Mitmes punktis on funktsiooni tuletis positiivne? Millisel hetkel on tuletise väärtus suurim?

Tuletise märgi seose näitamine funktsiooni monotoonsuse olemusega.

Palun olge järgnevas osas äärmiselt ettevaatlik. Vaata, MIS sulle antakse ajakava! Funktsioon või selle tuletis

Antud tuletise graafik, siis meid huvitavad ainult funktsioonimärgid ja nullid. Mingid "kõlad" ja "õõnsused" meid põhimõtteliselt ei huvita!

1. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Määrake täisarvu punktide arv, kus funktsiooni tuletis on negatiivne.

Lahendus:

Joonisel on kahaneva funktsiooni alad värviliselt esile tõstetud:

Nendesse kahaneva funktsiooni piirkondadesse langeb 4 täisarvu.

2. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leia punktide arv, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või kattub sirgega.

Lahendus:

Kuna funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne (või langeb kokku) sirgega (või, mis on sama, ), millel on kalle , null, siis puutujal on kalle .

See omakorda tähendab, et puutuja on teljega paralleelne, kuna kalle on puutuja kaldenurga puutuja telje suhtes.

Seetõttu leiame graafikult äärmuspunktid (maksimaalsed ja miinimumpunktid), - just nendes on graafiku puutuja funktsioonid teljega paralleelsed.

Selliseid punkte on 4.

3. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia punktide arv, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või kattub sirgega.

Lahendus:

Kuna funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne (või langeb kokku) sirgega, millel on kalle, siis puutujal on kalle.

See omakorda tähendab, et kokkupuutepunktides.

Seetõttu vaatame, kui paljude graafiku punktide ordinaat on võrdne .

Nagu näete, on selliseid punkte neli.

4. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leia punktide arv, kus funktsiooni tuletis on 0.

Lahendus:

Tuletis on äärmuspunktides null. Meil on neid 4:

5. ülesanne.

Joonisel on funktsioonigraafik ja üksteist punkti x-teljel:. Mitmes neist punktidest on funktsiooni tuletis negatiivne?

Lahendus:

Väheneva funktsiooni intervallidel võtab selle tuletis negatiivsed väärtused. Ja funktsioon väheneb punktides. Selliseid punkte on 4.

6. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leia funktsiooni äärmuspunktide summa.

Lahendus:

äärmuslikud punktid on maksimumpunktid (-3, -1, 1) ja miinimumpunktid (-2, 0, 3).

Äärmuspunktide summa: -3-1+1-2+0+3=-2.

Ülesanne 7.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia suureneva funktsiooni intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Lahendus:

Joonisel on esile tõstetud intervallid, millel funktsiooni tuletis on mittenegatiivne.

Väikesel kasvuvahemikul täisarvu punkte ei ole, kasvuvahemikul on neli täisarvu väärtust: , , ja .

Nende summa:

Ülesanne 8.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia suureneva funktsiooni intervallid. Oma vastuses kirjutage neist suurima pikkus.

Lahendus:

Joonisel on esile tõstetud kõik intervallid, millel tuletis on positiivne, mis tähendab, et funktsioon ise suureneb nendel intervallidel.

Neist suurima pikkus on 6.

Ülesanne 9.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Mis punktis segment teeb kõrgeim väärtus.

Lahendus:

Vaatame, kuidas graafik segmendil käitub, nimelt oleme huvitatud ainult tuletismärk .

Tuletise märk on miinus, kuna sellel lõigul olev graafik on telje all.

Funktsiooni tuletis on üks rasked teemad kooli õppekavas. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluse matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Milline neist kasvab teie arvates kõige kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Tal on kõige rohkem suur kiirus muutused, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Näete graafikul kõike kohe, eks? Kostja sissetulek on kuue kuuga enam kui kahekordistunud. Ja Grisha sissetulek ka kasvas, kuid ainult natuke. Ja Matthew sissetulek vähenes nulli. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, s.o. tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulu tuletis on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt saame hõlpsasti hinnata funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

Me tegelikult vaatame seda, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub x-iga. Ilmselgelt võib erinevates punktides olla sama funktsioon erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame, kuidas graafiku abil leida.

