Skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana. Kas ir kvadrātsakne

11.10.2019

Pirms kalkulatoru parādīšanās skolēni un skolotāji ar roku aprēķināja kvadrātsaknes. Ir vairāki veidi, kā aprēķināt kvadrātsakne numurus manuāli. Daži no tiem piedāvā tikai aptuvenu risinājumu, citi sniedz precīzu atbildi.

Soļi

Galvenā faktorizācija

Saknes skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no saknes numura jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Faktori ir skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir kvadrātskaitļi, jo √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātskaitļi. Vispirms mēģiniet faktorizēt saknes skaitli kvadrātveida faktoros.

Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (manuāli). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātos. 400 ir 100 reizinātājs, tas ir, dalās ar 25 - tas ir kvadrātveida skaitlis. Dalot 400 ar 25, jūs iegūstat 16. Skaitlis 16 ir arī kvadrātveida skaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.
To var uzrakstīt šādi: √400 = √(25 x 16).

Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar reizinājumu kvadrātsaknes no katra termina, t.i., √(a x b) = √a x √b. Izmantojiet šo noteikumu un ņemiet kvadrātsakni no katra kvadrātveida faktora un reiziniet rezultātus, lai atrastu atbildi.
- Mūsu piemērā ņem kvadrātsakni no 25 un 16.
  - √ (25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Ja saknes skaitlis nav iekļauts divos kvadrātveida faktoros (un tas notiek vairumā gadījumu), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi vesela skaitļa veidā. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot saknes skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un jūs pieņemsit parastā faktora sakni.
- Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var ieskaitīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:
  - = √ (49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Ja nepieciešams, novērtējiet saknes vērtību. Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātskaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk (abās skaitļu līnijas pusēs) saknes skaitlim. Jūs saņemsiet saknes vērtību kā decimāldaļdaļa, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.
- Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Saknes skaitlis ir 3. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 1 (√1 = 1) un 4 (√4 = 2). Tādējādi √3 vērtība ir no 1 līdz 2. Tā kā √3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aplēse ir šāda: √3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ja veicat aprēķinus, izmantojot kalkulatoru, jūs saņemsiet 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.
  - Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet √35. Saknes skaitlis ir 35. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 25 (√25 = 5) un 36 (√36 = 6). Tādējādi √35 vērtība ir no 5 līdz 6. Tā kā √35 vērtība ir daudz tuvāka 6 nekā tā ir 5 (jo 35 ir tikai par 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka √35 ir nedaudz mazāka par 6. Pārbaude ar kalkulatoru dod mums atbildi 5.92 - mums bija taisnība.
Vēl viens veids ir sadalīt saknes skaitli galvenajos faktoros. Pirmfaktori ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. pierakstīt galvenie faktori pēc kārtas un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.
- Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Saknes skaitli sadalām pirmfaktoros: 45 \u003d 9 x 5 un 9 \u003d 3 x 3. Tādējādi √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). No saknes zīmes var izņemt 3: √45 = 3√5. Tagad mēs varam novērtēt √5.
- Apsveriet citu piemēru: √88.
  - = √ (2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Jums ir trīs reizinātāji 2; paņemiet pāris no tiem un izņemiet tos no saknes zīmes.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Tagad mēs varam novērtēt √2 un √11 un atrast aptuvenu atbildi.
Kvadrātsaknes manuāla aprēķināšana

