Logaritmide jagamine samade aluste valemiga. Logaritmvõrrandite lahendus. Täielik juhend (2019)

Selle artikli keskmes on logaritm. Siin anname logaritmi definitsiooni, näitame aktsepteeritud määramine, tooge näiteid logaritmidest ja öelge naturaal- ja kümnendlogaritmide kohta. Pärast seda kaaluge põhilogaritmilist identiteeti.

Leheküljel navigeerimine.

Logaritmi definitsioon

Logaritmi mõiste tekib ülesande lahendamisel aastal teatud mõttes pöördvõrdeline, kui peate leidma eksponendi teadaolev väärtus aste ja teadaolev alus.

Aga piisavalt preambulist, on aeg vastata küsimusele "mis on logaritm"? Anname sobiva määratluse.

Definitsioon.

Logaritm b alusesse a, kus a>0, a≠1 ja b>0 on eksponent, milleni peate arvu a suurendama, et saada b tulemuseks.

Selles etapis märgime, et väljaöeldud sõna "logaritm" peaks kohe tekitama kaks järgnevat küsimust: "milline arv" ja "mille alusel". Teisisõnu, logaritmi lihtsalt pole, vaid mingis baasis on ainult arvu logaritm.

Kohe tutvustame logaritmi tähistus: arvu b logaritmi aluse a suhtes tähistatakse tavaliselt kui log a b . Arvu b logaritmil aluse e ja 10 logaritmil on vastavalt oma eritähised lnb ja lgb, see tähendab, et nad ei kirjuta mitte log e b , vaid lnb ja mitte log 10 b , vaid lgb .

Nüüd saad kaasa võtta:.
Ja plaadid pole mõtet, kuna esimeses neist on logaritmi märgi all negatiivne arv, teises - negatiivne arv aluses ja kolmandas - nii negatiivne arv logaritmi märgi all kui ka ühik aluses.

Nüüd räägime sellest logaritmide lugemise reeglid. Kirje logi a b loetakse kui "b logaritm baasi a". Näiteks logaritm 2 3 on logaritm kolmest aluse 2 suhtes ja on kahe punkti logaritm kaks kolmandikku baasist Ruutjuur viiest. Nimetatakse logaritm aluse e juurde naturaallogaritm, ja tähistust lnb loetakse "b naturaalseks logaritmiks". Näiteks ln7 on seitsme naturaalne logaritm ja me loeme seda pi naturaallogaritmiks. 10. aluse logaritmil on ka eriline nimi - kümnendlogaritm ja tähistus lgb loetakse kui "kümnendlogaritm b". Näiteks lg1 on ühe kümnendlogaritm ja lg2.75 on kahe koma seitsmekümne viie sajandiku kümnendlogaritm.

Eraldi tasub peatuda tingimustel a>0, a≠1 ja b>0, mille puhul on antud logaritmi definitsioon. Selgitame, kust need piirangud tulevad. Selleks aitab meid vormi võrdsus nimega , mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.

Alustame a≠1-ga. Kuna üks on võrdne ühega mis tahes astmega, võib võrdus olla tõene ainult b=1 korral, kuid log 1 1 võib olla mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse vältimiseks aktsepteeritakse a≠1.

Põhjendame tingimuse a>0 otstarbekust. Kui a=0 saaksime logaritmi definitsiooni järgi võrdsuse , mis on võimalik ainult siis, kui b=0 . Kuid siis võib log 0 0 olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erineva astmeni on null. Seda ebaselgust saab vältida tingimusega a≠0 . Ja a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Lõpuks tuleneb ebavõrdsusest a>0 tingimus b>0, kuna , ja positiivse alusega a astme väärtus on alati positiivne.

Selle lõigu kokkuvõtteks ütleme, et logaritmi hääleline määratlus võimaldab teil kohe näidata logaritmi väärtust, kui logaritmi märgi all olev arv on teatud baasi aste. Tõepoolest, logaritmi definitsioon võimaldab väita, et kui b=a p , siis arvu b logaritm alusele a on võrdne p . See tähendab, et võrduslogi a a p =p on tõene. Näiteks teame, et 2 3 =8 , siis log 2 8=3 . Sellest räägime artiklis lähemalt.

Antakse naturaallogaritmi, graafi, definitsioonipiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmereas laienduse ja funktsiooni ln x esituse põhiomadused kompleksarvude abil.

Definitsioon

naturaallogaritm on funktsioon y = ln x, pöördvõrdeline astendajaga x \u003d e y ja mis on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktsiooni y = graafik ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse astendaja graafikult peegelpeegelduse teel sirgjoonelt y = x .

Naturaalne logaritm määratakse x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Nagu x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( - ∞ ).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus ( + ∞ ). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga astmefunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratluspiirkond, väärtuste kogum, ekstreemsus, suurenemine, vähenemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, seega pole tal äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

ln x väärtused

log 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasmuutuse valemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis .

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Avaldised kompleksarvude kujul

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ​​ole üheselt määratletud. Kui paneme
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate n-de jaoks sama arv.

Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina seda ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Laiendus toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

Selle videoga alustan pikka õppetundide seeriat logaritmvõrrandite kohta. Nüüd on teil korraga kolm näidet, mille põhjal õpime lahendama lihtsamaid ülesandeid, mida nimetatakse nii - algloomad.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Lubage mul teile meelde tuletada, et lihtsaim logaritmiline võrrand on järgmine:

log a f(x) = b

On oluline, et muutuja x oleks olemas ainult argumendi sees, st ainult funktsioonis f(x). Ja arvud a ja b on lihtsalt arvud ja mitte mingil juhul ei ole funktsioonid, mis sisaldavad muutujat x.

Põhilised lahendusmeetodid

Selliste struktuuride lahendamiseks on palju võimalusi. Näiteks koolis soovitab enamik õpetajaid nii: Väljendage valemi abil kohe funktsioon f ( x ). f( x ) = a b . See tähendab, et kui kohtute kõige lihtsama konstruktsiooniga, saate kohe lahenduse juurde asuda ilma täiendavate toimingute ja konstruktsioonideta.

