Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskās cerības aprēķini. Matemātiskās cerības formula. Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums

Varbūtību teorija ir īpaša matemātikas nozare, kuru apgūst tikai augstākās izglītības iestāžu studenti. Vai jums patīk aprēķini un formulas? Vai jūs nebaidāties no izredzēm iepazīties ar normālo sadalījumu, ansambļa entropiju, matemātiskām cerībām un diskrēta gadījuma lieluma dispersiju? Tad šī tēma jūs ļoti ieinteresēs. Iepazīsimies ar dažiem šīs zinātnes sadaļas svarīgākajiem pamatjēdzieniem.

Atcerēsimies pamatus

Pat ja atceraties vienkāršākos varbūtības teorijas jēdzienus, neaizmirstiet raksta pirmās rindkopas. Fakts ir tāds, ka bez skaidras izpratnes par pamatiem jūs nevarēsit strādāt ar formulām, kas aplūkotas tālāk.

Tātad ir kāds nejaušs notikums, kāds eksperiments. Veikto darbību rezultātā varam iegūt vairākus iznākumus – daži no tiem ir biežāk, citi retāk. Notikuma varbūtība ir viena veida faktiski iegūto rezultātu skaita attiecība pret kopējo iespējamo rezultātu skaitu. Tikai zinot šī jēdziena klasisko definīciju, jūs varat sākt pētīt nepārtrauktu nejaušo mainīgo matemātisko cerību un izkliedi.

Vidēji

Vēl skolā, matemātikas stundās, jūs sākāt strādāt ar vidējo aritmētisko. Šo jēdzienu plaši izmanto varbūtību teorijā, un tāpēc to nevar ignorēt. Šobrīd mums galvenais ir tas, ka mēs to sastapsim nejauša lieluma matemātiskās cerības un dispersijas formulās.

Mums ir skaitļu secība, un mēs vēlamies atrast vidējo aritmētisko. Viss, kas no mums tiek prasīts, ir summēt visu pieejamo un dalīt ar secības elementu skaitu. Ļaujiet mums iegūt skaitļus no 1 līdz 9. Elementu summa būs 45, un mēs dalīsim šo vērtību ar 9. Atbilde: - 5.

Izkliede

Zinātniskā izteiksmē dispersija ir iegūto pazīmju vērtību noviržu vidējais kvadrāts no vidējā aritmētiskā. Vienu apzīmē ar lielo latīņu burtu D. Kas nepieciešams, lai to aprēķinātu? Katram secības elementam mēs aprēķinām starpību starp pieejamo skaitli un vidējo aritmētisko un to kvadrātā. Būs tieši tik daudz vērtību, cik var būt iznākumi notikumam, kuru mēs apsveram. Tālāk mēs apkopojam visu saņemto un sadalām ar secības elementu skaitu. Ja mums ir pieci iespējamie rezultāti, tad dala ar pieciem.

Izkliedei ir arī īpašības, kas jums jāatceras, lai to izmantotu, risinot problēmas. Piemēram, ja nejaušo lielumu palielina X reizes, dispersija palielinās par X reizi kvadrātā (t.i., X*X). Tas nekad nav mazāks par nulli un nav atkarīgs no vērtību maiņas par vienādu vērtību uz augšu vai uz leju. Arī neatkarīgiem izmēģinājumiem summas dispersija ir vienāda ar dispersiju summu.

Tagad mums noteikti jāapsver diskrēta gadījuma lieluma dispersijas un matemātiskās cerības piemēri.

Pieņemsim, ka mēs veicam 21 eksperimentu un iegūstam 7 dažādus rezultātus. Mēs katru no tiem novērojām attiecīgi 1,2,2,3,4,4 un 5 reizes. Kāda būs atšķirība?

Pirmkārt, mēs aprēķinām vidējo aritmētisko: elementu summa, protams, ir 21. Mēs to sadalām ar 7, iegūstot 3. Tagad mēs atņemam 3 no katra skaitļa sākotnējā secībā, katru vērtību kvadrātā un rezultātus saskaitām kopā. . Izrādās 12. Tagad mums atliek dalīt skaitli ar elementu skaitu, un, šķiet, tas arī viss. Bet ir āķis! Apspriedīsim to.

Atkarība no eksperimentu skaita

Izrādās, ka, aprēķinot dispersiju, saucējs var būt viens no diviem skaitļiem: vai nu N, vai N-1. Šeit N ir veikto eksperimentu skaits vai elementu skaits secībā (kas būtībā ir viens un tas pats). No kā tas ir atkarīgs?

Ja testu skaitu mēra simtos, tad saucējā jāieliek N. Ja vienībās, tad N-1. Zinātnieki nolēma robežu novilkt diezgan simboliski: šodien tā iet pa skaitli 30. Ja veicām mazāk par 30 eksperimentiem, tad summu dalīsim ar N-1, un ja vairāk, tad ar N.

Uzdevums

Atgriezīsimies pie mūsu dispersijas un gaidu problēmas risināšanas piemēra. Saņēmām starpskaitli 12, kas bija jādala ar N vai N-1. Tā kā mēs veicām 21 eksperimentu, kas ir mazāk nekā 30, mēs izvēlēsimies otro iespēju. Tātad atbilde ir: dispersija ir 12/2 = 2.

Paredzamā vērtība

Pāriesim pie otrā jēdziena, kas mums ir jāapsver šajā rakstā. Matemātiskās cerības ir rezultāts, saskaitot visus iespējamos rezultātus, kas reizināti ar atbilstošām varbūtībām. Ir svarīgi saprast, ka iegūtā vērtība, kā arī dispersijas aprēķina rezultāts tiek iegūts tikai vienu reizi visam uzdevumam neatkarīgi no tā, cik iznākumu tas ņem vērā.

Matemātiskā gaidu formula ir pavisam vienkārša: mēs ņemam rezultātu, reizinām ar tā varbūtību, saskaitām to pašu otrajam, trešajam rezultātam utt. Viss, kas saistīts ar šo jēdzienu, ir viegli aprēķināms. Piemēram, matemātisko gaidu summa ir vienāda ar summas matemātisko gaidu. Tas pats attiecas uz darbu. Ne katrs lielums varbūtību teorijā ļauj veikt tik vienkāršas darbības. Paņemsim uzdevumu un aprēķināsim divu jēdzienu vērtību, ko esam pētījuši uzreiz. Turklāt mūs apjucis teorija – laiks praktizēt.

Vēl viens piemērs

Mēs veicām 50 izmēģinājumus un saņēmām 10 veidu rezultātus — skaitļus no 0 līdz 9 —, kas tika parādīti dažādās procentuālās proporcijās. Tie ir attiecīgi: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Atcerieties, ka, lai iegūtu varbūtības, procentuālās vērtības ir jādala ar 100. Tādējādi mēs iegūstam 0,02; 0,1 utt. Sniegsim piemēru problēmas risināšanai gadījuma lieluma dispersijai un matemātiskajai cerībai.

Mēs aprēķinām vidējo aritmētisko, izmantojot formulu, kuru atceramies no pamatskolas: 50/10 = 5.

Tagad pārtulkosim varbūtības iznākumu skaitā "gabalos", lai būtu ērtāk skaitīt. Iegūstam 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 un 9. No katras iegūtās vērtības atņem vidējo aritmētisko, pēc kā katru iegūto rezultātu kvadrātā. Skatiet, kā to izdarīt ar pirmo elementu kā piemēru: 1 - 5 = (-4). Tālāk: (-4) * (-4) = 16. Citām vērtībām veiciet šīs darbības pats. Ja visu izdarījāt pareizi, tad pēc visa pievienošanas jūs saņemat 90.

Turpināsim aprēķināt dispersiju un vidējo, dalot 90 ar N. Kāpēc mēs izvēlamies N, nevis N-1? Tieši tā, jo veikto eksperimentu skaits pārsniedz 30. Tātad: 90/10 = 9. Mēs saņēmām dispersiju. Ja saņemat citu numuru, nevajag izmisumā. Visticamāk, jūs aprēķinos pieļāvāt banālu kļūdu. Vēlreiz pārbaudiet, ko uzrakstījāt, un noteikti viss nostāsies savās vietās.

Visbeidzot, atcerēsimies matemātisko gaidu formulu. Mēs nesniegsim visus aprēķinus, mēs tikai uzrakstīsim atbildi, ar kuru jūs varat pārbaudīt pēc visu nepieciešamo procedūru veikšanas. Paredzamā vērtība būs 5,48. Mēs tikai atgādinām, kā veikt darbības, izmantojot pirmo elementu piemēru: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... un tā tālāk. Kā redzat, mēs vienkārši reizinām iznākuma vērtību ar tā varbūtību.

Novirze

Vēl viens jēdziens, kas ir cieši saistīts ar izkliedi un matemātisko cerību, ir standarta novirze. To apzīmē vai nu ar latīņu burtiem sd, vai ar grieķu mazajiem burtiem "sigma". Šī koncepcija parāda, kā vidēji vērtības atšķiras no centrālās pazīmes. Lai atrastu tā vērtību, jāaprēķina dispersijas kvadrātsakne.

Ja uzzīmējat normālu sadalījumu un vēlaties tieši tajā redzēt novirzi kvadrātā, to var izdarīt vairākos posmos. Paņemiet pusi attēla pa kreisi vai pa labi no režīma (centrālā vērtība), uzzīmējiet perpendikulāru horizontālajai asij tā, lai iegūto skaitļu laukumi būtu vienādi. Segmenta vērtība starp sadalījuma vidu un iegūto projekciju uz horizontālās ass būs standarta novirze.

Programmatūra

Kā redzams no formulu aprakstiem un sniegtajiem piemēriem, dispersijas un matemātiskās cerības aprēķināšana no aritmētiskā viedokļa nav vieglākā procedūra. Lai netērētu laiku, ir jēga izmantot augstākajā izglītībā izmantoto programmu - to sauc par "R". Tam ir funkcijas, kas ļauj aprēķināt daudzu jēdzienu vērtības no statistikas un varbūtības teorijas.

Piemēram, jūs definējat vērtību vektoru. Tas tiek darīts šādi: vektors<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Beidzot

Izkliede un matemātiskās cerības ir tās, bez kurām nākotnē ir grūti kaut ko aprēķināt. Augstskolu lekciju pamatkursā tās tiek izskatītas jau pirmajos priekšmeta apguves mēnešos. Tieši šo vienkāršo jēdzienu neizpratnes un nespējas tos aprēķināt dēļ daudzi studenti uzreiz sāk atpalikt no programmas un vēlāk sesijā saņem vājas atzīmes, kas atņem viņiem stipendijas.

Trenējies vismaz vienu nedēļu pusstundu dienā, risinot uzdevumus, kas līdzīgi šajā rakstā sniegtajiem. Pēc tam jebkurā varbūtības teorijas testā jūs tiksit galā ar piemēriem bez svešiem padomiem un krāpšanās lapām.

