiem, ko nosaka to koordinātas.

Uz taisnes ir doti divi nesakrītoši punkti: ar koordinātām (x1;y1) un ar koordinātām (x2; y2). Attiecīgi vektoram ar sākumu punktā un beigas punktā ir koordinātes (x2-x1, y2-y1). Ja P(x, y) ir patvaļīgs punkts uz mūsu taisnes, tad vektora koordinātas ir (x-x1, y - y1).

Ar krustreizinājuma palīdzību vektoru kolinearitātes nosacījumu un var uzrakstīt šādi:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1) (x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Mēs pārrakstām pēdējo vienādojumu šādi:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Tātad taisni var dot ar formas (1) vienādojumu.

Uzdevums 1. Dotas divu punktu koordinātas. Atrodiet tā attēlojumu formā ax + by + c = 0.

Šajā nodarbībā mēs iepazināmies ar informāciju no skaitļošanas ģeometrijas. Mēs atrisinājām uzdevumu atrast taisnes vienādojumu pēc divu punktu koordinātām.

Nākamajā nodarbībā mēs uzrakstīsim programmu, lai atrastu mūsu vienādojumos norādīto divu taisnu krustpunktu.

Doti divi punkti M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2). Taisnes vienādojumu rakstām formā (5), kur k pagaidām nezināms koeficients:

Kopš punkta M 2 pieder noteiktai līnijai, tad tās koordinātas atbilst (5) vienādojumam: . Izsakot no šejienes un aizstājot to vienādojumā (5), mēs iegūstam vēlamo vienādojumu:

Ja Šo vienādojumu var pārrakstīt vieglāk iegaumējamā formā:

(6)

Piemērs. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (1.2) un M 2 (-2.3)

Lēmums. . Izmantojot proporcijas īpašību un veicot nepieciešamās transformācijas, iegūstam taisnas līnijas vispārējo vienādojumu:

Leņķis starp divām līnijām

Apsveriet divas līnijas l 1 un l 2:

l 1: , , un

l 2: , ,

φ ir leņķis starp tiem (). 4. attēlā parādīts: .

No šejienes , vai

Izmantojot formulu (7), var noteikt vienu no leņķiem starp līnijām. Otrais leņķis ir .

Piemērs. Divas taisnes ir dotas ar vienādojumiem y=2x+3 un y=-3x+2. atrodiet leņķi starp šīm līnijām.

Lēmums. No vienādojumiem var redzēt, ka k 1 \u003d 2 un k 2 \u003d-3. aizvietojot šīs vērtības formulā (7), mēs atrodam

. Tātad leņķis starp šīm līnijām ir .

Divu taisnes paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi

Ja taisni l 1 un l 2 tad ir paralēli φ=0 un tgφ=0. no formulas (7) izriet, ka , No kurienes k 2 \u003d k 1. Tādējādi divu līniju paralēlisma nosacījums ir to slīpumu vienādība.

Ja taisni l 1 un l 2 tad perpendikulāri φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Tādējādi nosacījums, lai divas taisnas līnijas būtu perpendikulāras, ir tāds, ka to nogāzes ir abpusējas pēc lieluma un pretējas pēc zīmes.

Attālums no punkta līdz līnijai

Teorēma. Ja ir dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ax + Vy + C \u003d 0 tiek definēts kā

Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

Koordinātas x 1 un y 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:

Otrais sistēmas vienādojums ir taisnes vienādojums, kas iet caur doto punktu M 0 perpendikulāri noteiktai taisnei.

Ja mēs pārveidosim pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ar 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x - 5y + 7 = 0 un 10x + 6y - 3 = 0 ir perpendikulāras.

Mēs atrodam: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, tāpēc līnijas ir perpendikulāras.

Piemērs. Dotas trijstūra A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.

Atrodam malas AB vienādojumu: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Vēlamais augstuma vienādojums ir: Ax + By + C = 0 vai y = kx + b.

k= . Tad y = . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šis vienādojums: no kurienes b = 17. Kopā: .

Atbilde: 3x + 2y - 34 = 0.

Attālumu no punkta līdz taisnei nosaka perpendikula garums, kas nokrīt no punkta līdz taisnei.

Ja taisne ir paralēla projekcijas plaknei (h | | P 1), tad, lai noteiktu attālumu no punkta BET taisni h ir nepieciešams nomest perpendikulu no punkta BET uz horizontāli h.

Apsveriet vairāk sarežģīts piemērs kad rinda aizņemta vispārējā nostāja. Lai būtu nepieciešams noteikt attālumu no punkta M taisni a vispārējā nostāja.

