Uurimistöö "tipu valem". Planimeetria koolikursuse tipuvalem

Starkova Kristina, 8B klassi õpilane

Töö käsitleb Picki teoreemi ja selle tõestust.

Vaadeldakse hulknurkade pindala leidmise probleeme

Lae alla:

Eelvaade:

ÜLD- JA KUTSEHARIDUSE OSAKOND

TŠAIKOVSKI VALLAPIIRKONNA HALDUS

PERMI PIIRKOND

VI VALLATEADUSLIK KONVERENTS
ÕPILASED

Omavalitsuse autonoomne üldharidusasutus

"Keskkool nr 11"

OSA: MATEMAATIKA

Picki valemi rakendamine

8 "B" klassi õpilane

MAOU keskkool nr 11 Tšaikovski

Juht: Batueva L, N.,

Matemaatikaõpetaja MAOU keskkooli nr 11

Tšaikovski

aasta 2012

I. Sissejuhatus……………………………………………………. 2

II. Peak valem

2.1. Võred. Sõlmed………………………………………………….4

2.2. Hulknurga triangulatsioon……………………………5

2.3. Picki teoreemi tõestus……………………………6

2.4 Hulknurkade pindalade uurimine…………9

2.5. Järeldus……………………………………………………..12

III Praktilise sisuga geomeetrilised ülesanded ... 13

IV. Järeldus…………………………………………………..14

V. Kasutatud kirjanduse loetelu…………………………..16

1. Sissejuhatus

Kirg matemaatika vastu saab sageli alguse probleemile mõtlemisest. Nii tekkis teemat "Hulknurkade pindalad" uurides küsimus, kas on ülesandeid, mis erinevad geomeetriaõpikutes käsitletud ülesannetest. Need on ülesanded ruudulisel paberil. Meil tekkisid küsimused: mis on selliste ülesannete eripära, kas neid on spetsiaalsed meetodid ja ruudulisel paberil ülesannete lahendamise tehnikaid. Selliste ülesannete nägemine kontrollis ja mõõtmises KASUTAGE materjale ja GIA, otsustasid kindlasti uurida ruudulisel paberil ülesandeid, mis on seotud kujutatud figuuri ala leidmisega.

Hakkasin uurima selleteemalist kirjandust, Interneti-ressursse. Näib, et põnevat võib leida ruudulisel tasapinnal ehk siis lõputul paberil, mis on tõmmatud identseteks ruutudeks? Ärge otsustage kiirustades. Selgub, et ruudulise paberiga seotud ülesanded on üsna mitmekesised. Õppisin arvutama ruudulisele paberile joonistatud hulknurkade pindalasid. Paljude puuris paberil olevate ülesannete puhul puuduvad üldised lahendamisereeglid, konkreetsed meetodid ja tehnikad. See on nende omadus, mis määrab nende väärtuse mittespetsiifilise arendamiseks õppimisoskus või oskust, aga üldiselt oskust mõelda, reflekteerida, analüüsida, otsida analoogiaid ehk need ülesanded arendavad mõtlemisoskust selle kõige laiemas tähenduses.

Me määratlesime:

Õppeobjekt: ülesanded ruudulisel paberil

Õppeaine: ruudulisel paberil hulknurga pindala arvutamise ülesanded, nende lahendamise meetodid ja tehnikad.

Uurimismeetodid: modelleerimine, võrdlemine, üldistamine, analoogia, kirjandus- ja internetiressursside uurimine, teabe analüüs ja klassifitseerimine.

1. Uuringu eesmärk:Tuletage ja testige valemeid geomeetriliste kujundite pindalade arvutamiseks Peak valemi abil

Selle eesmärgi saavutamiseks teeme ettepaneku lahendada järgmineülesanded:

1. Valige vajalik kirjandus
2. Valige uurimiseks materjal, valige peamine, huvitav ja arusaadav teave
3. Analüüsige ja korrastage saadud teavet
4. Leidma erinevaid meetodeid ja ruudulisel paberil ülesannete lahendamise tehnikaid
5. Loo tööst elektrooniline esitlus, et esitleda kogutud materjali klassikaaslastele

mitmesugused ülesanded paberil kastis, nende "meelelahutus", puudumine üldreeglid ja lahendusmeetodid tekitavad koolilastele raskusi nende arvestamisel

1. Hüpotees:. Picki valemiga arvutatud joonise pindala on võrdne planimeetria valemiga arvutatud joonise pindalaga.

Ruudulisel paberil ülesannete lahendamisel vajame geomeetrilist kujutlusvõimet ja üsna lihtsat, kõigile teada olevat geomeetrilist teavet.

II. Peak valem

2.1. Võred. Sõlmed.

Vaatleme tasapinnal kahte paralleelsete sirgete perekonda, mis jagavad tasandi võrdseteks ruutudeks; nende sirgete kõigi lõikepunktide hulka nimetatakse punktvõreks või lihtsalt võreks ja punkte endid võresõlmedeks.

