Logaritmi pöördvalem. Logaritmiline võrrand: põhivalemid ja tehnikad

(kreeka keelest λόγος - "sõna", "seos" ja ἀριθμός - "arv") b põhjusega a(log α b) nimetatakse selliseks numbriks c, ja b= a c, see tähendab log α b=c ja b=ac on samaväärsed. Logaritm on mõttekas, kui a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Teisisõnu logaritm numbrid b põhjusega a sõnastatud astendajana, milleni tuleb arv tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).

Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x= log α b, võrdub võrrandi a x =b lahendamisega.

Näiteks:

log 2 8 = 3, sest 8 = 2 3 .

Märgime, et näidatud logaritmi sõnastus võimaldab kohe määrata logaritmi väärtus kui logaritmi märgi all olev arv on aluse teatud aste. Tõepoolest, logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhjusega a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmi teema on teemaga tihedalt seotud arvu aste.

Viidatakse logaritmi arvutamisele logaritm. Logaritm on logaritmi võtmise matemaatiline tehe. Logaritmi võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liikmete summadeks.

Potentsieerimine on logaritmile pöördvõrdeline matemaatiline tehe. Potentsimisel tõstetakse antud alus avaldise astmeni, millel potentseerimine sooritatakse. Sel juhul muudetakse terminite summad tegurite korrutiseks.

Üsna sageli kasutatakse reaallogaritme alustega 2 (binaarne), e Euleri arv e ≈ 2,718 (looduslik logaritm) ja 10 (kümnend).

Selles etapis tasub seda kaaluda logaritmide näidised logi 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Ja kirjetel lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 pole mõtet, kuna esimeses neist on logaritmi märgi alla paigutatud negatiivne arv, teises - negatiivne arv alus ja kolmandas - negatiivne arv aluse logaritmi ja ühiku märgi all.

Logaritmi määramise tingimused.

Eraldi tasub kaaluda tingimusi a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritmi määratlus. Mõelgem, miks need piirangud kasutusele võetakse. See aitab meil saavutada võrdsust kujul x = log α b, mida nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks, mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.

Võtke tingimus a≠1. Kuna üks on võrdne ühega mis tahes astmega, siis võrdus x=log α b saab eksisteerida ainult siis, kui b = 1, kuid log 1 1 on mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks võtame a≠1.

Tõestame tingimuse vajalikkust a>0. Kell a=0 logaritmi sõnastuse järgi saab eksisteerida ainult siis, kui b = 0. Ja siis vastavalt logi 0 0 võib olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erinev aste on null. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks tingimus a≠0. Ja millal a<0 me peaksime tagasi lükkama logaritmi ratsionaalsete ja irratsionaalsete väärtuste analüüsi, kuna ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga eksponent on määratletud ainult mittenegatiivsete aluste jaoks. Just sel põhjusel on tingimus a>0.

Ja viimane tingimus b>0 tuleneb ebavõrdsusest a>0, kuna x = log α b, ja positiivse baasiga kraadi väärtus a alati positiivne.

Logaritmide omadused.

Logaritmid iseloomustab eristav Funktsioonid, mis viis nende laialdase kasutamiseni, et hõlbustada märkimisväärselt hoolikaid arvutusi. Üleminekul "logaritmide maailma" muudetakse korrutamine palju lihtsamaks liitmiseks, jagamine lahutamiseks ning astmeni tõstmine ja juure võtmine vastavalt astendajaga korrutamiseks ja jagamiseks.

Logaritmide sõnastus ja nende väärtuste tabel (ehk trigonomeetrilised funktsioonid) avaldas esmakordselt 1614. aastal Šoti matemaatik John Napier. Teiste teadlaste poolt suurendatud ja üksikasjalikult kirjeldatud logaritmilisi tabeleid kasutati laialdaselt teaduslikes ja tehnilistes arvutustes ning need jäid oluliseks seni, kuni hakati kasutama elektroonilisi kalkulaatoreid ja arvuteid.

Selle videoga alustan pikka õppetundide seeriat logaritmvõrrandite kohta. Nüüd on teil kolm näidet korraga, mille põhjal õpime kõige rohkem lahendama lihtsaid ülesandeid, mida nimetatakse algloomad.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Lubage mul teile meelde tuletada, et lihtsaim logaritmiline võrrand on järgmine:

log a f(x) = b

On oluline, et muutuja x oleks olemas ainult argumendi sees, st ainult funktsioonis f(x). Ja arvud a ja b on lihtsalt arvud ja mitte mingil juhul ei ole funktsioonid, mis sisaldavad muutujat x.

Põhilised lahendusmeetodid

Selliste struktuuride lahendamiseks on palju võimalusi. Näiteks koolis soovitab enamik õpetajaid nii: Väljendage valemi abil kohe funktsioon f ( x ). f( x ) = a b . See tähendab, et kui kohtute kõige lihtsama konstruktsiooniga, saate kohe lahenduse juurde asuda ilma täiendavate toimingute ja konstruktsioonideta.

