Parasta piramīda pie pamatnes ir kvadrāts. Piramīda un tās elementi
Definīcija. Sānu seja- tas ir trīsstūris, kurā viens leņķis atrodas piramīdas augšpusē, un tā pretējā puse sakrīt ar pamatnes (daudzstūra) malu.
Definīcija. Sānu ribas ir sānu virsmu kopīgās puses. Piramīdai ir tik daudz malu, cik stūru ir daudzstūrī.
Definīcija. piramīdas augstums ir perpendikuls, kas nomests no piramīdas augšas uz pamatni.
Definīcija. Apotēma- tas ir piramīdas sānu virsmas perpendikuls, kas nolaists no piramīdas augšas uz pamatnes sāniem.
Definīcija. Diagonālā sadaļa- tas ir piramīdas posms ar plakni, kas iet caur piramīdas augšdaļu un pamatnes diagonāli.
Definīcija. Pareiza piramīda- Šī ir piramīda, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris, un augstums nolaižas līdz pamatnes centram.
Piramīdas tilpums un virsmas laukums
Formula. piramīdas tilpums caur pamatnes laukumu un augstumu:
piramīdas īpašības
Ja visas sānu malas ir vienādas, tad ap piramīdas pamatni var norobežot apli, un pamatnes centrs sakrīt ar apļa centru. Arī no augšas nomestais perpendikuls iet caur pamatnes (apļa) centru.
Ja visas sānu ribas ir vienādas, tad tās ir slīpas pret pamatplakni vienādos leņķos.
Sānu ribas ir vienādas, kad tās veidojas ar pamatnes plakni vienādi leņķi vai ja ap piramīdas pamatni var apvilkt apli.
Ja sānu malas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad piramīdas pamatnē var ierakstīt apli, un piramīdas virsotne tiek projicēta tās centrā.
Ja sānu virsmas ir vienā leņķī slīpas pret pamatplakni, tad sānu virsmu apotēmas ir vienādas.
Regulāras piramīdas īpašības
1. Piramīdas virsotne atrodas vienādā attālumā no visiem pamatnes stūriem.
2. Visas sānu malas ir vienādas.
3. Visas sānu ribas ir noliektas vienādos leņķos pret pamatni.
4. Visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas.
5. Visu sānu virsmu laukumi ir vienādi.
6. Visām skaldnēm ir vienādi divvirsmas (plakanie) leņķi.
7. Ap piramīdu var aprakstīt sfēru. Aprakstītās sfēras centrs būs to perpendikulu krustpunkts, kas iet cauri malu vidusdaļai.
8. Piramīdā var ierakstīt lodi. Ierakstītās sfēras centrs būs bisektoru krustpunkts, kas izplūst no leņķa starp malu un pamatni.
9. Ja ierakstītās sfēras centrs sakrīt ar ierobežotās sfēras centru, tad plakano leņķu summa virsotnē ir vienāda ar π vai otrādi, viens leņķis ir vienāds ar π / n, kur n ir skaitlis leņķi piramīdas pamatnē.
Piramīdas savienojums ar sfēru
Ap piramīdu var aprakstīt sfēru, kad piramīdas pamatnē atrodas daudzskaldnis, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs plakņu krustpunkts, kas iet perpendikulāri caur piramīdas sānu malu viduspunktiem.
Sfēru vienmēr var aprakstīt ap jebkuru trīsstūrveida vai regulāru piramīdu.
Piramīdā var ierakstīt lodi, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.
Piramīdas savienojums ar konusu
Konusu sauc par ierakstītu piramīdā, ja to virsotnes sakrīt un konusa pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē.
Piramīdā var ierakstīt konusu, ja piramīdas apotēmas ir vienādas.
Tiek uzskatīts, ka konuss ir norobežots ap piramīdu, ja to virsotnes sakrīt, un konusa pamatne ir norobežota ap piramīdas pamatni.
Konusu var aprakstīt ap piramīdu, ja visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru.
Piramīdas savienojums ar cilindru
Piramīdu sauc par ierakstītu cilindrā, ja piramīdas virsotne atrodas uz vienas cilindra pamatnes, bet piramīdas pamatne ir ierakstīta citā cilindra pamatnē.
Cilindru var apvilkt ap piramīdu, ja ap piramīdas pamatni var apvilkt apli.
