Näited on ühe väärtusega analüütiliste funktsioonide ainsuspunktid. Eraldatud ainsuse punktid, nende klassifikatsioon. Jäägid ja nende arvutamise valemid

Lase zq - funktsiooni f(z) singulaarpunkt, t.s. f(z) kuid on siinkohal analüütiline (eelkõige ei pruugi seda määratleda). Kui selline punkti naabruskond on olemas zq (st hulk O z - zq f(z) on siis aliatic zo helistas isoleeritud ainsuse punkt funktsioonid f(z). See määratlus säilib ka kohtuasjas zn = oo, kui jood on punkti torgatud ümbrus zq = oo komplektist aru saada z > ma - mingi ringi ilmumine, mille keskpunkt on alguspunktis. Teisisõnu, ainsuse punkt zq öeldakse olevat isoleeritud, kui selle punkti naabruses on teisi ainsuse punkte, mis erinevad punktist zq. Kõikjal allpool käsitleme ainult ühe väärtusega tähemärgi ainsuse punkte (funktsioon f(z) eeldatakse olevat ainulaadne).

Olenevalt funktsiooni käitumisest f(z) juures z -> zq Ainsuse punkte on kolme tüüpi. Eraldatud ainsuse punkt zq funktsioonid f(z) kutsus:

1) eemaldatav ainsuse punkt kui on piiratud piir

2) poolus kui on piir

3) oluline punkt, kui f(z) ei oma lõplikku ega lõpmatut piiri z-> zq.

NÄIDE 26.1. Näitame, et kõik kolm ainsuse punkti tüüpi on realiseeritud. Kaaluge f(z)= punkt zq = 0 on isoleeritud

selle funktsiooni ainsuse punkt. Valemi (22.12) abil saame laienduse

millest järeldub, et eksisteerib lim fi(z)= 1. Seega zq = 0 on

on funktsiooni eemaldatav ainsuse punkt fi(z).

Funktsioon f'j(z) =--- on punktis poolus zo= 1, sest

2 r"X

Mõelge nüüd funktsioonile )z(z)= e 1 ^ r ja näita seda zo = O on selle funktsiooni oluline ainsuse punkt. Kui pingutada z nulli piki reaaltelge, funktsiooni f vasak ja parem piir (z) erinev: lim Koos 1 / 1 = 0,lim 1 /* = os. See tähendab,

x->0-0 x->0+0

mida f:i(z) ei oma 2 jaoks lõplikku ega lõpmatut piiri -> Oh, st. zq = 0 on selle funktsiooni sisuliselt ainsuse punkt. (Pange tähele, et nagu asi kipub z-iy kujuteldava telje funktsiooni nullini

sellel pole üldse piirangut.)

Muidugi on ka eraldamata ainsuse punkte. Näiteks. funktsioonil on punktides poolused z n = -, P= ±1, ±2,...

Järelikult Zq = 0 on selle funktsiooni isoleerimata ainsuse punkt: selle punkti mis tahes (suvaliselt väikeses) ümbruses on ka teisi ainsuse punkte g lk.

Lase zo- funktsiooni lõplik isoleeritud ainsuse punkt f(z). Siis f(z) on sarnane mõnes torgatud naabruses 0 punkti zo zo seda naabrust võib vaadelda kui rõngast siseraadiusega r = 0. Teoreemi 25.1 kohaselt on vaadeldavas naabruses funktsioon f(z) saab laiendada Laurent'i seeriasse (25.2). Näitame, et funktsiooni käitumine 2 jaoks -> zq (st ainsuse punkti tüüp zo) oleneb lagunemise põhiosa vormist (25.2); see asjaolu selgitab mõiste "põhiosa" päritolu.

TEOREEM 2G.2. Funktsiooni f(z) isoleeritud ainsuse punkt zo on eemaldatav siis ja ainult siis, kui Lorapi laiendusel selle punkti punkteeritud ümbruses on oid

need. koosneb ainult õigest osast, ja kõik põhiosa koefitsiendid on võrdsed kuuliga.

Tõestus. 1. Lase zo on eemaldatav ainsuse punkt. Tõestame, et funktsiooni Laurent'i laiendus f(z) on kujul (26.1). Alates ainsuse punktist zo eemaldatav, siis on olemas piiratud limiit f(z) = A. Järelikult f(z) piiritletud punkti mõnes torgatud naabruses 0 z - zq zo, need. )(z) kõigile z sellest naabruskonnast. Võtke ükskõik milline R. U р /?| ja kasutage Laurent'i seeria koefitsientide jaoks valemeid (25.3):

Laienduse põhiosa koefitsientide jaoks n =- 1,-2,... Selliste väärtuste jaoks P meil on p~n-e 0 kl R-> 0. Alates väärtusest R saab siis suvaliselt väikeseks valida härra ~" võib olla suvaliselt väike. Kuna |c t,| ^ Mr~n ja cn ei sõltu p-st, siis cn = 0 ja= - 1, -2,..., mida tuli tõestada.

2. Oletame nüüd, et Laurent'i laiendil on vorm (26.1). Seeria (26.1) on võimsusseeria ja. seetõttu koondub mitte ainult torgatud, vaid ka kogu naabruskond z-zq sealhulgas punkt zo; selle summa S(z) on analüütiline z ja S(z) = )(z) 0 z juures - zo R. Seetõttu on olemas piiratud limiit )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Seetõttu on ainsuse punkt zq

Z->Zo Z-*Zo

ühekordselt kasutatavad. Teoreem on tõestatud.

kommenteerida. Teoreemi tõestusest järeldub, et eemaldatava ainsuse punkti punkteeritud ümbruses 0 z - zo on funktsioon f(z)ühtib funktsiooniga S(r), mis on analüütiline kogu naabruses z - zo . Seega, kui paneme /(th) = S(zq), siis funktsiooni väärtusi muutmata f(z) mis tahes punktis punkteeritud naabruskonnas muudame selle funktsiooni r-is analüütiliseks, st. funktsiooni "eemaldada". See seletab mõistet "eemaldatav singulaarsus". On loomulik, et selliseid punkte käsitletakse funktsiooni regulaarsete, mitte ainsuse punktidena f(z).

Mõelge näiteks funktsioonile

Näites 26.1 näidati, et Pm (n) = 1. st. ainsuse punkt

zq = 0 on eemaldatav. Seadistades /i(0) = 1, kõrvaldame seeläbi singulaarsuse ja saame funktsiooni, mis on punktis analüütiline zq = 0 (ja kogu tasapinnal C).