Hulknurga sisemised sõlmed - punane.

Sõlmed hulknurga esikülgedel - sinine.

Hulknurga pindala hindamiseks ruudulisel paberil piisab, kui arvutada, mitu lahtrit see hulknurk katab (võtame lahtri pindala ühikuna). Täpsemalt, kui S on hulknurga pindala, B on lahtrite arv, mis asuvad täielikult hulknurga sees, ja G on lahtrite arv, millel on polügooni sisemusega vähemalt üks ühine punkt.

Vaatleme ainult selliseid hulknurki, mille kõik tipud asuvad ruudulise paberi sõlmedes - nendes, kus ruudustiku jooned ristuvad.

Iga ruudulisele paberile joonistatud kolmnurga pindala saab hõlpsasti välja arvutada, esitades selle täisnurksete kolmnurkade ja ristkülikute pindalade summa või erinevusena, mille küljed järgivad joonistatud kolmnurga tippe läbivaid ruudustiku jooni.

2.2 Hulknurga triangulatsioon

Iga hulknurka, mille tipud asuvad ruudustiku sõlmedes, saab trianguleerida – jagada "lihtsateks" kolmnurkadeks.

Tasapinnal olgu antud mingi hulknurk ja mingi lõplik hulk To hulknurga sees ja selle piiril asuvad punktid (pealegi kuuluvad hulka kõik hulknurga tipud TO ).

Triangulatsioon tippudega To nimetatakse partitsiooniks antud hulknurk kolmnurkadeks, mille tipud on komplektis To nii, et iga punkt sisse To toimib tipuna igale kolmnurgale, kuhu see punkt kuulub (st punktid To ei lange kolmnurkade sisse ega külgedele, joon. 1.37).

Riis. 1.37

2. teoreem. a) Iga n -gon saab lõigata diagonaalide kaupa kolmnurkadeks ja kolmnurkade arv on võrdne n – 2 (see partitsioon on triangulatsioon, mille tipud on tippudes n-gon).

Vaatleme mitte-degenereerunud lihtsat täisarvulist hulknurka (st see on ühendatud - selle mis tahes kahte punkti saab ühendada pideva kõveraga, mis on täielikult selles sisalduv ja kõigil selle tippudel on täisarvulised koordinaadid, selle piir on ühendatud polüjoon ilma ristumiskohad ja sellel on nullist erinev ala) .

Sellise hulknurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist teoreemi:

2.3. Picki teoreemi tõestus.

Olgu B täisarvu punktide arv hulknurga sees, Г selle piiril olevate täisarvupunktide arv,- selle piirkond. Siis Picki valem: S=V+G2-1

Näide. Joonisel oleva hulknurga jaoks B=23 (kollased täpid), D=7, (sinised täpid, ärgem unustagem tippe!), nii etruutühikud.

Esiteks pange tähele, et Picki valem kehtib ühikuruudu kohta. Tõepoolest, sel juhul on meil B=0, D=4 ja.

Vaatleme ristkülikut, mille küljed asetsevad võrejoontel. Olgu selle külgede pikkused võrdsed ja . Sel juhul on meil B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, siis Picki valemiga

Vaatleme nüüd täisnurkset kolmnurka, mille jalad asuvad koordinaattelgedel. Selline kolmnurk saadakse külgedega ristkülikust ja , mida vaadeldi eelmisel juhul, lõigates seda diagonaalselt. Las nad lebavad diagonaaliltäisarvu punktid. Siis selleks juhtum B \u003d a-1) b-1, 2 G = G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 ja me saame selle4) Nüüd kaaluge suvalist kolmnurka. Selle saab, kui lõigata ära mitu täisnurkset kolmnurka ja võimalik, et ristkülikust ka ristkülik (vt pilte). Kuna Picki valem kehtib nii ristküliku kui ka täisnurkse kolmnurga puhul, saame, et see kehtib ka suvalise kolmnurga puhul.

Jääb teha viimane samm: liikuda kolmnurkade juurest hulknurkade juurde. Iga hulknurga saab jagada kolmnurkadeks (näiteks diagonaalide järgi). Seetõttu peame lihtsalt tõestama, et suvalisele hulknurgale mis tahes kolmnurga lisamisel jääb Picki valem tõeseks. Lase hulknurk ja kolmnurk neil on ühine pool. Oletame, et selleksPicki valem on kehtiv, me tõestame, et see on tõene kohast saadud hulknurga puhul lisades . Alates ja millel on ühine külg, siis saavad kõik sellel küljel asuvad täisarvulised punktid, välja arvatud kaks tippu, uue hulknurga sisepunktideks. Tipud on piiripunktid. Tähistame numbrit ühised punktid läbi ja saada B=MT=BM+BT+c-2 - uue hulknurga sisemiste täisarvu punktide arv, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - uue hulknurga piiripunktide arv. Nendest võrdsustest saame: BM+BT+c-2 G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Kuna oleme eeldanud, et teoreem on tõene ja eest eraldi, siis S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22-2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Seega on Picki valem tõestatud.

