Etsi suorien viivojen kaltevuus ja kaltevuus. Suoran ja kaltevuuden yhtälö: teoria, esimerkit, ongelmanratkaisu

Suora y \u003d f (x) on tangentti kuvassa näkyvälle kuvaajalle pisteessä x0, jos se kulkee koordinaattipisteen (x0; f (x0)) läpi ja sen kaltevuus on f "(x0). Etsi. tällainen kerroin, kun tiedetään tangentin ominaisuudet, se ei ole vaikeaa.

Tarvitset

• - matemaattinen hakuteos;
• - yksinkertainen lyijykynä;
• - muistikirja;
• - astelevy;
• - kompassi;
• - kynä.

Ohje

Jos arvoa f’(x0) ei ole olemassa, joko tangenttia ei ole tai se kulkee pystysuunnassa. Tämän huomioon ottaen funktion derivaatan esiintyminen pisteessä x0 johtuu ei-pystysuoran tangentin olemassaolosta, joka on kosketuksessa funktion kuvaajaan pisteessä (x0, f(x0)). Tässä tapauksessa kaltevuus tangentti on f "(x0). Siten se tulee selväksi geometrinen merkitys derivaatta - tangentin kaltevuuden laskeminen.

Piirrä lisätangentit, jotka olisivat kosketuksessa funktiokaavion kanssa pisteissä x1, x2 ja x3, ja merkitse myös näiden tangenttien muodostamat kulmat abskissa-akselilla (sellainen kulma lasketaan positiivisessa suunnassa akselista tangenttiin linja). Esimerkiksi kulma, eli α1, on terävä, toinen (α2) on tylppä ja kolmas (α3) nolla, koska tangenttiviiva on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Tässä tapauksessa tylpän kulman tangentti on negatiivinen, terävän kulman tangentti on positiivinen ja tg0:lla tulos on nolla.

Huomautus

Määritä tangentin muodostama kulma oikein. Käytä tätä varten astelevyä.

Hyödyllinen neuvo

Kaksi vinoa viivaa ovat yhdensuuntaisia, jos niiden kaltevuus on yhtä suuri. kohtisuorassa, jos näiden tangenttien kaltevuuden tulo on -1.

Lähteet:

• Funktiokaavion tangentti

Kosiinia, kuten siniä, kutsutaan "suoriksi" trigonometrisiksi funktioiksi. Tangentti (yhdessä kotangentin kanssa) lisätään toiseen pariin, jota kutsutaan "johdannaisiksi". Näille funktioille on olemassa useita määritelmiä, joiden avulla on mahdollista löytää tangentin antama tunnettu arvo saman arvon kosini.

Ohje

Vähennä osamäärä yksiköstä arvoon korotetulla annetun kulman kosinilla ja ota tuloksesta neliöjuuri - tämä on kulman tangentin arvo ilmaistuna sen kosinina: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Kiinnitä samalla huomiota siihen, että kaavassa kosini on murtoluvun nimittäjässä. Nollalla jakamisen mahdottomuus sulkee pois tämän lausekkeen käytön kulmille, jotka ovat yhtä suuria kuin 90°, sekä poikkeamisen tästä arvosta 180°:n kerrannaisilla (270°, 450°, -90° jne.).

On myös vaihtoehtoinen tapa tangentin laskeminen kosinin tunnetusta arvosta. Sitä voidaan käyttää, jos muiden käyttöä ei rajoiteta. Tämän menetelmän toteuttamiseksi määritä ensin kulman arvo tunnetusta kosiniarvosta - tämä voidaan tehdä arkosiinifunktiolla. Laske sitten yksinkertaisesti saadun arvon kulman tangentti. Yleensä tämä algoritmi voidaan kirjoittaa seuraavasti: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

On myös eksoottinen vaihtoehto, jossa käytetään kosinin ja tangentin läpi terävät kulmat suorakulmainen kolmio. Tässä määritelmässä kosini vastaa tarkasteltavan kulman vieressä olevan jalan pituuden suhdetta hypotenuusan pituuteen. Kun tiedät kosinin arvon, voit valita näiden kahden sitä vastaavan sivun pituudet. Esimerkiksi, jos cos(α) = 0,5, niin viereinen voidaan ottaa 10 cm:ksi ja hypotenuusa - 20 cm. Tietyillä luvuilla ei ole tässä väliä - saat saman ja oikean kaikilla arvoilla, joilla on samat. Määritä sitten Pythagoraan lauseen avulla puuttuvan puolen - vastakkaisen jalan - pituus. Hän on tasa-arvoinen neliöjuuri neliön hypotenuusan ja tunnetun haaran pituuksien erosta: √(20²-10²)=√300. Määritelmän mukaan tangentti vastaa vastakkaisten ja vierekkäisten haarojen pituuksien suhdetta (√300/10) - laske se ja hanki löydetty tangentin arvo käyttämällä klassista kosinin määritelmää.