Iseloomustame nüüd pooluseid Laurent'i laienduste järgi.

Teoreem 26.3. Funktsiooni f(z) isoleeritud ainsuse punkt Zo on poolus siis ja ainult siis, kui Laurent'i laienduse põhiosal keskpunktiga Zq on ainult piiratud arv eristatavaid

nullkoefitsiendist n-ga:

Tõestus. 1. Lase zq - poolus, st. lim /( z) = oo.

Tõestame, et funktsiooni Laurent'i laiendus f(z) on kujul (2G.2). Kuna lim f(z)= oo. siis eksisteerib punkti torgatud naabruskond

ki zq. kus f(z) on analüütiline ja sellel puuduvad nullid. Siis funktsioon g(z) = 1 /f(z) on ka selles torgatud piirkonnas analüütiline ja lim g(z)= 0. Seetõttu Zo on ühekordne *-? *0

funktsiooni ainsuse punkt g(z). Defineerime uuesti g(z) punktis zo, pannes g(zo)= 0. Siis g(z) muutub analüütiliseks kogu (mitte torgatud) punkti naabruses z 0, ja z0 on selle isoleeritud null. Tähistage N selle nulli kordsus (järk). Nagu näidatud §23, punkti naabruses zq funktsioon g(z) kujutatav kujul (vt (23.2))

ja (z$) f 0 ja y>(z) on punkti mõnes naabruses analüütiline zo- Sest ip(z) punktis pidev zo ja g> (zo) F 0" siis ip(z) ka selle punkti mõnes naabruses ei ole nulle. Seetõttu funktsioon 1 /-p(z) on ka selles naabruskonnas analüütiline ja seetõttu laieneb see Taylori seerias:

Sulgude avamisel ja koefitsientide tähistuste muutmisel kirjutame vormile viimase laienduse

kus c_jv = 1>o f 0. Seega sisaldab f(r) Laurent'i laienduse põhiosa ainult lõplikku arvu termineid; oleme jõudnud nõutava võrdsuseni (26.2).

2. Laske sisse punkti torgatud ümbrus th funktsiooni )(z) on esindatud Laurent'i laiendiga (26.2) (laiendatud kujul, vt (26.3)), mille põhiosa sisaldab vaid lõplikku arvu termineid ja Koos- d" f 0. Peame seda tõestama Zq - funktsioonipoolus f(z). Võrdsuse (26,3) korrutamine (G - G o) iV , saame funktsiooni

Jada punktis (26.4) on astmerida, mis läheneb analüütilisele funktsioonile mitte ainult punkteeritud, vaid ka kogu punkti ümbruses Zq. Seetõttu funktsioon h(z) muutub selles naabruses analüütiliseks, kui laiendame seda seadistuse abil th-s h(zo)= s_dg f 0. Siis

Seega on punkt o poolus ja teoreem 26.3 on tõestatud.

Nullfunktsiooni kordsus (järk). g(z)= 1//(r) kutsutakse poolusjärjestus funktsioon /(r). Kui a N- pooluse järjekord on siis th g(z)= (r - Zo)N ip(z), ja mine) F 0 ja nagu on näidatud teoreemi 26.3 tõestuse esimeses osas, on f(r) laiendus kujul (26.3), kus c_/v f 0. Ja vastupidi, kui f(r) laieneb jada (26.3) ja e-z F 0 siis

t.s. N- funktsiooni f(r) pooluse järjekord. Sellel viisil, funktsiooni zq pooluse järjekord/(G) on võrdne Laurent'i laienduse põhiosa juhtiva nullist erineva koefitsiendi arvuga punkti zq punkteeritud ümbruses(st võrdne sellise arvuga N, mida s_dg f 0 ja sp= 0 at P > N).

Tõestame järgmist väidet, mis on rakenduste jaoks mugav.

Järeldus 26.4. Punkt zq on väljamõeldise N järku poolus/(G) kui ja ainult kui/(G) esindavad kujul

kus h(z) on analüütiline funktsioon punkti läheduses th ja h(zo) f 0.

Tõestus. Funktsioon cp(z) = l/h(z) on punkti r mõnes naabruses analüütiline. Järeldus 26.4 on samaväärne järgmisega:

Sellepärast zq - kordsus null N funktsioonid g(z). ja siit ka paljususpoolus N funktsioonid /(2).

II näide 26.5. Leia funktsiooni isoleeritud ainsuse punktid ja määrake nende tüüp.

D e u c io n Punktid, kus (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Kui z 2 L- 1 = 0, siis 2 = ±r kui (z 4- H) 2 = 0, siis z= -3. Seetõttu on funktsioonil kolm ainsuse punkti z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Kaaluge z:

G - esimest järku poolus (kasutasime Corollary 26.4). Samamoodi saab tõestada, et 22 = -i ka esimest järku post. 2h on meil:

Liigume sisuliselt ainsuse punktide käsitlemise juurde.

Teoreem 26.6. Funktsiooni f(z) isoleeritud ainsuse punkt zq on sisuliselt ainsus siis ja ainult siis, kui Laurent'i laienduse põhiosal, mille keskpunkt on zq, on lõpmata palju erinevaid. null, koefitsiendid p.

Tõestus. Lause 26.6 tuleneb otseselt teoreemidest 26.2 ja 26.3. Tõepoolest, kui punkt zq on sisuliselt ainsus, siis ei saa Laurent'i laienduse põhiosa puududa ega sisaldada lõplikku arvu termineid (muidu punkt Zq on kas eemaldatav või poolus). Seetõttu peab põhiosas olevate terminite arv olema lõpmatu.

Ja vastupidi, kui põhiosa sisaldab lõpmatult palju liikmeid, siis Zq ei saa olla ei eemaldatav punkt ega poolus. Järelikult on see punkt sisuliselt ainsuses.

Definitsiooni järgi iseloomustab sisuliselt ainsuse punkti see, et funktsioonil f(2) ei ole lõplikku ega lõpmatut piiri z ->zq. Täielikuma ettekujutuse sellest, kui ebaregulaarne on funktsiooni käitumine sisuliselt ainsuse punkti läheduses, annab järgmine teoreem.

