Puutujate siinuste koosinuste veerandid. trigonomeetriline ring. Trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtused

Kui olete juba tuttav trigonomeetriline ring , ja soovite lihtsalt värskendada üksikuid elemente oma mälus või olete täiesti kannatamatu, siis siin see on, :

Siin analüüsime kõike üksikasjalikult samm-sammult.

Trigonomeetriline ring ei ole luksus, vaid vajadus

Trigonomeetria paljud on seotud läbimatu tihnikuga. Nii palju tähendusi kuhjub järsku trigonomeetrilised funktsioonid, nii palju valemeid ... Aga see on nagu - see ei õnnestunud alguses ja ... edasi ja edasi ... puhas arusaamatus ...

Väga oluline on mitte käega vehkida trigonomeetriliste funktsioonide väärtused, - öeldakse, väärtuste tabeliga saab alati kannust vaadata.

Kui vaatate pidevalt tabelit trigonomeetriliste valemite väärtustega, siis loobugem sellest harjumusest!

Päästab meid! Töötate sellega mitu korda ja siis hüppab see teie pähe iseenesest. Miks see on parem kui laud? Jah, tabelist leiate piiratud arvu väärtusi, kuid ringilt - KÕIK!

Näiteks, ütleme, vaadates trigonomeetriliste valemite väärtuste standardtabel , mis on näiteks 300 kraadi või -45 siinus.

Mitte mingil juhul? .. saate muidugi ühendada redutseerimisvalemid... Ja vaadates trigonomeetrilist ringi, saate sellistele küsimustele lihtsalt vastata. Ja varsti saate teada, kuidas!

Ja trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel ilma trigonomeetrilise ringita - üldse mitte kuskil.

Sissejuhatus trigonomeetrilisse ringi

Lähme järjekorras.

Kõigepealt kirjutage üles järgmised numbrite jadad:

Ja nüüd see:

Ja lõpuks see:

Muidugi on selge, et tegelikult on esiteks, teisel kohal on ja viimasel -. See tähendab, et oleme ahela vastu rohkem huvitatud.

Aga kui ilus see välja tuli! Sel juhul taastame selle “imelise redeli”.

Ja miks me seda vajame?

See ahel on siinuse ja koosinuse peamised väärtused esimeses kvartalis.

Joonistame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ühikulise raadiusega ringi (see tähendab, et võtame suvalise raadiuse piki pikkust ja kuulutame selle pikkuse ühikuks).

"0-Start" tala küljest jätame noole (vt joonis) nurgad kõrvale.

Ringil saame vastavad punktid. Seega, kui projitseerida punktid igale teljele, saame ülaltoodud ahelast täpselt väärtused.

Miks see nii on, küsite?

Ärme võta kõike lahti. Kaaluge põhimõte, mis võimaldab teil toime tulla teiste sarnaste olukordadega.

Kolmnurk AOB on täisnurkne kolmnurk koos . Ja me teame, et nurga vastas asub hüpotenuusist kaks korda väiksem jalg (meie hüpotenuus = ringi raadius, see tähendab 1).

Seega AB= (ja seega OM=). Ja Pythagorase teoreemi järgi

Loodan, et nüüd sai midagi selgeks.

Nii et punkt B vastab väärtusele ja punkt M vastab väärtusele

Samamoodi ka ülejäänud esimese kvartali väärtustega.

Nagu aru saate, saab meile tuttav telg (härg). koosinustelg, ja telg (oy) - siinuse telg . hiljem.

Koosinusteljel nullist vasakul (siinusteljel alla nulli) jääb loomulikult negatiivsed väärtused.

Niisiis, siin see on, KÕIKVÕIMAS, ilma milleta pole trigonomeetrias kusagil.

Aga kuidas trigonomeetrilist ringi kasutada, sellest räägime.

Võrdlusandmed puutuja (tg x) ja kotangensi (ctg x) kohta. Geomeetriline definitsioon, omadused, graafikud, valemid. Puutujate ja kotangentide, tuletiste, integraalide, seerialaiendite tabel. Avaldised keeruliste muutujate kaudu. Seos hüperboolsete funktsioonidega.

Geomeetriline määratlus

|BD| - punktis A tsentreeritud ringikaare pikkus.
α on radiaanides väljendatud nurk.

Tangent ( tgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub hüpotenuusi ja jala vahelisest nurgast α täisnurkne kolmnurk, võrdub vastasjala pikkuse suhtega |BC| külgneva jala pikkusele |AB| .

Kotangent ( ctgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| vastasjala pikkuseni |BC| .

