Kāda ir slīpuma leņķa tangensa. Funkcijas atvasinājums. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme

Tēmai "Pieskares leņķiskais koeficients kā slīpuma leņķa pieskare" sertifikācijas eksāmenā tiek doti uzreiz vairāki uzdevumi. Atkarībā no stāvokļa absolventam var būt jāsniedz gan pilnīga atbilde, gan īsa atbilde. Gatavojoties uz nokārtojot eksāmenu matemātikā skolēnam noteikti jāatkārto uzdevumi, kuros jārēķina slīpums pieskare.

To darot, tas jums palīdzēs izglītības portāls"Školkova". Mūsu eksperti ir sagatavojuši un prezentējuši teorētisko un praktisko materiālu pēc iespējas pieejamāku. Iepazīstoties ar to, jebkura apmācības līmeņa absolventi varēs veiksmīgi atrisināt ar atvasinājumiem saistītas problēmas, kurās nepieciešams atrast pieskares slīpuma tangensu.

Pamata momenti

Lai eksāmenā atrastu pareizo un racionālo risinājumu šādiem uzdevumiem, jums jāatceras pamata definīcija: atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums; tas ir vienāds ar funkcijas grafikam noteiktā punktā novilktās pieskares slīpuma tangensu. Tikpat svarīgi ir pabeigt zīmējumu. Tas ļaus jums atrast pareizais risinājums IZMANTOT atvasinājuma uzdevumus, kuros nepieciešams aprēķināt pieskares slīpuma tangensu. Skaidrības labad vislabāk ir uzzīmēt grafiku OXY plaknē.

Ja esat jau iepazinies ar pamatmateriālu par atvasinājuma tēmu un esat gatavs sākt risināt pieskares slīpuma leņķa pieskares aprēķināšanas uzdevumus, līdzīgi kā LIETOŠANAS uzdevumi jūs varat to izdarīt tiešsaistē. Katram uzdevumam, piemēram, uzdevumiem par tēmu "Atvasinājuma saistība ar ķermeņa ātrumu un paātrinājumu", pierakstījām pareizo atbildi un risinājuma algoritmu. Šajā gadījumā skolēni var vingrināties uzdevumu izpildē. dažādi līmeņi grūtības. Ja nepieciešams, vingrinājumu var saglabāt sadaļā "Izlase", lai vēlāk varētu pārrunāt lēmumu ar skolotāju.

Iemācieties ņemt funkciju atvasinājumus. Atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā, kas atrodas šīs funkcijas grafikā. Šajā gadījumā grafiks var būt taisna vai izliekta līnija. Tas ir, atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā laika brīdī. Atcerieties vispārīgie noteikumi kuriem tiek ņemti atvasinājumi, un tikai pēc tam pārejiet pie nākamās darbības.

• Izlasi rakstu.
• Kā ņemt vienkāršākos atvasinājumus, piemēram, atvasinājumu eksponenciālais vienādojums, aprakstīts. Turpmākajās darbībās sniegtie aprēķini tiks balstīti uz tur aprakstītajām metodēm.

Iemācieties atšķirt problēmas, kurās slīpums jāaprēķina kā funkcijas atvasinājums. Uzdevumos ne vienmēr tiek ieteikts atrast funkcijas slīpumu vai atvasinājumu. Piemēram, jums var lūgt atrast funkcijas izmaiņu ātrumu punktā A(x, y). Jums var arī lūgt atrast pieskares slīpumu punktā A(x, y). Abos gadījumos ir jāņem funkcijas atvasinājums.

Slīpuma koeficients ir taisns. Šajā rakstā mēs apskatīsim uzdevumus, kas saistīti ar matemātikas eksāmenā iekļauto koordinātu plakni. Šie ir uzdevumi:

- taisnas līnijas slīpuma noteikšana, kad ir zināmi divi punkti, caur kuriem tā iet;
- divu plaknes līniju krustošanās punkta abscisu vai ordinātu noteikšana.