2.4 Hulknurkade pindalade uurimine.

2) See on kujutatud ruudulisel paberil, mille lahtrid on mõõtmetega 1 cm x 1 cm kolmnurk. Leidke selle pindala ruutsentimeetrites.
Pilt	Vastavalt geomeetria valemile	Picki valemi järgi
	S = 12ah Str.ABD = 1/2 AD ∙ BD = 1/2 ∙ 2 ∙ 1 = 1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S = V+G2-1 G = 3; V = 0. S=0+3/2-1=0,5

3) Ruut on kujutatud ruudulisel paberil, mille lahtrid on 1 cm x 1 cm. Leidke selle pindala ruutsentimeetrites.
Pilt	Vastavalt geomeetria valemile	Picki valemi järgi
	S=a∙b KMNE = 7 ∙ 7 = 49 Str.AKB = 1/2 ∙ KB ∙ AK = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN = 1/2 ∙ 3∙ 3 = 4,5 Str.AND=Str.BMC=4,5 Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S = V+G2-1 D = 14, W = 19. S=18+14/2-1=24

4) Kujutatud on ruudulisel paberil, mille lahtrid on mõõtmetega 1 cm x 1 cm
Pilt	Vastavalt geomeetria valemile	Picki valemi järgi
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2,5 S5=a²=1²=1 ruut = a² = 7² = 49 S = 49-3,5-7-2-2,5-1 = 32 cm²	S = V+G2-1 D = 5, V = 31. S=31+42 -1=32cm²
5) Ruudulisel paberil, mille lahtrid on 1 cm x 1 cm neli ruutu. Leidke selle pindala ruutsentimeetrites.
	S = a b a=36+36=62 b=9+9=32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S = V+G2-1 D = 18, V = 28 S = 28+ 182 -1 = 36 cm 2
6) On kujutatud ruudulisel paberil, mille lahtrid on 1 cm x 1 cm neli ruutu. Leidke selle pindala ruutsentimeetrites
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 cm²	S = V+G2-1 D = 18, W = 28. S = 28+ 182 -1 = 36 cm²
7) On kujutatud ruudulisel paberil, mille lahtrid on 1 cm x 1 cm neli ruutu. Leidke selle pindala ruutsentimeetrites
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 ruut = 9² = 81 cm² S = 81-4,5-18-4,5-18 = 36 cm²	S = V+G2-1 D = 18, W = 28. S = 28+ 182 -1 = 36 cm²

8) On kujutatud ruudulisel paberil, mille lahtrid on mõõtmetega 1 cm x 1 cm neli ruutu. Leidke selle pindala ruutsentimeetrites
Pilt	Vastavalt geomeetria valemile	Picki valemi järgi
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2 = 12ah = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 S3 = 12ah = 1/2 ∙ 8 ∙ 2 = 8 S4 = 12ah = 1/2 ∙ 4 ∙ 1 = 2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S = G+V2-1 D = 16, W = 17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Järeldus

1. Tabelite tulemusi võrreldes ja Picki teoreemi tõestades jõudsin järeldusele, et Picki valemiga arvutatud joonise pindala on võrdne tuletatud planimeetria valemi abil arvutatud joonise pindalaga.

Nii et minu hüpotees osutus õigeks.

III. Praktilise sisuga geomeetrilised ülesanded.

Valem Pick aitab meil lahendada ka praktilise sisuga geomeetrilisi ülesandeid.

Ülesanne 9 . Leia piirkond metsamaa(m²), kujutatud plaanil ruudustikuga 1 × 1 (cm) skaalal 1 cm – 200 m (joonis 10)

Otsus.

Riis. 10 V = 8, G = 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Vastus: 420 000 m²

10. ülesanne . Leidke välja pindala (m²), mis on kujutatud plaanil ruudustikuga 1 × 1 (cm) skaalal 1 cm - 200 m. (Joonis 11)

Otsus. Leiame S ruudulisel paberil kujutatud nelinurga pindala, kasutades Peak valemit: S = B + - 1

V = 7, D = 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 = 8 (cm²)

Riis. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40 000 8 = 320 000 (m²)

Vastus: 320 000 m²

Järeldus

Uurimistöö käigus õppisin teatme-, populaarteaduslikku kirjandust, õppisin töötama programmis Märkmik. Ma sain sellest teada

Võrgustiku sõlmedes tippudega hulknurga pindala leidmise probleem inspireeris Austria matemaatikut Picki 1899. aastal tõestama imelist Picki valemit.