Jah, loomulikult osutub otsus õigeks. Selle valemi probleem seisneb aga selles, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see tuleb ja miks me täpselt tõstame tähe a täheks b.

Seetõttu märkan sageli väga solvavaid vigu, kui näiteks neid tähti vahetatakse. Seda valemit tuleb kas mõista või pähe õppida ning teine ​​meetod toob kaasa vigu kõige ebasobivamatel ja otsustavamatel hetkedel: eksamitel, testidel jne.

Seetõttu soovitan kõigil oma õpilastel loobuda kooli tavavalemist ja kasutada logaritmvõrrandite lahendamiseks teist lähenemist, mida, nagu nimest arvatavasti arvasite, nimetatakse kanooniline vorm.

Kanoonilise vormi idee on lihtne. Vaatame uuesti oma ülesannet: vasakul on meil log a , täht a tähendab aga täpselt numbrit ja mitte mingil juhul muutujat x sisaldavat funktsiooni. Seetõttu kehtivad sellele kirjale kõik piirangud, mis on kehtestatud logaritmi alusel. nimelt:

1 ≠ a > 0

Teisest küljest näeme samast võrrandist, et logaritm peab olema on võrdne arvuga b , ja sellele tähele ei seata mingeid piiranguid, sest see võib võtta mis tahes väärtuse – nii positiivse kui ka negatiivse. Kõik sõltub sellest, milliseid väärtusi funktsioon f(x) võtab.

Ja siin meenub meie imeline reegel, et iga arvu b saab esitada logaritmina baasis a alates a astmeni b:

b = log a a b

Kuidas seda valemit meeles pidada? Jah, väga lihtne. Kirjutame järgmise konstruktsiooni:

b = b 1 = b log a a

Loomulikult tekivad sel juhul kõik piirangud, mis alguses kirja panime. Ja nüüd kasutame logaritmi põhiomadust ja sisestame teguri b a astmena. Saame:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Selle tulemusena kirjutatakse algne võrrand ümber järgmisel kujul:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

See on kõik. Uus funktsioon ei sisalda enam logaritmi ja seda lahendatakse tavaliste algebraliste tehnikatega.

Muidugi vaidleb nüüd keegi vastu: miks oli üldse vaja välja mõelda mingi kanooniline valem, milleks teha veel kaks mittevajalikku sammu, kui sai kohe algsest konstruktsioonist lõpliku valemi juurde minna? Jah, kasvõi sellepärast, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see valem pärineb, ja seetõttu teevad selle rakendamisel regulaarselt vigu.

Kuid selline kolmest sammust koosnev toimingute jada võimaldab teil lahendada algse logaritmilise võrrandi, isegi kui te ei saa aru, kust see lõplik valem pärineb. Muide, seda kirjet nimetatakse kanooniliseks valemiks:

log a f(x) = log a a b

Kanoonilise vormi mugavus seisneb ka selles, et sellega saab lahendada väga laia klassi logaritmilisi võrrandeid, mitte ainult kõige lihtsamaid, mida me täna kaalume.

Lahendusnäited

Ja nüüd kaalume tõelisi näiteid. Nii et otsustame:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Kirjutame selle ümber nii:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Paljud õpilased kiirustavad ja püüavad kohe tõsta arvu 0,5 võimsusele, mis meile algsest probleemist tuli. Ja tõepoolest, kui olete selliste probleemide lahendamiseks juba hästi koolitatud, saate selle sammu kohe teha.

Kui aga alles hakkate seda teemat uurima, on parem mitte kuhugi kiirustada, et mitte teha solvavaid vigu. Seega on meil kanooniline vorm. Meil on:

3x - 1 = 0,5 -3

See ei ole enam logaritmiline võrrand, vaid lineaarne võrrand muutuja x suhtes. Selle lahendamiseks käsitleme esmalt arvu 0,5 astmeni −3. Pange tähele, et 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Kõik kümnendkohad teisendada normaalseks, kui lahendate logaritmilise võrrandi.

Kirjutame ümber ja saame:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Kõik saime vastuse. Esimene ülesanne on lahendatud.

Teine ülesanne

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Nagu näete, pole see võrrand enam kõige lihtsam. Kasvõi sellepärast, et erinevus on vasakul ja mitte ühtegi logaritmi ühes baasis.