DSW raksturojums un to īpašības. Matemātiskā cerība, dispersija, standartnovirze

Sadales likums pilnībā raksturo gadījuma lielumu. Tomēr, ja nav iespējams atrast sadalījuma likumu vai tas nav nepieciešams, var aprobežoties ar vērtību atrašanu, ko sauc par gadījuma lieluma skaitliskiem raksturlielumiem. Šie lielumi nosaka kādu vidējo vērtību, ap kuru tiek grupētas nejaušā lieluma vērtības, un to izkliedes pakāpi ap šo vidējo vērtību.

matemātiskās cerības Diskrēts gadījuma lielums ir nejauša lieluma visu iespējamo vērtību un to varbūtību reizinājumu summa.

Matemātiskās cerības pastāv, ja rindas vienādības labajā pusē pilnībā saplūst.

No varbūtības viedokļa mēs varam teikt, ka matemātiskā cerība ir aptuveni vienāda ar nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējo aritmētisko.

Piemērs. Ir zināms diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Atrodiet matemātisko cerību.

X
lpp	0.2	0.3	0.1	0.4

Lēmums:

9.2. Gaidāmās īpašības

1. Konstantas vērtības matemātiskā cerība ir vienāda ar pašu konstanti.

2. No gaidīšanas zīmes var izņemt nemainīgu faktoru.

3. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu.

Šis īpašums ir derīgs patvaļīgam skaitam nejaušo mainīgo.

4. Divu nejaušu lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu.

Šis īpašums attiecas arī uz patvaļīgu skaitu nejaušu mainīgo.

Veiksim n neatkarīgus izmēģinājumus, kuros notikuma A iestāšanās varbūtība ir vienāda ar p.

Teorēma. Matemātiskā prognoze M(X) no notikuma A atgadījumu skaita n neatkarīgos izmēģinājumos ir vienāda ar izmēģinājumu skaita un notikuma iestāšanās iespējamības reizinājumu katrā izmēģinājumā.

Piemērs. Atrodiet nejauša lieluma Z matemātisko cerību, ja ir zināmas X un Y matemātiskās cerības: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Lēmums:

9.3. Diskrētā gadījuma lieluma izkliede

Tomēr matemātiskās cerības nevar pilnībā raksturot nejaušu procesu. Papildus matemātiskajai cerībai ir jāievieš vērtība, kas raksturo nejaušā lieluma vērtību novirzi no matemātiskās cerības.

Šī novirze ir vienāda ar starpību starp nejaušo mainīgo lielumu un tā matemātisko cerību. Šajā gadījumā novirzes matemātiskā cerība ir nulle. Tas izskaidrojams ar to, ka dažas iespējamās novirzes ir pozitīvas, citas ir negatīvas, un to savstarpējās atcelšanas rezultātā tiek iegūta nulle.

Izkliede (izkliede) Diskrētu gadījuma lielumu sauc par nejaušā mainīgā lieluma kvadrātiskās novirzes no tā matemātiskās cerības matemātisko cerību.

Praksē šī dispersijas aprēķināšanas metode ir neērta, jo noved pie apgrūtinošiem aprēķiniem lielam skaitam nejauša lieluma vērtību.

Tāpēc tiek izmantota cita metode.

Teorēma. Dispersija ir vienāda ar starpību starp nejaušā lieluma X kvadrāta matemātisko cerību un tā matemātiskās cerības kvadrātu.

Pierādījums. Ņemot vērā to, ka matemātiskā cerība M (X) un matemātiskās cerības M 2 (X) kvadrāts ir nemainīgas vērtības, mēs varam rakstīt:

Piemērs. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma dispersiju, ko nosaka sadalījuma likums.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Lēmums:.

9.4. Izkliedes īpašības

1. Konstantas vērtības izkliede ir nulle. .

2. No izkliedes zīmes var izņemt konstantu koeficientu, sadalot to kvadrātā. .

3. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu. .

4. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu starpības dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu. .

Teorēma. Notikuma A iestāšanās gadījumu skaita dispersija n neatkarīgos izmēģinājumos, kuros katrā notikuma iestāšanās varbūtība p ir nemainīga, ir vienāda ar mēģinājumu skaita un iestāšanās un nenotikšanas varbūtību reizinājumu. notikuma katrā izmēģinājumā.

9.5. Diskrēta gadījuma lieluma standartnovirze

Standarta novirze gadījuma lielumu X sauc par dispersijas kvadrātsakni.

Teorēma. Standartnovirze no galīga skaita savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu summas ir vienāda ar kvadrātsakni no šo mainīgo standartnoviržu summas kvadrātā.

Matemātiskās cerības ir definīcija

Mat gaidīšana ir viens no svarīgākajiem jēdzieniem matemātiskajā statistikā un varbūtību teorijā, kas raksturo vērtību sadalījumu vai varbūtības izlases lielums. Parasti izsaka kā gadījuma lieluma visu iespējamo parametru vidējo svērto vērtību. To plaši izmanto tehniskajā analīzē, skaitļu sēriju izpētē, nepārtrauktu un ilgtermiņa procesu izpētē. Tas ir svarīgi risku novērtēšanā, cenu rādītāju prognozēšanā, tirgojoties finanšu tirgos, un tiek izmantots spēļu taktikas stratēģiju un metožu izstrādē azartspēļu teorija.

Chemate gaida-Šo nejauša lieluma vidējā vērtība, sadalījums varbūtības gadījuma lielums tiek aplūkots varbūtību teorijā.

Mat gaidīšana ir nejauša lieluma vidējās vērtības mērs varbūtības teorijā. Matemātiskā gadījuma mainīgā gaidīšana x apzīmēts M(x).

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Mat gaidīšana ir

Mat gaidīšana ir varbūtības teorijā visu iespējamo vērtību vidējais svērtais lielums, ko var iegūt šis nejaušais mainīgais.

Mat gaidīšana ir nejauša lieluma visu iespējamo vērtību reizinājumu summa ar šo vērtību varbūtībām.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Mat gaidīšana ir vidējais ieguvums no konkrēta lēmuma, ar nosacījumu, ka šādu lēmumu var izskatīt lielu skaitļu un liela attāluma teorijas ietvaros.

Mat gaidīšana ir azartspēļu teorijā laimesta summa, ko spekulants var nopelnīt vai zaudēt vidēji par katru likmi. Azartspēļu valodā spekulanti to dažreiz sauc par "priekšrocību". spekulants” (ja tas ir pozitīvs spekulantam) vai “mājas malas” (ja tas ir negatīvs spekulantam).

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Mat gaidīšana ir peļņa uz vienu uzvaru, kas reizināta ar vidējo peļņa, atskaitot zaudējumus, kas reizināti ar vidējo zaudējumu.

Matemātiskā gadījuma lieluma sagaidīšana matemātiskajā teorijā

Viens no svarīgākajiem nejaušā lieluma skaitliskiem raksturlielumiem ir cerības. Ieviesīsim gadījuma lielumu sistēmas jēdzienu. Apsveriet nejaušu mainīgo kopu, kas ir viena un tā paša nejauša eksperimenta rezultāti. Ja ir viena no iespējamām sistēmas vērtībām, tad notikums atbilst noteiktai varbūtībai, kas apmierina Kolmogorova aksiomas. Funkciju, kas definēta jebkurām iespējamām nejaušo mainīgo vērtībām, sauc par kopīgā sadalījuma likumu. Šī funkcija ļauj aprēķināt jebkuru notikumu iespējamību no. Jo īpaši locītavu likumu gadījuma lielumu sadalījums un, kas ņem vērtības no kopas un, tiek dots ar varbūtībām.

Termins "paklājiņš. gaidīšana” ieviesa Pjērs Saimons Marķīzs de Laplass (1795) un cēlies no jēdziena “izmaksas sagaidāmā vērtība”, kas pirmo reizi parādījās 17. gadsimtā azartspēļu teorijā Blēza Paskāla un Kristiana Haigensa darbos. Tomēr pirmo pilnīgu šīs koncepcijas teorētisko izpratni un novērtējumu sniedza Pafnutijs Ļvovičs Čebiševs (19. gadsimta vidus).

Likums nejaušo skaitlisko mainīgo sadalījumi (sadales funkcija un sadalījuma rinda vai varbūtības blīvums) pilnībā apraksta nejauša lieluma uzvedību. Taču vairākās problēmās, lai atbildētu uz uzdoto jautājumu, pietiek zināt dažus pētāmā lieluma skaitliskos raksturlielumus (piemēram, tā vidējo vērtību un iespējamo novirzi no tā). Galvenie nejaušo mainīgo skaitliskā raksturlielumi ir gaidīšana, dispersija, režīms un mediāna.

Diskrēta gadījuma mainīgā matemātikas cerības ir tā iespējamo vērtību un atbilstošo varbūtību produktu summa. Dažreiz mat. gaidas sauc par vidējo svērto, jo tas ir aptuveni vienāds ar nejaušā mainīgā lieluma novēroto vērtību vidējo aritmētisko lielu skaitu eksperimentu. No gaidu paklāja definīcijas izriet, ka tā vērtība nav mazāka par mazāko iespējamo nejaušā lieluma vērtību un ne lielāka par lielāko. Matemātiskā nejaušā mainīgā lieluma prognoze ir nejaušs (konstants) mainīgais.

Matemātikas gaidīšanai ir vienkārša fiziska nozīme: ja masas vienību novieto uz taisnas līnijas, novietojot kādu masu atsevišķos punktos (diskrētam sadalījumam) vai “izsmērējot” to ar noteiktu blīvumu (absolūti nepārtrauktam sadalījumam), tad punkts, kas atbilst paklāja cerībai, būs koordinātu "smaguma centra" taisne.

Gadījuma lieluma vidējā vērtība ir noteikts skaitlis, kas it kā ir tā “reprezentatīvs” un aizvieto to aptuvenos aprēķinos. Kad mēs sakām: "vidējais luktura darbības laiks ir 100 stundas" vai "vidējais trieciena punkts ir nobīdīts attiecībā pret mērķi par 2 m pa labi", mēs ar to norādām noteiktu gadījuma lieluma skaitlisko raksturlielumu, kas raksturo tā lielumu. atrašanās vieta uz skaitliskās ass, t.i. pozīcijas apraksts.

No situācijas raksturlielumiem varbūtības teorijā vissvarīgākā loma ir nejaušā mainīgā lieluma gaidīšanai, ko dažreiz sauc vienkārši par nejauša lieluma vidējo vērtību.

