Selles artiklis alustame teiega arutelu ühe "võlukepi" üle, mis võimaldab teil taandada paljud geomeetriaprobleemid lihtsaks aritmeetikaks. See võlukepp võib teie elu oluliselt lihtsamaks teha, eriti kui tunnete end ebakindlalt ruumikujude, lõikude jms ehitamisel. Kõik see nõuab teatud kujutlusvõimet ja praktilisi oskusi. Meetod, mida me siin käsitlema hakkame, võimaldab teil peaaegu täielikult abstraheerida kõikvõimalikest geomeetrilistest konstruktsioonidest ja arutlustest. Meetodit nimetatakse "koordinaatide meetod". Selles artiklis käsitleme järgmisi küsimusi:

1. Koordinaatide tasapind
2. Punktid ja vektorid tasapinnal
3. Vektori ehitamine kahest punktist
4. Vektori pikkus (kahe punkti vaheline kaugus).
5. Keskpunkti koordinaadid
6. Vektorite punktkorrutis
7. Nurk kahe vektori vahel

Arvan, et sa juba arvasid, miks koordinaatmeetodit nii nimetatakse? Tõsi, ta sai sellise nime, kuna see ei opereeri geomeetriliste objektidega, vaid nende numbriliste omadustega (koordinaatidega). Ja teisendus ise, mis võimaldab liikuda geomeetriast algebrasse, seisneb koordinaatsüsteemi sisseviimises. Kui esialgne kujund oli tasane, siis on koordinaadid kahemõõtmelised ja kui kujund on kolmemõõtmeline, siis on koordinaadid kolmemõõtmelised. Selles artiklis käsitleme ainult kahemõõtmelist juhtumit. Ja artikli põhieesmärk on õpetada teile, kuidas kasutada mõnda koordinaatmeetodi põhitehnikat (need osutuvad mõnikord kasulikuks ühtse riigieksami B osas planimeetria ülesannete lahendamisel). Kaks järgmist selleteemalist osa on pühendatud probleemide C2 (stereomeetria probleem) lahendamise meetodite käsitlemisele.

Kust oleks loogiline alustada arutelu koordinaatmeetodi üle? Ilmselt koordinaatsüsteemi mõistega. Pidage meeles, kui teda esimest korda kohtasite. Mulle tundub, et 7. klassis, kui õppisid näiteks lineaarfunktsiooni olemasolust. Tuletan teile meelde, et ehitasite selle punkt-punktilt üles. Kas sa mäletad? Valisite suvalise arvu, asendasite selle valemiga ja arvutasite sel viisil. Näiteks kui, siis, kui, siis jne. Mida sa selle tulemusel said? Ja saite punkte koordinaatidega: ja. Seejärel joonistasite "risti" (koordinaatsüsteem), valisite sellele skaala (mitu lahtrit teil on ühe segmendina) ja märkisite sellele saadud punktid, mille seejärel ühendasite sirgjoonega, tulemuseks oleva joonega. on funktsiooni graafik.

On mõned asjad, mida tuleb teile veidi üksikasjalikumalt selgitada:

1. Valite mugavuse huvides ühe segmendi, et kõik mahuks kenasti ja kompaktselt pildile

2. Eeldatakse, et telg läheb vasakult paremale ja telg läheb alt üles

3. Nad lõikuvad täisnurga all ja nende ristumispunkti nimetatakse alguspunktiks. See on tähistatud tähega.

4. Näiteks punkti koordinaadi kirjes on vasakul sulgudes punkti koordinaat piki telge ja paremal piki telge. Eelkõige tähendab lihtsalt, et punkt

5. Koordinaatide teljel mis tahes punkti määramiseks peate määrama selle koordinaadid (2 numbrit)

6. Iga teljel paikneva punkti puhul

7. Iga teljel paikneva punkti puhul

8. Telge nimetatakse x-teljeks

9. Telge nimetatakse y-teljeks

Nüüd astume teiega järgmise sammu: märkige kaks punkti. Ühendage need kaks punkti joonega. Ja paneme noole nii, nagu joonistaksime lõiku punktist punkti: see tähendab, et me muudame oma lõigu suunatud!

Pea meeles, mis on suunatud segmendi teine ​​nimi? Täpselt nii, seda nimetatakse vektoriks!

Seega, kui ühendame punkti punktiga, ja algus on punkt A ja lõpp on punkt B, siis saame vektori. Sa tegid seda ehitust ka 8. klassis, mäletad?

Selgub, et vektoreid, nagu ka punkte, saab tähistada kahe numbriga: neid arve nimetatakse vektori koordinaatideks. Küsimus: kas teie arvates piisab, kui me teame vektori alguse ja lõpu koordinaate, et leida selle koordinaadid? Tuleb välja, et jah! Ja seda on väga lihtne teha:

Seega, kuna vektoris on punkt algus ja lõpp, on vektoril järgmised koordinaadid:

Näiteks kui, siis vektori koordinaadid

Nüüd teeme vastupidi, leiame vektori koordinaadid. Mida me selleks muutma peame? Jah, peate algust ja lõppu vahetama: nüüd on vektori algus punktis ja lõpp punktis. Seejärel:

Vaadake tähelepanelikult, mis vahe on vektorite ja? Nende ainus erinevus on koordinaatides olevad märgid. Nad on vastandlikud. See fakt on kirjutatud järgmiselt:

Mõnikord, kui pole konkreetselt öeldud, milline punkt on vektori algus ja milline lõpp, siis tähistatakse vektoreid mitte kahe suurtähega, vaid ühe väiketähega, näiteks: jne.

Nüüd natuke harjutama ja leidke järgmiste vektorite koordinaadid:

Eksam:

Nüüd lahendage probleem veidi keerulisemalt:

Vektortorusel, mille punktis on on-cha-jääk, on co-or-di-on-you. Leia-di-te abs-cis-su punktid.

Kõik sama on üsna proosaline: Olgu punkti koordinaadid. Siis

Kompileerisin süsteemi, määrates kindlaks, millised on vektori koordinaadid. Siis on punktil koordinaadid. Oleme huvitatud abstsissist. Siis

Vastus:

Mida saab veel vektoritega teha? Jah, peaaegu kõik on sama, mis tavaliste numbritega (välja arvatud see, et te ei saa jagada, kuid saate korrutada kahel viisil, millest ühte räägime siin veidi hiljem)

1. Vektoreid saab üksteisega virnastada
2. Vektoreid saab üksteisest lahutada
3. Vektoreid saab korrutada (või jagada) suvalise nullist erineva arvuga
4. Vektoreid saab omavahel korrutada

Kõigil neil toimingutel on üsna visuaalne geomeetriline esitus. Näiteks kolmnurga (või rööpküliku) reegel liitmiseks ja lahutamiseks:

Vektor venib, kahaneb või muudab suunda, kui seda arvuga korrutada või jagada:

Siinkohal huvitab meid aga küsimus, mis juhtub koordinaatidega.

1. Kahe vektori liitmisel (lahutamisel) liidame (lahutame) nende koordinaadid elemendi haaval. St:

2. Vektori arvuga korrutamisel (jagamisel) korrutatakse (jagatakse) selle arvuga kõik selle koordinaadid:

Näiteks:

· Leia-di-ko-or-di-nat sajandist-ra summa.

Leiame esmalt iga vektori koordinaadid. Mõlemal on sama päritolu – lähtepunkt. Nende otsad on erinevad. Siis,. Nüüd arvutame vektori koordinaadid Siis on saadud vektori koordinaatide summa võrdne.

Vastus:

Nüüd lahendage järgmine probleem ise:

· Leia vektori koordinaatide summa

Kontrollime:

Vaatleme nüüd järgmist ülesannet: meil on koordinaattasandil kaks punkti. Kuidas leida nende vahelist kaugust? Olgu esimene punkt ja teine. Tähistame nendevahelist kaugust kui . Selguse huvides teeme järgmise joonise:

Mis ma teinud olen? Esiteks ühendasin punktid ja tõmbasin punktist teljega paralleelse sirge ja punktist teljega paralleelse sirge. Kas need lõikuvad ühes punktis, moodustades imelise kuju? Miks ta on imeline? Jah, sina ja mina teame täisnurksest kolmnurgast peaaegu kõike. Noh, Pythagorase teoreem, kindlasti. Soovitud segment on selle kolmnurga hüpotenuus ja segmendid on jalad. Mis on punkti koordinaadid? Jah, neid on pildilt lihtne leida: Kuna lõigud on paralleelsed telgedega ja vastavalt, on nende pikkused kergesti leitavad: kui tähistame lõikude pikkused vastavalt läbi, siis

Nüüd kasutame Pythagorase teoreemi. Me teame jalgade pikkust, leiame hüpotenuusi:

Seega on kahe punkti vaheline kaugus koordinaatidest saadud erinevuste ruudu summa. Või - ​​kahe punkti vaheline kaugus on neid ühendava lõigu pikkus. On hästi näha, et punktide vaheline kaugus ei sõltu suunast. Seejärel:

Sellest teeme kolm järeldust:

Harjutame veidi kahe punkti vahelise kauguse arvutamist:

Näiteks kui, siis kaugus ja vahel on

Või lähme teisiti: leiame vektori koordinaadid

Ja leidke vektori pikkus:

Nagu näete, on see sama!

Nüüd harjutage natuke omaette:

Ülesanne: leidke antud punktide vaheline kaugus:

Kontrollime:

Siin on sama valemi jaoks veel paar probleemi, kuigi need kõlavad veidi erinevalt:

1. Leia-di-te silmalau-ra pikkuse ruut.

2. Nai-di-te ruut silmalau pikkusest-ra

Ma arvan, et saate nendega hõlpsalt hakkama? Kontrollime:

1. Ja see on tähelepanelikkuseks) Oleme vektorite koordinaadid juba varem leidnud: . Siis on vektoril koordinaadid. Selle pikkuse ruut on:

2. Leia vektori koordinaadid

Siis on selle pikkuse ruut

Pole midagi keerulist, eks? Lihtne aritmeetika, ei midagi muud.

Järgnevaid puslesid ei saa üheselt liigitada, need on pigem üldise eruditsiooni ja lihtsate piltide joonistamise oskuse jaoks.

1. Leidke need siinuse nurgal-klo-on-lõikest, ühendage üks n-s punkt abstsissteljega.

ja

Kuidas me seda siin tegema hakkame? Peate leidma siinuse nurga ja telje vahel. Ja kust siinust otsida? See on õige, täisnurkses kolmnurgas. Mida me siis tegema peame? Ehitage see kolmnurk!

Kuna punkti koordinaadid ja, siis lõik on võrdne ja lõik. Peame leidma nurga siinuse. Tuletan meelde, et siinus on siis vastasjala ja hüpotenuusi suhe

Mis meil teha jääb? Leidke hüpotenuus. Seda saab teha kahel viisil: Pythagorase teoreemi abil (jalad on teada!) või kahe punkti vahelise kauguse valemiga (tegelikult sama, mis esimene meetod!). Ma lähen teist teed:

Vastus:

Järgmine ülesanne tundub teile veelgi lihtsam. Ta - punkti koordinaatidel.

2. ülesanne. Punktist langetatakse per-pen-di-ku-lar abs-cissi teljele. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Teeme joonise:

Perpendikulaari alus on punkt, kus see lõikub x-teljega (teljega), minu jaoks on see punkt. Joonisel on näha, et sellel on koordinaadid: . Oleme huvitatud abstsissist - see tähendab "X" komponendist. Ta on võrdne.

Vastus: .

3. ülesanne. Eelmise ülesande tingimustes leidke punktist koordinaatide telgede kauguste summa.

Ülesanne on üldiselt elementaarne, kui tead, milline on kaugus punktist telgedeni. Sa tead? Loodan, aga tuletan siiski meelde:

Nii et oma joonisel, mis asub veidi kõrgemal, olen ma juba kujutanud ühte sellist risti? Mis telg see on? teljele. Ja mis selle pikkus siis on? Ta on võrdne. Nüüd joonistage ise teljega risti ja leidke selle pikkus. See saab olema võrdne, eks? Siis on nende summa võrdne.

Vastus: .

4. ülesanne.Ülesande 2 tingimustes leidke punkti ordinaat, mis on sümmeetriline punktiga x-telje ümber.

Ma arvan, et saate intuitiivselt aru, mis on sümmeetria? Väga paljudel objektidel on see olemas: palju ehitisi, laudu, tasapindu, palju geomeetrilisi kujundeid: pall, silinder, ruut, romb jne. Jämedalt võib sümmeetriat mõista järgmiselt: kujund koosneb kahest (või enamast) identsed pooled. Seda sümmeetriat nimetatakse aksiaalseks. Mis on siis telg? Täpselt seda joont mööda saab figuuri suhteliselt identseteks pooleks lõigata (sellel pildil on sümmeetriatelg sirge):

Nüüd pöördume tagasi oma ülesande juurde. Teame, et otsime punkti, mis on telje suhtes sümmeetriline. Siis on see telg sümmeetriatelg. Seega peame märkima punkti, nii et telg lõikab segmendi kaheks võrdseks osaks. Proovige ise selline punkt ära märkida. Võrrelge nüüd minu lahendusega:

Kas sa tegid sama? Noh! Leitud punktis oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne

Vastus:

Nüüd öelge mulle pärast sekundilist mõtlemist, milline on punkti A suhtes sümmeetrilise punkti abstsiss y-telje suhtes? Mis on teie vastus? Õige vastus:.

Üldiselt võib reegli kirjutada järgmiselt:

Punktil, mis on sümmeetriline punktiga x-telje ümber, on koordinaadid:

Punktil, mis on sümmeetriline y-telje punktiga, on koordinaadid:

No nüüd on päris hirmus. ülesanne: otsige punktiga sümmeetrilise punkti koordinaadid lähtepunkti suhtes. Kõigepealt mõtle ise ja siis vaata minu joonistust!

Vastus:

Nüüd rööpküliku probleem:

Ülesanne 5: punktid on ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsi-dee-te või-dee-on-tu punkte.

Saate selle probleemi lahendada kahel viisil: loogika ja koordinaatide meetod. Kõigepealt rakendan koordinaatide meetodit ja siis räägin teile, kuidas saate teisiti otsustada.

On täiesti selge, et punkti abstsiss on võrdne. (see asub punktist x-teljele tõmmatud ristil). Peame leidma ordinaat. Kasutame ära asjaolu, et meie kujund on rööpkülik, mis tähendab seda. Leidke lõigu pikkus kahe punkti vahelise kauguse valemi abil:

Langetame punkti, mis ühendab punkti teljega. Lõikepunkt on tähistatud tähega.

Segmendi pikkus on võrdne. (leidke probleem ise, kus me seda hetke arutasime), siis leiame Pythagorase teoreemi abil segmendi pikkuse:

Lõigu pikkus on täpselt sama kui selle ordinaadi pikkus.

Vastus: .

Teine lahendus (ma annan lihtsalt pildi, mis seda illustreerib)

Lahenduse edenemine:

1. Kuluta

2. Leia punkti koordinaadid ja pikkus

3. Tõesta seda.

Veel üks lõike pikkuse probleem:

Punktid on-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Leidke tema keskjoone pikkus, par-ral-lel-noy.

Kas mäletate, mis on kolmnurga keskjoon? Siis on see ülesanne teie jaoks elementaarne. Kui te ei mäleta, siis tuletan teile meelde: kolmnurga keskjoon on joon, mis ühendab vastaskülgede keskpunkte. See on alusega paralleelne ja võrdne poolega sellest.

Alus on segment. Pidime selle pikkust varem otsima, see on võrdne. Siis on keskjoone pikkus poole pikem ja võrdne.

Vastus: .

Kommentaar: Seda probleemi saab lahendada ka muul viisil, mille juurde pöördume veidi hiljem.

Seniks aga paar ülesannet, harjuta nende kallal, need on üsna lihtsad, aga aitavad koordinaatmeetodil “käe sisse saada”!

1. Punktid ilmuvad-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Leidke selle keskjoone pikkus.

2. Punktid ja yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsi-dee-te või-dee-on-tu punkte.

3. Leidke lõikest pikkus, ühendage teine ​​punkt ja

4. Leidke ko-or-di-nat-noy tasapinnal ala-the-red-shen-noy fi-gu-ry.

5. Ringjoon, mille keskpunkt on na-cha-le ko-or-di-nat, läbib punkti. Otsige üles tema vuntsid.

6. Nai-di-te ra-di-us ring-no-sti, kirjelda-san-noy täisnurga-no-ka lähedal, millegi-ro-go tops-shi-ny on co-or - di-na-sina kaas-vastus-aga

Lahendused:

1. On teada, et trapetsi keskjoon on võrdne poolega selle aluste summast. Alus on võrdne, kuid alus. Siis

Vastus:

2. Lihtsaim viis selle probleemi lahendamiseks on seda märgata (parallelogrammi reegel). Arvutage vektorite koordinaadid ja see pole keeruline: . Vektorite lisamisel liidetakse koordinaadid. Siis on koordinaadid. Punktil on samad koordinaadid, kuna vektori algus on koordinaatidega punkt. Oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne.

