Regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes malas garums. Piramīda un tās elementi

Studenti saskaras ar piramīdas jēdzienu ilgi pirms ģeometrijas studijām. Vainojiet slavenos lielos ēģiptiešu pasaules brīnumus. Tāpēc, uzsākot šī brīnišķīgā daudzskaldņa izpēti, lielākā daļa studentu jau to skaidri iztēlojas. Visi iepriekš minētie tēmēkļi ir pareizā formā. Kas labā piramīda, un kādas tam piemīt īpašības, un tas tiks apspriests tālāk.

Saskarsmē ar

Definīcija

Ir daudz piramīdas definīciju. Kopš seniem laikiem tas ir bijis ļoti populārs.

Piemēram, Eiklīds to definēja kā cietu figūru, kas sastāv no plaknēm, kuras, sākot no vienas, saplūst noteiktā punktā.

Herons sniedza precīzāku formulējumu. Viņš uzstāja, ka tā ir figūra ir bāze un lidmašīnas trijstūri, saplūst vienā punktā.

Paļaujoties uz mūsdienu interpretācija, piramīda ir attēlota kā telpisks daudzskaldnis, kas sastāv no noteiktas k-gona un k plakanas figūras trīsstūra forma kam ir viens kopīgs punkts.

Apskatīsim tuvāk, No kādiem elementiem tas sastāv?

• k-gon tiek uzskatīts par figūras pamatu;
• 3 leņķa figūriņas izvirzītas kā sānu daļas malas;
• augšējo daļu, no kuras rodas sānu elementi, sauc par augšējo;
• visus segmentus, kas savieno virsotni, sauc par malām;
• ja taisne ir nolaista no augšas uz figūras plakni 90 grādu leņķī, tad tās iekšējā telpā ietvertā daļa ir piramīdas augstums;
• jebkurā sānu elementā uz mūsu daudzskaldņa pusi varat uzzīmēt perpendikulu, ko sauc par apotēmu.

Malu skaitu aprēķina, izmantojot formulu 2*k, kur k ir k-stūra malu skaits. Cik skalu ir daudzskaldnim, piemēram, piramīdai, var noteikt ar izteiksmi k + 1.

Svarīgs! Regulāras formas piramīda ir stereometriska figūra, kuras pamatplakne ir k-gon ar vienādām malām.

Pamatīpašības

Pareiza piramīda ir daudz īpašību kas viņai ir unikāli. Uzskaitīsim tos:

1. Pamatne ir pareizas formas figūra.
2. Piramīdas malām, kas ierobežo sānu elementus, ir vienādas skaitliskās vērtības.
3. Sānu elementi ir vienādsānu trīsstūri.
4. Figūras augstuma pamatne iekrīt daudzstūra centrā, bet tajā pašā laikā centrālais punkts ievadīts un aprakstīts.
5. Visas sānu ribas ir noliektas pret pamatplakni tādā pašā leņķī.
6. Visām sānu virsmām ir vienāds slīpuma leņķis attiecībā pret pamatni.

Pateicoties visām uzskaitītajām īpašībām, elementu aprēķinu veikšana ir ievērojami vienkāršota. Pamatojoties uz iepriekš minētajām īpašībām, mēs pievēršam uzmanību divas zīmes:

1. Gadījumā, ja daudzstūris iekļaujas aplī, sānu virsmām būs pamatne vienādi leņķi.
2. Aprakstot apli ap daudzstūri, visām piramīdas malām, kas izplūst no virsotnes, būs vienāds garums un vienādi leņķi ar pamatni.

Laukums ir balstīts

Regulāra četrstūra piramīda - daudzskaldnis, kura pamatā ir kvadrāts.

Tam ir četras sānu virsmas, kas pēc izskata ir vienādsānu.

Plaknē ir attēlots kvadrāts, bet to pamatā ir visas regulāra četrstūra īpašības.

Piemēram, ja ir nepieciešams savienot kvadrāta malu ar tā diagonāli, tad tiek izmantota šāda formula: diagonāle ir vienāda ar kvadrāta malas un divu kvadrātsaknes reizinājumu.

Pamatojoties uz regulāru trīsstūri

Pareizi trīsstūrveida piramīda ir daudzskaldnis, kura pamatne ir regulārs 3 stūru.

Ja pamatne ir regulārs trīsstūris un sānu malas ir vienādas ar pamatnes malām, tad šāds skaitlis sauc par tetraedru.

Visas tetraedra skaldnes ir vienādmalu 3 stūri. Šajā gadījumā jums jāzina daži punkti un netērējiet tiem laiku, veicot aprēķinus:

• ribu slīpuma leņķis pret jebkuru pamatni ir 60 grādi;
• visu iekšējo virsmu vērtība arī ir 60 grādi;
• jebkura seja var darboties kā pamats;
• attēlā ir vienādi elementi.

Daudzskaldņa griezumi

Jebkurā daudzskaldņā tādi ir vairāku veidu sadaļas lidmašīna. Bieži vien iekšā skolas kurssģeometrijas darbojas ar diviem:

• aksiāls;
• paralēlā bāze.

Aksiālo griezumu iegūst, krustojot daudzskaldni ar plakni, kas iet caur virsotni, sānu malām un asi. Šajā gadījumā ass ir augstums, kas novilkts no virsotnes. Griešanas plakni ierobežo krustošanās līnijas ar visām skaldnēm, kā rezultātā veidojas trīsstūris.

Uzmanību! AT labā piramīda aksiālā daļa ir vienādsānu trīsstūris.

Ja griešanas plakne iet paralēli pamatnei, tad rezultāts ir otrā iespēja. Šajā gadījumā mēs esam kontekstā ar skaitli, kas ir līdzīgs bāzei.

Piemēram, ja pamatne ir kvadrāts, tad arī pamatnei paralēlā sadaļa būs kvadrāts, tikai mazāka izmēra.

Risinot problēmas ar šo nosacījumu, tiek izmantotas figūru līdzības zīmes un īpašības, pamatojoties uz Thales teorēmu. Pirmkārt, ir jānosaka līdzības koeficients.

Ja plakne ir novilkta paralēli pamatnei, un tā nogriežas augšējā daļa daudzskaldnis, tad apakšējā daļā tiek iegūta regulāra nošķelta piramīda. Tad nošķelta daudzskaldņa pamati tiek uzskatīti par līdzīgiem daudzstūriem. Šajā gadījumā sānu virsmas ir vienādsānu trapeces. Aksiālā daļa ir arī vienādsānu.

Lai noteiktu nošķelta daudzskaldņa augstumu, augstums jānozīmē aksiālā griezumā, tas ir, trapecveida formā.

Virsmas laukumi

Galvenās ģeometriskās problēmas, kas jāatrisina skolas ģeometrijas kursā, ir piramīdas virsmas laukuma un tilpuma atrašana.

Ir divu veidu virsmas laukums:

• sānu elementu laukums;
• visu virsmas laukumu.

No paša virsraksta ir skaidrs, par ko ir runa. Sānu virsma ietver tikai sānu elementus. No tā izriet, ka, lai to atrastu, jums vienkārši jāsaskaita sānu plakņu laukumi, tas ir, vienādsānu 3 stūru laukumi. Mēģināsim iegūt formulu sānu elementu laukumam:

1. Vienādsānu 3 stūra laukums ir Str=1/2(aL), kur a ir pamatnes mala, L ir apotēma.
2. Sānu plakņu skaits ir atkarīgs no k-gon veida pie pamatnes. Piemēram, regulārai četrstūra piramīdai ir četras sānu plaknes. Tāpēc ir jāsaskaita četru skaitļu laukumi Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izteiksme ir vienkāršota šādā veidā, jo vērtība 4a=POS, kur POS ir bāzes perimetrs. Un izteiksme 1/2 * Rosn ir tā pusperimetrs.
3. Tātad, mēs secinām, ka regulāras piramīdas sānu elementu laukums ir vienāds ar pamatnes pusperimetra un apotēmas reizinājumu: Sside \u003d Rosn * L.