Lähteet:

• kosini tangenttikaavan kautta

Yksi trigonometriset funktiot, jota useimmiten merkitään kirjaimilla tg, vaikka myös nimityksiä tan löytyy. Helpoin tapa on esittää tangentti sinin suhteena kulma sen kosinukseen. Tämä on pariton jaksollinen eikä jatkuva funktio, jonka jokainen jakso on yhtä suuri kuin luku Pi, ja taitepiste vastaa puolta tästä luvusta.

Sertifiointikokeen aiheelle "Tangentin kulmakerroin kaltevuuskulman tangenttina" annetaan useita tehtäviä kerralla. Tilastaan ​​​​riippuen valmistuneelta voidaan vaatia sekä täydellinen vastaus että lyhyt vastaus. Valmistelussa kokeen läpäiseminen matematiikassa opiskelijan tulee ehdottomasti toistaa tehtävät, joissa tangentin kaltevuus on laskettava.

Tämän tekeminen auttaa sinua koulutusportaali"Shkolkovo". Asiantuntijamme ovat laatineet ja esittäneet teoreettisen ja käytännön materiaalin mahdollisimman helposti saatavilla. Kun olet tutustunut siihen, minkä tahansa koulutustason valmistuneet pystyvät ratkaisemaan menestyksekkäästi johdannaisiin liittyviä ongelmia, joissa on löydettävä tangentin kulman tangentti.

Perushetkiä

Sinun on muistettava löytääksesi oikean ja järkevän ratkaisun tällaisiin tehtäviin kokeessa perusmääritelmä: derivaatta on funktion muutosnopeus; se on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti tietyssä pisteessä. Yhtä tärkeää on saada piirustus valmiiksi. Sen avulla voit löytää oikea ratkaisu KÄYTÄ derivaatan tehtäviä, joissa täytyy laskea tangentin kulman tangentti. Selvyyden vuoksi on parasta piirtää kuvaaja OXY-tasolle.

Jos olet jo perehtynyt derivaatan aiheeseen liittyvään perusmateriaaliin ja olet valmis aloittamaan ongelmien ratkaisemisen tangentin kaltevuuskulman tangentin laskemiseksi, samanlainen kuin KÄYTÄ tehtäviä voit tehdä sen verkossa. Jokaiseen tehtävään, esimerkiksi tehtäviä aiheesta "Dirivaatan suhde kehon nopeuteen ja kiihtyvyyteen", kirjoitimme oikean vastauksen ja ratkaisualgoritmin. Tällöin opiskelijat voivat harjoitella tehtävien suorittamista. eri tasoilla vaikeuksia. Harjoituksen voi tarvittaessa tallentaa "Suosikit"-osioon, jolloin voit myöhemmin keskustella päätöksestä opettajan kanssa.

Opi ottamaan funktioiden johdannaisia. Derivaata kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä, joka sijaitsee tämän funktion kaaviossa. Tässä tapauksessa kaavio voi olla joko suora tai kaareva viiva. Eli derivaatta luonnehtii funktion muutosnopeutta tietyllä hetkellä. Muistaa yleiset säännöt joille johdannaiset otetaan, ja vasta sitten siirrytään seuraavaan vaiheeseen.

• Lue artikkeli.
• Kuinka ottaa yksinkertaisimmat johdannaiset, esimerkiksi derivaatta eksponentiaalinen yhtälö, kuvattu. Seuraavissa vaiheissa esitetyt laskelmat perustuvat niissä kuvattuihin menetelmiin.

