Praktikas ei ole sageli nii oluline leida rea ​​summa, kui vastata küsimusele ridade konvergentsist. Selleks kasutatakse seeria ühise liikme omadustel põhinevaid lähenemiskriteeriume.

Vajalik kriteerium ridade konvergentsi jaoks

TEOREEM 1

Kui ridakoondub, siis selle ühine termin kipub nulli kell
, need.
.

Lühidalt: kui seeria koondub, siis selle ühine liige kipub olema null.

Tõestus. Laske jada koonduda ja selle summa on võrdne . Kellegi jaoks osaline summa

.

Siis . 

Konvergentsi vajalikuks osutunud kriteeriumist järeldub piisav kriteerium seeriate lahknemiseks: kui kell
seeria ühistermin ei kipu nulli, siis seeria lahkneb.

Näide 4

Selle seeria jaoks on tavaline termin
ja
.

Seetõttu erineb see seeria.

Näide 5 Konvergentsiridade uurimine

On ilmne, et selle seeria ühine termin, mille vormi tülika väljenduse tõttu ei näidata, kipub nulli
, st. ridade konvergentsi vajalik kriteerium on täidetud, kuid see rida lahkneb, kuna selle summa kipub lõpmatuseni.

Positiivse märgi seeria

Nimetatakse arvude jada, mille kõik liikmed on positiivsed märgipositiivne.

TEOREEM 2 (positiivse jada konvergentsi kriteerium)

Positiivse jada lähenemiseks on vajalik ja piisav, et kõik selle osasummad oleksid ülalpool piiratud sama arvuga.

Tõestus. Kuna iga jaoks
, siis, st. järeljada
- monotoonselt kasvav, seetõttu on piiri olemasoluks vajalik ja piisav piirata ülalt jada mingi arvu võrra.

See teoreem on pigem teoreetiline kui praktiline. Järgmised on muud lähenemiskriteeriumid, millest on rohkem kasu.

Piisavad tingimused märgipositiivsete ridade konvergentsi jaoks

3. TEOREEM (Esimene võrdluskatse)

Olgu antud kaks positiivset seeriat:

(1)

(2)

ja alustades mõnest numbrist
, kellelegi
ebavõrdsus
Seejärel:

Esimese võrdlusmärgi skemaatiline märge:

laskumine  laskumine.

voolvool

Tõestus. 1) Kuna rea ​​lõpliku arvu liikmete elimineerimine ei mõjuta selle konvergentsi, siis tõestame teoreemi juhul
. Laske kellelegi
meil on

, (3)

kus
ja
on vastavalt seeriate (1) ja (2) osalised summad.

Kui seeria (2) läheneb, siis on arv
. Alates järjestusest
- kasvades on selle limiit suurem kui ühelgi tema liikmel, s.t.
kellelegi . Siit järeldub ebavõrdsusest (3).
. Seega kõik seeria (1) osasummad on ülalt piiratud arvuga . 2. teoreemi kohaselt see jada läheneb.

2) Tõepoolest, kui seeria (2) läheneks, siis seeria (1) läheneks ka võrdluses. 

Selle funktsiooni rakendamiseks kasutatakse sageli selliseid standardseeriaid, mille konvergents või lahknemine on ette teada, näiteks:

3) - Dirichlet' seeria (see koondub kell
ja lahkneb kell
).

Lisaks kasutatakse sageli seeriaid, mille saab saada järgmiste ilmsete ebavõrdsuste abil:

,

,
,
.

Mõelge konkreetsete näidete abil skeemi positiivse märgiga seeria konvergentsi uurimiseks, kasutades esimest võrdluskriteeriumi.

Näide 6 Uurige numbrit
konvergentsi jaoks.

1. samm. Kontrollime seeria positiivset märki:
jaoks

Etapp 2. Kontrollime ridade konvergentsi kriteeriumi täitmist:
. Nagu
, siis

(kui limiidi arvutamine on keeruline, võib selle sammu vahele jätta).

3. samm. Kasutame esimest võrdlusmärki. Selleks valime selle seeria jaoks standardseeria. Nagu
, siis saame standardina võtta seeria
, st. Dirichlet rida. See seeria läheneb, kuna eksponent
. Seetõttu koonduvad esimese võrdluskriteeriumi järgi ka uuritavad seeriad.

Näide 7 Uurige numbrit
konvergentsi jaoks.

1) See seeria on märgipositiivne, kuna
jaoks

2) Vajalik ridade konvergentsi kriteerium on täidetud, sest

3) Valime seeriastandardi. Nagu
, siis saame standardina võtta geomeetrilise seeria

. See seeria koondub, seega lähenevad ka uuritavad seeriad.

TEOREEM 4 (teine ​​võrdlustest)

Kui märgipositiivsete seeriate puhul ja on nullist erinev lõplik piir
, siis read koonduvad või lahknevad samal ajal.

Tõestus. Olgu seeria (2) koonduv; Tõestame, et siis koondub ka seeria (1). Valime mõne numbri , rohkem kui . Seisundist
sellise numbri olemasolu seda kõigile
ebavõrdsus
, või mis on sama,

(4)

Ridades (1) ja (2) esimene loobumine terminid (mis konvergentsi ei mõjuta), võime eeldada, et ebavõrdsus (4) kehtib kõigi jaoks
Aga sari ühise terminiga
koondub ridade (2) lähenemise tõttu. Esimese võrdluskriteeriumi kohaselt tähendab ebavõrdsus (4) ridade (1) konvergentsi.

Nüüd laske seeriad (1) koonduda; Tõestame ridade (2) konvergentsi. Selleks pöörake lihtsalt antud ridade rollid vastupidiseks. Nagu

siis, vastavalt ülaltoodule, peaks seeriate (1) lähenemine tähendama ridade (2) lähenemist. 

Kui a
juures
(vajalik konvergentsi kriteerium), siis tingimusest
, järgib seda ja on samas suurusjärgus olevad lõpmata väiksed väärtused (võrdne at
). Seega, kui antud seeria , kus
juures
, siis selle seeria jaoks võime võtta standardseeria , kus ühine termin on sama väiksusjärguga kui antud seeria ühisel liikmel.

Võrdlusseeria valimisel saate kasutada järgmist samaväärsete lõpmatute arvude tabelit
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Näide 8 Konvergentsiridade uurimine

.

kellelegi
.

Nagu
, siis võtame võrdlusreaks harmoonilised lahknevad jadad
. Alates tavamõistete suhte piirist ja on lõplik ja erineb nullist (võrdub 1-ga), siis teise võrdluskriteeriumi alusel see jada lahkneb.