Vastus:

3. Toimime kohe kahe punkti vahelise kauguse valemi järgi:

Vastus:

4. Vaata pilti ja ütle, millise kahe kujundi vahele on varjutatud ala “pigistatud”? See asetseb kahe ruudu vahele. Seejärel võrdub soovitud kujundi pindala suure ruudu pindalaga, millest on lahutatud väikese ruudu pindala. Väikese ruudu külg on punkte ühendav segment ja selle pikkus on

Siis on väikese ruudu pindala

Teeme sama suure ruuduga: selle külg on punkte ühendav segment ja pikkus on võrdne

Siis on suure ruudu pindala

Soovitud kujundi pindala leitakse järgmise valemi abil:

Vastus:

5. Kui ringi keskpunkt on alguspunkt ja see läbib punkti, siis on selle raadius täpselt võrdne lõigu pikkusega (tehke joonis ja saate aru, miks see on ilmne). Leidke selle lõigu pikkus:

Vastus:

6. On teada, et ristküliku ümber piiratud ringi raadius on võrdne poolega selle diagonaalist. Leiame ükskõik millise kahe diagonaali pikkuse (ristkülikus on need ju võrdsed!)

Vastus:

Noh, kas sa said kõigega hakkama? Ei olnudki nii raske aru saada, eks? Siin on ainult üks reegel - visuaalse pildi tegemine ja sellest kõik andmed lihtsalt “lugemine”.

Meil on jäänud väga vähe. Sõna otseses mõttes tahaksin arutada veel kahte punkti.

Proovime seda lihtsat probleemi lahendada. Olgu kaks punkti ja antakse. Leidke lõigu keskkoha koordinaadid. Selle ülesande lahendus on järgmine: olgu punkt soovitud keskkoht, siis on sellel koordinaadid:

St: lõigu keskkoha koordinaadid = lõigu otste vastavate koordinaatide aritmeetiline keskmine.

See reegel on väga lihtne ega tekita õpilastele tavaliselt raskusi. Vaatame, millistes probleemides ja kuidas seda kasutatakse:

1. Otsi-di-te või-di-na-tu se-re-di-us alates-lõigatud, ühenda-nya-yu-th-punkt ja

2. Punktid on yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Leia-di-te või-di-na-tu punktid re-re-se-che-niya tema dia-go-on-lei.

3. Otsi-di-te abs-cis-su ringi keskpunktist, kirjelda-san-noy ristküliku-no-ka lähedal, tops-shi-meil on midagi-ro-go co-or-di- na-sa kaas- alates-vet-stvenno-but.

Lahendused:

1. Esimene ülesanne on lihtsalt klassikaline. Tegutseme kohe, määrates lõigu keskpunkti. Tal on koordinaadid. Ordinaat on võrdne.

Vastus:

2. On hästi näha, et antud nelinurk on rööpkülik (isegi romb!). Saate seda ise tõestada, kui arvutate külgede pikkused ja võrdlete neid omavahel. Mida ma tean rööpküliku kohta? Selle diagonaalid poolitatakse ristumispunktiga! Ahaa! Mis on diagonaalide lõikepunkt? See on ükskõik millise diagonaali keskpunkt! Eelkõige valin diagonaali. Siis on punktil koordinaadid.Punkti ordinaat on võrdne.

Vastus:

3. Mis on ristküliku ümber piiritletud ringi keskpunkt? See langeb kokku selle diagonaalide lõikepunktiga. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta? Need on võrdsed ja lõikepunkt jagatakse pooleks. Ülesanne on taandatud eelmisele. Võtke näiteks diagonaal. Siis kui on piiritletud ringi keskpunkt, siis on keskpunkt. Otsin koordinaate: Abstsiss on võrdne.

Vastus:

Harjutage nüüd natuke omaette, igale probleemile annan ainult vastused, et saaksite ennast kontrollida.

1. Nai-di-te ra-di-us ring-no-sti, kirjelda-san-noy kolmnurga-no-ka lähedal, kellegi-ro-go tippudel on ko-or-di -no misters

2. Otsige-di-te või-di-na-tu ringi keskpunkt, kirjeldage kolmnurga lähedal asuvat san-noy-no-ka, tops-shi-meil on midagi-ro-go koordinaadid

3. Milline ra-di-y-sa peaks olema ring, mille keskpunkt on ühes punktis nii, et see puudutab abs-cissi telge?

4. Leia-di-te või-di-on-selles punktis telje uuesti otsimise ja lõikamise, ühenda-nya-yu-th punkti ja

Vastused:

Kas kõik õnnestus? Ma väga loodan seda! Nüüd – viimane tõuge. Nüüd ole eriti ettevaatlik. Materjal, mida ma nüüd selgitan, ei puuduta mitte ainult lihtsaid koordinaatmeetodi probleeme B osas, vaid on üldlevinud ka ülesandes C2.

Milliseid oma lubadusi ma pole veel täitnud? Kas mäletate, milliseid vektorite tehteid lubasin kasutusele võtta ja millised lõpuks kasutusele võtsin? Kas ma olen kindel, et ma pole midagi unustanud? Unustasin! Unustasin selgitada, mida tähendab vektorite korrutamine.

Vektori korrutamiseks vektoriga on kaks võimalust. Sõltuvalt valitud meetodist saame erineva iseloomuga objekte:

Vektorprodukt on üsna keeruline. Kuidas seda teha ja miks seda vaja on, arutame teiega järgmises artiklis. Ja selles keskendume skalaarkorrutisele.

Selle arvutamiseks on juba kaks võimalust:

Nagu arvasite, peaks tulemus olema sama! Nii et vaatame kõigepealt esimest võimalust:

Punkttoode koordinaatide kaudu

Leidke: - punktprodukti tavaline tähistus

Arvutamise valem on järgmine:

See tähendab, et punktkorrutis = vektorite koordinaatide korrutiste summa!

Näide:

Leia-dee-te

Otsus:

Leidke iga vektori koordinaadid:

Arvutame skalaarkorrutise valemiga:

Vastus:

Näete, absoluutselt mitte midagi keerulist!

Noh, proovige nüüd ise:

Find-di-te skalaar-noe pro-from-ve-de-nie sajandist-kraavini ja

Kas said hakkama? Võib-olla märkas ta väikest nippi? Kontrollime:

Vektorkoordinaadid, nagu eelmises ülesandes! Vastus:.

Lisaks koordinaadile on skalaarkorrutise arvutamiseks veel üks viis, nimelt vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse kaudu:

Tähistab nurka vektorite ja vahel.

See tähendab, et skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

Milleks meile seda teist valemit vaja, kui meil on esimene, mis on palju lihtsam, selles pole vähemalt koosinusi. Ja me vajame seda selleks, et esimesest ja teisest valemist saaksime järeldada, kuidas leida vektorite vahelist nurka!

Olgu siis meeles vektori pikkuse valem!

Kui ühendan need andmed punkttoote valemiga, saan:

Aga teiselt poolt:

Mis meil siis on? Meil on nüüd valem kahe vektori vahelise nurga arvutamiseks! Mõnikord on see lühiduse mõttes kirjutatud ka järgmiselt:

See tähendab, et vektorite vahelise nurga arvutamise algoritm on järgmine:

1. Arvutame skalaarkorrutise koordinaatide kaudu
2. Leidke vektorite pikkused ja korrutage need
3. Jagage punkti 1 tulemus punkti 2 tulemusega

Harjutame näidetega:

1. Leia nurk silmalaugude-ra-mi ja. Esitage oma vastus kraadides.

2. Eelmise ülesande tingimustes leia koosinus vektorite vahel

Teeme nii: aitan teil esimese probleemi lahendada ja proovige teist ise teha! Ma nõustun? Alustame siis!

1. Need vektorid on meie vanad sõbrad. Oleme nende skalaarkorrutist juba arvestanud ja see oli võrdne. Nende koordinaadid on: , . Seejärel leiame nende pikkused:

Seejärel otsime vektorite vahel koosinust:

Mis on nurga koosinus? See on nurk.

Vastus:

Noh, nüüd lahendage teine ​​probleem ise ja seejärel võrrelge! Ma annan väga lühikese lahenduse:

2. omab koordinaate, omab koordinaate.

Laskma olema nurk vektorite ja, siis

Vastus:

Tuleb märkida, et eksamitöö B-osas esinevad ülesanded otse vektoritel ja koordinaatide meetodil üsna harva. Valdav enamus C2 ülesandeid on aga kergesti lahendatavad koordinaatsüsteemi kasutuselevõtuga. Nii et võite seda artiklit pidada vundamendiks, mille põhjal teeme üsna keerulisi konstruktsioone, mida vajame keerukate probleemide lahendamiseks.

KOORDINAADID JA VEKTORID. KESKTASEMEL

Teie ja mina jätkame koordinaatide meetodi uurimist. Viimases osas tuletasime mitmed olulised valemid, mis võimaldavad:

1. Otsige vektori koordinaadid
2. Leidke vektori pikkus (alternatiiv: kaugus kahe punkti vahel)
3. Vektoreid liita, lahutada. Korrutage need reaalarvuga
4. Leidke lõigu keskpunkt
5. Arvutage vektorite punktkorrutis
6. Leidke vektorite vaheline nurk

Loomulikult ei mahu kogu koordinaatide meetod nende 6 punkti sisse. See on aluseks sellisele teadusele nagu analüütiline geomeetria, millega tutvute ülikoolis. Ma tahan lihtsalt luua vundamendi, mis võimaldab teil probleeme ühes riigis lahendada. eksam. Selgitasime välja B-osa ülesanded aastal Nüüd on aeg liikuda kvalitatiivselt uuele tasemele! See artikkel on pühendatud meetodile nende C2-ülesannete lahendamiseks, mille puhul oleks mõistlik üle minna koordinaatmeetodile. Selle mõistlikkuse määrab see, mida probleemist tuleb leida ja milline arv on antud. Seega kasutaksin koordinaatide meetodit, kui küsimused on järgmised:

1. Leia kahe tasapinna vaheline nurk
2. Otsige sirge ja tasapinna vaheline nurk
3. Leidke kahe joone vaheline nurk
4. Leia kaugus punktist tasapinnani
5. Leia kaugus punktist sirgeni
6. Otsige sirge ja tasapinna kaugust
7. Leidke kahe joone vaheline kaugus

Kui ülesande tingimuses antud arv on pöördekeha (kuul, silinder, koonus ...)

Koordinaatide meetodi jaoks sobivad arvud on järgmised:

1. risttahukas
2. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne, kuusnurkne)

Ka minu kogemuse järgi jaoks on kohatu kasutada koordinaatide meetodit:

1. Sektsioonide pindalade leidmine
2. Kehade mahtude arvutused

Siiski tuleb kohe märkida, et kolm koordinaatmeetodi jaoks "ebasoodsat" olukorda on praktikas üsna haruldased. Enamiku ülesannete puhul võib see saada teie päästjaks, eriti kui te ei ole väga tugev kolmemõõtmelistes konstruktsioonides (mis on mõnikord üsna keerukas).

Mis on kõik ülaltoodud arvud? Need ei ole enam lamedad, näiteks ruut, kolmnurk, ring, vaid mahukad! Sellest lähtuvalt peame arvestama mitte kahemõõtmelise, vaid kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemiga. See on ehitatud üsna lihtsalt: lihtsalt lisaks abstsissile ja ordinaatidele tutvustame veel üht telge, rakendustelge. Joonisel on skemaatiliselt näidatud nende suhteline asukoht:

Kõik need on üksteisega risti, ristuvad ühes punktis, mida me nimetame lähtepunktiks. Nagu varemgi, tähistatakse abstsisstelge, ordinaattelge - ja kasutusele võetud rakendustelge - .

Kui varem iseloomustati tasapinna iga punkti kahe numbriga - abstsiss ja ordinaat, siis iga ruumipunkti kirjeldatakse juba kolme numbriga - abstsiss, ordinaat, aplikaat. Näiteks:

Sellest lähtuvalt on punkti abstsiss võrdne, ordinaat on Ja rakendus on .

Mõnikord nimetatakse punkti abstsissi ka punkti projektsiooniks abstsissteljele, ordinaat on punkti projektsioon ordinaatteljel ja aplikaat on punkti projektsioon rakendusteljel. Seega, kui punkt on antud, siis punkt koordinaatidega:

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

Tekib loomulik küsimus: kas kõik kahemõõtmelise juhtumi jaoks tuletatud valemid kehtivad ruumis? Vastus on jah, need on õiglased ja neil on sama välimus. Väikese detaili jaoks. Ma arvan, et sa juba arvasid, milline. Kõikides valemites peame lisama veel ühe termini, mis vastutab rakendustelje eest. Nimelt.

1. Kui antakse kaks punkti: , siis:

• Vektori koordinaadid:
• Kahe punkti vaheline kaugus (või vektori pikkus)
• Lõigu keskel on koordinaadid

2. Kui on antud kaks vektorit: ja, siis:

• Nende täpptoode on:
• Vektorite vahelise nurga koosinus on:

Kuid ruum pole nii lihtne. Nagu te mõistate, toob ühe koordinaadi lisamine selles ruumis "elavate" kujundite spektris märkimisväärse mitmekesisuse. Ja edasiseks jutustamiseks pean ma sisse juhatama mõningase jämedalt öeldes sirgjoone "üldistuse". See "üldistus" saab olema lennuk. Mida sa lennukist tead? Proovige vastata küsimusele, mis on lennuk? Seda on väga raske öelda. Kuid me kõik kujutame intuitiivselt ette, kuidas see välja näeb:

Jämedalt öeldes on see omamoodi lõputu kosmosesse lükatud "leht". "Lõpmatust" tuleks mõista nii, et tasapind ulatub igas suunas, see tähendab, et selle pindala on võrdne lõpmatusega. See "näppude peal" seletus ei anna aga lennuki ehitusest vähimatki aimu. Ja me tunneme selle vastu huvi.

Meenutagem üht geomeetria põhiaksioomi:

• Sirge läbib tasapinna kahte erinevat punkti, pealegi ainult ühte:

Või selle analoog ruumis:

Muidugi mäletate, kuidas kahest antud punktist sirge võrrandit tuletada, see pole sugugi keeruline: kui esimesel punktil on koordinaadid: ja teisel, siis on sirge võrrand järgmine:

Sa tegid selle läbi 7. klassis. Ruumis näeb sirge võrrand välja selline: olgu meil kaks koordinaatidega punkti: , siis on neid läbiva sirge võrrand järgmine:

Näiteks joon läbib punkte:

Kuidas seda tuleks mõista? Seda tuleks mõista järgmiselt: punkt asub sirgel, kui selle koordinaadid vastavad järgmisele süsteemile:

Meid ei huvita väga sirgjoone võrrand, kuid peame tähelepanu pöörama väga olulisele sirge suunava vektori mõistele. - mis tahes nullist erinev vektor, mis asub antud sirgel või sellega paralleelselt.

Näiteks mõlemad vektorid on sirge suunavektorid. Laskma olla punkt, mis asub sirgel, ja olla selle suunav vektor. Siis saab sirgjoone võrrandi kirjutada järgmisel kujul:

Jällegi, mind ei huvita sirgjoone võrrand, kuid mul on tõesti vaja meeles pidada, mis on suunavektor! Veelkord: see on MIS tahes nullist erinev vektor, mis asub sirgel või sellega paralleelselt.

Tõmba tagasi tasapinna kolmepunktiline võrrand ei ole enam nii tühine ja seda ei käsitleta tavaliselt keskkoolikursustel. Aga asjata! See tehnika on ülioluline, kui kasutame keeruliste probleemide lahendamiseks koordinaatide meetodit. Samas eeldan, et oled täis soovi midagi uut õppida? Pealegi saad ülikoolis oma õppejõule muljet avaldada, kui selgub, et sa juba oskad kasutada tehnikat, mida tavaliselt analüütilise geomeetria käigus õpitakse. Nii et alustame.

Tasapinna võrrand ei erine liiga palju tasapinna sirgjoone võrrandist, nimelt on sellel järgmine vorm:

mõned arvud (kõik ei võrdu nulliga), vaid muutujad, näiteks: jne. Nagu näha, ei erine tasapinna võrrand kuigivõrd sirgjoone võrrandist (lineaarfunktsioon). Kuid mäletate, mida me teiega vaidlesime? Ütlesime, et kui meil on kolm punkti, mis ei asu ühel sirgel, siis tasandi võrrand taastatakse neist üheselt. Aga kuidas? Püüan teile selgitada.

Kuna tasapinna võrrand on:

Ja punktid kuuluvad sellele tasapinnale, siis iga punkti koordinaadid tasapinna võrrandisse asendades peaksime saama õige identiteedi:

Seega on vaja lahendada kolm võrrandit juba tundmatutega! Dilemma! Siiski võime seda alati eeldada (selleks peame jagama). Seega saame kolm võrrandit kolme tundmatuga:

Kuid me ei lahenda sellist süsteemi, vaid kirjutame välja sellest tuleneva krüptilise avaldise:

Kolme etteantud punkti läbiva tasapinna võrrand

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiivi)) \right| = 0\]

Lõpeta! Mis see veel on? Väga ebatavaline moodul! Objektil, mida näete enda ees, pole aga mooduliga midagi pistmist. Seda objekti nimetatakse kolmandat järku determinandiks. Nüüdsest, kui tegelete lennukis koordinaatide meetodiga, puutute sageli kokku just nende determinantidega. Mis on kolmandat järku determinant? Kummalisel kombel on see vaid number. Jääb üle mõista, millist konkreetset arvu me determinandiga võrdleme.