Definīcijas uzdevums attālumi starp paralēlām līnijām atrisināts līdzīgi kā iepriekšējais. Uz vienas taisnes tiek uzņemts punkts, un no tā uz citu taisni tiek novilkts perpendikuls. Perpendikula garums ir vienāds ar attālumu starp paralēlajām līnijām.

Otrās kārtas līkne ir taisne, ko nosaka otrās pakāpes vienādojums attiecībā pret pašreizējām Dekarta koordinātām. Vispārīgā gadījumā Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

kur A, B, C, D, E, F ir reāli skaitļi un vismaz viens no skaitļiem A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Aplis

Apļa centrs- tas ir plaknes punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no plaknes C punkta (a, b).

Aplis tiek dots ar šādu vienādojumu:

Kur x, y ir patvaļīga apļa punkta koordinātas, R ir apļa rādiuss.

Apļa vienādojuma zīme

1. Nav termina ar x, y

2. Koeficienti pie x 2 un y 2 ir vienādi

Elipse

Elipse sauc plaknes punktu lokusu, kura attālumu summu no diviem dotajiem šīs plaknes punktiem sauc par fokusiem (konstantu vērtību).

Elipses kanoniskais vienādojums:

X un y pieder elipsei.

a ir elipses lielākā pusass

b ir elipses mazā pusass

Elipsei ir 2 simetrijas asis OX un OY. Elipses simetrijas asis ir tās asis, to krustošanās punkts ir elipses centrs. Tiek saukta ass, uz kuras atrodas perēkļi fokusa ass. Elipses krustpunkts ar asīm ir elipses virsotne.

Saspiešanas (stiepšanas) attiecība: ε = c/a- ekscentriskums (raksturo elipses formu), jo mazāka tā ir, jo mazāk elipse tiek izstiepta pa fokusa asi.

Ja elipses centri neatrodas centrā С(α, β)

Hiperbola

Hiperbola ko sauc par punktu lokusu plaknē, attālumu starpības absolūtā vērtība, no kuriem katrs no diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība, kas atšķiras no nulles.

Hiperbolas kanoniskais vienādojums

Hiperbolai ir 2 simetrijas asis:

a - reāla simetrijas pusass

b - iedomāta simetrijas pusass

Hiperbolas asimptoti:

Parabola

parabola ir punktu atrašanās vieta plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta F, ko sauc par fokusu, un noteiktas līnijas, ko sauc par virzienu.

Kanoniskais parabolas vienādojums:

Y 2 \u003d 2px, kur p ir attālums no fokusa līdz virzienam (parabolas parametrs)

Ja parabolas virsotne ir C (α, β), tad parabolas vienādojums (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Ja fokusa ass tiek ņemta par y asi, tad parabolas vienādojums būs šāds: x 2 \u003d 2qy

Taisnes vienādojums plaknē.
Virziena vektors ir taisns. Normāls vektors

Taisna līnija plaknē ir viena no vienkāršākajām ģeometriskajām formām, kas jums pazīstama jau no pamatklasēm, un šodien mēs uzzināsim, kā ar to rīkoties, izmantojot analītiskās ģeometrijas metodes. Lai apgūtu materiālu, ir jāprot veidot taisnu līniju; zināt, kurš vienādojums definē taisni, jo īpaši taisni, kas iet caur sākuma punktu, un taisnes, kas ir paralēlas koordinātu asīm. Šo informāciju var atrast rokasgrāmatā. Elementāro funkciju grafiki un īpašības, es to izveidoju matānam, bet sadaļa par lineāro funkciju izrādījās ļoti veiksmīga un detalizēta. Tāpēc, dārgie tējkannas, vispirms sasildieties tur. Turklāt jums ir jābūt pamatzināšanas par vektori pretējā gadījumā materiāla izpratne būs nepilnīga.

Šajā nodarbībā aplūkosim veidus, kā plaknē var uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu. Es iesaku neatstāt novārtā praktiskos piemērus (pat ja tas šķiet ļoti vienkārši), jo es tos apgādāšu ar elementāriem un svarīgi fakti, tehniskās metodes, kas būs nepieciešamas nākotnē, tostarp citās augstākās matemātikas sadaļās.