Izmantojot kolonnu dalījumu
1. Šī metode ietver procesu, kas līdzīgs garajai dalīšanai, un sniedz precīzu atbildi. Vispirms novelciet vertikālu līniju, kas sadala lapu divās daļās, un pēc tam novelciet horizontālu līniju pa labi un nedaudz zem lapas augšējās malas līdz vertikālajai līnijai. Tagad sadaliet saknes skaitli skaitļu pāros, sākot ar daļskaitli pēc komata. Tātad numurs 79520789182.47897 tiek rakstīts kā "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Piemēram, aprēķināsim kvadrātsakni no skaitļa 780.14. Uzzīmējiet divas līnijas (kā parādīts attēlā) un augšējā kreisajā stūrī ierakstiet skaitli "7 80, 14". Tas ir normāli, ka pirmais cipars no kreisās puses ir nepāra cipars. Atbilde (norādītā skaitļa sakne) tiks ierakstīta augšējā labajā stūrī.
2. Dots pirmais skaitļu pāris (vai viens skaitlis) no kreisās puses, atrodiet lielāko veselo skaitli n, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar attiecīgo skaitļu pāri (vai vienu skaitli). Citiem vārdiem sakot, atrodiet kvadrātveida skaitli, kas ir vistuvāk pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses, bet mazāks par to, un ņemiet šī kvadrātskaitļa kvadrātsakni; jūs saņemsiet numuru n. Augšējā labajā stūrī ierakstiet atrasto n, bet apakšējā labajā stūrī pierakstiet kvadrātu n.
  - Mūsu gadījumā pirmais cipars pa kreisi būs cipars 7. Tālāk 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Atņemiet tikko atrastā skaitļa n kvadrātu no pirmā skaitļu pāra (vai viena skaitļa) no kreisās puses. Aprēķina rezultātu ierakstiet zem apakšdaļas (skaitļa n kvadrāts).
  - Mūsu piemērā no 7 atņemiet 4, lai iegūtu 3.
4. Noņemiet otro skaitļu pāri un pierakstiet to blakus vērtībai, kas iegūta iepriekšējā darbībā. Pēc tam dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".
  - Mūsu piemērā otrais skaitļu pāris ir "80". Ierakstiet "80" aiz 3. Pēc tam, dubultojot skaitli no augšējās labās puses, iegūstiet 4. Apakšējā labajā stūrī ierakstiet "4_×_=".
5. Labajā pusē aizpildiet tukšās vietas.
  - Mūsu gadījumā, ja domuzīmju vietā ievietojam skaitli 8, tad 48 x 8 \u003d 384, kas ir vairāk nekā 380. Tāpēc 8 ir pārāk liels skaitlis, bet 7 ir labi. Defises vietā ierakstiet 7 un iegūstiet: 47 x 7 \u003d 329. Augšējā labajā stūrī ierakstiet 7 - tas ir otrais cipars vēlamajā skaitļa 780.14 kvadrātsaknē.
6. Atņemiet iegūto skaitli no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē. Ierakstiet iepriekšējā soļa rezultātu zem pašreizējā skaitļa kreisajā pusē, atrodiet atšķirību un ierakstiet to zem atņemtā.
  - Mūsu piemērā no 380 atņemiet 329, kas ir vienāds ar 51.
7. Atkārtojiet 4. darbību. Ja nojauktais skaitļu pāris ir sākotnējā skaitļa daļēja daļa, tad ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju (komatu) vēlamajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Kreisajā pusē pārnesiet uz leju nākamo skaitļu pāri. Divkāršojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".
  - Mūsu piemērā nākamais skaitļu pāris, kas jānojauc, būs skaitļa 780.14 daļēja daļa, tāpēc ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju vajadzīgajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Nojauciet 14 un pierakstiet apakšējā kreisajā stūrī. Divkāršs augšējā labajā stūrī (27) ir 54, tāpēc apakšējā labajā stūrī ierakstiet "54_×_=".
8. Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Labajā pusē atrodiet lielāko skaitli domuzīmju vietā (domuzīmju vietā ir jāaizstāj tas pats skaitlis), lai reizināšanas rezultāts būtu mazāks vai vienāds ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē.
  - Mūsu piemērā 549 x 9 = 4941, kas ir mazāks par pašreizējo skaitli kreisajā pusē (5114). Augšējā labajā pusē ierakstiet 9 un atņemiet reizināšanas rezultātu no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē: 5114 - 4941 = 173.
9. Ja kvadrātsaknei jāatrod vairāk zīmju aiz komata, ierakstiet nulles pāri blakus pašreizējam skaitlim kreisajā pusē un atkārtojiet 4., 5. un 6. darbību. Atkārtojiet darbības, līdz iegūstat vajadzīgās atbildes precizitāti (skaits no decimālzīmes).
Procesa izpratne
1. Apsveriet skaitļa S pirmo ciparu pāri Sa (mūsu piemērā Sa = 7) un atrodiet tā kvadrātsakni.Šajā gadījumā meklētās kvadrātsaknes vērtības pirmais cipars A būs tāds cipars, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar S a (tas ir, mēs meklējam tādu A, kas apmierina nevienādību A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 88962 ar 7; šeit pirmais solis būs līdzīgs: mēs ņemam vērā dalāmā skaitļa 88962 pirmo ciparu (8) un izvēlamies lielāko skaitli, kas, reizinot ar 7, iegūst vērtību, kas ir mazāka vai vienāda ar 8. Tas ir, mēs meklējam skaitlis d, kuram ir patiesa nevienādība: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Garīgi iedomājieties kvadrātu, kura laukums jums jāaprēķina. Jūs meklējat L, tas ir, kvadrāta malas garumu, kura laukums ir S. A, B, C ir skaitļi skaitļā L. Varat to rakstīt citādi: 10A + B \u003d L (diviem -ciparu skaitlis) vai 100A + 10B + C \u003d L (trīsciparu skaitlim) un tā tālāk.
  - Ļaujiet (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A+B ir skaitlis, kura B apzīmē vieniniekus un A apzīmē desmitus. Piemēram, ja A=1 un B=2, tad 10A+B ir vienāds ar skaitli 12. (10A+B)² ir visa laukuma platība, 100A² ir lielā iekšējā kvadrāta laukums, B² ir mazā iekšējā kvadrāta laukums, 10A × B ir katra no diviem taisnstūriem laukums. Pievienojot aprakstīto figūru laukumus, jūs atradīsit sākotnējā kvadrāta laukumu.