Näide 9
kahel võrdlusalusel.

See sari on positiivne, sest
, ja
. Niivõrd kui
, siis võib harmoonilisi seeriaid võtta võrdlusseeriana . See seeria lahkneb ja seetõttu lahkneb esimese võrdlusmärgi järgi ka uuritav seeria.

Kuna antud seeria ja võrdlusseeria puhul on tingimus
(siin kasutatakse 1. tähelepanuväärset piiri), siis lähtudes teisest võrdluskriteeriumist, seeriast
- lahkneb.

TEOREEM 5 (D'Alemberti test)

on piiratud piir
, siis seeria koondub kell
ja lahkneb kell
.

Tõestus. Las olla
. Võtame suvalise numbri , vahel sõlmitud ja 1:
. Seisundist
sellest järeldub, et alustades mingist numbrist ebavõrdsus

;
;
(5)

Mõelge sarjale

Vastavalt (5) ei ületa seeria (6) kõik liikmed lõpmatu geomeetrilise progressiooni vastavaid liikmeid
Niivõrd kui
, see areng on konvergentne. Siit järgneb esimese võrdlusmärgi alusel ridade konvergents

Toimub
kaaluge ise.

Märkused :

sellest järeldub, et sarja ülejäänud osa

.

D'Alemberti test on praktikas mugav, kui seeria ühine liige sisaldab eksponentsiaalfunktsiooni või faktoriaali.

Näide 10 Konvergentsiridade uurimine d'Alemberti sõnul.

See sari on positiivne ja

.

(Siinkohal rakendatakse arvutuses L'Hopitali reeglit kaks korda).

siis see seeria koondub d'Alemberti kriteeriumi järgi.

Näide 11..

See sari on positiivne ja
. Niivõrd kui

siis seeria läheneb.

6. TEOREEM (Cauchy test)

Kui märgipositiivse seeria puhul on piiratud piir
, siis kl
seeria läheneb ja
rida läheb lahku.

Tõestus on sarnane teoreemiga 5.

Märkused :

Näide 12. Konvergentsiridade uurimine
.

See sari on positiivne, sest
kellelegi
. Alates limiidi arvutamisest
põhjustab teatud raskusi, jätame ridade konvergentsi jaoks vajaliku kriteeriumi teostatavuse kontrollimise ära.

siis antud seeria lahkneb Cauchy kriteeriumi järgi.

TEOREEM 7 (Maklaurini-Cauchy konvergentsi integraaltest)

Olgu rida ette antud

mille tingimused on positiivsed ja ei suurene:

Lase edasi
on funktsioon, mis on määratletud kõigi reaalsete jaoks
, on pidev, ei suurene ja

Enne selle teemaga töötamist soovitan teil tutvuda numbriseeriate terminoloogiaga jaotisega. Eriti tasub tähelepanu pöörata sarja üldmõiste mõistele. Kui kahtlete konvergentsimärgi õiges valikus, soovitan vaadata teemat "Arvridade lähenemismärgi valimine".

Vajalik lähenemise kriteerium arvuridadel on lihtne sõnastus: koonduva jada ühine liige kipub olema null. Saate selle funktsiooni ametlikumalt kirjutada:

Kui seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ läheneb, siis $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Sageli kirjutatakse kirjanduses fraasi "konvergentsi vajalik kriteerium" asemel "lähenemise vajalik tingimus". Aga asume asja juurde: mida see märk tähendab? Ja see tähendab järgmist: kui $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, siis seeria võib olla koonduda. Kui $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (või limiiti lihtsalt ei eksisteeri), siis seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ lahkneb.

Väärib märkimist, et võrdus $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ei tähenda, et seeriad üldse ühtlustuvad. Seeria võib kas läheneda või lahkneda. Aga kui $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, siis on seeria lahknemine garanteeritud. Kui need nüansid nõuavad üksikasjalikku selgitust, siis palun avage märge.

Mida tähendab väljend "vajalik tingimus"? Näita Peida

Täpsustame vajaliku tingimuse mõistet näitega. Õpilasele pastaka ostmiseks vajalik on 10 rubla. Selle võib kirjutada nii: kui õpilane ostab pastaka, siis on tal 10 rubla. Kümne rubla olemasolu on pliiatsi ostmiseks vajalik tingimus.

Olgu see tingimus täidetud, s.t. Õpilasel on kümme. Kas see tähendab, et ta ostab pastaka? Üldse mitte. Ta võib osta pastaka või koguda raha hilisemaks tarbeks. Või osta midagi muud. Või kinkige need kellelegi - valikuid on palju :) Ehk siis pastapliiatsi ostmiseks vajaliku tingimuse täitmine (st raha omamine) ei garanteeri selle pastaka ostmist.

Samamoodi ei taga arvrea $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ konvergentsi vajalik tingimus sugugi selle rea enda konvergentsi. Lihtne analoogia: kui raha on, võib üliõpilane pastaka osta või mitte. Kui $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, võib seeria kas läheneda või lahkneda.

Mis saab aga siis, kui pastaka ostmiseks vajalik tingimus ei ole täidetud, s.o. pole raha? Siis õpilane pliiatsit kindlasti ei osta. Sama kehtib ka seeriate puhul: kui vajalik konvergentsitingimus ei ole täidetud, s.o. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, siis sari läheb kindlasti lahku.

Ühesõnaga, kui vajalik tingimus on täidetud, siis tagajärg võib, aga ei pruugi tekkida. Kui aga vajalik tingimus ei ole täidetud, siis tagajärg kindlasti ei tule.

Selguse huvides toon näite kahest seeriast: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ja $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Esimese seeria ühine liige $u_n=\frac(1)(n)$ ja teise seeria ühine liige $v_n=\frac(1)(n^2)$ kipuvad nulli, s.o.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Harmooniliste jada $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ aga lahkneb, samas kui seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ koondub. Vajaliku konvergentsitingimuse täitmine ei taga sugugi ridade konvergentsi.

Lähtudes rea konvergentsi vajalikust tingimusest, saame sõnastada piisav märk lahknemisest numbririda:

Kui $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, siis seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ lahkneb.