Kirjutame esmalt kolmandat järku determinandi üldisemal kujul:

Kus on mõned numbrid. Veelgi enam, esimese indeksi all peame silmas rea numbrit ja indeksi all - veeru numbrit. Näiteks tähendab see, et antud arv on teise rea ja kolmanda veeru ristumiskohas. Esitame järgmise küsimuse: kuidas me sellist determinanti täpselt arvutame? See tähendab, millise konkreetse numbriga me seda võrdleme? Täpselt kolmanda järgu determinandi jaoks on olemas heuristiline (visuaalne) kolmnurga reegel, mis näeb välja selline:

1. Põhidiagonaali elementide korrutis (ülevalt vasakult alla paremale) elementide korrutis, mis moodustavad esimese kolmnurga põhidiagonaaliga "risti" teise kolmnurga "risti" põhidiagonaaliga moodustavate elementide korrutis diagonaal
2. Sekundaarse diagonaali elementide korrutis (ülevalt paremalt alla vasakusse) esimese kolmnurga moodustavate elementide korrutis sekundaarse diagonaaliga "risti" teise kolmnurga "risti" moodustavate elementide korrutis. sekundaarne diagonaal
3. Siis on determinant võrdne etapil ja saadud väärtuste vahega

Kui kirjutame selle kõik numbritega, saame järgmise avaldise:

Sellel kujul pole aga vaja arvutusmeetodit pähe õppida, piisab, kui hoida peas kolmnurki ja mõtet, mida millele lisatakse ja mis millest siis maha lahutatakse).

Illustreerime kolmnurga meetodit näitega:

1. Arvutage determinant:

Mõelgem välja, mida lisame ja mida lahutame:

Tingimused, millel on "pluss":

See on peamine diagonaal: elementide korrutis on

Esimene kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on

Teine kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on

Lisame kolm numbrit:

Tingimused, millel on "miinus"

See on külgdiagonaal: elementide korrutis on

Esimene kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on

Teine kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on

Lisame kolm numbrit:

Jääb üle vaid lahutada plussliikmete summast miinusliikmete summa:

Seega

Nagu näete, pole kolmandat järku determinantide arvutamisel midagi keerulist ja üleloomulikku. Kolmnurkade puhul on lihtsalt oluline meeles pidada ja mitte teha aritmeetilisi vigu. Proovige nüüd ise arvutada:

Kontrollime:

1. Esimene kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
2. Teine kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
3. Plusstingimuste summa:
4. Esimene külgdiagonaaliga risti olev kolmnurk:
5. Teine kolmnurk, mis on risti külgdiagonaaliga:
6. Tingimuste summa miinusega:
7. Plusstingimuste summa miinus miinustingimuste summa:

Siin on teile veel paar määrajat, arvutage ise nende väärtused ja võrrelge vastustega:

Vastused:

No kas kõik klappis? Suurepärane, siis võite edasi minna! Kui on raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: Internetis on hunnik programme determinandi võrgus arvutamiseks. Kõik, mida vajate, on välja mõelda oma determinant, see ise arvutada ja seejärel võrrelda seda programmi arvutatuga. Ja nii edasi, kuni tulemused hakkavad ühtima. Olen kindel, et seda hetke ei lähe kaua oodata!

Nüüd pöördume tagasi determinandi juurde, mille kirjutasin välja, kui rääkisin kolme antud punkti läbiva tasandi võrrandist:

Kõik, mida pead tegema, on arvutada selle väärtus otse (kasutades kolmnurga meetodit) ja määrata tulemuseks null. Loomulikult, kuna need on muutujad, saate neist sõltuva avaldise. Just see avaldis on võrrand tasapinnaga, mis läbib kolme antud punkti, mis ei asu ühel sirgel!

Illustreerime seda lihtsa näitega:

1. Koostage punkte läbiva tasandi võrrand

Koostame nende kolme punkti jaoks determinandi:

Lihtsustamine:

Nüüd arvutame selle otse kolmnurkade reegli järgi:

\[(\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiivi)) \ parem| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Seega on punkte läbiva tasandi võrrand:

Proovige nüüd üks probleem ise lahendada ja siis arutame seda:

2. Leidke punkte läbiva tasandi võrrand

Noh, arutame nüüd lahendust:

Teeme determinandi:

Ja arvutage selle väärtus:

Siis on tasapinna võrrand järgmine:

Või vähendades võrra, saame:

Nüüd kaks enesekontrolli ülesannet:

1. Koostage kolme punkti läbiva tasandi võrrand:

Vastused:

Kas kõik klappis? Jällegi, kui on teatud raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: võtke peast kolm punkti (suure tõenäosusega ei asu need ühel sirgel), ehitage neile tasapind. Ja siis kontrollige ennast Internetis. Näiteks saidil:

Kuid determinantide abil konstrueerime mitte ainult tasandi võrrandi. Pidage meeles, ma ütlesin teile, et vektorite puhul pole määratletud ainult punktkorrutis. Samuti on olemas vektor, samuti segaprodukt. Ja kui kahe vektori skalaarkorrutis on arv, siis on kahe vektori vektorkorrutis vektor ja see vektor on risti antud vektoritega:

Lisaks on selle moodul võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga ja. Seda vektorit vajame punkti ja joone vahelise kauguse arvutamiseks. Kuidas arvutada vektorite ristkorrutist ja kas on antud nende koordinaadid? Kolmanda korra määraja tuleb jälle meile appi. Enne kui ma aga ristkorrutise arvutamise algoritmi juurde asun, pean tegema väikese lüürilise kõrvalepõike.

See kõrvalekalle puudutab baasvektoreid.

Skemaatiliselt on need näidatud joonisel:

Miks arvate, et neid nimetatakse põhilisteks? Fakt on see, et:

Või pildil:

Selle valemi kehtivus on ilmne, kuna:

vektorprodukt

Nüüd saan alustada risttoote tutvustamist:

Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mis arvutatakse järgmise reegli järgi:

Toome nüüd mõned näited ristkorrutise arvutamise kohta:

Näide 1: leidke vektorite ristkorrutis:

Lahendus: teen determinandi:

Ja ma arvutan selle välja:

Nüüd, alustades baasvektorite kaudu kirjutamisest, pöördun tagasi tavapärase vektorite tähistuse juurde:

Seega:

Nüüd proovige.

Valmis? Kontrollime:

Ja traditsiooniliselt kaks kontrollitavad ülesanded:

1. Leidke järgmiste vektorite ristkorrutis:
2. Leidke järgmiste vektorite ristkorrutis:

Vastused:

Kolme vektori segakorrutis

Viimane konstruktsioon, mida ma vajan, on kolme vektori segakorrutis. See, nagu skalaar, on arv. Selle arvutamiseks on kaks võimalust. - determinandi kaudu, - segatoote kaudu.

Nimelt oletame, et meil on kolm vektorit:

Seejärel saab kolme vektori segakorrutise, mida tähistatakse, arvutada järgmiselt:

1. - see tähendab, et segakorrutis on vektori skalaarkorrutis ja kahe teise vektori vektorkorrutis

Näiteks kolme vektori segakorrutis on:

Proovige see vektorkorrutise abil ise välja arvutada ja veenduge, et tulemused ühtivad!

Ja jälle - kaks näidet iseseisva lahenduse jaoks:

Vastused:

Koordinaadisüsteemi valik

Noh, nüüd on meil kõik vajalikud teadmised geomeetria keeruliste stereomeetriliste probleemide lahendamiseks. Enne otse näidete ja nende lahendamise algoritmide juurde asumist usun aga, et on kasulik peatuda järgmisel küsimusel: kuidas täpselt vali konkreetse joonise jaoks koordinaatsüsteem. Lõppude lõpuks on koordinaatsüsteemi suhtelise asukoha ja ruumis oleva figuuri valik see, mis lõpuks määrab selle, kui tülikaks arvutused kujunevad.

Tuletan teile meelde, et selles jaotises käsitleme järgmisi arve:

1. risttahukas
2. Sirge prisma (kolmnurkne, kuusnurkne…)
3. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne)
4. Tetraeeder (sama mis kolmnurkne püramiid)

Ruumi või kuubi jaoks soovitan järgmist konstruktsiooni:

See tähendab, et panen figuuri "nurka". Kuubik ja karp on väga head kujundid. Nende jaoks saate alati hõlpsasti leida selle tippude koordinaadid. Näiteks kui (nagu pildil näidatud)

siis tipukoordinaadid on:

Muidugi ei pea te seda meeles pidama, kuid soovitav on meeles pidada, kuidas kuubi või ristkülikukujulist kasti kõige paremini paigutada.

sirge prisma

Prisma on kahjulikum kuju. Saate seda ruumis paigutada erineval viisil. Siiski arvan, et järgmine variant on parim:

Kolmnurkne prisma:

See tähendab, et asetame kolmnurga ühe külje täielikult teljele ja üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga.

Kuusnurkne prisma:

See tähendab, et üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga ja üks külgedest asub teljel.

Nelinurkne ja kuusnurkne püramiid:

Kuubikuga sarnane olukord: ühendame aluse kaks külge koordinaattelgedega, ühe tipu ühendame alguspunktiga. Ainus väike raskus on punkti koordinaatide arvutamine.

Kuusnurkse püramiidi puhul – sama, mis kuusnurkse prisma puhul. Peamine ülesanne on jällegi tipu koordinaatide leidmine.

Tetraeeder (kolmnurkne püramiid)

Olukord on väga sarnane sellele, mille andsin kolmnurkprisma puhul: üks tipp langeb kokku lähtepunktiga, üks külg asub koordinaatteljel.

Noh, nüüd oleme teiega lõpuks lähedal probleemide lahendamisele. Sellest, mida ma artikli alguses ütlesin, võite teha järgmise järelduse: enamik C2 probleeme jaguneb kahte kategooriasse: probleemid nurga ja vahemaa probleemidega. Esiteks käsitleme nurga leidmise probleeme. Need jagunevad omakorda järgmistesse kategooriatesse (keerukuse kasvades):

Probleemid nurkade leidmisel

1. Kahe sirge vahelise nurga leidmine
2. Kahe tasandi vahelise nurga leidmine

Vaatleme neid probleeme järjestikku: alustame kahe sirge vahelise nurga leidmisega. Tule, jäta meelde, kas me oleme varem sarnaseid näiteid lahendanud? Mäletate, sest meil oli juba midagi sarnast... Otsisime nurka kahe vektori vahel. Tuletan teile meelde, kui on antud kaks vektorit: ja, siis nendevaheline nurk leitakse seosest:

Nüüd on meil eesmärk – leida kahe sirge vaheline nurk. Pöördume "lameda pildi" poole:

Kui palju nurki saame, kui kaks sirget ristuvad? Juba asjad. Tõsi, ainult kaks neist ei ole võrdsed, samas kui teised on nende suhtes vertikaalsed (ja seetõttu langevad nendega kokku). Millise nurga all peaksime arvestama kahe sirge vahelise nurga all: või? Siin kehtib reegel: kahe sirge vaheline nurk ei ole alati suurem kui kraadi. See tähendab, et kahe nurga alt valime alati väikseima kraadiga nurga. See tähendab, et sellel pildil on kahe joone vaheline nurk võrdne. Et mitte iga kord kahest nurgast kõige väiksema leidmisega vaeva näha, soovitasid kavalad matemaatikud moodulit kasutada. Seega määratakse kahe sirge vaheline nurk valemiga:

Teil kui tähelepanelikul lugejal oleks pidanud tekkima küsimus: kust me õigupoolest saame just need arvud, mida on vaja nurga koosinuse arvutamiseks? Vastus: võtame need joonte suunavektoritest! Seega on kahe joone vahelise nurga leidmise algoritm järgmine:

1. Rakendame valemit 1.

Või täpsemalt:

1. Otsime esimese sirge suunavektori koordinaate
2. Otsime teise rea suunavektori koordinaate
3. Arvutage nende skalaarkorrutise moodul
4. Otsime esimese vektori pikkust
5. Otsime teise vektori pikkust
6. Korrutage punkti 4 tulemused punkti 5 tulemustega
7. Jagame punkti 3 tulemuse punkti 6 tulemusega. Saame sirgetevahelise nurga koosinuse
8. Kui see tulemus võimaldab meil nurga täpselt arvutada, otsime seda
9. Vastasel juhul kirjutame läbi arkosiini

Noh, nüüd on aeg liikuda ülesannete juurde: ma demonstreerin üksikasjalikult kahe esimese lahendust, ühe teise lahenduse esitan lühidalt ja annan vastused ainult kahele viimasele ülesandele, peate tehke kõik arvutused nende jaoks ise.

Ülesanded:

1. Paremal tet-ra-ed-re leidke-di-te nurk you-nii-tet-ra-ed-ra ja me-di-a-noy bo-ko-how külje vahel.

2. Parempoolses kuus-söe-pi-ra-mi-de-s on saja-ro-na-os-no-va-niya kuidagi võrdsed ja külgmised ribid on võrdsed, leidke sirge vaheline nurk. read ja.

3. Paremakäelise four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused on üksteisega võrdsed. Leidke sirgjoonte vaheline nurk ja kui from-re-zok - you-so-et antud pi-ra-mi-dy, punkt on se-re-di-on tema bo-ko- th ribi

4. Kuubi serval minust-che-punktini nii, et Find-di-te sirgjoonte vaheline nurk ja

5. Punkt - se-re-di-kuubi servadel Nai-di-te sirgjoonte vaheline nurk ja.

Pole juhus, et panin ülesanded sellisesse järjekorda. Kui teil pole veel olnud aega koordinaatide meetodil navigeerimiseks, analüüsin ma ise kõige "probleemsemad" kujundid ja jätan teid tegelema kõige lihtsama kuubikuga! Tasapisi tuleb õppida kõigi figuuridega töötamist, tõstan ülesannete keerukust teemalt teemale.

Alustame probleemide lahendamisega:

1. Joonistage tetraeeder, asetage see koordinaatsüsteemi, nagu ma varem soovitasin. Kuna tetraeeder on korrapärane, on kõik selle tahud (kaasa arvatud põhi) korrapärased kolmnurgad. Kuna meile ei ole antud külje pikkust, võin selle võtta võrdseks. Arvan, et saate aru, et nurk ei sõltu tegelikult sellest, kui palju meie tetraeedrit "venitatakse"?. Samuti joonistan tetraeedri kõrguse ja mediaani. Teepeal joonistan selle aluse (see tuleb ka meile kasuks).

Pean leidma nurga ja vahel. Mida me teame? Teame ainult punkti koordinaati. Seega peame leidma rohkem punktide koordinaate. Nüüd mõtleme: punkt on kolmnurga kõrguste (või poolitajate või mediaanide) lõikepunkt. Punkt on kõrgendatud punkt. Punkt on lõigu keskpunkt. Siis lõpuks peame leidma: punktide koordinaadid: .

Alustame kõige lihtsamast: punkti koordinaadid. Vaata joonist: On selge, et punkti rakendus on võrdne nulliga (punkt asub tasapinnal). Selle ordinaat on võrdne (kuna see on mediaan). Selle abstsissi on raskem leida. Seda on aga lihtne teha Pythagorase teoreemi alusel: Vaatleme kolmnurka. Selle hüpotenuus on võrdne ja üks jalg on võrdne Siis:

Lõpuks on meil:

Nüüd leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle rakendus on jälle võrdne nulliga ja selle ordinaat on sama, mis punktil, see tähendab. Leiame selle abstsissi. Seda tehakse üsna triviaalselt, kui seda meeles pidada võrdkülgse kolmnurga kõrgused jagatakse proportsioonis lõikepunktiga lugedes ülevalt. Kuna:, siis punkti soovitud abstsiss, mis on võrdne lõigu pikkusega, on võrdne:. Seega on punkti koordinaadid:

Leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Ja aplikatsioon on võrdne segmendi pikkusega. - see on kolmnurga üks jalgadest. Kolmnurga hüpotenuus on segment - jalg. Seda otsitakse põhjustel, mille ma rasvases kirjas esile tõstsin:

Punkt on lõigu keskpunkt. Seejärel peame meeles pidama segmendi keskkoha koordinaatide valemit:

See on kõik, nüüd saame otsida suunavektorite koordinaate:

Noh, kõik on valmis: asendame kõik andmed valemiga:

Seega

Vastus:

Te ei tohiks karta selliseid "kohutavaid" vastuseid: probleemide C2 puhul on see tavaline praktika. Pigem oleksin selles osas üllatunud "ilusa" vastuse üle. Samuti, nagu märkisite, ei kasutanud ma praktiliselt midagi muud peale Pythagorase teoreemi ja võrdkülgse kolmnurga kõrguste omaduse. See tähendab, et stereomeetrilise probleemi lahendamiseks kasutasin stereomeetriat minimaalselt. Selle kasu on osaliselt "kustutatud" üsna tülikate arvutustega. Kuid need on üsna algoritmilised!

2. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid koos koordinaatide süsteemiga ja selle alus:

Peame leidma nurga joonte ja vahel. Seega taandub meie ülesanne punktide koordinaatide leidmisele: . Viimase kolme koordinaadid leiame väikeselt jooniselt ja tipu koordinaadi leiame punkti koordinaadi kaudu. Tööd on palju, aga tuleb alustada!

a) Koordinaat: on selge, et selle rakendus ja ordinaat on null. Leiame abstsissi. Selleks kaaluge täisnurkset kolmnurka. Kahjuks teame selles ainult hüpotenuusi, mis on võrdne. Proovime jalga leida (sest on selge, et jala kahekordne pikkus annab meile punkti abstsissi). Kuidas me saame seda otsida? Tuletagem meelde, milline figuur on meil püramiidi põhjas? See on tavaline kuusnurk. Mida see tähendab? See tähendab, et kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Peame leidma ühe sellise nurga. Mingeid ideid? Ideid on palju, kuid valem on olemas:

Tavalise n-nurga nurkade summa on .