Tangent

Kus n- terve.

AT Lääne kirjandus puutuja defineeritakse järgmiselt:
.
;
;
.

Puutujafunktsiooni graafik, y = tg x

Kotangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on kootangens tähistatud järgmiselt:
.
Samuti on kasutusele võetud järgmine märge:
;
;
.

Kootangensfunktsiooni graafik, y = ctg x

Tangensi ja kotangensi omadused

Perioodilisus

Funktsioonid y= tg x ja y= ctg x on perioodilised perioodiga π.

Pariteet

Funktsioonid puutuja ja kotangent on paaritud.

Määratlusvaldkonnad ja väärtused, tõusev, kahanev

Funktsioonid tangens ja kotangent on oma definitsioonipiirkonnas pidevad (vt pidevuse tõestust). Puutuja ja kotangensi peamised omadused on toodud tabelis ( n- täisarv).

	y= tg x	y= ctg x
Ulatus ja järjepidevus
Väärtuste vahemik	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Kasvav		-
Langevad	-
Äärmused	-	-
Nullid, y= 0
Lõikepunktid y-teljega, x = 0	y= 0	-

Valemid

Avaldised siinuse ja koosinuse mõistes

; ;
; ;
;

Summa ja vahe puutuja ja kotangensi valemid

Ülejäänud valemeid on näiteks lihtne hankida

Puutujate korrutis

Puutujate summa ja erinevuse valem

See tabel näitab mõne argumendi väärtuse puutujate ja kotangentide väärtusi.

Avaldised kompleksarvude kujul

Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi

;
;

Tuletised

; .

.
Funktsiooni muutuja x n-ndat järku tuletis:
.
Tangensi > > > valemite tuletamine ; kotangensi jaoks >>>

Integraalid

Laiendused seeriateks

Puutuja laienduse saamiseks x-i astmetes on vaja võtta mitu laienduse liiget jõuseeria funktsioonide jaoks sin x ja cos x ja jagage need polünoomid üksteiseks , . Selle tulemuseks on järgmised valemid.

Kell .

aadressil .
kus B n- Bernoulli numbrid. Need määratakse kas kordumise seose põhjal:
;
;
kus .
Või vastavalt Laplace'i valemile:

Pöördfunktsioonid

Tangensi ja kotangensi pöördfunktsioonid on vastavalt arktangens ja arkotangens.

Arktangent, arctg

, kus n- terve.

Kaare puutuja, arcctg

, kus n- terve.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
G. Korn, Matemaatika käsiraamat teadlastele ja inseneridele, 2012.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada tuvastamiseks teatud isik või seos temaga.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda mitmesugust teavet sealhulgas teie nimi, telefoninumber, aadress Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid üritusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid pakutavate teenuste täiustamiseks ja teile meie teenuste kohta soovituste andmiseks.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuvaidlusi ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Nurkade loendamine trigonomeetrilisel ringil.

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

See on peaaegu sama, mis eelmises õppetükis. Seal on teljed, ring, nurk, kõik on lõug-hiina. Lisatud veerandinumbrid (suure ruudu nurkades) – esimesest neljandani. Ja siis äkki kes ei tea? Nagu näete, on kvartalid (neid nimetatakse ka ilus sõna"kvadrandid") on nummerdatud käigu vastu päripäeva. Lisatud nurkade väärtused telgedele. Kõik on selge, ei mingeid särisusi.

Ja lisas rohelise noole. Plussiga. Mida ta tähendab? Tuletan meelde, et nurga fikseeritud pool alati naelutatud positiivsele teljele OH. Seega, kui keerame nurga liikuva külje pluss nool, st. kasvavas kvartalis, nurk loetakse positiivseks. Näiteks on pildil positiivne nurk +60°.

Kui nurgad edasi lükata sisse tagakülg, päripäeva, nurk loetakse negatiivseks. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti tahvelarvutis), näete sinist noolt, millel on miinus. See on nurkade negatiivse lugemise suund. Näitena on näidatud negatiivne nurk (-60°). Ja näete ka, kuidas telgedel olevad numbrid on muutunud... Tõlkisin need ka negatiivseteks nurkadeks. Kvadrantide numeratsioon ei muutu.

Siin algavad tavaliselt esimesed arusaamatused. Kuidas nii!? Ja kui negatiivne nurk ringil langeb kokku positiivsega!? Ja üleüldse selgub, et liigutatava külje (või numbriringi punkti) sama asukohta võib nimetada nii negatiivseks kui positiivseks nurgaks!?