Tetraedram ir četras skaldnes un četras virsotnes un sešas malas, kur jebkurām divām malām nav kopīgu virsotņu, bet tās nesaskaras.
Katra virsotne sastāv no trīs veidojošām virsmām un malām trīsstūrveida leņķis.
Tiek saukts segments, kas savieno tetraedra virsotni ar pretējās skaldnes centru tetraedra mediāna(GM).
Bimediāns sauc par segmentu, kas savieno pretējo malu viduspunktus, kas nesaskaras (KL).
Visas tetraedra bimediānas un mediānas krustojas vienā punktā (S). Šajā gadījumā bimediānas tiek sadalītas uz pusēm, bet mediānas - proporcijā 3: 1, sākot no augšas.
Definīcija. Akūta leņķa piramīda ir piramīda, kurā apotēma ir vairāk nekā puse no pamatnes malas garuma.
Definīcija. stulba piramīda ir piramīda, kurā apotēma ir mazāka par pusi no pamatnes malas garuma.
Definīcija. regulārs tetraedrs Tetraedrs, kura četras skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tas ir viens no pieciem regulāriem daudzstūriem. Regulārā tetraedrā visi divskaldņu leņķi (starp skaldnēm) un trīsstūrveida leņķi (virsotnē) ir vienādi.
Definīcija. Taisnstūra tetraedrs Tetraedrs tiek saukts ar taisnu leņķi starp trim malām virsotnē (malas ir perpendikulāras). Izveidojas trīs sejas taisnstūra trīsstūrveida leņķis un malas ir taisnie trīsstūri, un bāze ir patvaļīgs trīsstūris. Jebkuras sejas apotēma ir vienāda ar pusi no pamatnes malas, uz kuras apotēma nokrīt.
Definīcija. Izoedrisks tetraedrs Tiek saukts tetraedrs, kura sānu malas ir vienādas viena ar otru, un pamatne ir regulārs trīsstūris. Šāda tetraedra skaldnes ir vienādsānu trīsstūri.
Definīcija. Ortocentrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kurā visi augstumi (perpendikulāri), kas ir nolaisti no augšas uz pretējo seju, krustojas vienā punktā.
Definīcija. zvaigžņu piramīda Tiek saukts daudzskaldnis, kura pamats ir zvaigzne.
Šeit ir apkopota pamatinformācija par piramīdām un saistītajām formulām un jēdzieniem. Tie visi tiek apgūti pie matemātikas pasniedzēja, gatavojoties eksāmenam.
Apsveriet plakni, daudzstūri 
guļ tajā un punkts S, kas tajā neguļ. Savienojiet S ar visām daudzstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldni sauc par piramīdu. Segmentus sauc par sānu malām. 
Daudzstūri sauc par pamatu, bet punktu S sauc par piramīdas virsotni. Atkarībā no skaitļa n piramīdu sauc par trīsstūrveida (n=3), četrstūrveida (n=4), piecstūrainu (n=5) un tā tālāk. Alternatīvs nosaukums trīsstūrveida piramīda - tetraedrs. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no tās virsotnes līdz pamatplaknei. 
Piramīdu sauc par pareizu, ja regulārs daudzstūris, un piramīdas augstuma pamats (perpendikula pamats) ir tās centrs.
Pasniedzēja komentārs:
Nejauciet jēdzienus "regulāra piramīda" un "parastais tetraedrs". Parastajā piramīdā sānu malas ne vienmēr ir vienādas ar pamatnes malām, bet regulārā tetraedrā visas 6 malu malas ir vienādas. Tā ir viņa definīcija. Ir viegli pierādīt, ka vienādība nozīmē, ka daudzstūra centrs P ar augstuma pamatni, tāpēc regulārs tetraedrs ir regulāra piramīda.
Kas ir apotēms?
Piramīdas apotēma ir tās sānu virsmas augstums. Ja piramīda ir regulāra, tad visas tās apotēmas ir vienādas. Pretējais nav taisnība. 