Kvadrāts pilna virsma piramīda sastāv no sānu plakņu un pamatnes laukumu summas: Sp.p = Sside + Sbase.

Kas attiecas uz pamatnes laukumu, šeit tiek izmantota formula atbilstoši daudzstūra veidam.

Regulāras piramīdas tilpums ir vienāds ar pamatplaknes laukuma un augstuma reizinājumu, kas dalīts ar trīs: V=1/3*Sbāze*H, kur H ir daudzskaldņa augstums.

Kas ir regulāra piramīda ģeometrijā

Regulāras četrstūra piramīdas īpašības

Trīsstūrveida piramīda ir piramīda, kuras pamatā ir trīsstūris. Šīs piramīdas augstums ir perpendikuls, kas ir nolaists no piramīdas augšas līdz pamatiem.

Piramīdas augstuma atrašana

Kā uzzināt piramīdas augstumu? Ļoti vienkārši! Lai atrastu jebkuras trīsstūrveida piramīdas augstumu, var izmantot tilpuma formulu: V = (1/3)Sh, kur S ir pamatlaukums, V ir piramīdas tilpums, h ir tās augstums. No šīs formulas iegūstiet augstuma formulu: lai atrastu trīsstūrveida piramīdas augstumu, piramīdas tilpums jāreizina ar 3 un pēc tam iegūtā vērtība jādala ar pamatlaukumu, tā būs: h \u003d (3V ) / S. Tā kā trīsstūrveida piramīdas pamatne ir trīsstūris, varat izmantot formulu trijstūra laukuma aprēķināšanai. Ja zinām: trijstūra S laukums un tā malas z, tad pēc laukuma formulas S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kur h piramīdas augstums, γ ir trīsstūra mala; leņķi starp trijstūra malām un pašām abām malām, pēc tam, izmantojot šādu formulu: S = (1/2)γφsinQ, kur γ, φ ir trijstūra malas, mēs atrodam trīsstūra laukumu. Leņķa Q sinusa vērtība jāskatās sinusu tabulā, kas ir internetā. Tālāk mēs aizvietojam laukuma vērtību augstuma formulā: h = (2S)/γ. Ja uzdevums prasa aprēķināt trīsstūrveida piramīdas augstumu, tad piramīdas tilpums jau ir zināms.

Regulāra trīsstūrveida piramīda

Atrodiet regulāras trīsstūrveida piramīdas, t.i., piramīdas, kuras visas skaldnes ir vienādmalu trīsstūri, augstumu, zinot malas γ lielumu. Šajā gadījumā piramīdas malas ir vienādmalu trīsstūru malas. Regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums būs: h = γ√(2/3), kur γ ir vienādmalu trijstūra mala, h ir piramīdas augstums. Ja pamatnes laukums (S) nav zināms un ir norādīts tikai daudzskaldņa malas garums (γ) un tilpums (V), tad nepieciešamais mainīgais iepriekšējā soļa formulā ir jāaizstāj. ar tā ekvivalentu, ko izsaka ar malas garumu. Trijstūra laukums (regulārs) ir vienāds ar 1/4 no šī trijstūra malas garuma reizinājuma, kas reizināts ar kvadrātsakni no 3. Mēs aizstājam šo formulu iepriekšējās formulas pamatlaukuma vietā. , un mēs iegūstam šādu formulu: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12 V/(γ 2 √3). Tetraedra tilpumu var izteikt ar tā malas garumu, tad no figūras augstuma aprēķināšanas formulas var izņemt visus mainīgos un atstāt tikai figūras trīsstūrveida skaldnes malu. Šādas piramīdas tilpumu var aprēķināt, dalot ar 12 no reizinājuma tās sejas garumu kubā ar kvadrātsakni no 2.

Šo izteiksmi aizstājam ar iepriekšējo formulu, aprēķinam iegūstam šādu formulu: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Tāpat sfērā var ierakstīt regulāru trīsstūrveida prizmu, un, zinot tikai sfēras rādiusu (R), var atrast pašu tetraedra augstumu. Tetraedra malas garums ir: γ = 4R/√6. Mainīgo γ aizstājam ar šo izteiksmi iepriekšējā formulā un iegūstam formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. To pašu formulu var iegūt, zinot tetraedrā ierakstīta riņķa rādiusu (R). Šajā gadījumā trīsstūra malas garums būs vienāds ar 12 attiecībām starp kvadrātsakne 6 un rādiuss. Mēs aizstājam šo izteiksmi ar iepriekšējo formulu un iegūstam: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kā atrast regulāras četrstūra piramīdas augstumu

Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrast piramīdas augstuma garumu, jums jāzina, kas ir parastā piramīda. Četrstūra piramīda ir piramīda, kuras pamatā ir četrstūris. Ja problēmas apstākļos mums ir: piramīdas tilpums (V) un pamatnes laukums (S), tad daudzskaldņa (h) augstuma aprēķināšanas formula būs šāda. - sadaliet tilpumu, kas reizināts ar 3, ar laukumu S: h \u003d (3V) / S. Ar piramīdas kvadrātveida pamatni ar zināmu: doto tilpumu (V) un malas garumu γ, aizvietot laukumu (S) iepriekšējā formulā ar malas garuma kvadrātu: S = γ 2 ; H = 3 V/γ 2 . Parastās piramīdas augstums h = SO iet tieši caur apļa centru, kas ir norobežots netālu no pamatnes. Tā kā šīs piramīdas pamats ir kvadrāts, punkts O ir diagonāļu AD un BC krustošanās punkts. Mums ir: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Tālāk taisnleņķa trijstūrī SOC (saskaņā ar Pitagora teorēmu) atrodam: SO = √(SC 2 -OC 2). Tagad jūs zināt, kā atrast parastās piramīdas augstumu.

Hipotēze: mēs uzskatām, ka piramīdas formas pilnība ir saistīta ar matemātiskie likumi iestrādāts tā formā.

Mērķis: piramīdas izpēte ģeometrisks ķermenis, lai izskaidrotu tās formas pilnību.

Uzdevumi:

1. Sniedziet piramīdas matemātisko definīciju.

2. Pētīt piramīdu kā ģeometrisku ķermeni.

3. Saprast, kādas matemātiskās zināšanas ēģiptieši ielikuši savās piramīdās.

Privāti jautājumi:

1. Kas ir piramīda kā ģeometrisks ķermenis?

2. Kā matemātiski izskaidrojama piramīdas unikālā forma?

3. Kas izskaidro piramīdas ģeometriskos brīnumus?

4. Kas izskaidro piramīdas formas pilnību?

Piramīdas definīcija.

PIRAMĪDA (no grieķu piramis, ģints n. pyramidos) - daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris, bet atlikušās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni (figūra). Pēc pamatnes stūru skaita piramīdas ir trīsstūrveida, četrstūrveida utt.

PIRAMĪDA - monumentāla celtne, kurai ir piramīdas ģeometriskā forma (dažkārt arī pakāpienveida vai torņa formas). Senās Ēģiptes faraonu milzu kapenes 3.-2. gadu tūkstotī pirms mūsu ēras sauc par piramīdām. e., kā arī seno amerikāņu tempļu postamenti (Meksikā, Gvatemalā, Hondurasā, Peru), kas saistīti ar kosmoloģiskajiem kultiem.

Iespējams, ka Grieķu vārds"piramīda" nāk no ēģiptiešu izteiciena per-em-us, tas ir, no termina, kas nozīmēja piramīdas augstumu. Ievērojamais krievu ēģiptologs V. Struve uzskatīja, ka grieķu “puram…j” nāk no senēģiptiešu “p”-mr.

No vēstures. Izpētījis materiālu Atanasjana autoru mācību grāmatā "Ģeometrija". Butuzova un citi, mēs uzzinājām, ka: Daudzskaldnis, kas sastāv no n-stūra A1A2A3 ... An un n trijstūriem RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, sauc par piramīdu. Daudzstūris A1A2A3 ... An ir piramīdas pamats, un trijstūri RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ir piramīdas sānu malas, P ir piramīdas virsotne, segmenti RA1, RA2, .. ., RAn ir sānu malas.