Seega on korrapärase kuusnurga nurkade summa kraadid. Siis on kõik nurgad võrdsed:

Vaatame uuesti pilti. On selge, et segment on nurga poolitaja. Siis on nurk kraadi. Seejärel:

Siis kuhu.

Nii et sellel on koordinaadid

b) Nüüd saame hõlpsalt leida punkti koordinaadi: .

c) Leia punkti koordinaadid. Kuna selle abstsiss langeb kokku segmendi pikkusega, on see võrdne. Ordinaadi leidmine pole samuti väga keeruline: kui ühendame punktid ja ja tähistame sirge lõikepunkti, ütleme for. (tee ise lihtne ehitus). Siis Seega on punkti B ordinaat võrdne lõikude pikkuste summaga. Vaatame uuesti kolmnurka. Siis

Siis alates Siis on punktil koordinaadid

d) Nüüd leidke punkti koordinaadid. Vaatleme ristkülikut ja tõestame, et Seega on punkti koordinaadid:

e) Jääb üle leida tipu koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Leiame rakenduse. Sellest ajast. Mõelge täisnurksele kolmnurgale. Probleemi seisundi järgi külgserv. See on minu kolmnurga hüpotenuus. Siis on püramiidi kõrgus jalg.

Siis on punktil koordinaadid:

See on kõik, mul on kõigi huvipakkuvate punktide koordinaadid. Otsin sirgete suunavektorite koordinaate:

Otsime nende vektorite vahelist nurka:

Vastus:

Jällegi, selle ülesande lahendamisel ei kasutanud ma mingeid keerulisi nippe, välja arvatud tavalise n-nurga nurkade summa valem, samuti täisnurkse kolmnurga koosinuse ja siinuse definitsioon.

3. Kuna meile pole jällegi antud püramiidi servade pikkusi, siis võtan need võrdseks ühega. Seega, kuna KÕIK servad, mitte ainult külgmised, on üksteisega võrdsed, siis asub püramiidi ja mina põhjas ruut ning külgmised tahud on korrapärased kolmnurgad. Kujutagem sellist püramiidi ja selle alust tasapinnal, märkides kõik ülesande tekstis toodud andmed:

Otsime nurka ja vahel. Punktide koordinaate otsides teen väga põgusad arvutused. Peate need "dekrüpteerima":

b) - segmendi keskosa. Tema koordinaadid:

c) Leian kolmnurga lõigu pikkuse Pythagorase teoreemi abil. Ma leian Pythagorase teoreemi järgi kolmnurgas.

Koordinaadid:

d) - segmendi keskosa. Selle koordinaadid on

e) Vektori koordinaadid

f) Vektori koordinaadid

g) nurga otsimine:

Kuubik on kõige lihtsam kuju. Olen kindel, et saate selle ise välja mõelda. Vastused ülesannetele 4 ja 5 on järgmised:

Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmine

Noh, lihtsate mõistatuste aeg on möödas! Nüüd on näited veelgi raskemad. Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmiseks toimime järgmiselt.

1. Kolme punkti abil koostame tasapinna võrrandi
   ,
   kasutades kolmandat järku determinanti.
2. Kahe punkti järgi otsime sirge suunamisvektori koordinaate:
3. Sirge ja tasapinna vahelise nurga arvutamiseks kasutame valemit:

Nagu näete, on see valem väga sarnane sellele, mida kasutasime kahe joone vaheliste nurkade leidmiseks. Parema külje struktuur on täpselt sama ja vasakult otsime nüüd siinust, mitte koosinust, nagu varem. Noh, üks vastik tegevus lisandus - lennuki võrrandi otsimine.

Ärme pane riiulisse lahendamise näited:

1. Os-no-va-ni-em straight-minu auhind-me oleme-la-et-xia võrdsed-kuid-vaesed-ren-ny kolmnurk-selle auhinnaga-me oleme võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel

2. Ristkülikukujulises pa-ral-le-le-pi-pe-de läänest Nai-di-te nurk sirge ja tasapinna vahel

3. Parempoolses kuuesöeprismas on kõik servad võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel.

4. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de koos os-but-va-ni-em ribi läänest Nai-di-te nurgast, ob-ra-zo-van -ny tasapinnaga os. -no-va-niya ja sirge-my, läbides ribide se-re-di-na ja

5. Parempoolse nelinurkse pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused ülaosaga on üksteisega võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasandi vahel, kui punkt on se-re-di-pi-ra-mi-dy bo-ko-in-th serval.

Jällegi lahendan kaks esimest ülesannet üksikasjalikult, kolmanda - lühidalt ja kaks viimast jätan teie enda lahendada. Lisaks tuli juba tegeleda kolm- ja nelinurksete püramiididega, aga prismadega veel mitte.

Lahendused:

1. Joonistage prisma, samuti selle alus. Kombineerime selle koordinaatsüsteemiga ja märgime kõik ülesande avalduses toodud andmed:

Vabandan proportsioonide mittejärgimise pärast, kuid probleemi lahendamiseks pole see tegelikult nii oluline. Lennuk on lihtsalt minu prisma "tagasein". Piisab, kui lihtsalt arvata, et sellise tasandi võrrandil on vorm:

Seda saab aga näidata ka otse:

Valime sellel tasapinnal suvalised kolm punkti: näiteks .

Koostame tasandi võrrandi:

Harjutus teile: arvutage see determinant ise. Kas see õnnestus? Siis on tasapinna võrrand järgmine:

Või lihtsalt

Seega

Näite lahendamiseks pean leidma sirge suunava vektori koordinaadid. Kuna punkt langes alguspunktiga kokku, siis kattuvad vektori koordinaadid lihtsalt punkti koordinaatidega, selleks leiame esmalt punkti koordinaadid.

Selleks kaaluge kolmnurka. Joonistame kõrguse (see on ka mediaan ja poolitaja) tipust. Kuna siis on punkti ordinaat võrdne. Selle punkti abstsissi leidmiseks peame arvutama segmendi pikkuse. Pythagorase teoreemi järgi on meil:

Siis on punktil koordinaadid:

Punkt on punktile "tõstetud":

Siis vektori koordinaadid:

Vastus:

Nagu näete, pole selliste probleemide lahendamisel midagi põhimõtteliselt rasket. Tegelikult lihtsustab sellise figuuri nagu prisma "sirgesus" protsessi veidi rohkem. Liigume nüüd järgmise näite juurde:

2. Joonistame rööptahuka, tõmbame sellesse tasapinna ja sirge ning joonistame eraldi ka selle alumise aluse:

Esiteks leiame tasapinna võrrandi: selles asuva kolme punkti koordinaadid:

(esimesed kaks koordinaati saadakse ilmselgelt ja viimase koordinaadi leiate hõlpsalt pildilt punktist). Seejärel koostame tasandi võrrandi:

Arvutame:

Otsime suunavektori koordinaate: On selge, et selle koordinaadid langevad kokku punkti koordinaatidega, kas pole? Kuidas koordinaate leida? Need on punkti koordinaadid, mis on piki rakendustelge ühe võrra tõstetud! . Seejärel otsime soovitud nurka:

Vastus:

3. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid ning seejärel tõmmake sellesse tasapind ja sirgjoon.

Siin on isegi problemaatiline tasapinna joonistamine, rääkimata selle ülesande lahendusest, aga koordinaatmeetodil pole vahet! Selle peamine eelis peitub selle mitmekülgsuses!

Tasapind läbib kolme punkti: . Otsime nende koordinaate:

üks) . Kuvage ise kahe viimase punkti koordinaadid. Selleks peate lahendama ülesande kuusnurkse püramiidiga!

2) Koostame tasandi võrrandi:

Otsime vektori koordinaate: . (Vaata kolmnurkse püramiidi probleemi uuesti!)

3) Otsime nurka:

Vastus:

Nagu näha, pole neis ülesannetes midagi üleloomulikult rasket. Sa pead lihtsalt olema juurtega väga ettevaatlik. Kahele viimasele probleemile annan ainult vastused:

Nagu näete, on ülesannete lahendamise tehnika igal pool sama: peamine ülesanne on leida tippude koordinaadid ja asendada need mõne valemiga. Meil jääb üle kaaluda veel ühte nurkade arvutamise probleemide klassi, nimelt:

Nurkade arvutamine kahe tasandi vahel

Lahendusalgoritm on järgmine:

1. Kolme punkti jaoks otsime esimese tasandi võrrandit:
2. Ülejäänud kolme punkti jaoks otsime teise tasandi võrrandit:
3. Rakendame valemit:

Nagu näha, on valem väga sarnane kahele eelmisele, mille abil otsisime sirge ning sirge ja tasandi vahelisi nurki. Nii et selle meeldejätmine ei ole teile keeruline. Hüppame otse probleemi juurde:

1. Täisnurkse kolmnurkse prisma põhjal on sada-ro võrdne ja külgpinna dia-gonaal on võrdne. Leia nurk tasapinna ja auhinna aluse tasapinna vahel.

2. Parempoolses neli-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de-s on kellegi kõik servad võrdsed, leidke tasandi ja tasandi Ko-Stu vahelise nurga siinus, mis läbib punkt per-pen-di-ku-lyar-but straight-my.

3. Tavalises neljasöeprismas on os-no-va-nia küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel alates-mina-che-punktini nii et. Leia tasapindade vaheline nurk ja

4. Parempoolses nelinurkses prismas on aluste küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel alates-mina-che-punktini nii, et Leia tasapindade vaheline nurk ja.

5. Leia kuubist tasapindade ja vahelise nurga kaas-sinus

Probleemi lahendused:

1. Joonistan korrapärase (põhjas - võrdkülgse kolmnurga) kolmnurkse prisma ja märgin sellele tasapinnad, mis ilmnevad ülesande tingimuses:

Peame leidma kahe tasandi võrrandid: Alusvõrrand saadakse triviaalselt: kolmele punktile saab teha vastava determinandi, aga ma teen võrrandi kohe:

Nüüd leiame võrrandi Punktil on koordinaadid Punkt – Kuna – kolmnurga mediaan ja kõrgus, on seda lihtne leida kolmnurgas Pythagorase teoreemi abil. Siis on punktil koordinaadid: Leia punkti rakendus Selleks vaadeldakse täisnurkset kolmnurka

Siis saame järgmised koordinaadid: Koostame tasandi võrrandi.

Arvutame tasapindade vahelise nurga:

Vastus:

2. Joonise tegemine:

Kõige keerulisem on aru saada, missuguse salapärase tasapinnaga on tegu, mis läbib punkti risti. Noh, peamine on see, mis see on? Peaasi on tähelepanelikkus! Tõepoolest, joon on risti. Sirg on ka risti. Siis on neid kahte sirget läbiv tasapind joonega risti ja, muide, läbib punkti. See tasapind läbib ka püramiidi tippu. Siis soovitud lennuk - Ja lennuk on meile juba antud. Otsime punktide koordinaate.

Punkti kaudu leiame punkti koordinaadi. Väikese joonise põhjal on lihtne järeldada, et punkti koordinaadid saavad olema järgmised: Mida on nüüd vaja leida, et leida püramiidi tipu koordinaadid? Selle kõrgus tuleb ikkagi arvutada. Seda tehakse sama Pythagorase teoreemi abil: kõigepealt tõestage see (triviaalselt väikestest kolmnurkadest, mis moodustavad aluses ruudu). Kuna tingimusel on meil:

Nüüd on kõik valmis: tipu koordinaadid:

Koostame tasandi võrrandi:

Olete juba determinantide arvutamise ekspert. Lihtsalt saate:

Või teisiti (kui me korrutame mõlemad osad kahe juurega)

Nüüd leiame tasapinna võrrandi:

(Sa ei unustanud, kuidas me saame tasapinna võrrandi, eks? Kui te ei saa aru, kust see miinus üks tuli, siis minge tagasi tasapinna võrrandi definitsiooni juurde! See lihtsalt selgus alati enne seda et minu lennuk kuulus päritolule!)

Arvutame determinandi:

(Võite märgata, et tasandi võrrand langes kokku punkte läbiva sirge võrrandiga ja! Mõelge, miks!)

Nüüd arvutame nurga:

Peame leidma siinuse:

Vastus:

3. Keeruline küsimus: mis on ristkülikukujuline prisma, mida arvate? See on teile lihtsalt tuntud rööptahukas! Kohe joonistama! Alust ei saa isegi eraldi kujutada, sellest on siin vähe kasu:

Tasand, nagu me varem märkisime, on kirjutatud võrrandina:

Nüüd teeme lennuki

Koostame kohe tasandi võrrandi:

Otsib nurka

Nüüd vastused kahele viimasele probleemile:

Noh, nüüd on aeg puhata, sest sina ja mina oleme suurepärased ja oleme teinud suurepärast tööd!

Koordinaadid ja vektorid. Edasijõudnute tase

Selles artiklis käsitleme teiega teist klassi probleeme, mida saab lahendada koordinaatmeetodi abil: kaugusprobleemid. Nimelt käsitleme järgmisi juhtumeid:

1. Kaldjoonte vahelise kauguse arvutamine.

Olen tellinud etteantud ülesanded nende keerukuse kasvades. Lihtsaim on leida punkti ja tasapinna kaugus ja kõige raskem on leida ristuvate joonte vaheline kaugus. Kuigi loomulikult pole miski võimatu! Ärgem viivitagem ja jätkakem kohe esimese probleemide klassiga:

Punkti ja tasapinna kauguse arvutamine

Mida me vajame selle probleemi lahendamiseks?

1. Punkti koordinaadid

Nii et niipea, kui saame kõik vajalikud andmed, rakendame valemit:

Te peaksite juba teadma, kuidas me koostame tasandi võrrandi eelmistest probleemidest, mida analüüsisin viimases osas. Asume kohe asja kallale. Skeem on järgmine: 1, 2 - aitan teil otsustada ja üksikasjalikult, 3, 4 - ainult vastus, otsustate ise ja võrdlete. Algas!

Ülesanded:

1. Antud kuubik. Kuubi serva pikkus on Find-di-te vahemaa se-re-di-ny lõikest tasapinnani

2. Arvestades paremale-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe serva saja-ro-on os-no-va-nia on võrdne. Leia-di-need kaugused punktist tasapinnani, kus - se-re-di-servadel.

3. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de koos os-but-va-ni-emiga on teine ​​serv võrdne ja saja-ro-on os-no-vaniya on võrdne. Otsige üles need vahemaad tipust tasapinnani.

4. Parempoolses kuuesöeprismas on kõik servad võrdsed. Leia need kaugused punktist tasapinnani.

Lahendused:

1. Joonistage üksikute servadega kuup, koostage lõik ja tasapind, tähistage lõigu keskosa tähega

.

Kõigepealt alustame lihtsast: leidke punkti koordinaadid. Sellest ajast peale (pidage meeles lõigu keskkoha koordinaate!)

Nüüd koostame tasandi võrrandi kolme punkti peale

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiivi)) \right| = 0\]

Nüüd saan hakata kaugust leidma:

2. Alustame uuesti joonisega, millele märgime kõik andmed!

Püramiidi puhul oleks kasulik selle alus eraldi joonistada.

Isegi see, et ma joonistan nagu kanakäpp, ei takista meil seda probleemi lihtsalt lahendamast!

Nüüd on lihtne leida punkti koordinaate

Kuna punkti koordinaadid

2. Kuna punkti a koordinaadid on lõigu keskpunkt, siis

Leiame hõlpsalt veel kahe tasapinna punkti koordinaadid Koostame tasapinna võrrandi ja lihtsustame seda:

\[\left| (\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiivi)) \right|) \right| = 0\]

Kuna punktil on koordinaadid: , siis arvutame kauguse:

Vastus (väga harv!):

No kas sa said aru? Mulle tundub, et siin on kõik täpselt sama tehniline kui näidetes, mida me teiega eelmises osas käsitlesime. Seega olen kindel, et kui olete selle materjali omandanud, ei ole teil raske ülejäänud kahte probleemi lahendada. Ma annan teile lihtsalt vastused:

Vahemaa arvutamine sirgest tasapinnani

Tegelikult pole siin midagi uut. Kuidas saavad joon ja tasapind teineteise suhtes paikneda? Neil on kõik võimalused: ristuda või sirge on tasapinnaga paralleelne. Mis on teie arvates kaugus sirgest tasapinnani, millega antud sirge lõikub? Mulle tundub, et on selge, et selline vahemaa võrdub nulliga. Ebahuvitav juhtum.

Teine juhtum on keerulisem: siin on vahemaa juba nullist erinev. Kuna joon on aga tasapinnaga paralleelne, on sirge iga punkt sellest tasapinnast võrdsel kaugusel:

Seega:

Ja see tähendab, et minu ülesanne on taandatud eelmisele: otsime joone mis tahes punkti koordinaate, otsime tasandi võrrandit, arvutame kauguse punktist tasapinnani. Tegelikult on sellised ülesanded eksamil äärmiselt haruldased. Mul õnnestus leida ainult üks probleem ja selles olid andmed sellised, et koordinaatide meetod ei olnud selle jaoks väga rakendatav!

