Regulāras sešstūra piramīdas tilpums ir 6 malas. Regulāras sešstūra piramīdas tilpums

Telpisko figūru apjomu aprēķināšana ir viens no svarīgākajiem stereometrijas uzdevumiem. Šajā rakstā mēs apsvērsim jautājumu par šāda daudzskaldņa kā piramīdas tilpuma noteikšanu, kā arī sniegsim regulāru sešstūrainu.

Sešstūra piramīda

Sākumā apsvērsim, kāds ir skaitlis, kas tiks apspriests rakstā.

Ļaujiet mums izveidot patvaļīgu sešstūri, kura malas ne vienmēr ir vienādas viena ar otru. Pieņemsim arī, ka esam izvēlējušies telpas punktu, kas neatrodas sešstūra plaknē. Savienojot visus pēdējā stūrus ar izvēlēto punktu, mēs iegūstam piramīdu. Zemāk esošajā attēlā ir parādītas divas dažādas piramīdas ar sešstūra pamatni.

Redzams, ka bez sešstūra figūra sastāv no sešiem trijstūriem, kuru savienojuma punktu sauc par virsotni. Atšķirība starp attēlotajām piramīdām ir tāda, ka labās piramīdas augstums h nešķērso sešstūra pamatni tās ģeometriskajā centrā, savukārt kreisās figūras augstums iekrīt tieši šajā centrā. Pateicoties šim kritērijam, kreiso piramīdu sauca par taisnu, bet labo - par slīpu.

Tā kā attēlā kreisās figūras pamatni veido sešstūris ar vienādām malām un leņķiem, to sauc par pareizu. Tālāk rakstā mēs runāsim tikai par šo piramīdu.

Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, ir derīga šāda formula:

Šeit h ir figūras augstuma garums, S o ir tās pamatnes laukums. Izmantosim šo izteiksmi, lai noteiktu regulāras sešstūra piramīdas tilpumu.

Tā kā apskatāmā figūra ir balstīta uz vienādmalu sešstūri, tā laukuma aprēķināšanai var izmantot šādu vispārīgo izteiksmi n-stūrai:

S n = n/4 * a 2 * ctg (pi/n)

Šeit n ir vesels skaitlis, kas vienāds ar daudzstūra malu (stūru) skaitu, a ir tā malas garums, kotangences funkciju aprēķina, izmantojot atbilstošās tabulas.

Lietojot izteiksmi n = 6, mēs iegūstam:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Tagad atliek šo izteicienu aizstāt ar vispārējā formula V sējumam:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Tādējādi, lai aprēķinātu aplūkojamās piramīdas tilpumu, ir jāzina divi tās lineārie parametri: pamatnes malas garums un figūras augstums.

Problēmas risinājuma piemērs

Parādīsim, kā iegūto izteiksmi V 6 var izmantot, lai atrisinātu šādu uzdevumu.

Ir zināms, ka pareizais tilpums ir 100 cm 3. Ir jānosaka pamatnes mala un figūras augstums, ja ir zināms, ka tie ir saistīti viens ar otru ar šādu vienādību:

Tā kā tilpuma formulā ir iekļauti tikai a un h, ar to var aizstāt jebkuru no šiem parametriem, kas izteikti ar otru. Piemēram, aizstājot a, mēs iegūstam:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Lai atrastu figūras augstuma vērtību, no tilpuma jāņem trešās pakāpes sakne, kas atbilst garuma izmēram. Piramīdas tilpuma vērtību V 6 aizvietojam no uzdevuma stāvokļa, iegūstam augstumu:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Tā kā pamatnes puse atbilstoši problēmas stāvoklim ir divreiz lielāka par atrasto vērtību, mēs iegūstam tai vērtību:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Skaļums sešstūra piramīda var atrast ne tikai pēc figūras augstuma un tās pamatnes sānu vērtības. Lai to aprēķinātu, pietiek zināt divus dažādus piramīdas lineāros parametrus, piemēram, apotēmu un sānu malas garumu.

Problēmas ar piramīdām. Šajā rakstā mēs turpināsim apsvērt problēmas ar piramīdām. Tos nevar attiecināt uz kādu uzdevumu klasi vai veidu un sniegt vispārīgus (algoritmus) ieteikumus risināšanai. Vienkārši šeit ir apkopoti pārējie uzdevumi, kas iepriekš netika izskatīti.