Apsveriet nejaušu mainīgo X, kam ir iespējamās vērtības x1, x2, …, xn ar varbūtībām p1, p2, …, pn. Mums ar kādu skaitli jāraksturo nejaušā lieluma vērtību atrašanās vieta uz x ass ar ņemot vērā ka šīm vērtībām ir dažādas varbūtības. Šim nolūkam ir dabiski izmantot tā saukto vērtību "vidējo svērto". xi, un katra vērtība xi vidējā aprēķināšanas laikā ir jāņem vērā ar “svaru”, kas ir proporcionāls šīs vērtības varbūtībai. Tādējādi mēs aprēķināsim nejaušā lieluma vidējo lielumu X, ko mēs apzīmēsim M|X|:

Šo vidējo svērto sauc par nejaušā mainīgā lieluma cerību. Tādējādi mēs ieviesām vienu no svarīgākajiem varbūtības teorijas jēdzieniem - mat jēdzienu. cerības. Paklājs. Gadījuma lieluma sagaidāmais lielums ir gadījuma lieluma visu iespējamo vērtību un šo vērtību varbūtību reizinājumu summa.

Paklājs. nejaušā mainīgā lieluma gaidīšana X sakarā ar savdabīgu atkarību no nejaušā lieluma novēroto vērtību aritmētiskā vidējā ar lielu skaitu eksperimentu. Šī atkarība ir tāda paša veida kā atkarība starp biežumu un varbūtību, proti: ar lielu skaitu eksperimentu nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējais aritmētiskais tuvojas (konverģē varbūtībā) līdz tā paklājam. gaida. No sakarības starp biežumu un varbūtību var secināt, ka pastāv līdzīga sakarība starp vidējo aritmētisko un matemātisko cerību. Patiešām, apsveriet nejaušu mainīgo X, ko raksturo sadalījumu sērija:

Ļaujiet tai ražot N neatkarīgi eksperimenti, katrā no kuriem vērtība X iegūst noteiktu vērtību. Pieņemsim, ka vērtība x1 parādījās m1 reizes, vērtība x2 parādījās m2 laiki, vispārīga nozīme xi parādījās mi reizes. Aprēķināsim X novēroto vērtību vidējo aritmētisko, kas atšķirībā no gaidu paklājiem M|X| mēs apzīmēsim M*|X|:

Pieaugot eksperimentu skaitam N frekvences pi tuvosies (konverģēs varbūtībā) atbilstošajām varbūtībām. Tāpēc nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējais aritmētiskais M|X| palielinoties eksperimentu skaitam, tas tuvosies (varbūtības ziņā konverģēs) gaidītajam. Iepriekš formulētā attiecība starp vidējo aritmētisko un paklāju. gaidīšana ir vienas no lielo skaitļu likuma formām saturs.

Mēs jau zinām, ka visas lielo skaitļu likuma formas nosaka faktu, ka noteikti vidējie rādītāji ir stabili daudzos eksperimentos. Šeit mēs runājam par vidējā aritmētiskā stabilitāti no vienas un tās pašas vērtības novērojumu sērijas. Ar nelielu eksperimentu skaitu to rezultātu vidējais aritmētiskais ir nejaušs; ar pietiekamu eksperimentu skaita pieaugumu tas kļūst "gandrīz nav nejaušs" un, stabilizējoties, tuvojas nemainīgai vērtībai - mat. gaida.

Vidējo vērtību stabilitātes īpašību lielam skaitam eksperimentu ir viegli pārbaudīt eksperimentāli. Piemēram, nosverot jebkuru ķermeni laboratorijā uz precīziem svariem, svēršanas rezultātā katru reizi iegūstam jaunu vērtību; lai samazinātu novērošanas kļūdu, vairākas reizes nosveram ķermeni un izmantojam iegūto vērtību vidējo aritmētisko. Ir viegli redzēt, ka, turpmāk palielinoties eksperimentu (svērumu) skaitam, vidējais aritmētiskais uz šo pieaugumu reaģē arvien retāk un ar pietiekami lielu eksperimentu skaitu praktiski pārstāj mainīties.

Jāņem vērā, ka gadījuma lieluma pozīcijas svarīgākais raksturlielums ir mat. gaidīšana — nepastāv visiem nejaušajiem mainīgajiem. Ir iespējams izveidot piemērus šādiem nejaušiem mainīgajiem, kuriem mat. nav nekādas cerības, jo atbilstošā summa vai integrālis atšķiras. Tomēr praksē šādi gadījumi nav īpaši ieinteresēti. Parasti nejaušajiem mainīgajiem, ar kuriem mēs nodarbojamies, ir ierobežots iespējamo vērtību diapazons, un, protams, tiem ir arī cerības.

Papildus svarīgākajām nejaušā lieluma pozīcijas pazīmēm - paredzamajai vērtībai - praksē dažreiz tiek izmantotas arī citas pozīcijas pazīmes, jo īpaši nejaušā lieluma režīms un mediāna.

Gadījuma lieluma režīms ir tā visticamākā vērtība. Termins "visticamākā vērtība", stingri runājot, attiecas tikai uz nepārtrauktiem daudzumiem; nepārtrauktam daudzumam režīms ir vērtība, pie kuras varbūtības blīvums ir maksimālais. Attēlos parādīts attiecīgi pārtraukto un nepārtraukto nejaušo mainīgo režīms.

Ja sadalījuma daudzstūrim (sadales līknei) ir vairāk nekā viens maksimums, sadalījums tiek uzskatīts par "polimodālu".

Dažreiz ir sadalījumi, kuru vidū ir nevis maksimums, bet gan minimums. Šādus sadalījumus sauc par "antimodāliem".

Vispārīgā gadījumā nejauša lieluma režīms un gaidas nesakrīt. Īpašā gadījumā, kad sadalījums ir simetrisks un modāls (t.i. ir režīms) un ir paklājs. cerības, tad tas sakrīt ar sadalījuma režīmu un simetrijas centru.

Bieži tiek izmantota vēl viena pozīcijas pazīme - tā sauktā nejaušā mainīgā mediāna. Šo raksturlielumu parasti izmanto tikai nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem, lai gan to var formāli definēt arī pārtrauktam mainīgajam. Ģeometriski mediāna ir tā punkta abscisa, kurā sadales līknes ierobežotais laukums ir sadalīts uz pusēm.

Simetriska modālā sadalījuma gadījumā mediāna sakrīt ar paklāju. gaidas un mode.

Matemātikas cerība ir vidējā vērtība, nejaušais mainīgais - nejauša lieluma varbūtības sadalījuma skaitlisks raksturlielums. Vispārīgākajā veidā nejaušā mainīgā paklājs X(w) ir definēts kā Lēbesga integrālis attiecībā uz varbūtības mēru R sākotnējā varbūtības telpā:

Paklājs. gaidīšanu var arī aprēķināt kā Lēbesga integrāli X pēc varbūtības sadalījuma px daudzumus X:

Dabiskā veidā var definēt gadījuma lieluma jēdzienu ar bezgalīgu gaidu. Tipisks piemērs ir repatriācijas laiki dažos nejaušos pastaigās.

Ar paklājiņa palīdzību. gaidas nosaka daudzi sadalījuma skaitliskie un funkcionālie raksturlielumi (kā gadījuma lieluma atbilstošo funkciju matemātiskā cerība), piemēram, ģenerējošā funkcija, raksturīgā funkcija, jebkuras kārtas momenti, jo īpaši dispersija, kovariācija.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Matemātiskās cerības ir gadījuma mainīgā lieluma vērtību atrašanās vietas īpašība (tā sadalījuma vidējā vērtība). Šajā statusā matemātiskā gaida kalpo kā kāds "tipisks" sadalījuma parametrs, un tā loma ir līdzīga statiskā momenta - masas sadalījuma smaguma centra koordinātas - lomai mehānikā. No citiem atrašanās vietas raksturlielumiem, ar kuru palīdzību sadalījums tiek aprakstīts vispārīgi - mediānas, režīmi, gaida atšķiras ar lielāku vērtību, kāda tai un atbilstošajam izkliedes raksturlielumam - dispersijai - ir varbūtības teorijas robežteorēmās. Ar vislielāko pilnīgumu gaidu paklāju nozīmi atklāj lielo skaitļu likums (Čebiševa nevienlīdzība) un pastiprinātais lielo skaitļu likums.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība

Lai ir kāds nejaušs mainīgais, kam var būt viena no vairākām skaitliskām vērtībām (piemēram, punktu skaits kauliņu ripā var būt 1, 2, 3, 4, 5 vai 6). Bieži praksē šādai vērtībai rodas jautājums: kādu vērtību tas aizņem "vidēji" ar lielu pārbaužu skaitu? Kāda būs mūsu vidējā atdeve (vai zaudējumi) no katra riskantā darījuma?

Pieņemsim, ka ir kaut kāda loterija. Mēs vēlamies saprast, vai ir izdevīgi tajā piedalīties (vai pat piedalīties atkārtoti, regulāri). Pieņemsim, ka uzvar katra ceturtā biļete, balva būs 300 rubļu, bet jebkura biļete - 100 rubļu. Ar bezgalīgu dalību skaitu tas notiek. Trīs ceturtdaļās gadījumu mēs zaudēsim, katri trīs zaudējumi maksās 300 rubļu. Katrā ceturtajā gadījumā mēs laimēsim 200 rubļus. (balva mīnus izmaksas), tas ir, par četrām dalībām mēs zaudējam vidēji 100 rubļus, par vienu - vidēji 25 rubļus. Kopumā mūsu drupas vidējā likme būs 25 rubļi par biļeti.

Mēs metam kauliņu. Ja tā nav krāpšanās (nepārvietojot smaguma centru utt.), tad cik punktu mums būs vidēji vienā reizē? Tā kā katrs variants ir vienlīdz iespējams, mēs ņemam stulbo vidējo aritmētisko un iegūstam 3,5. Tā kā šis ir VIDĒJS, tad nevajag sašutināt, ka neviens konkrēts metiens nedos 3,5 punktus - nu, šim kubam nav seja ar tādu ciparu!

Tagad apkoposim mūsu piemērus:

Apskatīsim attēlu tieši augšā. Kreisajā pusē ir izlases lieluma sadalījuma tabula. X vērtībai var būt viena no n iespējamām vērtībām (norādīta augšējā rindā). Citas vērtības nevar būt. Zem katras iespējamās vērtības tās varbūtība ir parakstīta zemāk. Labajā pusē ir formula, kur M(X) sauc par mat. gaida. Šīs vērtības nozīme ir tāda, ka ar lielu izmēģinājumu skaitu (ar lielu izlasi) vidējā vērtība atbilst tieši šīm prognozēm.

Atgriezīsimies pie tā paša spēlēšanas kuba. Paklājs. sagaidāmais punktu skaits metot ir 3,5 (ja netici, aprēķini pēc formulas). Pieņemsim, ka jūs to iemetāt pāris reizes. Izkrita 4 un 6. Vidēji sanāca 5, tas ir, tālu no 3,5. Atkal iemeta, 3 izkrita, tas ir, vidēji (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Kaut kā tālu no paklājiņa. cerības. Tagad veiciet traku eksperimentu - ripiniet kubu 1000 reizes! Un, ja vidējais nav tieši 3,5, tad tas būs tuvu tam.