Matemātikas pasniedzējs par savu terminoloģiju: darbs ar piramīdām 80% ir veidots, izmantojot divu veidu trīsstūrus:
1) Satur apotēmu SK un augstumu SP
2) Kas satur sānu malu SA un tās projekciju PA 
Lai vienkāršotu atsauces uz šiem trijstūriem, matemātikas skolotājam ir ērtāk nosaukt pirmo no tiem. apotēmisks, un otrkārt piekrastes. Diemžēl šo terminoloģiju jūs neatradīsiet nevienā mācību grāmatā, un skolotājam tā ir jāievieš vienpusēji.
Piramīdas tilpuma formula:
1) 
, kur ir piramīdas pamatnes laukums un piramīdas augstums
2) , kur ir ierakstītās sfēras rādiuss un piramīdas kopējais virsmas laukums.
3) 
, kur MN ir attālums no jebkurām divām krustojošām malām un ir paralelograma laukums, ko veido četru atlikušo malu viduspunkti.
Piramīdas augstuma pamatnes īpašums:
Punkts P (skatīt attēlu) sakrīt ar piramīdas pamatnē ierakstītā apļa centru, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1) Visi apotēmi ir vienādi
2) Visas sānu virsmas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visi apotēmi ir vienādi slīpi pret piramīdas augstumu
4) Piramīdas augstums ir vienādi slīps pret visām sānu malām
Matemātikas skolotāja komentārs: ņemiet vērā, ka visus vienumus apvieno viens kopīpašums: tā vai citādi sānu sejas piedalās visur (apotēmas ir to elementi). Tāpēc skolotājs var piedāvāt neprecīzāku, bet ērtāku formulējumu iegaumēšanai: punkts P sakrīt ar ierakstītā apļa centru, piramīdas pamatni, ja ir kāda vienlīdzīga informācija par tā sānu virsmām. Lai to pierādītu, pietiek parādīt, ka visi apotēmiskie trīsstūri ir vienādi.
Punkts P sakrīt ar ierobežotā apļa centru netālu no piramīdas pamatnes, ja ir patiess viens no trim nosacījumiem:
1) Visas sānu malas ir vienādas
2) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret augstumu
Piramīda. Nocirsta piramīda
Piramīda sauc par daudzskaldni, kura viena no skaldnēm ir daudzstūris ( bāze ), un visas pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni ( sānu sejas ) (15. att.). Piramīdu sauc pareizi , ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā (16. att.). Tiek saukta trīsstūrveida piramīda, kuras visas malas ir vienādas tetraedrs .
Sānu riba piramīdu sauc par sānu virsmas pusi, kas nepieder pie pamatnes Augstums piramīda ir attālums no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei. Visas regulāras piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri. No virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēma . diagonālā daļa Piramīdas posmu sauc par plakni, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.
Sānu virsmas laukums Piramīdu sauc par visu sānu virsmu laukumu summu. Pilna virsmas laukums ir visu sānu virsmu un pamatnes laukumu summa.
Teorēmas
1. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta ierobežotā apļa centrā pie pamatnes.
2. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienāda garuma, tad piramīdas virsotne tiek projicēta ierobežotā apļa centrā netālu no pamatnes.
3. Ja piramīdā visas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā.
Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, formula ir pareiza:
kur V- apjoms;
S galvenais- bāzes platība;
H ir piramīdas augstums.
Parastai piramīdai ir patiesas šādas formulas:
kur lpp- pamatnes perimetrs;
h a- apotēms;
H- augstums;
S pilns
S pusē
S galvenais- bāzes platība;
V ir regulāras piramīdas tilpums.
nošķelta piramīda sauc par piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni paralēli piramīdas pamatnei (17. att.). Pareiza nošķelta piramīda sauc par regulāras piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei.
Pamati nošķelta piramīda - līdzīgi daudzstūri. Sānu sejas - trapecveida. Augstums Nošķelto piramīdu sauc par attālumu starp tās pamatiem. Diagonāli Nošķelta piramīda ir segments, kas savieno tās virsotnes, kas neatrodas vienā un tajā pašā virsotnē. diagonālā daļa Nocirstas piramīdas posmu sauc par plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.
Atdalītai piramīdai ir derīgas formulas:
(4)
kur S 1 , S 2 - augšējās un apakšējās pamatnes zonas;
S pilns ir kopējā virsmas laukums;
S pusē ir sānu virsmas laukums;
H- augstums;
V ir nošķeltas piramīdas tilpums.