• Kā uzrakstīt vienādojumu taisnai līnijai ar slīpumu?
• kā ?
• Kā atrast virziena vektoru pēc taisnas līnijas vispārējā vienādojuma?
• Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru?

un mēs sākam:

Līnijas vienādojums ar slīpumu

Tiek saukta plaši pazīstamā taisnes vienādojuma "skolas" forma taisnes vienādojums ar slīpuma koeficients . Piemēram, ja taisne ir dota ar vienādojumu, tad tās slīpums: . Apsveriet ģeometriskā sajūta dotais koeficients un kā tā vērtība ietekmē līnijas atrašanās vietu:

Ģeometrijas gaitā tas ir pierādīts taisnes slīpums ir leņķa pieskare starp pozitīvās ass virzienuun dotā līnija: , un stūris ir “atskrūvēts” pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Lai nepārblīvētu zīmējumu, uzzīmēju leņķus tikai divām taisnēm. Apsveriet "sarkano" taisno līniju un tās slīpumu. Saskaņā ar iepriekš minēto: (leņķis "alfa" ir norādīts ar zaļu loku). "Zilai" līnijai ar slīpumu ir taisnība (leņķis "beta" ir norādīts ar brūnu loku). Un, ja ir zināma leņķa tangensa, tad, ja nepieciešams, to ir viegli atrast un stūris izmantojot apgriezto funkciju - loka tangensu. Kā saka, trigonometriskā tabula vai kalkulators rokā. Tādējādi slīpums raksturo taisnes slīpuma pakāpi pret x asi.

Šajā gadījumā ir iespējami šādi gadījumi:

1) Ja slīpums ir negatīvs: , tad līnija, rupji sakot, iet no augšas uz leju. Piemēri ir "zilas" un "sārtinātas" taisnas līnijas zīmējumā.

2) Ja slīpums ir pozitīvs: , tad līnija iet no apakšas uz augšu. Piemēri ir "melnas" un "sarkanas" taisnas līnijas zīmējumā.

3) Ja slīpums ir vienāds ar nulli: , tad vienādojums iegūst formu , un atbilstošā taisne ir paralēla asij. Piemērs ir "dzeltenā" līnija.

4) Taisnu līniju saimei, kas ir paralēla asij (zīmējumā nav neviena piemēra, izņemot pašu asi), slīpums neeksistē (90 grādu tangensa nav definēta).

Jo lielāks ir slīpuma modulis, jo stāvāks ir līniju grafiks.

Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Šeit taisnei ir stāvāks slīpums. Atgādinu, ka modulis ļauj ignorēt zīmi, mūs tikai interesē absolūtās vērtības leņķiskie koeficienti.

Savukārt taisne ir stāvāka par taisnēm. .

Un otrādi: jo mazāks ir slīpuma modulis, jo taisne ir plakanāka.

Taisnām līnijām nevienlīdzība ir patiesa, tāpēc taisna līnija ir vairāk nekā nojume. Bērnu slidkalniņš, lai neiestādītu zilumus un pumpas.

Kāpēc tas ir vajadzīgs?

Pagariniet mokas Zinot iepriekš minētos faktus, varat nekavējoties redzēt savas kļūdas, jo īpaši kļūdas, veidojot grafikus - ja zīmējums izrādījās “skaidri, ka kaut kas nav kārtībā”. Vēlams, lai jūs uzreiz bija skaidrs, ka, piemēram, taisne ir ļoti stāva un iet no apakšas uz augšu, bet taisne ir ļoti plakana, tuvu asij un iet no augšas uz leju.

Ģeometriskajos uzdevumos bieži parādās vairākas taisnas līnijas, tāpēc ir ērti tās kaut kā apzīmēt.

Apzīmējums: taisnas līnijas ir apzīmētas ar mazām ar latīņu burtiem: . Populāra iespēja ir viena un tā paša burta apzīmēšana ar dabiskiem apakšindeksiem. Piemēram, piecas līnijas, kuras mēs tikko izskatījām, var apzīmēt ar .

Tā kā jebkuru taisni unikāli nosaka divi punkti, to var apzīmēt ar šādiem punktiem: utt. Apzīmējums diezgan acīmredzami nozīmē, ka punkti pieder līnijai.

Laiks nedaudz atslābināties:

Kā uzrakstīt vienādojumu taisnai līnijai ar slīpumu?

Ja ir zināms punkts, kas pieder noteiktai taisnei, un šīs taisnes slīpums, tad šīs taisnes vienādojumu izsaka ar formulu:

1. piemērs

Sastādiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, ja ir zināms, ka punkts pieder šai taisnei.

Lēmums: Taisnes vienādojumu sastādīsim pēc formulas . Šajā gadījumā:

Atbilde:

Pārbaude izpildīts elementāri. Pirmkārt, mēs aplūkojam iegūto vienādojumu un pārliecināmies, ka mūsu slīpums atrodas savā vietā. Otrkārt, punkta koordinātām ir jāatbilst dotajam vienādojumam. Pievienojiet tos vienādojumam:

Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka punkts apmierina iegūto vienādojumu.