Liigume nüüd teise, palju olulisema probleemide klassi juurde:

Punkti ja sirge kauguse arvutamine

Mida me vajame?

1. Punkti koordinaadid, millest kaugust otsime:

2. Mis tahes punkti koordinaadid, mis asuvad sirgel

3. Sirge suunavektori koordinaadid

Millist valemit me kasutame?

Mida selle murru nimetaja teile tähendab ja seega peaks olema selge: see on sirge suunava vektori pikkus. Siin on väga keeruline lugeja! Avaldis tähendab vektorite vektorkorrutise moodulit (pikkust) ja Kuidas arvutada vektorkorrutist, uurisime töö eelmises osas. Värskendage oma teadmisi, need on meile nüüd väga kasulikud!

Seega on probleemide lahendamise algoritm järgmine:

1. Otsime selle punkti koordinaate, millest kaugust otsime:

2. Otsime joone mis tahes punkti koordinaate, mille kaugust otsime:

3. Vektori ehitamine

4. Ehitame sirge suuna vektori

5. Arvutage ristkorrutis

6. Otsime saadud vektori pikkust:

7. Arvutage kaugus:

Meil on palju tööd ja näited on üsna keerulised! Nii et nüüd koondage kogu oma tähelepanu!

1. Dana on paremakäeline kolmnurkne pi-ra-mi-da tipuga. Sada-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy on võrdne, you-so-ta on võrdne. Leidke need vahemaad bo-ko-nda serva se-re-di-ny-st sirgjooneni, kus punktid ja on ribide se-re-di-ny ja kaas-vet. -stven-aga.

2. Ribide ja täisnurga-no-para-ral-le-le-pi-pe-da pikkused on vastavalt võrdsed ning Find-di-te kaugus top-shi-ny-st sirge-my-ni.

3. Parempoolses kuuesöeprismas on sülemi kõik servad võrdsed, leidke see kaugus punktist sirgjooneni

Lahendused:

1. Teeme korraliku joonise, millele märgime kõik andmed:

Meil on teile palju tööd! Tahaksin kõigepealt sõnadega kirjeldada, mida me otsime ja millises järjekorras:

1. Punktide koordinaadid ja

2. Punktide koordinaadid

3. Punktide koordinaadid ja

4. Vektorite koordinaadid ja

5. Nende ristprodukt

6. Vektori pikkus

7. Vektorkorrutise pikkus

8. Kaugus alates kuni

Noh, meil on palju tööd teha! Käärime käised üles!

1. Püramiidi kõrguse koordinaatide leidmiseks peame teadma punkti koordinaate, mille rakendus on null ja ordinaat on võrdne selle abstsissiga. Lõpuks saime koordinaadid:

Punktide koordinaadid

2. - segmendi keskosa

3. - segmendi keskosa

keskpunkt

4.Koordinaadid

Vektori koordinaadid

5. Arvutage vektorkorrutis:

6. Vektori pikkus: Lihtsaim viis on asendada see segment, et see on kolmnurga keskjoon, mis tähendab, et see on võrdne poole alusega. Nii et.

7. Arvestame vektorkorrutise pikkusega:

8. Lõpuks leidke kaugus:

Pheh, see on kõik! Ausalt öeldes ütlen teile: selle probleemi lahendamine traditsiooniliste meetoditega (konstruktsioonide kaudu) oleks palju kiirem. Kuid siin taandasin kõik valmis algoritmile! Arvan, et lahendusalgoritm on teile selge? Seetõttu palun teil ülejäänud kaks probleemi iseseisvalt lahendada. Võrdle vastuseid?

Kordan veel kord: neid probleeme on lihtsam (kiirem) lahendada konstruktsioonide kaudu, mitte kasutada koordinaatmeetodit. Näitasin seda lahendusviisi ainult selleks, et näidata teile universaalset meetodit, mis võimaldab teil "mitte midagi lõpetada".

Lõpuks kaaluge viimast probleemide klassi:

Kaldjoonte vahelise kauguse arvutamine

Siin on ülesannete lahendamise algoritm sarnane eelmisele. Mis meil on:

3. Mis tahes vektor, mis ühendab esimese ja teise rea punkte:

Kuidas leiame joonte vahelise kauguse?

Valem on:

Lugeja on segakorrutise moodul (tutvustasime seda eelmises osas) ja nimetaja - nagu eelmises valemis (joonte suunavate vektorite vektorkorrutise moodul, mille vahelist kaugust me vaatame jaoks).

Tuletan teile seda meelde

siis kauguse valemi saab ümber kirjutada kujul:

Jaga see determinant determinandiga! Kuigi ausalt öeldes pole mul siin naljategemise tuju! See valem on tegelikult väga tülikas ja viib üsna keerukate arvutusteni. Kui ma oleksin teie, kasutaksin seda ainult viimase abinõuna!

Proovime ülaltoodud meetodi abil mõnda probleemi lahendada:

1. Parempoolses kolmnurkses prismas on kõik servad kuidagi võrdsed, leia sirgete vaheline kaugus ja.

2. Arvestades parempoolse esikujulise kolmnurkse prisma, on kellegi os-no-va-niya kõik servad võrdsed Se-che-tioniga, läbides teist ribi ja se-re-di-nu ribid on yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie sirge-we-mi ja vahel

Mina otsustan esimese ja selle põhjal otsustate sina teise!

1. Joonistan prisma ja märgin jooned ja

Punkti C koordinaadid: siis

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Vektori koordinaadid

\[\left((B,\overright nool (A(A_1)) \overright nool (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(massiivi)(*(20)(l))(\begin(massiivi)(*(20)(c))0&1&0\end(massiivi))\\(\begin(massiivi)(*(20) (c))0&0&1\end(massiiv))\\(\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiivi))\end(massiivi)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vaatleme vektorite ja ristkorrutist

\[\üleparemnool (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(massiivi)(l)\begin(massiivi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiivi)\\\begin(massiivi )(*(20)(c))0&0&1\end(massiivi)\\\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiivi)\end(massiivi) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nüüd kaalume selle pikkust:

Vastus:

Nüüd proovige teine ​​ülesanne hoolikalt täita. Vastus sellele saab olema:.

Koordinaadid ja vektorid. Lühikirjeldus ja põhivalemid

Vektor on suunatud segment. - vektori algus, - vektori lõpp.
Vektorit tähistatakse või.

Absoluutne väärtus vektor – vektorit esindava segmendi pikkus. Määratud kui.

Vektori koordinaadid:

,
kus on vektori \displaystyle a otsad.

Vektorite summa: .

Vektorite korrutis:

Vektorite punktkorrutis:

Vektorite skalaarkorrutis võrdub nende absoluutväärtuste ja nendevahelise nurga koosinusega:

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled niigi parem kui valdav enamus oma eakaaslastest.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Eksami eduka sooritamise, eelarvega instituuti vastuvõtmise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla kindlasti teistest eksamil parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele õpetuse kõigis 99 artiklis - Osta õpik - 899 rubla

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele on kohe avatav.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Definitsioon

Skalaar- väärtus, mida saab iseloomustada numbriga. Näiteks pikkus, pindala, mass, temperatuur jne.

Vektor suunatud segmenti nimetatakse $\overline(A B)$; punkt $A$ on vektori algus, punkt $B$ on vektori lõpp (joonis 1).

Vektorit tähistatakse kas kahe suure tähega – selle algus ja lõpp: $\overline(A B)$ või ühe väikese tähega: $\overline(a)$.

Definitsioon

Kui vektori algus ja lõpp on samad, siis nimetatakse sellist vektorit null. Kõige sagedamini on nullvektor tähistatud kui $\overline(0)$.

Vektoreid nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad kas samal joonel või paralleelsetel joontel (joonis 2).

Definitsioon

Kutsutakse kaks kollineaarset vektorit $\overline(a)$ ja $\overline(b)$ kaassuunaline, kui nende suunad on samad: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (joonis 3, a). Kutsutakse kaks kollineaarset vektorit $\overline(a)$ ja $\overline(b)$ vastassuunas, kui nende suunad on vastupidised: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (joonis 3b).

Definitsioon

Vektoreid nimetatakse koplanaarne kui need on paralleelsed sama tasapinnaga või asuvad samal tasapinnal (joonis 4).

Kaks vektorit on alati tasapinnalised.

Definitsioon

Pikkus (moodul) vektor $\overline(A B)$ on selle alguse ja lõpu vaheline kaugus: $|\overline(A B)|$

Üksikasjalik teooria vektori pikkuse kohta on lingil.

Nullvektori pikkus on null.

Definitsioon

Nimetatakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega ühikvektor või ortom.

Vektoreid nimetatakse võrdne kui need asuvad ühel või paralleelsel joonel; nende suunad ühtivad ja pikkused on võrdsed.

Teisisõnu, kaks vektorit võrdne, kui need on kollineaarsed, ühiselt suunatud ja võrdse pikkusega:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Ruumi suvalises punktis $M$ saab konstrueerida ühe vektori $\overline(M N)$, mis on võrdne antud vektoriga $\overline(A B)$.

Lõpuks sain käed laiaulatuslikule ja kauaoodatud teemale analüütiline geomeetria. Esiteks natuke sellest kõrgema matemaatika osast…. Kindlasti meenus teile nüüd kooli geomeetriakursus koos arvukate teoreemide, nende tõestuste, jooniste jms. Mis seal salata, olulisele osale õpilastest armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks tembeldatud matemaatilist pööret: “graafiline lahendusmeetod” ja “lahenduse analüütiline meetod”. Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute, jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist valdavalt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, sageli piisab vajalike valemite täpsest rakendamisest - ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa see ilma joonisteta üldse läbi, pealegi proovin materjali paremaks mõistmiseks tuua neid üle vajaduse.

Geomeetria tundide avatud kursus ei pretendeeri teoreetilisele terviklikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast on praktilises mõttes oluline. Kui vajate mõne alajao kohta täielikumat viidet, soovitan järgmist üsna juurdepääsetavat kirjandust:

1) Asi, mis, ilma naljata, on tuttav mitmele põlvkonnale: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on vastu pidanud juba 20 (!) kordusväljaannet, mis muidugi pole piir.

2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on kõrghariduse jaoks mõeldud kirjandus, mida vajate esimene köide. Harva esinevad ülesanded võivad minu vaateväljast välja kukkuda ja õpetusest on hindamatu abi.

Mõlemad raamatud on veebis tasuta allalaaditavad. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla kõrgema matemaatika näited.

Tööriistadest pakun jällegi enda arendust - tarkvarapakett analüütilise geomeetria kohta, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.

Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajad)

Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Lisaks soovitan lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, sama hästi kui Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne ei ole üleliigne - Segmendi jagamine selles osas. Ülaltoodud teabe põhjal saate tasapinna sirgjoone võrrand koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetria ülesandeid. Abiks on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirgjoone võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal , muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.

Vektori mõiste. vaba vektor

Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:

Sel juhul on lõigu algus punkt , lõigu lõpp punkt . Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui paigutate noole ümber segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav samastada füüsilise keha liikumisega: tuleb tunnistada, et instituudi ustest sisenemine või instituudi ustest väljumine on täiesti erinevad asjad.

Tasapinna üksikuid punkte on mugav käsitleda, ruumi nn nullvektor. Sellisel vektoril on sama lõpp ja algus.

!!! Märge: Siin ja allpool võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et need asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.

Nimetused: Paljud juhtisid kohe tähelepanu pulgale, mille tähises polnud noolt ja ütlesid, et panid ka noole otsa! Täpselt nii, noolega võib kirjutada: , aga lubatav ja salvestus, mida kasutan hiljem. Miks? Ilmselt on selline harjumus välja kujunenud praktilistest kaalutlustest, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga mitmekesisteks ja karvalisteks. Õppekirjanduses ei vaevuta nad mõnikord üldse kiilkirjaga, vaid tõstavad esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.

See oli stiil ja nüüd vektorite kirjutamise viisidest:

1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega:
jne. Kuigi esimene täht tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine ​​täht tähistab vektori lõpp-punkti.

2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektori lühiduse huvides ümber nimetada väikese ladina tähega .

Pikkus või moodul nullist erinevat vektorit nimetatakse lõigu pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiliselt.

Vektori pikkust tähistatakse mooduli märgiga: ,

Kuidas vektori pikkust leida, õpime (või kordame, kellele kuidas) veidi hiljem.

See oli elementaarne teave vektori kohta, mis oli tuttav kõigile koolilastele. Analüütilises geomeetrias on nn vaba vektor.

Kui see on üsna lihtne - vektorit saab tõmmata mis tahes punktist:

Varem nimetasime selliseid vektoreid võrdseteks (võrdsete vektorite definitsioon antakse allpool), kuid puhtmatemaatilisest vaatenurgast on see SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saab ühe või teise vektori “kinnitada” IGASLE vajalikule tasapinna või ruumi punktile. See on väga lahe kinnisvara! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga vektorit – seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilase vanasõna: Iga lektor in f ** u vektoris. Lõppude lõpuks, mitte ainult vaimukas riim, kõik on matemaatiliselt õige - sinna saab ka vektori kinnitada. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, õpilased ise kannatavad sagedamini =)

Niisiis, vaba vektor- See trobikond identsed suunalised segmendid. Lõigu alguses antud vektori koolimääratlus: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks ..." tähendab spetsiifiline etteantud hulgast võetud suunatud lõik, mis kinnitub tasandi või ruumi kindlasse punkti.

Tuleb märkida, et füüsika seisukohalt on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja vektori rakenduspunkt on oluline. Tõepoolest, minu rumala eeskuju arendamiseks piisab sama jõu otsesest löögist nina või otsaesisele, ja sellel on erinevad tagajärjed. Kuid, mitte vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).

Tegevused vektoritega. Vektorite kollineaarsus

Kooli geomeetria kursusel võetakse arvesse mitmeid vektoritega toiminguid ja reegleid: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektorite erinevuse reegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Seemnena kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.

Vektorite liitmise reegel kolmnurkade reegli järgi

Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja :

On vaja leida nende vektorite summa. Tulenevalt asjaolust, et kõiki vektoreid peetakse vabaks, lükkame vektori edasi lõpp vektor:

Vektorite summa on vektor . Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav anda sellele füüsiline tähendus: lasta mõnel kehal teha rada mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit . Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mis algab lähtepunktist ja lõpeb saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha minna oma teed tugevalt siksakiliselt või võib-olla autopiloodil - mööda saadud summavektorit.

Muide, kui vektor lükatakse edasi alustada vektor , siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.

Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes räägime paralleelvektoritest. Kuid nendega seoses kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".

Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaassuunaline. Kui nooled vaatavad eri suundades, siis vektorid on vastupidiselt suunatud.

Nimetused: vektorite kollineaarsus on kirjutatud tavalise paralleelsuse ikooniga: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on suunatud vastupidi).

tööd nullist erineva vektori arvu järgi on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .

Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildiga lihtsam mõista:

Mõistame üksikasjalikumalt:

1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.

2) Pikkus. Kui tegur sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus kaks korda väiksem kui vektori pikkus. Kui mooduli kordaja on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.

3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teisega, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Seega: kui korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaali suhtes) vektor.

4) Vektorid on kaassuunalised. Vektorid ja on samuti kaassuunalised. Esimese rühma mis tahes vektor on vastupidine teise rühma mis tahes vektorile.

Millised vektorid on võrdsed?

Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samasuunalised ja on sama pikkusega. Pange tähele, et kaassuund tähendab, et vektorid on kollineaarsed. Määratlus on ebatäpne (ülearune), kui ütlete: "Kaks vektorit on võrdsed, kui need on kollineaarsed, kaassuunatud ja sama pikkusega."

Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt on võrdsed vektorid sama vektor, millest oli juttu juba eelmises lõigus.

Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis

Esimene punkt on vaadelda vektoreid tasapinnal. Joonistage Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatide süsteem ja jätke lähtepunktist kõrvale vallaline vektorid ja:

Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame vastavalt sõnu kollineaarsus ja ortogonaalsus.

Määramine: vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise ristimärgiga, näiteks: .

Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. Mis on aluseks, on minu arvates paljudele intuitiivselt selge, üksikasjalikumat teavet leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus.Lihtsamalt öeldes määratlevad koordinaatide alus ja päritolu kogu süsteemi – see on omamoodi vundament, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.

Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: "orto" - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna "normaliseeritud" ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.

Määramine: alus kirjutatakse tavaliselt sulgudesse, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatud kohad vahetama.

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt:
, kus - numbrid, mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Aga väljend ise helistas vektori laguneminealus .

Serveeritud õhtusöök:

Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori aluse osas lagundamisel kasutatakse just vaadeldud:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .

Nüüd lükake vektor vaimselt kõrvale igast teisest tasapinna punktist. On üsna ilmne, et tema korruptsioon "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus – vektor "kannab kõike endaga kaasas". See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas, et baas(vaba)vektorid ise ei pea olema alguspunktist kõrvale jätnud, ühe saab joonistada näiteks all vasakule, teise aga üleval paremal ja sellest ei muutu midagi! Tõsi, te ei pea seda tegema, sest õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "passi".

Vektorid , illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on suunatud koos baasvektoriga , vektor on suunatud baasvektorile vastassuunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga, selle saab täpselt kirjutada järgmiselt:


Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).

Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud teile lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras, ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on liitmise erijuht. Niisiis, vektorite "de" ja "e" laiendused on rahulikult kirjutatud summana: . Järjesta terminid kohati ümber ja järgi joonist, kui selgelt vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi nendes olukordades töötab.

Arvestatud vormi lagunemine mida mõnikord nimetatakse vektori lagunemiseks süsteemis ort(ehk ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:

Või võrdusmärgiga:

Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja

See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme salvestusvõimalust.

Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber paigutada. Rangelt esikohal kirjuta üles koordinaat, mis vastab ühikuvektorile, rangelt teisel kohal pane kirja ühikvektorile vastav koordinaat . Tõepoolest, ja need on kaks erinevat vektorit.

Leidsime lennuki koordinaadid. Nüüd kaaluge vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on kõik peaaegu sama! Lisatakse veel ainult üks koordinaat. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teha, seetõttu piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides lükkan lähtepunktist edasi:

Ükskõik milline 3D ruumivektor ainus viis laiendada ortonormaalselt:
, kus on antud baasis vektori (arvu) koordinaadid.

Näide pildilt: . Vaatame, kuidas vektortoimingute reeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (magenta nool). Teiseks on siin näide mitme, antud juhul kolme vektori liitmisest: . Summavektor algab lähtepunktist (vektori algusest) ja jõuab lõpp-punkti (vektori lõppu).

Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad, proovige vektorit mõtteliselt edasi lükata mis tahes muust punktist ja saate aru, et selle laienemine "jääb sellega".

Sarnaselt lennuki juhtumiga, lisaks kirjutamine laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .

Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, siis pannakse selle asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles .

Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:

Siin on ehk kõik minimaalsed teoreetilised teadmised, mis on vajalikud analüütilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Võib-olla on termineid ja määratlusi liiga palju, seega soovitan mannekeenidel see teave uuesti läbi lugeda ja sellest aru saada. Ja igal lugejal on kasulik materjali paremaks omandamiseks aeg-ajalt põhitunnile viidata. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid kasutatakse edaspidi sageli. Märgin, et saidi materjalidest ei piisa teoreetilise testi, geomeetria kollokviumi läbimiseks, kuna krüpteerin hoolikalt kõik teoreemid (peale tõenditeta) - teadusliku esitusstiili kahjuks, kuid pluss teie mõistmise eest teemast. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks palun kummardada professor Atanasyani ees.

Liigume nüüd praktilise osa juurde:

Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides

Ülesandeid, mida kaalutakse, on väga soovitav õppida neid täielikult automaatselt lahendama ja valemeid meelde jätta, ärge isegi meelega mäletage, nad mäletavad seda ise =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. Särgil pole vaja ülemisi nööpe kinnitada, paljud asjad on sulle koolist tuttavad.

Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinnal kui ruumilisel. Sel põhjusel, et kõik valemid ... näete ise.

Kuidas leida vektorit, millel on kaks punkti?

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

Kui on antud kaks ruumipunkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

St vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.

Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.

Näide 1

Arvestades kaks punkti lennukis ja . Otsige vektori koordinaadid

Otsus: vastavalt vastavale valemile:

Teise võimalusena võib kasutada järgmist tähistust:

Esteetid otsustavad järgmiselt:

Isiklikult olen harjunud plaadi esimese versiooniga.

Vastus:

Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist ehitada (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et mannekeenidele mõnda punkti selgitada, ei ole ma liiga laisk:

Tuleb aru saada punkti koordinaatide ja vektori koordinaatide erinevus:

Punktide koordinaadid on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik teavad, kuidas joonistada punkte koordinaattasandil alates 5.-6. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.

Sama vektori koordinaadid on selle laiendamine aluse suhtes , antud juhul . Iga vektor on vaba, seetõttu saame seda vajadusel hõlpsasti mõnest teisest tasandi punktist edasi lükata. Huvitav on see, et vektorite jaoks ei saa te üldse telgi ehitada, ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, vajate ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.

Punktide koordinaatide ja vektorkoordinaatide kirjed näivad olevat sarnased: , ja koordinaatide tunnetamine absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.

Daamid ja härrad, me täidame oma käed:

Näide 2

a) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse ja . Leia vektorid ja .
c) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid .

Võib-olla piisab. Need on näited iseseisvaks otsuseks, proovige neid mitte tähelepanuta jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid ei nõuta. Lahendused ja vastused tunni lõpus.

Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku “kaks pluss kaks võrdub null” viga. Vabandan juba ette, kui eksisin =)

Kuidas leida lõigu pikkust?

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab lõigu pikkuse arvutada valemiga

Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Otsus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

Joonelõik – see ei ole vektor, ja te ei saa seda muidugi kuhugi liigutada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. \u003d 1 cm (kaks tetradilahtrit), siis saab vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes otseselt segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid selles on paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:

Esiteks määrame vastuses mõõtme: "ühikud". Tingimusel pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu on üldine sõnastus matemaatiliselt pädev lahendus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult käsitletava probleemi jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehniline trikk – kordaja juure alt välja võtmine. Arvutuste tulemusena saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri juure alt välja võtmist (võimalusel). Protsess näeb üksikasjalikumalt välja järgmine: . Muidugi ei tee vastuse vormile jätmine viga – aga kindlasti on see viga ja kaalukas argument õpetaja nipet-näpet.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli saadakse piisavalt suur arv näiteks juure alla. Kuidas sellistel juhtudel olla? Kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub 4-ga:. Jah, jagage täielikult, nii: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Seega: . Arvu viimane number on paaritu, seega pole kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt võimalik. Proovin jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.

Järeldus: kui juure alla saame täisarvu, mida ei saa välja võtta, siis proovime juure alt välja võtta teguri - kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , jne.

Erinevate ülesannete lahendamise käigus leitakse sageli juured, püüdke alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida väiksemat punktisummat ja tarbetuid sekeldusi oma lahenduste viimistlemisel vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame samaaegselt juurte ja muude jõudude ruudustamist:

Üldkujul kraadidega toimingute reeglid leiate algebra kooliõpikust, kuid arvan, et kõik või peaaegu kõik on juba toodud näidetest selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Antud punktid ja . Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Kuidas leida vektori pikkust?

Kui on antud tasapindvektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.

Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga .

Standarddefinitsioon: "Vektor on suunatud sirglõik." See on tavaliselt lõpetaja vektoriteadmiste piir. Kellele on vaja mingeid "suunatud segmente"?

Aga tegelikult, mis on vektorid ja miks nad on?
Ilmateade. "Loodetuul, kiirus 18 meetrit sekundis." Nõus, on oluline ka tuule suund (kust see puhub) ja selle kiiruse moodul (st absoluutväärtus).

Koguseid, millel pole suunda, nimetatakse skalaarideks. Massi, tööd, elektrilaengut pole kuhugi suunatud. Neid iseloomustab ainult arvväärtus - "mitu kilogrammi" või "mitu džauli".

Füüsikalisi suurusi, millel on mitte ainult absoluutväärtus, vaid ka suund, nimetatakse vektorsuurusteks.

Kiirus, jõud, kiirendus – vektorid. Nende jaoks on oluline "kui palju" ja oluline on "kus". Näiteks vabalangemise kiirendus on suunatud Maa pinna poole ja selle väärtus on 9,8 m/s 2 . Impulss, elektrivälja tugevus, magnetvälja induktsioon on samuti vektorsuurused.

Pea meeles, et füüsilisi suurusi tähistatakse ladina või kreeka tähtedega. Tähe kohal olev nool näitab, et suurus on vektor:

Siin on veel üks näide.
Auto liigub punktist A punkti B. Lõpptulemuseks on selle liikumine punktist A punkti B, st liikumine vektori võrra .

Nüüd on selge, miks vektor on suunatud segment. Pöörake tähelepanu, vektori lõpp on seal, kus on nool. Vektori pikkus nimetatakse selle lõigu pikkuseks. Määratud: või

Seni oleme töötanud skalaarsuurustega, aritmeetika ja elementaaralgebra reeglite järgi. Vektorid on uus kontseptsioon. See on veel üks matemaatiliste objektide klass. Neil on omad reeglid.

Kunagi me ei teadnud isegi numbritest. Tutvumine nendega algas algklassides. Selgus, et numbreid saab omavahel võrrelda, liita, lahutada, korrutada ja jagada. Saime teada, et on olemas number üks ja number null.
Nüüd õpime vektoreid tundma.

Mõisteid "suurem kui" ja "vähem kui" vektorite puhul ei eksisteeri – nende suunad võivad ju olla erinevad. Võrrelda saab ainult vektorite pikkusi.

Kuid vektorite võrdsuse kontseptsioon on.
Võrdne on vektorid, millel on sama pikkus ja suund. See tähendab, et vektorit saab endaga paralleelselt nihutada tasandi mis tahes punkti.
vallaline nimetatakse vektoriks, mille pikkus on 1 . Null - vektor, mille pikkus on võrdne nulliga, see tähendab, et selle algus langeb kokku lõpuga.

Kõige mugavam on töötada vektoritega ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis - selles, milles joonistame funktsioonigraafikud. Igale koordinaadisüsteemi punktile vastab kaks numbrit – selle x- ja y-koordinaadid, abstsiss ja ordinaat.
Vektor antakse ka kahe koordinaadiga:

Siin on vektori koordinaadid kirjutatud sulgudes - x-is ja y-s.
Neid on lihtne leida: vektori lõpu koordinaat miinus selle alguse koordinaat.

Kui vektori koordinaadid on antud, leitakse selle pikkus valemiga

Vektori lisamine

Vektorite lisamiseks on kaks võimalust.

üks . rööpküliku reegel. Vektorite ja lisamiseks asetame mõlema lähtekohad samasse punkti. Lõpetame rööpküliku ja tõmbame samast punktist rööpküliku diagonaali. See on vektorite summa ja .

Kas mäletate muinasjuttu luige, vähi ja haugi kohta? Nad püüdsid väga, kuid nad ei liigutanud kunagi käru. Lõppude lõpuks oli nende poolt vankrile rakendatud jõudude vektorsumma võrdne nulliga.

2. Teine viis vektorite lisamiseks on kolmnurga reegel. Võtame samad vektorid ja . Liidame teise alguse esimese vektori lõppu. Nüüd ühendame esimese alguse ja teise lõpu. See on vektorite summa ja .

Sama reegli järgi saate lisada mitu vektorit. Kinnitame need ükshaaval ja ühendame seejärel esimese alguse viimase lõpuni.

Kujutage ette, et lähete punktist A punkti B, punktist B punkti C, punktist C punkti D, siis punkti E ja siis F. Nende toimingute lõpptulemus on liikumine punktist A punkti F.

Vektorite lisamisel saame:

Vektori lahutamine

Vektor on suunatud vektori vastassuunas. Vektorite ja pikkused on võrdsed.

Nüüd on selge, mis on vektorite lahutamine. Vektorite erinevus ja on vektori ja vektori summa .

Korrutage vektor arvuga

Vektori korrutamisel arvuga k saadakse vektor, mille pikkus erineb pikkusest k korda. See on vektoriga samasuunaline, kui k on suurem kui null, ja vastupidine, kui k on nullist väiksem.

Vektorite punktkorrutis

Vektoreid saab korrutada mitte ainult numbritega, vaid ka üksteisega.

Vektorite skalaarkorrutis on vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutis.

Pöörake tähelepanu - korrutasime kaks vektorit ja saime skalaari, see tähendab arvu. Näiteks füüsikas võrdub mehaaniline töö kahe vektori – jõu ja nihke – skalaarkorrutisega:

Kui vektorid on risti, on nende punktkorrutis null.
Ja nii väljendatakse skalaarkorrutist vektorite koordinaatidena ja:

Skalaarkorrutise valemist leiate vektorite vahelise nurga:

See valem on eriti mugav stereomeetrias. Näiteks matemaatika profiili USE ülesandes 14 tuleb leida nurk lõikuvate sirgete või sirge ja tasandi vahel. Ülesanne 14 lahendatakse vektormeetodil sageli mitu korda kiiremini kui klassikalise meetodiga.

Matemaatika koolikavas õpitakse ainult vektorite skalaarkorrutist.
Selgub, et lisaks skalaarile on olemas ka vektorkorrutis, kui kahe vektori korrutamise tulemusena saadakse vektor. Kes sooritab füüsika eksami, see teab, mis on Lorentzi jõud ja Ampère'i jõud. Nende jõudude leidmise valemid sisaldavad täpselt vektorkorrutisi.

Vektorid on väga kasulik matemaatiline tööriist. Selles veendute juba esimesel kursusel.

2018 Olševski Andrei Georgijevitš

Veebileht täis raamatuid, saate raamatuid alla laadida

Vektorid tasapinnal ja ruumis, ülesannete lahendamise viisid, näited, valemid

1 Vektorid ruumis

Ruumivektorid hõlmavad geomeetriat 10, klassi 11 ja analüütilist geomeetriat. Vektorid võimaldavad efektiivselt lahendada eksami teise osa ja analüütilise geomeetria geomeetrilisi ülesandeid ruumis. Ruumis olevad vektorid on antud samamoodi nagu vektorid tasapinnal, kuid arvesse on võetud kolmas koordinaat z. Vektoritest väljajätmine kolmanda dimensiooni ruumis annab vektorid tasapinnal, mis seletab 8, 9 klassi geomeetriat.

1.1 Vektor tasapinnal ja ruumis

Vektor on suunatud segment alguse ja lõpuga, mis on näidatud joonisel noolega. Suvalist ruumipunkti võib pidada nullvektoriks. Nullvektoril pole kindlat suunda, kuna algus ja lõpp on samad, seega võib sellele anda mis tahes suuna.

Vektor inglise keelest tõlgituna tähendab vektorit, suunda, kurssi, juhendamist, suuna määramist, lennuki suunda.

Nullist erineva vektori pikkus (moodul) on lõigu AB pikkus, mida tähistatakse
. Vektori pikkus tähistatud . Nullvektori pikkus on võrdne nulliga = 0.

Kollineaarsed vektorid on nullist erinevad vektorid, mis asuvad samal sirgel või paralleelsel sirgel.

Nullvektor on mis tahes vektori suhtes kollineaarne.

Kaassuunalisi nimetatakse kollineaarseteks nullist erinevateks vektoriteks, millel on üks suund. Kaassuunalised vektorid on tähistatud . Näiteks kui vektor on vektoriga samasuunaline , siis kasutatakse tähistust.

Nullvektor on kaassuunaline mis tahes vektoriga.

Vastandsuunalised on kaks kollineaarset nullist erinevat vektorit, millel on vastupidine suund. Vastandsuunalised vektorid on tähistatud ↓-ga. Näiteks kui vektor on vastupidine vektorile , siis kasutatakse tähistust ↓.

Võrdse pikkusega kaassuunalisi vektoreid nimetatakse võrdseteks.

Paljud füüsikalised suurused on vektorsuurused: jõud, kiirus, elektriväli.

Kui vektori rakenduspunkt (algus) ei ole määratud, siis valitakse see suvaliselt.

Kui vektori algus asetatakse punkti O, siis loetakse, et vektor on punktist O edasi lükatud. Mis tahes punktist saab joonistada ühe antud vektoriga võrdse vektori.

1.2 Vektorite summa

Vektorite liitmisel kolmnurga reegli järgi joonistatakse vektor 1, mille lõpust tõmmatakse vektor 2 ja nende kahe vektori summaks on vektor 3, mis on tõmmatud vektori 1 algusest vektori 2 lõpuni:

Suvaliste punktide A, B ja C jaoks saate kirjutada vektorite summa:

+
=

Kui kaks vektorit algavad samast punktist

siis on parem need rööpkülikureegli järgi liita.

Kui liita kaks vektorit rööpkülikureegli järgi, eraldatakse lisatud vektorid ühest punktist, nende vektorite otstest valmib rööpkülik, rakendades ühe vektori lõppu teise algust. Rööpküliku diagonaalist moodustatud vektor, mis pärineb lisatud vektorite alguspunktist, on vektorite summa

Rööpkülikureegel sisaldab erinevat vektorite liitmise järjekorda vastavalt kolmnurga reeglile.

Vektori lisamise seadused:

1. Kommutatiivseadus + = + .

2. Assotsiatiivõigus ( + ) + = + ( + ).

Kui on vaja liita mitu vektorit, siis vektorid liidetakse paarikaupa või hulknurga reegli järgi: vektor 2 tõmmatakse vektori 1 lõpust, vektor 3 tõmmatakse vektori 2 lõpust, vektor 4 tõmmatakse vektori 2 lõpust. vektori 3 lõpp, vektor 5 tõmmatakse vektori 4 lõpust jne. Vektor, mis on mitme vektori summa, tõmmatakse vektori 1 algusest viimase vektori lõpuni.

Vektorite liitmise seaduste kohaselt ei mõjuta vektorite liitmise järjekord saadud vektorit, mis on mitme vektori summa.

Vastanduvad kaks nullist erinevat võrdse pikkusega vastassuunalist vektorit. Vektor – on vektori vastand

Need vektorid on vastupidise suunaga ja absoluutväärtuselt võrdsed.

1.3 Vektori erinevus

Vektorite erinevuse saab kirjutada vektorite summana

- = + (-),

kus "-" on vektorile vastandlik vektor.