Teoreem 26.7 (Sochocki teoreem). Kui zq on sisuliselt ainsus, siis funktsiooni f(z), siis mis tahes kompleksarvu jaoks L, sealhulgas A = oo, on punktide jada z n nii, et z n -> zo ja lim f(zn) = AGA.

n->os

Tõestus. Mõelge esmalt juhtumile A = oo. Teoreemi 2G.2 tõestuse esimeses osas tegime kindlaks, et kui f(z) on piiratud punkti r0 mingis punkteeritud ümbruses, siis kõik koefitsiendid c, n = - Põhiosa 1, - 2,... on võrdsed nulliga (ja järelikult on singulaarsus th-s eemaldatav). Kuna eeldusel, et r0 on sisuliselt ainsuspunkt, on funktsioon f(r) punkti r0 punkteeritud naabruses piiramatu. Võtame mõne kitsa naabruskonna 0 Z nii, et f(zi) > 1 (kui |/(r)| z - zo R/2 on punkt z-2 , kus |/(dd)| > 2 jne: torgatud naabruses O 71. On ilmne, et rn -e go ja lim /(r«) = oo. Seega juhul A = oo, teoreem 26.7

tõestatud.

Lase nüüd A f oo. Oletame esmalt, et seal on torgatud naabruskond 0

= -yy---- on selles torgatud piirkonnas analüütiline ja sellest tulenevalt

/(G) - AGA

järelikult on r funktsiooni Φ(r) isoleeritud ainsuse punkt. Näitame. et r0 on Φ(r) sisuliselt ainsuse punkt. Las see olla vale. Siis on olemas piir lim Φ(r), kas lõplik või lõpmatu. Sest

/(r) = A + , siis on olemas ka Hsh /(r), mis on tingimusega vastuolus

F(g) ~ :-*z 0

vaade teoreemile. Seega on r0 funktsiooni Φ(r) sisuliselt ainsuspunkt. Eespool tõestatu kohaselt on punktide jada r n selline, et r n o ja lim Φ(r n) = oo. Siit

Oleme tõestanud nõutud väite eeldusel, et f(r) F A mõnes punkti r torgatud naabruses Oletame nüüd, et see ei vasta tõele, s.t. punkti th suvaliselt väikeses torgatud naabruses on selline punkt G", et f(r") = A. Siis mis tahes P punkteeritud ümbruses 0 f(z u) = L. Seega on nõutav väide tõene P-juu

kõikidel juhtudel ja teoreem 26.7 on tõestatud.

Vastavalt (Sokhotski) teoreemile 26.7 võtab funktsioon f(r) sisuliselt ainsuse punkti mis tahes (meelevaldselt väikeses) torgatud piirkonnas väärtusi, mis on suvaliselt lähedased mis tahes arvule laiendatud komplekstasandil C.

Eraldatud ainsuse punktide uurimiseks on sageli kasulikud põhiliste elementaarfunktsioonide üldtuntud Taylori laiendused.

NÄIDE 2G.8. Määrake funktsiooni ainsuse punkti tüüp zq = 0

Lahendatud ja e. Laiendame lugejat ja nimetajat Taylori seerias r astmetes. Asendame (22.11) 3 z r asemel ja lahutada 1, saame

Kasutades (22.12) saame nimetaja laienduse:

Nende laienduste seeriad koonduvad kogu komplekstasandil €. Meil on

ja /2(2) on analoogsed punkti läheduses zo = 0 (ja isegi terves tasapinnas) ja /2(20) F 0 siis h(z) on ka analüütiline mõnes punkti gF 0 läheduses. Järeldus 26.4 kohaselt on punkt Zo = 0 on järjekorra poolus N = 4.

II näide 26.9. Funktsiooni ainsuse punktide leidmine f(z)= sin j - ja määrake nende tüüp.

P e in e ja e. Funktsioonil on üks ainsuse lõpppunkt zq = 1. Teistes punktides C, funktsioon w =--- analüütiline; siit ka patufunktsioon w saab olema analüütiline.

Siinuse (22.12) laienduses asendamine - r asemel saame

Saime patufunktsiooni laienduse Laurent'i seerias punkti 20 = 1 punkteeritud ümbruses. Kuna saadud laiendus sisaldab lõpmatult palju negatiivsete võimsustega (r - 1) liikmeid, siis zq = 1 on oluline ainsuse punkt (sel juhul koosneb Laurent'i laiend ainult põhiosast ja õige osa puudub).

Pange tähele, et sel juhul oli singulaarsuse olemust võimalik tuvastada ka otse definitsioonist, kasutamata seeria laiendamist. Tõepoolest, on jadasid (r") ja (2"), mis koonduvad zo= 1 ja selline f(z"n)= 1, /(2") = 0 (määrake sellised jadad ise). f(z) pole piirangut millal z -> 1 ja siit ka punkt zq - 1 on sisuliselt ainsus.

Tutvustame funktsiooni Laurent'i laienduse mõistet punkti läheduses Zq = 00 ja kaaluge siinkohal seost laienemise ja singulaarsuse olemuse vahel. Pange tähele, et isoleeritud ainsuse punkti ja selle tüübi (eemaldatav, poolus või sisuliselt ainsus) määratlused kanduvad üle juhtumile zq = oc muutmata. Kuid teoreemid 26.2. Laurenti laienduste olemusega seotud 26.3 ja 26.6 tuleb muuta. Asi on selles, et liikmed c n (z - 2o) lk. P= -1,-2,..., põhiosa, mis määrab funktsiooni "ebakorrapärasuse" lõpp-punkti lähedal Zq, kuna 2 kipub olema oo, käituvad nad "õigesti" (kalduvad 0-le). Vastupidi, tavalise osa liikmed koos P= 1,2,... kipub oo; need määravad singulaarsuse olemuse in Zq = oo. Seetõttu moodustavad oo naabruses toimuva laienemise põhiosa positiivsete jõududega terminid P, ja õige - negatiivsega.

Tutvustame uut muutujat w = 12. Funktsioon tv= 1/2, laiendatud nii, et u(oo) = 0, üks-ühele ja kaardistab naabruskonna konformselt z > R punktid zq = 00 |w| läheduses wq = 0. Kui funktsioon f(z) analüütika torgatud naabruskonnas R z Zq = oc, siis funktsioon G(w) = f(l/w) on kollases naabruses analüütiline 0 wo = 0. Kuna 2 -> oo korral on w-> 0 siis

Sellepärast G(w) on punktis wq = 0 on singulaarsus, mis on sama tüüpi kui f(z) punktis Zq = 00. Laiendame funktsiooni G(w) Laurent'i seerias punkti wo = 0 punkteeritud ümbruses:

(26.5) paremal pool olevad summad tähistavad vastavalt laienduse õiget ja põhiosa. Liigume edasi muutuja juurde z, asendamine w = 1/z:

tähistades P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ "\u003d koos p ja seda märgates G(l/z) = f(z), saame

Lagunemist (2G.G) nimetatakse Funktsiooni f(z) Laurent'i laiendus punkti zq punkteeritud ümbruses= oo. Esimest summat (2G.6) nimetatakse parem osa, ja teine ​​summa on põhiosa see lagunemine. Kuna need summad vastavad laienduse (26.5) õigetele ja põhiosadele, rahuldab laiendus (26.6) teoreemide 26.2, 26.3 ja 26.6 analooge. Seega on järgnev teoreem teoreemi 26.2 analoog.