Uzskaitīšu teoriju, kas pirms risināšanas jāatsvaidzina atmiņā: piramīdas, figūru un ķermeņu līdzības īpašības, regulāro piramīdu īpašības, Pitagora teorēma, trīsstūra laukuma formula (tā ir otrā). Apsveriet uzdevumus:

No trīsstūrveida piramīda, kuras tilpums ir 80, trīsstūrveida piramīdu nogriež plakne, kas iet cauri piramīdas augšai un pamatnes viduslīnijai. Atrodiet nogrieztās trīsstūrveida piramīdas tilpumu.

Piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no tās pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma:

Šīm piramīdām (sākotnējām un apgrieztajām) ir kopīgs augstums, tāpēc to tilpumi ir saistīti kā to pamatu laukums. vidējā līnija no sākotnējā trīsstūra nogriež trīsstūri, kura laukums ir četras reizes mazāks, tas ir:

Vairāk par to varat redzēt šeit.

Tas nozīmē, ka nogrieztās piramīdas tilpums būs četras reizes mazāks.

Tātad būs 20.

Atbilde: 20

* līdzīga problēma, tiek izmantota trīsstūra laukuma formula.

Trīsstūrveida piramīdas tilpums ir 15. Plakne iet cauri šīs piramīdas pamatnes malai un krusto pretējo sānu malu punktā, sadalot to attiecībā 1:2, skaitot no piramīdas augšdaļas. Atrodiet lielāko no piramīdu tilpumiem, kurās plakne sadala sākotnējo piramīdu.

Uzbūvēsim piramīdu, atzīmēsim virsotnes.Atzīmējiet punktu E uz malas AS tā, lai AE būtu divreiz lielāks par ES (apstāklī, ka ES attiecas uz AE kā no 1 līdz 2), un izveidojiet norādīto plakni, kas iet caur malu AC un punktu E:

Analizēsim, kuras piramīdas tilpums būs lielāks: EABC vai SEBC?

* Piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no tās pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma:

Ja mēs ņemam vērā abas iegūtās piramīdas un par pamatu ņemam EBC seju abās, tad kļūst skaidrs, ka AEBC piramīdas tilpums būs lielāks par SEBC piramīdas tilpumu. Kāpēc?

Attālums no punkta A līdz EBC plaknei ir lielāks nekā attālums no punkta S. Un šis attālums mums spēlē augstuma lomu.

Tātad, noskaidrosim EABC piramīdas tilpumu.

Sākotnējās piramīdas apjoms mums ir dots, SABC un EABC piramīdu pamats ir kopīgs. Ja mēs nosakām augstumu attiecību, mēs varam viegli noteikt apjomu.

No segmentu ES un AE attiecības izriet, ka AE ir vienāda ar divām trešdaļām no ES. Piramīdu SABC un EABC augstumi ir vienādi -piramīdas EABC augstums būs vienāds ar 2/3 no piramīdas SABC augstuma.

Tādējādi, ja

Tas

Atbilde: 10

Regulāras sešstūra piramīdas tilpums ir 6. Pamatnes mala ir 1. Atrodi sānu malu.

Parastā piramīdā augšdaļa ir izvirzīta pamatnes centrā.Veiksim papildu konstrukcijas:

Mēs varam atrast sānu malu no taisnleņķa trīsstūris SOC. Lai to izdarītu, jums jāzina SO un OS.

SO ir piramīdas augstums, mēs to varam aprēķināt, izmantojot tilpuma formulu:

Aprēķiniet pamatnes laukumu. tas ir regulārs sešstūris, kura mala ir vienāda ar 1. Regulāra sešstūra laukums ir vienāds ar sešu vienādmalu trīsstūru laukumu ar vienu un to pašu malu, vairāk par to (6. punkts), tātad:

Līdzekļi

OS \u003d BC \u003d 1, jo regulārā sešstūrī segments, kas savieno tā centru ar virsotni, ir vienāds ar šī sešstūra malu.

Tādējādi saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Atbilde: 7

SkaļumsTetraedra izmērs ir 200. Atrodiet daudzskaldņa tilpumu, kura virsotnes ir šī tetraedra malu viduspunkti.

Norādītā daudzskaldņa tilpums ir vienāds ar starpību sākotnējā tetraedra V 0 un četru vienādu tetraedru tilpumi, no kuriem katrs tiek iegūts, nogriežot plakni, kas iet cauri malu viduspunktiem, kurām ir kopīga virsotne:

Definēsim ko ir vienāds ar tilpumu nogriezts tetraedrs.