Opi erottamaan ongelmat, joissa kulmakerroin on laskettava funktion derivaatan avulla. Tehtävissä ei aina suositella funktion kulmakertoimen tai derivaatan löytämistä. Sinua voidaan esimerkiksi pyytää etsimään funktion muutosnopeus pisteessä A(x, y). Sinua voidaan myös pyytää etsimään tangentin kaltevuus pisteessä A(x, y). Molemmissa tapauksissa on tarpeen ottaa funktion derivaatta.

Tason suoran yhtälön aiheen jatko perustuu suoran tutkimiseen algebran oppitunneista. Tämä artikkeli antaa yleistä tietoa suoran ja kaltevuuden yhtälöstä. Harkitse määritelmiä, hanki itse yhtälö, paljasta suhde muiden yhtälöiden kanssa. Kaikesta keskustellaan esimerkkien avulla ongelmanratkaisusta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen tällaisen yhtälön kirjoittamista on tarpeen määrittää suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden niiden kaltevuuden kanssa. Oletetaan, että tasossa on annettu suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x.

Määritelmä 1

Suoran viivan kaltevuuskulma akseliin O x, joka sijaitsee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y tasossa, tämä on kulma, joka mitataan positiivisesta suunnasta O x vastapäivään olevaan suoraan.

Kun suora on yhdensuuntainen Oxin kanssa tai siinä esiintyy sattuma, kaltevuuskulma on 0. Sitten välissä [0, π) määritetään annetun suoran kaltevuuskulma α.

Määritelmä 2

Suoran viivan kaltevuus on annetun suoran kaltevuuden tangentti.

Vakiomerkintä on k. Määritelmästä saadaan, että k = t g α . Kun suora on yhdensuuntainen Oxin kanssa, kaltevuuden sanotaan olevan olemassa, koska se menee äärettömään.

Kulmakerroin on positiivinen, kun funktion kuvaaja kasvaa ja päinvastoin. Kuvassa näkyy erilaisia ​​sijainnin muunnelmia oikea kulma suhteessa koordinaattijärjestelmään kertoimen arvolla.

Tämän kulman löytämiseksi on tarpeen soveltaa kaltevuuskertoimen määritelmää ja laskea kaltevuuskulman tangentti tasossa.

Päätös

Ehdosta saamme, että α = 120 °. Määritelmän mukaan sinun on laskettava kaltevuus. Etsitään se kaavasta k = t g α = 120 = - 3 .

Vastaus: k = -3 .

Jos kulmakerroin tunnetaan, mutta on tarpeen löytää kaltevuuskulma x-akseliin nähden, kulmakertoimen arvo tulee ottaa huomioon. Jos k > 0, niin suora kulma on terävä ja se saadaan kaavasta α = a r c t g k . Jos k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Esimerkki 2

Määritä annetun suoran kaltevuuskulma suhteessa O x:ään, jonka kaltevuus on 3.

Päätös

Ehdolla on, että kaltevuus on positiivinen, mikä tarkoittaa, että kaltevuuskulma O x:ään nähden on alle 90 astetta. Laskelmat tehdään kaavan α = a r c t g k = a r c t g 3 mukaisesti.

Vastaus: α = a r c t g 3 .

Esimerkki 3

Etsi suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, jos kaltevuus = - 1 3 .

Päätös

Jos otamme kaltevuuden merkinnäksi kirjaimen k, niin α on kaltevuuskulma annettuun suoraan nähden positiivisessa suunnassa O x. Tästä syystä k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Vastaus: 5 pi 6.

Yhtälöä, jonka muoto on y \u003d k x + b, jossa k on kaltevuus ja b on jokin reaaliluku, kutsutaan yhtälöksi suorasta ja kaltevasta viivasta. Yhtälö on tyypillinen mille tahansa suoralle, joka ei ole yhdensuuntainen O y -akselin kanssa.

Jos tarkastellaan yksityiskohtaisesti suoraa linjaa tasossa kiinteässä koordinaattijärjestelmässä, joka saadaan yhtälöllä, jonka kaltevuus näyttää y \u003d k x + b. Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että minkä tahansa suoran pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä. Jos korvaamme pisteen M koordinaatit M 1 (x 1, y 1) yhtälöön y \u003d k x + b, niin tässä tapauksessa suora kulkee tämän pisteen läpi, muuten piste ei kuulu linja.

Esimerkki 4

Annettu suora kaltevuus y = 1 3 x - 1 . Laske, kuuluvatko pisteet M 1 (3 , 0) ja M 2 (2 , - 2) annettuun suoraan.

