Matemaatikaõpetajat kuulates tajub enamik õpilasi materjali aksioomina. Samal ajal püüavad vähesed jõuda põhja ja aru saada, miks "miinus" kuni "pluss" annab "miinusmärgi" ja kahe negatiivse arvu korrutamisel tuleb välja positiivne.

Matemaatika seadused

Enamik täiskasvanuid ei suuda endale ega oma lastele selgitada, miks see nii juhtub. Nad olid seda materjali koolis põhjalikult õppinud, kuid nad isegi ei püüdnud uurida, kust sellised reeglid pärit on. Aga asjata. Sageli ei ole tänapäeva lapsed nii kergeusklikud, nad peavad jõudma asja põhja ja mõistma, näiteks, miks "pluss" miinusel annab "miinuse". Ja mõnikord küsivad poisid tahtlikult keerulisi küsimusi, et nautida hetke, mil täiskasvanud ei suuda arusaadavat vastust anda. Ja see on tõesti katastroof, kui noor õpetaja satub hätta ...

Muide, tuleb märkida, et ülalmainitud reegel kehtib nii korrutamisel kui ka jagamisel. Negatiivse ja positiivse arvu korrutis annab ainult miinuse. Kui me räägime kahest numbrist, millel on märk “-”, on tulemuseks positiivne arv. Sama kehtib ka jagamise kohta. Kui üks arvudest on negatiivne, on jagatis ka "-" märgiga.

Selle matemaatikaseaduse õigsuse selgitamiseks on vaja sõnastada rõnga aksioomid. Kuid kõigepealt peate mõistma, mis see on. Matemaatikas on tavaks nimetada rõngaks hulka, milles osaleb kaks tehtet kahe elemendiga. Kuid parem on seda näite abil mõista.

Rõnga aksioom

On mitmeid matemaatilisi seadusi.

• Esimene neist on nihutatav, tema sõnul C + V = V + C.
• Teist nimetatakse assotsiatiivseks (V + C) + D = V + (C + D).

Ka korrutamine (V x C) x D \u003d V x (C x D) järgib neid.

Keegi ei tühistanud reegleid, mille järgi sulgud avatakse (V + C) x D = V x D + C x D, tõsi on ka see, et C x (V + D) = C x V + C x D.

Lisaks on kindlaks tehtud, et rõngasse saab sisestada spetsiaalse, liitmisneutraalse elemendi, mida kasutades on tõene: C + 0 = C. Lisaks on iga C jaoks vastandelement, mis võib tähistada kui (-C). Sel juhul C + (-C) \u003d 0.

Negatiivsete arvude aksioomide tuletamine

Ülaltoodud väidetega nõustudes saame vastata küsimusele: "Pluss" miinusel annab mis märgi? Teades aksioomi negatiivsete arvude korrutamise kohta, on vaja kinnitada, et tõepoolest (-C) x V = -(C x V). Ja ka see, et järgmine võrdsus on tõene: (-(-C)) = C.

Selleks peame esmalt tõestama, et igal elemendil on ainult üks vastand "vend". Vaatleme järgmist tõestusnäidet. Proovime ette kujutada, et C - V ja D jaoks on kaks arvu vastandlikud. Sellest järeldub, et C + V = 0 ja C + D = 0, st C + V = 0 = C + D. Nihkeseaduste meelespidamine ja arvu 0 omaduste kohta saame arvestada kõigi kolme arvu summaga: C, V ja D. Proovime välja mõelda V väärtuse. On loogiline, et V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, kuna C + D väärtus, nagu eespool aktsepteeriti, on 0. Seega V = V + C + D.

D väärtus tuletatakse samal viisil: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Selle põhjal selgub, et V = D.

Selleks, et mõista, miks miinusel olev "pluss" annab "miinuse", peate mõistma järgmist. Seega on elemendi (-C) vastandid C ja (-(-C)), see tähendab, et nad on üksteisega võrdsed.

Siis on ilmne, et 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Sellest järeldub, et C x V on (-) C x V vastand. , mis tähendab (- C) x V = -(C x V).

Täieliku matemaatilise ranguse jaoks on vaja ka kinnitada, et 0 x V = 0 mis tahes elemendi puhul. Kui järgite loogikat, siis 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. See tähendab, et korrutise 0 x V lisamine ei muuda määratud summat kuidagi. Lõppude lõpuks on see toode võrdne nulliga.

Teades kõiki neid aksioome, on võimalik tuletada mitte ainult seda, kui palju "pluss" ja "miinus" annab, vaid ka seda, mis juhtub negatiivsete arvude korrutamisel.

Kahe arvu korrutamine ja jagamine märgiga "-".

Kui te matemaatilistesse nüanssidesse ei süvene, võite proovida negatiivsete arvudega toimimisreegleid lihtsamalt selgitada.

Oletame, et C - (-V) = D, selle põhjal C = D + (-V), see tähendab C = D - V. Kanname V üle ja saame, et C + V = D. See tähendab, et C + V = C - (-V). See näide selgitab, miks avaldises, kus on kaks "miinust" järjest, tuleks nimetatud märgid muuta "plussiks". Nüüd tegeleme korrutamisega.

(-C) x (-V) \u003d D, saab avaldisele lisada ja lahutada kaks identset korrutist, mis ei muuda selle väärtust: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Pidades meeles sulgudega töötamise reegleid, saame:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Sellest järeldub, et C x V \u003d (-C) x (-V).

Samamoodi saame tõestada, et kahe negatiivse arvu jagamise tulemus on positiivne.

Üldised matemaatilised reeglid

Loomulikult ei sobi selline seletus põhikooliõpilastele, kes alles hakkavad õppima abstraktseid negatiivseid numbreid. Parem on neil seletada nähtavatel objektidel, manipuleerides tuttava terminiga läbi vaateklaasi. Näiteks asuvad seal väljamõeldud, kuid mitte olemasolevad mänguasjad. Neid saab kuvada "-" märgiga. Kahe klaasist objekti korrutamine kannab need teise maailma, mis on võrdsustatud olevikuga, see tähendab, et selle tulemusena on meil positiivsed arvud. Kuid abstraktse negatiivse arvu korrutamine positiivsega annab ainult kõigile tuttava tulemuse. Lõppude lõpuks annab "pluss" korrutades "miinus" "miinuse". Tõsi, lapsed ei pinguta liiga palju, et kõikidesse matemaatilisse nüanssidesse süveneda.

Kuigi tõele näkku vaadates jäävad paljud reeglid isegi kõrgharidusega inimeste jaoks saladuseks. Igaüks peab enesestmõistetavaks seda, mida nende õpetajad neile õpetavad, mitte süüvida matemaatika keerukusesse. “Miinus” “miinusel” annab “pluss” - kõik teavad seda eranditult. See kehtib nii täis- kui ka murdarvude kohta.

Liin UMK G.K. Muravina, O.V. Muravina. Matemaatika (5–6)

Matemaatika

Miks miinus korda miinus annab alati plussi?

Naturaalarvude eelised

Kõigepealt sukeldume aritmeetika ajalukku. On üsna loomulik, et alguses kasutati ainult naturaalarve – üks, kaks, kolm jne. Neid kasutati esemete tegeliku arvu arvutamiseks. Niisama, peale kõige, olid numbrid kasutud, mistõttu hakkasid tekkima toimingud, mille abil sai võimalikuks numbritega opereerida. Täiesti loogiline, et lisandumine on muutunud inimese jaoks kõige vajalikumaks. See toiming on lihtne ja loomulik - üksuste arvu loendamine muutus lihtsamaks, nüüd polnud vaja iga kord uuesti lugeda - "üks, kaks, kolm". Skoori asendamine on nüüd võimalik toimingu "üks pluss kaks võrdub kolm" abil. Lisati naturaalarvud, vastuseks oli samuti naturaalarv.