Jah, loomulikult osutub otsus õigeks. Selle valemi probleem seisneb aga selles, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see tuleb ja miks me täpselt tõstame tähe a täheks b.

Seetõttu märkan sageli väga solvavaid vigu, kui näiteks neid tähti vahetatakse. Seda valemit tuleb kas mõista või pähe õppida ning teine ​​meetod toob kaasa vigu kõige ebasobivamatel ja otsustavamatel hetkedel: eksamitel, testidel jne.

Sellepärast soovitan kõigil oma õpilastel loobuda kooli tavavalemist ja kasutada logaritmvõrrandite lahendamiseks teist lähenemist, mida, nagu nimest arvatavasti arvasite, nimetatakse kanooniline vorm.

Kanoonilise vormi idee on lihtne. Vaatame uuesti oma ülesannet: vasakul on meil log a , täht a tähendab aga täpselt numbrit ja mitte mingil juhul muutujat x sisaldavat funktsiooni. Seetõttu kehtivad sellele kirjale kõik piirangud, mis on kehtestatud logaritmi alusel. nimelt:

1 ≠ a > 0

Teisest küljest näeme samast võrrandist, et logaritm peab olema on võrdne arvuga b , ja sellele tähele ei seata mingeid piiranguid, sest see võib võtta mis tahes väärtuse – nii positiivse kui ka negatiivse. Kõik sõltub sellest, milliseid väärtusi funktsioon f(x) võtab.

Ja siin meenub meie imeline reegel, et iga arvu b saab esitada logaritmina baasis a alates a astmeni b:

b = log a a b

Kuidas seda valemit meeles pidada? Jah, väga lihtne. Kirjutame järgmise konstruktsiooni:

b = b 1 = b log a a

Loomulikult tekivad sel juhul kõik piirangud, mis alguses kirja panime. Ja nüüd kasutame logaritmi põhiomadust ja sisestame teguri b a astmena. Saame:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Selle tulemusena kirjutatakse algne võrrand ümber järgmisel kujul:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

See on kõik. Uus funktsioon ei sisalda enam logaritmi ja seda lahendatakse tavaliste algebraliste tehnikatega.

Muidugi vaidleb nüüd keegi vastu: miks oli üldse vaja välja mõelda mingi kanooniline valem, milleks teha veel kaks mittevajalikku sammu, kui sai kohe algsest konstruktsioonist lõpliku valemi juurde minna? Jah, kasvõi sellepärast, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see valem pärineb, ja seetõttu teevad selle rakendamisel regulaarselt vigu.

Kuid selline kolmest sammust koosnev toimingute jada võimaldab teil lahendada algse logaritmilise võrrandi, isegi kui te ei saa aru, kust see lõplik valem pärineb. Muide, seda kirjet nimetatakse kanooniliseks valemiks:

log a f(x) = log a a b

Kanoonilise vormi mugavus seisneb ka selles, et sellega saab lahendada väga laia klassi logaritmilisi võrrandeid, mitte ainult kõige lihtsamaid, mida me täna kaalume.

Lahendusnäited

Ja nüüd kaalume tõelisi näiteid. Nii et otsustame:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Kirjutame selle ümber nii:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Paljud õpilased kiirustavad ja püüavad kohe tõsta arvu 0,5 võimsusele, mis meile algsest probleemist tuli. Ja tõepoolest, kui olete selliste probleemide lahendamiseks juba hästi koolitatud, saate selle sammu kohe teha.

Kui aga alles hakkate seda teemat uurima, on parem mitte kuhugi kiirustada, et mitte teha solvavaid vigu. Seega on meil kanooniline vorm. Meil on:

3x - 1 = 0,5 -3

See ei ole enam logaritmiline võrrand, vaid lineaarne võrrand muutuja x suhtes. Selle lahendamiseks käsitleme esmalt arvu 0,5 astmeni −3. Pange tähele, et 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Kõik kümnendkohad teisendada normaalseks, kui lahendate logaritmilise võrrandi.

Kirjutame ümber ja saame:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Kõik saime vastuse. Esimene ülesanne on lahendatud.

Teine ülesanne

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Nagu näete, pole see võrrand enam kõige lihtsam. Kasvõi sellepärast, et erinevus on vasakul ja mitte ühtegi logaritmi ühes baasis.

Seetõttu peate sellest erinevusest kuidagi lahti saama. Sel juhul on kõik väga lihtne. Vaatame aluseid lähemalt: vasakul on number juure all:

Üldine soovitus: proovige kõigis logaritmilistes võrrandites vabaneda radikaalidest, st juurtega kirjetest ja liikuge edasi toitefunktsioonid, lihtsalt sellepärast, et nende astmete eksponendid võetakse logaritmi märgist kergesti välja ja lõppkokkuvõttes lihtsustab ja kiirendab selline tähistus arvutusi oluliselt. Kirjutame selle nii:

Nüüd tuletame meelde logaritmi tähelepanuväärset omadust: nii argumendist kui ka alusest saate kraadid välja võtta. Aluste puhul juhtub järgmine:

log a k b = 1/k loga b

Teisisõnu, aluse astmes seisnud arv tuuakse ette ja samal ajal pööratakse ümber, see tähendab, et see muutub arvu pöördarvuks. Meie puhul oli baasaste näitajaga 1/2. Seetõttu võime selle välja võtta kui 2/1. Saame:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Pange tähele: mitte mingil juhul ei tohiks te selles etapis logaritmidest lahti saada. Mõelge tagasi 4.-5. klassi matemaatikale ja tehte järjekorrale: kõigepealt tehakse korrutamine ja alles seejärel liitmine ja lahutamine. Sel juhul lahutame 10 elemendist ühe sama elemendi:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nüüd näeb meie võrrand välja selline, nagu peaks. seda lihtsaim disain ja lahendame selle kanoonilise vormiga:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

See on kõik. Teine probleem on lahendatud.