Päätös

On tarpeen korvata pisteen M 1 (3, 0) koordinaatit annettuun yhtälöön, jolloin saadaan 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Tasa-arvo on totta, joten piste kuuluu riville.

Jos korvaamme pisteen M 2 (2, - 2) koordinaatit, saadaan virheellinen yhtälö muotoon - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Voimme päätellä, että piste M 2 ei kuulu suoralle.

Vastaus: M 1 kuuluu riville, mutta M 2 ei.

Tiedetään, että suora määritellään yhtälöllä y = k · x + b, joka kulkee M 1 (0 , b) :n kautta, substituutiolla saatiin yhtälö muotoa b = k · 0 + b ⇔ b = b . Tästä voidaan päätellä, että tasaisen suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = k · x + b, määrittää suoran, joka kulkee pisteen 0, b kautta. Se muodostaa kulman α O x -akselin positiivisen suunnan kanssa, missä k = t g α .

Tarkastellaan esimerkiksi suoraa, joka on määritelty käyttämällä muotoa y = 3 · x - 1 annettua kaltevuutta. Saadaan, että suora kulkee pisteen, jonka koordinaatti on 0, - 1, kaltevuus α = a r c t g 3 = π 3 radiaania O x -akselin positiivisessa suunnassa. Tästä voidaan nähdä, että kerroin on 3.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

On tarpeen ratkaista tehtävä, jossa on tarpeen saada yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta.

Yhtälöä y 1 = k · x + b voidaan pitää pätevänä, koska suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1) kautta. Numeron b poistamiseksi on vähennettävä yhtälö kaltevuuskertoimella vasemmalta ja oikealta puolelta. Tästä seuraa, että y - y 1 = k · (x - x 1) . Tätä yhtälöä kutsutaan pisteen M 1 (x 1, y 1) koordinaattien kautta kulkevan suoran yhtälöksi, jolla on tietty kaltevuus k.

Esimerkki 5

Muodosta yhtälö pisteen M 1 läpi kulkevasta suorasta koordinaateista (4, - 1), jonka kaltevuus on -2.

Päätös

Ehdolla meillä on x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Tästä eteenpäin suoran yhtälö kirjoitetaan näin y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Vastaus: y = -2 x + 7.

Esimerkki 6

Kirjoita yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 kautta koordinaattein (3, 5) yhdensuuntaisina suoran y \u003d 2 x - 2 kanssa.

Päätös

Ehdolla meillä on, että yhdensuuntaisilla viivoilla on yhtenevät kaltevuuskulmat, joten kaltevuuskertoimet ovat yhtä suuret. Löytääksesi rinteen annettu yhtälö, on tarpeen muistaa sen peruskaava y = 2 x - 2, joten tästä seuraa, että k = 2 . Muodostamme yhtälön kaltevuuskertoimella ja saamme:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Vastaus: y = 2 x - 1 .

Siirtyminen kaltevan suoran yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Tällaista yhtälöä ei aina voida soveltaa ongelmien ratkaisemiseen, koska sen merkintätapa ei ole kovin kätevä. Tätä varten se on esitettävä eri muodossa. Esimerkiksi yhtälö, jonka muoto on y = k · x + b, ei salli suoran suuntavektorin tai normaalivektorin koordinaattien kirjoittamista. Tätä varten sinun on opittava esittämään erilaisia ​​yhtälöitä.

Voimme saada kanoninen yhtälö suora tasossa käyttämällä yhtälöä suora ja kaltevuus. Saamme x - x 1 a x = y - y 1 a y . On tarpeen siirtää termiä b vasemmalle puolelle ja jakaa saadun epäyhtälön lausekkeella. Sitten saadaan yhtälö muotoa y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Suoran ja kaltevuuden yhtälöstä on tullut tietyn suoran kanoninen yhtälö.

Esimerkki 7

Tuo suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = - 3 x + 12, kanoniseen muotoon.

Päätös

Laskemme ja edustamme suoran kanonisen yhtälön muodossa. Saamme muodon yhtälön:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Vastaus: x 1 = y - 12 - 3.

Suoran yleinen yhtälö on helpoin saada kaavasta y = k x + b, mutta tämä vaatii muunnoksia: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Siirto tehdään yleinen yhtälö suoraan toisenlaisiin yhtälöihin.

