Tästä syystä alkuperäisen kuvan alkuperäisellä on muoto

Tämä tulos on sama kuin (23).

3. Etsi ratkaisu differentiaaliyhtälöön
, joka täyttää alkuehdot y(0) = y"(0) = 0.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme Duhamel-integraalia. Etsitään ensin ratkaisu
differentiaaliyhtälö
. Kuvaa vastaava operaattoriyhtälö
on muotoa

tai
. Täältä löydämme

. Esitämme tuloksena olevan murto-osan yksinkertaisten murtolukujen summana
. Etsitään kertoimet
. Tätä varten vähennämme oikean puolen murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja saamme osoittajien yhtäläisyyden

Kertoimien löytämiseksi käytämme ensin osaarvojen menetelmää. Laitetaanpa
. Sitten saamme
. Laitetaanpa
. Sitten saamme
. Arvon määrittämiseksi vertaa kertoimet asteeseen vasen ja oikea kohdassa (24):
. Siten,
. Siksi kuva näyttää
. Taulukon mukaan löydämme vastaavan alkuperäisen
.. täältä

. (25)

Kaavan (13) mukaisesti alkuperäisen differentiaaliyhtälön ratkaisu
on integraali

, (26)

- (27)

alkuperäisen yhtälön oikealla puolella. Huomaa, että kohdassa (26) käytetään kahden funktion konvoluution symmetriaominaisuutta.

Korvaamalla (25) ja (27) arvolla (26) saadaan

Siten,

. (28)

Ratkaistaan ​​tämä ongelma Mathcadilla

Merkitse
kautta
(muista, että Mathcadissa kompleksinen muuttuja merkitty )

Etsitään alkuperäinen
, laita sitten
ja etsi johdannainen suhteessa toiminnosta

Laskea
, missä
on alkuperäisen yhtälön oikea puoli.

Oikea puoli voidaan yksinkertaistaa

Tämä tulos on sama kuin aiemmin saatu lauseke (28).

Koska kahden funktion konvoluutio ei riipu niiden järjestyksestä, voimme myös laskea
kaavan (26) mukaisesti muodossa

Tuloksena on melko hankala ilmaisu. Esitämme samat termit tässä lausekkeessa ja yksinkertaistamme tulosta

Tämä tulos on myös pelkistetty muotoon (28)

4. Ratkaise Cauchyn ongelma operatiivisella menetelmällä:

(29)

(30)

Päätös. Olettaen että,

,

saamme operaattoriyhtälön muodossa

Tästä kuva

(31)

Polynomi
on juuret
,
, ja siksi lauseke
ensimmäisen ja viimeisen murtoluvun summan yksinkertaistamisen jälkeen se muunnetaan muotoon

(32)

Saadaksesi alkuperäisen
kuvaa varten
, sinun on hajotettava kohdan (32) murtoluvut yksinkertaisiksi. Etsitään tämä laajennus Mathcadilla

Monissa matemaattisen analyysin ongelmissa tarkastellaan tilanteita, joissa yhden avaruuden jokainen piste on osoitettu johonkin toisen (tai saman) avaruuden pisteeseen. Tilat voivat olla abstrakteja, joissa "pisteet" ovat itse asiassa funktioita. Kahden pisteen välinen vastaavuus muodostetaan muunnolla tai operaattorilla. Operaattoriteorian tehtävään kuuluu erityyppisten muunnosten ja niiden ominaisuuksien yksityiskohtainen kuvaus ja luokittelu sekä symbolisten menetelmien kehittäminen, jotka mahdollistavat laskelmien minimoimisen ja yksinkertaistamisen. Yleensä operaattoriteoriaa sovelletaan tiloihin, joissa pisteiden yhteen- tai kertolasku on sallittu, ts. lineaariset tilat, ryhmät, renkaat, kentät jne.

Ongelmat ja sovellukset.