Teoreem 26.10. Eraldatud ainsuse punktZq - os (funktsioonid/(G) on eemaldatav siis ja ainult siis, kui Laurent'i laiendusel selle punkti torgatud naabruses on vorm

t.s. koosneb ainult õigest osast.

Panime /(oo) = co. Funktsioon, mis on määratletud naabruses koonduva jada (26.7) abil z > R punktid 2o \u003d oc, nn analüütiline punktis z o = oo. (Pange tähele, et see määratlus on samaväärne funktsiooni analüütilisusega G(w) punktis vau = 0.)

Näide 26.11. Uurige funktsiooni ainsuse punkti zq = oo

Kuna piir on piiratud, siis zo = oo on funktsiooni f(r) eemaldatav ainsuse punkt. Kui paneme /(oo) = lim J(z)= 0, siis f(z) saab

tic punktis Zo= os. Näitame, kuidas leida vastav laiend (26.7). Liigume edasi muutuja juurde w = 1 fz. Asendamine z= 1 /?e, saame

(viimane võrdus kehtib punkti ww = 0 punkteeritud ümbruses, kuid me laiendame definitsiooni (7(0) = 0). Saadud funktsioonil on ainsuse punktid w =± mina, w =-1/3 ja punktis Wq = 0 on analüütiline. Laienev funktsioon G(w) kraadide kaupa w(nagu tehti näites 25.7) ja asendades saadud astmerida w = 1/z võib saada funktsiooni laienduse (26.7). f(z).

Teoreem 26.3 juhtumi jaoks zo= oo kirjutatakse ümber järgmisel kujul.

Teoreem 26.12. Eraldatud ainsuse punkt mine = os funktsioon f(z) on poolus siis ja ainult siis, kui Laurent'i laienduse põhiosa (26.6) sellel on ainult piiratud arv nullist erinevaid koefitsiente Koos":

Siin on seeria tavaline osa ja sulgudes olev polünoom on laienduse põhiosa. Pooluse kordsus oc-s on defineeritud pooluse kordsusena wq = 0 funktsiooni G(z). On lihtne näha, et pooluse kordsus langeb arvuga kokku N aastal (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Ülesanne. Näidake, et funktsioon f(z) =-- -- on sees

punkt zo = oo poolusjärjestus 3.

Lause 26.6 olulise ainsuse punkti kohta kirjutatakse juhtumi jaoks ümber zo= os peaaegu sõna-sõnalt ja me ei peatu sellel üksikasjalikult.

ainsuse punkt

matemaatikas.

1) kõvera ainsuse punkt võrrandiga F ( x, y) = 0, - punkt M 0 ( x 0, y 0), milles funktsiooni F () mõlemad osatuletised x, y) kaovad:

Kui lisaks mitte kõik funktsiooni F () teised osatuletised x, y) punktis M 0 on võrdsed nulliga, siis nimetatakse O. t kahekordseks. Kui koos esimeste tuletiste kadumisega punktis M 0 kaovad ka kõik teised tuletised, kuid mitte kõik kolmandad tuletised ei ole võrdsed nulliga, siis nimetatakse O. t kolmikuks jne. Kahekordse O. t. lähedase kõvera struktuuri uurimisel mängib olulist rolli avaldise märk

Kui Δ > 0, siis nimetatakse O. t isoleeritud; näiteks kõver y 2 - x 4 + 4x 2= 0, lähtekoht on isoleeritud O. t. (vt riis. üks ). Kui Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - 4= 0 koordinaatide alguspunktiks on sõlm O. t. (vt riis. 2 ). Kui Δ = 0, siis O.t kõver on isoleeritud või seda iseloomustab asjaolu, et kõvera erinevatel harudel on selles punktis ühine puutuja, näiteks puutuja ja moodustavad punkti, nagu kõver a 2 - x 3= 0 (vt riis. 3 , a); b) 2. tüüpi tipp - kõvera erinevad harud asuvad ühise puutuja samal küljel, nagu kõver (y - x 2)2-x5= 0 (vt riis. 3 , b); c) isepuutepunkt (kõvera jaoks a 2 - x 4= 0 alguspunkt on isekontaktipunkt; (cm. riis. 3 , sisse). Koos täpsustatud O. t-ga on palju teisi erinimedega O. t. Näiteks asümptootiline punkt on lõpmatu arvu pööretega spiraali tipp (vt joon. riis. neli ), murdepunkt, nurgapunkt jne.

2) Diferentsiaalvõrrandi ainsuspunkt on punkt, kus diferentsiaalvõrrandi parempoolse külje lugeja ja nimetaja kaovad üheaegselt (vt Diferentsiaalvõrrandid)

kus P ja Q on pidevalt diferentseeruvad funktsioonid. Eeldades, et O. t. asub koordinaatide alguspunktis ja kasutades Taylori valemit (vt Taylori valemit), saame võrrandit (1) esitada kujul

kus P 1 ( x, y) ja Q 1 ( x, y) on lõpmatult väikesed

Nimelt kui λ 1 ≠ λ 2 ja λ 1 λ 2 > 0 või λ 1 = λ 2, siis O.t. on sõlm; sinna sisenevad kõik integraalkõverad, mis läbivad sõlme piisavalt väikese naabruskonna punkte. Kui λ 1 ≠ λ 2 ja λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 ja β ≠ ​​0, siis O.t. on fookus; kõik integraalkõverad, mis läbivad punkte fookuse piisavalt väikeses naabruses, on lõpmatu arvu pööretega spiraalid mis tahes suvaliselt väikeses fookuse ümbruses. Kui lõpuks λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, siis O. t iseloomu ei määra lineaarsed liikmed P ( x, y) ja Q ( x, y), nagu juhtus kõigil ülaltoodud juhtudel; siin võib O. t. olla fookus või keskpunkt või sellel võib olla keerulisem iseloom. Keskuse läheduses on kõik integraalkõverad suletud ja sisaldavad keskpunkti nende sees. Näiteks punkt (0, 0) on võrrandite sõlm juures" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; vt riis. 5 , a) ja y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; vt riis. 5 , b), võrrandi sadul y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. riis. 6 ), võrrandi fookus y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. riis. 7 ) ja võrrandi keskpunkt y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. riis. kaheksa ).