Kõige sagedamini kontrollitakse standardnäidetes vajalikku konvergentsikriteeriumi, kui seeria ühisliiget esindab murd, mille lugejaks ja nimetajaks on mõned polünoomid. Näiteks $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (vt näide nr 1). Või võivad olla juured polünoomidest (vt näide nr 2). On näiteid, mis on sellest skeemist mõnevõrra väljas, kuid standardtestide puhul on see haruldane (vt näiteid selle teema teisest osast). Rõhutan peamist: vajaliku kriteeriumi abil on võimatu tõestada seeriate lähenemist. Seda kriteeriumi kasutatakse siis, kui on vaja tõestada, et seeria lahkneb.

Näide nr 1

Uurige seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ konvergentsi.

Kuna alumine liitmispiir on 1, kirjutatakse seeria ühine liige summamärgi alla: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Leidke seeria ühise liikme piir:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"Kahe polünoomi suhte piir". Kuna jada ühisliikme piirmäär ei võrdu nulliga, s.o. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, siis ei ole konvergentsi vajalik kriteerium täidetud. Seetõttu lahkneb seeria.

Lahendus on aga läbi, aga usun, et lugejal tekib üsna põhjendatud küsimus: kuidas me üldse nägime, et on vaja kontrollida vajaliku konvergentsitingimuse täitmist? Arvridade lähenemise märke on palju, miks nad siis võtsid selle? See küsimus ei ole üldse tühine. Aga kuna vastus sellele ei pruugi kõiki lugejaid huvitada, siis olen selle märkuse alla peitnud.

Miks me hakkasime kasutama vajalikku lähenemiskriteeriumi? Näita Peida

Kui rääkida lõdvalt, siis selle seeria lähenemise küsimus otsustatakse juba enne ametlikku uuringut. Sellist teemat nagu kasvu järjekord ma ei puuduta, toon lihtsalt mõne üldise põhjenduse. Vaatame lähemalt tavalist terminit $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Vaatame kõigepealt lugejat. Lugejas asuva numbri (-1) võib kohe ära visata: kui $n\to\infty$, siis on see number ülejäänud terminitega võrreldes tühine.

Vaatame lugejas astmeid $n^2$ ja $n$. Küsimus: milline element ($n^2$ või $n$) kasvab teistest kiiremini?

Vastus on siin lihtne: see on $n^2$, mis suurendab selle väärtusi kõige kiiremini. Näiteks kui $n=100$, siis $n^2=10\;000$. Ja see vahe $n$ ja $n^2$ vahel muutub aina suuremaks. Seetõttu jätame mõtteliselt kõrvale kõik terminid, välja arvatud need, mis sisaldavad $n^2$. Pärast sellist "kukkumist" on lugejal $3n^2$. Ja pärast nimetaja jaoks sarnase protseduuri läbiviimist jääb sinna $5n^2$. Ja murdosa $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ saab nüüd järgmiseks: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Need. lõpmatuse juures ei kipu tavaline termin ilmselgelt nulli. Jääb vaid seda ametlikult näidata, mida tehti eespool.

Tihti kasutatakse rea ühise liikme kirjes selliseid elemente nagu näiteks $\sin\alpha$ või $\arctg\alpha$ jms. Peate lihtsalt meeles pidama, et selliste koguste väärtused ei saa ületada teatud arvulisi piire. Näiteks, olenemata $\alpha$ väärtusest, jääb $\sin\alpha$ väärtus vahemikku $-1≤\sin\alpha≤ 1$. See tähendab, et näiteks võime kirjutada, et $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Kujutage nüüd ette, et seeria ühise liikme tähis sisaldab avaldist nagu $5n+\sin(n!e^n)$. Kas siinus, mis võib "võnkuda" ainult vahemikus -1 kuni 1, mängib mingit olulist rolli? Lõppude lõpuks kiirustavad $ n $ väärtused lõpmatuseni ja siinus ei saa isegi ületada ühte! Seetõttu võib avaldise $5n+\sin(n!e^n)$ esialgsel kaalumisel siinuse lihtsalt kõrvale jätta.

Või näiteks võtta kaare puutuja. Ükskõik, milline on argumendi $\alpha$ väärtus, rahuldavad $\arctg\alpha$ väärtused ebavõrdsust $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Et teha kindlaks, milliseid elemente saab "ära visata" ja milliseid mitte, on vaja pisut oskusi. Enamasti saab seeria konvergentsi küsimuse lahendada juba enne ametlikku uuringut. Ja ametlik uuring standardnäidetes on ainult intuitiivselt saadud tulemuse kinnitus.

Vastus: seeria läheb lahku.

Näide nr 2

Konvergentsi jaoks uurige seeriat $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$.

Kuna alumine liitmispiir on võrdne 1-ga, kirjutatakse seeria ühine liige summamärgi alla: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12) $. Leidke seeria ühise liikme piir:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ vasak|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Kui selle piiri lahendamise meetod tekitab küsimusi, siis soovitan pöörduda teemasse "Piirid irratsionaalsusega. Kolmas osa" (näide nr 7). Kuna jada ühisliikme piirmäär ei võrdu nulliga, s.o. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, siis ei ole konvergentsi vajalik kriteerium täidetud. Seetõttu lahkneb seeria.

Räägime veidi intuitiivse arutlemise positsioonilt. Põhimõtteliselt peab siin paika kõik see, mis näite nr 1 lahenduse märkuses öeldi. Kui me mõtteliselt "viskame" kõik "ebaolulised" terminid seeria ühisliikme lugejas ja nimetajas, siis murdosa $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ on kujul: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Need. juba enne ametlikku uuringut saab selgeks, et $n\to\infty$ puhul ei kipu seeria ühine termin nulli. Lõpmatuseni - saab, nullini - ei. Seetõttu jääb üle ainult seda rangelt näidata, mida tehti eespool.

Vastus: seeria läheb lahku.

Näide nr 3

Uurige seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$ konvergentsi.

Kuna alumine liitmispiir on võrdne 1-ga, kirjutatakse seeria ühine liige summamärgi alla: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Leidke seeria ühise liikme piir:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(joondatud)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(joondatud)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$

Kuna jada ühisliikme piirmäär ei võrdu nulliga, s.o. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, siis ei ole konvergentsi vajalik kriteerium täidetud. Seetõttu lahkneb seeria.