Seetõttu peate sellest erinevusest kuidagi lahti saama. Sel juhul on kõik väga lihtne. Vaatame aluseid lähemalt: vasakul on number juure all:

Üldine soovitus: proovige kõigis logaritmivõrrandites vabaneda radikaalidest, st juurtega kirjetest ja liikuda edasi astmefunktsioonide juurde, lihtsalt seetõttu, et nende astmete eksponendid on kergesti logaritmi märgist välja jäetud ja lõpuks sellised. tähistus lihtsustab ja kiirendab arvutusi oluliselt. Kirjutame selle nii:

Nüüd tuletame meelde logaritmi tähelepanuväärset omadust: nii argumendist kui ka alusest saate kraadid välja võtta. Aluste puhul juhtub järgmine:

log a k b = 1/k loga b

Teisisõnu, aluse astmes seisnud arv tuuakse ette ja samal ajal pööratakse ümber, see tähendab, et see muutub arvu pöördarvuks. Meie puhul oli baasaste näitajaga 1/2. Seetõttu võime selle välja võtta kui 2/1. Saame:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Pange tähele: mitte mingil juhul ei tohiks te selles etapis logaritmidest lahti saada. Mõelge tagasi 4.-5. klassi matemaatikale ja tehte järjekorrale: kõigepealt tehakse korrutamine ja alles seejärel liitmine ja lahutamine. Sel juhul lahutame 10 elemendist ühe sama elemendi:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nüüd näeb meie võrrand välja selline, nagu peaks. seda lihtsaim disain ja lahendame selle kanoonilise vormiga:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

See on kõik. Teine probleem on lahendatud.

Kolmas näide

Liigume edasi kolmanda ülesande juurde:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Tuletage meelde järgmine valem:

log b = log 10 b

Kui lg b kirjutamine sind mingil põhjusel segadusse ajab, siis kõiki arvutusi tehes võid lihtsalt kirjutada log 10 b . Kümnendlogaritmidega saate töötada samamoodi nagu teistega: võtke välja astmed, lisage ja esitage mis tahes arv lg 10-na.

Just neid omadusi kasutame nüüd probleemi lahendamiseks, kuna see ei ole kõige lihtsam, mille me tunni alguses kirja panime.

Alustuseks pange tähele, et teguri 2 enne lg 5 saab sisestada ja see muutub aluse 5 astmeks. Lisaks saab vaba liiget 3 esitada ka logaritmina – seda on meie tähistusest väga lihtne jälgida.

Otsustage ise: mis tahes arvu saab esitada logina kuni 10. aluseni:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Kirjutame algse probleemi ümber, võttes arvesse saadud muudatusi:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg

Meie ees on jälle kanooniline vorm ja me saime selle teisenduste etapist mööda minnes, st kõige lihtsamat logaritmilist võrrandit ei tulnud meiega kuskil ette.

Sellest ma juba tunni alguses rääkisin. Kanooniline vorm võimaldab lahendada tavapärasest laiemat ülesannete klassi. kooli valem andnud enamik kooliõpetajaid.

See on kõik, vabaneme kümnendlogaritmi märgist ja saame lihtsa lineaarse konstruktsiooni:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Kõik! Probleem lahendatud.

Märkus ulatuse kohta

Siinkohal tahaksin teha olulise märkuse määratlusvaldkonna kohta. Kindlasti on nüüd õpilasi ja õpetajaid, kes ütlevad: "Kui lahendame avaldisi logaritmidega, tuleb kindlasti meeles pidada, et argument f (x) peab olema suurem kui null!" Sellega seoses tekib loogiline küsimus: miks me ei nõudnud üheski vaadeldavast probleemist selle ebavõrdsuse rahuldamist?

Ära muretse. Sellistel juhtudel ei ilmu lisajuuri. Ja see on veel üks suurepärane nipp, mis võimaldab teil lahendust kiirendada. Lihtsalt teadke, et kui ülesandes esineb muutuja x ainult ühes kohas (õigemini ühe ja ainsa logaritmi ühes ja ainsas argumendis) ja mitte kusagil mujal meie puhul muutujat x ei esine, siis kirjutage domeen pole tarvis sest see töötab automaatselt.

Otsustage ise: esimeses võrrandis saime, et 3x - 1, st argument peaks olema võrdne 8-ga. See tähendab automaatselt, et 3x - 1 on suurem kui null.

Sama edukalt võime kirjutada, et teisel juhul peab x olema võrdne 5 2-ga, st see on kindlasti suurem kui null. Ja kolmandal juhul, kus x + 3 = 25 000, st jällegi ilmselgelt suurem kui null. Teisisõnu, ulatus on automaatne, kuid ainult siis, kui x esineb ainult ühe logaritmi argumendis.

See on kõik, mida peate lihtsate probleemide lahendamiseks teadma. Ainuüksi see reegel koos teisendusreeglitega võimaldab teil lahendada väga laia klassi probleeme.