Kui x, y) ja Q ( x, y) on analüütilised, kõrgemat järku O. t. naabrus võib jagada piirkondadeks: D 1 - täis integraalkõveratega, mõlemad otsad sisenevad O. t.-i (elliptilised piirkonnad), D 2 - täis integraalkõveratega, üks ots siseneb O. t.-i (paraboolsed piirkonnad) ja D 3 - piirkonnad, mis on piiratud kahe O. t-s sisalduva integraalkõveraga, mille vahel on hüperbooli tüüpi integraalkõverad (hüperboolsed piirkonnad) (vt. riis. üheksa ). Kui O-punkti ei ole integraalkõveraid, siis nimetatakse O-punkti stabiilset tüüpi punktiks. Stabiilse O.t.-i naabrus koosneb suletud integraalkõveratest, mis sisaldavad O.t-i enda sees ja mille vahel paiknevad spiraalid (vt joonis 1). riis. kümme ).

O. t. diferentsiaalvõrrandite uurimine ehk sisuliselt integraalkõverate perekondade käitumise uurimine O. t. M. Ljapunov a, A. Poincaré jt naabruses).

3) Ühe väärtusega analüütilise funktsiooni ainsuse punkt on punkt, kus funktsiooni analüütilisust rikutakse (vt Analüütilised funktsioonid). Kui on naabruses O. t. a, vaba teistest O. t., siis punkt a nimetatakse isoleeritud O. t. Kui a on isoleeritud O. t ja on olemas lõplik a, mida nimetatakse eemaldatavaks O. t. f(a)= b, on võimalik saavutada a muutub parandatud funktsiooni tavaliseks punktiks. Näiteks punkt z= 0 on eemaldatav O.T. funktsiooni f 1 ( z) = f(z), kui z≠ 0 ja f 1(0),=1, punkt z= 0 on tavaline punkt [ f 1 (z) on punktis analüütiline z= 0]. Kui a a- isoleeritud O. t ja a nimetatakse funktsiooni pooluseks või sisuliselt ainsuse punktiks f(z), kui Laurenti seeria) toimib f(z) isoleeritud O. t naabruses ei sisalda negatiivseid võimeid z - a, kui a- eemaldatav O. t., sisaldab piiratud arvu negatiivseid võimsusi z - a, kui a- poolus (antud juhul pooluse järjekord R on defineeritud kui a – sisuliselt ainsuse punkti kõrgeim võimsus. Näiteks funktsiooni jaoks

p = 2, 3, …)

punkt z= 0 on järjekorra poolus R, funktsiooni jaoks

punkt z= 0 on oluline ainsuse punkt.

Astumusrea konvergentsiringi piiril peab olema vähemalt üks O. m funktsioonist, mida selle ringi sees kujutab antud astmerida. Kõik üheväärtusliku analüütilise funktsiooni olemasolu valdkonna piiripunktid (looduslik piir) on selle funktsiooni piiripunktid. Seega kõik ühikringi punktid | z| = 1 on funktsiooni jaoks erilised

Mitme väärtusega analüütilise funktsiooni puhul kasutatakse kontseptsiooni "O. t." keerulisem. Funktsiooni Riemanni pinna eraldi lehtedel (ehk üheväärtuslike analüütiliste elementide O. t.) on lisaks O. t-le iga hargnemispunkt ka funktsiooni O. t. Riemanni pinna eraldatud hargnemiskohad (st hargnemiskohad, mille mõnes naabruses pole üheski lehes muid O.t. funktsioone) klassifitseeritakse järgmiselt. Kui a on lõpliku järjestusega isoleeritud hargnemispunkt ja on olemas lõplik a, nimetatakse seda kriitiliseks pooluseks. Kui a a on lõpmatu järjestusega isoleeritud hargnemispunkt ja a nimetatakse transtsendentaalseks O. t. Kõiki teisi isoleeritud hargnemispunkte nimetatakse kriitilisteks sisuliselt ainsuse punktideks. Näited: punkt z= 0 on funktsiooni f ( z) = log z ja funktsiooni kriitiline oluline ainsuse punkt f (z) = patulogi z.

Igasugune O. t., välja arvatud eemaldatav, on analüütilise jätkamise takistuseks, st analüütiline jätkamine mööda kõverat, mis läbib eemaldamatut O. t., on võimatu.

Suur Nõukogude entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. 1969-1978 .

Vaadake, mis on "Eriline punkt" teistes sõnaraamatutes:

Punktid siin. Vaata ka singulaarpunkti (diferentsiaalvõrrandid). Tunnus või singulaarsus matemaatikas on punkt, kus matemaatiline objekt (tavaliselt funktsioon) ei ole määratletud või käitub ebakorrapäraselt (näiteks punkt, kus ... ... Wikipedia

Analüütiline funktsioon on punkt, kus analüütilisuse tingimusi rikutakse. Kui analüütiline funktsioon f(z) on defineeritud igal pool punkti z0 naabruses … Füüsiline entsüklopeedia

Analüütiline funktsioon on punkt, kus funktsiooni analüütilisust rikutakse ... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

ainsuse punkt- - [Ja.N. Luginski, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moskva, 1999] Elektrotehnika teemad, põhimõisted ET ainsus ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

1) Analüütilise funktsiooni f(z) OT on takistuseks kompleksmuutuja z funktsiooni f(z) elemendi analüütilisele jätkumisele mööda selle muutuja tasapinnal mingit rada. Olgu analüütiline funktsioon f(z) defineeritud mõne ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Analüütiline funktsioon, punkt, kus funktsiooni analüütilisust rikutakse. * * * SINGULAARPUNKT Analüütilise funktsiooni SINGULAR PONT, punkt, kus funktsiooni analüütilisust rikutakse ... entsüklopeediline sõnaraamat

ainsuse punkt- ypatingasis taškas statusas T ala automatika vastavusmenys: engl. ainsuse punkt vok. ainsus Punkt, m rus. ainsuse punkt, fpranc. punktosake, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas

Taylori seeriad on tõhus tööriist ringis zol analüütiliste funktsioonide uurimiseks Rõngakujulises piirkonnas analüütiliste funktsioonide uurimiseks selgub, et on võimalik konstrueerida laiendusi positiivsetes ja negatiivsetes võimsustes (z - zq). vorm, mis üldistab Taylori laiendusi. Seeriat (1), mida mõistetakse kahe seeria summana, nimetatakse Laurenti seeriaks. On selge, et seeria (1) konvergentsipiirkond on iga jada (2) lähenemispiirkondade ühine osa. Otsime ta üles. Esimese seeria lähenemisala on ring, mille raadius määratakse Cauchy-Hadamardi valemiga Konvergentsiringi sees koondub seeria (3) analüütiliseks funktsiooniks ja igas väiksema raadiusega ringis koondub see absoluutselt ja ühtlaselt. Teine jada on muutuja suhtes astmerida. Seeria (5) koondub oma lähenemisringi piires kompleksmuutuja m-*oo analüütilisele funktsioonile ja koondub igas väiksema raadiusega ringis absoluutselt ja ühtlaselt, mis tähendab, et jada (4) lähenemispiirkond on ringi välimus - Kui siis on jadate (3) ja (4) ühine lähenemispiirkond - ringikujuline rõngas, milles seeria (1) koondub analüütiliseks funktsiooniks. Pealegi läheneb see igas ringis absoluutselt ja ühtlaselt. Näide 1. Määrake rad Laurent'i jada konvergentsipiirkond Eraldatud ainsuse punktid ja nende klassifikatsioon (z), mis on üheväärtuslikud ja apoliitilised ringikujulises ringis, saab selles ringis esitada koonduva jada summana, mille koefitsiendid on Cn on üheselt määratud ja arvutatud valemitega kus 7p on ring raadiusega m Fikseerime suvalise punkti z rõnga R sees Ehitame ringid tsentritega punktis r, mille raadiused rahuldavad ebavõrdsust ja vaatleme uut rõngast Cauchy integraaliteoreemi järgi korrutisega seotud domeeni jaoks on meil Kõigi punktide £ puhul piki ringjoont 7d* on täidetud seos de ühtlaselt koonduva jada 1 1 summaga. Seetõttu saab murdosa ^ esitada vi- /" / Mõnevõrra erineval viisil kõigi punktide ξ kohta ring ir> meil on seos Seetõttu võib murdosa ^ esitada ühtlaselt koonduva jada summana valemites (10) ja (12) on analüütilised funktsioonid ringrõngas. Seetõttu ei muutu Cauchy teoreemi kohaselt vastavate integraalide väärtused, kui ringid 7/r ja 7r/ asendatakse mis tahes ringiga. See võimaldab kombineerida valemeid (10) ja (12). Asendades valemi (8) paremal küljel olevad integraalid vastavalt nende avaldistega (9) ja (11), saame soovitud laienduse. Kuna z on suvaline rõnga punktist järeldub, et jada ( 14) koondub funktsioonile f(z) kõikjal selles rõngas ja mis tahes ringis koondub seeria sellele funktsioonile absoluutselt ja ühtlaselt. Tõestame nüüd, et vormi (6) lagunemine on unikaalne. Oletame, et toimub veel üks lagunemine. Siis kõikjal rõngas R sees on ümbermõõdul jada (15) ühtlane. Korrutage võrdsuse mõlemad pooled (kus m on fikseeritud täisarv ja integreerige mõlemad seeriad termini kaupa. Selle tulemusena saame vasakule poole ja paremale - Csh. Seega (4, \u003d St. Kuna m on suvaline arv, siis viimast võrdusrida (6), mille koefitsiendid arvutatakse valemitega (7), nimetatakse funktsiooni f(z) Laurent'i jadaks ringis 7) Laurent'i seeria koefitsientide jaoks on kasutatakse praktikas harva, sest reeglina nõuavad need tülikaid arvutusi.Tavaliselt kasutatakse võimalusel elementaarfunktsioonide Taylori valmis laiendusi Laienduse unikaalsusest lähtuvalt viib iga legitiimne meetod sama tulemuseni Näide. 2 Vaatleme erinevate domeenide funktsioonide Laurent'i seeria laiendusi, eeldades, et Fuisciusel /(r) on kaks ainsuse punkti: Seega on kolm ringdomeeni ja tsentreeritud punktis r = 0. millest igaühes funktsioon f(r) on analüütiline: a) ringjoon on ringi väliskülg (joonis 27). Leiame funktsiooni /(z) Laurent'i laiendused kõigis nendes piirkondades. Esitame /(z) elementaarmurdude summana a) Ringjoone teisenduse seos (16) järgmiselt Kasutades geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit, saame b) Funktsiooni -z rõngas jääb selles rõngas konvergentseks, kuna funktsiooni j^j jaoks on seeria (19) |z| > 1 lahkneb. Seetõttu teisendame funktsiooni /(z) järgmiselt: rakendades uuesti valemit (19), saame, et See seeria koondub jaoks. Asendades laiendused (18) ja (21) seosega (20), saame c) Ringjoone välisuse funktsiooni -z korral |z| > 2 lahkneb ja seeria (21) funktsiooni jaoks Esitame funktsiooni /(z) järgmisel kujul: /<*> Kasutades valemeid (18) ja (19), saame VÕI 1 See näide näitab, et sama funktsiooni f(z) korral on Laurent'i laiendus erinevate rõngaste puhul üldiselt erinev. Näide 3. Leia funktsiooni Laurent'i seeria 8 Laurent'i seeria lagunemine Eraldatud ainsuse punktid ja nende klassifikatsioon rõngakujulises piirkonnas A Kasutame funktsiooni f (z) esitust järgmisel kujul: ja teisendame teise liikme Kasutades geomeetrilise progressiooni liikmete summa valem, saame Asendades leitud avaldised valemiga (22), saame näite 4. Laiendage funktsiooni Laurent'i seerias õhukese zq = 0 läheduses. Iga kompleksi korral , meil on Laske See laiendus kehtib iga punkti z Ф 0 jaoks. Sel juhul on rõngakujuline piirkond kogu komplekstasapind, millest üks on välja visatud punktiga z - 0. Seda piirkonda saab määratleda järgmise seosega: See funktsioon on analüütiline. piirkonnas Laurent'i seeria koefitsientide valemitest (13) saab eelmises lõigus toodud põhjendusega Kouiwi võrratused. kui funktsioon f(z) on piiratud ringiga, kus M on konstant), siis isoleeritud ainsuse punktid Punkti zo nimetatakse funktsiooni f(z) isoleeritud ainsuse punktiks, kui punktile ( () on rõngakujuline naabrus seda hulka nimetatakse mõnikord ka punkti 2o punkteeritud naabruskonnaks, kus funktsioon f(z) on üheväärtuslik ja analüütiline. Punktis zo endas ei ole funktsioon defineeritud või ei ole ühe väärtusega ja analüütiline. Sõltuvalt funktsiooni /(z) käitumisest punktile zo lähenemisel eristatakse kolme tüüpi ainsuse punkte. Eraldatud ainsuse punkti nimetatakse: 1) eemaldatavaks, kui on olemas lõplik 2) pmusach, kui 3) sisuliselt ainsuse punktiks, kui funktsioonil f(z) pole piirangut. Teoreem 16. Funktsiooni f(z) isoleeritud ainsuse punkt z0 on eemaldatav ainsuspunkt siis ja ainult siis, kui funktsiooni f(z) Laurent'i laiend punkti zo naabruses ei sisalda põhiosa, st. on kujul Let zo - eemaldatav ainsuse punkt. Siis on olemas lõplik ja seega on funktsioon f(z) piiratud punkti r prokoloogilises naabruses. Määrame Cauchy ebavõrdsuse alusel Kuna p on võimalik valida suvaliselt väikeseks, siis kõik koefitsiendid punktis r. negatiivsed astmed (z - 20) on võrdsed nulliga: vastupidi, olgu Laurent'il, et funktsiooni /(r) laiend punkti zq läheduses sisaldab ainult õiget osa, st sellel on vorm (23) ja järelikult on Taylor. On lihtne näha, et z -* z0 korral on funktsioonil /(r) piirväärtus: Teoreem 17. Funktsiooni f(z) isoleeritud singulaarpunkt zq on eemaldatav siis ja ainult siis, kui funktsioon J(z) on piirneb mõne punkti zq torgatud naabruskonnaga, Zgmechai mitte. Olgu r0 f(r) eemaldatav ainsuse punkt. Eeldades, et funktsioon f(r) on analüütiline mingis ringis, mille keskpunkt on punkt th. See määrab punkti nimetuse – ühekordne. Teoreem 18. Funktsiooni f(z) isoleeritud ainsuse punkt zq on poolus siis ja ainult siis, kui funktsiooni f(z) Laurent'i laienduse põhiosa punkti naabruses sisaldab lõplikku (ja positiivset) arvu nullist erineva terminiga, st on kujul 4 Olgu z0 poolus. Sellest ajast alates eksisteerib punkti z0 punkteeritud ümbrus, milles funktsioon f(z) on analüütiline ja nullist erinev. Seejärel defineeritakse selles naabruses analüütiline funktsioon ja seega on punkt zq funktsiooni eemaldatav ainsuse punkt (null) või kus h(z) on analüütiline funktsioon, h(z0) ∩ 0. on analüütiline funktsiooni naabruses. punkt zq ja siit saame selle Oletame nüüd, et funktsioonil f(z) on punkti zo punkteeritud ümbruses dekomponeerimine kujul (24). See tähendab, et selles naabruses on funktsioon f(z) koos funktsiooniga analüütiline. Funktsiooni g(z) puhul kehtib laiendus, millest on selge, et zq on funktsiooni g(z) eemaldatav ainsuse punkt ja eksisteerib Siis kaldub funktsioon 0-le - funktsiooni poolusele On veel üks lihtne fakt. Punkt Zq on funktsiooni f(z) poolus siis ja ainult siis, kui funktsiooni g(z) = y saab laiendada analüütiliseks funktsiooniks, mis asub punkti zq läheduses, seades g(z0) = 0. funktsiooni f(z) pooluse suurust nimetatakse funktsiooni jfa nulljärku. Teoreemid 16 ja 18 viitavad järgmisele väitele. Teoreem 19. Eraldatud ainsuse peen on sisuliselt ainsus siis ja ainult siis, kui Laurent'i laienduse põhiosa selle punkti punkteeritud ümbruses sisaldab lõpmatult palju nullist erinevaid termineid. Näide 5. Funktsiooni ainsuse punkt on zo = 0. Meil ​​on Laurent'i jada Eraldatud ainsuse punktid ja nende klassifikatsioon Seetõttu on zo = 0 eemaldatav ainsuse punkt. Funktsiooni /(z) laiendus Laurent'i seerias nullpunkti läheduses sisaldab ainult õiget osa: Näide7. f(z) = Funktsiooni f(z) singulaarpunkt on zq = 0. Vaatleme selle funktsiooni käitumist reaal- ja imaginaarsel teljel: reaalteljel x 0, imaginaarteljel Seetõttu ei ole lõplik ega imaginaarteljel. lõpmatut piiri f(z) z -* 0 juures ei eksisteeri. Seega on punkt r0 = 0 funktsiooni f(z) sisuliselt singulaarne punkt. Leiame funktsiooni f(z) Laurent'i laiendi nullpunkti lähedusest. Iga kompleksi C jaoks oleme seadnud. Siis sisaldab Laurent'i laiend lõpmatu arvu z negatiivse võimsusega liikmeid.

