Lineaarsed võrratused ühe muutujaga. Võrrandid ja võrratused ühe muutujaga. Ekvivalentsusteoreemid

Ühe muutujaga: mis on ekvivalentsed ebavõrdsused; millised ebavõrdsuse teisendused on samaväärsed ja millised mitte. Neid küsimusi käsitlesime algebra käigus alates 8. klassist ja käesolevas õpikus on neid juba käsitletud näiteks eksponentsiaal- ja logaritmivõrratuste lahendamisel. Pöördume nende küsimuste juurde uuesti tagasi, sest pärast uuringut koolikursus algebra, on soovitatav justkui ümber mõelda üldised ideed ja meetodid.

1. Ebavõrdsuse samaväärsus

Tuletame meelde, et võrratuse a(x) > n(x) lahend on suvaline väärtus muutuv x, mis muudab antud muutujaga võrratuse kehtivaks arvuliseks võrratuseks. Mõnikord kasutatakse terminit osaline lahendus. Kõigi ebavõrdsuse konkreetsete lahendite kogumit nimetatakse üldlahendiks, kuid sagedamini kasutatakse terminit lahendus. Seega kasutatakse mõistet otsus kolmes tähenduses: nii üldise otsusena kui ka konkreetse otsusena ja protsessina, kuid tavaliselt on tähendusest selge, mis on kaalul.

Definitsioon 1. Kahte ühe muutujaga f(x)>g(x) ja p(x)>h(x) võrratust nimetatakse ekvivalentseteks, kui nende lahendid (st konkreetsete lahendite hulgad) langevad kokku.

Muidugi saate aru, et märgi > kasutamine definitsioonis on põhimõttetu. Nii selles definitsioonis kui ka kõigis selle jaotise väidetes on võimalik kasutada mis tahes muud ebavõrdsuse märki, nii ranget kui ka mitteranget.

2. definitsioon. Kui ebavõrdsuse lahendus

sisaldub võrratuse lahendis

siis nimetatakse ebavõrdsust (2) ebavõrdsuse (1) tagajärjeks

Näiteks ebavõrdsus x 2 >9 on ebavõrdsuse 2x>6 tagajärg. Tõepoolest, teisendades esimese võrratuse vormiks x 2 -9 > 0 ja edasi vormiks (x-3) (x + 3) > 0 ning rakendades intervallmeetodit (joonis 245), leiame, et ebavõrdsus on kahe avatud kiire liit: Teise võrratuse 2x>6 lahend on kujul x>3, s.o. on avatud kiir Teise võrratuse lahend on osa esimese võrratuse lahendist ja seetõttu on esimene võrratus teise tagajärg.
On uudishimulik, et olukord muutub radikaalselt, kui ebavõrdsuse märki mõlemas ebavõrdsuses muuta. Ebavõrdsus 2x< 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.

Tunni sisu tunni kokkuvõte tugiraam õppetund esitlus kiirendusmeetodid interaktiivsed tehnoloogiad Harjuta ülesanded ja harjutused enesekontrolli töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, skeemid huumor, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid kiibid uudishimulikele petulehtedele õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku killu uuendamine innovatsiooni elementide tunnis vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid kalenderplaan aastaks aruteluprogrammi metoodilised soovitused Integreeritud õppetunnid X ja määratlusvaldkond X. Siis vormi ebavõrdsus f(x) > g(x) või f(x) < g(x) kutsutakse ebavõrdsus ühe muutujaga . Trobikond X helistas selle määratluspiirkond.

Muutuv väärtus X paljudelt X, mille korral ebavõrdsus muutub tõeliseks arvuliseks võrratuseks, nimetatakse selle otsus. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab selle lahenduste hulga leidmist.

Samaväärsuse mõiste on ühe muutujaga võrratuste lahendamise aluseks.

Neid kahte ebavõrdsust nimetatakse samaväärne kui nende lahendushulgad on võrdsed.

Teoreemid võrratuste ja nende tagajärgede samaväärsuse kohta on sarnased vastavate võrrandite samaväärsuse teoreemidega. Nende tõestamisel kasutatakse tõeliste arvuliste võrratuste omadusi.

1. teoreem. Las ebavõrdsus f(x) > g(x) on komplektis määratletud X ja h(x) on samas komplektis määratletud avaldis. Siis ebavõrdsused f(x) > g(x) ja f(x) + h(x) > g(x)+h(x) on võttel samaväärsed X.

Sellest teoreemist järeldub tagajärjed, mida kasutatakse sageli ebavõrdsuse lahendamisel:

1) Kui ebavõrdsuse mõlemad osad f(x) > g(x) lisage sama number d, siis saame ebavõrdsuse f(x) + d > g(x)+d, mis on samaväärne originaaliga.

2) Kui suvaline liige (või muutujaga avaldis) viiakse ühest võrratuse osast teise, muutes liikme märki vastupidiseks, siis saame antud ebavõrdsuse.

2. teoreem. Las ebavõrdsus f(x) > g(x) on komplektis määratletud X ja h(x X paljudelt X väljendus h(x) võtab positiivsed väärtused. Siis ebavõrdsused f(x) > g(x) ja f(x) × h(x) > g(x) × h(x) on võttel samaväärsed X.

Sellest teoreemist järeldub: kui ebavõrdsuse mõlemad pooled f(x) > g(x) korrutada sama positiivse arvuga d, siis saame ebavõrdsuse f(x) × d > g(x) × d, mis on samaväärne antud.