Korrutamine oli sisuliselt sama liitmine. Praktikas kasutame ka praegu näiteks ostude sooritamisel liitmist ja korrutamist, nagu meie esivanemad ammu tegid. Mõnikord tuli aga teha lahutamise ja jagamise tehteid. Ja arvud ei olnud alati samaväärsed – mõnikord oli arv, millest nad lahutati, väiksem kui lahutatud arv. Sama ka jagamisega. Nii tekkisid murdarvud.

Negatiivsete arvude ilmumine

Negatiivsete arvude kirjed ilmusid India dokumentides 7. sajandil pKr. Hiina dokumentides on selle matemaatilise "fakti" vanemaid kirjeid.

Elus lahutame enamasti suuremast arvust väiksema arvu. Näiteks: mul on 100 rubla, leib ja piim maksavad 65 rubla; 100 - 65 = 35 rubla muutus. Kui ma tahan osta mõnda muud toodet, mille maksumus ületab minu ülejäänud 35 rubla, näiteks veel ühe piima, siis olenemata sellest, kui palju ma seda osta tahan, ei ole mul rohkem raha, seega ma ei. t vaja negatiivseid numbreid.

Kui aga nüüdisaegsest elust edasi rääkides, olgu mainitud krediitkaarte või mobiilioperaatori võimet helistamisel “miinusesse minna”. Võimalik on kulutada rohkem raha, kui sul on, kuid võlgu olev raha ei kao kuhugi, vaid läheb võlgadesse. Ja siin tulevad appi juba negatiivsed numbrid: kaardil on 100 rubla, leib ja kaks piima maksavad mulle 110 rubla; peale ostu on minu saldo kaardil -10 rubla.

Praktiliselt samadel eesmärkidel hakati esimest korda kasutama negatiivseid numbreid. Hiinlased kasutasid neid esimestena võlgade mahakirjutamiseks või võrrandite vahelahendustes. Kuid kasutus oli ikkagi ainult positiivse numbrini jõudmine (samas, nagu meie krediitkaardi tagasimakse). Negatiivsete arvude pikka tagasilükkamist soodustas asjaolu, et need ei väljendanud konkreetseid objekte. Kümme münti on kümme münti, siin nad on, neid saab katsuda, nendega saab kaupa osta. Mida tähendab "miinus kümme münti"? Neid oodatakse isegi siis, kui tegu on võlaga. Pole teada, kas see võlg tagastatakse ja kas "salvestatud" mündid muutuvad päriseks. Kui ülesande lahendamisel saadi negatiivne arv, loeti, et välja tuli vale vastus või vastust polnud üldse. Selline umbusklik suhtumine püsis inimeste seas pikka aega, isegi matemaatikas läbimurde teinud Descartes (17. sajand) pidas negatiivseid numbreid “valeks”.

Käsiraamatu ülesanded võimaldavad ennetada võimalikke raskusi matemaatika õpetamise neljanda kursuse põhiteemade valdamisel, aitavad arendada ruumilisi esitusi, õpilaste geomeetrilist vaatlust, kujundada enesekontrollioskusi.

Reeglite kujundamine negatiivsete arvudega toimingute jaoks

Vaatleme võrrandit 9x-12=4x-2. Võrrandi lahendamiseks tuleb nihutada ühele poole tundmatuga terminid ja teisele poole teadaolevad arvud. Seda saab teha kahel viisil.

Esimene viis.

Liigume võrrandi osa tundmatuga vasakule ja ülejäänud arvud paremale. Selgub:

Vastus leitud. Kõigi toimingute puhul, mida pidime tegema, ei kasutanud me kunagi negatiivseid numbreid.

Teine viis.

Nüüd kanname võrrandi osa tundmatuga paremale ja ülejäänud liikmed vasakule. Saame:

Lahenduse leidmiseks peame jagama ühe negatiivse arvu teisega. Õige vastuse saime aga juba eelmises lahenduses – see on x võrdne kahega. Seetõttu jääb üle järeldada, et (-10)/(-5)=2.

Mida need kaks võimalust sama võrrandi lahendamiseks meile tõestavad? Esimese asjana saab selgeks, kuidas tuletati negatiivsete arvudega opereerimise adekvaatsus - saadud vastus peaks olema sama, mis ainult naturaalarvude abil lahendades. Teine punkt on asjaolu, et mittenegatiivse arvu tõrgeteta saamiseks ei pea te enam väärtustele mõtlema. Saate valida kõige mugavama lahendusviisi, eriti keeruliste võrrandite puhul. Tegevused, mis võimaldasid mõnele tehtele mitte mõelda (mida tuleb teha, et oleks ainult naturaalarvud; milline arv on suurem, et sellest lahutada jne), said esimesteks sammudeks matemaatika "abstraktsiooni" suunas. .

Loomulikult ei kujunenud kõiki negatiivsete arvudega tegevusreegleid korraga. Koguneti lahendusi, üldistati näiteid, mille põhjal hakati tasapisi “välja joonistama” põhiaksioome. Matemaatika arenedes ja uute reeglite avaldamisega tekkisid uued abstraktsioonitasemed. Näiteks tõestati 19. sajandil, et täisarvudel ja polünoomidel on palju ühist, kuigi nad näevad välja erinevad. Neid kõiki saab liita, lahutada ja korrutada. Reeglid, mida nad järgivad, mõjutavad neid ühel viisil. Mis puudutab mõne täisarvu jagamist teistega, siis siin "ootab" huvitav fakt - vastus ei ole alati täisarv. Sama seadus kehtib ka polünoomide kohta.

Seejärel selgusid paljud teised matemaatiliste objektide kogud, millel oli võimalik selliseid tehteid teha: formaalsed astmeridad, pidevad funktsioonid ... Aja jooksul leidsid matemaatikud, et pärast tehte omaduste uurimist on võimalik rakendada kõigi nende objektide kogumite jaoks. Sama kehtib ka kaasaegses matemaatikas.

Veel huvitavaid asju:

• Matemaatikaõpetaja töö tunnused 2018/2019 õppeaastal
• Tüüpilised vead, mida õpetajad teevad algkoolis matemaatikat õpetades
• Klassiväline tegevus matemaatikas algklassides

Puhtalt matemaatiline lähenemine

Aja jooksul on matemaatikud tuvastanud uue termini - sõrmus. Rõngas on elementide ja toimingute kogum, mida nendega saab teha. Põhimõtteliseks saavad reeglid (aksioomid), millele tegevused alluvad, mitte aga hulga elementide olemus. Aksioomide sissetoomise järel tekkiva struktuuri ülimuslikkuse rõhutamiseks kasutatakse tavaliselt mõistet "ring": täisarvude ring, polünoomide ring jne. Aksioome kasutades ja neist lähtudes saab paljastada rõngaste uued omadused.

Sõnastame rõnga reeglid sarnaselt täisarvudega tehtavate aksioomidega ja tõestame, et igas ringis saadakse miinuse miinusega korrutamine plussiks.

Rõngas on kahe binaartehte hulk (iga tehe hõlmab kahte rõnga elementi), mida traditsiooniliselt nimetatakse liitmiseks ja korrutamiseks, ning järgmiste aksioomidega:

Rõngaelementide liitmine järgib kommutatiivseid (A + B = B + A mis tahes elementide A ja B korral) ja kombinatsiooni (A + (B + C) = (A + B) + C) seadusi; rõngal on spetsiaalne element 0 (lisaneutraalne), nii et A + 0 = A ja mis tahes A elemendi jaoks on vastandelement (tähistatud (-A)), nii et A + (-A) = 0;

Korrutamine järgib kombinatsiooniseadust: A (B C) = (A B) C;

Liitmine ja korrutamine on seotud järgmiste sulgude laiendamise reeglitega:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Täpsustame, et rõngad kõige üldisemas konstruktsioonis ei nõua korrutamise muutlikkust, selle pööratavust (jagamistehte ei ole alati võimalik) ega ka ühiku – korrutamise suhtes neutraalse elemendi – olemasolu. Kui tutvustame neid aksioome, saame teisi algebralisi struktuure, kuid kõik kehtivad teoreemid on rõngaste jaoks tõestatud.