Tomēr šāda piramīdas definīcija ne vienmēr pastāvēja. Piemēram, sengrieķu matemātiķis, līdz mums nonākušo teorētisko matemātikas traktātu autors Eiklīds piramīdu definē kā cietu figūru, ko ierobežo plaknes, kas saplūst no vienas plaknes vienā punktā.

Bet šī definīcija ir kritizēta jau senatnē. Tāpēc Herons ieteica šādu definīciju piramīdas: "Šī ir figūra, ko ierobežo trijstūri, kas saplūst vienā punktā un kura pamatne ir daudzstūris."

Mūsu grupa, salīdzinot šīs definīcijas, nonāca pie secinājuma, ka tajās nav skaidra jēdziena “pamats” formulējuma.

Mēs izpētījām šīs definīcijas un atradām Adrienas Marijas Ledžendras definīciju, kura 1794. gadā savā darbā “Ģeometrijas elementi” piramīdu definēja šādi: “Piramīda ir ķermeņa figūra, ko veido trīsstūri, kas saplūst vienā punktā un beidzas dažādās piramīdas malās. plakana pamatne."

Mums tā šķiet pēdējā definīcija sniedz skaidru priekšstatu par piramīdu, jo tas runā par to, ka pamatne ir plakana. Vēl viena piramīdas definīcija parādījās 19. gadsimta mācību grāmatā: "piramīda ir ciets leņķis, ko šķērso plakne."

Piramīda kā ģeometrisks ķermenis.

Tas. Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena skaldne (pamatne) ir daudzstūris, pārējās skalas (malas) ir trijstūri, kuriem ir viena kopīga virsotne (piramīdas virsotne).

Tiek saukts perpendikuls, kas novilkts no piramīdas augšdaļas līdz pamatnes plaknei augstumsh piramīdas.

Papildus patvaļīgai piramīdai ir labā piramīda, kura pamatnē ir regulārs daudzstūris un nošķelta piramīda.

Attēlā - piramīda PABCD, ABCD - tās pamatne, PO - augstums.

Pilna virsmas laukums Piramīdu sauc par visu tās virsmu laukumu summu.

Pilns = Sside + Sbase, kur Sside ir sānu virsmu laukumu summa.

piramīdas tilpums tiek atrasts pēc formulas:

V=1/3Sbāze h, kur Sosn. - bāzes platība h- augstums.

Parastās piramīdas ass ir taisna līnija, kas satur tās augstumu.
Apothem ST - regulāras piramīdas sānu virsmas augstums.

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir izteikts šādi: Sside. =1/2P h, kur P ir pamatnes perimetrs, h- sānu virsmas augstums (parastas piramīdas apotēma). Ja piramīdu šķērso plakne A'B'C'D' paralēli pamatnei, tad:

1) sānu malas un augstumu ar šo plakni dala proporcionālās daļās;

2) griezumā iegūts daudzstūris A'B'C'D', līdzīgi kā pamats;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Nošķeltas piramīdas pamati ir līdzīgi daudzstūri ABCD un A`B`C`D`, sānu malas ir trapeces.

Augstums nošķelta piramīda - attālums starp pamatnēm.

Saīsināts apjoms Piramīdu var atrast pēc formulas:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Parastas nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir izteikts šādi: Sside. = ½(P+P') h, kur P un P’ ir pamatu perimetrs, h- sānu sejas augstums (dzīres saīsināta regulāra apotēma

Piramīdas sekcijas.

Piramīdas sekcijas ar plaknēm, kas iet cauri tās virsotnei, ir trīsstūri.

Tiek saukts posms, kas iet cauri divām piramīdas sānu malām, kas nav blakus diagonālā daļa.

Ja posms iet caur punktu sānu malā un pamatnes malā, tad šī puse būs tā pēda piramīdas pamatnes plaknē.

Sadaļa, kas iet caur punktu, kas atrodas uz piramīdas virsmas, un noteikta sekcija uz pamatnes plaknes, tad konstrukcija jāveic šādi:

atrodiet dotās skaldnes plaknes un piramīdas griezuma pēdas krustošanās punktu un apzīmējiet to;

izveidot taisnu līniju, kas iet cauri dots punkts un iegūtais krustošanās punkts;

· Atkārtojiet šīs darbības nākamajām sejām.

, kas atbilst taisnleņķa trijstūra kāju attiecībai 4:3. Šī kāju attiecība atbilst labi zināmajam taisnleņķa trīsstūrim ar malām 3:4:5, ko sauc par "ideālo", "svēto" vai "Ēģiptes" trīsstūri. Pēc vēsturnieku domām, "Ēģiptes" trīsstūrim tika piešķirta maģiska nozīme. Plutarhs rakstīja, ka ēģiptieši Visuma dabu salīdzināja ar "svētu" trīsstūri; viņi simboliski pielīdzināja vertikālo kāju vīram, pamatni sievai un hipotenūzu ar to, kas ir dzimis no abiem.

Trijstūrim 3:4:5 vienādība ir patiesa: 32 + 42 = 52, kas izsaka Pitagora teorēmu. Vai tā nav tā teorēma, kuru viņi gribēja iemūžināt Ēģiptes priesteri, uzbūvējot piramīdu, pamatojoties uz trīsstūri 3:4:5? Ir grūti atrast labāku piemēru, lai ilustrētu Pitagora teorēmu, kas ēģiptiešiem bija zināma ilgi pirms Pitagora atklājuma.

Tādējādi ģeniālie Ēģiptes piramīdu veidotāji centās pārsteigt savus tālos pēcnācējus ar savu zināšanu dziļumu, un viņi to panāca, izvēloties “zeltu” kā “galveno ģeometrisko ideju” Heopsa piramīdai. taisnleņķa trīsstūris, un Khafre piramīdai - "svētais" vai "Ēģiptes" trīsstūris.

Ļoti bieži savos pētījumos zinātnieki izmanto piramīdu īpašības ar Zelta griezuma proporcijām.

Matemātikā enciklopēdiskā vārdnīca ir dota sekojoša Zelta griezuma definīcija - tas ir harmoniskais dalījums, dalījums galējā un vidējā attiecībā - segmenta AB sadalīšana divās daļās tā, ka lielākā daļa no tā AC ir vidējais proporcionāls starp visu segmentu AB un tā mazākā daļa CB.

Segmenta zelta griezuma algebriskais atradums AB = a reducē līdz vienādojuma a atrisināšanai: x = x: (a - x), kur x ir aptuveni vienāds ar 0,62a. Attiecību x var izteikt kā daļskaitļus 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kur 2, 3, 5, 8, 13, 21 ir Fibonači skaitļi.

Segmenta AB zelta griezuma ģeometriskā konstrukcija tiek veikta šādi: punktā B tiek atjaunots perpendikuls pret AB, uz tā tiek uzlikts segments BE \u003d 1/2 AB, A un E ir savienoti, DE \ u003d BE tiek atlikta un, visbeidzot, AC \u003d AD, tad ir izpildīta vienādība AB: CB = 2: 3.

zelta griezums bieži izmanto mākslas darbos, arhitektūrā, atrodami dabā. Spilgti piemēri ir Apollona Belvederes skulptūra, Partenons. Partenona būvniecības laikā tika izmantota ēkas augstuma attiecība pret tās garumu un šī attiecība ir 0,618. Apkārtējie objekti sniedz arī zelta koeficienta piemērus, piemēram, daudzu grāmatu iesējumos platuma un garuma attiecība ir tuvu 0,618. Ņemot vērā lapu izvietojumu uz kopēja augu stumbra, var pamanīt, ka starp katriem diviem lapu pāriem Zelta koeficienta (slaidu) vietā atrodas trešā. Katrs no mums “nēsā” Zelta koeficientu ar mums “rokās” - tā ir pirkstu falangu attiecība.