Töö tulemusena laiendasin teadmisi ruudulisel paberil ülesannete lahendamisest, määrasin enda jaoks kindlaks uuritavate ülesannete liigituse ja veendusin nende mitmekesisuses.

Õppisin arvutama ruudulisele lehele joonistatud hulknurkade pindalasid erineval tasemel raskused - lihtsast kuni olümpiaadini. Igaüks leiab nende hulgast teostatava keerukusega ülesandeid, millest alates saab liikuda edasi keerulisemate lahendamise juurde.

Jõudsin järeldusele, et mind huvitanud teema on üsna mitmetahuline, ruudulisel paberil ülesanded on mitmekesised, nende lahendamise meetodid ja võtted samuti mitmekesised. Seetõttu otsustasin selles suunas tööd jätkata.

Kirjandus

1. Geomeetria ruudulisel paberil. Väike MEHMAT MSU.

2. Žarkovskaja N. M., Riss E. A. Paberi ruuduline geomeetria. Picki valem // Matemaatika, 2009, nr 17, lk. 24-25.

3. Ülesanded avatud pankülesanded matemaatikas FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov. Hulknurgad võretel. M.MTsNMO, 2006.

5. Temaatilised uuringud.etüüdes.ru

6. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev jt. Geomeetria. 7-9 klass. M. Valgustus, 2010

Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".

Sissejuhatus

Olen 6. klassi õpilane. Geomeetriat hakkasin õppima eelmisest aastast, sest õpin koolis õpiku „Matemaatika. Aritmeetika. Geomeetria” toimetanud E.A. Bunimovitš, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ja teised.

Minu suurimat tähelepanu köitsid teemad "Figuuride ruudud", "Valemite koostamine". Märkasin, et samade figuuride alad leiab erinevaid viise. Igapäevaelus seisame sageli silmitsi piirkonna leidmise probleemiga. Näiteks leidke värvitav põrandapind. Kurioosne on ju selleks, et remondiks vajalikus koguses tapeeti osta, peab teadma ruumi suurust, s.t. seina ala. Ruudu, ristküliku ja täisnurkse kolmnurga pindala arvutamine ei valmistanud mulle raskusi.

Sellest teemast huvitatuna hakkasin otsima Internetist lisamaterjali. Otsingu tulemusena leidsin Pick valemi - see on valem ruudulisele paberile joonistatud hulknurga pindala arvutamiseks. Pindala arvutamine selle valemi järgi tundus mulle kättesaadav igale õpilasele. Seetõttu otsustasin uurimistöö.

Teema asjakohasus:

See teema on geomeetria kursuse õppe täiendus ja süvendamine.

Selle teema õppimine aitab paremini valmistuda olümpiaadideks ja eksamiteks.

Eesmärk:

Tutvuge Picki valemiga.

Õppige geomeetriliste ülesannete lahendamise tehnikaid Picki valemi abil.

Süstematiseerida ja üldistada teoreetilisi ja praktilisi materjale.

Uurimise eesmärgid:

Kontrollige valemi rakendamise tõhusust ja otstarbekust ülesannete lahendamisel.

Siit saate teada, kuidas rakendada valemit Pick erineva keerukusega probleemidele.

Võrrelge Picki valemi ja traditsioonilise meetodiga lahendatud probleeme.

Põhiosa

1.1. Ajaloo viide

Georg Alexander Pick on Austria matemaatik, sündinud 10. augustil 1859. aastal. Ta oli andekas laps, õpetas teda isa, kes juhtis erainstituuti. 16-aastaselt lõpetas Georg keskkooli ja astus Viini ülikooli. 20-aastaselt sai ta õiguse õpetada füüsikat ja matemaatikat. Hulknurkade võre pindala määramise valem tõi talle ülemaailmse kuulsuse. Ta avaldas oma valemi artiklis 1899. aastal. See sai populaarseks, kui Poola teadlane Hugo Steinhaus lisas selle 1969. aastal matemaatiliste piltide väljaandesse.

Georg Pieck sai hariduse Viini ülikoolis ja lõpetas doktorikraadi 1880. aastal. Pärast doktorikraadi saamist määrati ta Praha Scherl-Ferdinandi ülikooli Ernest Machi assistendiks. Seal sai temast õpetaja. Ta jäi Prahasse kuni pensionile minekuni 1927. aastal ja naasis seejärel Viini.

Pick juhtis Praha Saksa ülikooli komiteed, mis määras 1911. aastal Einsteini matemaatilise füüsika professoriks.

Ta valiti Tšehhi Teaduste ja Kunstiakadeemia liikmeks, kuid heideti välja pärast Praha natside ülevõtmist.