Kolmas näide

Liigume edasi kolmanda ülesande juurde:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Tuletage meelde järgmine valem:

log b = log 10 b

Kui lg b kirjutamine sind mingil põhjusel segadusse ajab, siis kõiki arvutusi tehes võid lihtsalt kirjutada log 10 b . Kümnendlogaritmidega saate töötada samamoodi nagu teistega: võtke välja astmed, lisage ja esitage mis tahes arv lg 10-na.

Just neid omadusi kasutame nüüd probleemi lahendamiseks, kuna see ei ole kõige lihtsam, mille me tunni alguses kirja panime.

Alustuseks pange tähele, et teguri 2 enne lg 5 saab sisestada ja see muutub aluse 5 astmeks. Lisaks saab vaba liiget 3 esitada ka logaritmina – seda on meie tähistusest väga lihtne jälgida.

Otsustage ise: mis tahes arvu saab esitada logina kuni 10. aluseni:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Kirjutame algse probleemi ümber, võttes arvesse saadud muudatusi:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg

Meie ees on jälle kanooniline vorm ja me saime selle teisenduste etapist mööda minnes, st kõige lihtsamat logaritmilist võrrandit ei tulnud meiega kuskil ette.

Sellest ma juba tunni alguses rääkisin. Kanooniline vorm võimaldab lahendada tavapärasest laiemat ülesannete klassi. kooli valem andnud enamik kooliõpetajaid.

See on kõik, vabaneme kümnendlogaritmi märgist ja saame lihtsa lineaarse konstruktsiooni:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Kõik! Probleem lahendatud.

Märkus ulatuse kohta

Siinkohal tahaksin teha olulise märkuse määratlusvaldkonna kohta. Kindlasti on nüüd õpilasi ja õpetajaid, kes ütlevad: "Kui lahendame avaldisi logaritmidega, tuleb kindlasti meeles pidada, et argument f (x) peab olema suurem kui null!" Sellega seoses tekib loogiline küsimus: miks me ei nõudnud üheski vaadeldavast probleemist selle ebavõrdsuse rahuldamist?

Ära muretse. Sellistel juhtudel ei ilmu lisajuuri. Ja see on veel üks suurepärane nipp, mis võimaldab teil lahendust kiirendada. Lihtsalt teadke, et kui ülesandes esineb muutuja x ainult ühes kohas (õigemini ühe ja ainsa logaritmi ühes ja ainsas argumendis) ja mitte kusagil mujal meie puhul muutujat x ei esine, siis kirjutage domeen pole tarvis sest see töötab automaatselt.

Otsustage ise: esimeses võrrandis saime, et 3x - 1, st argument peaks olema võrdne 8-ga. See tähendab automaatselt, et 3x - 1 on suurem kui null.

Sama edukalt võime kirjutada, et teisel juhul peab x olema võrdne 5 2-ga, st see on kindlasti suurem kui null. Ja kolmandal juhul, kus x + 3 = 25 000, st jällegi ilmselgelt suurem kui null. Teisisõnu, ulatus on automaatne, kuid ainult siis, kui x esineb ainult ühe logaritmi argumendis.

See on kõik, mida peate lihtsate probleemide lahendamiseks teadma. Ainuüksi see reegel koos teisendusreeglitega võimaldab teil lahendada väga laia klassi probleeme.

Kuid olgem ausad: selleks, et lõpuks selle tehnikaga hakkama saada, et õppida kanoonilist vormi rakendama logaritmiline võrrandÜhe videoõpetuse vaatamisest ei piisa. Seetõttu laadige kohe alla iseseisva lahenduse valikud, mis on lisatud sellele videoõpetusele, ja asuge lahendama vähemalt ühte neist kahest iseseisvast tööst.

See võtab vaid mõne minuti. Kuid sellise koolituse mõju on palju suurem võrreldes sellega, kui vaatasite seda videoõpetust.

Loodan, et see õppetund aitab teil logaritmilisi võrrandeid mõista. Rakendage kanoonilist vormi, lihtsustage avaldisi, kasutades logaritmidega töötamise reegleid - ja te ei karda ühtegi ülesannet. Ja see on kõik, mis mul täna on.

Reguleerimisala kaalumine

Nüüd räägime logaritmilise funktsiooni valdkonnast ja sellest, kuidas see mõjutab logaritmiliste võrrandite lahendamist. Mõelge vormi konstruktsioonile

log a f(x) = b

Sellist avaldist nimetatakse kõige lihtsamaks - sellel on ainult üks funktsioon ning arvud a ja b on lihtsalt numbrid ning mitte mingil juhul ei ole funktsioon, mis sõltub muutujast x. See lahendatakse väga lihtsalt. Peate lihtsalt kasutama valemit:

b = log a a b

See valem on logaritmi üks peamisi omadusi ja kui asendada meie algse avaldisega, saame järgmise:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

See on juba kooliõpikutest tuttav valem. Tõenäoliselt tekib paljudel õpilastel küsimus: kuna algses avaldises on funktsioon f ( x ) logimärgi all, on sellele kehtestatud järgmised piirangud:

f(x) > 0

See piirang kehtib, kuna negatiivsete arvude logaritmi ei eksisteeri. Ehk tuleks selle piirangu tõttu kasutusele võtta vastuste kontroll? Võib-olla tuleb need allikas asendada?

Ei, kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites pole lisakontroll vajalik. Ja sellepärast. Vaadake meie lõplikku valemit:

f(x) = a b

Fakt on see, et arv a on igal juhul suurem kui 0 - selle nõude kehtestab ka logaritm. Arv a on alus. Sel juhul arvule b piiranguid ei seata. Kuid see ei oma tähtsust, sest ükskõik mis kraadi me positiivset arvu tõstame, saame väljundis ikkagi positiivse arvu. Seega on nõue f (x) > 0 automaatselt täidetud.

Tõesti tasub kontrollida logi märgi all oleva funktsiooni ulatust. Võib olla üsna keerulisi kujundusi ja nende lahendamise käigus tuleb neid kindlasti järgida. Vaatame.