Definitsioon. Funktsiooni ainsuse punkti nimetatakse isoleeritud, kui selle punkti mõnes naabruses on analüütiline funktsioon (st analüütiline ringis).

Funktsiooni isoleeritud ainsuse punktide klassifikatsioon on seotud selle funktsiooni käitumisega ainsuse punkti naabruses.

Definitsioon. Punkti nimetatakse ühekordselt kasutatavad funktsiooni ainsuse punkt, kui sellel funktsioonil on lõplik piir .

Näide 5 Näidake, et funktsioonil on punktis eemaldatav singulaarsus.

Lahendus. Meenutades esimest tähelepanuväärset piiri, arvutame

See tähendab, et antud funktsioonil on punktis eemaldatav singulaarsus.

4. ülesanne. Näita, et punkt on eemaldatav .

Definitsioon. Punkti nimetatakse poolus funktsioon , kui see funktsioon suureneb määramatult , see tähendab .

Pöörame tähelepanu analüütilise funktsiooni nulli ja pooluse mõistete seosele. Esitame funktsiooni kui .

Kui punkt on funktsiooni lihtnull, siis on funktsioonil lihtpoolus

Kui funktsiooni punkt on nulljärku, siis funktsiooni jaoks on see poolus tellida.

Näide 6 Näidake, et funktsioonil on punktis kolmandat järku poolus.

Lahendus. Eeldusel , et saame . Kuna me kipume nullima, on meil vastavalt mis tahes seadusele . Siis , ja koos sellega suureneb funktsioon ise määramatult. Seetõttu , See tähendab, et ainsuse punkt on poolus. Funktsiooni puhul on see punkt ilmselgelt kolmekordne null. Seega on selle funktsiooni jaoks punkt kolmandat järku poolus.