Kui natsid 12. märtsil 1938 Austriasse sisenesid, naasis ta Prahasse. 1939. aasta märtsis tungisid natsid Tšehhoslovakkiasse. 13. juulil 1942 küüditati Pick natside rajatud Theresienstadti laagrisse Põhja-Böömimaal, kus ta kaks nädalat hiljem 82-aastasena suri.

1.2. Uurimine ja tõestus

Alustasin oma uurimistööd küsimusega: Milliseid figuurialasid ma leian? Ma saaksin koostada valemi erinevate kolmnurkade ja nelinurkade pindala arvutamiseks. Aga kuidas on lood viie-, kuue- ja üldiselt hulknurkadega?

Erinevate saitide uurimise käigus nägin lahendusi viie-, kuue- ja muude hulknurkade pindala arvutamise probleemidele. Nende ülesannete lahendamise valemit nimetati Picki valemiks. Ta näeb välja selline :S =B+G/2-1, kus AT- hulknurga sees olevate sõlmede arv, G- hulknurga piiril asuvate sõlmede arv. Selle valemi eripära on see, et seda saab rakendada ainult ruudulisele paberile joonistatud hulknurkadele.

Iga sellise hulknurga saab hõlpsasti jagada kolmnurkadeks, mille tipud asuvad võre sõlmedes ja mis ei sisalda ühtegi sõlme ei sees ega külgedel. Võib näidata, et kõigi nende kolmnurkade pindala on ühesugune ja võrdne ½-ga ning seetõttu on hulknurga pindala võrdne poolega nende arvust. T.

Selle arvu leidmiseks tähistame n-ga hulknurga külgede arvu AT- selle sees olevate sõlmede arv, läbides G on külgede sõlmede arv, sealhulgas tipud. Kõikide kolmnurkade nurkade summa on 180°. T.

Nüüd leiame summa teistmoodi.

Suvalise sisesõlme tipuga nurkade summa on 2,180°, s.o. nurkade kogusumma on 360°. AT; külgede, kuid mitte tippude sõlmede nurkade kogusumma on ( Hr n)180° ja hulknurga tippude nurkade summa on võrdne ( G-2) 180°. Seega T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Laiendades sulgusid ja jagades 360°-ga, saame hulknurga pindala S valemi, mida tuntakse Picki valemina.

2. Praktiline osa

Otsustasin seda valemit kontrollida OGE-2017 kollektsiooni ülesannete kohta. Võtsin ülesandeid kolmnurga, nelinurga ja viisnurga pindala arvutamiseks. Otsustasin vastuseid võrrelda, lahendades kahel viisil: 1) liitsin joonised ristkülikule ja lahutasin saadud ristküliku pindalast täisnurksete kolmnurkade pindala; 2) rakendas Peak valemit.

S = 18-1,5-4,5 = 12 ja S = 7 + 12/2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 ja S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 ja S = 43 + 14/2-1 = 49

Tulemusi võrreldes järeldan, et mõlemad valemid annavad sama vastuse. Joonise pindala leidmine Peaki valemiga osutus kiiremaks ja lihtsamaks, kuna arvutusi oli vähem. Otsustamise lihtsus ja arvutuste aja kokkuhoid tuleb mulle tulevikus OGE läbimisel kasuks.

See ajendas mind katsetama võimalust rakendada Picki valemit keerukamate kujundite puhul.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9,5

S=4+16/2-1=1

Järeldus

Picki valemit on lihtne mõista ja seda on lihtne kasutada. Esiteks piisab loendamisest, 2-ga jagamisest, liitmisest ja lahutamisest. Teiseks leiate ala ja keeruka figuuri ilma palju aega kulutamata. Kolmandaks töötab see valem mis tahes hulknurga puhul.

Puuduseks on see, et Pick Formula on rakendatav ainult joonistele, mis on joonistatud ruudulisele paberile ja tipud asuvad lahtrite sõlmedel.

Olen kindel, et lõpueksamite sooritamisel ei tekita raskusi numbrite pindala arvutamisega. Olen ju Picki valemiga juba tuttav.

Bibliograafia

Bunimovitš E.A., Dorofejev G.V., Suvorova S.B. jne Matemaatika. Aritmeetika. Geomeetria. 5. klass: õpik. üldhariduse jaoks rakendusega organisatsioonid. elektronile. kandja -3. trükk-M.: Valgustus, 2014.- 223, lk. : haige. - (Sfäärid).

Bunimovitš E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. jne Matemaatika. Aritmeetika. Geomeetria. 6. klass: õpik. üldhariduse jaoks organisatsioonid-5. trükk-M.: Haridus, 2016.-240. : ill.- (Sfäärid).

Vassiljev N.B. Picki valemi ümber. //Kvant.- 1974.-№2. -lk 39-43

Rassolov V.V. Probleemid planimeetrias. / 5. väljaanne, parandatud. Ja ekstra. - M.: 2006.-640.