Secinājums: vienādojums atrasts pareizi.

Sarežģītāks risinājuma “dari pats” piemērs:

2. piemērs

Uzrakstiet taisnes vienādojumu, ja ir zināms, ka tās slīpuma leņķis pret ass pozitīvo virzienu ir , un punkts pieder šai taisnei.

Ja rodas problēmas, izlasiet vēlreiz teorētiskais materiāls. Precīzāk, praktiskāk, man pietrūkst daudzu pierādījumu.

zvanīja Pēdējais zvans, izlaidums nomira, un aiz vārtiem mājas skola patiesībā mēs gaidām analītisko ģeometriju. Joki beigušies... Varbūt tas tikai sākas =)

Nostalģiski vicinām rokturi pazīstamajam un iepazīstamies ar vispārīgo taisnes vienādojumu. Tā kā analītiskajā ģeometrijā tiek izmantots tieši šis:

Taisnas līnijas vispārīgajam vienādojumam ir forma: , kur daži skaitļi. Tajā pašā laikā koeficienti vienlaikus nav vienādi ar nulli, jo vienādojums zaudē savu nozīmi.

Ģērbsimies uzvalkā un sasienam vienādojumu ar slīpumu. Pirmkārt, mēs pārvietojam visus terminus uz kreiso pusi:

Termins ar "x" ir jāievieto pirmajā vietā:

Principā vienādojumam jau ir forma , bet saskaņā ar matemātiskās etiķetes likumiem pirmā vārda (šajā gadījumā ) koeficientam ir jābūt pozitīvam. Pazīmju maiņa:

Atceries šo tehniskā īpašība! Pirmo koeficientu (visbiežāk ) veidojam pozitīvu!

Analītiskajā ģeometrijā taisnas līnijas vienādojums gandrīz vienmēr tiks dots vispārējā forma. Nu, ja nepieciešams, to ir viegli nogādāt “skolas” formā ar slīpumu (izņemot taisnas līnijas, kas ir paralēlas y asij).

Pajautāsim sev, ko pietiekami proti būvēt taisnu līniju? Divi punkti. Bet par šo bērnības gadījumu vēlāk, tagad paliek ar bultām. Katrai taisnei ir skaidri noteikts slīpums, kuram to ir viegli "pielāgot" vektors.

Vektoru, kas ir paralēls taisnei, sauc par šīs līnijas virziena vektoru.. Acīmredzot jebkurai taisnei ir bezgalīgi daudz virziena vektoru, un tie visi būs kolineāri (kopvirziena vai ne - tas nav svarīgi).

Virziena vektoru apzīmēšu šādi: .

Bet taisnas līnijas izveidošanai nepietiek ar vienu vektoru, vektors ir brīvs un nav piesaistīts nevienam plaknes punktam. Tāpēc papildus ir jāzina kāds punkts, kas pieder pie līnijas.

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un virziena vektoru?

Ja ir zināms noteikts līnijai piederošs punkts un šīs taisnes virzošais vektors, tad šīs taisnes vienādojumu var sastādīt pēc formulas:

Dažreiz to sauc taisnes kanoniskais vienādojums .

Ko darīt, kad viena no koordinātām ir nulle, tālāk aplūkosim praktiskos piemērus. Starp citu, ņemiet vērā - abi reizē koordinātas nevar būt nulle, jo nulles vektors nenorāda konkrētu virzienu.

3. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un virziena vektoru

Lēmums: Taisnes vienādojumu sastādīsim pēc formulas. Šajā gadījumā:

Izmantojot proporcijas īpašības, mēs atbrīvojamies no frakcijām:

Un mēs novedam vienādojumu uz vispārējs skats:

Atbilde:

Zīmēšana šādos piemēros, kā likums, nav nepieciešama, bet izpratnes labad:

Zīmējumā redzam sākumpunktu, sākotnējo virziena vektoru (to var atlikt no jebkura plaknes punkta) un konstruēto līniju. Starp citu, daudzos gadījumos taisnas līnijas izveidi visērtāk veic, izmantojot slīpuma vienādojumu. Mūsu vienādojumu ir viegli pārvērst formā, un bez problēmām paņemiet vēl vienu punktu, lai izveidotu taisnu līniju.

Kā minēts sadaļas sākumā, līnijai ir bezgalīgi daudz virziena vektoru, un tie visi ir kolineāri. Piemēram, es uzzīmēju trīs šādus vektorus: . Neatkarīgi no tā, kuru virziena vektoru mēs izvēlētos, rezultāts vienmēr būs tas pats taisnās līnijas vienādojums.