1. fakts.
\(\bullet\) Paņemiet dažus ne negatīvs skaitlis\(a\) (t.i., \(a\geqslant 0\) ). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa \(a\) tiek izsaukts šāds nenegatīvs skaitlis \(b\), kuru kvadrātā iegūstam skaitli \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kā )\quad a=b^2\] No definīcijas izriet, ka \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie ierobežojumi ir svarīgs kvadrātsaknes pastāvēšanas nosacījums, un tos vajadzētu atcerēties!
Atcerieties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod nenegatīvu rezultātu. Tas ir, \(100^2=10000\geqslant 0\) un \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Kas ir \(\sqrt(25)\)? Mēs zinām, ka \(5^2=25\) un \((-5)^2=25\) . Tā kā pēc definīcijas mums ir jāatrod nenegatīvs skaitlis, \(-5\) nav piemērots, tāpēc \(\sqrt(25)=5\) (jo \(25=5^2\) ).
Vērtības \(\sqrt a\) atrašanu sauc par skaitļa \(a\) kvadrātsakni, bet skaitli \(a\) sauc par saknes izteiksmi.
\(\bullet\) Pamatojoties uz definīciju, izteicieni \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) u.c. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi apgūt naturālo skaitļu kvadrātu tabulu no \(1\) līdz \(20\) : \[\begin(masīvs)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masīvs)\]