Joonistatakse mingi funktsiooni graafik. Võtke sellel abstsissiga punkt. Joonistage selles punktis funktsiooni graafikule puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja kalde puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalde puutujaga.

Pange tähele - puutuja kaldenurgana võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt graafikuga ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Mäletame, et teravnurga puutuja in täisnurkne kolmnurk võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid ülesandeid leidub matemaatika eksamil sageli numbri all.

On veel üks oluline seos. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. Ta väljendab geomeetriline tähendus tuletis.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu, tuletis on võrdne puutuja kalde puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb, mõnes väheneb ja koos erinev kiirus. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Moodustub punktis joonistatud graafiku puutuja terav nurk; positiivse telje suunaga. Seega on tuletis punktis positiivne.

Hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Ja mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et (maksimumipunktis) ja (minimaalses punktis) puutuja on horisontaalne. Seetõttu on puutuja kalde puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt on maksimumpunkt. Siinkohal asendub funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti võrdne nulliga, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saate funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon kasvab.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon on kahanev.

Maksimaalses punktis on tuletis null ja muudab märgi plussist miinusesse.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi miinusest plussiks.

Kirjutame need leiud tabeli kujul:

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik on juhtum, kui funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes – ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu - see on jäänud positiivseks, nagu ta oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib see

Tere! Lööme lähenevale KASUTUSELE kvaliteetse süstemaatilise treeningu ja visadusega teadusgraniidi lihvimisel !!! ATPostituse lõpus on võistlusülesanne, ole esimene! Ühes selle jaotise artiklis sina ja mina, milles funktsiooni graafik oli antud, ja seadke erinevaid küsimusi mis puudutab äärmusi, suurenemise (vähenemise) intervalle ja muid.

Selles artiklis käsitleme matemaatika USE-s sisalduvaid ülesandeid, milles on antud funktsiooni tuletise graafik ja esitatakse järgmised küsimused:

1. Millises segmendi punktis omandab funktsioon suurima (või väikseima) väärtuse.

2. Leia funktsiooni maksimaalsete (või minimaalsete) punktide arv, mis kuuluvad antud lõigusse.

3. Leia antud lõiku kuuluvate funktsiooni ekstreemumipunktide arv.

4. Leia antud lõiku kuuluva funktsiooni äärmuspunkt.

5. Leidke funktsiooni suurenemise (või vähenemise) intervallid ja märkige vastuses nendesse intervallidesse kuuluvate täisarvude punktide summa.

6. Leia funktsiooni suurenemise (või vähenemise) intervallid. Oma vastuses märkige nendest intervallidest suurima pikkus.

7. Leia punktide arv, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = kx + b või langeb sellega kokku.

8. Leidke selle punkti abstsiss, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne abstsissteljega või langeb sellega kokku.

Küsimusi võib olla ka teisi, aga need ei tekita Sulle raskusi, kui mõistad ja (artiklitele on toodud lingid, mis annavad lahendamiseks vajalikku infot, soovitan korrata).

Põhiteave (lühidalt):

1. Suurenevate intervallide tuletis on positiivse märgiga.

Kui tuletis teatud punktis mingist intervallist on positiivne väärtus, siis selle intervalli funktsiooni graafik suureneb.

2. Vähenemise intervallidel on tuletis negatiivse märgiga.

Kui tuletis teatud punktis mingist intervallist on negatiivne tähendus, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.

3. Punkti x tuletis võrdub funktsiooni graafikule samas punktis tõmmatud puutuja kaldega.

4. Funktsiooni ekstreemumi (maksimum-miinimum) punktides on tuletis võrdne nulliga. Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega.

Seda tuleb selgelt mõista ja meeles pidada!!!

Tuletise graafik "ajab" paljud inimesed segadusse. Mõned võtavad seda kogemata funktsiooni enda graafikuna. Seetõttu keskenduge sellistes hoonetes, kus näete, et graafik on antud, tingimusel koheselt sellele, mis on antud: funktsiooni graafikule või funktsiooni tuletise graafikule?