Ņemiet vērā, ka sākotnējais tetraedrs un "nogrieztais" tetraedrs ir līdzīgi ķermeņi. Ir zināms, ka līdzīgu ķermeņu tilpumu attiecība ir k 3 , kur k ir līdzības koeficients. Šajā gadījumā tas ir vienāds ar 2 (jo visi sākotnējā tetraedra lineārie izmēri ir divreiz lielāki par atbilstošiem griezuma izmēriem):

Aprēķiniet nogrieztā tetraedra tilpumu:

Tādējādi vēlamais tilpums būs vienāds ar:

Atbilde: 100

Tetraedra virsmas laukums ir 120. Atrodiet daudzskaldņa virsmas laukumu, kura virsotnes ir šī tetraedra malu viduspunkti.

Pirmais veids:

Vēlamā virsma sastāv no 8 vienādmalu trijstūriem, kuru mala ir puse no sākotnējā tetraedra malas. Sākotnējā tetraedra virsma sastāv no 16 šādiem trijstūriem (4 trijstūri katrā no 4 tetraedra malām), tāpēc nepieciešamais laukums ir vienāds ar pusi no šī tetraedra virsmas un ir vienāds ar 60.

Otrais veids:

Tā kā tetraedra virsmas laukums ir zināms, mēs varam atrast tā malu, pēc tam noteikt daudzskaldņa malas garumu un pēc tam aprēķināt tā virsmas laukumu.

Piramīdas ir: trīsstūrveida, četrstūrveida utt., atkarībā no tā, kas ir pamats - trīsstūris, četrstūris utt.
Piramīdu sauc par pareizo ( att.286,b), ja, pirmkārt, tā pamatne ir regulārs daudzstūris un, otrkārt, augstums iet caur šī daudzstūra centru.
Pretējā gadījumā piramīdu sauc par neregulāru ( 286. att., in). Parastā piramīdā visas sānu malas ir vienādas viena ar otru (kā slīpums ar vienādiem izvirzījumiem). Tāpēc visas sānu sejas pareiza piramīda ir vienādi vienādsānu trīsstūri.
Regulāras sešstūra piramīdas elementu analīze un to attēlošana kompleksā zīmējumā ( att.287) .

a) Regulāras sešstūra piramīdas kompleksais zīmējums. Piramīdas pamatne atrodas uz plaknes P 1 ; piramīdas pamatnes divas malas ir paralēlas projekciju plaknei П 2 .
b) Pamatne ABCDEF - sešstūris, kas atrodas projekciju plaknē П 1 .
c) Lateral face ASF - trīsstūris, kas atrodas plaknē vispārējā stāvoklī.
d) Sānu seja FSE - trīsstūris, kas atrodas profilā - izvirzītā plakne.
e) Mala SE ir segments vispārējā stāvoklī.
f) Edge SA - frontālais segments.
g) Piramīdas virsotne S ir punkts telpā.
Uz ( att.288 un att.289) sniegti secīgu grafisko darbību piemēri, veicot piramīdu komplekso zīmējumu un vizuālos attēlus (aksonometriju).