Matemaatika. 6. klass. Töövihik number 1.

Töövihik sisaldab erinevat tüüpi ülesandeid uue materjali valdamiseks ja kinnistamiseks, arendava iseloomuga ülesandeid, diferentseeritud õppimist võimaldavaid lisaülesandeid. Märkmikku kasutatakse koos õpikuga „Matemaatika. 6. klass "(toim. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir), mis on kaasatud õppe- ja metoodiliste komplektide süsteemi" Edu algoritm ".

Järgmine samm on tõestada, et suvalise ringi mis tahes elementide A ja B korral on tõene järgmine: (-A) B = -(A B) ja (-(-A)) = A.

Sellest saame väited ühikute kohta:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Järgmiseks peame mõnda punkti tõestama. Esiteks on vaja kindlaks teha iga elemendi jaoks ainult ühe vastandi olemasolu. Oletame, et elemendil A on kaks vastandlikku elementi: B ja C. See tähendab, et A + B \u003d 0 \u003d A + C. Analüüsime summat A + B + C. Kasutades kommutatiivseid ja assotsiatiivseid seadusi, samuti null, saame, et summa on võrdne:

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Seetõttu B = C.

Pange tähele, et nii A kui ka (-(-A)) on elemendi (-A) vastas. Sellest järeldame, et elemendid A ja (-(-A)) peavad olema võrdsed.

need. (-A) B on A B vastand, seega võrdub -(A B).

Pange tähele, et 0 · B = 0 iga B elemendi jaoks.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

seega 0 B lisamine ei muuda summat. Selgub, et see toode on võrdne nulliga.

Tõepoolest, miks? Lihtsaim vastus on: "Sest sellised on negatiivsete arvudega töötamise reeglid." Reeglid, mida me koolis õpime ja rakendame kogu elu. Õpikud aga ei selgita, miks reeglid on sellised, nagu nad on. Meenutasime - see on kõik ja enam ei esita küsimust.

Ja küsime...

Ammu olid inimestele teada ainult naturaalarvud: 1, 2, 3, ... Nendega loeti riistu, saaki, vaenlasi jne. Kuid numbrid ise on üsna kasutud - tuleb osata hakkama saada neid. Liitmine on selge ja arusaadav ning pealegi on kahe naturaalarvu summa ka naturaalarv (matemaatik ütleks, et liitmise tehte all on naturaalarvude hulk suletud). Korrutamine on tegelikult sama liitmine, kui räägime naturaalarvudest. Elus teeme sageli nende kahe toiminguga seotud toiminguid (näiteks poes käies liidame ja korrutame) ning kummaline on mõelda, et meie esivanemad kohtasid neid harvemini – liitmist ja korrutamist õppis inimkond väga pikka aega. tagasi. Sageli on vaja jagada üks suurus teisega, kuid siin ei väljendata tulemust alati naturaalarvuga - nii tekkisid murdarvud.

Lahutamine on loomulikult samuti asendamatu. Kuid praktikas kipume suuremast arvust väiksema arvu lahutama ja negatiivseid numbreid pole vaja kasutada. (Kui mul on 5 kommi ja ma annan 3 oma õele, siis on mul 5 - 3 = 2 kommi, aga ma ei saa talle kogu oma soovi juures 7 kommi anda.) See võib seletada, miks inimesed ei kasutanud negatiivseid numbreid pikka aega.


Negatiivsed numbrid esinevad India dokumentides alates 7. sajandist pKr; hiinlased hakkasid neid ilmselt veidi varem kasutama. Neid kasutati võlgade arvestamiseks või vahearvutustes võrrandite lahendamise lihtsustamiseks – see oli vaid vahend positiivse vastuse saamiseks. Tõsiasi, et negatiivsed arvud erinevalt positiivsetest ei väljenda ühegi olemi olemasolu, äratas tugevat umbusaldust. Inimesed selle sõna otseses tähenduses vältisid negatiivseid numbreid: kui probleem sai eitava vastuse, uskusid nad, et vastust polegi. See usaldamatus püsis väga pikka aega ja isegi Descartes, üks moodsa matemaatika "rajajaid" nimetas neid "valeks" (17. sajandil!).

Mõelge näiteks võrrandile 7x - 17 \u003d 2x - 2. Selle saab lahendada järgmiselt: liigutage terminid tundmatuga vasakule ja ülejäänud paremale, saate 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Sellega me isegi ei kohanud lahenduses negatiivseid numbreid.

Aga oleks võinud teha ka teisiti: nihutada terminid tundmatuga paremale poole ja saada 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Tundmatu leidmiseks peate jagama ühe negatiivse arvu teisega: x = (-15)/(-5). Kuid õige vastus on teada ja tuleb järeldada, et (-15)/(-5) = 3.

Mida see lihtne näide demonstreerib? Esiteks saab selgeks loogika, mis määras kindlaks negatiivsete arvudega toimingute reeglid: nende toimingute tulemused peavad ühtima vastustega, mis saadakse erineval viisil, ilma negatiivsete arvudeta. Teiseks, lubades negatiivsete arvude kasutamise, vabaneme tüütust (kui võrrand osutub keerulisemaks, suure hulga terminitega) lahendustee otsingutest, kus kõik toimingud sooritatakse ainult naturaalarvudega. Pealegi ei saa me enam iga kord mõelda teisendatavate suuruste mõttekusele – ja see on juba samm matemaatika abstraktseks teaduseks muutmise suunas.

Negatiivsete arvudega seotud toimingute reeglid ei kujunenud kohe, vaid neist sai paljude rakendusülesannete lahendamisel esile kerkinud näidete üldistus. Üldiselt võib matemaatika arengu tinglikult jagada etappideks: iga järgmine etapp erineb eelmisest objektide uurimisel uue abstraktsioonitaseme võrra. Nii mõistsid matemaatikud 19. sajandil, et täisarvudel ja polünoomidel on nende välise erinevuse tõttu palju ühist: mõlemat saab liita, lahutada ja korrutada. Need toimingud järgivad samu seadusi – nii arvude kui ka polünoomide puhul. Kuid täisarvude jagamine üksteisega nii, et tulemuseks on jälle täisarvud, ei ole alati võimalik. Sama kehtib ka polünoomide kohta.

Siis avastati ka teisi matemaatiliste objektide kogusid, millel saab selliseid tehteid teha: formaalsed astmeridad, pidevad funktsioonid ... Lõpuks tuli arusaam, et kui uurida tehte endi omadusi, siis saab tulemusi rakendada kõigile neile. objektide kogumid (selline lähenemine on tüüpiline kogu kaasaegsele matemaatikale).

Selle tulemusena ilmus uus kontseptsioon: sõrmus. See on vaid hulk elemente ja toiminguid, mida nendega saab teha. Põhireeglid on siin lihtsalt reeglid (neid nimetatakse aksioomideks), mis alluvad toimingutele, mitte aga hulga elementide olemus (siin see on abstraktsiooni uus tase!). Soovides rõhutada, et oluline on struktuur, mis tekib pärast aksioomide kasutuselevõttu, ütlevad matemaatikud: täisarvude ring, polünoomide ring jne. Aksioomidest lähtudes saab tuletada ka teisi rõngaste omadusi.

Sõnastame rõnga aksioomid (mis on loomulikult sarnased täisarvudega tehtavate reeglitega) ja seejärel tõestame, et igas ringis saadakse miinuse korrutamine miinusega pluss.

Rõngas on kahe binaartehte hulk (st igas tehes on kaks rõnga elementi), mida traditsiooniliselt nimetatakse liitmiseks ja korrutamiseks, ning järgmiste aksioomidega:

Rõngaelementide liitmine järgib kommutatiivseid (A + B = B + A mis tahes elementide A ja B korral) ja kombinatsiooni (A + (B + C) = (A + B) + C) seadusi; rõngal on spetsiaalne element 0 (lisaneutraalne), nii et A + 0 = A ja mis tahes A elemendi jaoks on vastandelement (tähistatud (-A)), nii et A + (-A) = 0;
- korrutamine järgib kombinatsiooniseadust: A (B C) = (A B) C;
liitmine ja korrutamine on seotud järgmiste sulgude laiendamise reeglitega: (A + B) C = A C + B C ja A (B + C) = A B + A C.