Paar sõna limiidi arvutamisel tehtud teisendustest. Avaldis $5^n$ on paigutatud lugejasse nii, et nii lugejas kui ka nimetajas olevad avaldised muutuvad lõpmatult väikeseks. Need. $n\to\infty$ jaoks on meil: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ ja $\frac(1)(5^n)\to 0$. Ja kui meil on lõpmatu suhe, siis saame ohutult rakendada valemeid, mis on näidatud dokumendis "Ekvivalentsed lõpmatuseni funktsioonid" (vt tabelit dokumendi lõpus). Vastavalt ühele neist valemitest, kui $x\to 0$, siis $\sin x\sim x$. Ja meil on just selline juhtum: alates $\frac(8)(3^n)\ kuni 0$, siis $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Teisisõnu asendame lihtsalt avaldise $\sin\frac(8)(3^n)$ avaldisega $\frac(8)(3^n)$.

Arvan, et võib tekkida küsimus, miks me teisendasime avaldise $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ murrukujuliseks, sest asendamise oleks saanud teha ka ilma sellise teisenduseta. Vastus on järgmine: asendamist saab teha, kuid kas see on seaduslik? Samaväärsete lõpmatute funktsioonide teoreem annab ühemõttelise vihje, et sellised asendused on võimalikud ainult kujul $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (samas kui $\alpha(x)$ ja $ \beta (x)$ - lõpmata väike) asub piirmärgi all. Seega oleme muutnud oma avaldise murrukujuliseks, sobitades selle teoreemi nõuetega.

Vastus: seeria läheb lahku.

Näide nr 4

Uurige seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ konvergentsi.

Kuna alumine liitmispiir on võrdne 1-ga, kirjutatakse seeria ühine liige summamärgi alla: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Tegelikult on selle rea konvergentsi küsimus lihtne lahendada D "Alemberti märgi abil. Samas saab rakendada ka vajalikku lähenemismärki.

Vaatame lähemalt sarja levinud terminit. Lugeja sisaldab avaldist $3^n$, mis kasvab palju kiiremini $n$ kasvades kui nimetajas $n^2$. Võrrelge ise: näiteks kui $n=10$, siis $3^n=59049$ ja $n^2=100$. Ja see vahe kasvab kiiresti $n$ kasvuga.

On üsna loogiline eeldada, et kui $n\to\infty$, siis $u_n$ ei kipu nulli minema, st. vajalik lähenemise tingimus ei ole täidetud. Jääb vaid seda usutavat hüpoteesi testida ja $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$ arvutada. Enne selle limiidi arvutamist leiame aga funktsiooni $y=\frac(3^x)(x^2)$ abilimiidi $x\to +\infty$ jaoks, st. arvutage $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Miks me seda teeme: fakt on see, et avaldises $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ võtab parameeter $n$ ainult loomulikke väärtusi ($n=1,2,3, \ldots$) ja funktsiooni $y=\frac(3^x)(x^2)$ argument $x$ võtab tegelikud väärtused. $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ leidmisel saame rakendada L'Hopitali reeglit:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (rakenda L'Hopital's reegel) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(rakenda L'Hopitali reeglit)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3) (2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Kuna $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, siis $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Kuna $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, siis ei ole täidetud ridade konvergentsi vajalik tingimus, s.o. antud seeria lahkneb.

Vastus: seeria läheb lahku.

Teised näited seeriatest, mille konvergentsi kontrollitakse vajaliku konvergentsi testi abil, on selle teema teises osas.

Teekannu read. Lahendusnäited

Kõik ellujäänud on oodatud teisele aastale! Selles õppetükis või õigemini õppetundide seerias õpime ridade haldamist. Teema pole eriti keeruline, kuid selle valdamiseks on teil vaja teadmisi esimesest kursusest, eelkõige peate mõistma mis on piir ja suutma leida kõige lihtsamad piirid. Samas pole midagi, selgituste käigus annan vastavad lingid vajalikele õppetundidele. Mõne lugeja jaoks võib matemaatiliste seeriate, lahendusmeetodite, märkide, teoreemide teema tunduda omapärane ja isegi pretensioonikas absurdne. Sel juhul ei pea te palju "laadima", aktsepteerime fakte nii, nagu need on, ja lihtsalt õpime lahendama tüüpilisi tavalisi ülesandeid.

1) Teekannu read, ja samovaridele kohe rahul :)

Teema ülikiireks ettevalmistamiseks on pdf formaadis kiirkursus, mille abil on tõesti võimalik praktikat "tõsta" vaid päevaga.

Arvjada mõiste

Üldiselt numbriseeria võib kirjutada nii:
Siin:
- summa matemaatiline ikoon;
– sarja ühine termin(pidage meeles seda lihtsat terminit);
- muutuja - "loendur". Kirje tähendab, et summeerimine viiakse läbi 1-st "pluss lõpmatuseni", see tähendab, et kõigepealt on meil , seejärel , siis ja nii edasi - lõpmatuseni. Muutuja või kasutatakse mõnikord muutuja asemel. Summeerimine ei pruugi alata ühest, mõnel juhul võib see alata nullist, kahest või ükskõik millisest naturaalarv.

Vastavalt muutujale "loendur" saab iga seeriat üksikasjalikult värvida:
– ja nii edasi lõpmatuseni.

Tingimused - See NUMBRID, mida nimetatakse liikmed rida. Kui need kõik ei ole negatiivsed (suurem kui null või sellega võrdne), siis sellist seeriat nimetatakse positiivne arvurida.

Näide 1

Muide, see on juba "lahing" ülesanne - praktikas on üsna sageli vaja salvestada mitu sarja liiget.

Esiteks, siis:
Siis, siis:
Siis, siis:

Protsessi võib jätkata lõputult, kuid vastavalt tingimusele oli vaja kirjutada seeria kolm esimest terminit, seega paneme vastuse kirja:

Pange tähele põhimõttelist erinevust numbrijada,
milles mõisteid ei summeerita, vaid neid käsitletakse sellisena.

Näide 2

Kirjutage seeria kolm esimest terminit

See on näide ise lahendamiseks, vastus on tunni lõpus.

Isegi näiliselt keerulise seeria puhul pole keeruline seda laiendatud kujul kirjeldada:

Näide 3

Kirjutage seeria kolm esimest terminit

Tegelikult täidetakse ülesannet suuliselt: vaimselt asendaja sarja üldnimetuses kõigepealt , siis ja . Lõpuks:

Jäta vastus nii parem on mitte lihtsustada seeria saadud tingimusi, st ei järgi toimingud: , , . Miks? Vastus vormis õpetajal palju lihtsam ja mugavam kontrollida.

Mõnikord on vastupidi

Näide 4

Siin pole selget lahendusalgoritmi. pead lihtsalt mustrit nägema.
Sel juhul:

Kontrollimiseks saab saadud seeriat laiendatud kujul “tagasi värvida”.