Esimene ülesanne:

Esimene samm: teisendage parempoolne murd. Saame:

Vabaneme logaritmi märgist ja saame tavalise irratsionaalse võrrandi:

Saadud juurtest sobib meile ainult esimene, kuna teine ​​juur on väiksem kui null. Ainus vastus on number 9. See on kõik, probleem on lahendatud. Täiendavaid kontrolle, et logaritmimärgi all olev avaldis on suurem kui 0, pole vaja, sest see pole lihtsalt suurem kui 0, vaid võrrandi tingimuse järgi on see võrdne 2-ga. Seetõttu on nõue "nullist suurem" automaatselt rahuldatud.

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Siin on kõik endine. Kirjutame konstruktsiooni ümber, asendades kolmiku:

Vabaneme logaritmi märkidest ja saame irratsionaalse võrrandi:

Paneme mõlemad osad ruudukujuliseks, võttes arvesse piiranguid, ja saame:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Lahendame saadud võrrandi diskriminandi kaudu:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

Kuid x = −6 meile ei sobi, sest kui asendame selle arvu oma ebavõrdsusega, saame:

−6 + 4 = −2 < 0

Meie puhul nõutakse, et see oleks suurem kui 0 või äärmuslikel juhtudel võrdne. Kuid x = −1 sobib meile:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainus vastus meie puhul on x = −1. See on kõik lahendus. Läheme tagasi oma arvutuste algusesse.

Selle õppetunni peamine järeldus on see, et funktsiooni piirväärtusi ei ole vaja kontrollida kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites. Kuna lahendamise käigus täidetakse kõik piirangud automaatselt.

Kuid see ei tähenda mingil juhul seda, et võite kinnitamise täielikult unustada. Logaritmilise võrrandi kallal töötades võib see muutuda irratsionaalseks, millel on paremale poolele oma piirangud ja nõuded, mida oleme täna näinud kahes erinevas näites.

Lahendage selliseid probleeme julgelt ja olge eriti ettevaatlik, kui vaidluses on juur.

Logaritmvõrrandid erinevate alustega

Jätkame logaritmiliste võrrandite uurimist ja analüüsime veel kahte üsna huvitavat nippi, millega on moes keerulisemaid struktuure lahendada. Kuid kõigepealt meenutagem, kuidas lahendatakse lihtsamaid ülesandeid:

log a f(x) = b

Selles tähistuses on a ja b lihtsalt arvud ning funktsioonis f (x) peab muutuja x olemas olema ja ainult seal, st x peab olema ainult argumendis. Teisendame sellised logaritmilised võrrandid kanoonilise vormi abil. Selle jaoks märgime, et

b = log a a b

Ja a b on lihtsalt argument. Kirjutame selle avaldise ümber järgmiselt:

log a f(x) = log a a b

See on täpselt see, mida me püüame saavutada, nii et nii vasakul kui ka paremal on logaritm alusele a. Sel juhul võime piltlikult öeldes logi märgid maha kriipsutada ja matemaatika seisukohalt võib öelda, et me lihtsalt võrdsustame argumendid:

f(x) = a b

Selle tulemusena saame uue väljendi, mida saab palju lihtsamalt lahendada. Rakendame seda reeglit oma tänaste ülesannete puhul.

Nii et esimene kujundus:

Kõigepealt märgin, et paremal on murd, mille nimetaja on log. Kui näete sellist väljendit, tasub meeles pidada logaritmide imelist omadust:

Vene keelde tõlgituna tähendab see, et mis tahes logaritmi saab esitada kahe logaritmi jagatisena mis tahes alusega c. Muidugi, 0< с ≠ 1.

Niisiis: sellel valemil on üks imeline erijuhtum, kui muutuja c on võrdne muutujaga b. Sel juhul saame vormi konstruktsiooni:

Just seda konstruktsiooni me oma võrrandis paremal oleva märgi järgi jälgime. Asendame selle konstruktsiooni log a b-ga, saame:

Teisisõnu, võrreldes algse ülesandega oleme argumendi ja logaritmi aluse vahetanud. Selle asemel pidime murdosa ümber pöörama.

Tuletame meelde, et mis tahes kraadi saab baasist välja võtta järgmise reegli järgi:

Teisisõnu, koefitsient k, mis on aluse aste, võetakse välja pööratud murdena. Võtame selle välja pöördmurruna:

Murdutegurit ette jätta ei saa, sest sel juhul ei saa me seda kirjet kanoonilise vormina esitada (kanoonilises vormis pole ju teise logaritmi ees lisategurit). Seetõttu paneme argumendis astmeks murdosa 1/4:

Nüüd võrdsustame argumendid, mille alused on samad (ja meil on tegelikult samad alused), ja kirjutame:

x + 5 = 1

x = −4

See on kõik. Saime vastuse esimesele logaritmilisele võrrandile. Pöörake tähelepanu: algülesandes esineb muutuja x ainult ühes logis ja see on selle argumendis. Seetõttu pole domeeni vaja kontrollida ja meie arv x = −4 on tõepoolest vastus.

Liigume nüüd teise väljendi juurde:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

Siin peame lisaks tavapärastele logaritmidele töötama ka lg f (x) abil. Kuidas sellist võrrandit lahendada? Ettevalmistumata õpilasele võib tunduda, et see on mingi tina, aga tegelikult on kõik elementaarselt lahendatud.

Vaadake tähelepanelikult terminit lg 2 log 2 7. Mida selle kohta öelda? Logi ja lg alused ja argumendid on samad ning see peaks andma vihjeid. Meenutagem veel kord, kuidas logaritmi märgi alt astmeid välja võetakse:

log a b n = n log a b

Teisisõnu, see, mis oli argumendis arvu b võimsus, muutub logi enda ees teguriks. Rakendame seda valemit avaldisele lg 2 log 2 7. Ärge kartke lg 2 - see on kõige levinum väljend. Saate selle ümber kirjutada järgmiselt:

Tema jaoks kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad mis tahes muu logaritmi puhul. Eelkõige saab argumendi jõusse lisada ees oleva teguri. Kirjutame:

Väga sageli õpilased punkti tühjaks seda toimingut ei näe, sest ühte palki pole hea teise sildi all sisestada. Tegelikult pole selles midagi kriminaalset. Lisaks saame valemi, mida on lihtne arvutada, kui mäletate olulist reeglit:

Seda valemit võib pidada nii definitsiooniks kui ka selle üheks omaduseks. Igal juhul, kui teisendate logaritmilise võrrandi, peaksite seda valemit teadma samamoodi nagu mis tahes arvu esitamist logaritmi kujul.