Vektoreid ja - saab liita kolmnurga või rööpküliku reegli järgi.

Olgu vektorid ja

Vektorite erinevuse leidmiseks koostame vektori -

Lisame vektorid ja - kolmnurga reegli järgi, rakendades vektori algust - vektori lõppu, saame vektori + (-) = -

Lisame vektorid ja - rööpküliku reegli järgi lükkame vektorite algused edasi ja - ühest punktist

Kui vektorid ja pärinevad samast punktist

,

siis vektorite erinevus - annab nende otsad ühendava vektori ja saadud vektori lõpus olev nool asetatakse selle vektori suunas, millest lahutatakse teine ​​vektor

Alloleval joonisel on näidatud vektorite liitmine ja erinevus

Alloleval joonisel on kujutatud vektorite liitmist ja erinevust erinevatel viisidel.

Ülesanne. Antud vektorid ja .

Joonistage vektorite summa ja erinevus kõigil võimalikel viisidel kõigis võimalikes vektorite kombinatsioonides.

1.4 Kollineaarse vektori lemma

= k

1.5 Vektori korrutamine arvuga

Nullist erineva vektori korrutis arvuga k annab vektori = k , mis on kollineaarne vektoriga . Vektori pikkus:

| | = |k |·| |

Kui a k > 0, siis vektorid ja on kaassuunalised.

Kui a k = 0, siis vektor on null.

Kui a k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Kui | k | = 1, siis on vektorid ja võrdse pikkusega.

Kui a k = 1, siis ja võrdsed vektorid.

Kui a k = -1, siis vastupidised vektorid.

Kui | k | > 1, siis on vektori pikkus suurem kui vektori pikkus.

Kui a k > 1, siis vektorid ja on kaassuunalised ja pikkus on suurem kui vektori pikkus.

Kui a k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Kui | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Kui 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Kui -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Nullvektori korrutis arvuga annab nullvektori.

Ülesanne. Antud vektor .

Konstrueerige vektorid 2 , -3 , 0,5 , -1,5 .

Ülesanne. Antud vektorid ja .

Konstrueerige vektorid 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Seadused, mis kirjeldavad vektori korrutamist arvuga

1. Kombinatsiooniseadus (kn) = k (n)

2. Esimene distributsiooniseadus k ( + ) = k + k .

3. Teine distributsiooniseadus (k + n) = k + n.

Kollineaarsete vektorite ja , kui ≠ 0 korral on olemas üks arv k, mis võimaldab vektorit väljendada järgmiselt:

= k

1.6 Ühistasandilised vektorid

Ühistasandilised vektorid on need, mis asuvad samal tasapinnal või paralleelsel tasapinnal. Kui joonistada ühest punktist vektorid, mis on võrdsed antud tasapinnaliste vektoritega, asuvad need samal tasapinnal. Seetõttu võime öelda, et vektoreid nimetatakse koplanaarseteks, kui samas tasapinnas on võrdsed vektorid.

Kaks suvalist vektorit on alati tasapinnalised. Kolm vektorit võivad, kuid ei pruugi olla tasapinnalised. Kolm vektorit, millest vähemalt kaks on kollineaarsed, on koplanaarsed. Kollineaarsed vektorid on alati tasapinnalised.

1.7 Vektori lagunemine kahes mittekollineaarses vektoris

Mis tahes vektor laguneb unikaalselt tasapinnal kahes mittekollineaarses nullvektoris ja ainult laienduskoefitsientidega x ja y:

= x+y

Mis tahes vektor, mis on tasapinnaline nullist erineva vektoritega ja on unikaalselt lagunenud kaheks mittekollineaarseks vektoriks ning ainulaadsete laienduskoefitsientidega x ja y:

= x+y

Laiendame antud vektorit tasapinnal antud mittekollineaarsete vektorite järgi ja :

Joonistage ühest punktist antud tasapinnalised vektorid

Vektori lõpust tõmbame vektoritega paralleelsed sirged ja lõikekohani läbi vektorite tõmmatud joontega ja . Hangi rööpkülik

Rööpküliku külgede pikkused saadakse vektorite pikkuste korrutamisel ning arvudega x ja y, mis määratakse rööpküliku külgede pikkuse jagamisel vastavate vektorite pikkustega ja. Saame vektori lagunemise antud mittekollineaarsetes vektorites ja :

= x+y

Lahendatavas ülesandes x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, seega vektori laiendus antud mittekollineaarsetes vektorites ja võib kirjutada kui

1,3 + 1,9 .

Lahendatavas ülesandes x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, seega vektori laienemist antud mittekollineaarsetes vektorites ja saab kirjutada kui

1,3 - 1,9 .

1.8 Kastri reegel

Rööptahukas on ruumiline kujund, mille vastasküljed koosnevad kahest paralleelsest rööptahukast.

Rööptahuka reegel võimaldab lisada kolm ühest punktist tõmmatud mittetasatasandilist vektorit ja konstrueerida rööptahuka nii, et summeeritud vektorid moodustavad selle servad ning rööptahuka ülejäänud servad on vastavalt paralleelsed ja võrdsed moodustatud servade pikkustega. summeeritud vektorite järgi. Rööptahuka diagonaal moodustab vektori, mis on antud kolme vektori summa, mis algab liidetud vektorite alguspunktist.

1.9 Vektori lagunemine kolmes mittetasapinnalises vektoris

Mis tahes vektor laieneb kolmes antud mittetasapinnalises vektoris , ja üksikute laiendusteguritega x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ruumis

Kolmemõõtmelises ruumis on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz määratletud lähtepunktiga O ja selles ristuvate vastastikku risti olevate koordinaattelgedega Ox , Oy ja Oz valitud positiivsete suundadega, mida tähistavad nooled ja lõikude mõõtühik. Kui lõikude mõõtkava on kõigil kolmel teljel sama, siis nimetatakse sellist süsteemi Descartes'i koordinaatsüsteemiks.

Koordineerida x nimetatakse abstsissiks, y on ordinaat, z on rakendus. Punkti M koordinaadid kirjutatakse sulgudesse M (x ; y ; z ).

1.11 Vektori koordinaadid ruumis

Seadistame ruumis ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi Oxyz . Algpunktist telgede Ox , Oy , Oz positiivsetes suundades joonistame vastavad ühikvektorid , , , mida nimetatakse koordinaatvektoriteks ja mis on mittetasapinnalised. Seetõttu saab iga vektori lagundada kolmeks antud mittetasapinnaliseks koordinaatvektoriks ja ainsa laienduskoefitsiendiga x , y , z :

= x + y + z .

Laienduskoefitsiendid x , y , z on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektori koordinaadid, mis on kirjutatud sulgudesse (x ; y ; z ). Nullvektori koordinaadid on nulliga võrdsed (0; 0; 0). Võrdsete vektorite korral on vastavad koordinaadid võrdsed.

Reeglid saadud vektori koordinaatide leidmiseks:

1. Kahe või enama vektori liitmisel võrdub saadud vektori iga koordinaat antud vektorite vastavate koordinaatide summaga. Kui on antud kaks vektorit (x 1 ; y 1 ; z 1) ja (x 1 ; y 1 ; z 1 ), siis vektorite summa + annab vektori koordinaatidega (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ) z 1 + z1)

+ = (x 1 + x 1; y 1 + y 1; z1 + z1)

2. Erinevus on omamoodi summa, seega vastavate koordinaatide erinevus annab vektori iga koordinaadi, mis saadakse kahe antud vektori lahutamisel. Kui on antud kaks vektorit (x a ; y a ; z a ) ja (x b ; y b ; z b ), siis vektorite erinevus - annab vektori koordinaatidega (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. Vektori korrutamisel arvuga on saadud vektori iga koordinaat võrdne selle arvu korrutisega antud vektori vastava koordinaadiga. Kui antud arv k ja vektor (x ; y ; z ), siis vektori korrutamine arvuga k annab vektori k koordinaatidega

k = (kx ; ky ; kz ).

Ülesanne. Leia vektori = 2 - 3 + 4 koordinaadid, kui vektorite koordinaadid on (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Otsus

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vektor, raadiuse vektor ja punkti koordinaadid

Vektori koordinaadid on vektori lõpu koordinaadid, kui vektori algus on asetatud alguspunkti.

Raadiusvektor on vektor, mis on tõmmatud lähtepunktist antud punkti, raadiusvektori ja punkti koordinaadid on võrdsed.

Kui vektor
on antud punktidega M 1 (x 1; y 1; z 1) ja M 2 (x 2; y 2; z 2), siis on iga selle koordinaat võrdne lõpu ja alguse vastavate koordinaatide vahega. vektor

Kollineaarsete vektorite = (x 1 ; y 1 ; z 1) ja = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) korral, kui ≠ 0, on üks arv k, mis võimaldab vektorit väljendada järgmiselt:

= k

Seejärel väljendatakse vektori koordinaadid vektori koordinaatidena

= (kx 1; ky1; kz 1)

Kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide suhe on võrdne üksikarvuga k

1.13 Vektori pikkus ja kahe punkti vaheline kaugus

Vektori pikkus (x; y; z) on võrdne selle koordinaatide ruutude summa ruutjuurega

Alguse M 1 (x 1; y 1; z 1) ja lõpu M 2 (x 2; y 2; z 2) punktidega antud vektori pikkus on võrdne summa ruutjuurega. vektori lõpu ja alguse vastavate koordinaatide erinevuse ruudud

Kaugus d kahe punkti M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ja M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) vahel on võrdne vektori pikkusega

Tasapinnal pole z-koordinaati

Punktide M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) vaheline kaugus

1.14 Lõigu keskkoha koordinaadid

Kui punkt C on lõigu AB keskpunkt, siis punkti C raadiuse vektor suvalises koordinaatsüsteemis, mille alguspunkt on punktis O, võrdub poolega punktide A ja B raadiusvektorite summast

Kui vektorite koordinaadid
(x ; y ; z ),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), siis on iga vektori koordinaat võrdne poolega vektorite vastavate koordinaatide summast ja

,
,

= (x, y, z) =

Iga lõigu keskkoha koordinaat on võrdne poolega lõigu otste vastavate koordinaatide summast.

1.15 Vektoritevaheline nurk

Vektorite vaheline nurk on võrdne ühest punktist tõmmatud ja nende vektoritega koos suunatud kiirte vahelise nurgaga. Vektorite vaheline nurk võib olla vahemikus 0 0 kuni 180 0 (kaasa arvatud). Kaassuunaliste vektorite vaheline nurk on võrdne 0 0 . Kui üks vektor või mõlemad on nullid, on nurk vektorite vahel, millest vähemalt üks on null, 0 0 . Perpendikulaarsete vektorite vaheline nurk on 90 0 . Nurk vastassuunaliste vektorite vahel on 180 0 .

1.16 Vektorprojektsioon

1.17 Vektorite punktkorrutis

Kahe vektori skalaarkorrutis on arv (skalaar), mis on võrdne vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega

Kui a = 0 0 , siis on vektorid kaassuunalised
ja
= cos 0 0 = 1, seega on kaassuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdne nende pikkuste (moodulite) korrutisega

.

Kui vektorite vaheline nurk on 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, seega on skalaarkorrutis suurem kui null
.

Kui nullist erinevad vektorid on risti, siis on nende skalaarkorrutis null
, kuna cos 90 0 = 0. Perpendikulaarsete vektorite skalaarkorrutis on võrdne nulliga.

Kui a
, siis on selliste vektorite vahelise nurga koosinus väiksem kui null
, seega on skalaarkorrutis väiksem kui null
.

Vektoritevahelise nurga suurenedes suureneb nendevahelise nurga koosinus
väheneb ja saavutab minimaalse väärtuse = 180 0, kui vektorid on vastassuunalised
. Kuna cos 180 0 = -1, siis
. Vastandsuunaliste vektorite skalaarkorrutis on võrdne nende pikkuste (moodulite) negatiivse korrutisega.

Vektori skalaarruut on võrdne vektori ruudu mooduliga

Vektorite, millest vähemalt üks on null, skalaarkorrutis on võrdne nulliga.

1.18 Vektorite skalaarkorrutise füüsikaline tähendus

Füüsika kursusest on teada, et jõu töö A keha liigutamise ajal on võrdne jõu- ja nihkevektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinusega korrutisega ehk võrdub jõu- ja nihkevektorite skalaarkorrutisega

Kui jõuvektor on suunatud keha liikumisega koos, siis vektorite vaheline nurk
= 0 0, seega on nihkejõu töö maksimaalne ja võrdub A =
.

Kui 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Kui = 90 0 , siis nihkejõu töö on võrdne nulliga A = 0.

Kui 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Kui jõuvektor on vastupidine keha liikumisele, siis vektorite vaheline nurk = 180 0, seega on jõu töö liikumisele negatiivne ja võrdne A = -.

Ülesanne. Määrake gravitatsiooni töö 1 tonni kaaluva sõiduauto tõstmisel mööda 1 km pikkust rada, mille kaldenurk on 30 0 horisondi suhtes. Mitu liitrit vett temperatuuriga 20 0 saab selle energiaga keeta?

Otsus

Töö Gravitatsioon keha liigutamisel võrdub see vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega, see tähendab, et see võrdub gravitatsiooni ja nihke vektorite skalaarkorrutisega

Gravitatsioon

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m/s 2 = 10 000 N.

= 1000 m.

Nurk vektorite vahel = 1200. Siis

cos 120 0 \u003d cos (90 0 + 30 0) \u003d - sin 30 0 \u003d - 0,5.

Asendaja

A = 10 000 N 1000 m (-0,5) \u003d - 5 000 000 J = 5 MJ.

1.19 Vektorite punktkorrutis koordinaatides

Kahe vektori punktkorrutis = (x 1 ; y 1 ; z 1) ja \u003d (x 2; y 2; z 2) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on võrdne samanimeliste koordinaatide korrutistega

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Vektorite perpendikulaarsuse tingimus

Kui nullist erinevad vektorid \u003d (x 1; y 1; z 1) ja \u003d (x 2; y 2; z 2) on risti, siis on nende skalaarkorrutis null

Kui on antud üks nullist erinev vektor = (x 1; y 1; z 1), siis peavad sellega risti (normaal) oleva vektori koordinaadid = (x 2; y 2; z 2) rahuldama võrdsust

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Selliseid vektoreid on lõpmatu arv.

Kui tasapinnale on seatud üks nullist erinev vektor = (x 1; y 1), siis peavad sellega risti (normaal) oleva vektori koordinaadid = (x 2; y 2) rahuldama võrdsust

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Kui tasapinnale on seatud nullist erinev vektor = (x 1 ; y 1), siis piisab, kui seada meelevaldselt üks vektori koordinaatidest, mis on sellega risti (normaal) = (x 2 ; y 2) ja alates vektorite perpendikulaarsuse tingimus

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

väljendada vektori teist koordinaati.

Näiteks kui me asendame suvalise x 2 koordinaadi, siis

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Vektori teine ​​koordinaat

Kui annate x 2 \u003d y 1, siis vektori teine ​​koordinaat

Kui tasapinnal on antud nullist erinev vektor = (x 1; y 1), siis sellega risti (normaal) olev vektor = (y 1; -x 1).

Kui nullist erineva vektori üks koordinaatidest on võrdne nulliga, siis on vektoril sama koordinaat, mis ei ole võrdne nulliga, ja teine ​​koordinaat on võrdne nulliga. Sellised vektorid asuvad koordinaattelgedel, seega on nad risti.

Defineerime teise vektori, mis on risti vektoriga = (x 1 ; y 1), kuid vastupidine vektorile , see tähendab vektorit - . Siis piisab vektori koordinaatide märkide muutmisest

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Ülesanne.

Otsus

Kahe vektoriga risti asetseva vektori = (x 1; y 1) koordinaadid tasapinnal

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Asendame vektori = (3; -5) koordinaadid

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

õige!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

õige!

Vastus: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Kui omistame x 2 = 1, asendame

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Hankige vektori y 2 koordinaat, mis on risti vektoriga = (x 1; y 1)

Et saada teine ​​vektor, mis on vektoriga risti = (x 1; y 1), kuid vastupidine vektorile . Las olla

Siis piisab vektori koordinaatide märkide muutmisest .

Kahe vektoriga risti asetseva vektori = (x 1; y 1) koordinaadid tasapinnal

Ülesanne. Antud vektor = (3; -5). Leia kaks erineva orientatsiooniga normaalvektorit.

Otsus

Kahe vektoriga risti asetseva vektori = (x 1; y 1) koordinaadid tasapinnal

Ühe vektori koordinaadid

Teise vektori koordinaadid

Vektorite perpendikulaarsuse kontrollimiseks asendame nende koordinaadid vektorite perpendikulaarsuse tingimusega

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

õige!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

õige!

Vastus: ja.

Kui määrate x 2 \u003d - x 1, asendage

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Hankige vektoriga risti oleva vektori koordinaat

Kui määrate x 2 \u003d x 1, asendage

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Hankige teise vektori y-koordinaat, mis on vektoriga risti

Ühe tasapinnalise vektoriga risti oleva vektori koordinaadid = (x 1; y 1)

Teise tasapinna vektoriga risti oleva vektori koordinaadid = (x 1; y 1)

Kahe vektoriga risti asetseva vektori = (x 1; y 1) koordinaadid tasapinnal

1.21 Vektoritevahelise nurga koosinus

Kahe nullist erineva vektori \u003d (x 1; y 1; z 1) ja \u003d (x 2; y 2; z 2) vahelise nurga koosinus võrdub vektorite skalaarkorrutisega, mis on jagatud vektori korrutisega nende vektorite pikkused

Kui a
= 1, siis vektorite vaheline nurk on võrdne 0 0 , vektorid on kaassuunalised.