Märgime, et kõige üldisemas konstruktsioonis ei nõua rõngad korrutamist, et see oleks muutlik, ega ka ümberpööratav (st alati pole võimalik jagada) ega ka ühiku, neutraalse elemendi olemasolu. korrutamise suhtes. Kui need aksioomid kasutusele võtta, saadakse teised algebralised struktuurid, kuid kõik rõngaste jaoks tõestatud teoreemid on neis tõesed.

Nüüd tõestame, et suvalise rõnga mis tahes elementide A ja B korral on esiteks (-A) B = -(A B) ja teiseks (-(-A)) = A. See eeldab kergesti väiteid ühikute kohta: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 ja (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Selleks peame kindlaks tegema mõned faktid. Esiteks tõestame, et igal elemendil võib olla ainult üks vastand. Tõepoolest, olgu elemendil A kaks vastandlikku: B ja C. See tähendab, et A + B = 0 = A + C. Vaatleme summat A + B + C. Kasutades assotsiatiivseid ja kommutatiivseid seadusi ning nulli omadust, saame saage, et ühest küljest on summa võrdne B-ga: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C ja teisest küljest on see võrdne C-ga: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Seega B = C.

Pange tähele, et nii A kui ka (-(-A)) on sama elemendi (-A) vastandid, seega peavad need olema võrdsed.

Esimene fakt saadakse järgmiselt: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, see tähendab, et (-A) B on A B vastand, seega on see võrdne - (A B).

Et olla matemaatiliselt täpne, selgitame ka, miks 0·B = 0 iga B elemendi korral. Tõepoolest, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. See tähendab, et 0 B lisamine ei muuda summat. Seega on see toode võrdne nulliga.

Ja selle, et ringis on täpselt üks null (väidavad ju aksioomid, et selline element on olemas, aga selle ainulaadsusest ei räägita midagi!), jätame lugeja hooleks lihtsa harjutusena.

Jevgeni Epifanov

Miinus ja pluss on matemaatikas negatiivsete ja positiivsete arvude märgid. Nad suhtlevad iseendaga erineval viisil, seetõttu tuleb arvudega mis tahes toimingute tegemisel, näiteks jagamine, korrutamine, lahutamine, liitmine jne, arvestada. allkirja reeglid. Ilma nende reegliteta ei saa te kunagi lahendada isegi kõige lihtsamat algebralist või geomeetrilist ülesannet. Ilma neid reegleid teadmata ei saa te õppida mitte ainult matemaatikat, vaid ka füüsikat, keemiat, bioloogiat ja isegi geograafiat.

Vaatleme üksikasjalikumalt märkide põhireegleid.

Jaoskond.

Kui jagame "pluss" "miinusega", saame alati "miinuse". Kui jagame "miinuse" "plussiga", saame alati ka "miinuse". Kui jagame "pluss" "plussiga", saame "pluss". Kui jagame “miinuse” “miinusega”, saame kummalisel kombel ka “plussi”.

Korrutamine.

Kui me korrutame "miinus" "plussiga", saame alati "miinus". Kui korrutada "pluss" "miinus", saame alati ka "miinus". Kui korrutame "pluss" "plussiga", saame positiivse arvu, see tähendab "pluss". Sama kehtib ka kahe negatiivse arvu kohta. Kui korrutada "miinus" "miinus", saame "pluss".

Lahutamine ja liitmine.

Need põhinevad muudel põhimõtetel. Kui negatiivne arv on absoluutväärtuses suurem kui meie positiivne, on tulemus loomulikult negatiivne. Kindlasti mõtlete, mis on moodul ja miks see siin üldse on. Kõik on väga lihtne. Moodul on arvu väärtus, kuid ilma märgita. Näiteks -7 ja 3. Modulo -7 on vaid 7 ja 3 jääb 3-ks. Selle tulemusena näeme, et 7 on suurem, see tähendab, et meie negatiivne arv on suurem. Nii et see tuleb välja -7 + 3 \u003d -4. Seda saab veelgi lihtsamaks teha. Lihtsalt pange esikohale positiivne arv ja välja tuleb 3-7 = -4, võib-olla on see kellegi jaoks arusaadavam. Lahutamine toimib täpselt samamoodi.

Kindlustada naturaalarvude, harilike ja kümnendmurdude korrutamise võimet;

Õppige korrutama positiivseid ja negatiivseid arve;

Arendada rühmades töötamise oskust

Arendada uudishimu, huvi matemaatika vastu; oskus mõelda ja rääkida teemal.

Varustus: termomeetrite ja majade maketid, kaardid mõtteliseks loendamiseks ja kontrolltööks, plakat korrutamise märkide reeglitega.

Motivatsioon

Õpetaja . Täna hakkame uurima uut teemat. Hakkame ehitama uut maja. Ütle mulle, mis määrab maja tugevuse?

Nüüd kontrollime, mis on meie vundament, st meie teadmiste tugevus. Ma ei rääkinud teile tunni teemat. See on kodeeritud, st peidetud suulise loendamise ülesandesse. Ole tähelepanelik ja tähelepanelik. Siin on kaardid näidetega. Neid lahendades ja tähe vastust sobitades saate teada tunni teema nimetuse.

Õpetaja. Nii et see sõna on korrutamine. Kuid korrutamisega oleme juba tuttavad. Miks me peame seda uurima? Milliste numbritega olete hiljuti kohtunud?

[Positiivse ja negatiivsega.]

Kas me saame neid korrutada? Seetõttu on tunni teemaks "Positiivsete ja negatiivsete arvude korrutamine".

Lahendasite näited kiiresti ja õigesti. Hea vundament on rajatud. ( Õpetaja näidismajas « paneb» sihtasutus.) Arvan, et maja tuleb vastupidav.

Uue teema uurimine

Õpetaja . Nüüd ehitame seinu. Need ühendavad põranda ja katuse ehk vana teema uuega. Nüüd töötate rühmades. Igale rühmale antakse ülesanne, mis tuleb koos lahendada, ja seejärel selgitatakse lahendust klassile.

1. rühm

Õhutemperatuur langeb iga tunniga 2° võrra. Nüüd näitab termomeeter null kraadi. Millist temperatuuri see näitab 3 tunni pärast?

Grupi otsus. Kuna praegu on temperatuur 0 ja iga tunni kohta langeb temperatuur 2°, siis on ilmselge, et 3 tunni pärast on temperatuur -6°. Tähistame temperatuuri langust -2° ja aega +3 tundi. Siis võime eeldada, et (–2) 3 = –6.

Õpetaja . Ja mis juhtub, kui ma tegurid ümber korraldan, st 3 (–2)?

Õpilased. Vastus on sama: -6, kuna kasutatakse korrutamise kommutatiivset omadust.

Õhutemperatuur langeb iga tunniga 2° võrra. Nüüd näitab termomeeter null kraadi. Millist õhutemperatuuri näitas termomeeter 3 tundi tagasi?

Grupi otsus. Kuna temperatuur langes iga tunniga 2° ja praegu on 0, siis on ilmselge, et 3 tundi tagasi oli +6°. Tähistame temperatuuri langust -2° võrra ja kulunud aega -3 tundi. Siis võime eeldada, et (–2) (–3) = 6.

Õpetaja . Sa ei tea veel, kuidas positiivseid ja negatiivseid numbreid korrutada. Kuid nad lahendasid ülesandeid, kus oli vaja selliseid numbreid korrutada. Proovige ise tuletada reeglid positiivsete ja negatiivsete arvude, kahe negatiivse arvu korrutamiseks. ( Õpilased püüavad reeglit välja mõelda.) Hea. Nüüd avame õpikud ja loeme positiivsete ja negatiivsete arvude korrutamise reegleid. Võrrelge oma reeglit õpikus kirjutatuga.