Me pöördume tagasi oma ülesande juurde. Kirjutame selle ümber, võttes arvesse asjaolu, et võrdusmärgist paremal olev esimene liige võrdub lihtsalt lg 7-ga.

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Liigutame lg 7 vasakule, saame:

lg 56 – lg 7 = –3 lg (x + 4)

Lahutame vasakul olevad avaldised, kuna neil on sama alus:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Vaatame nüüd saadud võrrandit lähemalt. See on praktiliselt kanooniline vorm, kuid paremal on tegur −3. Paneme selle õigesse lg-argumendisse:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, seega kriipsutame lg märgid läbi ja võrdsustame argumendid:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

See on kõik! Oleme lahendanud teise logaritmilise võrrandi. Sel juhul pole täiendavaid kontrolle vaja, sest algülesandes esines x ainult ühes argumendis.

Lubage mul korrata selle õppetunni põhipunktid.

Peamine valem, mida uuritakse kõigis selle lehe tundides, mis on pühendatud logaritmiliste võrrandite lahendamisele, on kanooniline vorm. Ja ärge laske end heidutada sellest, et enamikus kooliõpikutes õpetatakse, kuidas selliseid probleeme erinevalt lahendada. See tööriist töötab väga tõhusalt ja võimaldab teil lahendada palju laiemat klassi ülesandeid kui kõige lihtsamad, mida me tunni alguses uurisime.

Lisaks on logaritmiliste võrrandite lahendamisel kasulik teada põhiomadusi. Nimelt:

1. Ühele alusele liikumise valem ja erijuhtum, kui me logi ümber pöörame (see oli meile esimeses ülesandes väga kasulik);
2. Valem võimsuste sisse- ja väljavõtmiseks logaritmi märgi alt. Siin jäävad paljud õpilased jänni ega näe täpipealt, et väljavõetud ja sisse toodud võimsus võib ise sisaldada log f (x). Selles pole midagi halba. Saame tutvustada ühte palki teise märgi järgi ja samal ajal oluliselt lihtsustada ülesande lahendamist, mida me ka teisel juhul jälgime.

Kokkuvõtteks tahaksin lisada, et igal juhul ei ole vaja ulatust kontrollida, sest igal pool on muutuja x ainult ühes logimärgis ja on samal ajal selle argumendis. Selle tulemusena täidetakse kõik domeeni nõuded automaatselt.

Probleemid muutuva baasiga

Täna käsitleme logaritmilisi võrrandeid, mis paljude õpilaste jaoks tunduvad ebastandardsed, kui mitte täiesti lahendamatud. See on umbes mitte arvudel, vaid muutujatel ja isegi funktsioonidel põhinevate avaldiste kohta. Sellised konstruktsioonid lahendame oma standardtehnikas, nimelt kanoonilise vormi kaudu.

Alustuseks tuletagem meelde, kuidas lahendatakse lihtsamaid ülesandeid, mis põhinevad tavalistel numbritel. Niisiis, nimetatakse lihtsaimat konstruktsiooni

log a f(x) = b

Selliste probleemide lahendamiseks saame kasutada järgmist valemit:

b = log a a b

Kirjutame oma algse avaldise ümber ja saame:

log a f(x) = log a a b

Seejärel võrdsustame argumendid, st kirjutame:

f(x) = a b

Seega vabaneme logimärgist ja lahendame tavapärase probleemi. Sel juhul on lahenduses saadud juured algse logaritmilise võrrandi juured. Lisaks nimetatakse kanooniliseks vormiks kirjet, kui nii vasak kui ka parem on samal logaritmil ja sama alusega. Just sellele rekordile püüame vähendada tänaseid ehitusi. Nii et lähme.

Esimene ülesanne:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Asendage 1 logiga x − 2 (x − 2) 1 . Argumendis vaadeldav aste on tegelikult arv b , mis asus võrdusmärgist paremal. Nii et kirjutame oma väljendi ümber. Saame:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mida me näeme? Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, nii et saame argumendid ohutult võrdsustada. Saame:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Kuid lahendus sellega ei lõpe, sest antud võrrand ei ole samaväärne originaaliga. Saadud konstruktsioon koosneb ju funktsioonidest, mis on defineeritud tervel arvureal ning meie algsed logaritmid pole defineeritud igal pool ja mitte alati.

Seetõttu peame määramisvaldkonna eraldi kirja panema. Ärgem olgem targemad ja pange kõigepealt kirja kõik nõuded:

Esiteks peab iga logaritmi argument olema suurem kui 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Teiseks peab alus olema mitte ainult suurem kui 0, vaid ka erinev 1-st:

x - 2 ≠ 1

Selle tulemusena saame süsteemi:

Kuid ärge kartke: logaritmiliste võrrandite töötlemisel saab sellist süsteemi oluliselt lihtsustada.

Otsustage ise: ühelt poolt nõutakse meilt, et ruutfunktsioon oleks suurem kui null, ja teisest küljest võrdsustatakse see ruutfunktsioon teatud lineaaravaldisega, mis on samuti nõutav, et see oleks suurem kui null.

Sel juhul, kui nõuame, et x − 2 > 0, siis on automaatselt täidetud ka nõue 2x 2 − 13x + 18 > 0. Seetõttu võib ruutfunktsiooni sisaldava võrratuse julgelt maha kriipsutada. Seega väheneb meie süsteemis sisalduvate avaldiste arv kolmele.

Muidugi võiksime sama hästi maha kriipsutada lineaarne ebavõrdsus, st kriipsutage x − 2 > 0 läbi ja eeldame, et 2x 2 − 13x + 18 > 0. Kuid peate nõustuma, et lihtsamat lineaarset ebavõrdsust on palju kiirem ja lihtsam lahendada, kui see süsteem saame samad juured.