Parastai nošķeltai piramīdai ir patiesa šāda formula:
kur lpp 1 , lpp 2 - bāzes perimetrs;
h a- regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.
1. piemērs Regulārā trīsstūrveida piramīdā diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60º. Atrodiet sānu malas slīpuma leņķa pieskares pamatnes plaknei.
Lēmums. Veidosim zīmējumu (18. att.).
 |
Piramīda ir regulāra, kas nozīmē, ka pamatne ir vienādmalu trīsstūris un visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trijstūri. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir piramīdas sānu virsmas slīpuma leņķis pret pamatnes plakni. Lineārais leņķis būs leņķis a starp diviem perpendikuliem: t.i. Piramīdas virsotne tiek projicēta trijstūra centrā (nozīmētā apļa centrs un ierakstītais aplis trijstūrī ABC). Sānu ribas slīpuma leņķis (piemēram SB) ir leņķis starp pašu malu un tās projekciju uz pamatplakni. Par ribu SBšis leņķis būs leņķis SBD. Lai atrastu tangensu, jums jāzina kājas SO un OB. Ļaujiet segmenta garumam BD ir 3 a. punkts O līnijas segments BD ir sadalīts daļās: un No mēs atrodam SO: 
No mēs atrodam: 
Atbilde:
2. piemērs Atrodiet regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas tilpumu, ja tās pamatu diagonāles ir cm un cm un augstums ir 4 cm.
Lēmums. Lai atrastu nošķeltas piramīdas tilpumu, mēs izmantojam formulu (4). Lai atrastu pamatņu laukumus, jāatrod pamatņu kvadrātu malas, zinot to diagonāles. Pamatu malas ir attiecīgi 2 cm un 8 cm Tas nozīmē pamatu laukumus un Aizvietojot visus datus formulā, mēs aprēķinām nošķeltas piramīdas tilpumu:
Atbilde: 112 cm3.
3. piemērs Atrodiet regulāras trīsstūrveida nošķeltas piramīdas sānu malas laukumu, kuras pamatnes malas ir 10 cm un 4 cm, bet piramīdas augstums ir 2 cm.
Lēmums. Veidosim zīmējumu (19. att.).
Šīs piramīdas sānu mala ir vienādsānu trapece. Lai aprēķinātu trapeces laukumu, jums jāzina pamatnes un augstums. Pamati ir doti pēc stāvokļa, tikai augstums paliek nezināms. Atrodi to no kurienes BET 1 E perpendikulāri no punkta BET 1 apakšējās pamatnes plaknē, A 1 D- perpendikulāri no BET 1 uz AC. BET 1 E\u003d 2 cm, jo tas ir piramīdas augstums. Par atrašanu DE uztaisīsim papildus zīmējumu, kurā attēlosim skatu no augšas (20. att.). Punkts O- augšējās un apakšējās pamatnes centru projekcija. kopš (skat. 20. att.) un No otras puses labi ir ierakstītā apļa rādiuss un 
OM ir ierakstītā apļa rādiuss:
MK=DE.
Saskaņā ar Pitagora teorēmu no
Sānu sejas zona: 
Atbilde:
4. piemērs Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trapece, kuras pamatnes a un b (a> b). Katra sānu virsma veido leņķi, kas vienāds ar piramīdas pamatnes plakni j. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.
Lēmums. Veidosim zīmējumu (21. att.). Piramīdas kopējais virsmas laukums SABCD ir vienāds ar trapeces laukumu un laukuma summu ABCD.
Izmantosim apgalvojumu, ka, ja visas piramīdas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā. Punkts O- virsotņu projekcija S piramīdas pamatnē. Trīsstūris SOD ir trijstūra ortogonālā projekcija CSD uz bāzes plakni. Saskaņā ar teorēmu par plakanas figūras ortogonālās projekcijas laukumu mēs iegūstam:
Līdzīgi tas nozīmē 
Tādējādi problēma tika samazināta līdz trapeces laukuma atrašanai ABCD. Uzzīmējiet trapecveida formu ABCD atsevišķi (22. att.). Punkts O ir trapecē ierakstīta apļa centrs.