I.V. Jaššenko, OGE. Matemaatika: tüüpilised eksamivalikud: O-39 36 varianti - M .: Rahvushariduse kirjastus, 2017. -240 lk. - (OGE. FIPI-kool).

"Ma lahendan OGE": matemaatika. Dmitri Guštšini koolitussüsteem. OGE-2017: ülesanded, vastused, lahendused [ Elektrooniline ressurss]. Juurdepääsurežiim: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (Kasutatud 04.02.2017)

Bibliograafiline kirjeldus: Tatjanenko A. A., Tatjanenko S. A. Ruudulisel paberil kujutatud kujundite pindalade arvutamine // Noor teadlane. - 2016. - nr 3..03.2019).



Põhiliseks valmistumisel riigieksam Kohtusin ülesannetega, mille puhul on vaja arvutada ruudulisel paberilehel kujutatud figuuri pindala. Reeglina ei tekita need ülesanded suuri raskusi, kui kujundiks on trapets, rööpkülik või kolmnurk. Piisab teada nende arvude pindalade arvutamise valemeid, loendada lahtrite arv ja arvutada pindala. Kui kujund on mingi suvaline hulknurk, siis tuleb siin kasutada spetsiaalseid nippe. Mul tekkis huvi see teema. Loomulikult tekkisid küsimused: kuhu sisse Igapäevane elu kas ruudulisele paberile pindalade arvutamisel võib tekkida probleeme? Mis on sellistes ülesannetes erilist? Kas ruudulisel paberil kujutatud geomeetriliste kujundite pindalade arvutamiseks on muid meetodeid või universaalset valemit?

Erikirjanduse ja Interneti-allikate uurimine näitas, et on olemas universaalne valem, mis võimaldab arvutada lahtril kujutatud joonise pindala. Seda valemit nimetatakse Picki valemiks. Kooli õppekava raames seda valemit aga ei arvestata, hoolimata selle kasutusmugavusest ja tulemuste saavutamisest. Lisaks viisin läbi küsitluse sõprade ja klassikaaslaste seas (kahel kujul: isiklikus vestluses ja sees sotsiaalsed võrgustikud), millest võttis osa 43 õpilast Tobolski linna koolidest. See uuring näitas, et ainult üks inimene (11. klassi õpilane) tunneb pindalade arvutamise valemit Peak.

Olgu antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem. Selles süsteemis võtke arvesse hulknurka, millel on täisarvulised koordinaadid. AT õppekirjandus täisarvuliste koordinaatidega punkte nimetatakse sõlmedeks. Pealegi ei pea hulknurk olema kumer. Ja las ta peab määrama selle pindala.

Võimalikud on järgmised juhtumid.

1. Joonis on kolmnurk, rööpkülik, trapets:

1) lahtrite loendamisel peate leidma pindala arvutamiseks vajaliku kõrguse, diagonaalid või küljed;

2) asendage leitud väärtused pindala valemiga.

Näiteks soovite arvutada joonisel 1 näidatud joonise pindala lahtri suurusega 1 cm x 1 cm.

Riis. 1. Kolmnurk

Otsus. Loendame rakud ja leiame: . Vastavalt valemile saame: .

2 Joonis on hulknurk

Kui joonis on hulknurk, siis on võimalik kasutada järgmisi meetodeid.

Jaotamise meetod:

1) murda hulknurk kolmnurkadeks, ristkülikuteks;

2) arvutab saadud arvude pindalad;

3) leida saadud kujundite kõigi pindalade summa.

Näiteks tuleb eraldamismeetodi abil arvutada joonisel 2 näidatud joonise pindala, mille lahtri suurus on 1 cm x 1 cm.

Riis. 2. Hulknurk

Otsus. Jaotamiseks on palju viise. Jagame figuuri osadeks täisnurksed kolmnurgad ja ristkülik, nagu on näidatud joonisel 3.

Riis. 3. Hulknurk. Jaotamise meetod

Kolmnurkade pindalad on järgmised: , , , ristküliku pindala on . Kõigi jooniste pindalade liitmisel saame:

Täiendav ehitusviis

1) viige joonis ristkülikuni

2) leidke saadud lisakujundite pindalad ja ristküliku enda pindala

3) lahutage ristküliku pindalast kõigi "lisade" kujundite pindalad.

Näiteks on vaja täiendava ehitusmeetodi abil arvutada joonisel 2 näidatud joonise pindala lahtri suurusega 1 cm x 1 cm.

Otsus. Ehitame oma joonise ristkülikuks, nagu on näidatud joonisel 4.

Riis. 4. Hulknurk. Täiendamise meetod

Suure ristküliku pindala on , sees asuv ristkülik - , "lisa" kolmnurkade alad - , , siis on soovitud kujundi pindala .