Kuid olgem ausad: selle tehnika lõpuks mõistmiseks ja logaritmilise võrrandi kanoonilise vormi rakendamise õppimiseks ei piisa ainult ühe videotunni vaatamisest. Seetõttu laadige kohe alla iseseisva lahenduse valikud, mis on lisatud sellele videoõpetusele, ja asuge lahendama vähemalt ühte neist kahest iseseisvast tööst.

See võtab vaid mõne minuti. Kuid sellise koolituse mõju on palju suurem võrreldes sellega, kui vaatasite seda videoõpetust.

Loodan, et see õppetund aitab teil logaritmilisi võrrandeid mõista. Rakendage kanoonilist vormi, lihtsustage avaldisi, kasutades logaritmidega töötamise reegleid - ja te ei karda ühtegi ülesannet. Ja see on kõik, mis mul täna on.

Reguleerimisala kaalumine

Nüüd räägime logaritmilise funktsiooni valdkonnast ja sellest, kuidas see mõjutab logaritmiliste võrrandite lahendamist. Mõelge vormi konstruktsioonile

log a f(x) = b

Sellist avaldist nimetatakse kõige lihtsamaks - sellel on ainult üks funktsioon ning arvud a ja b on lihtsalt numbrid ning mitte mingil juhul ei ole funktsioon, mis sõltuks muutujast x. See lahendatakse väga lihtsalt. Peate lihtsalt kasutama valemit:

b = log a a b

See valem on logaritmi üks peamisi omadusi ja kui asendada meie algse avaldisega, saame järgmise:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

See on juba kooliõpikutest tuttav valem. Tõenäoliselt tekib paljudel õpilastel küsimus: kuna funktsioon f ( x ) algses avaldises on logimärgi all, on sellele kehtestatud järgmised piirangud:

f(x) > 0

See piirang kehtib, kuna logaritm negatiivsed arvud ei eksisteeri. Ehk tuleks selle piirangu tõttu kasutusele võtta vastuste kontroll? Võib-olla tuleb need allikas asendada?

Ei, kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites pole lisakontroll vajalik. Ja sellepärast. Vaadake meie lõplikku valemit:

f(x) = a b

Fakt on see, et arv a on igal juhul suurem kui 0 - selle nõude kehtestab ka logaritm. Arv a on alus. Sel juhul arvule b piiranguid ei seata. Kuid see ei oma tähtsust, sest ükskõik mis kraadi me positiivset arvu tõstame, saame väljundis ikkagi positiivse arvu. Seega on nõue f (x) > 0 automaatselt täidetud.

Tõesti tasub kontrollida logi märgi all oleva funktsiooni ulatust. Võib olla üsna keerulisi kujundusi ja nende lahendamise käigus tuleb neid kindlasti järgida. Vaatame.

Esimene ülesanne:

Esimene samm: teisendage parempoolne murd. Saame:

Vabaneme logaritmi märgist ja saame tavalise irratsionaalse võrrandi:

Saadud juurtest sobib meile ainult esimene, kuna teine ​​juur on väiksem kui null. Ainus vastus on number 9. See on kõik, probleem on lahendatud. Täiendavaid kontrolle, et logaritmimärgi all olev avaldis on suurem kui 0, pole vaja, sest see pole lihtsalt suurem kui 0, vaid võrrandi tingimuse järgi on see võrdne 2-ga. Seetõttu on nõue "nullist suurem" automaatselt rahuldatud.

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Siin on kõik endine. Kirjutame konstruktsiooni ümber, asendades kolmiku:

Vabaneme logaritmi märkidest ja saame irratsionaalse võrrandi:

Paneme mõlemad osad ruudukujuliseks, võttes arvesse piiranguid, ja saame:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Lahendame saadud võrrandi diskriminandi kaudu:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Kuid x = −6 meile ei sobi, sest kui asendame selle arvu oma ebavõrdsusega, saame:

−6 + 4 = −2 < 0

Meie puhul nõutakse, et see oleks suurem kui 0 või äärmuslikel juhtudel võrdne. Kuid x = −1 sobib meile:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainus vastus meie puhul on x = −1. See on kõik lahendus. Läheme tagasi oma arvutuste algusesse.

Selle õppetunni peamine järeldus on, et funktsiooni piirväärtusi ei ole vaja kontrollida kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites. Kuna lahendamise käigus täidetakse kõik piirangud automaatselt.

Kuid see ei tähenda mingil juhul seda, et võite kinnitamise täielikult unustada. Logaritmilise võrrandi kallal töötades võib see muutuda irratsionaalseks, millel on paremale poolele oma piirangud ja nõuded, mida oleme täna näinud kahes erinevas näites.

Lahendage selliseid probleeme julgelt ja olge eriti ettevaatlik, kui vaidluses on juur.