Tā kā apli var ierakstīt trapecē, tad vai Pēc Pitagora teorēmas mums ir
Trīsdimensiju figūra, kas bieži parādās ģeometriskās problēmās, ir piramīda. Vienkāršākā no visām šīs klases figūrām ir trīsstūrveida. Šajā rakstā mēs detalizēti analizēsim pareizās pamatformulas un īpašības
Figūras ģeometriskie attēlojumi
Pirms turpināt apsvērt regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašības, apskatīsim sīkāk, par kādu figūru mēs runājam.
Pieņemsim, ka trīsdimensiju telpā ir patvaļīgs trīsstūris. Mēs izvēlamies jebkuru punktu šajā telpā, kas neatrodas trijstūra plaknē, un savienojam to ar trim trijstūra virsotnēm. Mēs saņēmām trīsstūrveida piramīdu.
Tas sastāv no 4 malām, no kurām visas ir trīsstūri. Punktus, kur saskaras trīs sejas, sauc par virsotnēm. Arī attēlā ir četri no tiem. Divu skaldņu krustošanās līnijas ir malas. Apskatāmajā piramīdā ir 6 ribas Zemāk esošajā attēlā ir parādīts šī attēla piemērs.
Tā kā figūru veido četras malas, to sauc arī par tetraedru.
Pareiza piramīda
Iepriekš tika apsvērta patvaļīga figūra ar trīsstūrveida pamatni. Tagad pieņemsim, ka mēs novelkam perpendikulāru līniju no piramīdas augšdaļas līdz tās pamatnei. Šo segmentu sauc par augstumu. Ir skaidrs, ka ir iespējams iztērēt 4 dažādi augstumi par figūru. Ja augstums krusto trīsstūra pamatni ģeometriskajā centrā, tad šādu piramīdu sauc par taisnu piramīdu.
Taisnu piramīdu, kuras pamats ir vienādmalu trīsstūris, sauc par regulāru piramīdu. Viņai visi trīs trīsstūri veidojas sānu virsma figūras ir vienādsānu un vienādas viena ar otru. Īpašs regulāras piramīdas gadījums ir situācija, kad visas četras malas ir vienādmalu identiski trīsstūri.
Apsveriet regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašības un sniedziet atbilstošās formulas tās parametru aprēķināšanai.
Pamatnes mala, augstums, sānu mala un apotēma
Jebkuri divi no uzskaitītajiem parametriem unikāli nosaka pārējās divas īpašības. Mēs dodam formulas, kas savieno nosauktos lielumus.
Pieņemsim, ka regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes mala ir a. Tā sānu malas garums ir vienāds ar b. Kāds būs regulāras trīsstūrveida piramīdas un tās apotēmas augstums?
Augstumam h mēs iegūstam izteiksmi:
Šī formula izriet no Pitagora teorēmas, kurai ir sānu mala, augstums un 2/3 no pamatnes augstuma.
Piramīdas apotēma ir jebkura sānu trīsstūra augstums. Apotēmas a b garums ir:
a b \u003d √ (b 2 - a 2/4)
No šīm formulām var redzēt, ka neatkarīgi no trīsstūrveida regulāras piramīdas pamatnes malas un tās sānu malas garuma, apotēma vienmēr būs vairāk augstuma piramīdas.
Abas piedāvātās formulas satur visas četras lineārie raksturlielumi attiecīgais skaitlis. Tāpēc no zināmajiem diviem var atrast pārējos, atrisinot sistēmu no rakstītajām vienādībām.
figūras apjoms
Pilnīgi jebkurai piramīdai (arī slīpai) tās ierobežotās telpas tilpuma vērtību var noteikt, zinot figūras augstumu un tās pamatnes laukumu. Atbilstošā formula izskatās šādi:
Piemērojot šo izteiksmi attiecīgajam skaitlim, mēs iegūstam šādu formulu:
Kur regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums ir h un tās pamatnes mala ir a.
Nav grūti iegūt tetraedra tilpuma formulu, kurā visas malas ir vienādas viena ar otru un attēlo vienādmalu trīsstūrus. Šajā gadījumā figūras apjomu nosaka pēc formulas:
Tas ir, to unikāli nosaka malas a garums.
Virsmas laukums
Mēs turpinām apsvērt trīsstūrveida regulāras piramīdas īpašības. kopējais laukums no visām figūras sejām sauc par tās virsmas laukumu. Pēdējo ir ērti izpētīt, ņemot vērā atbilstošo attīstību. Zemāk redzamajā attēlā parādīts, kā izskatās parasta trīsstūrveida piramīda.