1. reegel Kahe erineva märgiga arvu korrutamiseks peate korrutama nende numbrite moodulid ja panema saadud toote ette märgi “-”.

2. reegel. Kahe samade märkidega arvu korrutamiseks peate korrutama nende numbrite moodulid ja panema saadud korrutise ette märgi "+".

Õpetaja. Nagu nägite vundamendi ehitamisel, pole teil probleeme naturaal- ja murdarvude korrutamisega. Probleemid võivad tekkida positiivsete ja negatiivsete arvude korrutamisel. Miks?

Pea meeles! Positiivsete ja negatiivsete arvude korrutamisel:

1) määrab märgi;
2) leida moodulite korrutis.

Õpetaja . Korrutamismärkide jaoks on olemas mnemoreeglid, mida on väga lihtne meeles pidada. Lühidalt on need sõnastatud järgmiselt:

"+" "+" \u003d "+" - pluss pluss annab plussi;
“–” “+” = “–” - miinus pluss annab miinuse;
"+" "-" \u003d "-" - pluss miinus annab miinuse;
“–” · “–” = “+” – miinus korda miinus annab plussi.

(Märkmikesse panevad õpilased kirja märkide reegli.)

Õpetaja . Kui peame ennast ja oma sõpru positiivseteks ja vaenlasi negatiivseteks, siis võime öelda järgmist:

Mu sõbra sõber on minu sõber.
Mu sõbra vaenlane on minu vaenlane.
Minu vaenlase sõber on minu vaenlane.
Minu vaenlase vaenlane on mu sõber.

Õpitava esmane mõistmine ja rakendamine

Suukaudse lahuse näited tahvlil. Õpilased ütlevad reegli:

Õpetaja . Kõik selge? Pole küsimusi? Nii et seinad on ehitatud. ( Õpetaja paneb seinad püsti.) Mida me nüüd ehitame?

(Neli õpilast kutsutakse juhatusse.)

Õpetaja. Kas katus on valmis?

(Õpetaja paneb näidismajale katuse.)

Õpilased täidavad tööd ühes versioonis.

Pärast töö lõpetamist vahetavad nad naabriga vihikuid. Õpetaja teatab õiged vastused ja õpilased annavad üksteisele hindeid.

Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus

Õpetaja. Mis oli meie eesmärk tunni alguses? Kas olete õppinud positiivsete ja negatiivsete arvude korrutamist? ( Nad kordavad reegleid.) Nagu selles õppetükis nägite, on iga uus teema maja, mida tuleb ehitada kapitaalselt, aastaid. Vastasel juhul varisevad kõik teie hooned lühikese aja pärast kokku. Seetõttu sõltub kõik teist. Soovin, poisid, et õnn naerataks teile alati, edu teadmiste omandamisel.

Allkirja reeglid

allkirja reeglid

Vaatleme üksikasjalikumalt märkide põhireegleid.

Kui jagame "pluss" "miinusega", saame alati "miinuse". Kui jagame "miinuse" "plussiga", saame alati ka "miinuse". Kui jagame "pluss" "plussiga", saame "pluss". Kui jagame “miinuse” “miinusega”, saame kummalisel kombel ka “plussi”.

Kui me korrutame "miinus" "plussiga", saame alati "miinus". Kui korrutada "pluss" "miinus", saame alati ka "miinus". Kui korrutame "pluss" "plussiga", saame positiivse arvu, see tähendab "pluss". Sama kehtib ka kahe negatiivse arvu kohta. Kui korrutada "miinus" "miinus", saame "pluss".

Need põhinevad muudel põhimõtetel. Kui negatiivne arv on absoluutväärtuses suurem kui meie positiivne, on tulemus loomulikult negatiivne. Kindlasti mõtlete, mis on moodul ja miks see siin üldse on. Kõik on väga lihtne. Moodul on arvu väärtus, kuid ilma märgita. Näiteks -7 ja 3. Modulo -7 on vaid 7 ja 3 jääb 3-ks. Selle tulemusena näeme, et 7 on suurem, see tähendab, et meie negatiivne arv on suurem. Nii et see tuleb välja -7 + 3 \u003d -4. Seda saab veelgi lihtsamaks teha. Lihtsalt pange esikohale positiivne arv ja välja tuleb 3-7 = -4, võib-olla on see kellegi jaoks arusaadavam. Lahutamine toimib täpselt samamoodi.

Miks võrdub miinus korda miinus plussiga?

"Minu vaenlase vaenlane on mu sõber."

Kaua aega tagasi olid inimestele teada ainult naturaalarvud: 1, 2, 3, . Neid kasutati riistade loendamiseks, rüüstamiseks, vaenlasteks jne. Kuid numbrid ise on üsna kasutud - peate nendega hakkama saama. Liitmine on selge ja arusaadav, pealegi on kahe naturaalarvu summa ka naturaalarv (matemaatik ütleks, et liitmise tehte korral on naturaalarvude hulk suletud). Korrutamine on tegelikult sama liitmine, kui räägime naturaalarvudest. Elus teeme sageli nende kahe toiminguga seotud toiminguid (näiteks poes käies liidame ja korrutame) ning kummaline on mõelda, et meie esivanemad kohtasid neid harvemini – liitmist ja korrutamist õppis inimkond väga pikka aega. tagasi. Sageli on vaja jagada üks suurus teisega, kuid siin ei väljendata tulemust alati naturaalarvuna - nii tekkisid murdarvud.

Negatiivsed numbrid esinevad India dokumentides alates 7. sajandist pKr; hiinlased hakkasid neid ilmselt veidi varem kasutama. Neid kasutati võlgade arvestamiseks või vahearvutustes võrrandite lahendamise lihtsustamiseks – see oli vaid vahend positiivse vastuse saamiseks. Tõsiasi, et negatiivsed arvud erinevalt positiivsetest ei väljenda ühegi olemi olemasolu, äratas tugevat umbusaldust. Inimesed selle sõna otseses tähenduses vältisid negatiivseid numbreid: kui probleem sai eitava vastuse, uskusid nad, et vastust polegi. See umbusaldus püsis väga kaua ja isegi Descartes – üks moodsa matemaatika "rajajaid" - nimetas neid "valeks" (17. sajandil!).

7x - 17 = 2x - 2. Selle saab lahendada nii: liigutage terminid tundmatuga vasakule ja ülejäänud paremale, selgub 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Aga kogemata võiks teha teisiti: nihutada mõisted tundmatuga paremale poole ja saada 2-17 = 2x - 7x , (–15) ​​= (–5)x. Tundmatu leidmiseks peate jagama ühe negatiivse arvu teisega: x = (–15)/(–5). Kuid õige vastus on teada ja seda tuleb järeldada (–15)/(–5) = 3 .

. Teiseks, lubades negatiivsete arvude kasutamise, vabaneme tüütust (kui võrrand osutub keerulisemaks, suure hulga terminitega) lahendustee otsingutest, kus kõik toimingud sooritatakse ainult naturaalarvudega. Pealegi ei saa me enam iga kord mõelda teisendatavate suuruste mõttekusele – ja see on juba samm matemaatika abstraktseks teaduseks muutmise suunas.