Logaritmvõrrandid erinevate alustega

Jätkame logaritmiliste võrrandite uurimist ja analüüsime veel kahte üsna huvitavat nippi, millega on moes keerulisemaid struktuure lahendada. Kuid kõigepealt meenutagem, kuidas lahendatakse lihtsamaid ülesandeid:

log a f(x) = b

Selles tähistuses on a ja b lihtsalt arvud ning funktsioonis f (x) peab muutuja x olemas olema ja ainult seal, st x peab olema ainult argumendis. Teisendame sellised logaritmilised võrrandid kanoonilise vormi abil. Selle jaoks märgime, et

b = log a a b

Ja a b on lihtsalt argument. Kirjutame selle avaldise ümber järgmiselt:

log a f(x) = log a a b

See on täpselt see, mida me püüame saavutada, nii et nii vasakul kui ka paremal on logaritm alusele a. Sel juhul võime piltlikult öeldes logi märgid maha kriipsutada ja matemaatika seisukohalt võib öelda, et me lihtsalt võrdsustame argumendid:

f(x) = a b

Selle tulemusena saame uue väljendi, mida saab palju lihtsamalt lahendada. Rakendame seda reeglit oma tänaste ülesannete puhul.

Nii et esimene kujundus:

Kõigepealt märgin, et paremal on murd, mille nimetaja on log. Kui näete sellist väljendit, tasub meeles pidada logaritmide imelist omadust:

Vene keelde tõlgituna tähendab see, et mis tahes logaritmi saab esitada kahe logaritmi jagatisena mis tahes alusega c. Muidugi, 0< с ≠ 1.

Niisiis: sellel valemil on üks imeline erijuhtum, kui muutuja c on võrdne muutujaga b. Sel juhul saame vormi konstruktsiooni:

Just seda konstruktsiooni me oma võrrandis paremal oleva märgi järgi jälgime. Asendame selle konstruktsiooni log a b-ga, saame:

Teisisõnu, võrreldes algse ülesandega oleme argumendi ja logaritmi aluse vahetanud. Selle asemel pidime murdosa ümber pöörama.

Tuletame meelde, et mis tahes kraadi saab baasist välja võtta järgmise reegli järgi:

Teisisõnu, koefitsient k, mis on aluse aste, võetakse välja pööratud murdena. Võtame selle välja pöördmurruna:

Murdutegurit ette jätta ei saa, sest sel juhul ei saa me seda kirjet kanoonilise vormina esitada (kanoonilises vormis pole ju teise logaritmi ees lisategurit). Seetõttu paneme argumendis astmeks murdosa 1/4:

Nüüd võrdsustame argumendid, mille alused on samad (ja meil on tegelikult samad alused), ja kirjutame:

x + 5 = 1

x = −4

See on kõik. Saime vastuse esimesele logaritmilisele võrrandile. Pöörake tähelepanu: algülesandes esineb muutuja x ainult ühes logis ja see on selle argumendis. Seetõttu pole domeeni vaja kontrollida ja meie arv x = −4 on tõepoolest vastus.

Liigume nüüd teise väljendi juurde:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

Siin peame lisaks tavapärastele logaritmidele töötama ka lg f (x) abil. Kuidas sellist võrrandit lahendada? Ettevalmistumata õpilasele võib tunduda, et see on mingi tina, aga tegelikult on kõik elementaarselt lahendatud.

Vaadake tähelepanelikult terminit lg 2 log 2 7. Mida selle kohta öelda? Logi ja lg alused ja argumendid on samad ning see peaks andma vihjeid. Meenutagem veel kord, kuidas logaritmi märgi alt astmeid välja võetakse:

log a b n = n log a b

Teisisõnu, see, mis oli argumendis arvu b võimsus, muutub logi enda ees teguriks. Rakendame seda valemit avaldisele lg 2 log 2 7. Ärge kartke lg 2 - see on kõige levinum väljend. Saate selle ümber kirjutada järgmiselt:

Tema jaoks kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad mis tahes muu logaritmi puhul. Eelkõige saab argumendi jõusse lisada ees oleva teguri. Kirjutame:

Väga sageli õpilased punkti tühjaks seda toimingut ei näe, sest ühte palki pole hea teise sildi all sisestada. Tegelikult pole selles midagi kriminaalset. Lisaks saame valemi, mida on lihtne arvutada, kui mäletate olulist reeglit:

Seda valemit võib pidada nii definitsiooniks kui ka selle üheks omaduseks. Igal juhul, kui teisendate logaritmilise võrrandi, peaksite seda valemit teadma samamoodi nagu mis tahes arvu esitamist logaritmi kujul.

Me pöördume tagasi oma ülesande juurde. Kirjutame selle ümber, võttes arvesse asjaolu, et võrdusmärgist paremal olev esimene liige võrdub lihtsalt lg 7-ga.