Pateicoties vairāku matemātisko papirusu atklāšanai, ēģiptologi ir kaut ko uzzinājuši par seno ēģiptiešu aprēķinu un mēru sistēmām. Tajos ietvertos uzdevumus risināja rakstu mācītāji. Viens no slavenākajiem ir Rhind matemātiskais papiruss. Pētot šīs mīklas, ēģiptologi uzzināja, kā senie ēģiptieši tika galā ar tiem dažādi daudzumi, kas radās, aprēķinot svara, garuma un tilpuma mērus, kuros bieži tika izmantotas frakcijas, kā arī tas, kā tie tika galā ar leņķiem.

Senie ēģiptieši izmantoja leņķu aprēķināšanas metodi, pamatojoties uz taisnleņķa trijstūra augstuma un pamatnes attiecību. Viņi izteica jebkuru leņķi gradienta valodā. Slīpuma gradients tika izteikts kā vesela skaitļa attiecība, ko sauca par "seked". Ričards Pillins grāmatā Matemātika faraonu laikos skaidro: “Regulāras piramīdas seked ir jebkuras no četrām trīsstūrveida skaldnēm slīpums pret pamatnes plakni, ko mēra ar n-to horizontālo vienību skaitu uz vertikālo augstuma vienību. . Tādējādi šī mērvienība ir līdzvērtīga mūsu mūsdienu slīpuma leņķa kotangensam. Tāpēc ēģiptiešu vārds "seked" ir saistīts ar mūsu mūsdienu vārds"gradients"".

Piramīdu ciparu atslēga slēpjas to augstuma attiecībā pret pamatni. AT praktiskā ziņā- tas ir vienkāršākais veids, kā izveidot veidnes, kas nepieciešamas, lai piramīdas būvniecības laikā pastāvīgi pārbaudītu pareizo slīpuma leņķi.

Ēģiptologi labprāt mūs pārliecinātu, ka katrs faraons ļoti vēlējies paust savu individualitāti, tāpēc arī katras piramīdas slīpuma leņķi atšķiras. Bet var būt cits iemesls. Varbūt viņi visi gribēja iemiesot dažādas simboliskas asociācijas, kas slēptas dažādās proporcijās. Tomēr Hafres piramīdas leņķis (pamatojoties uz trijstūri (3:4:5)) parādās trijās problēmās, ko uzrāda Rhind matemātiskā papirusa piramīdas. Tātad šī attieksme bija labi zināma senajiem ēģiptiešiem.

Lai būtu godīgi pret ēģiptologiem, kuri apgalvo, ka senie ēģiptieši nezināja trīsstūri 3:4:5, pieņemsim, ka 5. hipotenūzas garums nekad netika minēts. Bet matemātiskās problēmas, kas attiecas uz piramīdām, vienmēr tiek atrisinātas, pamatojoties uz slīpuma leņķi - augstuma un pamatnes attiecību. Tā kā hipotenūzas garums nekad netika minēts, tika secināts, ka ēģiptieši nekad nav aprēķinājuši trešās puses garumu.

Gīzas piramīdās izmantotās augstuma un pamatnes attiecības, bez šaubām, zināja senie ēģiptieši. Iespējams, ka šīs attiecības katrai piramīdai tika izvēlētas patvaļīgi. Tomēr tas ir pretrunā ar nozīmi, kas tiek piešķirta skaitliskajai simbolikai visu veidu ēģiptiešu valodā vizuālās mākslas. Ļoti iespējams, ka šādām attiecībām bija liela nozīme, jo tās pauda konkrētas reliģiskas idejas. Citiem vārdiem sakot, viss Gīzas komplekss tika pakļauts saskaņotam dizainam, kas paredzēts, lai atspoguļotu kādu dievišķu tēmu. Tas izskaidro, kāpēc dizaineri izvēlējās dažādi leņķi trīs piramīdu slīpums.

Grāmatā "Oriona noslēpums" Bauvals un Gilberts sniedza pārliecinošus pierādījumus par Gīzas piramīdu saistību ar Oriona zvaigznāju, jo īpaši ar Oriona jostas zvaigznēm. Tas pats zvaigznājs ir sastopams mītā par Isīdu un Ozīrisu, un ir iemesls uzskatīt katru piramīdu par vienu no trim galvenajām dievībām - Ozīrisu, Izīdu un Horu - attēlu.

BRĪNUMI "ĢEOMETRISKA".

Starp grandiozajām Ēģiptes piramīdām īpašu vietu ieņem Lielā faraona Heopsa piramīda (Khufu). Pirms turpināt Heopsa piramīdas formas un izmēra analīzi, jāatceras, kādu mēru sistēmu izmantoja ēģiptieši. Ēģiptiešiem bija trīs garuma vienības: "olektis" (466 mm), kas vienāds ar septiņām "plaukstām" (66,5 mm), kas, savukārt, bija vienāds ar četriem "pirkstiem" (16,6 mm).

Analizēsim Heopsa piramīdas izmērus (2. att.), vadoties pēc ukraiņu zinātnieka Nikolaja Vasjutinska brīnišķīgajā grāmatā "Zelta proporcija" (1990) sniegtā argumentācijas.

Lielākā daļa pētnieku piekrīt, ka piramīdas pamatnes malas garums, piemēram, GF ir vienāds ar L\u003d 233,16 m. Šī vērtība gandrīz precīzi atbilst 500 "ekti". Pilnīga atbilstība 500 "ektim" būs tad, ja uzskatīs, ka "olektis" garums ir vienāds ar 0,4663 m.

Piramīdas augstums ( H) pētnieki lēš atšķirīgi no 146,6 līdz 148,2 m Un atkarībā no pieņemtā piramīdas augstuma mainās visas tās ģeometrisko elementu attiecības. Kāds ir iemesls piramīdas augstuma novērtējuma atšķirībām? Fakts ir tāds, ka, stingri ņemot, Heopsa piramīda ir saīsināta. Tās augšējās platformas izmērs šodien ir aptuveni 10 × 10 m, bet pirms gadsimta tā bija 6 × 6 m. Ir acīmredzams, ka piramīdas virsotne tika demontēta, un tā neatbilst oriģinālajai.

Novērtējot piramīdas augstumu, jāņem vērā tāds fiziskais faktors kā konstrukcijas "melnraksts". Aiz muguras ilgu laiku kolosāla spiediena ietekmē (sasniedzot 500 tonnas uz 1 m2 apakšējās virsmas) piramīdas augstums samazinājās, salīdzinot ar tās sākotnējo augstumu.

Kāds bija piramīdas sākotnējais augstums? Šo augstumu var atjaunot, ja atrodat piramīdas pamata "ģeometrisko ideju".

2. attēls.

1837. gadā angļu pulkvedis G. Wise izmērīja piramīdas šķautņu slīpuma leņķi: izrādījās, ka tas ir vienāds ar a= 51°51". Šo vērtību joprojām atzīst lielākā daļa pētnieku arī mūsdienās. Norādītā leņķa vērtība atbilst pieskarei (tg a), vienāds ar 1,27306. Šī vērtība atbilst piramīdas augstuma attiecībai AC līdz pusei no tās pamatnes CB(2. att.), t.i. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Un šeit pētniekus gaidīja liels pārsteigums!.png" width="25" height="24">= 1,272. Salīdzinot šo vērtību ar tg vērtību a= 1,27306, mēs redzam, ka šīs vērtības ir ļoti tuvas viena otrai. Ja ņemam leņķi a\u003d 51 ° 50", tas ir, samaziniet to tikai par vienu loka minūte, tad vērtība a kļūs vienāds ar 1,272, tas ir, tas sakritīs ar vērtību . Jāpiebilst, ka 1840. gadā G. Wise atkārtoja savus mērījumus un precizēja, ka leņķa vērtība a=51°50".

Šie mērījumi ir noveduši pētniekus uz sekojošo interesanta hipotēze: Heopsa piramīdas trīsstūris ASV tika balstīts uz sakarību AC / CB = = 1,272!