Esimerkki 8

On annettu yhtälö muotoa y = 1 7 x - 2 olevasta suorasta. Selvitä, onko vektori, jonka koordinaatit a → = (- 1 , 7), normaali suoravektori?

Päätös

Sen ratkaisemiseksi on vaihdettava tämän yhtälön toiseen muotoon, tätä varten kirjoitamme:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Muuttujien edessä olevat kertoimet ovat suoran normaalivektorin koordinaatit. Kirjoitetaan se näin n → = 1 7 , - 1 , joten 1 7 x - y - 2 = 0 . On selvää, että vektori a → = (- 1 , 7) on kollineaarinen vektorin n → = 1 7, - 1 kanssa, koska meillä on reilu relaatio a → = - 7 · n → . Tästä seuraa, että alkuperäinen vektori a → = - 1 , 7 on suoran 1 7 x - y - 2 = 0 normaalivektori , mikä tarkoittaa , että sitä pidetään normaalivektorina suoralle y = 1 7 x - 2 .

Vastaus: On

Ratkaistaan ​​ongelma käänteisesti tälle.

Pitää muuttaa pois yleisnäkymä yhtälö A x + B y + C = 0, missä B ≠ 0, kaltevuusyhtälöön. Tätä varten ratkaisemme yhtälön y:lle. Saamme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Tuloksena on yhtälö, jonka kaltevuus on -A B .

Esimerkki 9

On annettu yhtälö muotoa 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hanki yhtälö tietylle suoralle, jolla on kaltevuus.

Päätös

Ehdon perusteella on ratkaistava y, jolloin saadaan yhtälö muotoa:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Vastaus: y = 1 6 x + 1 4 .

Samalla tavalla ratkaistaan ​​yhtälö, jonka muoto on x a + y b \u003d 1, jota kutsutaan suoran yhtälöksi segmenteissä tai kanonisessa muodossa x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Se on ratkaistava y:n suhteen, vasta sitten saadaan yhtälö, jolla on kaltevuus:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanoninen yhtälö voidaan pelkistää muotoon, jossa on kaltevuus. Tätä varten:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

Esimerkki 10

On olemassa yhtälön x 2 + y - 3 = 1 antama suora viiva. Muodosta yhtälö, jossa on kaltevuus.

Päätös.

Ehdon perusteella on muunnettava, jolloin saadaan yhtälö muotoa _kaava_. Yhtälön molemmat puolet tulee kertoa -3:lla, jotta saadaan vaadittu kaltevuusyhtälö. Muuntamalla saamme:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Vastaus: y = 3 2 x - 3.

Esimerkki 11

Muodon x - 2 2 \u003d y + 1 5 suora yhtälö tuodaan muotoon, jossa on kaltevuus.

Päätös

On tarpeen laskea lauseke x - 2 2 = y + 1 5 suhteessa. Saamme, että 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nyt sinun on otettava se käyttöön kokonaan tätä varten:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Vastaus: y = 5 2 x - 6 .

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi suoran muodon x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametriset yhtälöt tulisi pelkistää suoran kanoniseen yhtälöön, vasta sen jälkeen voit siirtyä yhtälö kaltevuuden kanssa.

Esimerkki 12

Laske suoran kaltevuus, jos se on annettu parametriyhtälöillä x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Päätös

Sinun on siirryttävä parametrinäkymästä kaltevuustilaan. Tätä varten löydämme kanonisen yhtälön annetusta parametrisesta yhtälöstä:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nyt on tarpeen ratkaista tämä yhtälö y:n suhteen, jotta saadaan yhtälö suorasta kulmasta. Tätä varten kirjoitamme näin:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Tästä seuraa, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin 2. Tämä kirjoitetaan muodossa k = 2 .

Vastaus: k = 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Kaltevuuskerroin on suora. Tässä artikkelissa tarkastelemme matematiikan kokeeseen sisältyviä koordinaattitasoon liittyviä tehtäviä. Nämä ovat tehtäviä:

- suoran viivan kaltevuuden määrittäminen, kun tunnetaan kaksi pistettä, joiden läpi se kulkee;
- kahden tason suoran leikkauspisteen abskissan tai ordinaatin määrittäminen.

Tässä osiossa kuvattiin mikä on pisteen abskissa ja ordinaatta. Siinä olemme jo tarkastelleet useita koordinaattitasoon liittyviä ongelmia. Mitä tulee ymmärtää tarkasteltavana olevien tehtävien osalta? Vähän teoriaa.