Jah. Täpselt nii. Oletame, et 90-kraadine positiivne nurk võtab ringi täpselt sama positsiooni negatiivse nurgana miinus 270 kraadi. Positiivne nurk, näiteks +110° kraadi, kulub täpselt sama asendis, kuna negatiivne nurk on -250°.

Pole probleemi. Kõik on õige.) Nurga positiivse või negatiivse arvutuse valik sõltub ülesande olukorrast. Kui tingimus ei ütle midagi lihttekst nurga märgi kohta (näiteks "määrake väikseim positiivne nurk" jne), siis töötame väärtustega, mis on meile mugavad.

Erandiks (ja kuidas ilma nendeta ?!) on trigonomeetrilised ebavõrdsused, kuid seal saame selle triki selgeks.

Ja nüüd küsimus teile. Kuidas ma tean, et 110° nurga asend on sama, mis -250° nurga asend?
Annan vihje, et see on tingitud täiskäibest. 360°... Kas pole selge? Seejärel joonistame ringi. Joonistame paberile. Nurga märgistamine umbes 110°. Ja uskuda kui palju on jäänud täispöördeni. Ainult 250° on jäänud...

Sain aru? Ja nüüd - tähelepanu! Kui nurgad 110° ja -250° hõivavad ringi sama positsioon, mis siis? Jah, asjaolu, et nurgad on 110 ° ja -250 ° täpselt sama siinus, koosinus, puutuja ja kotangens!
Need. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja nii edasi. Nüüd on see tõesti oluline! Ja iseenesest - seal on palju ülesandeid, kus on vaja avaldisi lihtsustada, ja aluseks on hilisema reduktsioonivalemite ja muude trigonomeetria keerukuse väljatöötamine.

Muidugi võtsin 110 ° ja -250 ° juhuslikult, puhtalt näiteks. Kõik need võrdsused töötavad kõigi nurkade puhul, mis asuvad ringil sama positsiooniga. 60° ja -300°, -75° ja 285° jne. Märgin kohe, et nende paaride nurgad - mitmesugused. Kuid neil on trigonomeetrilised funktsioonid - sama.

Ma arvan, et saate aru, mis on negatiivsed nurgad. See on üsna lihtne. Vastupäeva on positiivne arv. Teel on see negatiivne. Kaaluge positiivset või negatiivset nurka oleneb meist endist. Meie soovist. No ja ülesandest muidugi veel... Loodan, et saate aru, kuidas trigonomeetrilistes funktsioonides liikuda negatiivsetest nurkadest positiivsetesse ja vastupidi. Joonista ring, ligikaudne nurk ja vaata, kui palju on puudu enne täispööret, s.t. kuni 360°.

Nurgad üle 360°.

Käsitleme nurki, mis on suuremad kui 360 °. Ja selliseid asju juhtub? Neid on muidugi. Kuidas neid ringile joonistada? Pole probleemi! Oletame, et peame mõistma, millises kvartalis langeb 1000 ° nurk? Lihtsalt! Teeme ühe täispöörde vastupäeva (nurk anti meile positiivne!). Kerige 360° tagasi. Noh, lähme edasi! Veel üks pööre - see on juba osutunud 720 °. Kui palju on jäänud? 280°. Täispöördeks ei piisa ... Kuid nurk on üle 270 ° - ja see on piir kolmanda ja neljanda kvartali vahel. Seega langeb meie 1000° nurk neljandasse kvartalisse. Kõik.

Nagu näete, on see üsna lihtne. Tuletan veel kord meelde, et nurk 1000° ja nurk 280°, mille saime "lisa" täispöörete kõrvalejätmisega, on rangelt võttes mitmesugused nurgad. Kuid nende nurkade trigonomeetrilised funktsioonid täpselt sama! Need. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Kui ma oleksin siinus, siis ma ei märkaks nende kahe nurga erinevust...

Miks seda kõike vaja on? Miks me peame nurgad ühelt teisele tõlkima? Jah, kõik sama eest.) Väljendite lihtsustamiseks. Avaldiste lihtsustamine on tegelikult koolimatemaatika põhiülesanne. Noh, tee peal treenib pea.)

Noh, kas me harjutame?)

Vastame küsimustele. Esialgu lihtne.

1. Millisesse veerandisse langeb nurk -325°?

2. Millisesse veerandisse langeb nurk 3000°?

3. Millisesse kvartalisse langeb nurk -3000°?

Kas on probleem? Või ebakindlus? Läheme jaotisse 555, Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga. Seal, selle väga esimeses õppetunnis praktiline töö..." kõik on üksikasjalik ... Sisse selline ebakindluse küsimused ei peaks!