Ņemot vērā:
1. Pamatne atrodas uz plaknes P 1.
2. Viena no pamatnes malām ir paralēla x 12 asij.
I. Integrētais zīmējums.
Es, a. Mēs projektējam piramīdas pamatu - daudzstūri, saskaņā ar šo nosacījumu, kas atrodas plaknē П 1 .
Mēs projektējam virsotni - punktu, kas atrodas telpā. Punkta S augstums ir vienāds ar piramīdas augstumu. Punkta S horizontālā projekcija S 1 atradīsies piramīdas pamatnes projekcijas centrā (pēc nosacījuma).
Es, dz. Projektējam piramīdas malas - segmentus; lai to izdarītu, savienojam pamata virsotņu ABCDE tiešās projekcijas ar atbilstošajām piramīdas S virsotnes projekcijām. Piramīdas malu frontālās projekcijas S 2 C 2 un S 2 D 2 ir attēlotas ar punktētām līnijām kā neredzamas, ko noslēdz piramīdas (SBA un SAE) malas.
Es, c. Ir dota punkta K horizontālā projekcija K 1 uz sānu virsmas SBA, jāatrod tā frontālā projekcija. Lai to izdarītu, caur punktiem S 1 un K 1 novelkam palīglīniju S 1 F 1, atrodam tās frontālo projekciju un uz tās, izmantojot vertikālu sakaru līniju, nosakām vēlamās punkta frontālās projekcijas K 2 vietu. K.
II. Piramīdas virsmas veidojums ir plakana figūra, kas sastāv no sānu malām - vienādiem vienādsānu trijstūriem, kuru viena mala ir vienāda ar pamatnes malu, bet pārējās divas - līdz sānu malām, un no regulāra daudzstūra - bāze.
Pamatnes sānu dabiskie izmēri tiek atklāti tās horizontālajā projekcijā. Izvirzīšanās ribu dabiskie izmēri netika atklāti.
Hipotenūza S 2 ¯A 2 ( att.288, 1 , b) taisnleņķa trijstūra S 2 O 2 ¯A 2, kura lielā kāja ir vienāda ar piramīdas augstumu S 2 O 2, bet mazā ir vienāda ar malas S 1 A 1 horizontālo projekciju. ir piramīdas malas dabiskais izmērs. Slaucīšana jāveido šādā secībā:
a) no patvaļīga punkta S (virsotnes) novelkam loku ar rādiusu R, kas vienāds ar piramīdas malu;
b) uz uzzīmētā loka novietojiet malā piecus R 1 izmēra akordus, kas vienādi ar pamatnes malu;
c) savienojam punktus D, C, B, A, E, D virknē ar otru un ar punktu S ar taisnēm, iegūstam piecus vienādsānu vienādi trīsstūri, kas veido šīs piramīdas sānu virsmas attīstību, kas nogriezta gar malu SD ;
d) pie jebkuras skaldnes piestiprinām piramīdas pamatni - piecstūri, izmantojot triangulācijas metodi, piemēram, sejai DSE.
Punktu K pārnes uz slaucīšanu, izmantojot papildu taisni, izmantojot izmēru B 1 F 1, kas ņemts horizontālajā projekcijā, un izmēru A 2 K 2, ņemot vērā ribas dabisko izmēru.
III. Piramīdas vizuālais attēlojums izometrijā.
III, a. Mēs attēlojam piramīdas pamatni, izmantojot koordinātas saskaņā ar ( att.288, 1 , a).
Mēs attēlojam piramīdas virsotni, izmantojot koordinātas ( att.288, 1 , a).
III, b. Mēs attēlojam piramīdas sānu malas, savienojot augšpusi ar pamatnes virsotnēm. Mala S"D" un pamatnes C"D" un D"E malas ir parādītas ar punktētām līnijām kā neredzamas, ko noslēdz piramīdas C"S"B", B"S"A malas. un A"S"E.
III, e. Mēs nosakām punktu uz piramīdas K virsmas, izmantojot izmērus y F un x K. Piramīdas dimetriskajam attēlam jāievēro tā pati secība.
Neregulāras trīsstūrveida piramīdas attēls.

Ņemot vērā:
1. Pamatne atrodas uz plaknes P 1.
2. Pamatnes mala BC ir perpendikulāra X asij.
I. Integrētais zīmējums
Es, a. Mēs projektējam piramīdas pamatu - vienādsānu trīsstūri, kas atrodas plaknē P 1, un augšpusē S - punktu, kas atrodas telpā, kura augstums ir vienāds ar piramīdas augstumu.
Es, dz. Mēs projektējam piramīdas malas - segmentus, kuriem savienojam vienāda nosaukuma pamatnes virsotņu projekcijas ar vienādiem piramīdas virsotnes projekcijām ar taisnām līnijām. Lidmašīnas pamatnes sānu horizontālo projekciju ar punktētu līniju attēlojam kā neredzamu, ko noslēdz divas piramīdas ABS, ACS virsmas.
Es, c. Sānu virsmas frontālajā projekcijā A 2 C 2 S 2 ir dota punkta D projekcija D 2. Ir jāatrod tā horizontālā projekcija. Lai to izdarītu, caur punktu D 2 mēs novelkam papildu taisni paralēli x 12 asij - horizontāles frontālo projekciju, pēc tam atrodam tās horizontālo projekciju un uz tās, izmantojot vertikālu sakaru līniju, nosakām tās atrašanās vietu. punkta D vēlamā horizontālā projekcija D 1.
II. Piramīdas slaucīšanas konstrukcija.
Pamatnes sānu dabiskie izmēri tiek atklāti horizontālajā projekcijā. Ribas AS dabiskais izmērs atklājas frontālajā projekcijā; projekcijās nav ribu BS un CS dabiskā izmēra, šo ribu izmēru atklāj, pagriežot tās ap i asi, perpendikulāri plaknei P 1, kas iet caur piramīdas S virsotni. Jaunā frontālā projekcija ¯C 2 S 2 ir malas CS dabiskā vērtība.
Piramīdas virsmas attīstības konstruēšanas secība:
a) uzzīmējiet vienādsānu trīsstūri - seju CSB, kura pamatne ir vienāda ar piramīdas CB pamatnes malu, un puses- dabiskais ribas izmērs SC ;
b) konstruētā trijstūra malām SC un SB pievienojam divus trijstūrus - piramīdas CSA un BSA skaldnes un konstruētā trijstūra pamatnei CB - CBA piramīdas pamatni, kā rezultātā iegūstam pilnīgu šīs piramīdas virsmas izvēršana.
Punkta D pārnešana uz izstrādi tiek veikta šādā secībā: vispirms, izmantojot R 1 izmēru, uzzīmējiet horizontālu līniju uz ASC sānu virsmas attīstības, un pēc tam, izmantojot R, nosakiet punkta D atrašanās vietu uz horizontālās līnijas. 2 dimensija.
III. Piramīdas un frontālās dimetriskās projekcijas vizuāls attēlojums
III, a. Mēs attēlojam piramīdas pamatni A "B" C un augšpusi S, izmantojot koordinātas saskaņā ar (