Kuid näide on iseseisva lahenduse jaoks pisut keerulisem:

Näide 5

Kirjutage summa ahendatud kujul rea ühise liikmega

Kontrollige uuesti, kirjutades seeria laiendatud kujul

Arvridade konvergents

Teema üks peamisi eesmärke on rea konvergentsi uurimine. Sel juhul on võimalikud kaks juhtumit:

1) Ridalahkneb. See tähendab, et lõpmatu summa võrdub lõpmatusega: kas summad üldiselt ei eksisteeri, nagu näiteks sarjas
(muide, siin on näide negatiivsete terminitega seeriast). Hea näide lahknevast numbriseeriast tuli tunni alguses: . Siin on üsna ilmne, et seeria iga järgmine liige on eelmisest suurem ja seetõttu seeria lahkneb. Veel triviaalsem näide: .

2) Ridakoondub. See tähendab, et lõpmatu summa on võrdne mõnega lõplik number: . Palun: See seeria läheneb ja selle summa on null. Mõttekam näide on lõpmatult väheneb geomeetriline progressioon, meile teada juba kooliajast: . Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga: , kus on progressiooni esimene liige ja selle alus, mis reeglina kirjutatakse järgmiselt õige fraktsioonid. Sel juhul: , . Seega: Saadakse lõplik arv, mis tähendab, et jada koondub, mida oli vaja tõestada.

Kuid valdaval enamusel juhtudel leidke seeriate summa ei ole nii lihtne ja seetõttu kasutatakse praktikas seeriate konvergentsi uurimiseks spetsiaalseid märke, mis on teoreetiliselt tõestatud.

Sarja lähenemise kohta on mitmeid märke: vajalik kriteerium seeria konvergentsi jaoks, võrdluskriteeriumid, d'Alemberti kriteerium, Cauchy kriteeriumid, Leibnizi märk ja mõned muud märgid. Millal millist märki rakendada? See sõltub sarja üldterminist, piltlikult öeldes - sarja "täidisest". Ja varsti paneme kõik riiulitele.

! Edasiseks õppimiseks on vaja aru hästi, mis on piir ja on hea, kui vormi määramatust saab paljastada. Materjali kordamiseks või uurimiseks vaadake artiklit Piirid. Lahendusnäited.

Vajalik kriteerium ridade konvergentsi jaoks

Kui seeria läheneb, kipub selle ühine liige olema null: .

Üldjuhul vastupidine ei kehti, st kui , siis võib seeria nii läheneda kui ka lahkneda. Ja nii kasutatakse seda märki õigustamiseks lahknemine rida:

Kui seeria ühine termin nulli ei lähe, siis seeria läheb lahku

Või lühidalt: kui , siis seeria läheb lahku. Eelkõige on võimalik olukord, kus limiiti pole üldse olemas, nagu näiteks piir. Siin nad kohe põhjendasid ühe seeria lahknemist :)

Kuid palju sagedamini on lahkneva jada piir võrdne lõpmatusega, samas kui "x" asemel toimib see "dünaamilise" muutujana. Värskendame oma teadmisi: piiranguid "x"-ga nimetatakse funktsioonide piiranguteks ja piiranguid muutujaga "en" - numbriliste jadade piirideks. Ilmne erinevus seisneb selles, et muutuja "en" võtab diskreetseid (katkestavaid) looduslikke väärtusi: 1, 2, 3 jne. Kuid see asjaolu ei mõjuta piirmäärade lahendamise meetodeid ja määramatuste avalikustamise meetodeid.

Tõestame, et esimese näite seeriad lahknevad.
Sarja tavaline liige:

Järeldus: rida lahkneb

Vajalikku funktsiooni kasutatakse sageli reaalsetes praktilistes ülesannetes:

Näide 6

Meil on lugejas ja nimetajas polünoomid. See, kes luges hoolikalt läbi ja mõistis artiklis ebakindluse avaldamise meetodit Piirid. Lahendusnäited, sai sellest kindlasti kinni kui lugeja ja nimetaja suurimad astmed võrdne, siis on piir lõplik number .

Jagage lugeja ja nimetaja arvuga

Õppesari lahkneb, kuna ridade konvergentsi vajalik kriteerium ei ole täidetud.

Näide 7

Uurige seeriat lähenemise suhtes

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Niisiis, kui meile antakse MIS TAHES numbriseeria, eelkõige kontrollime (mõtteliselt või mustandi järgi): kas selle ühine termin kipub nulli? Kui see ei püüa, koostame näidete nr 6, 7 eeskujul lahenduse ja anname vastuse, et seeria lahkneb.

Milliseid näiliselt lahknevaid seeriaid oleme kaalunud? Kohe on selge, et read meeldivad või lähevad lahku. Näidete nr 6 ja 7 seeriad on samuti erinevad: kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome ja lugeja kõrgeim aste on suurem või võrdne nimetaja kõrgeima astmega. Kõigil neil juhtudel kasutame näidete lahendamisel ja kujundamisel vajalikku ridade konvergentsi kriteeriumi.

Miks seda märki nimetatakse vajalik? Mõistke kõige loomulikumal viisil: selleks, et seeria läheks kokku, vajalik nii et selle ühine termin kipub olema null. Ja kõik oleks hästi, aga see mitte piisavalt. Teisisõnu, kui seeria ühine liige kipub olema null, EI TÄHENDAN see, et seeria läheneb- see võib nii läheneda kui ka lahkneda!

Tutvuge:

Seda rida nimetatakse harmooniline seeria. Palun pea meeles! Numbrisarjade hulgas on ta primabaleriin. Täpsemalt baleriin =)

Seda on lihtne näha , AGA. Matemaatilise analüüsi teoorias on tõestatud, et harmooniliste jada lahkneb.

Peaksite meeles pidama ka üldistatud harmooniliste seeria kontseptsiooni:

1) See rida lahkneb aadressil . Näiteks seeriad lahknevad, , .
2) See rida koondub aadressil . Näiteks sari , , . Rõhutan veel kord, et peaaegu kõigi praktiliste ülesannete puhul pole meile üldse oluline, milline on näiteks seeria summa, oluline on selle lähenemise fakt.

Need on elementaarsed faktid jadateooriast, mis on juba tõestatud ja mõne praktilise näite lahendamisel võib julgelt viidata näiteks seeriate lahknemisele või jada konvergentsile.