Üldiselt proovige võimalusel arvutusi optimeerida. Ja logaritmiliste võrrandite puhul kriipsutage läbi kõige raskemad võrratused.

Kirjutame oma süsteemi ümber:

Siin on selline kolme väljendi süsteem, millest kaks oleme tegelikult juba välja mõelnud. Kirjutame ruutvõrrandi eraldi välja ja lahendame selle:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

Meie ees on taandatud ruuttrinoom ja seetõttu saame kasutada Vieta valemeid. Saame:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nüüd, tagasi meie süsteemi juurde, leiame, et x = 2 ei sobi meile, sest meilt nõutakse, et x oleks rangelt suurem kui 2.

Kuid x \u003d 5 sobib meile üsna hästi: arv 5 on suurem kui 2 ja samal ajal ei ole 5 võrdne 3-ga. ainus lahendus selle süsteemi väärtus on x = 5.

Kõik, ülesanne on lahendatud, sealhulgas ODZ-d arvesse võttes. Liigume edasi teise võrrandi juurde. Siin ootame huvitavamaid ja sisukamaid arvutusi:

Esimene samm: nagu ka eelmisel korral, viime kogu selle äri kanoonilisse vormi. Selleks saame kirjutada numbri 9 järgmiselt:

Juurega alust ei saa puudutada, kuid argumenti on parem teisendada. Liigume ratsionaalse astendajaga juurest astmele. Kirjutame:

Lubage mul mitte kogu meie suurt logaritmilist võrrandit ümber kirjutada, vaid võrdsustada kohe argumendid:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Enne meid on taas taandatud ruuttrinoom, kasutame Vieta valemeid ja kirjutame:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Niisiis, saime juured, kuid keegi ei garanteerinud meile, et need sobiksid algse logaritmilise võrrandiga. Logimärgid seavad ju lisapiirangud (siinkohal peaksime süsteemi üles kirjutama, aga kogu konstruktsiooni kohmakuse tõttu otsustasin defineerimispiirkonna eraldi välja arvutada).

Kõigepealt pidage meeles, et argumendid peavad olema suuremad kui 0, nimelt:

Need on määratlusvaldkonna nõuded.

Märgime kohe, et kuna me võrdsustame süsteemi kaks esimest avaldist üksteisega, võime neist ühe läbi kriipsutada. Tõmmake esimene läbi, sest see näeb välja ähvardavam kui teine.

Lisaks pange tähele, et teise ja kolmanda võrratuse lahendid on samad hulgad (mõne arvu kuup on suurem kui null, kui see arv ise on suurem kui null; sarnaselt kolmanda astme juurega - need võrratused on täiesti sarnased, nii et ühe neist võime maha kriipsutada).

Kuid kolmanda ebavõrdsusega see ei tööta. Vabaneme vasakpoolsest radikaali märgist, mille jaoks tõstame mõlemad osad kuubikuks. Saame:

Seega saame järgmised nõuded:

−2 ≠ x > −3

Milline meie juurtest: x 1 = -3 või x 2 = -1 vastab nendele nõuetele? Ilmselgelt ainult x = −1, sest x = −3 ei rahulda esimest võrratust (kuna meie ebavõrdsus on range). Kokkuvõttes, naastes meie probleemi juurde, saame ühe juure: x = −1. See on kõik, probleem lahendatud.

Veelkord selle ülesande põhipunktid:

1. Rakendage ja lahendage kanoonilise vormi abil logaritmilisi võrrandeid. Õpilased, kes teevad sellise kirje ja ei lähe algülesande juurest otse konstruktsiooni juurde nagu log a f ( x ) = b , teevad palju vähem vigu kui need, kes kuhugi kiirustavad, jättes arvutuste vaheetapid vahele;
2. Niipea, kui logaritmis ilmub muutuv alus, lakkab probleem olemast kõige lihtsam. Seetõttu on selle lahendamisel vaja arvestada definitsioonipiirkonnaga: argumendid peavad olema suuremad kui null ja alused ei tohi olla mitte ainult suuremad kui 0, vaid need ei tohi olla ka võrdsed 1-ga.

Viimaseid nõudeid saab lõplikele vastustele esitada erineval viisil. Näiteks on võimalik lahendada terve süsteem, mis sisaldab kõiki domeeninõudeid. Teisest küljest saate esmalt lahendada probleemi enda ja seejärel meeles pidada definitsioonivaldkonda, töötada see süsteemi kujul eraldi välja ja rakendada saadud juurtele.

Milline viis konkreetse logaritmilise võrrandi lahendamisel valida, on teie otsustada. Igal juhul on vastus sama.

Ühiskonna arenedes arenes tootmise keerukus, arenes ka matemaatika. Liikumine lihtsast keerukani. Tavapärasest liitmise ja lahutamise arvestusmeetodist jõuti nende korduva kordamisega korrutamise ja jagamise mõisteni. Korrutatava operatsiooni vähendamisest sai astendamise mõiste. Esimesed tabelid arvude sõltuvuse baasist ja astenduse arvust koostas juba 8. sajandil India matemaatik Varasena. Nende põhjal saate lugeda logaritmide esinemise aega.

Ajalooline ülevaade

Euroopa taaselustamine 16. sajandil ergutas ka mehaanika arengut. T nõudis palju arvutusi seotud mitmekohaliste arvude korrutamise ja jagamisega. Iidsed lauad tegid suurepärast teenindust. Nad lubasid asendada keerulised toimingud lihtsamatele - liitmine ja lahutamine. Suur samm edasi oli matemaatik Michael Stiefeli 1544. aastal avaldatud töö, milles ta realiseeris paljude matemaatikute idee. See võimaldas kasutada tabeleid mitte ainult kraadide jaoks algarvude kujul, vaid ka suvaliste ratsionaalsete arvude jaoks.

1614. aastal võttis šotlane John Napier neid ideid arendades esmakordselt kasutusele uue mõiste "arvu logaritm". Uus keerulised tabelid siinuste ja koosinuste logaritmide, samuti puutujate arvutamiseks. See vähendas oluliselt astronoomide tööd.