Skaitīsim mat. gaidu augstāk aprakstīto loteriju. Tabula izskatīsies šādi:

Tad gaidāmais čeks būs, kā mēs noskaidrojām iepriekš.:

Cita lieta, ka ir arī "uz pirkstiem", bez formulas būtu grūti, ja būtu vairāk variantu. Nu, pieņemsim, ka bija 75% zaudēto biļešu, 20% laimētu biļešu un 5% laimētu biļešu.

Tagad dažas gaidu paklāja īpašības.

Paklājs. gaidīšana ir lineāra. To ir viegli pierādīt:

Pastāvīgo reizinātāju atļauts izņemt no čeka mata zīmes. cerības, tas ir:

Šis ir īpašs gaidīšanas paklāju linearitātes īpašību gadījums.

Vēl viena paklāja linearitātes sekas. cerības:

tas ir mat. nejaušo lielumu summas cerība ir vienāda ar nejaušo mainīgo matemātisko gaidu summu.

Lai X, Y ir neatkarīgi gadījuma lielumi, tad:

To arī ir viegli pierādīt) XY pats par sevi ir nejaušs mainīgais, savukārt sākotnējās vērtības varētu būt n un m vērtības, attiecīgi, tad XY var ņemt nm vērtības. katra no vērtībām tiek aprēķināta, pamatojoties uz faktu, ka neatkarīgu notikumu iespējamības tiek reizinātas. Rezultātā mēs iegūstam šo:

Nepārtraukta gadījuma mainīgā matemātiskā gaidīšana

Nepārtrauktiem gadījuma lielumiem ir tāds raksturlielums kā sadalījuma blīvums (varbūtības blīvums). Faktiski tas raksturo situāciju, ka nejaušs mainīgais no reālo skaitļu kopas dažas vērtības ņem biežāk, dažas - retāk. Piemēram, apsveriet šo diagrammu:

Šeit X- faktiski nejaušs mainīgais, f(x)- sadalījuma blīvums. Spriežot pēc šī grafika, eksperimentu laikā vērtība X bieži vien būs skaitlis, kas tuvs nullei. iespējas pārsniegt 3 vai būt mazākam -3 drīzāk tīri teorētiski.

Ja ir zināms sadalījuma blīvums, tad gaidīšanas paklājs tiek meklēts šādi:

Ļaujiet, piemēram, pastāv vienmērīgs sadalījums:

Atradīsim paklājiņu. cerības:

Tas pilnībā atbilst intuitīvajai izpratnei. Pieņemsim, ja mēs iegūstam daudz nejaušu reālu skaitļu ar vienmērīgu sadalījumu, katrs segments |0; 1| , tad vidējam aritmētiskajam jābūt apmēram 0,5.

Arī šeit ir spēkā gaidīšanas paklāju īpašības - linearitāte utt., kas attiecas uz diskrētiem gadījuma mainīgajiem.

Matemātiskās gaidas saistība ar citiem statistikas rādītājiem

AT statistikas analīzē līdzās cerībām ir savstarpēji atkarīgu rādītāju sistēma, kas atspoguļo parādību viendabīgumu un stabilitāti procesi. Bieži vien variācijas indikatoriem nav neatkarīgas nozīmes, un tos izmanto turpmākai datu analīzei. Izņēmums ir variācijas koeficients, kas raksturo viendabīgumu datus kas ir vērtīgs statistikas raksturīgs.

Mainīguma vai stabilitātes pakāpe procesi statistikas zinātnē var izmērīt, izmantojot vairākus rādītājus.

Vissvarīgākais raksturojošais rādītājs mainīgums gadījuma mainīgais, ir Izkliede, kas ir visciešāk un vistiešāk saistīta ar paklājiņu. gaida. Šis parametrs tiek aktīvi izmantots cita veida statistiskajā analīzē (hipotēžu pārbaude, cēloņu un seku attiecību analīze utt.). Tāpat kā vidējā lineārā novirze, arī dispersija atspoguļo izplatības mēru datus ap vidējo.

Ir lietderīgi pārtulkot zīmju valodu vārdu valodā. Izrādās, ka dispersija ir noviržu vidējais kvadrāts. Tas nozīmē, ka vispirms aprēķina vidējo vērtību, pēc tam ņem starpību starp katru sākotnējo un vidējo vērtību, dala kvadrātā, saskaita un pēc tam dala ar vērtību skaitu šajā populācijā. Atšķirība starp vienu vērtību un vidējo atspoguļo novirzes mēru. Tas ir kvadrātā, lai nodrošinātu, ka visas novirzes kļūst tikai par pozitīviem skaitļiem un lai izvairītos no pozitīvo un negatīvo noviržu savstarpējas atcelšanas, kad tās tiek summētas. Pēc tam, ņemot vērā novirzes kvadrātā, mēs vienkārši aprēķinām vidējo aritmētisko. Vidējās – kvadrātā – novirzes. Novirzes ir kvadrātā, un tiek ņemts vērā vidējais. Atbilde uz burvju vārdu "dispersija" ir tikai trīs vārdi.

Tomēr tīrā veidā, piemēram, vidējais aritmētiskais vai , dispersiju neizmanto. Tas drīzāk ir palīg- un starpposma rādītājs, ko izmanto cita veida statistiskai analīzei. Viņai pat nav normālas mērvienības. Spriežot pēc formulas, tas ir sākotnējās datu vienības kvadrāts.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Izmērīsim gadījuma lielumu N reizes, piemēram, desmit reizes mēram vēja ātrumu un vēlamies atrast vidējo vērtību. Kā vidējā vērtība ir saistīta ar sadalījuma funkciju?

Vai arī mēs metīsim kauliņus lielu skaitu reižu. Punktu skaits, kas izkritīs uz kauliņa katra metiena laikā, ir nejaušs lielums, un tam var būt jebkuras dabiskās vērtības no 1 līdz 6. N tas tiecas uz ļoti konkrētu skaitli - mat. cerības Mx. Šajā gadījumā Mx = 3,5.

Kā radās šī vērtība? Ielaist N izmēģinājumi n1 kad tiek nomests 1 punkts, n2 reizes - 2 punkti un tā tālāk. Pēc tam rezultātu skaits, kurā krita viens punkts:

Līdzīgi arī rezultātiem, kad izkrita 2, 3, 4, 5 un 6 punkti.

Tagad pieņemsim, ka mēs zinām nejaušā lieluma x sadalījumus, tas ir, mēs zinām, ka gadījuma lielums x var iegūt vērtības x1, x2,..., xk ar varbūtībām p1, p2,... , pk.

Gadījuma lieluma x paklāja sagaidāmā vērtība Mx ir:

Matemātikas cerības ne vienmēr ir kāda nejauša mainīgā saprātīgs novērtējums. Tātad, lai novērtētu vidējo algu, saprātīgāk ir izmantot mediānas jēdzienu, tas ir, tādu vērtību, lai to cilvēku skaits, kuri saņem mazāk par mediānu. algu un liels, sērkociņš.

Varbūtība p1, ka gadījuma lielums x ir mazāks par x1/2, un varbūtība p2, ka gadījuma lielums x ir lielāks par x1/2, ir vienāda un vienāda ar 1/2. Mediāna nav unikāli noteikta visiem sadalījumiem.

Standarta vai standarta novirze statistikā sauc novērojumu datu vai kopu novirzes pakāpi no VIDĒJĀS vērtības. Apzīmē ar burtiem s vai s. Neliela standarta novirze norāda, ka dati ir sagrupēti ap vidējo, un liela standarta novirze norāda, ka sākotnējie dati ir tālu no tā. Standarta novirze ir vienāda ar kvadrātsakni no daudzuma, ko sauc par dispersiju. Tā ir sākotnējo datu atšķirību kvadrātā vidējā summa, kas atšķiras no vidējā. Gadījuma lieluma standarta novirze ir dispersijas kvadrātsakne:

Piemērs. Pārbaudes apstākļos, šaujot pa mērķi, aprēķiniet nejaušā lieluma dispersiju un standarta novirzi:

Variācija- atribūta vērtības svārstības, mainīgums populācijas vienībās. Atsevišķas pazīmes skaitliskās vērtības, kas sastopamas pētītajā populācijā, sauc par vērtību variantiem. Vidējās vērtības nepietiekamība pilnīgai populācijas raksturošanai liek vidējās vērtības papildināt ar rādītājiem, kas ļauj novērtēt šo vidējo rādītāju tipiskumu, mērot pētāmās pazīmes svārstības (variācijas). Variācijas koeficientu aprēķina pēc formulas:

Laipnes variācija(R) ir atšķirība starp pazīmes maksimālo un minimālo vērtību pētītajā populācijā. Šis rādītājs sniedz vispārīgāko priekšstatu par pētāmās pazīmes svārstībām, kā tas redzams atšķirība tikai starp variantu robežvērtībām. Atkarība no atribūta galējām vērtībām piešķir variāciju diapazonam nestabilu, nejaušu raksturu.

Vidējā lineārā novirze ir visu analizētās populācijas vērtību absolūto (modulo) noviržu vidējais aritmētiskais no to vidējās vērtības:

Matemātiskās cerības azartspēļu teorijā

Mat gaidīšana ir vidējā naudas summa, ko azartspēļu spekulants var laimēt vai zaudēt, veicot noteiktu likmi. Tas ir ļoti nozīmīgs jēdziens spekulantam, jo ​​tas ir būtiski, lai novērtētu lielāko daļu spēļu situāciju. Mate gaidīšana ir arī labākais rīks pamata kāršu izkārtojumu un spēļu situāciju analīzei.

Pieņemsim, ka jūs spēlējat monētu ar draugu, katru reizi veicot vienādu likmi uz USD 1 neatkarīgi no tā, kas notiek. Astes - jūs uzvarējāt, galvas - jūs zaudējāt. Izredzes, ka tas nāks uz augšu, ir viens pret vienu, un jūs veicat derības no $ 1 līdz $ 1. Tādējādi jūsu cerības uz rūtiņu ir nulle, jo matemātiski runājot, nevar zināt, vai būsi vadībā vai zaudēsi pēc diviem metieniem vai pēc 200.

Jūsu stundas peļņa ir nulle. Stundas izmaksa ir naudas summa, kuru jūs plānojat laimēt stundas laikā. Jūs varat apmest monētu 500 reizes stundas laikā, taču jūs neuzvarēsit vai nezaudēsit tāpēc jūsu izredzes nav ne pozitīvas, ne negatīvas. Ja paskatās, no nopietna spekulanta viedokļa šāda likmju sistēma nav slikta. Bet tā ir tikai laika izšķiešana.