Koordinaattitasolla olevan suoran yhtälöllä on muoto:

missä k – tämä on suoran kaltevuus.

Seuraava hetki! Suoran viivan kaltevuus yhtä suuri kuin tangentti suoran viivan kaltevuuskulma. Tämä on annetun suoran ja akselin välinen kulmavai niin.

Se on 0 ja 180 asteen välillä.

Eli jos pelkistetään suoran yhtälö muotoon y = kx + b, niin edelleen voimme aina määrittää kertoimen k (kaltevuuskerroin).

Lisäksi, jos pystymme määrittämään suoran kaltevuuden tangentin ehdon perusteella, niin löydämme siten sen kaltevuuden.

Seuraava teoreettinen hetki!Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.Kaava näyttää tältä:

Harkitse ongelmia (samankaltaisia ​​kuin mistä peräisin avoin pankki tehtävät):

Etsi koordinaattipisteiden (–6; 0) ja (0; 6) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Tässä tehtävässä järkevin tapa ratkaista tämä on löytää x-akselin ja annetun suoran välisen kulman tangentti. Tiedetään, että se on yhtä suuri kuin kulmakerroin. Tarkastellaan suoran ja x- ja y-akselien muodostamaa suorakulmaista kolmiota:

Kulman tangentti in suorakulmainen kolmio on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:

* Molemmat jalat ovat kuusi (nämä ovat niiden pituudet).

Varmasti, tämä tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä kaavaa kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön löytämiseksi. Mutta se on pidempi ratkaisupolku.

Vastaus: 1

Etsi koordinaattien (5;0) ja (0;5) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Pisteillämme on koordinaatit (5;0) ja (0;5). tarkoittaa,

Tuodaan kaava muotoon y = kx + b

Saimme sen kulmakertoimen k = – 1.

Vastaus: -1

Suoraan a kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit (0;6) ja (8;0). Suoraan b kulkee koordinaattipisteen (0;10) läpi ja on yhdensuuntainen suoran kanssa a b akselilla härkä.

Tässä tehtävässä voit löytää suoran yhtälön a, määritä sen kaltevuus. Suora viiva b kaltevuus on sama, koska ne ovat yhdensuuntaisia. Seuraavaksi löydät suoran yhtälön b. Ja sitten korvaamalla arvo y = 0, etsi abskissa. MUTTA!

Tässä tapauksessa on helpompi käyttää kolmion samankaltaisuusominaisuutta.

Tiettyjen (rinnakkaisten) koordinaattiviivojen muodostamat suorakulmaiset kolmiot ovat samanlaisia, mikä tarkoittaa, että niiden sivujen suhteet ovat yhtä suuret.

Haluttu abskissa on 40/3.

Vastaus: 40/3

Suoraan a kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit (0;8) ja (–12;0). Suoraan b kulkee koordinaattipisteen (0; -12) läpi ja on yhdensuuntainen suoran kanssa a. Etsi suoran leikkauspisteen abskissa b akselilla härkä.

Tämän ongelman rationaalisin tapa ratkaista se on käyttää kolmioiden samankaltaisuusominaisuutta. Mutta ratkaisemme sen eri tavalla.

Tiedämme pisteet, joiden kautta viiva kulkee a. Voimme kirjoittaa suoran yhtälön. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön kaava on:

Ehdon mukaan pisteillä on koordinaatit (0;8) ja (–12;0). tarkoittaa,

Laitetaanpa mieleen y = kx + b:

Sain sen kulman k = 2/3.

*Kulmakerroin löytyi kulman tangentin kautta suorakulmaisessa kolmiossa, jossa on jalat 8 ja 12.

Tiedämme, että yhdensuuntaisilla viivoilla on yhtä suuri kaltevuus. Joten pisteen (0;-12) läpi kulkevan suoran yhtälöllä on muoto:

Etsi arvo b voimme korvata abskissan ja ordinaatoida yhtälöön:

Joten rivi näyttää tältä:

Nyt, jotta voit löytää halutun abskissan suoran leikkauspisteestä x-akselin kanssa, sinun on korvattava y \u003d 0:

Vastaus: 18

Etsi akselin leikkauspisteen ordinaatit oi ja pisteen B(10;12) kautta kulkeva suora ja origon ja pisteen A(10;24) kautta kulkeva yhdensuuntainen viiva.