Hulknurkade pindalade arvutamisel ruudulisel paberil on võimalik kasutada teist meetodit, mida nimetatakse selle avastanud teadlase nime järgi Picki valemiks.

Peak valem

Olgu ruudulisele paberile joonistatud hulknurgal ainult täisarvulised tipud. Punkte, mille mõlemad koordinaadid on täisarvud, nimetatakse võresõlmedeks. Veelgi enam, hulknurk võib olla nii kumer kui ka mittekumer.

Täisarvu tippudega hulknurga pindala on , kus B on täisarvu punktide arv hulknurga sees ja Г on täisarvu punktide arv hulknurga piiril.

Näiteks joonisel 5 näidatud hulknurga jaoks.

Riis. 5. Sõlmed Picki valemis

Näiteks soovite Pick valemi abil arvutada joonisel 2 näidatud joonise pindala lahtri suurusega 1 cm x 1 cm.

Riis. 6. Hulknurk. Peak valem

Otsus. Vastavalt joonisele 6: V=9, G=10, siis piigi valemi järgi on meil:

Allpool on toodud näited mõnest ülesandest, mille autor on välja töötanud ruudulisel paberil kujutatud kujundite pindala arvutamiseks.

1. Sisse lasteaed lapsed tegid oma vanematele kingituseks avaldusi (joon. 7). Otsige üles rakendusala. Iga lahtri suurus on 1cm 1cm.

Riis. 7. Probleemi 1 olukord

2. Üks hektar kuusepuistu mahutab aastas kuni 32 tonni tolmu, mänd - kuni 35 tonni, jalakas - kuni 43 tonni, tamm - kuni 50 tonni Pöök - kuni 68 tonni Arvutage mitu tonni tolmu hoiab kuusemets 5 aasta pärast. Kuusemetsa plaan on näidatud joonisel 8 (mõõtkavas 1 cm - 200 m).

Riis. 8. Probleemi 2 seisund

3. Handi ja mansi ornamentides domineerivad geomeetrilised motiivid. Sageli on loomade stiliseeritud kujutised. Joonisel 9 on kujutatud fragment mansi ornamendist "Jänesekõrvad". Arvutage ornamenti varjutatud osa pindala.

Riis. 9. Probleemi 3 seisund

4. Vajalik on tehasehoone seina värvimine (joon. 10). Arvutage vajalik veepõhise värvi kogus (liitrites). Värvikulu: 1 liiter 7 ruutmeetri kohta. meetrit Skaala 1cm - 5m.

Riis. 10. Probleemi seisukord 4

5. Tähepolügoon - lame geomeetriline kujund, mis koosneb kolmnurksetest kiirtest, mis väljuvad ühine keskusühinemine lähenemispunktis. erilist tähelepanu väärib viieharuline täht- pentagramm. Pentagramm on täiuslikkuse, intelligentsuse, tarkuse ja ilu sümbol. See on tähe lihtsaim vorm, mida saab kujutada ühe pliiatsitõmbega, mitte kunagi paberilt lahti rebimata ja samal ajal kaks korda samal joonel. Joonistage viieharuline täht ilma pliiatsit ruudulise paberilehelt tõstmata, nii et saadud hulknurga kõik nurgad oleksid lahtri sõlmedes. Arvutage saadud joonise pindala.

Pärast matemaatilise kirjanduse analüüsimist ja analüüsimist suur hulk Uurimisteemaliste näidete põhjal jõudsin järeldusele, et ruudulisel paberil oleva figuuri pindala arvutamise meetodi valik sõltub kujundi kujust. Kui joonis on kolmnurk, ristkülik, rööpkülik või trapets, siis on pindalade arvutamiseks mugav kasutada üldtuntud valemeid. Kui joonis on kumer hulknurk, siis on võimalik kasutada nii jaotusmeetodit kui liitmismeetodit (enamasti on liitmismeetod mugavam). Kui joonis on mittekumer või tähtkujuline hulknurk, siis on mugavam rakendada Valemit Pick.

Kuna Picki valem on universaalne valem pindalade arvutamiseks (kui hulknurga tipud on võre punktides), siis saab seda kasutada mis tahes kujundi puhul. Kui aga hulknurk võtab enda alla piisavalt suure ala (või on lahtrid väikesed), siis on võre sõlmede arvutustes suure tõenäosusega viga. Üldiselt jõudsin uuringu käigus järeldusele, et selliste probleemide lahendamisel aastal OGE on parem kasutage traditsioonilisi meetodeid (partitsioone või täiendusi) ja kontrollige tulemust Pick valemi abil.