Apsveriet tagad taisnleņķa trīsstūri ABC, kurā kāju attiecība AC / CB= (2. att.). Ja tagad taisnstūra malu garumi ABC apzīmē ar x, y, z, kā arī jāņem vērā, ka attiecība y/x= , tad saskaņā ar Pitagora teorēmu garums z var aprēķināt pēc formulas:

Ja pieņem x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3. attēls"Zelta" taisnleņķa trīsstūris.

Taisnstūra trīsstūris, kura malas ir saistītas kā t:zelta" taisnleņķa trīsstūris.

Tad, ja par pamatu ņemam hipotēzi, ka galvenā Heopsa piramīdas "ģeometriskā ideja" ir "zelta" taisnleņķa trīsstūris, tad no šejienes ir viegli aprēķināt Heopsa piramīdas "dizaina" augstumu. Tas ir vienāds ar:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Tagad atvasināsim dažas citas Heopsa piramīdas attiecības, kas izriet no "zelta" hipotēzes. Jo īpaši mēs atrodam piramīdas ārējā laukuma attiecību pret tās pamatnes laukumu. Lai to izdarītu, mēs ņemam kājas garumu CB uz vienību, tas ir: CB= 1. Bet tad piramīdas pamatnes malas garums GF= 2 un pamatnes laukums EFGH būs vienāds ar SEFGH = 4.

Tagad aprēķināsim Heopsa piramīdas sānu virsmas laukumu SD. Tā kā augstums AB trīsstūris AEF ir vienāds ar t, tad sānu virsmas laukums būs vienāds ar SD = t. Tad visu četru piramīdas sānu virsmu kopējais laukums būs vienāds ar 4 t, un piramīdas kopējā ārējā laukuma attiecība pret pamatplatību būs vienāda ar zelta griezumu! Tā tas ir - galvenais Heopsa piramīdas ģeometriskais noslēpums!

Heopsa piramīdas "ģeometrisko brīnumu" grupā ietilpst reālas un tālejošas attiecības starp dažādi izmēri piramīdā.

Parasti tos iegūst, meklējot kādu "konstanti", jo īpaši skaitli "pi" (Lūdolfa skaitlis), kas vienāds ar 3,14159...; naturālo logaritmu bāzes "e" (Napjē skaitlis), kas vienādas ar 2,71828...; skaitlis "F", "zelta sekcijas" numurs, vienāds, piemēram, 0,618 ... utt.

Varat nosaukt, piemēram: 1) Hērodota īpašums: (augstums) 2 \u003d 0,5 st. galvenais x Apotēms; 2) Īpašums V. Cena: Augstums: 0,5 st. osn \u003d Kvadrātsakne no "Ф"; 3) M. Eista īpašums: Pamatnes perimetrs: 2 Augstums = "Pi"; citā interpretācijā - 2 ēd.k. galvenais : Augstums = "Pi"; 4) G. Rēbera īpašums: Ierakstītā apļa rādiuss: 0,5 st. galvenais = "F"; 5) K. Klepiša īpašums: (St. Main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. Main. W. Apothem) \u003d 2 (st. Main. x Apothem) : (( 2. galvenā X Apothem) + (st. galvenā) 2). utt. Jūs varat izdomāt daudz šādu īpašību, it īpaši, ja savienojat divas blakus esošās piramīdas. Piemēram, kā "A. Arefjeva īpašības" var minēt, ka starpība starp Heopsa piramīdas un Hafres piramīdas tilpumiem ir vienāda ar divreiz lielāku Menkaures piramīdas tilpumu...

Daudzi interesanti noteikumi, jo īpaši par piramīdu būvniecību saskaņā ar "zelta griezumu", ir izklāstīti D. Hembidžas grāmatās "Dinamiskā simetrija arhitektūrā" un M. Gīka "Proporcionalitātes estētika dabā un mākslā". Atgādinām, ka "zelta griezums" ir segmenta dalījums šādā proporcijā, kad daļa A ir tik reižu lielāka par daļu B, cik reižu A ir mazāka par visu segmentu A + B. Attiecība A / B ir vienāds ar skaitli "Ф" == 1,618. .. "Zelta griezuma" izmantošana norādīta ne tikai atsevišķās piramīdās, bet visā piramīdu kompleksā Gīzā.

Tomēr pats dīvainākais ir tas, ka tā pati Heopsa piramīda vienkārši "nevar uzņemt" tik daudz brīnumainas īpašības. Paņemot kādu konkrētu īpašumu pa vienam, var to "pieregulēt", bet visi uzreiz neder - nesakrīt, ir pretrunā viens otram. Tāpēc, ja, piemēram, pārbaudot visas īpašības, sākotnēji tiek ņemta viena un tā pati piramīdas pamatnes mala (233 m), tad arī piramīdu augstumi ar dažādām īpašībām būs atšķirīgi. Citiem vārdiem sakot, pastāv noteikta piramīdu "ģimene", kas ārēji līdzīga Heopsa piramīdam, bet atbilst dažādām īpašībām. Ņemiet vērā, ka "ģeometriskajās" īpašībās nav nekā īpaši brīnumaina - daudz kas rodas tīri automātiski, no pašas figūras īpašībām. Par "brīnumu" jāuzskata tikai kaut kas senajiem ēģiptiešiem acīmredzami neiespējams. Tas jo īpaši ietver "kosmiskos" brīnumus, kuros Heopsa piramīdas vai piramīdas kompleksa Gīzā mērījumi tiek salīdzināti ar dažiem astronomiskiem mērījumiem un norādīti "pāra" skaitļi: miljons reižu, miljards reižu mazāk un tā tālāk. Apskatīsim dažas "kosmiskās" attiecības.

Viens no apgalvojumiem ir šāds: "ja dalām piramīdas pamatnes malu ar precīzu gada garumu, mēs iegūstam tieši 10 miljono daļu no zemes ass." Aprēķiniet: sadaliet 233 ar 365, iegūstam 0,638. Zemes rādiuss ir 6378 km.

Cits apgalvojums patiesībā ir pretējs iepriekšējam. F. Noetlings norādīja, ka, ja izmanto viņa izgudroto "Ēģiptes elkoni", tad piramīdas mala atbildīs "visprecīzākajam ilgumam saules gads, izteikts ar precizitāti līdz tuvākajai dienas miljardajai daļai" - 365.540.903.777.

P. Smita apgalvojums: "Piramīdas augstums ir tieši viena miljardā daļa no attāluma no Zemes līdz Saulei." Lai gan parasti tiek ņemts augstums 146,6 m, Smits to uztvēra kā 148,2 m.Pēc mūsdienu radara mērījumiem zemes orbītas puslielākā ass ir 149 597 870 + 1,6 km. Tas ir vidējais attālums no Zemes līdz Saulei, bet perihēlijā tas ir par 5 000 000 kilometru mazāks nekā afēlijā.

Pēdējais ziņkārīgais paziņojums:

"Kā izskaidrot, ka Heopsa, Khafres un Menkaures piramīdu masas ir saistītas viena ar otru, tāpat kā planētu Zeme, Venera, Marss masas?" Aprēķināsim. Trīs piramīdu masas ir saistītas šādi: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerīns - 0,0915. Trīs planētu masu attiecības: Venera - 0,815; Zeme - 1000; Marss - 0,108.

Tātad, neskatoties uz skepsi, atzīmēsim labi zināmo apgalvojumu uzbūves saskaņu: 1) piramīdas augstums, kā līnija "iet kosmosā" - atbilst attālumam no Zemes līdz Saulei; 2) piramīdas pamatnes puse, kas ir vistuvāk "substrātam", tas ir, Zemei, ir atbildīga par zemes rādiusu un zemes cirkulāciju; 3) piramīdas tilpumi (lasi - masas) atbilst Zemei tuvāko planētu masu attiecībai. Līdzīgu "šifru" var izsekot, piemēram, bišu valodā, ko analizējis Kārlis fon Frišs. Tomēr mēs pagaidām atturamies to komentēt.