Kas ir punkta abscisa un ordinātas, tika aprakstīts šajā sadaļā. Tajā mēs jau esam apsvēruši vairākas problēmas, kas saistītas ar koordinātu plakni. Kas ir jāsaprot aplūkojamo uzdevumu veidam? Mazliet teorijas.

Taisnas līnijas vienādojumam koordinātu plaknē ir šāda forma:

kur k – tas ir taisnes slīpums.

Nākamais brīdis! Taisnas līnijas slīpums ir vienāds ar taisnes slīpuma pieskari. Tas ir leņķis starp doto līniju un asiak.

Tas ir no 0 līdz 180 grādiem.

Tas ir, ja mēs reducējam taisnas līnijas vienādojumu līdz formai y = kx + b, tad tālāk vienmēr varam noteikt koeficientu k (slīpuma koeficients).

Turklāt, ja mēs varam noteikt taisnes slīpuma tangensu, pamatojoties uz nosacījumu, tad mēs atradīsim tās slīpumu.

Nākamais teorētiskais brīdis!Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem.Formula izskatās šādi:

Apsveriet problēmas (līdzīgas tām, kas radušās atvērta banka uzdevumi):

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (–6; 0) un (0; 6).

Šajā uzdevumā racionālākais veids, kā to atrisināt, ir atrast pieskares leņķim starp x asi un doto taisni. Ir zināms, ka tas ir vienāds ar leņķa koeficientu. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri, ko veido taisna līnija un x un y asis:

Leņķa tangensa collā taisnleņķa trīsstūris ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:

* Abas kājas ir vienādas ar sešām (tādi ir to garumi).

noteikti, šo uzdevumu var atrisināt, izmantojot formulu, lai atrastu vienādojumu taisnei, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Bet tas būs garāks risinājuma ceļš.

Atbilde: 1

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (5;0) un (0;5).

Mūsu punktiem ir koordinātas (5;0) un (0;5). nozīmē,

Pievedīsim formulu formā y = kx + b

Mēs saņēmām šo leņķa koeficientu k = – 1.

Atbilde: -1

Taisni a iet caur punktiem ar koordinātām (0;6) un (8;0). Taisni b iet caur punktu ar koordinātām (0;10) un ir paralēla taisnei a b ar asi vērsis.

Šajā uzdevumā jūs varat atrast taisnas līnijas vienādojumu a, nosakiet tam slīpumu. Taisne b slīpums būs vienāds, jo tie ir paralēli. Tālāk jūs varat atrast taisnas līnijas vienādojumu b. Un tad, aizstājot tajā vērtību y = 0, atrodiet abscisu. BET!

Šajā gadījumā ir vieglāk izmantot trīsstūra līdzības īpašību.

Dotās (paralēlās) koordinātu taisnes veidotie taisnstūri ir līdzīgi, kas nozīmē, ka to attiecīgo malu attiecības ir vienādas.

Vēlamā abscisa ir 40/3.

Atbilde: 40/3

Taisni a iet caur punktiem ar koordinātām (0;8) un (–12;0). Taisni b iet caur punktu ar koordinātām (0; -12) un ir paralēla taisnei a. Atrodiet līnijas krustošanās punkta abscisu b ar asi vērsis.

Šai problēmai racionālākais veids, kā to atrisināt, ir izmantot trīsstūru līdzības īpašību. Bet mēs to atrisināsim savādāk.

Mēs zinām punktus, caur kuriem līnija iet a. Mēs varam uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu. Formula taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem, ir:

Pēc nosacījuma punktiem ir koordinātas (0;8) un (–12;0). nozīmē,

Ņemsim pie prāta y = kx + b:

Dabūju to stūrīti k = 2/3.

*Leņķa koeficientu var atrast caur leņķa tangensu taisnleņķa trijstūrī ar 8. un 12. kājām.

Mēs zinām, ka paralēlām līnijām ir vienādi slīpumi. Tātad taisnes vienādojumam, kas iet caur punktu (0;-12), ir šāda forma:

Atrodi vērtību b mēs varam aizstāt abscisu un ordinēt vienādojumā:

Tātad līnija izskatās šādi:

Tagad, lai atrastu vēlamo līnijas un x asi krustošanās punkta abscisu, jāaizstāj y \u003d 0:

Atbilde: 18

Atrodiet ass krustošanās punkta ordinātas oi un taisne, kas iet caur punktu B(10;12), un paralēla līnija, kas iet caur sākuma punktu un punktu A(10;24).

Atradīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem ar koordinātām (0;0) un (10;24).

Formula taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem, ir:

Mūsu punktiem ir koordinātas (0;0) un (10;24). nozīmē,

Ņemsim pie prāta y = kx + b

Paralēlo līniju slīpumi ir vienādi. Tādējādi taisnes vienādojumam, kas iet caur punktu B (10; 12), ir šāda forma:

Nozīme b aizvietojot punkta B koordinātas (10; 12) šajā vienādojumā, mēs atrodam:

Mēs saņēmām taisnas līnijas vienādojumu:

Lai atrastu šīs taisnes krustošanās punkta ordinātu ar asi OU ir jāaizvieto atrastajā vienādojumā X= 0:

* Vieglākais risinājums. Ar paralēlās tulkošanas palīdzību mēs nobīdām šo līniju uz leju pa asi OU uz punktu (10;12). Nobīde notiek par 12 vienībām, tas ir, punkts A(10;24) "nokārtots" uz punktu B(10;12), un punkts O(0;0) "nodots" uz punktu (0;–12). Tātad iegūtā līnija krustos ar asi OU punktā (0;–12).

Vēlamā ordināta ir -12.

Atbilde: -12

Atrodiet vienādojuma dotās taisnes krustošanās punkta ordinātas

3x + 2 g = 6, ar asi Oy.

Dotās taisnes krustošanās punkta koordināte ar asi OU ir forma (0; plkst). Aizvietojiet abscisu vienādojumā X= 0 un atrodiet ordinātu:

Taisnes ar asi krustošanās punkta ordināta OU vienāds ar 3.

* Sistēma tiek atrisināta:

Atbilde: 3

Atrodiet vienādojumu doto taisnes krustošanās punkta ordinātas

3x + 2y = 6 un y = - x.

Kad ir dotas divas taisnes un jautājums ir par šo līniju krustošanās punkta koordināšu atrašanu, šo vienādojumu sistēma tiek atrisināta:

Pirmajā vienādojumā mēs aizstājam - X tā vietā plkst:

Ordinātas ir mīnus sešas.

Atbilde: – 6

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (–2; 0) un (0; 2).

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (2;0) un (0;2).

Taisne a iet caur punktiem ar koordinātām (0;4) un (6;0). Taisne b iet caur punktu ar koordinātām (0;8) un ir paralēla taisnei a. Atrodiet taisnes b un x-ass krustošanās punkta abscisu.

Atrodiet y ass un taisnes, kas iet caur punktu B (6;4), un paralēlās taisnes, kas iet caur sākuma punktu un punktu A (6;8), krustošanās punkta ordinātas.

1. Ir skaidri jāsaprot, ka taisnes slīpums ir vienāds ar taisnes slīpuma pieskari. Tas palīdzēs jums atrisināt daudzas šāda veida problēmas.

2. Ir jāsaprot formula taisnes, kas iet caur diviem dotiem punktiem, atrašanai. Ar tās palīdzību jūs vienmēr varat atrast taisnas līnijas vienādojumu, ja ir norādītas divu tās punktu koordinātas.

3. Atcerieties, ka paralēlo līniju slīpumi ir vienādi.

4. Kā jūs saprotat, dažos uzdevumos ir ērti izmantot trīsstūru līdzības zīmi. Problēmas tiek risinātas praktiski mutiski.

5. Uzdevumus, kuros ir dotas divas taisnes un jāatrod to krustpunkta abscises vai ordinātas, var atrisināt grafiski. Tas ir, izveidojiet tos koordinātu plaknē (uz lapas šūnā) un vizuāli nosakiet krustošanās punktu. *Bet šī metode ne vienmēr ir piemērojama.