Kirjandus:

1. Vavilov VV, Ustinov AV Polügoonid võretel. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 lk.
2. Vassiljev I. N. Picki valemi ümber// Populaarne teaduslik füüsika- ja matemaatiline ajakiri "Kvant". - 1974. - nr 12. Juurdepääsurežiim: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Žarkovskaja N., Riss E. Ruudulise paberi geomeetria. Tippvalem. // Esimene september. Matemaatika. - 2009. - nr 23. - lk 24,25.

Vikisõnaraamatus on sissekanne "pika" kohta Pika Sõjanduses: Pika külm läbitorkav relv, pika oda tüüp. Pikemenid on jalaväe liik 16. sajandi ja 18. sajandi alguse Euroopa armeedes. Pickelhelm (lk ... Wikipedia

Picki teoreem (kombinatoorne geomeetria)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Picki teoreem on kombinatoorse geomeetria ja arvude geomeetria klassikaline tulemus. Täisarvuga hulknurga pindala ... Wikipedia

Kolmnurk- Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Kolmnurk (tähendused). Kolmnurk (Eukleidilises ruumis) on geomeetriline kujund, mis on moodustatud kolmest sirglõigust, mis ühendavad kolme mittelineaarset punkti. Kolm punkti, ... ... Vikipeedia

Trapets- Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Trapets (tähendused). Trapets (teisest kreeka keelest τραπέζιον "laud"; ... Wikipedia

Nelinurk- QUADRANGLES ┌─────────────┼────────────────── ei ühendu...

Bigon- Regulaarne digoon sfääri pinnal Digoon geomeetrias on ... Wikipedia

Viisnurk- Regulaarne viisnurk (pentagon) Viisnurk on viie nurgaga hulknurk. Iga sellise kujuga objekti nimetatakse ka viisnurgaks. Sisemise ... Wikipedia kogus

Kuusnurk- Regulaarne kuusnurk Kuusnurk on kuue nurgaga hulknurk. Iga sellise kujuga objekti nimetatakse ka kuusnurgaks. Kumera kuusnurga sisenurkade summa p ... Wikipedia

Dodecagon- Õige kaksnurkne Dodecagon (kreeka ... Wikipedia

Ristkülik Rööpkülikukujuline ristkülik, mille kõik nurgad on täisnurgad (võrdne 90 kraadiga). Märge. Eukleidilises geomeetrias piisab, et nelinurk oleks ristkülik, kui selle vähemalt kolm nurka on õiged. Neljas nurk (... Wikipedia alusel

Raamatud

• Platoo efekt. Kuidas stagnatsioonist üle saada ja edasi minna, Sullivan, B.
• Matemaatikaklubi "Känguru". Väljaanne nr 8. Matemaatika ruudulisel paberil,. Väljaanne on pühendatud erinevatele ruudulise paberilehega seotud ülesannetele ja mängudele. Eelkõige kirjeldab see üksikasjalikult hulknurga pindala arvutamist, mille tipud asuvad ...

Eneselõigeteta hulknurka nimetatakse võre hulknurgaks, kui kõik selle tipud on täisarvuliste koordinaatidega punktides (Cartesiuse koordinaatsüsteemis).

Picki teoreem

Valem

Olgu antud mõni nullist erineva pindalaga võre hulknurk.

Tähistame selle pindala ; täisarvuliste koordinaatidega punktide arv, mis asuvad rangelt hulknurga sees; hulknurga külgedel paiknevate täisarvuliste koordinaatidega punktide arv.

Siis suhe helistas Vali valem:

Täpsemalt, kui I ja B väärtused on mõne hulknurga jaoks teada, saab selle pindala arvutada kui , isegi ilma selle tippude koordinaate teadmata.

Selle seose avastas ja tõestas Austria matemaatik Georg Alexander Pick 1899. aastal.

Tõestus

Tõestus tehakse mitmes etapis: alates kõige lihtsamatest kujunditest kuni suvaliste hulknurkadeni:

Üldistus kõrgematele dimensioonidele

Kahjuks ei üldista see lihtne ja ilus Picki valem hästi kõrgematele mõõtmetele.

Seda näitas selgelt Reeve, kes tegi 1957. aastal ettepaneku kaaluda tetraeedrit (praegu nn. Reeve tetraeeder) järgmiste tippudega:

kus on suvaline naturaalarv. Siis see tetraeedr ei sisalda sees ühtegi täisarvu koordinaatidega punkti ja selle piiril on ainult neli punkti , , , ja mitte ühtegi teist. Seega võib selle tetraeedri maht ja pindala olla erinevad, samas kui punktide arv sees ja piiril ei muutu; seetõttu ei võimalda Picki valem üldistusi teha isegi kolmemõõtmelise juhtumi puhul.

Sellegipoolest on endiselt olemas mõni sarnane üldistus kõrgema mõõtmega ruumidele, see on nii Earharti polünoomid(Ehrharti polünoom), kuid need on väga keerulised ja sõltuvad mitte ainult punktide arvust joonise sees ja piiril.