PIRAMĪDU FORMA

Slavenā piramīdu tetraedriskā forma neparādījās uzreiz. Skīti apbedījumus veidoja zemes pakalniņu - ķerru veidā. Ēģiptieši no akmens cēla “pakalnus” – piramīdas. Pirmo reizi tas notika pēc Augšēģiptes un Lejasēģiptes apvienošanās, 28. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad III dinastijas dibinātājs faraons Džosers (Zosers) saskārās ar uzdevumu stiprināt valsts vienotību.

Un šeit, pēc vēsturnieku domām, liela nozīme centrālās varas stiprināšanā bija cara "jaunajai dievišķības koncepcijai". Lai gan karaliskie apbedījumi izcēlās ar lielāku krāšņumu, tie principā neatšķīrās no galma muižnieku kapiem, tie bija vienas un tās pašas būves – mastabas. Virs kameras ar sarkofāgu, kurā atradās mūmija, tika uzbērts taisnstūrveida mazo akmeņu paugurs, kurā pēc tam tika novietota neliela celtne no lieliem akmens blokiem - "mastaba" (arābu valodā - "sols"). Sava priekšgājēja Sanakhtas mastaba vietā faraons Džosers uzcēla pirmo piramīdu. Tas bija pakāpiens un bija redzams pārejas posms no vienas arhitektūras formas uz otru, no mastabas uz piramīdu.

Tādā veidā faraonu "izaudzināja" gudrais un arhitekts Imhoteps, kuru vēlāk uzskatīja par burvi un grieķi identificēja ar dievu Asklēpiju. Likās, ka pēc kārtas būtu uzceltas sešas mastabas. Turklāt pirmā piramīda aizņēma 1125 x 115 metrus lielu platību, un tās augstums bija 66 metri (pēc Ēģiptes mēriem - 1000 "plaukstu"). Sākumā arhitekts plānoja uzbūvēt mastabu, taču nevis iegarenu, bet kvadrātveida plānojumā. Vēlāk to paplašināja, bet, tā kā pagarinājumu taisīja zemāku, izveidojās it kā divi pakāpieni.

Šāda situācija arhitektu neapmierināja, un uz milzīgas plakanas mastabas augšējās platformas Imhoteps novietoja vēl trīs, pakāpeniski samazinoties uz augšu. Kaps atradās zem piramīdas.

Ir zināmas vēl vairākas pakāpju piramīdas, bet vēlāk celtnieki pārgāja uz pazīstamāku tetraedrisku piramīdu būvniecību. Kāpēc tomēr ne trīsstūrveida vai, teiksim, astoņstūrains? Netiešu atbildi sniedz fakts, ka gandrīz visas piramīdas ir lieliski orientētas uz četriem galvenajiem punktiem, un tāpēc tām ir četras malas. Turklāt piramīda bija "māja", četrstūrainas apbedīšanas kameras apvalks.

Bet kas izraisīja seju slīpuma leņķi? Grāmatā "Proporciju princips" tam ir veltīta vesela nodaļa: "Kas varētu noteikt piramīdu leņķus." Jo īpaši ir norādīts, ka "attēls, uz kuru gravitējas vecās valstības lielās piramīdas, ir trīsstūris ar taisnu leņķi augšpusē.

Kosmosā tas ir daļēji oktaedrs: piramīda, kurā pamatnes malas un malas ir vienādas, skaldnes ir vienādmalu trīsstūri.Atsevišķi apsvērumi par šo tēmu ir sniegti Hembidža, Gīka un citās grāmatās.

Kāda ir pusoktaedra leņķa priekšrocība? Saskaņā ar arheologu un vēsturnieku aprakstiem dažas piramīdas sabruka zem sava svara. Bija vajadzīgs "izturības leņķis", enerģētiski visuzticamākais leņķis. Tīri empīriski šo leņķi var ņemt no virsotnes leņķa drūpošu sausu smilšu kaudzē. Bet, lai iegūtu precīzus datus, jums ir jāizmanto modelis. Paņemot četras stingri fiksētas bumbiņas, uz tām jāuzliek piektā un jāizmēra slīpuma leņķi. Tomēr šeit jūs varat kļūdīties, tāpēc teorētiskais aprēķins palīdz: jums vajadzētu savienot bumbiņu centrus ar līnijām (garīgi). Pamatnē jūs iegūstat kvadrātu, kura mala ir divreiz lielāka par rādiusu. Kvadrāts būs tikai piramīdas pamatne, kuras malu garums arī būs vienāds ar divkāršu rādiusu.

Tādējādi blīvs 1:4 tipa lodīšu iepakojums mums iegūs regulāru pusoktaedru.

Tomēr kāpēc daudzas piramīdas, kas tiecas uz līdzīgu formu, tomēr to nesaglabā? Droši vien piramīdas noveco. Pretēji slavenajam teicienam:

"Viss pasaulē baidās no laika, un laiks baidās no piramīdām", piramīdu celtnēm ir jānoveco, tajās var un jānotiek ne tikai ārējās laikapstākļos, bet arī iekšējās "sarukšanas" procesiem. , no kuras piramīdas var kļūt zemākas. Saraušanās iespējama arī tāpēc, ka, kā noskaidrots D. Davidoviča darbos, senie ēģiptieši izmantoja tehnoloģiju, lai izgatavotu blokus no kaļķu skaidām, citiem vārdiem sakot, no "betona". Tieši šie procesi varētu izskaidrot Medum piramīdas, kas atrodas 50 km uz dienvidiem no Kairas, iznīcināšanas iemeslu. Tā ir 4600 gadus veca, pamatnes izmēri 146 x 146 m, augstums 118 m. “Kāpēc tas ir tik sakropļots?” jautā V. Zamarovskis, “Parastās norādes uz laika postošo ietekmi un “akmens izmantošanu citām ēkām” šeit neder.

Galu galā lielākā daļa tā bloku un apšuvuma plātņu ir palikušas savās vietās līdz mūsdienām, tās pakājē drupās. "Kā mēs redzēsim, vairāki noteikumi liek aizdomāties pat par to, ka slavenā piramīda Cheops arī "sarāvies". Jebkurā gadījumā visos senajos attēlos piramīdas ir smailas ...

Piramīdu formu varētu radīt arī imitācija: daži dabiski raksti, "brīnumaina pilnība", teiksim, daži kristāli oktaedra formā.

Šādi kristāli varētu būt dimanta un zelta kristāli. Raksturīgi liels skaits"krustošas" zīmes tādiem jēdzieniem kā faraons, saule, zelts, dimants. Visur - cēli, izcili (izcili), lieliski, nevainojami un tā tālāk. Līdzības nav nejaušas.

Saules kults, kā jūs zināt, bija svarīga reliģijas sastāvdaļa. senā Ēģipte. “Neatkarīgi no tā, kā mēs tulkojam lielākās piramīdas nosaukumu,” vienā no mūsdienu mācību grāmatām teikts “Sky Khufu” vai “Sky Khufu”, tas nozīmēja, ka karalis ir saule. Ja Khufu sava spēka spožumā iedomājās sevi par otro sauli, tad viņa dēls Džedefs-Ra kļuva par pirmo no Ēģiptes karaļiem, kurš sāka saukt sevi par "Ra dēlu", tas ir, par dēlu Saule. Sauli gandrīz visas tautas simbolizēja kā "saules metālu", zeltu. "Liels spoža zelta disks" - tā ēģiptieši sauca mūsējos dienasgaisma. Ēģiptieši ļoti labi pazina zeltu, zināja tā dzimtās formas, kur zelta kristāli var parādīties oktaedru veidā.

Kā "formu paraugs" šeit interesants ir arī "saules akmens" - dimants. Dimanta nosaukums cēlies no Arābu pasaule, "almas" - visgrūtākais, grūtākais, neiznīcināmais. Senie ēģiptieši pazina dimantu, un tā īpašības ir diezgan labas. Pēc dažu autoru domām, viņi pat izmantoja bronzas caurules ar dimanta griezējiem urbšanai.