6. Un pēdējais. Ja ir dota taisne un tās krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm, tad šādos uzdevumos ir ērti atrast leņķa koeficientu, atrodot leņķa tangensu izveidotajā taisnleņķa trijstūrī. Tālāk shematiski parādīts, kā "redzēt" šo trīsstūri dažādiem līniju izvietojumiem plaknē:

>> Līnijas slīpuma leņķis no 0 līdz 90 grādiem<<

>> Taisnas līnijas leņķis no 90 līdz 180 grādiem<<

Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Līnija y \u003d f (x) būs pieskares diagrammai, kas parādīta attēlā punktā x0, ja tā iet caur punktu ar koordinātām (x0; f (x0)) un tai ir slīpums f "(x0). Atrodiet šāds koeficients, zinot pieskares pazīmes, nav grūti.

Jums būs nepieciešams

• - matemātikas uzziņu grāmata;
• - vienkāršs zīmulis;
• - piezīmju grāmatiņa;
• - transportieri;
• - kompass;
• - pildspalva.

Instrukcija

Ja vērtība f’(x0) neeksistē, tad vai nu tangenses nav, vai arī tā iet vertikāli. Ņemot to vērā, funkcijas atvasinājuma klātbūtne punktā x0 ir saistīta ar nevertikālas pieskares esamību, kas ir saskarē ar funkcijas grafiku punktā (x0, f(x0)). Šajā gadījumā pieskares slīpums būs vienāds ar f "(x0). Tādējādi kļūst skaidra atvasinājuma ģeometriskā nozīme - pieskares slīpuma aprēķins.

Uzzīmējiet papildu pieskares, kas saskartos ar funkcijas grafiku punktos x1, x2 un x3, kā arī atzīmējiet šo pieskares veidotos leņķus ar abscisu asi (šāds leņķis tiek skaitīts pozitīvā virzienā no ass līdz pieskarei līnija). Piemēram, leņķis, tas ir, α1, būs akūts, otrais (α2) ir neass, bet trešais (α3) ir nulle, jo pieskares līnija ir paralēla OX asij. Šajā gadījumā strupā leņķa tangensa ir negatīva, akūta leņķa pieskare ir pozitīva, un tg0 rezultāts ir nulle.

Piezīme

Pareizi nosakiet pieskares veidoto leņķi. Lai to izdarītu, izmantojiet transportieri.

Noderīgs padoms

Divas slīpas līnijas būs paralēlas, ja to slīpumi ir vienādi; perpendikulāri, ja šo pieskares slīpumu reizinājums ir -1.

Avoti:

• Funkcijas grafika pieskare

Kosinuss, tāpat kā sinuss, tiek saukts par "tiešajām" trigonometriskajām funkcijām. Pieskares (kopā ar kotangensu) pievieno citam pārim, ko sauc par "atvasinājumiem". Ir vairākas šo funkciju definīcijas, kas ļauj atrast kosinusa tangensu, ko dod tās pašas vērtības zināmā vērtība.

Instrukcija

Atņemiet koeficientu no vienības ar dotā leņķa kosinusu, kas pacelts līdz vērtībai, un no rezultāta iegūstiet kvadrātsakni - tā būs leņķa pieskares vērtība, kas izteikta ar tā kosinusu: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Tajā pašā laikā pievērsiet uzmanību tam, ka formulā kosinuss atrodas daļskaitļa saucējā. Neiespējamība dalīt ar nulli izslēdz šīs izteiksmes izmantošanu leņķiem, kas vienādi ar 90°, kā arī atšķirību no šīs vērtības ar 180° reizinājumiem (270°, 450°, -90° utt.).