3. fakts.
Ko var izdarīt ar kvadrātsaknēm?
\(\lode\) Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV VIENĀDA ar summas vai starpības kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tātad, ja nepieciešams aprēķināt, piemēram, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tad sākotnēji jāatrod vērtības \(\sqrt(25)\) un \(\sqrt (49)\ ) un pēc tam saskaitiet tos. Sekojoši, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ja vērtības \(\sqrt a\) vai \(\sqrt b\) nevar atrast, pievienojot \(\sqrt a+\sqrt b\), tad šāda izteiksme netiek tālāk pārveidota un paliek tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mēs varam atrast \(\sqrt(49)\) - tas ir \(7\) , bet \(\sqrt 2\) nevar būt jebkādā veidā pārveidots, tāpēc \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Turklāt šo izteicienu diemžēl nekādā veidā nevar vienkāršot.\(\bullet\) Kvadrātsakņu reizinājums/dalījums ir vienāds ar reizinājuma/dalījuma kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ar nosacījumu, ka abām vienādības daļām ir jēga)
Piemērs: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Izmantojot šos rekvizītus, ir ērti atrast kvadrātsaknes no lieli cipari ieskaitot tos.
Apsveriet piemēru. Atrodiet \(\sqrt(44100)\) . Kopš \(44100:100=441\) , tad \(44100=100\cdot 441\) . Saskaņā ar dalāmības kritēriju skaitlis \(441\) dalās ar \(9\) (jo tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tāpēc \(441:9=49\) , tas ir, \(441=9\ cdot 49\) .
Tādējādi mēs saņēmām: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Apskatīsim citu piemēru: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes \(5\sqrt2\) piemēru (saīsinājums no izteiksmes \(5\cdot \sqrt2\) ). Kopš \(5=\sqrt(25)\) , tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kāpēc ir tā, ka? Paskaidrosim ar 1. piemēru). Kā jūs jau sapratāt, mēs nevaram kaut kā pārveidot skaitli \(\sqrt2\) . Iedomājieties, ka \(\sqrt2\) ir kāds skaitlis \(a\) . Attiecīgi izteiksme \(\sqrt2+3\sqrt2\) nav nekas cits kā \(a+3a\) (viens cipars \(a\) plus vēl trīs tādi paši skaitļi \(a\) ). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem \(a\) , tas ir, \(4\sqrt2\) .

4. fakts.
\(\bullet\) Bieži tiek teikts "nevar izvilkt sakni", ja, atrodot kāda skaitļa vērtību, nav iespējams atbrīvoties no saknes (radikāla) zīmes \(\sqrt () \ \). Piemēram, varat sakņot skaitli \(16\), jo \(16=4^2\) , tātad \(\sqrt(16)=4\) . Bet izvilkt sakni no skaitļa \(3\) , tas ir, atrast \(\sqrt3\) , nav iespējams, jo nav tāda skaitļa, kas kvadrātā dotu \(3\) .
Šādi skaitļi (vai izteiksmes ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) utt. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi \(\pi\) (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar \(3,14\) ), \(e\) (šo skaitli sauc par Eilera skaitli, aptuveni vienāds ar \(2) ,7\) ) utt.
\(\bullet\) Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs racionāls vai neracionāls. Un kopā visi racionāli un viss iracionāli skaitļi veido kopu ar nosaukumu reālo (reālo) skaitļu kopa.Šo kopu apzīmē ar burtu \(\mathbb(R)\) .
Tas nozīmē, ka visi skaitļi, kas ir Šis brīdis mēs zinām, ka tos sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
\(\bullet\) Reālā skaitļa modulis \(a\) ir nenegatīvs skaitlis \(|a|\), kas vienāds ar attālumu no punkta \(a\) līdz \(0\) reālajā skaitļā. līnija. Piemēram, \(|3|\) un \(|-3|\) ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem \(3\) un \(-3\) līdz \(0\) ir vienāds un vienāds ar \(3 \) .
\(\bullet\) Ja \(a\) ir nenegatīvs skaitlis, tad \(|a|=a\) .
Piemērs: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad \(|a|=-a\) .
Piemērs: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “apēd” mīnusu, un pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli \(0\) modulis atstāj nemainīgu.
BETšis noteikums attiecas tikai uz cipariem. Ja zem moduļa zīmes ir nezināms \(x\) (vai kāds cits nezināms), piemēram, \(|x|\) , par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, vienāds ar nulli vai negatīvs, tad atbrīvoties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek šāda: \(|x|\) . \(\bullet\) Ir spēkā šādas formulas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( nodrošināts ) a\geqslant 0\] Bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka \(\sqrt(a^2)\) un \((\sqrt a)^2\) ir viena un tā pati lieta. Tas ir spēkā tikai tad, ja \(a\) ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad tā nav taisnība. Pietiek apsvērt šādu piemēru. Ņemsim skaitli \(-1\), nevis \(a\). Tad \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet izteiksme \((\sqrt (-1))^2\) vispār nepastāv (jo tā ir neiespējami zem saknes zīmes ielieciet negatīvus skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka \(\sqrt(a^2)\) nav vienāds ar \((\sqrt a)^2\) ! Piemērs: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jo \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kopš \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izteiksme \(2n\) apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, iegūstot sakni no skaitļa, kas ir zināmā mērā, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ņemiet vērā, ja modulis nav iestatīts, tad izrādās, ka skaitļa sakne ir vienāda ar \(-25) \) ; bet mēs atceramies , kas pēc saknes definīcijas tas nevar būt: izvelkot sakni, vienmēr jāiegūst pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (jo jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei nav negatīvs)