Pašlaik galvenais dimantu piegādātājs ir Dienvidāfrika, bet Rietumāfrika ir arī bagāta ar dimantiem. Mali Republikas teritoriju tur pat sauc par "Dimantu zemi". Tikmēr tieši Mali teritorijā dzīvo dogons, ar kuru paleovizīta hipotēzes atbalstītāji saista daudz cerību (skatīt zemāk). Dimanti nevarēja būt par iemeslu seno ēģiptiešu kontaktiem ar šo reģionu. Tomēr tā vai citādi, bet iespējams, ka tieši pēc dimanta un zelta kristālu oktaedru kopēšanas senie ēģiptieši dievišķoja tos par "neiznīcināmiem" kā dimantiem un "izcilus" kā zelta faraonus, Saules dēlus, salīdzināms tikai ar lielāko daļu brīnišķīgi darbi dabu.

Secinājums:

Izpētot piramīdu kā ģeometrisku ķermeni, iepazīstoties ar tās elementiem un īpašībām, pārliecinājāmies par viedokļa par piramīdas formas skaistumu pamatotību.

Pētījuma rezultātā nonācām pie secinājuma, ka ēģiptieši, savākuši visvērtīgākās matemātiskās zināšanas, tās iemiesoja piramīdā. Tāpēc piramīda patiešām ir vispilnīgākais dabas un cilvēka veidojums.

BIBLIOGRĀFIJA

"Ģeometrija: Proc. 7-9 šūnām. vispārējā izglītība iestādes \ uc - 9. izdevums - M .: Izglītība, 1999

Matemātikas vēsture skolā, M: "Apgaismība", 1982

Ģeometrijas klase 10-11, M: "Apgaismība", 2000.g

Pīters Tompkinss "Lielās Heopsa piramīdas noslēpumi", M: "Centropoligrāfs", 2005

Interneta resursi

http://veka-i-mig. *****/

http://tambovs. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Šeit ir apkopota pamatinformācija par piramīdām un saistītajām formulām un jēdzieniem. Tie visi tiek apgūti pie matemātikas pasniedzēja, gatavojoties eksāmenam.

Apsveriet plakni, daudzstūri guļ tajā un punkts S, kas tajā neguļ. Savienojiet S ar visām daudzstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldni sauc par piramīdu. Segmentus sauc par sānu malām. Daudzstūri sauc par pamatu, bet punktu S sauc par piramīdas virsotni. Atkarībā no skaitļa n piramīdu sauc par trīsstūrveida (n=3), četrstūrveida (n=4), piecstūrainu (n=5) un tā tālāk. Alternatīvs nosaukums trīsstūrveida piramīda - tetraedrs. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no tās virsotnes līdz pamatplaknei.

Piramīdu sauc par pareizu, ja regulārs daudzstūris, un piramīdas augstuma pamats (perpendikula pamats) ir tās centrs.

Pasniedzēja komentārs:
Nejauciet jēdzienus "regulāra piramīda" un "parastais tetraedrs". Parastajā piramīdā sānu malas ne vienmēr ir vienādas ar pamatnes malām, bet regulārā tetraedrā visas 6 malu malas ir vienādas. Tā ir viņa definīcija. Ir viegli pierādīt, ka vienādība nozīmē, ka daudzstūra centrs P ar augstuma pamatni, tāpēc regulārs tetraedrs ir regulāra piramīda.

Kas ir apotēms?
Piramīdas apotēma ir tās sānu virsmas augstums. Ja piramīda ir regulāra, tad visas tās apotēmas ir vienādas. Pretējais nav taisnība.

Matemātikas pasniedzējs par savu terminoloģiju: darbs ar piramīdām 80% ir veidots, izmantojot divu veidu trīsstūrus:
1) Satur apotēmu SK un augstumu SP
2) Kas satur sānu malu SA un tās projekciju PA

Lai vienkāršotu atsauces uz šiem trijstūriem, matemātikas skolotājam ir ērtāk nosaukt pirmo no tiem. apotēmisks, un otrkārt piekrastes. Diemžēl šo terminoloģiju jūs neatradīsiet nevienā mācību grāmatā, un skolotājam tā ir jāievieš vienpusēji.

Piramīdas tilpuma formula:
1) , kur ir piramīdas pamatnes laukums un piramīdas augstums
2) , kur ir ierakstītās sfēras rādiuss un piramīdas kopējais virsmas laukums.
3) , kur MN ir attālums no jebkurām divām krustojošām malām un ir paralelograma laukums, ko veido četru atlikušo malu viduspunkti.

Piramīdas augstuma pamatnes īpašums:

Punkts P (skatīt attēlu) sakrīt ar piramīdas pamatnē ierakstītā apļa centru, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1) Visi apotēmi ir vienādi
2) Visas sānu virsmas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visi apotēmi ir vienādi slīpi pret piramīdas augstumu
4) Piramīdas augstums ir vienādi slīps pret visām sānu malām

Matemātikas skolotāja komentārs: ņemiet vērā, ka visus vienumus apvieno viens kopīpašums: tā vai citādi sānu sejas piedalās visur (apotēmas ir to elementi). Tāpēc skolotājs var piedāvāt neprecīzāku, bet ērtāku formulējumu iegaumēšanai: punkts P sakrīt ar ierakstītā apļa centru, piramīdas pamatni, ja ir kāda vienlīdzīga informācija par tā sānu virsmām. Lai to pierādītu, pietiek parādīt, ka visi apotēmiskie trīsstūri ir vienādi.

Punkts P sakrīt ar ierobežotā apļa centru netālu no piramīdas pamatnes, ja ir patiess viens no trim nosacījumiem:
1) Visas sānu malas ir vienādas
2) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret augstumu

Ievads

Kad sākām pētīt stereometriskas figūras, pieskārāmies tēmai "Piramīda". Mums šī tēma patika, jo piramīdu ļoti bieži izmanto arhitektūrā. Un kopš mūsu nākotnes profesija arhitekte, iedvesmojoties no šīs figūras, domājam, ka viņa spēs mūs virzīt uz lieliskiem projektiem.

Arhitektūras konstrukciju spēks, to svarīgākā kvalitāte. Stiprības saistīšana, pirmkārt, ar materiāliem, no kuriem tie ir izveidoti, un, otrkārt, ar īpašībām konstruktīvi risinājumi, izrādās, ka konstrukcijas izturība ir tieši saistīta ar ģeometrisko formu, kas tai ir pamata.

Citiem vārdiem sakot, mēs runājam par to ģeometrisko figūru, kuru var uzskatīt par atbilstošās arhitektūras formas modeli. Izrādās, ka ģeometriskā forma nosaka arī arhitektūras struktūras izturību.

Ēģiptes piramīdas jau sen tiek uzskatītas par visizturīgāko arhitektūras celtni. Kā zināms, tām ir regulāru četrstūra piramīdu forma.

Tieši šī ģeometriskā forma nodrošina vislielāko stabilitāti lielās pamatnes platības dēļ. No otras puses, piramīdas forma nodrošina masas samazināšanos, palielinoties augstumam virs zemes. Tieši šīs divas īpašības padara piramīdu stabilu un līdz ar to spēcīgu gravitācijas apstākļos.

Projekta mērķis: uzzināt kaut ko jaunu par piramīdām, padziļināt zināšanas un atrast praktisku pielietojumu.

Lai sasniegtu šo mērķi, bija jāatrisina šādi uzdevumi:

Uzziniet vēsturisku informāciju par piramīdu

Apsveriet piramīdu kā ģeometrisku figūru

Atrodiet pielietojumu dzīvē un arhitektūrā

Atrodiet līdzības un atšķirības starp piramīdām, kas atrodas dažādas daļas Sveta

Teorētiskā daļa

Vēsturiskā informācija

Piramīdas ģeometrijas sākums tika likts Senajā Ēģiptē un Babilonijā, bet to aktīvi attīstīja g. Senā Grieķija. Pirmais, kurš noteica, ar ko ir vienāds piramīdas tilpums, bija Demokrits, un Eudokss no Knida to pierādīja. Sengrieķu matemātiķis Eiklīds sistematizēja zināšanas par piramīdu sava "Sākumu" XII sējumā, kā arī izcēla pirmo piramīdas definīciju: ķermeņa figūru, ko ierobežo plaknes, kas vienā punktā saplūst no vienas plaknes.