Bet pieņemsim, ka kāds vēlas veikt likmi $2 pret jūsu $1 tajā pašā spēlē. Tad jums uzreiz ir pozitīvas cerības uz 50 centiem no katras likmes. Kāpēc 50 centiem? Vidēji jūs uzvarat vienu likmi un zaudējat otro. Likme uz pirmo un zaudē $1, bet uz otro un laimē $2. Jūs esat izdarījis likmi 1 $ divas reizes un esat priekšā par 1 $. Tātad katra jūsu viena dolāra likme jums deva 50 centiem.

Ja monēta vienā stundā nokritīs 500 reizes, jūsu stundas peļņa būs jau 250 USD, jo. vidēji tu zaudēji vienu dolāru 250 reizes un divas uzvarēja dolāru 250 reizes. $500 mīnus $250 ir vienāds ar $250, kas ir kopējais laimests. Ņemiet vērā, ka paredzamā vērtība, kas ir summa, ko jūs laimējat vidēji vienā likmē, ir 50 centi. Jūs laimējāt 250 $, uzliekot likmi uz vienu dolāru 500 reizes, kas atbilst 50 centiem no jūsu likmes.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Paklājs. cerībām nav nekāda sakara ar īstermiņa rezultātiem. Jūsu pretinieks, kurš nolēma likt pret jums 2 dolārus, varētu jūs pārspēt pirmajos desmit metienos pēc kārtas, bet jūs ar likmju pārsvaru 2 pret 1, ja viss pārējais ir vienāds, veicat 50 centus par katru likmi 1 $. apstākļiem. Nav nozīmes tam, vai tu laimē vai zaudē vienu likmi vai vairākas likmes, bet tikai ar nosacījumu, ka tev ir pietiekami daudz naudas, lai viegli kompensētu izmaksas. Ja turpināsiet likt likmes tādā pašā veidā, tad ilgākā laika periodā jūsu laimests tuvosies paredzamo vērtību summai atsevišķos metienos.

Katru reizi, kad veicat labāko likmi (likmi, kas var būt ienesīga ilgtermiņā), kad izredzes ir jums labvēlīgas, jūs noteikti kaut ko uzvarēsit neatkarīgi no tā, vai jūs to zaudējat vai nē. Un otrādi, ja izdarījāt sliktāku likmi (ilgtermiņā nerentabla likme), kad izredzes nav jums labvēlīgas, jūs kaut ko zaudējat neatkarīgi no tā, vai uzvarat vai zaudējat kombināciju.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Jūs veicat derības uz labāko iznākumu, ja jūsu cerības ir pozitīvas, un tās ir pozitīvas, ja izredzes ir jums labvēlīgas. Veicot derības ar sliktāko iznākumu, jums ir negatīvas cerības, kas notiek, ja izredzes ir pret jums. Nopietni spekulanti der tikai ar labāko iznākumu, ar sliktāko - viņi nomet. Ko nozīmē izredzes jūsu labā? Jūs varat laimēt vairāk, nekā dod faktiskās izredzes. Reālās izredzes uz sitieniem ir 1 pret 1, bet jūs saņemat 2 pret 1 likmju attiecības dēļ. Šajā gadījumā izredzes ir jūsu labā. Jūs noteikti iegūsit vislabāko iznākumu, cerot uz 50 centiem par likmi.

Šeit ir sarežģītāks piemērs. cerības. Draugs pieraksta skaitļus no viena līdz pieci un uzliek likmi $5 pret jūsu $1, ka jūs neizvēlēsities šo numuru. Vai piekrītat šādai derībai? Kādas ir cerības šeit?

Vidēji jūs kļūdīsities četras reizes. Pamatojoties uz to, izredzes pret jums uzminēt skaitli būs 4 pret 1. Izredzes ir tādas, ka jūs zaudēsiet dolāru vienā mēģinājumā. Tomēr jūs uzvarat 5 pret 1, ar iespēju zaudēt 4 pret 1. Tāpēc izredzes ir jūsu labā, varat pieņemt likmi un cerēt uz labāko iznākumu. Ja jūs veicat šo likmi piecas reizes, jūs vidēji zaudēsiet četras reizes $1 un laimēsiet $5 vienu reizi. Pamatojoties uz to, par visiem pieciem mēģinājumiem jūs nopelnīsiet $ 1 ar pozitīvu matemātisku cerību 20 centi par likmi.

Spekulants, kurš laimēs vairāk, nekā liek likmes, kā tas ir iepriekš minētajā piemērā, uztver izredzes. Un otrādi, viņš sagrauj izredzes, ja cer uzvarēt mazāk, nekā liek. Derību spekulantam var būt pozitīvas vai negatīvas cerības atkarībā no tā, vai viņš noķer vai sabojā izredzes.

Ja jūs uzliekat likmi 50 USD, lai laimētu 10 USD ar iespēju laimēt 4 pret 1, jūs saņemsit negatīvas cerības USD 2, jo vidēji jūs laimēsiet četras reizes $10 un zaudēsiet $50 vienu reizi, kas liecina, ka zaudējums uz vienu likmi būs $10. Bet, ja jūs uzliekat likmi 30 USD, lai laimētu 10 USD ar tādu pašu izredzes uzvarēt 4 pret 1, tad šajā gadījumā jums ir pozitīvas cerības uz USD 2, jo jūs atkal laimējat četras reizes $10 un zaudējat $30 vienu reizi, kas ir peļņa par 10 USD. Šie piemēri parāda, ka pirmā likme ir slikta, bet otrā ir laba.

Paklājs. cerības ir jebkuras spēles situācijas centrā. Kad bukmeikeri mudina futbola līdzjutējus likt likmes uz 11 USD, lai laimētu 10 USD, viņiem ir pozitīvas cerības uz 50 centiem par katriem 10 USD. Ja kazino izmaksā pat naudu no Craps caurlaides līnijas, tad mājas pozitīvās cerības ir aptuveni 1,40 USD par katriem 100 USD, jo šī spēle ir strukturēta tā, ka visi, kas veic likmes uz šo līniju, vidēji zaudē 50,7% un uzvar 49,3% gadījumu. Neapšaubāmi, tieši šīs šķietami minimālās pozitīvās cerības nes milzīgu peļņu kazino īpašniekiem visā pasaulē. Kā atzīmēja Vegas World kazino īpašnieks Bobs Stupaks: “Tūkstošdaļa procentiem negatīva varbūtība pietiekami lielā attālumā novedīs pie pasaules bagātākā cilvēka bankrotēšanas.

Matemātiskās cerības, spēlējot pokeru

Pokera spēle ir ilustratīvākais un ilustratīvākais piemērs gaidīšanas paklāja teorijas un īpašību izmantošanas ziņā.

Paklājs. gaidīšana (angļu valodā Expected Value) pokerā - vidējais ieguvums no konkrēta lēmuma, ar nosacījumu, ka šādu lēmumu var izskatīt lielu skaitļu un liela attāluma teorijas ietvaros. Veiksmīgs pokers ir vienmēr pieņemt gājienus ar pozitīvām matemātiskām cerībām.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Matemātiskā nozīme. cerības spēlējot pokeru slēpjas apstāklī, ka mēs bieži sastopamies ar nejaušiem mainīgajiem, pieņemot lēmumu (mēs nezinām, kuras kārtis ir pretiniekam, kuras kārtis nāks nākamajos raundos tirdzniecība). Katrs no risinājumiem ir jāaplūko no lielo skaitļu teorijas viedokļa, kas saka, ka ar pietiekami lielu izlasi nejaušā lieluma vidējā vērtība būs tā vidējā vērtība.

No īpašajām formulām gaidu paklājiņu aprēķināšanai pokerā ir vispiemērotākās šādas:

Spēlējot pokera paklājiņu. cerības var aprēķināt gan likmēm, gan zvaniem. Pirmajā gadījumā jāņem vērā fold equity, otrajā gadījumā paša pot izredzes. Vērtējot paklājiņu. gaidot to vai citu gājienu, jāatceras, ka fold vienmēr gaida nulle. Tādējādi kāršu izmešana vienmēr būs izdevīgāks lēmums nekā jebkurš negatīvs solis.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Cerības norāda, ko jūs varat sagaidīt (vai zaudēt) par katru uzņemto risku. Kazino pelna naudu jo čeka gaidas no visām spēlēm, kas tajās tiek piekoptas, ir par labu kazino. Pie pietiekami garas spēļu sērijas var sagaidīt, ka klients zaudēs savu naudu jo "varbūtība" ir par labu kazino. Tomēr profesionāli kazino spekulanti ierobežo savas spēles ar īsu laika periodu, tādējādi palielinot izredzes sev par labu. Tas pats attiecas uz investīcijām. Ja jūsu cerības ir pozitīvas, jūs varat nopelnīt vairāk naudas, veicot daudzus darījumus īsā laika periodā. periodā laiks. Gaidāmā vērtība ir jūsu peļņas procents uz vienu laimestu, kas reizināts ar jūsu vidējo peļņu, mīnus jūsu zaudējuma varbūtība, kas reizināta ar jūsu vidējiem zaudējumiem.

Pokeru var aplūkot arī pēc mata. Var pieņemt, ka kāds gājiens ir izdevīgs, taču dažos gadījumos tas var nebūt labākais, jo cits gājiens ir izdevīgāks. Pieņemsim, ka piecu kāršu pokerā jūs sasniedzāt pilnu māju. Jūsu pretinieks veic likmes. Jūs zināt, ka, ja jūs paaugstināsit, viņš piezvanīs. Tāpēc paaugstināšana izskatās kā labākā taktika. Bet, ja jūs paaugstināsiet likmi, atlikušie divi spekulanti noteikti atmetīs likmi. Bet, ja veiksit likmi, jūs būsiet pilnīgi pārliecināts, ka pārējie divi spekulanti pēc jums darīs to pašu. Palielinot likmi, jūs saņemat vienu vienību, bet vienkārši piezvanot - divas. Tāpēc zvanīšana sniedz augstāku pozitīvu paredzamo vērtību un ir labākā taktika.

Paklājs. gaidīšana var arī dot priekšstatu par to, kura pokera taktika ir mazāk izdevīga un kura ir izdevīgāka. Piemēram, ja jūs spēlējat noteiktu izspēli un domājat, ka jūsu vidējais zaudējums ir 75 centi, ieskaitot antes, tad jums vajadzētu izspēlēt šo izspēli, jo tas ir labāk nekā locīšana, ja ante ir 1 USD.

Vēl viens svarīgs iemesls, lai izprastu paklāja būtību. sagaidāms, ka tas sniegs jums sirdsmieru neatkarīgi no tā, vai uzvarējāt likmi vai nē: ja izdarījāt labu likmi vai atlaidāt laiku, jūs zināt, ka esat nopelnījis vai ietaupījis noteiktu naudas summu, ko vājāks spekulants varētu nesaglabāt. Ir daudz grūtāk atmest, ja esat neapmierināts, ka jūsu pretiniekam ir labāka kombinācija izlozē. Tas viss, ko ietaupīsit, nespēlējot, nevis derības, tiek pievienots jūsu laimestam par nakti vai mēnesī.