Üldiselt on vaadeldav materjal väga sarnane ebaõigete integraalide uurimine, ja neil, kes on seda teemat uurinud, on see lihtsam. No neile, kes pole õppinud, on topelt lihtsam :)

Niisiis, mida teha, kui seeria ühine termin LÄHEB nulli? Sellistel juhtudel peate näidete lahendamiseks kasutama teisi, piisav lähenemise / lahknemise märgid:

Positiivsete arvuseeriade võrdluskriteeriumid

Juhin teie tähelepanu et siin räägime ainult positiivsetest arvridadest (mitte-negatiivsete liikmetega).

Võrdlusmärke on kaks, ühte neist ma lihtsalt nimetan võrdlusmärk, teine ​​- piirav võrdlusmärk.

Kõigepealt kaaluge võrdlusmärk või õigemini selle esimene osa:

Mõelge kahele positiivsele numbrilisele seeriale ja . Kui on teada, et rida on koondub, ja alates mõnest numbrist , kehtib ebavõrdsus, seejärel seeria koondub ka.

Teisisõnu: Suuremate terminitega ridade lähenemine tähendab väiksemate terminitega ridade lähenemist. Praktikas on ebavõrdsus sageli täidetud kõigi järgmiste väärtuste puhul:

Näide 8

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Esiteks kontrollime(vaimselt või eelnõu järgi) hukkamine:
, mis tähendab, et “vähese verega maha saada” polnud võimalik.

Vaatame üldistatud harmooniliste ridade "paketti" ja keskendudes kõrgeimale astmele, leiame sarnase jada: Teooriast on teada, et see koondub.

Kõigi naturaalarvude puhul kehtib ilmne ebavõrdsus:

ja suuremad nimetajad vastavad väiksematele murdudele:
, mis tähendab, et võrdluskriteeriumi järgi on uuritav seeria koondub koos kõrval .

Kui teil on kahtlusi, võib ebavõrdsuse alati üksikasjalikult maalida! Kirjutame üles mitme arvu "en" konstrueeritud võrratuse:
Kui siis
Kui siis
Kui siis
Kui siis
….
ja nüüd on täiesti selge, et ebavõrdsus kehtib kõigi naturaalarvude kohta "en".

Analüüsime võrdluskriteeriumi ja lahendatud näidet mitteformaalsest vaatenurgast. Siiski, miks sari läheneb? Siin on põhjus. Kui seeria läheneb, siis on sellel mõned lõplik summa: . Ja kuna kõik sarja liikmed väiksem rea vastavad liikmed, siis on känd selge, et ridade summa ei saa olla suurem kui arv , ja veelgi enam, ei saa olla võrdne lõpmatusega!

Samamoodi saame tõestada "sarnaste" seeriate lähenemist: , , jne.

! Märge et kõigil juhtudel on meil nimetajates “plussid”. Vähemalt ühe miinuse olemasolu võib kaalutava kasutamise tõsiselt raskendada võrdlusfunktsioon. Näiteks kui jada võrrelda samamoodi koonduva jadaga (esimeste liikmete jaoks kirjutada mitu ebavõrdsust), siis tingimus ei täitu üldse! Siin saate kõrvale hiilida ja valida võrdluseks mõne muu koonduva seeria, näiteks , kuid see toob kaasa tarbetuid broneeringuid ja muid tarbetuid raskusi. Seetõttu on seeriate konvergentsi tõestamiseks palju lihtsam kasutada marginaalne võrdluskriteerium(vt järgmist lõiku).

Näide 9

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Ja selles näites soovitan teil ise mõelda võrdlusfunktsiooni teine ​​osa:

Kui on teada, et rida on lahkneb ja alustades mõnest numbrist (sageli algusest peale) ebavõrdsus kehtib, siis seeria samuti lahkneb.

Teisisõnu: Väiksemate terminitega ridade lahknemine tähendab suuremate terminitega seeriate lahknemist.

Mida tuleks teha?
Uuritavat jada on vaja võrrelda lahkneva harmoonilise jadaga. Parema mõistmise huvides konstrueerige mõned konkreetsed ebavõrdsused ja veenduge, et ebavõrdsus on tõsi.

Lahendus ja näidiskujundus tunni lõpus.

Nagu juba märgitud, kasutatakse praktikas just vaadeldud võrdlusfunktsiooni harva. Numbriseeria tõeline "tööhobune" on marginaalne võrdluskriteerium, ja kasutussageduse osas ainult d'Alemberti märk.

Arvuliselt positiivsete seeriate võrdluse piirmärk

Mõelge kahele positiivsele numbrilisele seeriale ja . Kui nende ridade ühisliikmete suhte piir on võrdne lõplik nullist erinev arv: , siis mõlemad seeriad koonduvad või lahknevad samal ajal.

Millal kasutatakse piirmäärade võrdluskriteeriumi? Võrdluse piirmärki kasutatakse siis, kui seeria “täidis” on polünoomid. Kas üks polünoom nimetajas või polünoomid nii lugejas kui ka nimetajas. Soovi korral võivad polünoomid olla juurte all.

Tegeleme sarjadega, mille puhul eelmine võrdlusmärk takerdus.

Näide 10

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Võrrelge seda seeriat koonduvate seeriatega. Võrdluseks kasutame piirtesti. On teada, et seeria läheneb. Kui suudame näidata, et see nii on lõplik nullist erinev number, tõestatakse, et seeriad ka koonduvad.

Saadakse lõplik nullist erinev arv, mis tähendab, et uuritav seeria koondub koos kõrval .

Miks valiti võrdluseks sari? Kui oleksime valinud üldistatud harmooniliste jadate “klipist” mõne muu seeria, poleks meil limiit õnnestunud lõplik nullist erinev numbrid (saate katsetada).

Märge: kui kasutame marginaalset võrdlusfunktsiooni, ebaoluline, millises järjekorras ühisliikmete seost koostada, võiks vaadeldavas näites seose joonistada vastupidiselt: - see ei muudaks asja olemust.