Pieņemsim, ka mēs zinām figūras augstumu h un pamatnes a malu. Tad tā pamatnes laukums būs vienāds ar:
Katrs skolēns var iegūt šo izteiksmi, ja viņš atceras, kā atrast trijstūra laukumu, kā arī ņem vērā, ka vienādmalu trijstūra augstums ir arī bisektrise un mediāna.
Sānu virsmas laukums, ko veido trīs vienādi vienādsānu trīsstūri, ir:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Šī vienlīdzība izriet no piramīdas apotēmas izteiksmes pamatnes augstuma un garuma izteiksmē.
Kopējais attēla virsmas laukums ir:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Ņemiet vērā, ka tetraedram, kura visas četras malas ir vienādi vienādmalu trīsstūri, laukums S būs vienāds ar:
Regulāras nošķeltas trīsstūrveida piramīdas īpašības
Ja aplūkojamās trīsstūrveida piramīdas virsotni nogriež pamatnei paralēla plakne, tad pārējā Apakšējā daļa tiks saukta par nošķelto piramīdu.
Trīsstūrveida pamatnes gadījumā aprakstītās griezuma metodes rezultātā tiek iegūts jauns trīsstūris, kas arī ir vienādmalu, bet ir mazāks malas garums nekā pamatnes malai. Saīsināts trīsstūrveida piramīda parādīts zemāk.
Mēs redzam, ka šo skaitli jau ierobežo divas trīsstūrveida pamatnes un trīs vienādsānu trapeces.
Pieņemsim, ka iegūtās figūras augstums ir h, apakšējās un augšējās pamatnes malu garums ir attiecīgi a 1 un a 2, un apotēms (trapeces augstums) ir vienāds ar a b. Tad nošķeltas piramīdas virsmas laukumu var aprēķināt pēc formulas:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4* (a 1 2 + a 2 2)
Šeit pirmais termins ir sānu virsmas laukums, otrais termins ir trīsstūrveida pamatņu laukums.
Figūras tilpumu aprēķina šādi:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 * a 2)
Lai nepārprotami noteiktu nošķeltas piramīdas raksturlielumus, ir jāzina trīs tās parametri, ko parāda iepriekš minētās formulas.
Ievads
Kad sākām pētīt stereometriskas figūras, pieskārāmies tēmai "Piramīda". Mums šī tēma patika, jo piramīdu ļoti bieži izmanto arhitektūrā. Un kopš mūsu nākotnes profesija arhitekte, iedvesmojoties no šīs figūras, domājam, ka viņa spēs mūs virzīt uz lieliskiem projektiem.
Arhitektūras konstrukciju spēks, to svarīgākā kvalitāte. Stiprības saistīšana, pirmkārt, ar materiāliem, no kuriem tie ir izveidoti, un, otrkārt, ar īpašībām konstruktīvi risinājumi, izrādās, ka konstrukcijas izturība ir tieši saistīta ar ģeometrisko formu, kas tai ir pamata.
Citiem vārdiem sakot, mēs runājam par to ģeometrisko figūru, kuru var uzskatīt par atbilstošās arhitektūras formas modeli. Izrādās, ka ģeometriskā forma nosaka arī arhitektūras struktūras izturību.
Ēģiptes piramīdas jau sen tiek uzskatītas par visizturīgāko arhitektūras celtni. Kā zināms, tām ir regulāru četrstūra piramīdu forma.
Tieši šī ģeometriskā forma nodrošina vislielāko stabilitāti lielās pamatnes platības dēļ. No otras puses, piramīdas forma nodrošina masas samazināšanos, palielinoties augstumam virs zemes. Tieši šīs divas īpašības padara piramīdu stabilu un līdz ar to spēcīgu gravitācijas apstākļos.
Projekta mērķis: uzzināt kaut ko jaunu par piramīdām, padziļināt zināšanas un atrast praktisku pielietojumu.