3. teoreem. Las ebavõrdsus f(x) > g(x) on komplektis määratletud X ja h(x) on avaldis, mis on määratletud samas komplektis ja kõigi jaoks X paljudelt X väljendus h(x) võtab negatiivsed väärtused. Siis ebavõrdsused f(x) > g(x) ja f(x) × h(x) < g(x) × h(x) on võttel samaväärsed X.

Sellest teoreemist järeldub tagajärg: kui ebavõrdsuse mõlemad pooled f(x) > g(x) korrutage samaga negatiivne arv d ja pöörake ebavõrdsuse märk ümber, saame ebavõrdsuse f(x) × d < g(x) × d, mis on samaväärne antud.

Ülesanne. Kas number X= 5 võrratuse 2 lahend X+ 7 > 10 - x, xО R? Leidke sellele ebavõrdsusele lahenduste komplekt.

Otsus. Number X= 5 on ebavõrdsuse lahendus
2X + 7 > 10 - X, kuna 2 × 5 + 7 > 10 - 5 on tõeline arvuline võrratus. Ja selle lahendite hulk on intervall (1; ¥), mis leitakse võrratuse 2 teisendusega X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3 Þ X > 1.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus 5 X- 5 < 2X+ 16 ja põhjendage kõiki lahendusprotsessis sooritatavaid teisendusi.

Otsus.

Transformatsioonid	Teisenduste põhjendus
1. Liigutame avaldist 2 X vasakule ja number -5 paremale, muutes nende märgid vastupidiseks: 5 X- 2X < 16 + 5.	Kasutasime teoreemi 3 järeldust 2 ja saime esialgsega samaväärse võrratuse.
2. Esitame sarnased terminid ebavõrdsuse vasakul ja paremal küljel: 3 X < 21.	Sooritas identsed avaldiste teisendused ebavõrdsuse vasakus ja paremas osas - need ei rikkunud ebavõrdsuse samaväärsust: antud ja originaal.
3. Jagage võrratuse mõlemad pooled 3-ga: X < 7.	Kasutasime teoreemi 4 järeldust ja saime esialgsega samaväärse võrratuse.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada tuvastamiseks teatud isik või seos temaga.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda mitmesugust teavet sealhulgas teie nimi, telefoninumber, aadress Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid üritusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid pakutavate teenuste täiustamiseks ja teile meie teenuste kohta soovituste andmiseks.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuvaidlusi ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

ÕPPETUND: "EBAVÕRDSUSE LAHENDAMINE ÜHE MUUTUJAGA"

Asi: Algebra
Teema: Võrratuste lahendamine ühe muutujaga

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

korraldab õpilaste tegevust selliste mõistete tajumisel, mõistmisel ja esmasel kinnistamisel nagu ühe muutujaga ebavõrdsuse lahendamine, ekvivalentvõrratus, ebavõrdsuse lahendamine; kontrollida õpilaste oskust rakendada eelmistes tundides omandatud teadmisi ja oskusi selle tunni ülesannete lahendamisel.

Hariduslik:

arendada huvi matemaatika vastu läbi IKT praktikas kasutamise; harida õpilaste kognitiivseid vajadusi; kujundada selliseid isikuomadusi nagu vastutustundlikkus, sihikindlus eesmärkide saavutamisel, iseseisvus.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment

II. Uurimine kodutöö(Algteadmiste värskendamine)

1. Koordinaadi sirge abil leidke vahede lõikekoht: a) (1;8) ja (5;10); b) (-4;4) ja [-6;6]; c) (5;+∞) ja [-∞;4]

Vastus: a) (1; 5); b) (-4; 4); c) puuduvad ristmikud

2. Kirjutage üles joonisel näidatud lüngad:

2)

3)

Vastus: 1) (2; 6); b) (-1; 7]; c) .

Näide3, lahendage võrratus 3(x-1)<-4+3х.

Avame ebavõrdsuse vasakpoolsed sulud: 3x-3<-4+3х.

Teisaldame termini 3x vastasmärkidega paremalt küljelt vasakule ja termini -3 vasakult küljelt paremale poole ja anname sarnased terminid: 3x-3x<-4+3,

Nagu näete, ei kehti see arvuline ebavõrdsus ühegi x väärtuse puhul. See tähendab, et meie ebavõrdsusel ühe muutujaga pole lahendust.

Treeningaparaat

Lahendage võrratus ja märkige selle lahendus:

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Vastus: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. leiud

Ühe muutujaga võrratuse lahend on muutuja väärtus, mis muudab selle tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või tõestamist, et lahendusi pole. Võrratusi, millel on samad lahendid, nimetatakse ekvivalentseteks. Ekvivalentseks loetakse ka ebavõrdsust, millel pole lahendusi. Kui ebavõrdsuse mõlemad osad korrutatakse või jagatakse sama negatiivse arvuga, muutes samal ajal ebavõrdsuse märgi vastupidiseks. Muudel juhtudel jääb see samaks.

V. Lõplik testimine

1) Ühe muutujaga võrratuse lahendit nimetatakse ...

a) muutuja väärtus, mis muudab selle tõeliseks võrratuseks;

b) muutuja väärtus, mis muudab selle kehtivaks numbriks

ebavõrdsus;

c) muutuja, mis muudab selle tõeliseks arvuliseks võrratuseks.

2) Millised arvud on võrratuse 8+5y>21+6y lahendiks:

a) 2 ja 5 b) -1 ja 8 c) -12 ja 1 d) -15 ja -30?

3) Märkige võrratuse 4(x+1)>20 lahendite hulk:

a) (-∞; 4); b) (4; +∞); sisse) )