Ēģiptes faraonu kapenes. Lielākās no tām - Heopsa, Khafre un Mikerina piramīdas El Gizā senatnē tika uzskatītas par vienu no septiņiem pasaules brīnumiem. Piramīdas uzcelšana, kurā grieķi un romieši jau redzēja pieminekli bezprecedenta ķēniņu lepnumam un nežēlībai, kas visu Ēģiptes tautu lika bezjēdzīgai celtniecībai, bija vissvarīgākā kulta darbība, un tai acīmredzot bija jāpauž valsts un tās valdnieka mistiskā identitāte. Valsts iedzīvotāji no lauksaimniecības darbiem brīvajā gada daļā strādāja pie kapa būvniecības. Vairāki teksti liecina par uzmanību un rūpēm, ko paši ķēniņi (kaut arī vēlāk) veltīja sava kapa celtniecībai un tās celtniekiem. Ir zināms arī par īpašajiem kulta godiem, kas izrādījās pati piramīda.

Pamatjēdzieni

Piramīda Tiek saukts daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris, bet pārējās skaldnes ir trijstūri ar kopēju virsotni.

Apotēma- regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas;

Sānu sejas- trijstūri, kas saplūst augšpusē;

Sānu ribas- sānu virsmu kopīgās puses;

piramīdas virsotne- punkts, kas savieno sānu malas un neatrodas pamatnes plaknē;

Augstums- perpendikula segments, kas novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei (šī segmenta gali ir piramīdas augšdaļa un perpendikula pamatne);

Piramīdas šķērsgriezums pa diagonāli- piramīdas posms, kas iet cauri pamatnes augšai un diagonālei;

Bāze- daudzstūris, kas nepieder piramīdas virsotnei.

Pareizās piramīdas galvenās īpašības

Sānu malas, sānu malas un apotēmas ir attiecīgi vienādas.

Divšķautņu leņķi pie pamatnes ir vienādi.

Divšķautņu leņķi sānu malās ir vienādi.

Katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām pamata virsotnēm.

Katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām sānu virsmām.

Piramīdas pamatformulas

Piramīdas sānu un pilnas virsmas laukums.

Piramīdas sānu virsmas laukums (pilnā un saīsinātā) ir visu tās sānu virsmu laukumu summa, kopējais virsmas laukums ir visu tās virsmu laukumu summa.

Teorēma: Regulāras piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no piramīdas pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.

lpp- pamatnes perimetrs;

h- apotēms.

Nošķeltas piramīdas sānu un pilno virsmu laukums.

p1, lpp 2 - bāzes perimetri;

h- apotēms.

R- parastas nošķeltas piramīdas kopējais virsmas laukums;

S pusē- regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums;

S1 + S2- bāzes platība

Piramīdas tilpums

Veidlapa Tilpuma skalu izmanto jebkura veida piramīdām.

H ir piramīdas augstums.

Piramīdas leņķi

Leņķus, ko veido piramīdas sānu virsma un pamatne, sauc par diedrālajiem leņķiem piramīdas pamatnē.

Divskaldņu leņķi veido divi perpendikuli.

Lai noteiktu šo leņķi, bieži ir jāizmanto trīs perpendikulu teorēma.

Tiek saukti leņķi, kurus veido sānu mala un tās projekcija uz pamatnes plakni leņķi starp sānu malu un pamatnes plakni.

Leņķi, ko veido divas sānu virsmas, sauc diedrāls leņķis piramīdas sānu malā.

Leņķi, ko veido vienas piramīdas malas divas sānu malas, sauc stūris piramīdas augšpusē.

Piramīdas sekcijas

Piramīdas virsma ir daudzskaldņa virsma. Katra no tās skaldnēm ir plakne, tāpēc piramīdas griezums, ko dod sekanta plakne, ir lauzta līnija, kas sastāv no atsevišķām taisnēm.

Diagonālā sadaļa

Piramīdas griezumu plaknē, kas iet cauri divām sānu malām, kas neatrodas vienā un tajā pašā virsmā, sauc diagonālā daļa piramīdas.

Paralēlas sadaļas

Teorēma:

Ja piramīdu šķērso pamatnei paralēla plakne, tad piramīdas sānu malas un augstumus sadala ar šo plakni proporcionālās daļās;

Šīs plaknes griezums ir daudzstūris, kas līdzīgs pamatnei;

Sekcijas un pamatnes laukumi ir saistīti viens ar otru kā to attālumu kvadrāti no augšas.

Piramīdu veidi

Pareiza piramīda- piramīda, kuras pamats ir regulārs daudzstūris, un piramīdas virsotne ir izvirzīta pamatnes centrā.

Pareizajā piramīdā:

1. sānu ribas ir vienādas

2. sānu malas ir vienādas

3. apotēmi ir vienādi

4. diedrālie leņķi pie pamatnes ir vienādi

5. divšķautņu leņķi sānu malās ir vienādi

6. katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām pamata virsotnēm

7. katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām sānu malām

Nocirsta piramīda- piramīdas daļa, kas atrodas starp tās pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla pamatnei.

Tiek saukta nošķeltas piramīdas pamatne un atbilstošā daļa nošķeltas piramīdas pamati.

Tiek saukts perpendikuls, kas novilkts no jebkura viena pamata punkta uz otras pamatnes plakni nošķeltas piramīdas augstums.

Uzdevumi

Nr.1. Labajā pusē četrstūra piramīda punkts O ir pamatnes centrs, SO=8 cm, BD=30 cm. Atrodiet sānu malu SA.

Problēmu risināšana

Nr.1. Parastā piramīdā visas skalas un malas ir vienādas.

Apskatīsim OSB: OSB-taisnstūrveida taisnstūri, jo.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramīda arhitektūrā

Piramīda - monumentāla struktūra parastas regulāras ģeometriskas piramīdas formā, kurā puses saplūst vienā punktā. Pēc funkcionālā mērķa piramīdas senatnē bija apbedīšanas vai pielūgsmes vieta. Piramīdas pamatne var būt trīsstūrveida, četrstūrveida vai daudzstūrveida ar patvaļīgu virsotņu skaitu, bet visizplatītākā versija ir četrstūra pamatne.

Ir zināms, uzbūvēts ievērojams skaits piramīdu dažādas kultūras senā pasaule galvenokārt kā tempļi vai pieminekļi. Lielākās piramīdas ir Ēģiptes piramīdas.

Visā Zemē var redzēt arhitektūras struktūras piramīdu formā. Piramīdas ēkas atgādina senos laikus un izskatās ļoti skaisti.

Ēģiptes piramīdas lielākais arhitektūras pieminekļi Senā Ēģipte, starp kuru viens no "septiņiem pasaules brīnumiem" ir Heopsa piramīda. No pēdas līdz virsotnei tas sasniedz 137,3 m, un, pirms tā zaudēja virsotni, tā augstums bija 146,7 m.

Slovākijas galvaspilsētas radiostacijas ēka, kas atgādina apgrieztu piramīdu, celta 1983. gadā. Papildus birojiem un dienesta telpām sējuma iekšpusē atrodas diezgan plaša koncertzāle, kurā atrodas vienas no lielākajām ērģelēm Slovākijā. .

Luvra, kas "ir klusa un majestātiska kā piramīda", gadsimtu gaitā ir piedzīvojusi daudzas izmaiņas, pirms tā kļuva par lielāko muzeju pasaulē. Tas dzimis kā cietoksnis, kuru 1190. gadā uzcēla Filips Augusts, kas drīz vien pārvērtās par karaļa rezidenci. 1793. gadā pils kļuva par muzeju. Kolekcijas tiek bagātinātas ar novēlējumu vai pirkumu palīdzību.