Lai sasniegtu šo mērķi, bija jāatrisina šādi uzdevumi:
Uzziniet vēsturisku informāciju par piramīdu
Apsveriet piramīdu kā ģeometrisku figūru
Atrodiet pielietojumu dzīvē un arhitektūrā
Atrodiet līdzības un atšķirības starp piramīdām, kas atrodas dažādas daļas Sveta
Teorētiskā daļa
Piramīdas ģeometrijas sākums tika likts Senajā Ēģiptē un Babilonijā, bet to aktīvi attīstīja g. Senā Grieķija. Pirmais, kurš noteica, ar ko ir vienāds piramīdas tilpums, bija Demokrits, un Eudokss no Knida to pierādīja. Sengrieķu matemātiķis Eiklīds sistematizēja zināšanas par piramīdu sava "Sākumu" XII sējumā, kā arī izcēla pirmo piramīdas definīciju: ķermeņa figūru, ko ierobežo plaknes, kas vienā punktā saplūst no vienas plaknes.
Ēģiptes faraonu kapenes. Lielākās no tām – Heopsa, Khafre un Mikerina piramīdas El Gizā senatnē tika uzskatītas par vienu no septiņiem pasaules brīnumiem. Piramīdas uzcelšana, kurā grieķi un romieši jau redzēja pieminekli bezprecedenta ķēniņu lepnumam un nežēlībai, kas visu Ēģiptes tautu lika bezjēdzīgai celtniecībai, bija vissvarīgākā kulta darbība, un tai acīmredzot bija jāpauž valsts un tās valdnieka mistiskā identitāte. Valsts iedzīvotāji no lauksaimniecības darbiem brīvajā gada daļā strādāja pie kapa būvniecības. Vairāki teksti liecina par uzmanību un rūpēm, ko paši ķēniņi (kaut arī vēlāk) veltīja sava kapa celtniecībai un tās celtniekiem. Ir zināms arī par īpašajiem kulta godiem, kas izrādījās pati piramīda.
Pamatjēdzieni
Piramīda Tiek saukts daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris, bet pārējās skaldnes ir trijstūri ar kopēju virsotni.
Apotēma- regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas;
Sānu sejas- trijstūri, kas saplūst augšpusē;
Sānu ribas- sānu virsmu kopīgās puses;
piramīdas virsotne- punkts, kas savieno sānu malas un neatrodas pamatnes plaknē;
Augstums- perpendikula segments, kas novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei (šī segmenta gali ir piramīdas augšdaļa un perpendikula pamatne);
Piramīdas šķērsgriezums pa diagonāli- piramīdas posms, kas iet cauri pamatnes augšai un diagonālei;
Bāze- daudzstūris, kas nepieder piramīdas virsotnei.
Pareizās piramīdas galvenās īpašības
Sānu malas, sānu malas un apotēmas ir attiecīgi vienādas.
Divšķautņu leņķi pie pamatnes ir vienādi.
Divšķautņu leņķi sānu malās ir vienādi.
Katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām pamata virsotnēm.
Katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām sānu virsmām.
Piramīdas pamatformulas
Piramīdas sānu un pilnas virsmas laukums.
Piramīdas sānu virsmas laukums (pilnā un saīsinātā) ir visu tās sānu virsmu laukumu summa, kopējais virsmas laukums ir visu tās virsmu laukumu summa.
Teorēma: Regulāras piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no piramīdas pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.
lpp- pamatnes perimetrs;
h- apotēms.
Nošķeltas piramīdas sānu un pilno virsmu laukums.
p1, lpp 2 - bāzes perimetri;
h- apotēms.
R- parastas nošķeltas piramīdas kopējais virsmas laukums;
S pusē- regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums;
S1 + S2- bāzes platība
Piramīdas tilpums
Veidlapa Tilpuma skalu izmanto jebkura veida piramīdām.
H ir piramīdas augstums.
Piramīdas leņķi
Leņķus, ko veido piramīdas sānu virsma un pamatne, sauc par diedrālajiem leņķiem piramīdas pamatnē.
Divskaldņu leņķi veido divi perpendikuli.
Lai noteiktu šo leņķi, bieži ir jāizmanto trīs perpendikulu teorēma.
Tiek saukti leņķi, kurus veido sānu mala un tās projekcija uz pamatnes plakni leņķi starp sānu malu un pamatnes plakni.
Leņķi, ko veido divas sānu virsmas, sauc diedrāls leņķis piramīdas sānu malā.