Negatiivsete arvudega seotud toimingute reeglid ei kujunenud kohe, vaid neist sai paljude rakendusülesannete lahendamisel esile kerkinud näidete üldistus. Üldiselt võib matemaatika arengu tinglikult jagada etappideks: iga järgmine etapp erineb eelmisest objektide uurimisel uue abstraktsioonitaseme võrra. Nii mõistsid matemaatikud 19. sajandil, et täisarvudel ja polünoomidel on nende välise erinevuse tõttu palju ühist: mõlemat saab liita, lahutada ja korrutada. Need toimingud järgivad samu seadusi – nii arvude kui ka polünoomide puhul. Kuid täisarvude jagamine üksteisega nii, et tulemuseks on jälle täisarvud, ei ole alati võimalik. Sama kehtib ka polünoomide kohta.

ring aksioomid

ring

• A + B = B + A mis tahes elementide jaoks A ja B) ja assotsiatiivne ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A ja mis tahes elemendi jaoks A (–A)), mida A + (–A) = 0 ;
• korrutamine järgib kombinatsiooniseadust: A (B C) = (A B) C ;

Pange tähele, et kõige üldisemas konstruktsioonis ei nõua rõngad korrutamist, samuti ei ole see ümberpööratav (st alati pole võimalik jagada) ega ka ühiku olemasolu - neutraalne element. korrutamiseks. Kui need aksioomid kasutusele võtta, saadakse teised algebralised struktuurid, kuid kõik rõngaste jaoks tõestatud teoreemid on neis tõesed.

A on kaks vastandit: B ja Koos. St A + B = 0 = A + C. Mõelge summale A+B+C B: C: . Tähendab, B=C .

Märgime nüüd seda A, ja (–(–A)) (–A)

Esimene fakt saadakse järgmiselt: see tähendab, (–A) B vastupidine A B, seega on see võrdne – (A B) .

0 B = 0 mis tahes elemendi jaoks B. Tõepoolest, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. See tähendab, et lisamine 0 B

Miinuse miinusega korrutamise reeglid





Mõne venitusega sobib sama seletus ka tootele 1-5, kui eeldame, et ühekordse "summa"

termin on võrdne selle terminiga. Kuid korrutist 0 5 või (-3) 5 ei saa seletada nii: mida tähendab nulli või miinus kolme liikme summa?

Siiski on võimalik tegureid ümber paigutada

Kui tahame, et korrutis ei muutuks tegurite ümberpaigutamisel – nagu see oli positiivsete arvude puhul –, siis peame seega eeldama, et

Liigume nüüd toote (-3) (-5) juurde. Millega see võrdub: -15 või +15? Mõlemad variandid on mõistlikud. Ühest küljest teeb miinus ühes teguris juba toote negatiivseks – seda enam peaks see olema negatiivne, kui mõlemad tegurid on negatiivsed. Teisest küljest tabelis. 7-l on juba kaks miinust, kuid ainult üks pluss ja "õiglaselt" (-3)-(-5) peaks võrduma +15-ga. Mida sa siis eelistad?



Muidugi ei aja sellised vestlused teid segadusse: kooli matemaatikakursusest õppisite kindlalt, et miinus miinusega annab plussi. Kuid kujutage ette, et teie noorem vend või õde küsib teilt: miks? Mis see on – kas õpetaja kapriis, viide kõrgematele autoriteetidele või teoreem, mida saab tõestada?

Tavaliselt selgitatakse negatiivsete arvude korrutamise reeglit tabelis toodud näidete abil. kaheksa.



Seda saab seletada ka teisiti. Kirjutame numbrid ritta

Nüüd kirjutame samad arvud korrutatuna 3-ga:

On hästi näha, et iga number on eelmisest 3. Nüüd kirjutame samad arvud vastupidises järjekorras (alustades näiteks 5-st ja 15-st):



Samal ajal osutus arv -15 numbri -5 all, seega 3 (-5) \u003d -15: pluss miinus annab miinuse.

Nüüd kordame sama protseduuri, korrutades arvud 1,2,3,4,5. -3 võrra (me juba teame, et pluss korda miinus võrdub miinus):

Iga järgmine alumise rea number on eelmisest 3 võrra väiksem. Kirjutame numbrid vastupidises järjekorras



Arv -5 osutus 15-ks, seega (-3) (-5) = 15.

Võib-olla rahuldaksid need selgitused teie nooremat venda või õde. Kuid teil on õigus küsida, kuidas asjad tegelikult on ja kas on võimalik tõestada, et (-3) (-5) = 15?

Siin on vastus, et saab tõestada, et (-3) (-5) peab võrduma 15-ga, kui ainult tahame, et tavalised liitmise, lahutamise ja korrutamise omadused jääksid kehtima kõigi arvude, sealhulgas negatiivsete arvude puhul. Selle tõestuse ülevaade on järgmine.

Esmalt tõestame, et 3 (-5) = -15. Mis on -15? See on vastand 15-le, st arvule, mis annab 15-le 0. Seega peame tõestama, et

(Sulgudes 3 oleme kasutanud distributsiooniseadust ab + ac = a(b + c) jaoks – eeldame ju, et see jääb tõeseks kõikide arvude, ka negatiivsete arvude puhul.) Niisiis, (Põhjalik lugeja küsib meilt miks. Tunnistame ausalt: selle fakti tõestuse – nagu arutelu selle üle, mis on null üldiselt – jätame vahele.)

Tõestame nüüd, et (-3) (-5) = 15. Selleks kirjutame



ja korrutage võrrandi mõlemad pooled -5-ga:

Avame vasakpoolsed sulud:

st (-3) (-5) + (-15) = 0. Seega on arv vastupidine arvule -15, st võrdne 15. (Selles arutluses on ka lünki: oleks vaja tõestada, et ja et -15 vastas on ainult üks arv.)

Negatiivne reegel. Miks miinus korda miinus võrdub plussiga

Matemaatikaõpetajat kuulates tajub enamik õpilasi materjali aksioomina. Samal ajal püüavad vähesed jõuda põhja ja aru saada, miks "miinus" kuni "pluss" annab "miinusmärgi" ja kahe negatiivse arvu korrutamisel tuleb välja positiivne.

Matemaatika seadused

Enamik täiskasvanuid ei suuda endale ega oma lastele selgitada, miks see nii juhtub. Nad olid seda materjali koolis põhjalikult õppinud, kuid nad isegi ei püüdnud uurida, kust sellised reeglid pärit on. Aga asjata. Sageli ei ole tänapäeva lapsed nii kergeusklikud, nad peavad jõudma asja põhja ja mõistma, näiteks, miks "pluss" miinusel annab "miinuse". Ja mõnikord küsivad poisid tahtlikult keerulisi küsimusi, et nautida hetke, mil täiskasvanud ei suuda arusaadavat vastust anda. Ja see on tõesti katastroof, kui noor õpetaja satub segadusse.

Muide, tuleb märkida, et ülalmainitud reegel kehtib nii korrutamisel kui ka jagamisel. Negatiivse ja positiivse arvu korrutis annab ainult miinuse. Kui me räägime kahest numbrist, millel on märk “-”, on tulemuseks positiivne arv. Sama kehtib ka jagamise kohta. Kui üks arvudest on negatiivne, on jagatis ka "-" märgiga.

Selle matemaatikaseaduse õigsuse selgitamiseks on vaja sõnastada rõnga aksioomid. Kuid kõigepealt peate mõistma, mis see on. Matemaatikas on tavaks nimetada rõngaks hulka, milles osaleb kaks tehtet kahe elemendiga. Kuid parem on seda näite abil mõista.

Rõnga aksioom

On mitmeid matemaatilisi seadusi.

• Esimene neist on nihutatav, tema sõnul C + V = V + C.
• Teist nimetatakse assotsiatiivseks (V + C) + D = V + (C + D).

Ka korrutamine (V x C) x D \u003d V x (C x D) järgib neid.

Keegi ei tühistanud reegleid, mille järgi sulgud avatakse (V + C) x D = V x D + C x D, tõsi on ka see, et C x (V + D) = C x V + C x D.

Lisaks on kindlaks tehtud, et rõngasse saab sisestada spetsiaalse, liitmisneutraalse elemendi, mida kasutades on tõene: C + 0 = C. Lisaks on iga C jaoks vastandelement, mis võib tähistada kui (-C). Sel juhul C + (-C) \u003d 0.

Negatiivsete arvude aksioomide tuletamine

Ülaltoodud väidetega nõustudes saame vastata küsimusele: "" Plus "sees" miinus "annab mis märgi?" Teades aksioomi negatiivsete arvude korrutamise kohta, on vaja kinnitada, et tõepoolest (-C) x V = -(C x V). Ja ka see, et järgmine võrdsus on tõene: (-(-C)) = C.