Anna olla D ja R ovat todellisia lineaarisia tai vektoriavaruuksia, eivätkä välttämättä erillisiä. Niiden elementit ovat vektoreita, joten kahden alkion summa ja elementin tulo skalaarilla on määritelty ja täyttävät vektoreille tavanomaiset ehdot. Äärillisten emästen olemassaolo D ja R ei välttämättä. Anna olla r, vektori R, vastaa vektoria d alkaen D. Merkitsemme tätä kirjeenvaihtoa T(d) = r tai Td = r. Sitten T kutsutaan toimialueen operaattoriksi D ja valikoima R. Operaattori T on jakava jos

missä λ ja λ" ovat reaalilukuja ja d ja d"- mistä tahansa elementistä D. Jos D ja R ovat topologisia vektoriavaruuksia, joissa λd ja d+d" ovat jatkuvia operaatioita, silloin distributiivista jatkuvaa operaattoria kutsutaan lineaarioperaattoriksi. Jos K sisältää D ja R, sitten T 2 (d) määritellään nimellä T(T(d)) ja se määritellään samalla tavalla T n(d), jos kaikki nämä toiminnot ovat järkeviä.

Operaatiolaskennan avulla voidaan tehdä abstrakteja ongelmien muotoiluja ja yleistää sellaisia ​​matemaattisen analyysin aloja, kuten differentiaali- ja integraaliyhtälöiden teoria. Nykyaikaisista kvanttiteorian ongelmista on tullut voimakas sysäys operaattoriteorian kehitykselle. Täydellisimmät tulokset on saatu jakeluoperaattoreille ns. Hilbertin avaruus. Kiinnostus tätä aluetta kohtaan liittyy suurelta osin tällaisten operaattoreiden esittämiseen integraalisilla muunnoksilla.

Kaksi tärkeää jakooperaattoria ovat erotteluoperaattorit p ja integraatio p-yksi . Lineaaristen avaruuksien elementit D ja R tässä tapauksessa muuttujan funktioita x. Meillä on

missä m ja n ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja. Koska integrointi johtaa mielivaltaisen vakion esiintymiseen, p –1 p ei välttämättä ole sama operaatio p 0 . Muodolliset säännöt tällaisten operaattoreiden yhdistämiselle juontavat juurensa J. Booleen (1815–1864); Esimerkiksi,

O. Heavisiden (1850–1925) kehittämässä Heavisiden laskennassa avaruus D rajoitettu toimintojen laajuuteen f(x), sama kuin nolla negatiiviselle x. Pääroolissa on funktio 1( x), yhtä kuin 0 negatiiviselle x ja 1 ei-negatiivisille x. Tässä on joitain Heaviside-laskennan "sääntöjä":

Jos n! vaihda gammafunktio Г( n+ 1), niin ensimmäinen säännöistä pysyy voimassa ei-kokonaisluvuille n(gammafunktion määritelmä cm. TOIMINTO).

Operatiivisen laskennan päätuloksena pidetään koostumuksen lausetta eli konvoluutiota, jonka mukaan jos F 1 (p)1(x) = f 1 (x) ja F 2 (p)1(x) = f 2 (x), sitten

Sovelletaan konvoluutiolausetta p a klo a≠ 0, –1, –2,..., voidaan määritellä murto-osajärjestyksen integrointi tai differentiaatio. Harkitse esimerkiksi lauseketta

missä on funktio y(x) ja sen ensimmäinen n– 1 johdannainen katoaa, kun x= 0. Olkoon y(x) = Y(p)1(x), g(x) = G(p)1(x). Hyväksyä

Teeskennetäänpä sitä f(x) = F(p) –1 1(x). Sitten

Vakiosäännöt sisältävät erilaisia ​​​​algoritmeja, jotka liittyvät asymptoottisten sarjojen rationaalisten funktioiden alkeismurto-laajennuksiin jne. Käytännössä y(x) = Y(p)1(x) kirjoitetaan usein nimellä y(x) ~ Y(p) tai .

W. Volterran (1860–1940) suljetun syklin funktioteoria johtaa samoihin yleisiin tuloksiin. Samanlaisia ​​teorioita on rakennettu myös muille operaattoreille, esim x(d/dx). x algebrallisiin ongelmiin funktioille riippuen p. Useimmiten Heavisiden menetelmää käytetään ratkaisemaan differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla, differentiaaliyhtälöitä ja integraaliyhtälöitä ytimellä K(x, t) = K(x – t). Yleisessä tapauksessa, kun operaatiolaskennan menetelmät laajennetaan monimutkaisempiin yhtälöihin, "puhtaan algebraation" luonne menetetään.