Ilmuma hakkasid uued tabelid, mida teadlased kasutasid edukalt kolm sajandit. Möödus palju aega, enne kui algebra uus tehe sai valmis vormi. Määrati logaritm ja uuriti selle omadusi.

Alles 20. sajandil, kalkulaatori ja arvuti tulekuga, hülgas inimkond iidsed tabelid, mis olid edukalt töötanud läbi 13. sajandi.

Tänapäeval kutsume b logaritmi a aluseks arvuks x, mis on arvu a astmeks, et saada arv b. See on kirjutatud valemina: x = log a(b).

Näiteks log 3(9) võrdub 2-ga. See on ilmne, kui järgite definitsiooni. Kui tõstame 3 astmeni 2, saame 9.

Seega seab sõnastatud definitsioon ainult ühe piirangu, arvud a ja b peavad olema reaalsed.

Logaritmide sordid

Klassikalist definitsiooni nimetatakse reaallogaritmiks ja see on tegelikult võrrandi a x = b lahendus. Valik a = 1 on piiripealne ja ei paku huvi. Märkus: 1 iga astme kohta on 1.

Logaritmi tegelik väärtus määratletakse ainult siis, kui alus ja argument on suuremad kui 0 ja alus ei tohi olla võrdne 1-ga.

Eriline koht matemaatika valdkonnas mängi logaritme, mida nimetatakse sõltuvalt nende baasi väärtusest:

Reeglid ja piirangud

Logaritmide põhiomadus on reegel: korrutise logaritm võrdub logaritmilise summaga. log abp = log a(b) + log a(p).

Selle väite variandina on see: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), jagatisfunktsioon võrdub funktsioonide erinevusega.

Kahest eelmisest reeglist on hästi näha, et: log a(b p) = p * log a(b).

Muud omadused hõlmavad järgmist:

kommenteerida. Ärge tehke levinud viga - summa logaritm ei ole on võrdne summaga logaritmid.

Paljude sajandite jooksul oli logaritmi leidmine üsna aeganõudev ülesanne. Matemaatikud kasutasid polünoomiks laienemise logaritmilise teooria üldtuntud valemit:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kus n on naturaalarv, mis on suurem kui 1, mis määrab arvutuse täpsuse.

Teiste alustega logaritmid arvutati, kasutades teoreemi ühelt aluselt teisele ülemineku kohta ja korrutise logaritmi omadust.

Kuna see meetod on väga töömahukas ja praktiliste probleemide lahendamisel raske rakendada, kasutasid nad eelnevalt koostatud logaritmide tabeleid, mis kiirendasid oluliselt kogu tööd.

Mõnel juhul kasutati spetsiaalselt koostatud logaritmide graafikuid, mis andsid vähem täpsust, kuid kiirendasid oluliselt otsingut. soovitud väärtus. Funktsiooni y = log a(x) kõver, mis on üles ehitatud mitmele punktile, võimaldab kasutada tavalist joonlauda funktsiooni väärtuste leidmiseks mis tahes muus punktis. Insenerid kaua aega nendel eesmärkidel kasutati nn millimeetripaberit.

17. sajandil ilmusid esimesed analoogarvutuse abitingimused, milleks XIX sajandil omandas viimistletud välimuse. Kõige edukamat seadet nimetati slaidireegliks. Vaatamata seadme lihtsusele kiirendas selle välimus oluliselt kõigi inseneriarvutuste protsessi ja seda on raske üle hinnata. Praegu on selle seadmega tuttavad vähesed.

Kalkulaatorite ja arvutite tulek muutis muude seadmete kasutamise mõttetuks.

Võrrandid ja võrratused

Erinevate võrrandite ja võrratuste lahendamiseks logaritmide abil kasutatakse järgmisi valemeid:

• Üleminek ühelt baasilt teisele: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Eelmise versiooni tulemusena: log a(b) = 1 / log b(a).

Ebavõrdsuse lahendamiseks on kasulik teada:

• Logaritmi väärtus on positiivne ainult siis, kui alus ja argument on mõlemad suuremad kui või vähem kui üks; kui vähemalt üks tingimus on rikutud, on logaritmi väärtus negatiivne.
• Kui logaritmifunktsiooni rakendatakse võrratuse paremale ja vasakule poolele ning logaritmi alus on suurem kui üks, siis ebavõrdsuse märk säilib; muidu see muutub.

Ülesannete näited

Mõelge logaritmide ja nende omaduste kasutamiseks mitmele võimalusele. Näited võrrandite lahendamiseks:

Kaaluge võimalust paigutada logaritm kraadidesse:

• Ülesanne 3. Arvuta 25^log 5(3). Lahendus: ülesande tingimustes on tähistus sarnane järgmisele (5^2)^log5(3) või 5^(2 * log 5(3)). Kirjutame teisiti: 5^log 5(3*2) ehk numbri ruudu funktsiooni argumendina saab kirjutada funktsiooni enda ruuduks (5^log 5(3))^2. Kasutades logaritmide omadusi, on see avaldis 3^2. Vastus: arvutuse tulemusena saame 9.

Praktiline kasutamine

Kuna tegemist on puhtalt matemaatilise tööriistaga, tundub see kaugel päris elu et logaritm äkki omandas suur tähtsus objektide kirjeldamiseks päris maailm. Raske on leida teadust, kus seda ei kasutataks. See kehtib täielikult mitte ainult looduslike, vaid ka humanitaarvaldkonnad teadmisi.

Logaritmilised sõltuvused

Siin on mõned numbriliste sõltuvuste näited:

Mehaanika ja füüsika

Ajalooliselt on mehaanika ja füüsika alati arenenud kasutades matemaatilised meetodid teadusuuringuid ja oli samal ajal stiimuliks matemaatika, sealhulgas logaritmide arendamiseks. Enamiku füüsikaseaduste teooria on kirjutatud matemaatika keeles. Toome ainult kaks näidet füüsikaliste seaduste kirjeldamiseks logaritmi abil.