Sastādām taisnes vienādojumu ar punktu un virziena vektoru:

Proporcijas sadalīšana:

Sadaliet abas puses ar -2 un iegūstiet pazīstamo vienādojumu:

Tie, kas vēlas, var līdzīgi pārbaudīt vektorus vai jebkurš cits kolineārs vektors.

Tagad atrisināsim apgriezto problēmu:

Kā atrast virziena vektoru pēc taisnas līnijas vispārējā vienādojuma?

Ļoti vienkārši:

Ja taisne ir dota ar vispārīgu vienādojumu taisnstūra koordinātu sistēmā, tad vektors ir šīs taisnes virziena vektors.

Piemēri taisnu līniju virziena vektoru atrašanai:

Šis paziņojums ļauj mums atrast tikai vienu virziena vektoru no bezgalīgas kopas, bet mums nevajag vairāk. Lai gan dažos gadījumos ir ieteicams samazināt virziena vektoru koordinātas:

Tātad vienādojums nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla asij, un iegūtā stūrēšanas vektora koordinātas ir ērti dalītas ar -2, iegūstot tieši bāzes vektoru kā stūrēšanas vektoru. Loģiski.

Līdzīgi vienādojums definē taisnu līniju, kas ir paralēla asij, un, dalot vektora koordinātas ar 5, mēs iegūstam ort kā virziena vektoru.

Tagad izpildīsim pārbaudiet piemēru 3. Piemērs gāja uz augšu, tāpēc atgādinu, ka tajā mēs izveidojām taisnes vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Pirmkārt, saskaņā ar taisnes vienādojumu mēs atjaunojam tās virzošo vektoru: - viss ir kārtībā, mēs ieguvām sākotnējo vektoru (dažos gadījumos tas var izrādīties kolineārs sākotnējam vektoram, un to parasti ir viegli redzēt pēc atbilstošo koordinātu proporcionalitātes).

Otrkārt, punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam . Mēs tos aizstājam vienādojumā:

Pareiza vienlīdzība ir iegūta, par ko esam ļoti gandarīti.

Secinājums: Darbs pabeigts pareizi.

4. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un virziena vektoru

Šis ir “dari pats” piemērs. Risinājums un atbilde nodarbības beigās. Ir ļoti vēlams veikt pārbaudi saskaņā ar tikko apskatīto algoritmu. Centieties vienmēr (ja iespējams) pārbaudīt melnrakstu. Ir muļķīgi kļūdīties tur, kur no tām var 100% izvairīties.

Gadījumā, ja viena no virziena vektora koordinātām ir nulle, tas ir ļoti vienkārši:

5. piemērs

Lēmums: formula nav derīga, jo saucējs labajā pusē ir nulle. Ir izeja! Izmantojot proporcijas īpašības, mēs pārrakstām formulu formā , bet pārējo velmējam pa dziļu riestu:

Atbilde:

Pārbaude:

1) Atjaunojiet taisnes virziena vektoru:
– iegūtais vektors ir kolineārs sākotnējam virziena vektoram.

2) Aizvietojiet punkta koordinātas vienādojumā:

Tiek iegūta pareizā vienlīdzība

Secinājums: darbs pabeigts pareizi

Rodas jautājums, kāpēc jāpūlas ar formulu, ja ir universāla versija, kas darbosies tik un tā? Ir divi iemesli. Pirmkārt, daļēja formula daudz labāk atcerēties. Un, otrkārt, universālās formulas trūkums ir tāds ievērojami palielināts apjukuma risks aizvietojot koordinātas.

6. piemērs

Sastādiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un virziena vektoru.

Šis ir “dari pats” piemērs.

Atgriezīsimies pie diviem visuresošajiem punktiem:

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar diviem punktiem?

Ja ir zināmi divi punkti, tad taisnes vienādojumu, kas iet caur šiem punktiem, var sastādīt, izmantojot formulu:

Patiesībā šī ir sava veida formula, un lūk, kāpēc: ja ir zināmi divi punkti, tad vektors būs šīs līnijas virziena vektors. Uz nodarbības Manekenu vektori mēs apsvērām vienkāršākais uzdevums– kā atrast vektora koordinātas no diviem punktiem. Saskaņā ar šo uzdevumu virziena vektora koordinātas:

Piezīme : punktus var "samainīt" un izmantot formulu . Šāds lēmums būtu līdzvērtīgs.

7. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu no diviem punktiem .