Kui 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Kui = 0, siis vektorite vaheline nurk on 90 0 , vektorid on risti.

Kui -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Kui = -1, siis vektorite vaheline nurk on 180 0 , vektorid on vastassuunalised.

Kui mingi vektor on antud alguse ja lõpu koordinaatidega, siis lahutades alguse koordinaadid vektori vastavatest lõpu koordinaatidest, saame selle vektori koordinaadid.

Ülesanne. Leia vektorite vaheline nurk (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Otsus

Vektorite punktkorrutis

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

seega nurk vektorite vahel on = 90 0 .

1.22 Vektorite punktkorrutise omadused

Skalaarkorrutise omadused kehtivad mis tahes , , ,k :

1.
, kui
, siis
, kui =, siis
= 0.

2. Nihkeseadus

3. Jaotusseadus

4. Kombinatsiooniseadus
.

1.23 Suunavektori otsene

Sirge suunav vektor on nullist erinev vektor, mis asub sirgel või antud sirgega paralleelsel sirgel.

Kui sirge on antud kahe punktiga M 1 (x 1; y 1; z 1) ja M 2 (x 2; y 2; z 2), siis on vektor suunaks
või selle vastandvektorit
= - , mille koordinaadid

Soovitav on seada koordinaatsüsteem nii, et joon läbiks alguspunkti, siis on joone ainsa punkti koordinaadid suunavektori koordinaadid.

Ülesanne. Määrata punkte M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) läbiva sirge suunavektori koordinaadid.

Otsus

Märgitakse punkte M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) läbiva sirge suunavektorit.
. Iga selle koordinaat on võrdne vektori lõpu ja alguse vastavate koordinaatide erinevusega

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Kujutame koordinaatsüsteemis sirge suunavektorit algusega punktis M 1, otsaga punktis M 2 ja vektoriga, mis on sellega võrdne
lähtepunktist otsaga punktis M (-1; 1; 0)

1.24 Kahe sirge vaheline nurk

Võimalikud valikud 2 joone suhtelise asukoha kohta tasapinnal ja selliste joonte vahelise nurga jaoks:

1. Sirged lõikuvad ühes punktis, moodustades 4 nurka, 2 paari vertikaalnurki on paarides võrdsed. Nurk φ kahe lõikuva joone vahel on nurk, mis ei ületa ülejäänud kolme nende joonte vahelist nurka. Seetõttu on sirgete vaheline nurk φ ≤ 90 0 .

Lõikuvad sirged võivad olla eelkõige risti φ = 90 0 .

Võimalikud valikud 2 joone suhtelise asukoha kohta ruumis ja selliste joonte vahelise nurga jaoks:

1. Sirged lõikuvad ühes punktis, moodustades 4 nurka, 2 paari vertikaalnurki on paarides võrdsed. Nurk φ kahe lõikuva joone vahel on nurk, mis ei ületa ülejäänud kolme nende joonte vahelist nurka.

2. Sirged on paralleelsed, st ei lange kokku ega ristu, φ=0 0 .

3. Sirged langevad kokku, φ = 0 0 .

4. Sirged lõikuvad, see tähendab, et nad ei ristu ruumis ega ole paralleelsed. Lõikuvate joonte vaheline nurk φ on nurk sirgete vahel, mis on tõmmatud paralleelselt nende joontega nii, et need lõikuvad. Seetõttu on sirgete vaheline nurk φ ≤ 90 0 .

Kahe joone vaheline nurk on võrdne nurgaga nende joontega paralleelselt samal tasapinnal tõmmatud joonte vahel. Seetõttu on joonte vaheline nurk 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Nurk θ (teeta) vektorite ja 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 vahel.

Kui nurk φ sirgete α ja β vahel on võrdne nende sirgete suunavektorite vahelise nurgaga θ φ = θ, siis

cos φ = cos θ.

Kui sirgete vaheline nurk φ = 180 0 - θ, siis

cos φ \u003d cos (180 0 - θ) \u003d - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Seetõttu on sirgetevahelise nurga koosinus võrdne vektoritevahelise nurga koosinusmooduliga

cos φ = |cos θ|.

Kui nullist erinevate vektorite koordinaadid = (x 1 ; y 1 ; z 1) ja = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) on antud, siis on nendevahelise nurga θ koosinus

Sirgedevahelise nurga koosinus on võrdne nende sirgete suunavektorite vahelise nurga koosinusmooduliga

cos φ = |cos θ| =

Jooned on samad geomeetrilised objektid, seetõttu on valemis samad trigonomeetrilised funktsioonid cos.

Kui mõlemad sirged on antud kahe punktiga, saab määrata nende sirgete suunavektorid ja sirgetevahelise nurga koosinuse.

Kui a cos φ = 1, siis sirgetevaheline nurk φ on võrdne 0 0 , nende sirgete jaoks võib võtta ühe nende sirgete suunavektoritest, sirged on paralleelsed või langevad kokku. Kui jooned ei lange kokku, siis on need paralleelsed. Kui sirged langevad kokku, siis kuulub ühe sirge mis tahes punkt teisele sirgele.

Kui 0< cos φ ≤ 1, siis on joonte vaheline nurk 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Kui a cos φ \u003d 0, siis sirgete vaheline nurk φ on 90 0 (jooned on risti), sirged lõikuvad või lõikuvad.

Ülesanne. Määrake sirgete M 1 M 3 ja M 2 M 3 vaheline nurk punktide M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ja M 3 (0; 0; 1) koordinaatidega. .

Otsus

Ehitame antud punktid ja sirged Oxyz koordinaatsüsteemis.

Sirgede suunavektorid suuname nii, et vektoritevaheline nurk θ ühtiks antud sirgete vahelise nurgaga φ. Joonistage vektorid =
ja =
, samuti nurgad θ ja φ:

Määrame vektorite koordinaadid ja

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 ja ax + by + cz = 0;

Tasapind on paralleelne selle koordinaatteljega, mille tähistus tasandi võrrandis puudub ja seetõttu on vastav koefitsient võrdne nulliga, näiteks kui c = 0 on tasapind paralleelne Oz-teljega ja ei sisalda z võrrandis ax + by + d = 0;

Tasand sisaldab koordinaatide telge, mille tähistus puudub, mistõttu on vastav koefitsient null ja d = 0, näiteks c = d = 0 korral on tasapind paralleelne Oz-teljega ega sisalda z-d võrrandis ax + by = 0;

Tasapind on paralleelne koordinaattasandiga, mille tähistus tasandi võrrandis puudub ja seetõttu on vastavad koefitsiendid nullid, näiteks b = c = 0 korral on tasapind paralleelne koordinaattasandiga Oyz ja ei sisalda y, z võrrandis ax + d = 0.

Kui tasapind langeb kokku koordinaattasandiga, siis on sellise tasandi võrrand antud koordinaattasandiga risti oleva koordinaattelje tähistuse võrdsus nulliga, näiteks x = 0 korral on antud tasapind koordinaattasapind. Oyz .

Ülesanne. Normaalvektor on antud võrrandiga

Esitage tasandi võrrand normaalkujul.

Otsus

Normaalvektori koordinaadid

A ; b; c ), siis saame tasandi üldvõrrandisse asendada punkti M 0 (x 0; y 0; z 0) koordinaadid ja normaalvektori koordinaadid a, b, c

ax + by + cz + d = 0 (1)

Saame võrrandi ühe tundmatu d-ga

ax 0 + x 0 + cz 0 + d = 0

Siit

d = -(ax 0 + x 0 + cz 0 )

Tasapinnaline võrrand (1) pärast asendust d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Saame võrrandi tasandist, mis läbib punkti M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0), mis on risti nullist erineva vektoriga (a ; b ; c )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Avame sulgud

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Tähistage

d = - ax 0 - korda 0 - cz 0

Saame tasandi üldvõrrandi

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Kaht punkti läbiva tasapinna ja alguspunkti võrrand

ax + by + cz + d = 0.

Soovitav on seada koordinaatsüsteem nii, et tasapind läbiks selle koordinaatsüsteemi alguspunkti. Sellel tasapinnal asuvad punktid M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ja M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) tuleb seada nii, et neid punkte ühendav sirgjoon ei läbiks alguspunkti.

Tasapind läbib alguspunkti, seega d = 0. Siis saab tasandi üldvõrrandiks

ax + by + cz = 0.

Tundmatu 3 koefitsienti a , b , c . Kahe punkti koordinaatide asendamine tasandi üldvõrrandis annab 2 võrrandisüsteemi. Kui võtta tasandi üldvõrrandis mõni koefitsient, mis võrdub ühega, siis 2 võrrandisüsteem võimaldab meil määrata 2 tundmatut koefitsienti.

Kui punkti üks koordinaatidest on null, siis sellele koordinaadile vastav koefitsient võetakse üheks.

Kui mõnel punktil on kaks nullkoordinaati, siis võetakse ühikuks koefitsient, mis vastab ühele neist nullkoordinaatidest.

Kui aktsepteeritakse a = 1, võimaldab 2 võrrandi süsteem määrata 2 tundmatut koefitsienti b ja c:

Nende võrrandite süsteemi on lihtsam lahendada, korrutades mõne võrrandi sellise arvuga, et mõne tundmatu terase koefitsiendid on võrdsed. Siis võimaldab võrrandite erinevus meil selle tundmatu välistada, määrata teise tundmatu. Leitud tundmatu asendamine mis tahes võrrandiga võimaldab meil määrata teise tundmatu.

1.30 Kolme punkti läbiva tasandi võrrand

Defineerime tasandi üldvõrrandi koefitsiendid

ax + by + cz + d = 0,

läbides punkte M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ja M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Punktidel ei tohi olla kahte identset koordinaati.

Tundmatu 4 koefitsienti a , b , c ja d . Kolme punkti koordinaatide asendamine tasandi üldvõrrandis annab 3 võrrandisüsteemi. Võtke tasandi üldvõrrandis mõni koefitsient, mis on võrdne ühega, siis 3 võrrandi süsteem võimaldab teil määrata 3 tundmatut koefitsienti. Tavaliselt aktsepteeritakse a = 1, siis võimaldab 3 võrrandi süsteem määrata 3 tundmatut koefitsienti b, c ja d:

Võrrandisüsteemi saab kõige paremini lahendada tundmatute elimineerimisega (Gaussi meetod). Saate võrrandid süsteemis ümber paigutada. Mis tahes võrrandit saab korrutada või jagada mis tahes nullist erineva teguriga. Lisada saab mis tahes kaks võrrandit ja saadud võrrandi saab kirjutada kummagi kahe lisatud võrrandi asemel. Tundmatud jäetakse võrranditest välja, saades nende ette nullkoefitsiendi. Ühes võrrandis jäetakse tavaliselt kõige madalamale üks muutuja, mis on defineeritud. Leitud muutuja asendatakse alt teise võrrandisse, millesse jääb tavaliselt 2 tundmatut. Võrrandid lahendatakse alt üles ja määratakse kõik tundmatud koefitsiendid.

Koefitsiendid asetatakse tundmatute ette ja tundmatutest vabad liikmed kantakse võrrandite paremale poole

Ülemine rida sisaldab tavaliselt võrrandit, mille koefitsient on 1 enne esimest või mis tahes tundmatut, või kogu esimene võrrand on jagatud teguriga enne esimest tundmatut. Selles võrrandisüsteemis jagame esimese võrrandi y 1-ga

Enne esimest tundmatut saime koefitsiendi 1:

Teise võrrandi esimese muutuja ees oleva koefitsiendi lähtestamiseks korrutame esimese võrrandi -y 2 -ga, lisame selle teisele võrrandile ja kirjutame saadud võrrandi teise võrrandi asemele. Esimene tundmatu teisest võrrandist elimineeritakse, sest

y 2 b - y 2 b = 0.

Samamoodi välistame esimese tundmatu kolmandas võrrandis, korrutades esimese võrrandi -y 3 -ga, lisades selle kolmandale võrrandile ja kirjutades saadud võrrandi kolmanda võrrandi asemele. Ka esimene tundmatu kolmandas võrrandis elimineeritakse, sest

y 3 b - y 3 b = 0.

Samamoodi välistame kolmandas võrrandis teise tundmatu. Lahendame süsteemi alt üles.

Ülesanne.

ax + by + cz + d = 0,

läbides punkte M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ja y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Antud tasapind on koordinaattasand Oyz .

Ülesanne. Määrake tasandi üldvõrrand

ax + by + cz + d = 0,

punktide M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ja M 3 (0; 0; 1) läbimine. Leidke kaugus sellest tasapinnast punktini M 0 (10; -3; -7).

Otsus

Ehitame antud punktid Oxyz koordinaatsüsteemi.

Nõustu a= 1. Kolme punkti koordinaatide asendamine tasandi üldvõrrandis annab 3 võrrandisüsteemi

ℓ =

Veebilehed: 1 2 Vektorid tasapinnas ja ruumis (jätkub)

Andrei Georgijevitš Olševski konsultatsioonid teemal Skype da.irk.et

Matemaatika, füüsika, informaatika, palju punkte (C osa) saada soovivate ja nõrkade õpilaste ettevalmistamine OGE-ks (GIA) ja eksamiks. Praeguse jõudluse samaaegne parandamine mälu, mõtlemise arendamise, kompleksi arusaadava selgitamise, objektide visuaalse esituse kaudu. Eriline lähenemine igale õpilasele. Olümpiaadideks valmistumine, sisseastumissoodustuste võimaldamine. 15-aastane kogemus õpilaste saavutuste parandamisel.

Kõrgmatemaatika, algebra, geomeetria, tõenäosusteooria, matemaatiline statistika, lineaarne programmeerimine.

Selge teooria seletus, arusaamislünkade kõrvaldamine, õppemeetodid ülesannete lahendamiseks, konsulteerimine kursusetööde, diplomite kirjutamisel.

Lennukite, raketi ja autode mootorid. Üleheli-, ramjet-, rakett-, impulssdetonatsiooni-, pulseerivad, gaasiturbiini-, kolb-sisepõlemismootorid – teooria, disain, arvutus, tugevus, disain, tootmistehnoloogia. Termodünaamika, soojustehnika, gaasidünaamika, hüdraulika.

Lennundus, aeromehaanika, aerodünaamika, lennudünaamika, teooria, disain, aerohüdromehaanika. Ülikerged lennukid, ekranoplaanid, lennukid, helikopterid, raketid, tiibraketid, hõljukid, õhulaevad, propellerid – teooria, disain, arvutus, tugevus, disain, tootmistehnoloogia.

Ideede genereerimine, elluviimine. Teadusliku uurimistöö alused, genereerimismeetodid, teaduslike, leidlike, äriideede elluviimine. Õppetehnikad loodusteaduslike probleemide lahendamiseks, leidlikud ülesanded. Teaduslik, leidlik, kirjutav, insenerlik loovus. Kõige väärtuslikumate teaduslike, leidlike probleemide, ideede väljaütlemine, valik, lahendus.

Loovuse tulemuste publikatsioonid. Kuidas kirjutada ja avaldada teadusartiklit, taotleda leiutist, kirjutada, avaldada raamat. Kirjutamise teooria, lõputööde kaitsmine. Raha teenimine ideede, leiutistega. Nõustamine leiutiste loomisel, leiutistaotluste, teadusartiklite, leiutistaotluste, raamatute, monograafiate, väitekirjade kirjutamine. Kaasautor leiutistes, teadusartiklites, monograafiates.

Teoreetiline mehaanika (theormech), materjalide tugevus (sopromat), masinaosad, mehhanismide ja masinate teooria (TMM), inseneritehnoloogia, tehnilised distsipliinid.

Elektrotehnika (TOE) teoreetilised alused, elektroonika, digitaalse, analoogelektroonika alused.

Analüütiline geomeetria, kirjeldav geomeetria, insenerigraafika, joonistamine. Arvutigraafika, graafika programmeerimine, joonised AutoCAD-is, NanoCAD-is, fotomontaaž.

Loogika, graafikud, puud, diskreetne matemaatika.

OpenOffice ja LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makrod, VBScript, Basic, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Programmide, mängude loomine arvutitele, sülearvutitele, mobiilseadmetele. Tasuta valmisprogrammide, avatud lähtekoodiga mootorite kasutamine.

Saitide, veebipoodide loomine, paigutus, reklaamimine, programmeerimine, saitide tulu, veebikujundus.

Informaatika, PC kasutaja: tekstid, tabelid, esitlused, tippimise koolitus 2 tundi, andmebaasid, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internet, võrgud, e-post.

Seade, statsionaarsete arvutite ja sülearvutite remont.

Videoblogija, loomine, monteerimine, video postitamine, videotöötlus, videoblogidega raha teenimine.

Valik, eesmärgi saavutamine, planeerimine.

Internetis raha teenimise õppimine: ajaveebipidaja, videoblogija, programmid, veebisaidid, veebipood, artiklid, raamatud jne.

Saate toetada saidi arendamist, maksta Olševski Andrei Georgievitši nõustamisteenuste eest

15.10.17 Olševski Andrei Georgijevitše-post:[e-postiga kaitstud]