4. Mis on sin555° märk?

5. Mis on tg555° märk?

Määratud? Suurepärane! Kahtlus? See on vajalik § 555 ... Muide, seal saate teada, kuidas tõmmata trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti. Väga kasulik asi.

Ja nüüd targemad küsimused.

6. Vii avaldis sin777° väikseima positiivse nurga siinusse.

7. Vii avaldis cos777° suurima negatiivse nurga koosinusesse.

8. Teisenda avaldis cos(-777°) väikseima positiivse nurga koosinusseks.

9. Vii avaldis sin777° suurima negatiivse nurga siinusse.

Mis, küsimused 6-9 on hämmingus? Harjuge ära, eksamil selliseid sõnastusi pole... Olgu nii, ma tõlgin ära. Ainult sinu jaoks!

Sõnad "vähendada väljendit ..." tähendavad avaldise teisendamist nii, et selle väärtus muutuks pole muutunud a välimus muudetud vastavalt ülesandele. Seega peame ülesannetes 6 ja 9 saama siinuse, mille sees on väikseim positiivne nurk. Kõik muu ei oma tähtsust.

Annan vastused järjekorras (rikkudes meie reegleid). Aga mis teha, on ainult kaks märki ja ainult neli neljandikku ... Te ei haju valikutesse.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Ma arvan, et vastused küsimustele 6-9 ajasid mõned inimesed segadusse. Eriti -sin (-57°), eks?) Tõepoolest, nurkade loendamise elementaarsetes reeglites on ruumi vigadele ... Sellepärast pidin tegema õppetunni: "Kuidas määrata funktsioonide märke ja anda nurki trigonomeetrilisel ringil?" Jaotises 555. Seal on sorteeritud ülesanded 4-9. Hästi sorteeritud, koos kõigi lõksudega. Ja nad on siin.)

Järgmises tunnis käsitleme salapäraseid radiaane ja arvu "Pi". Siit saate teada, kuidas lihtsalt ja õigesti teisendada kraadid radiaanideks ja vastupidi. Ja me oleme üllatunud, kui avastame selle saidi elementaarse teabe aitab juba mõne mittestandardse trigonomeetria mõistatuse lahendamiseks!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Trigonomeetrilise funktsiooni märk sõltub ainult koordinaatide veerandist, milles arvuline argument asub. Viimati õppisime, kuidas tõlkida argumendid radiaanmõõdust kraadimõõtudeks (vt õppetundi „Nurga radiaan ja kraadimõõt”) ning seejärel määrata see sama koordinaatveerand. Nüüd tegeleme tegelikult siinuse, koosinuse ja puutuja märgi määratlusega.

Nurga α siinus on trigonomeetrilise ringi punkti ordinaat (koordinaat y), mis tekib raadiuse pööramisel läbi nurga α.

Nurga α koosinus on trigonomeetrilise ringi punkti abstsiss (x koordinaat), mis tekib raadiuse pöörlemisel läbi nurga α.

Nurga α puutuja on siinuse ja koosinuse suhe. Või samaväärselt y-koordinaadi ja x-koordinaadi suhe.

Tähistus: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Kõik need määratlused on teile tuttavad keskkooli algebra kursusest. Meid ei huvita aga definitsioonid ise, vaid tagajärjed, mis trigonomeetrilisel ringil tekivad. Vaata:

Sinine värv tähistab OY-telje positiivset suunda (ordinaattelg), punane värv näitab OX-telje (abstsisstellje) positiivset suunda. Sellel "radaril" ilmnevad trigonomeetriliste funktsioonide märgid. Eriti:

1. sin α > 0, kui nurk α asub I või II koordinaatveerandis. Seda seetõttu, et definitsiooni järgi on siinus ordinaat (y-koordinaat). Ja y-koordinaat on positiivne täpselt I ja II koordinaatveerandis;
2. cos α > 0, kui nurk α asub I või IV koordinaatveerandis. Sest ainult seal on x-koordinaat (see on ka abstsiss) suurem kui null;
3. tg α > 0, kui nurk α asub I või III koordinaatkvadrandis. See tuleneb definitsioonist: lõppude lõpuks tg α = y : x , seega on see positiivne ainult siis, kui x ja y märgid langevad kokku. See juhtub 1. koordinaatide veerandis (siin x > 0, y > 0) ja 3. koordinaatide veerandis (x< 0, y < 0).