Etsitään koordinaattien (0;0) ja (10;24) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön kaava on:

Pisteillämme on koordinaatit (0;0) ja (10;24). tarkoittaa,

Laitetaanpa mieleen y = kx + b

Yhdensuuntaisten viivojen kaltevuus on yhtä suuri. Näin ollen pisteen B (10; 12) kautta kulkevan suoran yhtälöllä on muoto:

Merkitys b saamme korvaamalla pisteen B (10; 12) koordinaatit tähän yhtälöön:

Saimme suoran yhtälön:

Tämän suoran ja akselin leikkauspisteen ordinaatin löytäminen OU on korvattava löydettyyn yhtälöön X= 0:

* Helpoin ratkaisu. Rinnakkaiskäännöksen avulla siirrämme tätä viivaa alaspäin akselia pitkin OU pisteeseen (10;12). Siirto tapahtuu 12 yksiköllä, eli piste A(10;24) "läpäisty" pisteeseen B(10;12) ja piste O(0;0) "läpi" pisteeseen (0;-12). Joten tuloksena oleva viiva leikkaa akselin OU pisteessä (0;–12).

Haluttu ordinaatta on -12.

Vastaus: -12

Etsi yhtälön antaman suoran leikkauspisteen ordinaatit

3x + 2v = 6, akselilla Oy.

Annetun suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU on muotoa (0; klo). Korvaa abskissa yhtälöön X= 0 ja etsi ordinaatta:

Suoran ja akselin leikkauspisteen ordinaatta OU on yhtä kuin 3.

*Järjestelmää ratkaistaan:

Vastaus: 3

Etsi yhtälöiden antamien suorien leikkauspisteen ordinaatit

3x + 2v = 6 ja y = - x.

Kun on annettu kaksi suoraa ja kysymys on näiden viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä, näiden yhtälöiden järjestelmä on ratkaistu:

Ensimmäisessä yhtälössä korvaamme - X sijasta klo:

Ordinaatta on miinus kuusi.

Vastaus: – 6

Etsi koordinaattipisteiden (–2; 0) ja (0; 2) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Etsi koordinaattien (2;0) ja (0;2) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Suora a kulkee koordinaattipisteiden (0;4) ja (6;0) läpi. Suora b kulkee koordinaatin (0;8) pisteen läpi ja on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Etsi suoran b ja x-akselin leikkauspisteen abskissa.

Etsi y-akselin ja pisteen B (6;4) kautta kulkevan suoran leikkauspisteen sekä origon ja pisteen A kautta kulkevan yhdensuuntaisen suoran (6;8) leikkauspisteen ordinaatit.

1. On välttämätöntä ymmärtää selvästi, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuden tangentti. Tämä auttaa sinua ratkaisemaan monia tämäntyyppisiä ongelmia.

2. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran löytämisen kaava on ymmärrettävä. Sen avulla voit aina löytää suoran yhtälön, jos sen kahden pisteen koordinaatit on annettu.

3. Muista, että yhdensuuntaisten viivojen jyrkkyys on yhtä suuri.

4. Kuten ymmärrät, joissakin tehtävissä on kätevää käyttää kolmioiden samankaltaisuuden merkkiä. Ongelmat ratkaistaan ​​käytännössä suullisesti.

5. Tehtävät, joissa on annettu kaksi suoraa ja niiden leikkauspisteen abskissa tai ordinaatta on löydettävä, voidaan ratkaista graafisesti. Toisin sanoen rakentaa ne koordinaattitasolle (arkille solussa) ja määritä leikkauspiste visuaalisesti. * Mutta tämä menetelmä ei ole aina käyttökelpoinen.

6. Ja viimeinen. Jos on annettu suora ja sen leikkauspisteiden koordinaatit koordinaattiakseleiden kanssa, niin tällaisissa tehtävissä on kätevää löytää kulmakerroin etsimällä kulman tangentti muodostetusta suorakulmaisesta kolmiosta. Kuinka "nähdä" tämä kolmio eri viivojen järjestelyille tasossa, on kaaviomaisesti esitetty alla:

>> Viivan kaltevuuskulma 0 - 90 astetta<<

>> Suoraviivan kulma 90 - 180 astetta<<

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.