6. fakts.
Kā salīdzināt divas kvadrātsaknes?
\(\bullet\) Patiess kvadrātsaknēm: ja \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPiemērs:
1) salīdziniet \(\sqrt(50)\) un \(6\sqrt2\) . Pirmkārt, mēs pārveidojam otro izteiksmi par \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tādējādi kopš \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Starp kuriem veseliem skaitļiem ir \(\sqrt(50)\)?
Kopš \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) un \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Salīdziniet \(\sqrt 2-1\) un \(0,5\) . Pieņemsim, ka \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pievienot vienu abām pusēm))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((abas daļas kvadrātā))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(līdzināts)\] Mēs redzam, ka esam ieguvuši nepareizu nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tās zīmi. Reizinot/dalot abas nevienādības puses ar pozitīvu skaitli, arī tās zīme nemainās, bet reizinot/dalot ar negatīvu skaitli, nevienādības zīme tiek apgriezta!
Abas vienādojuma/nevienādības puses var būt kvadrātā TIKAI TAD, JA abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra jūs varat kvadrātā abas puses, nevienādībā \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Ņemiet vērā \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2\apmēram 1,4\\ &\sqrt 3\apmēram 1,7 \end(līdzināts)\]Šo skaitļu aptuvenās nozīmes pārzināšana palīdzēs skaitļu salīdzināšanā! \(\bullet\) Lai izvilktu sakni (ja tā ir izvilkta) no kāda liela skaitļa, kas nav kvadrātu tabulā, vispirms jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas ir, tad starp kuriem “desmitiem”, un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas ar piemēru.
Paņemiet \(\sqrt(28224)\) . Mēs zinām, ka \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) un tā tālāk. Ņemiet vērā, ka \(28224\) ir starp \(10\,000\) un \(40\,000\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) ir starp \(100\) un \(200\) .
Tagad noteiksim, starp kuriem “desmitiem” ir mūsu skaitlis (tas ir, piemēram, starp \(120\) un \(130\) ). No kvadrātu tabulas mēs arī zinām, ka \(11^2=121\) , \(12^2=144\) utt., tad \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Tātad mēs redzam, ka \(28224\) ir starp \(160^2\) un \(170^2\) . Tāpēc skaitlis \(\sqrt(28224)\) ir starp \(160\) un \(170\) .
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādus viencipara skaitļus kvadrātā dod beigās \ (4 \) ? Tie ir \(2^2\) un \(8^2\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atrodiet \(162^2\) un \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tādējādi \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Lai adekvāti atrisinātu eksāmenu matemātikā, pirmkārt, ir nepieciešams apgūt teorētisko materiālu, kas ievada daudzas teorēmas, formulas, algoritmus utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir diezgan vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija tiek pasniegta viegli un saprotami skolēniem ar jebkāda līmeņa sagatavotību, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc ir tik svarīgi apgūt teoriju matemātikā, ne tikai tiem, kas kārto eksāmenu?

Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apguve matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas iegūt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar pasaules zināšanām. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
Jo tas attīsta intelektu. Apgūstot uzziņas materiālus eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādus uzdevumus, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, pareizi un skaidri formulēt domas. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt, izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja izglītības materiālu sistematizēšanai un prezentēšanai.

Kā izvilkt sakni no numura. Šajā rakstā mēs uzzināsim, kā ņemt kvadrātsakni no četriem un piecciparu skaitļiem.

Par piemēru ņemsim 1936. gada kvadrātsakni.

Sekojoši, .

Pēdējais cipars 1936. gadā ir 6. Kvadrāts 4 un 6 beidzas ar 6. Tāpēc 1936 var būt kvadrāts 44 vai 46. Tas vēl ir jāpārbauda, izmantojot reizināšanu.

nozīmē,

Iegūsim kvadrātsakni no skaitļa 15129.