Suhteen tiukka perustelu F(p)1(x) = f (x) on annettu Laplace- tai Fourier-integraalimuunnoksilla tai abstraktisti operaattorien avulla tietyissä lineaarisissa topologisissa avaruudessa, kuten Hilbert-avaruudessa. Tämä lähestymistapa mahdollisti ehtojen määrittämisen heurististen sääntöjen soveltamiselle.

Kuinka ratkaista differentiaaliyhtälö
operatiivinen laskenta?

Tällä oppitunnilla analysoidaan yksityiskohtaisesti tyypillinen ja laajalle levinnyt monimutkaisen analyysin tehtävä - DE:n 2. kertaluvun tietyn ratkaisun löytäminen vakiokertoimilla operaatiolaskennan menetelmällä. Uudelleen ja uudelleen vapautan sinut ennakkoluulosta, jonka mukaan materiaali on käsittämättömän monimutkaista ja mahdotonta saada. Se on hauskaa, mutta esimerkkien hallitsemiseksi et ehkä pysty erottamaan, integroimaan etkä edes tiedä mitä kompleksiluvut. Edellyttää soveltamistaitoa määrittämättömien kertoimien menetelmä, jota käsitellään yksityiskohtaisesti artikkelissa Murtolukujen rationaalisten funktioiden integrointi. Itse asiassa harjoituksen kulmakivenä ovat tavalliset algebralliset operaatiot, ja olen varma, että materiaalia on saatavilla myös koululaiselle.

Ensinnäkin ytimekäs teoreettinen tieto tarkasteltavana olevasta matemaattisen analyysin osasta. Pääasia operatiivinen laskenta koostuu seuraavista: toiminto pätevä muuttuja käyttämällä ns Laplace muuntuu näkyy sisään toiminto integroitu muuttuja :

Terminologia ja merkintä:
funktiota kutsutaan alkuperäinen;
funktiota kutsutaan kuva;
iso kirjain tarkoittaa Laplace-muunnos.

Yksinkertaisesti sanottuna, tiettyjen sääntöjen mukaan todellinen funktio (alkuperäinen) on muutettava monimutkaiseksi funktioksi (kuvaksi). Nuoli osoittaa tämän muunnoksen. Ja "tietyt säännöt" itsessään ovat Laplace-muunnos, jota harkitsemme vain muodollisesti, mikä riittää ongelmien ratkaisemiseen.

Käänteinen Laplace-muunnos on myös mahdollinen, kun kuva muunnetaan alkuperäiseksi:

Miksi tämä kaikki on välttämätöntä? Useissa korkeamman matematiikan ongelmissa voi olla erittäin hyödyllistä vaihtaa alkuperäisistä kuviin, koska tässä tapauksessa ongelman ratkaisu yksinkertaistuu suuresti (vitsinä). Ja vain yksi näistä ongelmista harkitsemme. Jos olet elänyt nähdäksesi operatiivisen laskun, formulaation pitäisi olla sinulle tuttu:

Etsi erityinen ratkaisu epähomogeeniselle toisen kertaluvun yhtälölle vakiokertoimilla tietyissä alkuolosuhteissa.

Huomautus: joskus differentiaaliyhtälö voi olla homogeeninen: , sille voidaan käyttää yllä olevassa formulaatiossa myös operaatiolaskennan menetelmää. Käytännön esimerkeissä kuitenkin toisen asteen homogeeninen DE on erittäin harvinainen, ja edelleen puhumme epähomogeenisista yhtälöistä.

Ja nyt analysoidaan kolmatta menetelmää - DE:n ratkaisua operaatiolaskennan avulla. Vielä kerran painotan sitä tosiasiaa kyse on tietyn ratkaisun löytämisestä, sitä paitsi, alkuehdoilla on ehdottomasti muoto("X:t" ovat nolla).