Kui see on funktsiooni tuletise graafik, käsitlege seda funktsiooni enda "peegeldusena", mis annab teile selle funktsiooni kohta lihtsalt teavet.

Mõelge ülesandele:

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X), defineeritud intervallil (–2;21).

Vastame järgmistele küsimustele:

1. Millises lõigu punktis funktsioon asub f(X) omandab suurima väärtuse.

Antud segmendil on funktsiooni tuletis negatiivne, mis tähendab, et sellel lõigul funktsioon väheneb (väheneb intervalli vasakust piirist paremale). Seega saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus lõigu vasakpoolsel piiril, st punktis 7.

Vastus: 7

2. Millises lõigu punktis funktsioon asub f(X)

Selle tuletise graafiku põhjal saame öelda järgmist. Antud segmendil on funktsiooni tuletis positiivne, mis tähendab, et sellel lõigul funktsioon suureneb (see suureneb intervalli vasakust piirist paremale). Sellel viisil, väikseim väärtus Funktsioon saavutatakse lõigu vasakpoolsel piiril, st punktis x = 3.

Vastus: 3

3. Leia funktsiooni maksimumpunktide arv f(X)

Maksimaalsed punktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub positiivsest negatiivseks. Mõelge, kus märk sel viisil muutub.

Segmendil (3;6) on tuletis positiivne, segmendil (6;16) negatiivne.

Segmendil (16;18) on tuletis positiivne, segmendil (18;20) negatiivne.

Seega on antud segmendil funktsioonil kaks maksimaalset punkti x = 6 ja x = 18.

Vastus: 2

4. Leia funktsiooni miinimumpunktide arv f(X) segmenti kuuluv .

Miinimumpunktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub negatiivsest positiivseks. Meil on intervallil (0; 3) negatiivne tuletis ja intervallil (3; 4) positiivne.

Seega on lõigul funktsioonil ainult üks miinimumpunkt x = 3.

*Vastuse kirjutamisel ole ettevaatlik - märgitakse punktide arv, mitte x väärtus, selline viga võib tekkida tähelepanematusest.

Vastus: 1

5. Leia funktsiooni ekstreemumipunktide arv f(X) segmenti kuuluv .

Pange tähele, et peate leidma summaäärmuspunktid (need on nii maksimum- kui ka miinimumpunktid).

Ekstreemumipunktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub (positiivsest negatiivseks või vastupidi). Tingimuses antud graafikul on need funktsiooni nullid. Tuletis kaob punktides 3, 6, 16, 18.

Seega on funktsioonil lõigul 4 ekstreemumipunkti.

Vastus: 4

6. Leia suureneva funktsiooni intervallid f(X)

Selle funktsiooni suurendamise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel selle tuletis on positiivne, st intervallidele (3;6) ja (16;18). Pange tähele, et intervalli piire see ei sisalda (ümmargused sulud - piire ei arvestata intervalliga, nurksulud on kaasatud). Need intervallid sisaldavad täisarvu punkte 4, 5, 17. Nende summa on: 4 + 5 + 17 = 26

Vastus: 26

7. Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X) etteantud intervalliga. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Funktsioonide vähendamise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on negatiivne. Selles ülesandes on need intervallid (–2;3), (6;16), (18;21).

Need intervallid sisaldavad järgmisi täisarvu punkte: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Nende summa on:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Vastus: 140

*Pöörake tähelepanu tingimusele: kas piirid sisalduvad intervallis või mitte. Kui piirid on kaasatud, siis tuleb neid piire arvestada ka lahendusprotsessis arvestatavate intervallidega.

8. Leia suureneva funktsiooni intervallid f(X)

Funktsiooni suurendamise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on positiivne. Oleme need juba märkinud: (3;6) ja (16;18). Suurim neist on intervall (3;6), selle pikkus on 3.

Vastus: 3

9. Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X). Oma vastuses kirjutage neist suurima pikkus.