Lisa

Veebiteenuse sait aitab teil leida võrgus nii numbrilise jada kui ka funktsionaalseeria seeriate summa. Rea summa on matemaatikute jaoks midagi erilist, et mõista arvsuuruste analüüsi ja piirini jõudmist. Sarjade üldlahenduse kohta on viimastel sajanditel räägitud ja kirjutatud palju kasulikke töid. Iga õpetaja jaoks isiklikult on oluline kohustus oma kogutud matemaatikateadmised edastada lõppkuulajale ehk õpilasele. Sellist rea 1/n summat on lihtsam otsida. Seeria 1/n^2 summa esitatakse teile lühikese tähistusega. Lisaks võrguarvulise jada jada summa määramisele võib sait leida võrgust seeria nn osasumma. Sellest on kindlasti abi analüütiliste esituste puhul, kui on vaja väljendada ja leida lahendus seeriate osasummade arvjada piirile online-seeriate summa. Oma olemuselt pole seeria summa midagi muud kui funktsiooni jadaks laiendamise pöördtehing. Toimingud on oma olemuselt peaaegu vastastikused. Juhtus nii, et rea konvergentsi uuritakse pärast piirväärtuste matemaatilise analüüsi loengukursuse läbimist. Rea leitud lahendus tähendab selle konvergentsi või lahknemise uuringu tulemust. See tulemus on üheselt määratud. Võrreldes analoogidega on saidil vaieldamatud eelised, kuna see suudab Internetist leida nii numbrilise kui ka funktsionaalse seeria seeriate summa, mis võimaldab teil üheselt määrata esialgse esialgse seeria lähenemisala. , kasutades peaaegu kõiki teadusele teadaolevaid metoodikaid. Tuginedes jadateooriale, on arvjada igal ajahetkel konvergentsi vajalik tingimus arvjada ühisliikme piiri võrdsus nulliga lõpmatuses. Kuid sellest tingimusest ei piisa arvridade konvergentsi tuvastamisel võrgus. Kaldugem veidi kõrvale pakilisest probleemist ja vaidleme matemaatika seeriate üle teistsuguse filosoofilise seisukoha järgi. Sinu jaoks saab sellest võrguseeriate lahendusest parim kalkulaator ja abiline igaks päevaks. Pole sugugi soov istuda ilusatel talvepäevadel tundide jaoks välja, kui rea summa on kahes kontos otse silme ees. Kui kellelgi on vaja määrata rea ​​läbisõit, kulub pärast õigete andmete esialgset sisestamist mõni sekund. Kuigi sarnased saidid nõuavad oma teenuste eest tasu, püüame olla kasulikud kõigile, kes soovivad meie lihtsa teenuse abil õppida ise näiteid lahendama. Seeria lahendust saame teie äranägemise järgi esitada veebis igas kaasaegses seadmes ehk igas brauseris, seega on seeriate summa 1/n lõpmatuses lahknemise leidmine ja tõestamine lihtne ülesanne. Pidage alati meeles, kuidas ridade 1/n^2 summa läheneb ja sellel on matemaatikas tohutu semantiline tähendus. Aga finaalseeria summa selgub tavaliselt pärast näiteks integraalmärgi või Raabe märgi kasutamist, millest tavaülikoolides teavad vähesed. Internetis seeriate konvergentsi määramisel on teadlased tuletanud mitmeid piisavaid märke seeriate lähenemisest või lahknemisest. Tuntumad ja sagedamini kasutatavad meetodid on D "Alemberti märgid, Cauchy konvergentsimärk, Raabe lähenemismärk, arvridade võrdlusmärk ja arvurea lähenemise integraalmärk. Selline arv Erilist tähelepanu väärivad seeriad, milles terminite märgid peavad rangelt vahelduma üksteise järel miinusest plussiks ja vastupidi ning nende arvridade absoluutväärtused vähenevad monotoonselt, st ühtlaselt. Praktikas uuritakse seeriatest selgus, et selliste arvridade jaoks piisab võrgus märgi-vahelduva jada konvergentsi vajalikust kriteeriumist, see tähendab, et ühine liikmepiir on võrdne nulli arvuridadega lõpmatuses. Sel viisil leitud ridade summa on samaväärne teiste kasutatud meetoditega.Seeriate ühtlustamine võtab tohutu ajaraiskamise, kuna protsess ise hõlmab funktsiooni täielikku uurimist. On palju erinevaid saite, mis pakuvad võrgus seeria summa arvutamise teenuseid, nagu samuti funktsioonide laiendamine reas dir omada veebis igal ajal uuritava funktsiooni määratluspiirkonnast. Funktsiooni on nendes teenustes lihtne seeriaks laiendada, kuna kasutatakse tuletise arvutamise funktsionaalset, kuid pöördtehtet - funktsionaalse võrguseeria summa leidmiseks, mille liikmed ei ole arvud, vaid funktsioonid. , on praktikas sageli võimatu vajalike arvutusressursside puudumise tõttu tekkivate raskuste tõttu.. Kasutage meie ressurssi seeriate summa arvutamiseks võrgus, kontrollige ja kinnitage oma teadmisi. Kui seeriate summa läheb lahku, siis ei saa me mõnes ühises ülesandes edasisteks tegevusteks oodatud tulemust. Seda saab eelnevalt vältida, rakendades oma teadmisi spetsialistina. Lõpuks ei saa mainimata jätta, kuidas seeria 1/n summa on avaldises kõige lihtsam ja seda sageli tuuakse näiteks. Isegi kui nad tahavad juhtumis näidata mingit konvergentsi märki, tõestavad nad seda rea ​​1/n^2 summana, sest selline esitus on õpilaste jaoks läbipaistev ja õpilased ei jää segadusse. Kuna meil on rea kompleksse üldliikme avaldis, siis lõplike ridade summast oleks kasu, kui tõestada (algse rea suhtes) suuremate jadate puhul, et see koondub. Teisest küljest toimub seeria konvergents sõltumata probleemi algtingimustest. Ainult meie teenindussait suudab pakkuda parimat ridade lahendust, sest ainult meie garanteerime teie aja kokkuhoiu, kui võrrelda arvutuse maksumust tulemuse kasulikkuse ja täpsusega. Kuna soovitud seeriate summat saab enamikul juhtudel esitada suurseeriaga, on seda lihtsalt otstarbekam uurida. Seega näitab seeria konvergents majoriseerivast üldmõistest ühemõtteliselt põhiväljendi koondumist ja probleem laheneb kohe iseenesest Kõrgkoolide õppejõud saavad meie sarja lahendust kasutada ka veebis ja kontrollida oma kadettide tööd. Mõnel juhul saab seeriate summa arvutada füüsika, keemia või rakendusliku distsipliini ülesandes, takerdumata rutiinsetesse