Sellise keerulise suuruse nagu raketi kiiruse arvutamise probleem on võimalik lahendada Tsiolkovski valemi abil, mis pani aluse kosmoseuuringute teooriale:

V = I * ln(M1/M2), kus

• V on lennuki lõppkiirus.
• Mina olen mootori spetsiifiline impulss.
• M 1 on raketi algmass.
• M 2 - lõppmass.

Teine oluline näide - seda kasutab teise suure teadlase Max Plancki valemis, mis aitab hinnata termodünaamika tasakaaluolekut.

S = k * ln (Ω), kus

• S on termodünaamiline omadus.
• k on Boltzmanni konstant.
• Ω on erinevate olekute statistiline kaal.

Keemia

Vähem ilmne oleks logaritmide suhet sisaldavate valemite kasutamine keemias. Siin on vaid kaks näidet.

• Nernsti võrrand, keskkonna redokspotentsiaali tingimus ainete aktiivsuse ja tasakaalukonstandi suhtes.
• Selliste konstantide, nagu autoprolüüsi indeks ja lahuse happesus, arvutamine ei ole samuti täielik ilma meie funktsioonita.

Psühholoogia ja bioloogia

Ja see on täiesti arusaamatu, mis psühholoogial sellega pistmist on. Selgub, et aistingu tugevust kirjeldab see funktsioon hästi kui stiimuli intensiivsuse pöördsuhet. madalam väärtus intensiivsusega.

Pärast ülaltoodud näiteid pole enam üllatav, et logaritmide temaatika on laialt kasutusel ka bioloogias. Pro bioloogilised vormid, mis vastab logaritmilistele spiraalidele, saate kirjutada terveid köiteid.

Muud alad

Tundub, et ilma selle funktsiooniga ühenduseta on maailma olemasolu võimatu ja see reguleerib kõiki seadusi. Eriti kui loodusseadused on seotud geomeetrilise progressiooniga. Tasub viidata MatProfi kodulehele ja selliseid näiteid on palju järgmistes tegevusvaldkondades:

Nimekiri võiks olla lõputu. Olles omandanud selle funktsiooni põhiseadused, võite sukelduda lõpmatu tarkuse maailma.

(kreeka keelest λόγος - "sõna", "seos" ja ἀριθμός - "arv") b põhjusega a(log α b) nimetatakse selliseks numbriks c, ja b= a c, see tähendab log α b=c ja b=ac on samaväärsed. Logaritm on mõttekas, kui a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Teisisõnu logaritm numbrid b põhjusega a sõnastatud astendajana, milleni tuleb arv tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).

Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x= log α b, võrdub võrrandi a x =b lahendamisega.

Näiteks:

log 2 8 = 3, sest 8 = 2 3 .

Märgime, et näidatud logaritmi sõnastus võimaldab kohe määrata logaritmi väärtus kui logaritmi märgi all olev arv on aluse teatud aste. Tõepoolest, logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhjusega a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmi teema on teemaga tihedalt seotud arvu aste.

Viidatakse logaritmi arvutamisele logaritm. Logaritm on matemaatiline tehe logaritmi võtmine. Logaritmi võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liikmete summadeks.

Potentsieerimine on logaritmile pöördvõrdeline matemaatiline tehe. Potentsieerimisel tõstetakse antud alus avaldise astmeni, millel potentseerimine sooritatakse. Sel juhul muudetakse terminite summad tegurite korrutiseks.

Üsna sageli kasutatakse reaallogaritme alustega 2 (binaarne), e Euleri arv e ≈ 2,718 (looduslik logaritm) ja 10 (kümnend).

Selles etapis tasub seda kaaluda logaritmide näidised logi 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Ja kirjetel lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 pole mõtet, kuna esimeses neist on logaritmi märgi alla paigutatud negatiivne arv, teises - negatiivne arv alus ja kolmandas - negatiivne arv aluse logaritmi ja ühiku märgi all.

Logaritmi määramise tingimused.

Eraldi tasub kaaluda tingimusi a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritmi määratlus. Mõelgem, miks need piirangud kasutusele võetakse. See aitab meil saavutada võrdsust kujul x = log α b, mida nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks, mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.

Võtke tingimus a≠1. Kuna üks on võrdne ühega mis tahes astmega, siis võrdus x=log α b saab eksisteerida ainult siis, kui b = 1, kuid log 1 1 on mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks võtame a≠1.

Tõestame tingimuse vajalikkust a>0. Kell a=0 logaritmi sõnastuse järgi saab eksisteerida ainult siis, kui b = 0. Ja siis vastavalt logi 0 0 võib olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erinev aste on null. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks tingimus a≠0. Ja millal a<0 me peaksime tagasi lükkama logaritmi ratsionaalsete ja irratsionaalsete väärtuste analüüsi, kuna ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga eksponent on määratletud ainult mittenegatiivsete aluste jaoks. Just sel põhjusel on tingimus a>0.

Ja viimane tingimus b>0 tuleneb ebavõrdsusest a>0, kuna x = log α b, ja positiivse baasiga kraadi väärtus a alati positiivne.

Logaritmide omadused.

Logaritmid iseloomustab eristav Funktsioonid, mis viis nende laialdase kasutamiseni, et hõlbustada märkimisväärselt hoolikaid arvutusi. Üleminekul "logaritmide maailma" muudetakse korrutamine palju lihtsamaks liitmiseks, jagamine lahutamiseks ning astmeni tõstmine ja juure võtmine vastavalt astendajaga korrutamiseks ja jagamiseks.

Logaritmide sõnastus ja nende väärtuste tabel (ehk trigonomeetrilised funktsioonid) avaldas esmakordselt 1614. aastal Šoti matemaatik John Napier. Teiste teadlaste poolt suurendatud ja üksikasjalikult kirjeldatud logaritmilisi tabeleid kasutati laialdaselt teaduslikes ja tehnilistes arvutustes ning need jäid oluliseks seni, kuni hakati kasutama elektroonilisi kalkulaatoreid ja arvuteid.