Muuten, noin "X". Yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavaan muotoon:
, jossa "x" on itsenäinen muuttuja ja "y" on funktio. En puhu tästä sattumalta, koska tarkasteltavassa ongelmassa käytetään useimmiten muita kirjaimia:

Toisin sanoen riippumattoman muuttujan roolia esittää muuttuja "te" ("x":n sijaan) ja funktion roolia muuttuja "x" ("y":n sijaan).

Ymmärrän, että se on tietysti hankalaa, mutta on parempi pitää kiinni useimmista ongelmakirjoista ja käsikirjoista löytyvissä merkinnöissä.

Joten tehtävämme muiden kirjainten kanssa on kirjoitettu seuraavasti:

Etsi erityinen ratkaisu epähomogeeniselle toisen kertaluvun yhtälölle vakiokertoimilla tietyissä alkuolosuhteissa .

Tehtävän merkitys ei ole muuttunut ollenkaan, vain kirjaimet ovat muuttuneet.

Kuinka ratkaista tämä ongelma operaatiolaskennan menetelmällä?

Ensinnäkin tarvitset taulukko alkuperäisistä ja kuvista. Tämä on keskeinen päätöksentekotyökalu, etkä voi tulla toimeen ilman sitä. Siksi, jos mahdollista, yritä tulostaa määritetty viitemateriaali. Selitän heti, mitä kirjain "pe" tarkoittaa: kompleksinen muuttuja (tavanomaisen "ze" sijaan). Vaikka tämä tosiasia ei ole erityisen tärkeä ongelmien ratkaisemisen kannalta, "pe" on niin "pe".

Taulukon avulla alkuperäiset on muutettava kuviksi. Tätä seuraa sarja tyypillisiä toimintoja ja käytetään käänteistä Laplace-muunnosta (myös taulukossa). Siten haluttu tietty ratkaisu löytyy.

Kaikki tehtävät, mikä on mukavaa, ratkaistaan ​​melko jäykän algoritmin mukaan.

Esimerkki 1

, ,

Päätös: Ensimmäisessä vaiheessa siirrymme alkuperäisistä vastaaviin kuviin. Käytetään vasenta puolta.

Käsitellään ensin alkuperäisen yhtälön vasenta puolta. Laplace-muunnokselle, lineaarisuussäännöt, joten jätämme huomioimatta kaikki vakiot ja työskentelemme erikseen funktion ja sen johdannaisten kanssa.

Taulukkokaavan nro 1 mukaan muunnamme funktion:

Kaavan nro 2 mukaan , kun otetaan huomioon alkuehto , käännämme derivaatan:

Kaavan nro 3 mukaan, ottaen huomioon alkuehdot, käännämme toisen derivaatan:

Älä hämmenny merkeistä!

Myönnän, että on oikeampaa sanoa ei "kaavoja", vaan "muunnoksia", mutta yksinkertaisuuden vuoksi kutsun aika ajoin taulukon täyttöä kaavoiksi.

Käsitellään nyt oikeaa puolta, joka sisältää polynomin. Samasta johtuen lineaarisuussäännöt Laplace-muunnos, työskentelemme jokaisen termin kanssa erikseen.

Tarkastellaan ensimmäistä termiä: - tämä on riippumaton muuttuja "te", kerrottuna vakiolla. Jätä vakio huomioimatta ja suorita muunnos käyttämällä taulukon kohtaa 4:

Tarkastellaan toista termiä: -5. Kun vakio löytyy yksinään, sitä ei voi enää ohittaa. Yhdellä vakiolla he tekevät tämän: selvyyden vuoksi se voidaan esittää tulona: , ja yksikköön sovelletaan muunnos:

Siten kaikille differentiaaliyhtälön elementeille (alkuperäisille) löytyy vastaavat kuvat taulukon avulla:

Korvaa löydetyt kuvat alkuperäisessä yhtälössä:

Seuraava tehtävä on ilmaista operaattorin päätös kaiken muun kautta, nimittäin yhden murto-osan kautta. Tässä tapauksessa on suositeltavaa noudattaa seuraavaa menettelyä:

Avaa ensin vasemmalla puolella olevat kiinnikkeet:

Annamme vastaavat ehdot vasemmalla puolella (jos sellaisia ​​on). Lisää tässä tapauksessa numerot -2 ja -3. Nuket suosittelevat vahvasti, että et ohita tätä vaihetta:

Vasemmalle jätämme ehdot, joissa on läsnä, siirrämme loput ehdot oikealle etumerkin muutoksella:

Vasemmalta otamme pois operaattoriratkaisun, oikealta tuomme lausekkeen yhteiseen nimittäjään:

Vasemmalla oleva polynomi tulee ottaa huomioon (jos mahdollista). Ratkaisemme toisen asteen yhtälön:

Täten:

Palautamme oikean puolen nimittäjään:

Tavoite on saavutettu - operaattoriratkaisu ilmaistaan ​​yhdellä murto-luvulla.

Toimenpide kaksi. Käyttämällä määrittämättömien kertoimien menetelmä, yhtälön operaattoriratkaisu tulee laajentaa alkeismurtolukujen summaksi:

Yhdistä kertoimet vastaavilla potenssilla ja ratkaise järjestelmä:

Jos on vaikeuksia ole hyvä ja tutustu artikkeleihin Murto-rationaalisen funktion integrointi ja Kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmä? Tämä on erittäin tärkeää, koska fraktiointi on pohjimmiltaan ongelman tärkein osa.

Joten kertoimet löytyvät: , ja operaattoriratkaisu ilmestyy meille purettuna:

Huomaa, että vakioita ei kirjoiteta murtolukujen osoittajiin. Tämä kirjoitusmuoto on parempi kuin . Ja se on kannattavampaa, koska viimeinen toiminta tapahtuu ilman sekaannusta ja virheitä:

Tehtävän viimeinen vaihe on siirtyä kuvista vastaaviin alkuperäisiin käyttämällä käänteistä Laplace-muunnosta. Käytä oikeaa saraketta taulukot alkuperäisistä ja kuvista.

Ehkä kaikki eivät ymmärrä muutosta. Tässä käytetään taulukon kappaleen 5 kaavaa:. Jos tarkemmin: . Itse asiassa vastaavissa tapauksissa kaavaa voidaan muuttaa: . Kyllä, ja kaikki kappaleen nro 5 taulukkokaavat on erittäin helppo kirjoittaa uudelleen samalla tavalla.

Käänteisen siirtymän jälkeen haluttu tietty ratkaisu DE:stä saadaan hopealautaselle, jossa on sininen reuna:

Se oli:

Se tuli:

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Kun aika sallii, on aina suositeltavaa tehdä tarkistus. Tarkastus suoritetaan vakiokaavion mukaisesti, jota on jo tarkasteltu oppitunnilla. Epähomogeeniset 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöt. Toistetaan:

Tarkastellaan alkuehdon täyttymistä:
- tehty.

Etsitään ensimmäinen johdannainen:

Tarkastetaan toisen alkuehdon täyttymistä:
- tehty.

Etsitään toinen derivaatta:

Korvaava , ja alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella:

Alkuperäisen yhtälön oikea puoli saadaan.

Johtopäätös: Tehtävä suoritettiin oikein.

Pieni esimerkki ratkaistaksesi itse:

Esimerkki 2

Etsi operaatiolaskennan avulla erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön annetuille alkuolosuhteille.

Esimerkki viimeisestä tehtävästä oppitunnin lopussa.

Yleisin vieras differentiaaliyhtälöissä, kuten monet ovat jo pitkään huomanneet, ovat eksponentit, joten katsotaanpa muutamia esimerkkejä heidän kanssaan, sukulaiset:

Esimerkki 3

, ,

Päätös: Laplace-muunnostaulukon (taulukon vasen puoli) avulla siirrytään alkuperäisistä vastaaviin kuviin.

Katsotaanpa ensin yhtälön vasenta puolta. Ensimmäistä johdannaista ei ole olemassa. No mitä sitten? Hieno. Vähemmän työtä. Alkuolosuhteet huomioon ottaen taulukkokaavojen nro 1,3 mukaan löydämme kuvat:

Nyt tarkastellaan oikeaa puolta: - kahden funktion tulo. Hyödyntämään lineaarisuusominaisuudet Laplace-muunnos, sinun on avattava sulut: . Koska vakiot ovat tuotteissa, teemme niistä pisteytyksen, ja käyttämällä taulukkokaavojen ryhmää nro 5 löydämme kuvat:

Korvaa löydetyt kuvat alkuperäiseen yhtälöön:

Muistutan, että seuraava tehtävä on ilmaista operaattoriratkaisu yhdellä murtoluvulla.