arvutustesse, et mitte kalduda mõne loodusliku protsessi uurimisel põhisuunast kõrvale. Alustuseks kirjutavad nad tavaliselt kõige rohkem üles, et nad ei saa süüa lihtsustatud avaldist rea 1 / n summa kujul ja see lähenemine on õigustatud. Arv Pi esineb paljudes arvutustehetes, kuid ridade summa 1/n^2 võib öelda, et see on klassikaline näide harmoonilise jada lähenemisest lõpmatuses. Mida üldse tähendab väljend "lõpliku rea summa"? Ja see tähendab lihtsalt seda, et see koondub ja selle osasummade piiril on konkreetne arvväärtus. Kui seeria konvergents leiab kinnitust ja see mõjutab süsteemi lõplikku stabiilsust, siis on võimalik probleemi sisendparameetreid muuta ja proovida seda uuesti teha. Lõpuks tahame anda teile esmapilgul kaudseid, kuid praktikas väga kasulikke nõuandeid. Isegi kui teil on piisavalt kogemusi seeriate lahendamisel ja te ei vaja seeriate võrgus lahendamiseks selliseid teenuseid, soovitame teil alustada seeriate summa leidmist seeriate konvergentsi määramisest. Kulutage sellele toimingule saiti kasutades vaid minut, nii et seeriate summa arvutamisel pidage seda asjaolu meeles. See ei lähe üleliigseks! Seeria summade kohta on Internetis matemaatika saitidel palju kirjutatud, lisatud on palju illustratsioone, kuna eelmisel sajandil tähistasid teadlased seeria summa avaldisi sümbolitega. Üldiselt on vähe muutunud, kuid on huvitavaid hetki. Kui seeriate lähenemine võrgus tundub võimatu, kontrollige lihtsalt sisestatud andmeid ja korrake taotlust rahulikult. Sellegipoolest on parem kõigepealt kontrollida seeria ühist terminit. Ja kõik seeriate võrgulahendused ilmuvad kohe saidile, ülesandele vastuse saamiseks ei pea te lisalinke klõpsama. Parim teeb ekspertide hinnangul õpilased seerialahenduskalkulaatori valikul nõudlikumaks. Seeriate konvergentsi kontseptsioon, st lõpliku summa olemasolu, investeeritakse seeriate summasse võrguteenusena. Koos selle jaotisega tutvustatakse põhiteemasid, nagu integraalid ja tuletised, kuna need kõik on omavahel tihedalt seotud. Räägime koos meiega, kuidas rea 1/n summa lahkneb muutuja kaldudes lõpmatuseni. Kuid sellise jada teine ​​summa nagu 1/n^2 läheneb vastupidi ja võtab lõpliku arvavaldise. Huvitav on uurida juhtumeid, kus lõpliku jada summa esitatakse järk-järgult rea vahepealsete osasummadena muutuja astmelise suurenemisega ühe või võib-olla mitme ühiku võrra korraga. Soovitame teil pärast ülesannete enda lahendusi kontrollida seeria konvergentsi võrgus. See võimaldab teil teemat üksikasjalikult mõista ja tõsta oma teadmiste taset. Ärge unustage seda kunagi, me püüame ainult teie jaoks. Kord tunnis näitas õpetaja seeriate lahendust võrgus arvutitehnoloogia abil. Pean ütlema, et see meeldis kõigile väga. Pärast seda juhtumit oli kalkulaator nõutud kogu matemaatika õppimise vältel. Ei ole üleliigne kontrollida, kuidas kalkulaator seeriate summa arvutab võrgus mõne sekundi jooksul pärast tulemuse näitamise soovi. Kohe selgub, millises suunas tasub probleemi lahendamise kurssi hoida. Kuna osades kallites õpikutes pole sarjade lähenemisest palju kirjutatud, on parem Internetist alla laadida mitu head aruannet väljapaistvatelt teadlastelt ja läbida nende metoodika kursus. Tulemus saab olema hea. Sarjade lahendamisel ei saa välistada kõige esimest lähenemise märki, nimelt kalduvust selle ühise liikme piiri nullile. Kuigi see ei ole piisav tingimus, on see alati vajalik. Lahendatud näite terviklikkus tekitab õpilases meeldiva tunde, kui ta mõistab, et seeriate summa on arvutatud ilma vihjeid kasutamata. Õpikud on mõeldud juhendina oma oskuste ellu viimisel. Kuna te unustate käsitletud materjali, peate igal neljapäeval kulutama vähemalt viis minutit loengute põgusaks ülevaatamiseks, vastasel juhul unustate seansi alguseks kõik ja veelgi enam unustate seeriate konvergentsi arvutamise. . Alustage ühest ja siis saage oma laiskusest üle. Pole ime, et õpetajad on sunnitud tõestama, kuidas seeria 1/n summa lahkneb. Kuid kui sellegipoolest esitatakse seeria 1/n ^ 2 summa vahelduva seeriana, siis ei juhtu midagi kohutavat - lõppude lõpuks koonduvad absoluutseeriad! Ja loomulikult võib lõplike seeriate summa teile erilist huvi pakkuda, kui õpite seda distsipliini iseseisvalt. Lõviosa näidetest on lahendatud d'Alemberti meetodil ja seeriate lahendus taandatakse sel juhul piirmäärade arvutamisele selle naaberliikmete, nimelt järgmise ja eelmisega, suhtena. Seetõttu soovime teile edu matemaatika lahendamisel ja ärge kunagi tehke vigu! Võtame aluseks nn seeriate võrgulahenduse uurimise lahkarvamuse suunas, aluspõhimõtete ja teaduslike interdistsiplinaarsete suundade kaasamise. Leiame teile vastuse ja ütleme teile jaatavalt, et seeriate summa lahendatakse mitme põhimõtteliselt erineva meetodiga, kuid lõpuks on tulemus sama. Vihje seeria konvergentsi kohta pole õpilastele alati ilmne, isegi kui neile vastus ette öeldakse, kuigi loomulikult tõukab see neid kindlasti õige lahenduseni. Abstraheerimine matemaatikas, kuigi see on kohalikul tasemel, toetab seda teooria ja tõestab ühe hetkega mõningaid vaieldamatuid fakte. Seeriate võrgus lahendamisel ei saa mööda vaadata sellisest aspektist nagu arvjada konvergentsi teoreetiliste põhiprintsiipide rakendatavus või rakendamatus ja rea ​​komplekssumma esitamine mõnes lihtsustatud versioonis meeldivama väljanägemise huvides. Kuid on juhtumeid, kus seeria 1 / n summa läheneb ja me ei häiri teid selle juhtumiga, sest peate vaid asendama lõpmatuse sümboli asemel mõne täisarvu ja siis vähendatakse kogu summat tavaline aritmeetiline jada. Harmooniline jada on jada 1/n^2 summa, siis on võrk mis tahes tõstetud võimsusega.