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Liigutame lg 7 vasakule, saame:

lg 56 – lg 7 = –3 lg (x + 4)

Lahutame vasakul olevad avaldised, kuna neil on sama alus:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Vaatame nüüd saadud võrrandit lähemalt. See on praktiliselt kanooniline vorm, kuid paremal on tegur −3. Paneme selle õigesse lg-argumendisse:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, seega kriipsutame lg märgid läbi ja võrdsustame argumendid:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

See on kõik! Oleme lahendanud teise logaritmilise võrrandi. Sel juhul pole täiendavaid kontrolle vaja, sest algülesandes esines x ainult ühes argumendis.

Lubage mul korrata selle õppetunni põhipunktid.

Peamine valem, mida uuritakse kõigis selle lehe tundides, mis on pühendatud logaritmiliste võrrandite lahendamisele, on kanooniline vorm. Ja ärge laske end heidutada sellest, et enamikus kooliõpikutes õpetatakse, kuidas selliseid probleeme erinevalt lahendada. See tööriist töötab väga tõhusalt ja võimaldab teil lahendada palju laiemat klassi ülesandeid kui kõige lihtsamad, mida me tunni alguses uurisime.

Lisaks on logaritmiliste võrrandite lahendamisel kasulik teada põhiomadusi. Nimelt:

1. Ühele alusele liikumise valem ja erijuhtum, kui me logi ümber pöörame (see oli meile esimeses ülesandes väga kasulik);
2. Valem võimsuste sisse- ja väljavõtmiseks logaritmi märgi alt. Siin jäävad paljud õpilased jänni ega näe täpipealt, et väljavõetud ja sisse toodud võimsus võib ise sisaldada log f (x). Selles pole midagi halba. Saame tutvustada ühte palki teise märgi järgi ja samal ajal oluliselt lihtsustada ülesande lahendamist, mida me ka teisel juhul jälgime.

Kokkuvõtteks tahaksin lisada, et igal juhul ei ole vaja ulatust kontrollida, sest igal pool on muutuja x ainult ühes logimärgis ja on samal ajal selle argumendis. Selle tulemusena täidetakse kõik domeeni nõuded automaatselt.

Probleemid muutuva baasiga

Täna käsitleme logaritmilisi võrrandeid, mis paljude õpilaste jaoks tunduvad ebastandardsed, kui mitte täiesti lahendamatud. See on umbes mitte arvudel, vaid muutujatel ja isegi funktsioonidel põhinevate avaldiste kohta. Sellised konstruktsioonid lahendame oma standardtehnikas, nimelt kanoonilise vormi kaudu.

Alustuseks tuletagem meelde, kuidas lahendatakse lihtsamaid ülesandeid, mis põhinevad tavalistel numbritel. Niisiis, nimetatakse lihtsaimat konstruktsiooni

log a f(x) = b

Selliste probleemide lahendamiseks saame kasutada järgmist valemit:

b = log a a b

Kirjutame oma algse avaldise ümber ja saame:

log a f(x) = log a a b

Seejärel võrdsustame argumendid, st kirjutame:

f(x) = a b

Seega vabaneme logimärgist ja lahendame tavapärase probleemi. Sel juhul on lahenduses saadud juured algse logaritmilise võrrandi juured. Lisaks nimetatakse kanooniliseks vormiks kirjet, kui nii vasak kui ka parem on samal logaritmil ja sama alusega. Just sellele rekordile püüame vähendada tänaseid ehitusi. Nii et lähme.

Esimene ülesanne:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Asendage 1 logiga x − 2 (x − 2) 1 . Argumendis vaadeldav aste on tegelikult arv b , mis asus võrdusmärgist paremal. Nii et kirjutame oma väljendi ümber. Saame:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mida me näeme? Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, nii et saame argumendid ohutult võrdsustada. Saame:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Kuid lahendus sellega ei lõpe, sest antud võrrand ei ole samaväärne originaaliga. Saadud konstruktsioon koosneb ju funktsioonidest, mis on defineeritud tervel arvureal ning meie algsed logaritmid pole defineeritud igal pool ja mitte alati.

Seetõttu peame määramisvaldkonna eraldi kirja panema. Ärgem olgem targemad ja pange kõigepealt kirja kõik nõuded:

Esiteks peab iga logaritmi argument olema suurem kui 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Teiseks peab alus olema mitte ainult suurem kui 0, vaid ka erinev 1-st:

x − 2 ≠ 1

Selle tulemusena saame süsteemi:

Kuid ärge kartke: logaritmiliste võrrandite töötlemisel saab sellist süsteemi oluliselt lihtsustada.

Otsustage ise: ühelt poolt nõutakse meilt, et ruutfunktsioon oleks suurem kui null, ja teisest küljest võrdsustatakse see ruutfunktsioon teatud lineaaravaldisega, mis on samuti nõutav, et see oleks suurem kui null.