Leņķi, ko veido vienas piramīdas malas divas sānu malas, sauc stūris piramīdas augšpusē.
Piramīdas sekcijas
Piramīdas virsma ir daudzskaldņa virsma. Katra no tās skaldnēm ir plakne, tāpēc piramīdas griezums, ko dod sekanta plakne, ir lauzta līnija, kas sastāv no atsevišķām taisnēm.
Diagonālā sadaļa
Piramīdas šķērsgriezumu plaknē, kas iet cauri divām sānu malām, kas neatrodas uz vienas virsmas, sauc diagonālā daļa piramīdas.
Paralēlas sadaļas
Teorēma:
Ja piramīdu šķērso pamatnei paralēla plakne, tad piramīdas sānu malas un augstumus sadala ar šo plakni proporcionālās daļās;
Šīs plaknes griezums ir daudzstūris, kas līdzīgs pamatnei;
Sekcijas un pamatnes laukumi ir saistīti viens ar otru kā to attālumu kvadrāti no augšas.
Piramīdu veidi
Pareiza piramīda- piramīda, kuras pamats ir regulārs daudzstūris, un piramīdas virsotne ir izvirzīta pamatnes centrā.
Pareizajā piramīdā:
1. sānu ribas ir vienādas
2. sānu malas ir vienādas
3. apotēmi ir vienādi
4. diedrālie leņķi pie pamatnes ir vienādi
5. divšķautņu leņķi sānu malās ir vienādi
6. katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām pamata virsotnēm
7. katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām sānu malām
Nocirsta piramīda- piramīdas daļa, kas atrodas starp tās pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla pamatnei.
Tiek saukta nošķeltas piramīdas pamatne un atbilstošā daļa nošķeltas piramīdas pamati.
Tiek saukts perpendikuls, kas novilkts no jebkura viena pamata punkta uz otras pamatnes plakni nošķeltas piramīdas augstums.
Uzdevumi
Nr.1. Labajā pusē četrstūra piramīda punkts O ir pamatnes centrs, SO=8 cm, BD=30 cm. Atrodiet sānu malu SA.
Problēmu risināšana
Nr.1. AT labā piramīda visas virsmas un malas ir vienādas.
Apskatīsim OSB: OSB-taisnstūrveida taisnstūri, jo.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Piramīda arhitektūrā
Piramīda - monumentāla struktūra parastas regulāras ģeometriskas piramīdas formā, kurā puses saplūst vienā punktā. Pēc funkcionālā mērķa piramīdas senatnē bija apbedīšanas vai pielūgsmes vieta. Piramīdas pamatne var būt trīsstūrveida, četrstūrveida vai daudzstūrveida ar patvaļīgu virsotņu skaitu, bet visizplatītākā versija ir četrstūra pamatne.
Ir zināms, uzbūvēts ievērojams skaits piramīdu dažādas kultūras senā pasaule galvenokārt kā tempļi vai pieminekļi. Lielākās piramīdas ir Ēģiptes piramīdas.
Visā Zemē var redzēt arhitektūras struktūras piramīdu formā. Piramīdas ēkas atgādina senos laikus un izskatās ļoti skaisti.
Ēģiptes piramīdas lielākais arhitektūras pieminekļi senā Ēģipte, starp kuriem viens no "septiņiem pasaules brīnumiem" ir Heopsa piramīda. No pēdas līdz virsotnei tas sasniedz 137,3 m, un, pirms tā zaudēja virsotni, tā augstums bija 146,7 m.
Slovākijas galvaspilsētas radiostacijas ēka, kas atgādina apgrieztu piramīdu, celta 1983. gadā. Papildus birojiem un dienesta telpām sējuma iekšpusē atrodas diezgan plaša koncertzāle, kurā atrodas vienas no lielākajām ērģelēm Slovākijā. .
Luvra, kas "ir klusa un majestātiska kā piramīda", gadsimtu gaitā ir piedzīvojusi daudzas izmaiņas, pirms tā kļuva par lielāko muzeju pasaulē. Tas dzimis kā cietoksnis, kuru 1190. gadā uzcēla Filips Augusts, kas drīz vien pārvērtās par karaļa rezidenci. 1793. gadā pils kļuva par muzeju. Kolekcijas tiek bagātinātas ar novēlējumu vai pirkumu palīdzību.