Datums: 2015-01-19

Ja tev vajag soli pa solim instrukcija kā uzbūvēt piramīdas slaucītāju, tad es lūdzu mūsu nodarbību. Vispirms novērtējiet, vai jūsu piramīda ir izlocīta tāpat kā 1. attēlā.

Ja jums tas ir pagriezts par 90 grādiem, tad mala, kas jūsu gadījumā ir atzīmēta kā "zināmās reālās vērtības", ir atrodama profila projekcijā, kas jums būs jāizbūvē. Manā gadījumā tas nav nepieciešams, mums jau ir visi nepieciešamie daudzumi būvniecībai. Ir svarīgi neaizmirst, ka šajā zīmējumā pilnā izmērā ir attēlotas tikai malas SA un SD frontālajā projekcijā. Visi pārējie tiek projicēti ar garuma kropļojumu. Turklāt augšējā skatā visas sešstūra malas tiek projicētas arī pilnā izmērā. Pamatojoties uz to, sāksim.

1. Lai iegūtu lielāku skaistumu, novelkam pirmo līniju horizontāli (1. attēls). Pēc tam uzzīmēsim platu loku ar rādiusu R=a, t.i. ar rādiusu, kas vienāds ar piramīdas sānu malas garumu. Mēs iegūstam punktu A. No tā mēs ar kompasu izdarām iegriezumu uz loka ar rādiusu r \u003d b (piramīdas pamatnes malas garums). Iegūsim punktu B. Mums jau ir piramīdas pirmā seja!

2. No punkta B izgatavojam vēl vienu iecirtumu ar tādu pašu rādiusu - iegūstam punktu C un savienojot to ar punktiem B un S iegūstam piramīdas otro sānu skaldni (2. attēls).

3. Atkārtojot šīs darbības nepieciešamo reižu skaitu (tas viss ir atkarīgs no tā, cik skaldņu ir jūsu piramīdai), mēs iegūsim šādu ventilatoru (3. attēls). Ar pareizu konstrukciju jums vajadzētu iegūt visus pamatnes punktus, un ekstremālie punkti ir jāatkārto.

4. Tas ne vienmēr ir nepieciešams, bet tomēr tas ir nepieciešams: pievienojiet piramīdas pamatni sānu virsmas attīstībai. Es uzskatu, ka katrs, kurš ir izlasījis līdz šim punktam, var uzzīmēt sešstūri-piecstūri (kā uzzīmēt piecstūri, tas ir detalizēti aprakstīts nodarbībā) Grūtības slēpjas faktā, ka figūra ir jāiezīmē īstā vieta un pareizā leņķī. Uzzīmējiet asi cauri jebkuras sejas vidusdaļai. No krustošanās punkta ar pamatnes līniju uzzīmējam attālumu m, kā parādīts 4. attēlā.


Izvelkot perpendikulu caur šo punktu, mēs iegūstam nākamā sešstūra asis. No iegūtā centra mēs zīmējam apli, kā jūs to darījāt, veidojot augšējo skatu. Lūdzu, ņemiet vērā, ka aplim ir jāiziet cauri diviem sānu virsmas punktiem (manā gadījumā tie ir F un A)

5. 5. attēlā parādīts sešstūra prizmas galīgais nesalocīts skats.


Tas pabeidz piramīdas slaucīšanas celtniecību. Veidojiet savas slaucīšanas, mācieties rast risinājumus, esiet kodīgs un nekad nepadodieties. Paldies, ka apmeklējāt. Neaizmirstiet mūs ieteikt saviem draugiem :) Visu to labāko!

vai pieraksti mūsu telefona numuru un pastāsti par mums draugiem – kāds droši vien meklē veidu, kā uztaisīt zīmējumus

vai izveidojiet piezīmi par mūsu nodarbībām savā lapā vai emuārā - un kāds cits varēs apgūt zīmējumu.