Selleks peame esmalt tõestama, et igal elemendil on ainult üks vastand "vend". Vaatleme järgmist tõestusnäidet. Proovime ette kujutada, et C - V ja D jaoks on kaks arvu vastandlikud. Sellest järeldub, et C + V = 0 ja C + D = 0, see tähendab C + V = 0 = C + D. Nihkeseaduste meenutamine ja arvu 0 omaduste kohta saame arvestada kõigi kolme arvu summaga: C, V ja D. Proovime välja mõelda V väärtuse. On loogiline, et V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, kuna C + D väärtus, nagu eespool aktsepteeriti, on 0. Seega V = V + C + D.

D väärtus tuletatakse samal viisil: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Selle põhjal selgub, et V = D.

Selleks, et mõista, miks miinusel olev "pluss" annab "miinuse", peate mõistma järgmist. Seega on elemendi (-C) vastandid C ja (-(-C)), see tähendab, et nad on üksteisega võrdsed.

Siis on ilmne, et 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Sellest järeldub, et C x V on (-) C x V vastand. , mis tähendab (- C) x V = -(C x V).

Täieliku matemaatilise ranguse jaoks on vaja ka kinnitada, et 0 x V = 0 mis tahes elemendi puhul. Kui järgite loogikat, siis 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. See tähendab, et korrutise 0 x V lisamine ei muuda määratud summat kuidagi. Lõppude lõpuks on see toode võrdne nulliga.

Teades kõiki neid aksioome, on võimalik tuletada mitte ainult seda, kui palju "pluss" ja "miinus" annab, vaid ka seda, mis juhtub negatiivsete arvude korrutamisel.

Kahe arvu korrutamine ja jagamine märgiga "-".

Kui te matemaatilistesse nüanssidesse ei süvene, võite proovida negatiivsete arvudega toimimisreegleid lihtsamalt selgitada.

Oletame, et C - (-V) = D, selle põhjal C = D + (-V), see tähendab C = D - V. Kanname V üle ja saame, et C + V = D. See tähendab, et C + V = C - (-V). See näide selgitab, miks avaldises, kus on kaks "miinust" järjest, tuleks nimetatud märgid muuta "plussiks". Nüüd tegeleme korrutamisega.

(-C) x (-V) \u003d D, saab avaldisele lisada ja lahutada kaks identset korrutist, mis ei muuda selle väärtust: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Pidades meeles sulgudega töötamise reegleid, saame:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Sellest järeldub, et C x V \u003d (-C) x (-V).

Samamoodi saame tõestada, et kahe negatiivse arvu jagamise tulemus on positiivne.

Üldised matemaatilised reeglid

Loomulikult ei sobi selline seletus põhikooliõpilastele, kes alles hakkavad õppima abstraktseid negatiivseid numbreid. Parem on neil seletada nähtavatel objektidel, manipuleerides tuttava terminiga läbi vaateklaasi. Näiteks asuvad seal väljamõeldud, kuid mitte olemasolevad mänguasjad. Neid saab kuvada "-" märgiga. Kahe klaasist objekti korrutamine kannab need teise maailma, mis on võrdsustatud olevikuga, see tähendab, et selle tulemusena on meil positiivsed arvud. Kuid abstraktse negatiivse arvu korrutamine positiivsega annab ainult kõigile tuttava tulemuse. Lõppude lõpuks annab "pluss" korrutades "miinus" "miinuse". Tõsi, lapsed ei pinguta liiga palju, et kõikidesse matemaatilisse nüanssidesse süveneda.

Kuigi tõele näkku vaadates jäävad paljud reeglid isegi kõrgharidusega inimeste jaoks saladuseks. Igaüks peab enesestmõistetavaks seda, mida nende õpetajad neile õpetavad, mitte süüvida matemaatika keerukusesse. "Miinus" "miinusel" annab "plussi" - kõik teavad seda eranditult. See kehtib nii täis- kui ka murdarvude kohta.

Miinus ja pluss on matemaatikas negatiivsete ja positiivsete arvude märgid. Nad suhtlevad iseendaga erineval viisil, seetõttu tuleb arvudega mis tahes toimingute tegemisel, näiteks jagamine, korrutamine, lahutamine, liitmine jne, arvestada. allkirja reeglid. Ilma nende reegliteta ei saa te kunagi lahendada isegi kõige lihtsamat algebralist või geomeetrilist ülesannet. Ilma neid reegleid teadmata ei saa te õppida mitte ainult matemaatikat, vaid ka füüsikat, keemiat, bioloogiat ja isegi geograafiat.

Lahutamine ja liitmine.

Kaks negatiivset teevad jaatava- see on reegel, mida me koolis õppisime ja rakendame kogu elu. Kes meist imestas, miks? Muidugi on lihtsam seda väidet ilma täiendavate küsimusteta pähe õppida ja probleemi olemusse mitte süveneda. Nüüd on juba piisavalt teavet, mida tuleb “seedida”. Kuid neile, keda see küsimus veel huvitab, proovime seda matemaatilist nähtust selgitada.

Juba iidsetest aegadest on inimesed kasutanud positiivseid naturaalarve: 1, 2, 3, 4, 5, ... Numbrite abil loendati veiseid, saaki, vaenlasi jne. Kahe positiivse arvu liitmisel ja korrutamisel said nad alati positiivse arvu, osade suuruste jagamisel teistega ei saanud alati naturaalarvu - nii tekkisid murdarvud. Aga lahutamine? Lapsepõlvest saadik teame, et parem on liita väiksem suuremale ja lahutada väiksem suuremast, samas jällegi me ei kasuta negatiivseid numbreid. Selgub, et kui mul on 10 õuna, võin kellelegi anda alla 10 või 10. 13 õuna ei saa ma kuidagi anda, sest mul pole ühtegi. Negatiivseid numbreid polnud pikka aega vaja.

Alles 7. sajandist pKr. negatiivseid arve kasutati mõnes loendussüsteemis abiväärtustena, mis võimaldas vastuses saada positiivse arvu.

Kaaluge näidet, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Vastuse leidmiseks on vaja jätta terminid tundmatutega vasakule ja ülejäänud paremale poolele: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Selle võrrandi lahendamisel pole isegi negatiivseid arve. Võiksime kanda tundmatutega terminid paremale ja ilma tundmatuteta - vasakule: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Negatiivse arvu jagamisel negatiivsega saame positiivse vastuse: x \u003d 7.

Negatiivsete arvudega toimingud peaksid viima meid samale vastusele kui ainult positiivsete arvudega toimingud. Me ei saa enam mõelda tegevuste praktilisele ebasobivusele ja mõttekusele - need aitavad meil probleemi palju kiiremini lahendada, taandamata võrrandit ainult positiivsete arvudega vormile. Meie näites ei kasutanud me keerulisi arvutusi, kuid suure hulga terminite korral võivad negatiivsete arvudega arvutused meie tööd lihtsustada.

Aja jooksul, pärast pikki katseid ja arvutusi, õnnestus tuvastada reeglid, millele kõik numbrid ja nendega tehtavad toimingud järgivad (matemaatikas nimetatakse neid aksioomideks). Sealt see tuligi aksioom, mis väidab, et kui korrutate kaks negatiivset arvu, saate positiivse arvu.

www.sait, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on vajalik link allikale.

1) Miks võrdub miinus üks korda miinus üks pluss üks?
2) Miks võrdub miinus üks korda pluss üks miinus ühega?

"Minu vaenlase vaenlane on mu sõber."

Lihtsaim vastus on: "Sest sellised on negatiivsete arvudega töötamise reeglid." Reeglid, mida me koolis õpime ja rakendame kogu elu. Õpikud aga ei selgita, miks reeglid on sellised, nagu nad on. Püüame seda esmalt aru saada aritmeetika arenguloost ja seejärel vastame sellele küsimusele nüüdisaegse matemaatika seisukohalt.