5. ülesanne. Näidake, et punktil on lihtne poolus.

Definitsioon. Punkti nimetatakse sisuliselt eriline funktsiooni punkt, kui selles punktis ei ole funktsioonil ei lõplikku ega lõpmatut piiri (funktsiooni käitumine pole defineeritud).

Laskma olema oluline ainsuse punkt funktsiooni . Siis on mis tahes eelmääratud kompleksarvu jaoks selline punktide jada, mis lähenevad punktile , mida mööda väärtused kalduvad: ( Sochocki teoreem).

Näide 7 Näidake, et punktis oleval funktsioonil on oluline singulaarsus.

Lahendus. Vaatleme antud funktsiooni käitumist punkti läheduses. Sest piki reaaltelje positiivset osa (st ) on meil ja ; kui mööda reaaltelje negatiivset osa (st), siis ja . Seega pole piiranguid. Definitsiooni järgi on funktsioonil punktis oluline singulaarsus.

Vaatleme funktsiooni käitumist nullis Sochocki teoreemi seisukohast. Laskma olla mis tahes kompleksarv peale nulli ja lõpmatuse.

Võrdsusest leiame . Eeldusel , saame punktide jada , . Ilmselgelt,. Selle jada igas punktis on funktsioon võrdne ja seega

6. ülesanne. Näidake, et funktsioonil on punktis oluline singulaarsus.

Lõpmatuse punkti peetakse funktsiooni jaoks alati eriliseks. Punkti nimetatakse funktsiooni isoleeritud ainsuse punktiks, kui sellel funktsioonil ei ole muid ainsuse punkte väljaspool mõnda ringi, mille keskpunkt on alguspunktis.

Eraldatud ainsuse punktide klassifikatsiooni saab laiendada ka juhtumile.

Näide 8 Näidake, et funktsioonil on lõpmatuses topeltpoolus.

Lahendus. Vaatleme funktsiooni , kus on analüütiline funktsioon punkti naabruses ja . See tähendab, et funktsioonil on lõpmatuses topeltnull, kuid siis on funktsiooni punkt topeltpoolus.

Näide 9 Näidake, et funktsioonil on lõpmatuses oluline singulaarsus.

Lahendus. Sarnast probleemi käsitletakse pr.7. Vaatleme funktsiooni käitumist lõpmata kauge punkti läheduses. Piki reaaltelje positiivset osa ja piki reaaltelje negatiivset osa. See tähendab, et funktsioonil punktis ei ole piirangut ja definitsiooni kohaselt on see punkt sisuliselt ainsus.

Funktsiooni singulaarsuse olemust punktis saab otsustada selle järgi põhiosa Laurent'i laiendus selle punkti naabruses.

1. teoreem. Et asja mõte oleks ühekordselt kasutatavad funktsiooni ainsuse punkt , on vajalik ja piisav, et vastav Laurent'i laiendus ei sisaldanud põhiosa.

6. ülesanne. Kasutades funktsiooni Taylori laiendust punkti naabruses, näidake, et sellel on nullis eemaldatav singulaarsus.

2. teoreem. Et asja mõte oleks poolus funktsioonid , on vajalik ja piisav selleks põhiosa vastav Laurenti laiendus sisaldas piiratud arvu liikmeid :

Suurima negatiivse liikme arv määrab pooluse järjekorra.

Sel juhul saab funktsiooni esitada kujul

kus on analüütiline funktsioon punktis, , on pooluse järjekord.

Näide 10 Näidake, et funktsioonil on punktides lihtsad poolused.

Lahendus. Mõelgem ühele punktile. Selle punkti läheduses kasutame selle funktsiooni Laurent'i laiendust, mis on saadud näites 2:

Kuna selle laienduse põhiosas on suurim (ja ainus) negatiivne võimsus võrdne ühega, on punkt selle funktsiooni lihtne poolus.

Selle tulemuse oleks võinud saada ka muul viisil. Esitame vormis ja paneme – see on funktsioon, mis on punktis ja analüütiline. Seetõttu on selle funktsiooni (8) tõttu punktis lihtne poolus.

Teine võimalus: kaaluge funktsiooni, mille punktis on lihtne null. Seega on sellel hetkel lihtne poolus.

Samamoodi, kui kirjutame funktsiooni kujul , kus on funktsioon, mis on analüütiline punktis ja , siis on kohe selge, et punkt on funktsiooni lihtpoolus.

Ülesanne 7. Näidake, et funktsioonil on punktis teist järku poolus ja punktis 4. järku poolus.

3. teoreem. Et asja mõte oleks sisuliselt eriline funktsiooni punkt , on vajalik ja piisav, et põhiosa Laurent'i laiendus punkti naabruses sisaldas lõpmatu arvu liikmeid .

Näide 11. Määrake singulaarsuse olemus funktsiooni punktis

Lahendus. Koosinuse tuntud laienduses paneme selle asemele:

Seega on Laurent'i laiendus punkti naabruses selline

Siin on õige osa üks termin. Ja põhiosa sisaldab lõpmatu arvu termineid, seega on punkt sisuliselt ainsuses.

Ülesanne 8. Näidake, et funktsioonil on teatud punktis oluline singulaarsus.

Mõelge mõnele funktsioonile ja kirjutage selle Laurenti laiendus punktis üles:

Teeme asendus, kui punkt läheb asja juurde. Nüüd oleme lõpmatuse punkti naabruses

Jääb üle võtta uus nimetus . Saame

kus on põhiosa ja on funktsiooni Laurent'i laienduse korrapärane osa lõpmatuse punkti läheduses. Seega on punkti naabruses oleva funktsiooni Laurent'i laiendis põhiosa positiivsete võimsustega jada, õige osa aga negatiivsete võimsustega jada. Seda arvesse võttes

Ülaltoodud kriteeriumid singulaarsuse olemuse määramiseks jäävad aga kehtima ka lõpmata kauge punkti kohta.

Näide 12. Uurige funktsiooni singulaarsuse olemust punktis. , siis ühel hetkel võib see osutuda isoleerimata.

Näide 15 Lõpmatult kauges punktis oleval funktsioonil on oluline singulaarsus. Näidake, et funktsiooni punkt ei ole isoleeritud ainsuse punkt.

Lahendus. Funktsioonil on lõpmatu arv poolusi nimetaja nullpunktides, st punktides , . Kuna , siis punkt , mille igas naabruses on poolused , on pooluste piirpunkt.