Ir alternatīvs veids, kā aprēķināt tangensu no zināmas kosinusa vērtības. To var izmantot, ja nav ierobežojumu citu lietošanai. Lai ieviestu šo metodi, vispirms nosaka leņķa vērtību no zināmas kosinusa vērtības – to var izdarīt, izmantojot arkosinusa funkciju. Pēc tam vienkārši aprēķiniet iegūtās vērtības leņķa tangensu. Kopumā šo algoritmu var uzrakstīt šādi: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Ir vēl viena eksotiska iespēja, izmantojot kosinusa un pieskares definīciju caur taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem. Kosinuss šajā definīcijā atbilst aplūkojamajam leņķim blakus esošās kājas garuma attiecībai pret hipotenūzas garumu. Zinot kosinusa vērtību, var izvēlēties tai atbilstošos šo divu malu garumus. Piemēram, ja cos(α)=0,5, tad blakus esošo var pieņemt vienādu ar 10 cm, bet hipotenūzu - 20 cm. Konkrētiem skaitļiem šeit nav nozīmes - jūs saņemsiet to pašu un pareizību ar visām vērtībām, kurām ir vienādas. Pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, nosakiet trūkstošās puses - pretējās kājas - garumu. Tas būs vienāds ar kvadrātsakni no starpības starp kvadrātveida hipotenūzas un zināmās kājas garumiem: √(20²-10²)=√300. Pēc definīcijas tangenss atbilst pretējo un blakus esošo kāju garumu attiecībai (√300/10) - aprēķiniet to un iegūstiet atrasto pieskares vērtību, izmantojot klasisko kosinusa definīciju.

Avoti:

• kosinuss caur tangentes formulu

Viena no trigonometriskajām funkcijām, ko visbiežāk apzīmē ar burtiem tg, lai gan sastopams arī apzīmējums tan. Vienkāršākais veids ir attēlot tangensu kā sinusa attiecību leņķis līdz tā kosinusam. Šī ir nepāra periodiska un nevis nepārtraukta funkcija, kuras katrs cikls ir vienāds ar skaitli Pi, un pārtraukuma punkts atbilst atzīmei uz pusi no šī skaitļa.

Iepriekšējā nodaļā tika parādīts, ka, izvēloties noteiktu koordinātu sistēmu plaknē, mēs varam analītiski izteikt aplūkojamās taisnes punktus raksturojošās ģeometriskās īpašības ar vienādojumu starp pašreizējām koordinātām. Tādējādi mēs iegūstam līnijas vienādojumu. Šajā nodaļā tiks aplūkoti taisnu līniju vienādojumi.

Lai formulētu taisnes vienādojumu Dekarta koordinātās, jums kaut kā jāiestata nosacījumi, kas nosaka tās pozīciju attiecībā pret koordinātu asīm.

Vispirms mēs ieviešam taisnes slīpuma jēdzienu, kas ir viens no lielumiem, kas raksturo taisnes pozīciju plaknē.

Par taisnes slīpuma leņķi pret Vērša asi sauksim leņķi, par kādu Ox ass jāpagriež, lai tā sakristu ar doto taisni (vai izrādītos tai paralēla). Kā parasti, mēs apsvērsim leņķi, ņemot vērā zīmi (zīmi nosaka griešanās virziens: pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienam). Tā kā Vērša ass papildu pagriešana par 180° leņķi to atkal apvienos ar taisni, tad taisnes slīpuma leņķi pret asi var izvēlēties neviennozīmīgi (līdz daudzkārtņiem).

Šī leņķa pieskare ir noteikta unikāli (jo, mainot leņķi uz, tā pieskare nemainās).

Taisnes slīpuma leņķa pieskare pret x asi sauc par taisnes slīpumu.

Slīpums raksturo taisnes virzienu (šeit mēs nenošķiram divus savstarpēji pretējus taisnes virzienus). Ja līnijas slīpums ir nulle, tad līnija ir paralēla x asij. Ar pozitīvu slīpumu taisnās līnijas slīpuma leņķis pret Vērša asi būs ass (šeit tiek ņemta vērā slīpuma leņķa mazākā pozitīvā vērtība) (39. att.); šajā gadījumā, jo lielāks ir slīpums, jo lielāks ir tā slīpuma leņķis pret Vērša asi. Ja slīpums ir negatīvs, tad taisnes slīpuma leņķis pret x asi būs neass (40. att.). Ņemiet vērā, ka taisnei, kas ir perpendikulāra x asij, nav slīpuma (leņķa tangensa nepastāv).