Sel juhul, kui nõuame, et x − 2 > 0, siis on automaatselt täidetud ka nõue 2x 2 − 13x + 18 > 0. Seetõttu võime ruutfunktsiooni sisaldava võrratuse julgelt maha kriipsutada. Seega väheneb meie süsteemis sisalduvate avaldiste arv kolmele.

Muidugi võiksime sama hästi maha kriipsutada lineaarne ebavõrdsus, s.t. kriipsutage x − 2 > 0 läbi ja eeldame, et 2x 2 − 13x + 18 > 0. Kuid peate nõustuma, et lihtsamat lineaarset ebavõrdsust on palju kiirem ja lihtsam lahendada, kui see süsteem saame samad juured.

Üldiselt proovige võimalusel arvutusi optimeerida. Ja logaritmiliste võrrandite puhul kriipsutage läbi kõige raskemad võrratused.

Kirjutame oma süsteemi ümber:

Siin on selline kolme väljendi süsteem, millest kaks oleme tegelikult juba välja mõelnud. Kirjutame ruutvõrrandi eraldi välja ja lahendame selle:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

Meie ees on taandatud ruuttrinoom ja seetõttu saame kasutada Vieta valemeid. Saame:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nüüd, tagasi meie süsteemi juurde, leiame, et x = 2 ei sobi meile, sest meilt nõutakse, et x oleks rangelt suurem kui 2.

Kuid x \u003d 5 sobib meile üsna hästi: arv 5 on suurem kui 2 ja samal ajal ei ole 5 võrdne 3-ga. ainus lahendus selle süsteemi väärtus on x = 5.

Kõik, ülesanne on lahendatud, sealhulgas ODZ-d arvesse võttes. Liigume edasi teise võrrandi juurde. Siin ootame huvitavamaid ja sisukamaid arvutusi:

Esimene samm: nagu ka eelmisel korral, viime kogu selle äri kanoonilisse vormi. Selleks saame kirjutada numbri 9 järgmiselt:

Juurega alust ei saa puudutada, kuid argumenti on parem teisendada. Liigume ratsionaalse astendajaga juurest astmele. Kirjutame:

Lubage mul mitte kogu meie suurt logaritmilist võrrandit ümber kirjutada, vaid võrdsustada kohe argumendid:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Enne meid on taas taandatud ruuttrinoom, kasutame Vieta valemeid ja kirjutame:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Niisiis, saime juured, kuid keegi ei garanteerinud meile, et need sobiksid algse logaritmilise võrrandiga. Logimärgid seavad ju lisapiirangud (siinkohal peaksime süsteemi üles kirjutama, aga kogu konstruktsiooni kohmakuse tõttu otsustasin defineerimisvaldkonna eraldi välja arvutada).

Kõigepealt pidage meeles, et argumendid peavad olema suuremad kui 0, nimelt:

Need on määratlusvaldkonna nõuded.

Märgime kohe, et kuna me võrdsustame süsteemi kaks esimest avaldist üksteisega, võime neist ühe läbi kriipsutada. Tõmmake esimene läbi, sest see näeb välja ähvardavam kui teine.

Lisaks pange tähele, et teise ja kolmanda võrratuse lahendid on samad hulgad (mõne arvu kuup on suurem kui null, kui see arv ise on suurem kui null; sarnaselt kolmanda astme juurega - need võrratused on täiesti sarnased, nii et ühe neist võime maha kriipsutada).

Kuid kolmanda ebavõrdsusega see ei tööta. Vabaneme vasakpoolsest radikaali märgist, mille jaoks tõstame mõlemad osad kuubikuks. Saame:

Seega saame järgmised nõuded:

−2 ≠ x > −3

Milline meie juurtest: x 1 = -3 või x 2 = -1 vastab nendele nõuetele? Ilmselgelt ainult x = −1, sest x = −3 ei rahulda esimest võrratust (kuna meie ebavõrdsus on range). Kokkuvõttes, naastes meie probleemi juurde, saame ühe juure: x = −1. See on kõik, probleem lahendatud.

Veelkord selle ülesande põhipunktid:

1. Rakendage ja lahendage kanoonilise vormi abil logaritmilisi võrrandeid. Õpilased, kes teevad sellise kirje ja ei lähe algülesande juurest otse konstruktsiooni juurde nagu log a f ( x ) = b , teevad palju vähem vigu kui need, kes kuhugi kiirustavad, jättes arvutuste vaheetapid vahele;
2. Niipea, kui logaritmis ilmub muutuv alus, lakkab probleem olemast kõige lihtsam. Seetõttu on selle lahendamisel vaja arvestada definitsioonipiirkonnaga: argumendid peavad olema suuremad kui null ja alused ei tohi olla mitte ainult suuremad kui 0, vaid need ei tohi olla ka võrdsed 1-ga.