Vasemmalle puolelle jätämme ehdot, joissa se on, siirrämme loput oikealle puolelle. Samaan aikaan oikealla puolella alamme hitaasti tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään:

Laitamme sen vasemmalle suluista, oikealle tuomme lausekkeen yhteiseen nimittäjään:

Vasemmalla puolella saadaan hajoamaton polynomi. Jos polynomi ei kerroin, niin hän, köyhä, täytyy heti heittää oikean puolen pohjaan betonoinut jalkansa altaaseen. Avaa osoittajassa sulut ja anna vastaavat termit:

Vaikein vaihe on tullut: epävarmien kertoimien menetelmä laajennamme yhtälön operaattoriratkaisun alkeismurtolukujen summaksi:


Täten:

Kiinnitä huomiota siihen, kuinka fraktio hajoaa: Selitän pian miksi näin on.

Viimeistely: siirry kuvista vastaaviin alkuperäisiin, käytä taulukon oikeaa saraketta:

Kahdessa alemmassa muunnoksessa käytettiin taulukon kaavoja nro 6 ja 7, ja murto-osaa laajennettiin alustavasti vain "säätöä" varten taulukon muunnoksiin.

Tämän seurauksena erityinen ratkaisu:

Vastaus: haluttu erityinen ratkaisu:

Samanlainen esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 4

Etsi differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu operaatiolaskennan menetelmällä.

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Esimerkissä 4 yksi alkuehdoista on nolla. Tämä varmasti yksinkertaistaa ratkaisua, ja ihanteellisin vaihtoehto on, kun molemmat alkuehdot ovat nolla: . Tässä tapauksessa johdannaiset muunnetaan kuviksi ilman häntää:

Kuten jo todettiin, ongelman vaikein tekninen puoli on murto-osan laajentaminen epävarmien kertoimien menetelmä, ja minulla on käytössäni melko aikaa vieviä esimerkkejä. Siitä huolimatta, en pelottele ketään hirviöillä, tarkastellaanpa muutamaa tyypillisempää yhtälön muotoa:

Esimerkki 5

Etsi operaatiolaskennan menetelmällä differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu, joka täyttää annetut alkuehdot.
, ,

Päätös: Laplacen muunnostaulukon avulla siirrytään alkuperäisistä vastaaviin kuviin. Alkuehdot huomioon ottaen :

Myöskään oikean puolen kanssa ei ole ongelmia:

(Muistutan, että kerroinvakiot jätetään huomiotta)

Korvataan tuloksena saadut kuvat alkuperäiseen yhtälöön ja suoritetaan vakiotoiminnot, jotka toivottavasti olet jo onnistunut hyvin:

Poistamme vakion nimittäjästä murtoluvun ulkopuolella, mikä tärkeintä, älä unohda sitä:

Mietin, otetaanko osoittajasta lisäkakkonen, mutta arvioituani tulin siihen tulokseen, että tämä askel ei käytännössä yksinkertaistaisi jatkopäätöstä.

Tehtävän ominaisuus on tuloksena oleva murto-osa. Näyttää siltä, ​​että sen hajoaminen on pitkä ja vaikea, mutta vaikutelma on petollinen. Luonnollisesti on vaikeita asioita, mutta joka tapauksessa, jatka eteenpäin ilman pelkoa ja epäilystä:

Sen tosiasian, että jotkut kertoimet osoittautuivat murto-osiksi, ei pitäisi olla noloa, tämä tilanne ei ole harvinaista. Kunpa laskentatekniikka ei pettäisi. Lisäksi on aina mahdollista tarkistaa vastaus.