Vienkārši atcerieties, ka, ja jūs nomainīsiet rokas, jūsu pretinieks jums piezvanīs, un, kā jūs redzēsit rakstā Pokera pamatteorēma, šī ir tikai viena no jūsu priekšrocībām. Jums vajadzētu priecāties, kad tas notiek. Jūs pat varat iemācīties izbaudīt zaudēto roku, jo zināt, ka citi spekulanti jūsu vietā zaudētu daudz vairāk.

Kā minēts sākumā monētu spēles piemērā, stundas peļņas koeficients ir saistīts ar matemātikas cerībām, un šis jēdziens ir īpaši svarīgs profesionāliem spekulantiem. Kad jūs gatavojaties spēlēt pokeru, jums ir garīgi jānovērtē, cik daudz jūs varat laimēt spēles stundā. Vairumā gadījumu jums būs jāpaļaujas uz savu intuīciju un pieredzi, taču varat izmantot arī dažus matemātiskus aprēķinus. Piemēram, ja jūs spēlējat draw lowball un redzat, ka trīs spēlētāji liek 10 USD un pēc tam izvelk divas kārtis, kas ir ļoti slikta taktika, jūs varat aprēķināt pats, ka katru reizi, kad viņi liek 10 USD, viņi zaudē apmēram 2 USD. Katrs no viņiem to dara astoņas reizes stundā, kas nozīmē, ka visi trīs zaudē aptuveni 48 USD stundā. Jūs esat viens no atlikušajiem četriem spekulantiem, kas ir aptuveni vienādi, tāpēc šiem četriem spekulantiem (un arī jums starp viņiem) ir jāsadala 48 $, un katrs gūs peļņu 12 $ stundā. Jūsu stundas likme šajā gadījumā ir vienkārši jūsu daļa no naudas summas, ko stundas laikā zaudējuši trīs sliktie spekulanti.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Ilgākā laika periodā spekulanta kopējā peļņa ir viņa matemātisko gaidu summa atsevišķos sadalījumos. Jo vairāk jūs spēlējat ar pozitīvām cerībām, jo ​​vairāk jūs uzvarat, un otrādi, jo vairāk roku jūs spēlējat ar negatīvām cerībām, jo ​​vairāk jūs zaudējat. Rezultātā jums vajadzētu piešķirt prioritāti spēlei, kas var palielināt jūsu pozitīvās cerības vai noliegt jūsu negatīvās cerības, lai jūs varētu maksimāli palielināt stundas peļņu.

Pozitīvas matemātiskās cerības spēles stratēģijā

Ja jūs zināt, kā skaitīt kārtis, jums var būt priekšrocības salīdzinājumā ar kazino, ja viņi to nepamana un jūs izsitīs. Kazino mīl piedzērušos spekulantus un ienīst kāršu skaitītājus. Priekšrocība ļaus jums uzvarēt vairāk reižu, nekā jūs zaudējat laika gaitā. Laba naudas pārvaldība, izmantojot čeka aprēķinus, var palīdzēt jums iegūt vairāk no jūsu priekšrocības un samazināt zaudējumus. Bez priekšrocībām jūs labāk atdodat naudu labdarībai. Spēlē biržā priekšrocību dod spēles sistēma, kas rada lielāku peļņu nekā zaudējumus, starpība cenas un komisijas. neviens kapitāla vadība neglābs sliktu spēļu sistēmu.

Pozitīvu gaidu nosaka vērtība, kas ir lielāka par nulli. Jo lielāks šis skaitlis, jo spēcīgāka ir statistika. Ja vērtība ir mazāka par nulli, tad cerības arī būs negatīvas. Jo lielāks ir negatīvās vērtības modulis, jo sliktāka ir situācija. Ja rezultāts ir nulle, tad cerības ir līdzsvarotas. Jūs varat uzvarēt tikai tad, ja jums ir pozitīvas matemātiskas cerības, saprātīga spēles sistēma. Spēlēšana uz intuīciju noved pie katastrofas.

Matemātiskās cerības un

Matemātikas gaidas ir diezgan plaši pieprasīts un populārs statistikas rādītājs biržas tirdzniecības ieviešanā finanšu tirgos. tirgos. Pirmkārt, šis parametrs tiek izmantots, lai analizētu panākumus tirdzniecība. Nav grūti uzminēt, jo lielāka ir šī vērtība, jo vairāk iemeslu uzskatīt, ka pētāmā tirdzniecība ir veiksmīga. Protams, analīze strādāt tirgotāju nevar veikt tikai ar šī parametra palīdzību. Tomēr aprēķinātā vērtība kopā ar citām kvalitātes novērtēšanas metodēm strādāt, var ievērojami uzlabot analīzes precizitāti.

Tirdzniecības kontu uzraudzības pakalpojumos bieži tiek aprēķināts paklājiņš, kas ļauj ātri novērtēt paveikto darbu pie depozīta. Kā izņēmumus mēs varam minēt stratēģijas, kas izmanto zaudēto darījumu “pārsniegšanu”. Tirgotājs veiksme viņu var pavadīt kādu laiku, un tāpēc viņa darbā var nebūt nekādu zaudējumu. Šajā gadījumā nevarēs orientēties tikai pēc cerībām, jo ​​netiks ņemti vērā darbā izmantotie riski.

Tirdzniecībā uz tirgus mat gaidīšana visbiežāk tiek izmantota, prognozējot tirdzniecības stratēģijas ienesīgumu vai prognozējot ienākumus tirgotājs pamatojoties uz viņa iepriekšējo statistiku solīšana.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Saistībā ar naudas pārvaldību ir ļoti svarīgi saprast, ka, veicot darījumus ar negatīvām cerībām, shēmas nav vadība naudu, kas noteikti var nest lielu peļņu. Ja turpināsiet spēlēt biržašajos apstākļos neatkarīgi no metodes vadība naudu, jūs zaudēsiet visu savu kontu neatkarīgi no tā, cik liels tas bija sākumā.

Šī aksioma attiecas ne tikai uz negatīvu gaidu spēlēm vai darījumiem, bet arī uz spēlēm ar pāra koeficientu. Tāpēc vienīgais gadījums, kad jums ir iespēja gūt labumu ilgtermiņā, ir slēdzot darījumus ar pozitīvām matemātiskām cerībām.

Atšķirība starp negatīvajām un pozitīvajām cerībām ir atšķirība starp dzīvību un nāvi. Nav svarīgi, cik pozitīvas vai negatīvas ir cerības; svarīgi ir tas, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs. Tāpēc pirms apsaimniekošanas jautājumu izskatīšanas kapitāls jums ir jāatrod spēle ar pozitīvām cerībām.

Ja jums nav šīs spēles, tad nekāda naudas pārvaldība pasaulē jūs neglābs. No otras puses, ja jums ir pozitīvas cerības, tad ar pareizu naudas pārvaldību ir iespējams to pārvērst par eksponenciālas izaugsmes funkciju. Nav svarīgi, cik mazas ir pozitīvas cerības! Citiem vārdiem sakot, nav nozīmes tam, cik izdevīga ir tirdzniecības sistēma, kuras pamatā ir viens līgums. Ja jums ir sistēma, kas vienā darījumā laimē 10 USD par līgumu (pēc komisijām un novirzes), var izmantot pārvaldības metodes. kapitāls tādā veidā, lai padarītu to izdevīgāku nekā sistēma, kas uzrāda vidējo peļņu 1000 USD par darījumu (pēc maksām un novirzes).

Svarīgi ir nevis sistēmas rentabilitāte, bet gan tas, cik droši var teikt, ka sistēma nākotnē rādīs vismaz minimālu peļņu. Tāpēc vissvarīgākais sagatavošanās darbs, ko var veikt, ir pārliecināties, ka sistēma nākotnē uzrāda pozitīvu sagaidāmo vērtību.

Lai nākotnē būtu pozitīva sagaidāmā vērtība, ir ļoti svarīgi neierobežot savas sistēmas brīvības pakāpes. Tas tiek panākts ne tikai likvidējot vai samazinot optimizējamo parametru skaitu, bet arī samazinot pēc iespējas vairāk sistēmas noteikumu. Katrs jūsu pievienotais parametrs, katrs noteikums, ko veicat, katra niecīga sistēma, ko veicat, samazina brīvības pakāpju skaitu. Ideālā gadījumā jūs vēlaties izveidot diezgan primitīvu un vienkāršu sistēmu, kas pastāvīgi nesīs nelielu peļņu gandrīz jebkurā tirgū. Atkal, ir svarīgi, lai jūs saprastu, ka nav nozīmes tam, cik ienesīga ir sistēma, ja vien tā ir izdevīga. ka jūs nopelnāt tirdzniecībā, tiks nopelnīts ar efektīvu naudas pārvaldību.

Matemātiskā cerība (iedzīvotāju vidējais rādītājs) ir

Tirdzniecības sistēma ir vienkārši rīks, kas sniedz jums pozitīvas matemātiskas cerības, lai varētu izmantot naudas pārvaldību. Sistēmas, kas darbojas (uzrāda vismaz minimālu peļņu) tikai vienā vai dažos tirgos vai kurām ir atšķirīgi noteikumi vai parametri dažādiem tirgiem, visticamāk, nedarbosies reāllaikā ilgi. Problēma ar lielāko daļu tehnisko tirgotāju ir tā, ka viņi tērē pārāk daudz laika un pūļu, lai optimizētu dažādus tirdzniecības sistēmas noteikumus un parametrus. Tas dod pilnīgi pretējus rezultātus. Tā vietā, lai tērētu enerģiju un datora laiku tirdzniecības sistēmas peļņas palielināšanai, virziet savu enerģiju uz minimālās peļņas iegūšanas uzticamības līmeņa paaugstināšanu.

To zinot kapitāla vadība- šī ir tikai skaitļu spēle, kas prasa izmantot pozitīvas cerības, tirgotājs var beigt meklēt "svēto grālu" tirdzniecībai biržā. Tā vietā viņš var sākt pārbaudīt savu tirdzniecības metodi, noskaidrot, cik šī metode ir loģiska, vai tā dod pozitīvas cerības. Pareizas naudas pārvaldības metodes, kas tiek piemērotas jebkurai, pat ļoti viduvējai tirdzniecības metodei, paveiks pārējo darbu.

Lai jebkurš tirgotājs gūtu panākumus savā darbā, viņam jāatrisina trīs vissvarīgākie uzdevumi: Nodrošināt, ka veiksmīgo darījumu skaits pārsniedz neizbēgamās kļūdas un aprēķinus; Iestatiet savu tirdzniecības sistēmu tā, lai iespēja nopelnīt būtu pēc iespējas biežāk; Sasniedziet stabilu pozitīvu savu darbību rezultātu.