Sekojoši, .

Pēdējais cipars 15129 ir 9. 9 beidzas ar 3 un 7 kvadrātu. Tāpēc 15129 var būt kvadrāts ar 123 vai 127. Pārbaudīsim ar reizināšanu.

nozīmē,

Kā sakņot - video

Un tagad es iesaku jums noskatīties Annas Denisovas video - "Kā iegūt sakni ", vietnes autors" vienkārša fizika", kurā viņa paskaidro, kā izvilkt kvadrātsaknes un kubsaknes bez kalkulatora.

Videoklipā ir apskatīti vairāki veidi, kā iegūt saknes:

1. Vienkāršākais veids, kā iegūt kvadrātsakni.

2. Saskaņošana, izmantojot summas kvadrātu.

3. Babilonijas ceļš.

4. Kvadrātsaknes iegūšanas metode kolonnā.

5. Ātrs veids, kā iegūt kuba sakni.

6. Metode kuba saknes iegūšanai kolonnā.

Saknes izvilkšana ir paaugstināšanas apgrieztā darbība. Tas ir, izdalot skaitļa X sakni, mēs iegūstam skaitli, kas kvadrātā dos tādu pašu skaitli X.

Saknes izvilkšana ir diezgan vienkārša darbība. Kvadrātu tabula var atvieglot ekstrakcijas darbu. Jo visus kvadrātus un saknes nav iespējams atcerēties no galvas, un skaitļi var būt lieli.

Saknes izvilkšana no skaitļa

Skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana ir vienkārša. Turklāt to var izdarīt ne uzreiz, bet pakāpeniski. Piemēram, ņemiet izteiksmi √256. Sākotnēji nezinošam cilvēkam ir grūti uzreiz sniegt atbildi. Tad mēs spersim soļus. Pirmkārt, mēs dalām tikai ar skaitli 4, no kura izņemam izvēlēto kvadrātu kā sakni.

Izloze: √(64 4), tad tas būs līdzvērtīgs 2√64. Un, kā jūs zināt, saskaņā ar reizināšanas tabulu 64 = 8 8. Atbilde būs 2*8=16.

Pierakstieties kursam "Paātrināt skaitīšanu prātā, NEVIS prāta aritmētiku", lai uzzinātu, kā ātri un pareizi saskaitīt, atņemt, reizināt, dalīt, kvadrātā un pat iesakņoties. 30 dienu laikā jūs uzzināsit, kā izmantot vienkāršus trikus, lai vienkāršotu aritmētiskās darbības. Katra nodarbība satur jaunus paņēmienus, skaidrus piemērus un noderīgus uzdevumus.

Sarežģīta sakņu ekstrakcija

Kvadrātsakni nevar aprēķināt no negatīviem skaitļiem, jo jebkurš skaitlis kvadrātā ir pozitīvs skaitlis!

Komplekss skaitlis ir skaitlis i, kas kvadrātā ir -1. Tas ir i2=-1.

Matemātikā ir skaitlis, ko iegūst, ņemot sakni no skaitļa -1.

Tas ir, ir iespējams aprēķināt negatīva skaitļa sakni, bet tas jau attiecas uz augstāko matemātiku, nevis skolu.

Apsveriet šādas sakņu ekstrakcijas piemēru: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Sakņu kalkulators tiešsaistē

Ar mūsu kalkulatora palīdzību jūs varat aprēķināt skaitļa izņemšanu no kvadrātsaknes:

Izteicienu konvertēšana, kas satur saknes izvilkšanas darbību

Radikālo izteiksmju transformācijas būtība ir radikālā skaitļa sadalīšana vienkāršākos, no kuriem var izvilkt sakni. Piemēram, 4, 9, 25 un tā tālāk.

Ņemsim piemēru √625. Radikālo izteiksmi sadalām ar skaitli 5. Iegūstam √(125 5), mēs atkārtojam darbību √(25 25), bet mēs zinām, ka 25 ir 52. Tātad atbilde ir 5*5=25.