Lēmums: Izmantojiet formulu:

Mēs ķemmējam saucējus:

Un sajauciet klāju:

Tagad ir pienācis laiks atbrīvoties daļskaitļi. Šajā gadījumā abas daļas jāreizina ar 6:

Atveriet iekavas un atcerieties vienādojumu:

Atbilde:

Pārbaude ir acīmredzams - sākotnējo punktu koordinātām jāatbilst iegūtajam vienādojumam:

1) Nomainiet punkta koordinātas:

Patiesa vienlīdzība.

2) Nomainiet punkta koordinātas:

Patiesa vienlīdzība.

Secinājums: taisnes vienādojums ir pareizs.

Ja vismaz viens punktu neapmierina vienādojumu, meklējiet kļūdu.

Ir vērts atzīmēt, ka grafiskā pārbaude šajā gadījumā ir sarežģīta, jo izveidot līniju un redzēt, vai punkti pieder tai , nav tik viegli.

Atzīmēšu pāris risinājuma tehniskos punktus. Varbūt šajā problēmā izdevīgāk ir izmantot spoguļa formulu un par tiem pašiem punktiem izveido vienādojumu:

Ir mazāk frakciju. Ja vēlaties, varat pabeigt risinājumu līdz galam, rezultātam jābūt tādam pašam vienādojumam.

Otrais punkts ir aplūkot galīgo atbildi un noskaidrot, vai to var vēl vairāk vienkāršot? Piemēram, ja tiek iegūts vienādojums, tad ieteicams to samazināt par diviem: - vienādojums uzstādīs to pašu taisni. Tomēr tas jau ir sarunu temats taisnu līniju savstarpējais izvietojums.

Saņēmusi atbildi 7. piemērā katram gadījumam pārbaudīju, vai VISI vienādojuma koeficienti dalās ar 2, 3 vai 7. Lai gan visbiežāk šādi samazinājumi tiek veikti risinājuma laikā.

8. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur punktiem .

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam, kas tikai ļaus labāk izprast un izstrādāt aprēķinu tehniku.

Līdzīgi kā iepriekšējā rindkopā: ja formulā viens no saucējiem (virziena vektora koordināte) pazūd, tad mēs to pārrakstām kā . Un atkal ievērojiet, cik neveikla un apmulsusi viņa sāka izskatīties. Es neredzu lielu jēgu sniegt praktiskus piemērus, jo mēs jau esam faktiski atrisinājuši šādu problēmu (skat. Nr. 5, 6).

Taisnas līnijas normāls vektors (normāls vektors)

Kas ir normāli? Vienkāršiem vārdiem sakot, normālais ir perpendikuls. Tas ir, taisnes normālais vektors ir perpendikulārs dotajai taisnei. Ir skaidrs, ka jebkurā taisnē ir bezgalīgi daudz to (kā arī virzošo vektoru), un visi taisnes parastie vektori būs kolineāri (kopvirziena vai ne - tas nav svarīgi).

Ar tiem rīkoties būs vēl vienkāršāk nekā ar virziena vektoriem:

Ja taisnstūrveida koordinātu sistēmā taisne ir dota ar vispārīgu vienādojumu, tad vektors ir šīs taisnes normāls vektors.

Ja virziena vektora koordinātas ir rūpīgi “jāizvelk” no vienādojuma, tad normālā vektora koordinātas var vienkārši “noņemt”.

Normālais vektors vienmēr ir ortogonāls līnijas virziena vektoram. Mēs pārbaudīsim šo vektoru ortogonalitāti, izmantojot punktu produkts:

Es sniegšu piemērus ar tādiem pašiem vienādojumiem kā virziena vektoram:

Vai ir iespējams uzrakstīt taisnes vienādojumu, zinot vienu punktu un normālu vektoru? Tāda sajūta, ka tas ir iespējams. Ja ir zināms parastais vektors, tad arī taisnākās līnijas virziens tiek unikāli noteikts - tā ir “stingra struktūra” ar 90 grādu leņķi.

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru?

Ja ir zināms kāds līnijai piederošs punkts un šīs taisnes normālvektors, tad šīs taisnes vienādojumu izsaka ar formulu:

Šeit viss noritēja bez daļskaitļiem un citiem pārsteigumiem. Tāds ir mūsu normāls vektors. Mīlu to. Un cieņa =)

9. piemērs

Sastādiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru. Atrodiet taisnes virziena vektoru.

Lēmums: Izmantojiet formulu:

Tiek iegūts taisnes vispārīgais vienādojums, pārbaudīsim:

1) "Noņemiet" no vienādojuma normālā vektora koordinātas: - jā, patiešām sākotnējais vektors tiek iegūts no nosacījuma (vai vektoram jābūt kolineāram ar sākotnējo vektoru).

2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina vienādojumu:

Patiesa vienlīdzība.