Un šeit, mums, strādājošiem tirgotājiem, mats var būt labs palīgs. cerības. Šis termins varbūtības teorijā ir viens no galvenajiem. Izmantojot to, jūs varat sniegt kādu nejaušas vērtības vidējo novērtējumu. Gadījuma lieluma matemātikas gaidas ir līdzīgas smaguma centram, ja visas iespējamās varbūtības iedomājamies kā punktus ar dažādu masu.

Saistībā ar tirdzniecības stratēģiju, lai novērtētu tās efektivitāti, visbiežāk tiek izmantota peļņas (vai zaudējumu) cerība. Šis parametrs tiek definēts kā norādīto peļņas un zaudējumu līmeņu produktu un to rašanās varbūtības summa. Piemēram, izstrādātā tirdzniecības stratēģija paredz, ka 37% no visām operācijām nesīs peļņu, bet pārējās - 63% - būs nerentablas. Tajā pašā laikā vidējais ienākumiem no veiksmīga darījuma būs 7 dolāri, un vidējie zaudējumi būs vienādi ar 1,4 dolāriem. Aprēķināsim paklājiņu. cerības uz tirdzniecību šādā sistēmā:

Ko šis skaitlis nozīmē? Tajā teikts, ka, ievērojot šīs sistēmas noteikumus, vidēji no katra noslēgtā darījuma saņemsim 1,708 dolārus. Tā kā iegūtais efektivitātes rādītājs ir lielāks par nulli, šādu sistēmu var izmantot reālam darbam. Ja paklāja aprēķina rezultātā cerības izrādās negatīvas, tad tas jau norāda uz vidējiem zaudējumiem un tas novedīs pie izpostīšanas.

Peļņas apjomu vienā darījumā var izteikt arī kā relatīvu vērtību % formā. Piemēram:

Ienākumu procentuālā daļa uz 1 darījumu - 5%;

Veiksmīgu tirdzniecības operāciju procentuālais daudzums - 62%;

Zaudējuma procents uz 1 darījumu - 3%;

Neveiksmīgo darījumu īpatsvars - 38%;

Šajā gadījumā mat. cerības būs:

Tas ir, vidējais darījums ienesīs 1,96%.

Ir iespējams izstrādāt sistēmu, kas, neskatoties uz zaudēto darījumu pārsvaru, dos pozitīvu rezultātu, jo tās MO>0.

Tomēr ar gaidīšanu vien nepietiek. Ir grūti pelnīt naudu, ja sistēma dod ļoti maz tirdzniecības signālu. Šajā gadījumā tie būs pielīdzināmi bankas procentiem. Lai katra operācija vidēji ienes tikai 0,5 dolārus, bet ja sistēma pieņem 1000 darījumus gadā? Tā būs ļoti nopietna summa salīdzinoši īsā laikā. No tā loģiski izriet, ka vēl vienu labas tirdzniecības sistēmas pazīmi var uzskatīt par īsu turēšanas periodu.

Avoti un saites

dic.academic.ru - akadēmiskā tiešsaistes vārdnīca

mathematics.ru - izglītības vietne par matemātiku

nsu.ru - Novosibirskas Valsts universitātes izglītības vietne

webmath.ru - izglītības portāls studentiem, pretendentiem un skolēniem.

exponenta.ru izglītības matemātikas vietne

ru.tradimo.com - bezmaksas tiešsaistes tirdzniecības skola

crypto.hut2.ru - daudznozaru informācijas resurss

poker-wiki.ru - bezmaksas pokera enciklopēdija

sernam.ru - Zinātniskā bibliotēka ar atlasītām dabaszinātņu publikācijām

reshim.su - vietne

unfx.ru — Forex UNFX: apmācība, tirdzniecības signāli, uzticības pārvaldība

- - matemātiskā cerība Viens no nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem, ko bieži sauc par tā teorētisko vidējo. Diskrētam gadījuma lielumam X matemātiskais ...... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

PAREDZAMĀ VĒRTĪBA- (paredzamā vērtība) Ekonomiskā mainīgā lieluma sadalījuma vidējā vērtība, ko tā var iegūt. Ja pt ir preces cena laikā t, tās matemātisko cerību apzīmē ar Ept. Lai norādītu laiku, līdz kuram ...... Ekonomikas vārdnīca

Paredzamā vērtība- nejauša lieluma vidējā vērtība. Matemātiskā cerība ir deterministisks lielums. Gadījuma lieluma realizācijas vidējais aritmētiskais ir matemātiskās cerības novērtējums. Vidēji…… Oficiālā terminoloģija ir nejauša lieluma (vidējā vērtība) gadījuma lieluma skaitliskais raksturlielums. Ja gadījuma lielums, kas dots varbūtības telpā (sk. Varbūtības teoriju), tad tā M. o. MX (vai EX) ir definēts kā Lēbesga integrālis: kur... Fiziskā enciklopēdija

PAREDZAMĀ VĒRTĪBA- nejaušs lielums ir tā skaitliskais raksturlielums. Ja nejaušam lielumam X ir sadalījuma funkcija F(x), tad tā M. o. būs: . Ja X sadalījums ir diskrēts, tad М.о.: , kur x1, x2, ... ir diskrētā gadījuma lieluma X iespējamās vērtības; p1... Ģeoloģiskā enciklopēdija

PAREDZAMĀ VĒRTĪBA- Angļu. paredzamā vērtība; vāciski Erwartung matemātika. Gadījuma lieluma stohastiskais vidējais vai dispersijas centrs. Antinazi. Socioloģijas enciklopēdija, 2009... Socioloģijas enciklopēdija

Paredzamā vērtība- Skatiet arī: Nosacītā gaidīšana Matemātiskā gaida ir nejauša lieluma vidējā vērtība, gadījuma lieluma varbūtības sadalījums, kas tiek aplūkots varbūtību teorijā. Angļu literatūrā un matemātikā ... ... Wikipedia

Paredzamā vērtība- 1.14. Matemātiskā gaida E (X), kur diskrēta gadījuma lieluma xi vērtības; p = P (X = xi); f(x) ir nepārtraukta gadījuma lieluma blīvums * Ja šī izteiksme pastāv absolūtās konverģences nozīmē Avots ... Normatīvās un tehniskās dokumentācijas terminu vārdnīca-uzziņu grāmata

Grāmatas

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. labi

- zēnu skaits starp 10 jaundzimušajiem.

Pilnīgi skaidrs, ka šis skaitlis iepriekš nav zināms, un nākamajos desmit piedzims bērni:

Vai zēni - viens un vienīgais no uzskaitītajām iespējām.

Un, lai uzturētu formu, neliela fiziskā audzināšana:

- tāllēkšanas distance (dažās vienībās).

Pat sporta meistars to nespēj paredzēt :)

Tomēr kādas ir jūsu hipotēzes?

2) Nepārtraukts gadījuma mainīgais - ņem visi skaitliskās vērtības no kāda ierobežota vai bezgalīga diapazona.

Piezīme : mācību literatūrā populāri ir saīsinājumi DSV un NSV

Vispirms analizēsim diskrētu gadījuma mainīgo, tad - nepārtraukts.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums

-Šo atbilstība starp iespējamām šī daudzuma vērtībām un to varbūtībām. Visbiežāk likums ir rakstīts tabulā:

Termins ir diezgan izplatīts rinda izplatīšana, bet dažās situācijās tas izklausās neviennozīmīgi, un tāpēc es pieturēšos pie "likuma".

Un tagad ļoti svarīgs punkts: kopš nejaušā mainīgā lieluma obligāti pieņems viena no vērtībām, tad veidojas atbilstošie notikumi pilna grupa un to rašanās varbūtību summa ir vienāda ar vienu:

vai, ja rakstīts salocīts:

Tā, piemēram, likumam par punktu varbūtību sadalījumu uz kauliņa ir šāda forma:

Bez komentāriem.

Jums var rasties iespaids, ka diskrēts gadījuma mainīgais var iegūt tikai "labas" veselas vērtības. Kliedēsim ilūziju – tās var būt jebkas:

1. piemērs

Dažām spēlēm ir šāds izmaksu sadales likums:

…laikam tu jau sen sapņoji par šādiem uzdevumiem :) Atklāšu noslēpumu - es arī. Īpaši pēc darba pabeigšanas lauka teorija.

Lēmums: tā kā nejaušam mainīgajam var būt tikai viena no trim vērtībām, veidojas attiecīgie notikumi pilna grupa, kas nozīmē, ka to varbūtību summa ir vienāda ar vienu:

Mēs atklājam "partizānu":

– tātad varbūtība laimēt nosacītās vienības ir 0,4.

Kontrole: kas jums jāpārliecinās.

Atbilde:

Tas nav nekas neparasts, kad sadales likums ir jāsastāda neatkarīgi. Šim lietojumam klasiskā varbūtības definīcija, reizināšanas / saskaitīšanas teorēmas notikumu varbūtībām un citi čipsi tervera:

2. piemērs

Kastītē ir 50 loterijas biļetes, no kurām 12 laimē, un 2 no tām laimē 1000 rubļus, bet pārējās - 100 rubļus. Sastādiet sadales likumu nejaušam mainīgajam - laimesta summai, ja no kastes nejauši tiek izvilkta viena biļete.

Lēmums: kā jūs pamanījāt, ir ierasts ievietot nejauša lieluma vērtības augoša secība. Tāpēc mēs sākam ar mazākajiem laimestiem, proti, rubļiem.

Kopumā ir 50 - 12 = 38 šādas biļetes, un saskaņā ar klasiskā definīcija:
ir iespējamība, ka nejauši izlozēta biļete neuzvarēs.

Pārējie gadījumi ir vienkārši. Rubļu laimēšanas varbūtība ir:

Pārbauda: - un šis ir īpaši patīkams šādu uzdevumu brīdis!

Atbilde: nepieciešamais izmaksu sadales likums:

Neatkarīgam lēmumam šāds uzdevums:

3. piemērs

Varbūtība, ka šāvējs trāpīs mērķī, ir . Izveidojiet sadalījuma likumu nejaušam mainīgajam - sitienu skaitam pēc 2 kadriem.

... Es zināju, ka tev viņa pietrūkst :) Mēs atceramies reizināšanas un saskaitīšanas teorēmas. Risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Sadales likums pilnībā apraksta nejaušu mainīgo lielumu, taču praksē ir lietderīgi (un dažreiz arī lietderīgāk) zināt tikai daļu no tā. skaitliskās īpašības .

Diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība

Vienkāršā izteiksmē šis vidējā paredzamā vērtība ar atkārtotu pārbaudi. Ļaujiet nejaušam mainīgajam ņemt vērtības ar varbūtībām attiecīgi. Tad šī nejaušā mainīgā matemātiskā cerība ir vienāda ar darbu summa visas tā vērtības ar atbilstošām varbūtībām:

vai salocītā veidā:

Aprēķināsim, piemēram, nejaušā lieluma matemātisko cerību - uz kauliņa nomesto punktu skaitu:

Tagad atcerēsimies mūsu hipotētisko spēli:

Rodas jautājums: vai vispār ir izdevīgi spēlēt šo spēli? ... kam ir iespaidi? Tātad jūs nevarat teikt "no rokas"! Bet uz šo jautājumu var viegli atbildēt, aprēķinot matemātisko cerību, būtībā - vidējais svērtais laimesta iespējamība:

Tādējādi šīs spēles matemātiskās cerības zaudēšana.

Neticiet iespaidiem - uzticieties skaitļiem!

Jā, šeit var uzvarēt 10 un pat 20-30 reizes pēc kārtas, bet ilgtermiņā mēs neizbēgami tiksim izpostīti. Un es tev neieteiktu tādas spēles spēlēt :) Nu varbūt tikai prieka pēc.

No visa iepriekš minētā izriet, ka matemātiskā cerība NAV NEJAUŠA vērtība.

Radošs uzdevums patstāvīgam pētījumam:

4. piemērs

X kungs spēlē Eiropas ruleti pēc šādas sistēmas: viņš pastāvīgi liek 100 rubļus uz sarkano. Sastādiet gadījuma lieluma sadalījuma likumu - tā atlīdzību. Aprēķiniet laimesta matemātisko cerību un noapaļojiet to līdz kapeikām. Cik daudz vidēji vai spēlētājs zaudē par katru simts likmi?

Atsauce : Eiropas rulete satur 18 sarkanus, 18 melnus un 1 zaļu sektoru ("nulle"). “sarkanā” izkrišanas gadījumā spēlētājam tiek izmaksāta dubultā likme, pretējā gadījumā tā tiek novirzīta kazino ienākumiem

Ir daudzas citas ruletes sistēmas, kurām varat izveidot savas varbūtības tabulas. Bet tas ir tas gadījums, kad mums nav vajadzīgi nekādi sadales likumi un tabulas, jo noteikti ir noteikts, ka spēlētāja matemātiskās cerības būs tieši tādas pašas. Tikai izmaiņas no sistēmas uz sistēmu

Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir visu tā iespējamo vērtību un to varbūtību produktu summa.

Ja gadījuma lielums var ņemt tikai to varbūtības, kuru varbūtības ir attiecīgi vienādas, tad nejaušā lieluma matemātisko cerību nosaka vienādība

Ja diskrēts gadījuma mainīgais iegūst saskaitāmu iespējamo vērtību kopu, tad

Turklāt matemātiskās cerības pastāv, ja rindas vienādības labajā pusē pilnībā saplūst.

komentēt. No definīcijas izriet, ka diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir nejaušs (konstants) mainīgais.

Matemātiskās cerības definīcija vispārējā gadījumā

Definēsim tāda nejauša lieluma matemātisko cerību, kura sadalījums ne vienmēr ir diskrēts. Sāksim ar nenegatīvu gadījuma mainīgo gadījumu. Ideja būs ar diskrēto palīdzību aproksimēt tādus gadījuma lielumus, kuriem jau ir noteikta matemātiskā gaida, un noteikt matemātisko gaidu vienādu ar to tuvināto diskrēto gadījuma lielumu matemātisko gaidu robežu. Starp citu, šī ir ļoti noderīga vispārīga ideja, kas sastāv no tā, ka vienkāršiem objektiem vispirms tiek noteikts kāds raksturlielums, bet pēc tam sarežģītākiem objektiem to nosaka, tuvinot tos ar vienkāršākiem.

Lemma 1. Lai ir patvaļīgs nenegatīvs gadījuma mainīgais. Tad ir diskrēto nejaušo mainīgo secība, piemēram,

Pierādījums. Sadalīsim pusasi vienādos garuma segmentos un definēsim

Tad rekvizīti 1 un 2 viegli izriet no nejaušā mainīgā lieluma definīcijas, un

Lemma 2. Ļaujiet būt nenegatīvam gadījuma lielumam un un divas diskrētu gadījuma lielumu secības ar īpašībām 1-3 no lemmas 1. Tad

Pierādījums. Ņemiet vērā, ka mēs pieļaujam nenegatīvus gadījuma mainīgos

Pēc 3. īpašības ir viegli redzēt, ka pastāv pozitīvo skaitļu virkne, kas

No tā izriet, ka

Izmantojot matemātisko gaidu īpašības diskrētiem gadījuma mainīgajiem, iegūstam

Pārejot līdz robežai, iegūstot 2. Lemmas apgalvojumu.

Definīcija 1. Ļaut būt nenegatīvam gadījuma mainīgajam, kas ir diskrētu gadījuma lielumu secība ar īpašībām 1-3 no lemmas 1. Matemātiskā gadījuma mainīgā sagaidāmais ir skaitlis

Lemma 2 garantē, ka tā nav atkarīga no aproksimējošās secības izvēles.

Ļaujiet tagad būt patvaļīgs gadījuma mainīgais. Definēsim

No definīcijas un tas viegli izriet no tā

2. Definīcija. Patvaļīga gadījuma lieluma matemātiskā sagaidāmā vērtība ir skaitlis

Ja vismaz viens no skaitļiem šīs vienādības labajā pusē ir galīgs.

Gaidāmās īpašības

Īpašība 1. Konstantas vērtības matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar pašu konstanti:

Pierādījums. Mēs uzskatīsim konstantu par diskrētu gadījuma lielumu, kuram ir viena iespējamā vērtība un kas to pieņem ar varbūtību, tāpēc

1. piezīme. Konstantas vērtības reizinājumu ar diskrētu gadījuma lielumu definējam kā diskrētu gadījuma lielumu, kura iespējamās vērtības ir vienādas ar konstantes reizinājumu pēc iespējamām vērtībām; iespējamo vērtību varbūtības ir vienādas ar atbilstošo iespējamo vērtību varbūtību. Piemēram, ja iespējamās vērtības varbūtība ir vienāda, tad varbūtība, ka vērtība iegūs vērtību, arī ir vienāda ar

Īpašums 2. No gaidīšanas zīmes var izņemt nemainīgu faktoru:

Pierādījums. Ļaujiet nejaušo lielumu dot ar varbūtības sadalījuma likumu:

Ņemot vērā 1. piezīmi, mēs rakstām nejaušā lieluma sadalījuma likumu

2. piezīme. Pirms pāriet pie nākamās īpašības, mēs norādām, ka divus gadījuma lielumus sauc par neatkarīgiem, ja viena no tiem sadalījuma likums nav atkarīgs no tā, kādas iespējamās vērtības ir ieguvis otrs mainīgais. Pretējā gadījumā nejaušie mainīgie ir atkarīgi. Vairākus gadījuma lielumus sauc par savstarpēji neatkarīgiem, ja jebkura skaita sadalījuma likumi nav atkarīgi no tā, kādas iespējamās vērtības ir ieguvuši citi mainīgie.

3. piezīme. Mēs definējam neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājumu un kā gadījuma lielumu, kura iespējamās vērtības ir vienādas ar katras iespējamās vērtības reizinājumu ar katru iespējamo reizinājuma iespējamo vērtību varbūtības vērtību faktoru iespējamo vērtību varbūtību produktiem. Piemēram, ja iespējamās vērtības varbūtība ir, iespējamās vērtības varbūtība ir tad iespējamās vērtības varbūtība ir

3. īpašība. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu:

Pierādījums. Ļaujiet neatkarīgiem gadījuma mainīgajiem dot ar saviem varbūtības sadalījuma likumiem:

Sastādiet visas vērtības, kuras var iegūt nejaušais mainīgais. Lai to izdarītu, visas iespējamās vērtības reizinām ar katru iespējamo vērtību; rezultātā mēs iegūstam un, ņemot vērā 3. piezīmi, uzrakstām izplatīšanas likumu, vienkāršības labad pieņemot, ka visas iespējamās produkta vērtības ir atšķirīgas (ja tas tā nav, tad pierādīšana tiek veikta līdzīgi):

Matemātiskā cerība ir vienāda ar visu iespējamo vērtību un to varbūtību reizinājumu summu:

Sekas. Vairāku savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu.

4. īpašība. Divu gadījuma lielumu summas matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu:

Pierādījums. Ļaujiet nejaušajiem mainīgajiem un tikt doti ar šādiem sadalījuma likumiem:

Sastādiet visas iespējamās daudzuma vērtības Lai to izdarītu, katrai iespējamai vērtībai pievienojiet katru iespējamo vērtību; Vienkāršības labad mēs pieņemam, ka šīs iespējamās vērtības ir atšķirīgas (ja tas tā nav, tad pierādīšana tiek veikta līdzīgi), un apzīmē to varbūtības ar un attiecīgi

Vērtības matemātiskā cerība ir vienāda ar iespējamo vērtību reizinājumu summu pēc to varbūtībām:

Pierādīsim, ka Notikums, kas sastāv no vērtības ņemšanas (šī notikuma varbūtība ir vienāda), ietver notikumu, kas sastāv no vērtības vai (šī notikuma varbūtība ir vienāda ar saskaitīšanas teorēmu) un otrādi. No tā izriet, ka Vienlīdzības

Aizvietojot šo vienādību labās daļas attiecībā (*), mēs iegūstam

vai visbeidzot

Dispersija un standartnovirze

Praksē bieži vien ir jānovērtē nejauša lieluma iespējamo vērtību izkliede ap tā vidējo vērtību. Piemēram, artilērijā ir svarīgi zināt, cik tuvu šāviņi nokritīs tuvu mērķim, kuram vajadzētu trāpīt.

No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka vienkāršākais veids, kā novērtēt izkliedi, ir aprēķināt visas iespējamās nejaušā lieluma novirzes vērtības un pēc tam atrast to vidējo vērtību. Taču šis ceļš neko nedos, jo novirzes vidējā vērtība, t.i. jebkuram nejaušam mainīgajam ir nulle. Šī īpašība ir izskaidrojama ar to, ka dažas iespējamās novirzes ir pozitīvas, bet citas ir negatīvas; to savstarpējās atcelšanas rezultātā novirzes vidējā vērtība ir nulle. Šie apsvērumi norāda uz lietderību iespējamās novirzes aizstāt ar to absolūtajām vērtībām vai to kvadrātiem. Tā viņi to dara praksē. Tiesa, gadījumā, ja iespējamās novirzes tiek aizstātas ar to absolūtajām vērtībām, nākas operēt ar absolūtajām vērtībām, kas dažkārt rada nopietnas grūtības. Tāpēc visbiežāk viņi iet citu ceļu, t.i. aprēķina novirzes kvadrātā vidējo vērtību, ko sauc par dispersiju.