Kaua aega tagasi olid inimestele teada ainult naturaalarvud: 1, 2, 3, . Neid kasutati riistade, rüüste, vaenlaste jne loendamiseks. Kuid numbrid ise on üsna kasutud - peate teadma, kuidas nendega ümber käia. Liitmine on selge ja arusaadav ning pealegi on kahe naturaalarvu summa ka naturaalarv (matemaatik ütleks, et liitmise tehte all on naturaalarvude hulk suletud). Korrutamine on tegelikult sama liitmine, kui räägime naturaalarvudest. Elus teeme sageli nende kahe toiminguga seotud toiminguid (näiteks poes käies liidame ja korrutame) ning kummaline on mõelda, et meie esivanemad kohtasid neid harvemini – liitmist ja korrutamist õppis inimkond väga pikka aega. tagasi. Sageli on vaja jagada üks suurus teisega, kuid siin ei väljendata tulemust alati naturaalarvuga - nii tekkisid murdarvud.

Lahutamine on loomulikult samuti asendamatu. Kuid praktikas kipume suuremast arvust väiksema arvu lahutama ja negatiivseid numbreid pole vaja kasutada. (Kui mul on 5 kommi ja ma annan 3 oma õele, siis on mul 5 - 3 = 2 kommi, aga ma ei saa talle kogu oma soovi juures 7 kommi anda.) See võib seletada, miks inimesed ei kasutanud negatiivseid numbreid pikka aega.

Negatiivsed numbrid esinevad India dokumentides alates 7. sajandist pKr; hiinlased hakkasid neid ilmselt veidi varem kasutama. Neid kasutati võlgade arvestamiseks või vahearvutustes võrrandite lahendamise lihtsustamiseks – see oli vaid vahend positiivse vastuse saamiseks. Tõsiasi, et negatiivsed arvud erinevalt positiivsetest ei väljenda ühegi olemi olemasolu, äratas tugevat umbusaldust. Inimesed selle sõna otseses tähenduses vältisid negatiivseid numbreid: kui probleem sai eitava vastuse, uskusid nad, et vastust polegi. See usaldamatus püsis väga pikka aega ja isegi Descartes, üks moodsa matemaatika "rajajaid" nimetas neid "valeks" (17. sajandil!).

Mõelge näiteks võrrandile 7x - 17 = 2x - 2. Selle saab lahendada nii: liigutage terminid tundmatuga vasakule ja ülejäänud paremale, selgub 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Selle lahendusega ei kohanud me isegi negatiivseid numbreid.

Mida see lihtne näide demonstreerib? Esiteks saab selgeks loogika, mis määras kindlaks negatiivsete arvudega toimingute reeglid: nende toimingute tulemused peavad ühtima vastustega, mis on saadud erineval viisil, ilma negatiivsete arvudeta. Teiseks, lubades negatiivsete arvude kasutamise, vabaneme tüütust (kui võrrand osutub keerulisemaks, suure hulga terminitega) lahendustee otsingutest, kus kõik toimingud sooritatakse ainult naturaalarvudega. Pealegi ei saa me enam iga kord mõelda teisendatavate suuruste mõttekusele – ja see on juba samm matemaatika abstraktseks teaduseks muutmise suunas.

Negatiivsete arvudega seotud toimingute reeglid ei kujunenud kohe, vaid neist sai paljude rakendusülesannete lahendamisel esile kerkinud näidete üldistus. Üldiselt võib matemaatika arengu tinglikult jagada etappideks: iga järgmine etapp erineb eelmisest objektide uurimisel uue abstraktsioonitaseme võrra. Nii mõistsid matemaatikud 19. sajandil, et täisarvudel ja polünoomidel on nende välise erinevuse tõttu palju ühist: mõlemat saab liita, lahutada ja korrutada. Need toimingud järgivad samu seadusi – nii arvude kui ka polünoomide puhul. Kuid täisarvude jagamine üksteisega nii, et tulemuseks on jälle täisarvud, ei ole alati võimalik. Sama kehtib ka polünoomide kohta.

Siis avastati ka teisi matemaatiliste objektide kogusid, millega saab selliseid tehteid sooritada: formaalsed astmeridad, pidevad funktsioonid. Lõpuks tuli arusaam, et kui uurida tehte endi omadusi, siis saab tulemusi rakendada kõikidele nendele objektihulkadele (selline lähenemine on tüüpiline kogu kaasaegsele matemaatikale).

Selle tulemusena ilmus uus kontseptsioon: ring. See on vaid hulk elemente ja toiminguid, mida nendega saab teha. Põhireeglid on siin lihtsalt reeglid (neid nimetatakse aksioomid), millele alluvad tegevused, mitte hulga elementide olemus (siin see on, abstraktsiooni uus tase!). Soovides rõhutada, et oluline on struktuur, mis tekib pärast aksioomide kasutuselevõttu, ütlevad matemaatikud: täisarvude ring, polünoomide ring jne. Aksioomidest lähtudes saab tuletada ka teisi rõngaste omadusi.

Sõnastame rõnga aksioomid (mis on loomulikult sarnased täisarvudega tehtavate reeglitega) ja seejärel tõestame, et igas ringis saadakse miinuse korrutamine miinusega pluss.

ring on kahe binaartehte hulk (st igas tehes on kaasatud kaks rõnga elementi), mida traditsiooniliselt nimetatakse liitmiseks ja korrutamiseks, ning järgmiste aksioomidega:

• rõnga elementide lisamine järgib kommutatiivset ( A + B = B + A mis tahes elementide jaoks A ja B) ja assotsiatiivne ( A + (B + C) = (A + B) + C) seadused; rõngas sisaldab spetsiaalset elementi 0 (lisamisel neutraalne element), nii et A + 0 = A ja mis tahes elemendi jaoks A seal on vastandelement (tähistatud (–A)), mida A + (–A) = 0 ;
• liitmine ja korrutamine on seotud järgmiste sulgude laiendamise reeglitega: (A + B) C = A C + B C ja A (B + C) = A B + A C .

Märgime, et kõige üldisemas konstruktsioonis ei nõua rõngad korrutamist, et see oleks muutlik, ega ka ümberpööratav (st alati pole võimalik jagada) ega ka ühiku, neutraalse elemendi olemasolu. korrutamise suhtes. Kui need aksioomid kasutusele võtta, saadakse teised algebralised struktuurid, kuid kõik rõngaste jaoks tõestatud teoreemid on neis tõesed.

Nüüd tõestame seda kõigi elementide puhul A ja B suvaline ring on tõsi, esiteks, (–A) B = – (AB), ja teiseks (–(–A)) = A. Sellest tulenevad ühikute kohta käivad väited kergesti: (–1) 1 = – (1 1) = –1 ja (–1) (–1) = – ((–1) 1) = – (–1) = 1 .

Selleks peame kindlaks tegema mõned faktid. Esiteks tõestame, et igal elemendil võib olla ainult üks vastand. Tõepoolest, lase element A on kaks vastandit: B ja Koos. St A + B = 0 = A + C. Mõelge summale A+B+C. Kasutades assotsiatiivseid ja kommutatiivseid seadusi ning nulli omadust, saame, et ühelt poolt on summa võrdne B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ja teisest küljest on see võrdne C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Tähendab, B=C .

Märgime nüüd seda A, ja (–(–A)) on sama elemendi vastandid (–A), seega peavad need olema võrdsed.

Esimene fakt on järgmine: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, st (–A) B vastupidine A B, seega on see võrdne – (A B) .

Et olla matemaatiliselt täpne, selgitame, miks 0 B = 0 mis tahes elemendi jaoks B. Tõepoolest, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. See tähendab, et lisamine 0 B summat ei muuda. Seega on see toode võrdne nulliga.

Ja selle, et ringis on täpselt üks null (väidavad ju aksioomid, et selline element on olemas, aga selle ainulaadsusest ei räägita midagi!), jätame lugeja hooleks lihtsa harjutusena.