Funktsioonide vähendamise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on negatiivne. Oleme need juba välja toonud, need on intervallid (–2; 3), (6; 16), (18; 21), nende pikkused on vastavalt 5, 10, 3.

Suurima pikkus on 10.

Vastus: 10

10. Leia punktide arv, kus on funktsiooni graafiku puutuja f(X) paralleelne joonega y \u003d 2x + 3 või langeb sellega kokku.

Tuletise väärtus kokkupuutepunktis on võrdne puutuja kaldega. Kuna puutuja on paralleelne sirgjoonega y \u003d 2x + 3 või langeb sellega kokku, siis on nende kalded võrdsed 2-ga. Seetõttu on vaja leida punktide arv, kus y (x 0) \u003d 2. Geomeetriliselt vastab see tuletisgraafiku lõikepunktide arvule sirgega y = 2. Sel intervallil on 4 sellist punkti.

Vastus: 4

11. Leia funktsiooni äärmuspunkt f(X) segmenti kuuluv .

Funktsiooni äärmuspunkt on punkt, kus selle tuletis on võrdne nulliga ja selle punkti läheduses muudab tuletis märki (positiivsest negatiivseks või vastupidi). Segmendil ristub tuletise graafik x-teljega, tuletis muudab märgi negatiivsest positiivseks. Seetõttu on punkt x = 3 äärmuspunkt.

Vastus: 3

12. Leidke nende punktide abstsissid, kus graafiku puutujad y \u003d f (x) on paralleelsed abstsissteljega või langevad sellega kokku. Oma vastuses märkige neist suurim.

Graafiku puutuja y \u003d f (x) võib olla paralleelne x-teljega või sellega kokku langeda ainult punktides, kus tuletis on null (need võivad olla äärmuspunktid või statsionaarsed punktid, mille läheduses tuletis ei muuda oma märki). See graafik näitab, et tuletis on punktides 3, 6, 16,18 null. Suurim on 18.

Argumendi saab üles ehitada järgmiselt:

Tuletise väärtus kokkupuutepunktis on võrdne puutuja kaldega. Kuna puutuja on paralleelne või langeb kokku x-teljega, on selle kalle 0 (tõepoolest, nullkraadise nurga puutuja on null). Seetõttu otsime punkti, kus kalle on võrdne nulliga, mis tähendab, et tuletis on võrdne nulliga. Punktis, kus selle graafik ristub x-teljega, on tuletis võrdne nulliga ja need on punktid 3, 6, 16, 18.

Vastus: 18

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X) määratletud intervallil (–8;4). Millises lõigu [–7;–3] punktis funktsioon asub f(X) võtab väikseima väärtuse.

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X), mis on määratletud intervalliga (–7;14). Leia funktsiooni maksimaalsete punktide arv f(X) segmenti kuuluv [–6;9].

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X) määratletud intervallil (–18;6). Leia funktsiooni miinimumpunktide arv f(X) kuuluvad intervalli [–13;1].

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X), määratletud intervallil (–11; –11). Leia funktsiooni äärmuspunktide arv f(X), mis kuulub segmenti [–10; -kümme].

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X) määratletud intervallil (–7;4). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(X). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X), määratletud intervalliga (–5; 7). Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(X)- tuletisfunktsioon f(X) määratletud intervallil (–11;3). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(X). Oma vastuses kirjutage neist suurima pikkus.

F Joonisel on kujutatud graafik

Probleemi seisund on sama (mida me kaalusime). Leidke kolme arvu summa:

1. Funktsiooni f (x) ekstreemumite ruutude summa.

2. Funktsiooni f (x) maksimumpunktide summa ja miinimumpunktide summa ruutude vahe.

3. F (x) puutujate arv, mis on paralleelsed sirgega y \u003d -3x + 5.

Esimesena õige vastuse andja saab ergutusauhinna - 150 rubla. Kirjutage oma vastused kommentaaridesse. Kui see on teie esimene kommentaar blogis, siis see ei ilmu kohe, veidi hiljem (ärge muretsege, kommentaari kirjutamise aeg salvestatakse).

Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitsikh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.