Kad esam pārliecināti, ka vienādojums ir pareizs, mēs izpildīsim otro, vieglāko uzdevuma daļu. Izvelkam taisnes virziena vektoru:

Atbilde:

Zīmējumā situācija ir šāda:

Apmācības nolūkos līdzīgs uzdevums neatkarīgam risinājumam:

10. piemērs

Sastādiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru. Atrodiet taisnes virziena vektoru.

Nodarbības pēdējā daļa būs veltīta mazāk izplatītiem, bet arī svarīgiem plaknes taisnes vienādojumu veidiem

Taisnas līnijas vienādojums segmentos.
Taisnes vienādojums parametriskā formā

Taisnas līnijas vienādojumam segmentos ir forma , kur ir konstantes, kas nav nulles. Dažus vienādojumu veidus nevar attēlot šādā formā, piemēram, tiešo proporcionalitāti (jo brīvais loceklis ir nulle un nav iespējas dabūt vienu labajā pusē).

Šis ir, tēlaini izsakoties, "tehniska" vienādojuma veids. Parastais uzdevums ir attēlot taisnes vispārīgo vienādojumu kā taisnes vienādojumu segmentos. Kāpēc tas ir ērti? Taisnes vienādojums segmentos ļauj ātri atrast taisnes krustošanās punktus ar koordinātu asīm, kas ir ļoti svarīgi dažos augstākās matemātikas uzdevumos.

Atrodiet taisnes krustpunktu ar asi. Mēs atiestatām “y”, un vienādojums iegūst formu . Vēlamais punkts iegūts automātiski: .

Tas pats ar asi ir punkts, kur līnija krustojas ar y asi.

Taisnes līnijas kanoniskie vienādojumi telpā ir vienādojumi, kas definē taisni, kas iet caur noteiktu punktu kolineāri virziena vektoram.

Ir dots punkts un virziena vektors. Patvaļīgs punkts atrodas uz taisnes l tikai tad, ja vektori un ir kolineāri, t.i., tie atbilst nosacījumam:

.

Iepriekš minētie vienādojumi ir kanoniskie vienādojumi taisni.

Skaitļi m , n un lpp ir virziena vektora projekcijas uz koordinātu asīm. Tā kā vektors nav nulle, tad visi skaitļi m , n un lpp tajā pašā laikā nevar būt nulle. Bet viens vai divi no tiem var būt nulle. Piemēram, analītiskajā ģeometrijā ir atļauts izmantot šādus apzīmējumus:

,

kas nozīmē, ka vektora projekcijas uz asīm Oy un Oz ir vienādi ar nulli. Tāpēc gan vektors, gan taisne, ko dod kanoniskie vienādojumi, ir perpendikulāri asīm Oy un Oz, t.i., lidmašīnas yOz .

1. piemērs Sastādiet vienādojumus ar taisnu līniju telpā, kas ir perpendikulāra plaknei un iet caur šīs plaknes krustošanās punktu ar asi Oz .

Lēmums. Atrodiet dotās plaknes krustošanās punktu ar asi Oz. Tā kā jebkurš punkts uz ass Oz, ir koordinātas , Tad, pieņemot, ka dotajā plaknes vienādojumā x=y= 0, mēs iegūstam 4 z- 8 = 0 vai z= 2. Tāpēc dotās plaknes krustošanās punkts ar asi Oz ir koordinātas (0; 0; 2) . Tā kā vēlamā līnija ir perpendikulāra plaknei, tā ir paralēla tās parastajam vektoram. Tāpēc parastais vektors var kalpot kā taisnes virzošais vektors dotā lidmašīna.

Tagad mēs rakstām vajadzīgos taisnes vienādojumus, kas iet caur punktu A= (0; 0; 2) vektora virzienā:

Taisnes līnijas vienādojumi, kas iet caur diviem dotiem punktiem

Taisni var noteikt ar diviem punktiem, kas atrodas uz tās un Šajā gadījumā taisnes virzošais vektors var būt vektors . Tad līnijas kanoniskie vienādojumi iegūst formu

.

Iepriekš minētie vienādojumi definē taisnu līniju, kas iet caur diviem dotajiem punktiem.

2. piemērs Uzrakstiet vienādojumu taisnai telpai, kas iet caur punktiem un .

Lēmums. Mēs rakstām vēlamos taisnes vienādojumus iepriekš norādītajā formā teorētiskajā atsaucē:

.

Tā kā , tad vēlamā līnija ir perpendikulāra asij Oy .