Viimaseid nõudeid saab lõplikele vastustele esitada erineval viisil. Näiteks on võimalik lahendada terve süsteem, mis sisaldab kõiki domeeninõudeid. Teisest küljest saate esmalt lahendada probleemi enda ja seejärel meeles pidada definitsioonivaldkonda, töötada see süsteemi kujul eraldi välja ja rakendada saadud juurtele.

Milline viis konkreetse logaritmilise võrrandi lahendamisel valida, on teie otsustada. Igal juhul on vastus sama.

Antakse naturaallogaritmi, graafi, definitsioonipiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmereas laienduse ja funktsiooni ln x esituse põhiomadused kompleksarvude abil.

Definitsioon

naturaallogaritm on funktsioon y = ln x, pöördvõrdeline astendajaga x \u003d e y ja mis on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktsiooni y = graafik ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse astendaja graafikult peegelpeegelduse teel sirgjoonelt y = x .

Naturaallogaritm on defineeritud juures positiivsed väärtused muutuja x . See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Nagu x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( - ∞ ).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus ( + ∞ ). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Ükskõik milline toitefunktsioon x a positiivse astendajaga a kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratluspiirkond, väärtuste kogum, ekstreemsus, suurenemine, vähenemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, seega pole tal äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

ln x väärtused

log 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasmuutuse valemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis .

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Avaldised kompleksarvude kujul

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ​​ole üheselt määratletud. Kui paneme
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate n-de jaoks sama arv.

Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina seda ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Laiendus toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

Üks algebra elemente primitiivne tasand on logaritm. Nimi pärines kreeka keel sõnast "arv" või "võimsus" ja tähendab võimsust, milleni on vaja lõppnumbri leidmiseks baasi numbrit tõsta.

Logaritmide tüübid

• log a b on arvu b logaritm aluse a suhtes (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - kümnendlogaritm (logaritmi alus 10, a = 10);
• ln b - naturaalne logaritm (logaritmi alus e, a = e).

Kuidas lahendada logaritme?

Arvu b logaritm aluse a suhtes on eksponent, mis eeldab aluse a tõstmist arvuni b. Tulemust hääldatakse järgmiselt: "b logaritm a baasi". Logaritmiülesannete lahendus on see, et peate määrama etteantud astme arvude järgi määratud arvude järgi. Logaritmi määramiseks või lahendamiseks, aga ka tähise enda teisendamiseks on mõned põhireeglid. Nende abil lahendatakse logaritmilisi võrrandeid, leitakse tuletisi, lahendatakse integraale ja tehakse palju muid tehteid. Põhimõtteliselt on logaritmi enda lahendus selle lihtsustatud tähistus. Allpool on toodud peamised valemid ja omadused:

Iga a ; a > 0; a ≠ 1 ja mis tahes x korral; y > 0.

• a log a b = b on logaritmiline põhiidentiteet
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, kui k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - uuele alusele ülemineku valem
• log a x = 1/log x a

Kuidas lahendada logaritme – samm-sammult juhised lahendamiseks

• Kõigepealt kirjutage üles vajalik võrrand.

Pange tähele: kui baaslogaritm on 10, siis kirjet lühendatakse, saadakse kümnendlogaritm. Kui on naturaalarv e, siis kirjutame üles, taandades naturaallogaritmile. See tähendab, et kõigi logaritmide tulemus on võimsus, milleni tõstetakse baasarv, et saada arv b.

Otseselt peitub lahendus selle kraadi arvutamises. Enne avaldise lahendamist logaritmiga tuleb seda reegli järgi lihtsustada ehk siis valemeid kasutades. Peamised identiteedid leiate artiklis veidi tagasi minnes.

Kahe erineva arvuga logaritmide liitmine ja lahutamine, kuid koos samadel alustel, asendage ühe logaritmiga vastavalt arvude b ja c korrutise või jaotusega. Sel juhul saate üleminekuvalemi rakendada teisele alusele (vt ülalt).

Kui kasutate avaldisi logaritmi lihtsustamiseks, tuleb meeles pidada mõningaid piiranguid. Ja see on: logaritmi a alus on ainult positiivne arv, kuid mitte võrdne ühega. Arv b, nagu a, peab olema suurem kui null.

On juhtumeid, kui pärast avaldise lihtsustamist ei saa te logaritmi arvulises vormis arvutada. Juhtub, et sellisel avaldisel pole mõtet, sest paljud kraadid on irratsionaalsed arvud. Selle tingimuse korral jätke arvu aste logaritmiks.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada tuvastamiseks teatud isik või seos temaga.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda mitmesugust teavet sealhulgas teie nimi, telefoninumber, aadress Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid üritusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid pakutavate teenuste täiustamiseks ja teile meie teenuste kohta soovituste andmiseks.
• Kui osalete auhinnaloosis, konkursil või sarnasel stiimulil, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuvaidlusi ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.