Bet ir skaitļi, kuriem sakni nevar aprēķināt ar šo metodi, un jums vienkārši jāzina atbilde vai ir pie rokas kvadrātu tabula.

√289=√(17*17)=17

Rezultāts

Esam apsvēruši tikai aisberga virsotni, lai labāk izprastu matemātiku - piesakieties mūsu kursam: Paātrināt skaitīšanu prātā - NEVIS prāta aritmētiku.

Kursā jūs ne tikai apgūsiet desmitiem triku vienkāršotai un ātrai reizināšanai, saskaitīšanai, reizināšanai, dalīšanai, procentu aprēķināšanai, bet arī izstrādāsiet tos īpašos uzdevumos un izglītojošās spēlēs! Arī prāta skaitīšana prasa lielu uzmanību un koncentrēšanos, kas tiek aktīvi trenēta interesantu problēmu risināšanā.

Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, aprēķināt to, kas jūs ieskauj – tas ir pamatā vienai no mūsdienu fundamentālajām zinātnēm. Sākumā tie bija elementārās matemātikas gabali, kas ļāva saistīt skaitļus ar to fiziskajām izpausmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, " matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad visi skaitļi. Jēdziens "kvadrātsakne" parādījās laikā, kad to varēja viegli pamatot ar empīriskiem datiem, pārsniedzot aprēķinu plānu.

Kā tas viss sākās

Pirmā saknes pieminēšana, kas pašlaik tiek apzīmēta kā √, tika ierakstīta Babilonijas matemātiķu rakstos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tie izskatījās nedaudz līdzīgi pašreizējai formai - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. viņi izdomāja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā ņemt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā ir redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izgrieza izvades procesu √2, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.

Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.

Paralēli babiloniešu darbiem raksta tēma tika pētīta arī ķīniešu darbā "Matemātika deviņās grāmatās", un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakne netiek izvilkta bez atlikuma, dod iracionālu rezultātu. .

Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (var izsekot modeli - viss, kam ir "saknes" semantiskā slodze, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai išiass).

Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka kvadrātsakne ir ņemta no patvaļīga skaitļa a, viņi rakstīja R 2 a. Mūsdienu izskatam pazīstamā “ērce” √ parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.

Mūsu dienas

Matemātiski y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētisko sakni, jo tā nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.

Kopumā, kas ir derīga algebriskās saknes noteikšanai, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.

Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, tad ir dažādas, sausos aprēķinos neizpaužas pieķeršanās izpausmes pret to. Piemēram, līdzās tādiem interesantiem notikumiem kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes simts gados, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā apzīmē dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Tātad nākamreiz šie svētki tiks svinēti 2016. gada 4. aprīlī.

Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R

Gandrīz visām matemātiskajām izteiksmēm ir ģeometrisks pamats, šis liktenis nav pagājis un √y, kas tiek definēta kā kvadrāta mala ar laukumu y.

Kā atrast skaitļa sakni?

Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:

1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz izvades atlikums ir mazāks par atņemto vai pat vienāds ar nulli. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķinot kvadrātsakni no 25:

Nākamais nepāra skaitlis ir 11, atlikušais ir: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Šādos gadījumos ir Taylor sērijas paplašinājums:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz

+∞ un |y|≤1.

Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums

Aplūkosim elementāru funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Viņas diagramma izskatās šādi:

Līkne aug no sākuma un obligāti šķērso punktu (1; 1).

Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R

1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).

2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (atkal ir iekļauta nulle).

3. Funkcija iegūst minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.

4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.

5. Funkcija z=√y nav periodiska.

6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).

7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.

8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.

9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.

Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas

Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažreiz viņi izmanto kvadrātsaknes rakstīšanas pakāpju formu: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šī metode ir arī labs attēlojums diferencēšanai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota ar parastu jaudas funkciju.

Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.

Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).

Kvadrātsakne kompleksajā laukā C

Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par pāra pakāpes saknes iegūšanu no negatīva skaitļa. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi un ar negatīvu diskriminantu ieguva risinājumu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tās pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka saknes izteiksmes ierobežojumi tiek noņemti.