Tämän seurauksena operaattoriratkaisu:

Siirrytään kuvista vastaaviin alkuperäisiin:

Yksityinen ratkaisu siis:

KÄYTTÖKINKKI- joukko sovelletun matemaattisen analyysin menetelmiä, jotka mahdollistavat taloudellisen ja suoraan tavoitteen saavuttaa ratkaisut lineaarisiin differentiaaliyhtälöihin sekä erotus- ja tietyntyyppisiin integraaliyhtälöihin. Tässä suhteessa operaatiolaskennan menetelmiä käytetään laajasti mekaniikassa, sähkötekniikassa, automaatiossa ja muilla hyvin erilaisilla tieteen ja tekniikan aloilla. Operaatiolaskenta perustuu ajatukseen funktionaalisesta muunnoksesta: argumentin positiivisille arvoille määritellyn reaalimuuttujan t funktio, jota kutsutaan alkufunktioksi tai alkuperäiseksi, liitetään toisen muuttujan p funktioon, ns. kuva käyttäen lineaarista integraalimuunnosta. Samanlainen muunnos "alkuperäinen kuva" voidaan suorittaa siten, että alkufunktioiden differentiointi- ja integrointioperaatiot vastaavat kuva-alueen algebrallisia operaatioita. Tämä mahdollistaa yksinkertaisimpien algebrallisten operaatioiden avulla kuvien löytämisen alkuperäisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista ja sitten vastaavan alkufunktion etsimisen, eli ratkaisu suoritetaan yksinkertaisten sääntöjen ja useimpien "luettelon" avulla. usein esiintyviä kuvia. Monimutkaisemmissa tehtävissä on turvauduttava käänteiseen funktionaaliseen muunnokseen: kuva on alkuperäinen. Ensimmäiset operatiiviselle laskennalle omistetut teokset ilmestyivät viime vuosisadan puolivälissä. Venäläinen matemaatikko M. E. Vashchenko-Zakharchenko Kiovassa vuonna 1862 julkaistussa monografiassa "Symbolic Calculus and Its Application to Integration of Lineaar Differential Equations" asetti ja osittain ratkaisi menetelmän pääongelmat, joka myöhemmin tunnettiin operatiivisena. . Operatiivisen laskennan systemaattinen soveltaminen fyysisten ja teknisten ongelmien ratkaisemiseen alkoi englantilaisen tiedemiehen O. Heavisiden työn ilmestyessä vuonna 1892. Operaatiolaskennan olemusta voidaan havainnollistaa esimerkillä reaalimuuttujan t palakohtaisesti jatkuvien alkufunktioiden luokalla f(t), jota useimmiten kohdataan sovelletuissa ongelmissa, jotka määritellään kohdassa tt.<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o ovat t:stä ​​riippumattomia lukuja. Jos p=s+iσ on jokin kompleksiluku, niin funktiolle f(t) asetettujen rajoitusten alla integraali

on olemassa ja edustaa p:n säännöllistä funktiota puolitasossa Re p>s o, jota kutsutaan funktion f(t) Laplacen integraaliksi.
Laissa käyttöön otettu funktio F (p):

kutsutaan alkufunktion kuvaksi tai alkuperäiseksi f(t). Useita kuvan ominaisuuksia (**), esimerkiksi derivaatan f’ (t) kuva:

ja integraalin kuvat

tee selväksi, että muunnos (*) muuntaa differentiointi- ja integrointioperaatiot kerto- ja jakooperaatioiksi kompleksimuuttujalla p. Kuvan perusominaisuuksia käyttämällä kootaan kuvia joistakin yksinkertaisimmista toiminnoista - kuvien "luettelo". Yksinkertaisimpien funktioiden kuvien "katalogi" ja Heavisiden hajottelulauseet, jotka mahdollistavat alkufunktion löytämisen, kun kuva F (p) on polynomi tai kahden polynomin suhde, mahdollistavat yksinkertaisimman tavan löytää ratkaisu suuri joukko tavallisia lineaarisia differentiaali- ja differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla. Mutta lukuisat tehtävät johtavat kuviin, joita ei voida pelkistää "katalogissa". On olemassa yleinen tapa muodostaa alkufunktio sen kuvasta - niin kutsuttu Riemann-Mellin-inversiokaava.