Taisna kā plakņu krustošanās līnija

Taisni telpā var definēt kā divu neparalēlu plakņu krustošanās līniju un, t.i., kā punktu kopu, kas apmierina divu lineāru vienādojumu sistēmu

Sistēmas vienādojumus sauc arī vispārīgie vienādojumi taisna līnija telpā.

3. piemērs Sastādiet taisnas līnijas kanoniskos vienādojumus vispārīgo vienādojumu dotajā telpā

Lēmums. Lai uzrakstītu taisnes kanoniskos vienādojumus vai, kas ir tas pats, taisnes vienādojumu, kas iet cauri diviem dotiem punktiem, jāatrod jebkuru divu taisnes punktu koordinātas. Tie var būt, piemēram, taisnas līnijas krustošanās punkti ar jebkurām divām koordinātu plaknēm yOz un xOz .

Taisnes krustpunkts ar plakni yOz ir abscisa x= 0. Tāpēc, pieņemot, ka šajā vienādojumu sistēmā x= 0, mēs iegūstam sistēmu ar diviem mainīgajiem:

Viņas lēmums y = 2 , z= 6 kopā ar x= 0 definē punktu A(0; 2; 6) no vēlamās rindas. Pieņemot, ka tad dotajā vienādojumu sistēmā y= 0, mēs iegūstam sistēmu

Viņas lēmums x = -2 , z= 0 kopā ar y= 0 definē punktu B(-2; 0; 0) taisnes krustpunkts ar plakni xOz .

Tagad mēs rakstām taisnas līnijas vienādojumus, kas iet caur punktiem A(0; 2; 6) un B (-2; 0; 0) :

,

vai pēc saucēju dalīšanas ar -2:

,

Lai taisne iet caur punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2). Taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur punktu M 1, ir forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kur k - joprojām nav zināms koeficients.

Tā kā taisne iet caur punktu M 2 (x 2 y 2), tad šī punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Šeit mēs atrodam Atrastās vērtības aizstāšana k vienādojumā (10.6) iegūstam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem M 1 un M 2:

Tiek pieņemts, ka šajā vienādojumā x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ja x 1 \u003d x 2, tad taisne, kas iet caur punktiem M 1 (x 1, y I) un M 2 (x 2, y 2), ir paralēla y asij. Tā vienādojums ir x = x 1 .

Ja y 2 \u003d y I, tad taisnes vienādojumu var uzrakstīt kā y \u003d y 1, taisne M 1 M 2 ir paralēla x asij.

Taisnas līnijas vienādojums segmentos

Ļaujiet taisnei krustot Ox asi punktā M 1 (a; 0), bet Oy asi - punktā M 2 (0; b). Vienādojumam būs šāda forma:
tie.
. Šo vienādojumu sauc taisnes vienādojums segmentos, jo cipari a un b norāda, kurus posmus taisne nogriež uz koordinātu asīm.

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram

Atradīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur doto punktu Mo (x O; y o), kas ir perpendikulāra dotajam nulles vektoram n = (A; B).

Paņemiet patvaļīgu punktu M(x; y) uz taisnes un apsveriet vektoru M 0 M (x - x 0; y - y o) (skat. 1. att.). Tā kā vektori n un M o M ir perpendikulāri, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: tas ir,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Tiek izsaukts vienādojums (10.8). vienādojums taisnei, kas iet caur noteiktu punktu perpendikulāri noteiktam vektoram .

Vektoru n = (A; B), kas ir perpendikulārs taisnei, sauc par normālu šīs līnijas normālais vektors .

Vienādojumu (10.8) var pārrakstīt kā Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A un B ir normālā vektora koordinātas, C \u003d -Ax o - Vu o - brīvais loceklis. Vienādojums (10.9) ir taisnas līnijas vispārējais vienādojums(skat. 2. att.).

1. att. 2. att

Taisnes kanoniskie vienādojumi

,

Kur
ir tā punkta koordinātas, caur kuru līnija iet, un
- virziena vektors.

Otrās kārtas apļa līknes

Aplis ir visu plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru.

Rādiusa apļa kanoniskais vienādojums R centrēts uz punktu
:

Jo īpaši, ja likmes centrs sakrīt ar izcelsmi, vienādojums izskatīsies šādi:

Elipse

Elipse ir plaknes punktu kopa, attālumu summa no katra no tiem līdz diviem dotajiem punktiem un , ko sauc par perēkļiem, ir nemainīga vērtība
, lielāks par attālumu starp perēkļiem
.

Elipses kanoniskajam vienādojumam, kuras fokuss atrodas uz Vērša ass un kuras izcelsme ir vidū starp perēkļiem, ir šāda forma
G de a galvenās pusass garums; b ir mazās pusass garums (2. att.).