Selguse huvides märgime iga trigonomeetrilise funktsiooni märgid - siinus, koosinus ja puutuja - eraldi "radarile". Saame järgmise pildi:

Märkus: oma mõttekäigus ei rääkinud ma kordagi neljandast trigonomeetrilisest funktsioonist – kotangensist. Fakt on see, et kotangensi märgid langevad kokku puutuja märkidega - seal pole erireegleid.

Nüüd teen ettepaneku kaaluda näiteid, mis on sarnased probleemidega B11 proovieksam matemaatikas, mis toimus 27. septembril 2011. Ju Parim viis teooria mõistmine on praktika. Soovitavalt palju harjutamist. Muidugi muudeti veidi ülesannete tingimusi.

Ülesanne. Määrake trigonomeetriliste funktsioonide ja avaldiste märgid (funktsioonide endi väärtusi pole vaja arvestada):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. punakaspruun (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Tegevusplaan on järgmine: esmalt teisendame kõik nurgad radiaanist kraadimõõtudeks (π → 180°) ja seejärel vaatame, millises koordinaatveerandis on saadud arv. Kvartaleid teades leiame sildid hõlpsasti üles – just kirjeldatud reeglite järgi. Meil on:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Kuna 135° ∈ , on see nurk II koordinaatkvadrandist. Kuid teise veerandi siinus on positiivne, seega sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Sest 210° ∈ , see on nurk III koordinaatkvadrandist, milles kõik koosinused on negatiivsed. Seetõttu cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Alates 300° ∈ asume IV kvadrandis, kus puutuja saab negatiivsed väärtused. Seetõttu tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Tegeleme siinusega: kuna 135° ∈ , see on teine ​​veerand, milles siinused on positiivsed, s.o. sin (3π/4) > 0. Nüüd töötame koosinusega: 150° ∈ - jälle teine ​​veerand, sealsed koosinused on negatiivsed. Seega cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Vaatame koosinust: 120° ∈ on II koordinaatveerand, seega cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Jälle saime toote, milles tegurid erinevad märgid. Kuna "miinus korda pluss annab miinuse", on meil: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Töötame siinusega: alates 150° ∈ , me räägime umbes II koordinaatveerandi kohta, kus siinused on positiivsed. Seetõttu sin (5π/6) > 0. Samamoodi on 315° ∈ IV koordinaatveerand, sealsed koosinused on positiivsed. Seetõttu cos (7π/4) > 0. Saime kahe positiivse arvu korrutise - selline avaldis on alati positiivne. Järeldame: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Kuid nurk 135° ∈ on teine ​​veerand, s.o. punakaspruun (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Kuna "miinus pluss annab miinusmärgi", on meil: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Vaatleme kotangensi argumenti: 240° ∈ on III koordinaatveerand, seega ctg (4π/3) > 0. Samamoodi puutuja jaoks on meil: 30° ∈ on I koordinaatveerand, s.o. lihtsaim nurk. Seetõttu tg (π/6) > 0. Jällegi saime kaks positiivset avaldist – ka nende korrutis saab olema positiivne. Seetõttu ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lõpetuseks heidame pilgu veel mõnele väljakutseid pakkuvad ülesanded. Lisaks trigonomeetrilise funktsiooni märgi väljaselgitamisele tuleb siin teha väike arvutus – täpselt nagu seda tehakse reaalülesannetes B11. Põhimõtteliselt on need peaaegu reaalsed ülesanded, mida matemaatika eksamil tõesti leidub.

Ülesanne. Leia sin α, kui sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Kuna sin 2 α = 0,64, on meil: sin α = ±0,8. Jääb üle otsustada: pluss või miinus? Eeldusel, et nurk α ∈ [π/2; π] on II koordinaatveerand, kus kõik siinused on positiivsed. Seetõttu sin α = 0,8 - määramatus märkidega on välistatud.

Ülesanne. Leia cos α, kui cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Me käitume sarnaselt, st. väljavõte Ruutjuur: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Eeldusel on nurk α ∈ [π; 3π/2], st. räägime III koordinaatide kvartalist. Seal on kõik koosinused negatiivsed, seega cos α = −0,2.

Ülesanne. Leidke sin α, kui sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meil on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Jällegi vaatame nurka: α ∈ on IV koordinaatide veerand, milles, nagu teate, on siinus negatiivne. Seega järeldame: sin α = −0,5.

Ülesanne. Leidke tg α, kui tg 2 α = 9 ja α ∈ .

Kõik on sama, ainult puutuja jaoks. Võtame ruutjuure: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Kuid tingimuse kohaselt on nurk α ∈ I koordinaadi kvadrant. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid, sh. puutuja, on positiivseid, seega tg α = 3. See on kõik!