Kuvitteellinen linja. Mikä on yhtälön kanoninen muoto? Ellipsi ja sen kanoninen yhtälö

Näytämme nyt, että toisen kertaluvun käyrien affiininen luokittelu saadaan itse käyrien nimistä, eli että toisen kertaluvun käyrien affiiniset luokat ovat luokkia:

todelliset ellipsit;

kuvitteelliset ellipsit;

hyperboli;

todellisten leikkaavien viivojen parit;

kuvitteelliset (konjugaatti) leikkaavat parit;

rinnakkaisten reaaliviivojen parit;

rinnakkaisten kuvitteellisten konjugaattiviivojen parit;

paria yhteneviä todellisia viivoja.

Meidän on todistettava kaksi väitettä:

A. Kaikki samannimiset käyrät (eli kaikki ellipsit, kaikki hyperbolit jne.) ovat affinisesti vastaavia toistensa kanssa.

B. Kaksi eri nimeä olevaa käyrää eivät ole koskaan affinisia ekvivalentteja.

Todistamme väitteen A. Luku XV, § 3, on jo todistettu, että kaikki ellipsit ovat affinisesti ekvivalentteja jollekin niistä, nimittäin ympyrät ja kaikki hyperbolit ovat hyperboleja. toisiaan. Kaikki kuvitteelliset ellipsit, jotka vastaavat affinisesti ympyrää - - 1, jonka säde on 1, ovat myös affinisesti ekvivalentteja toisilleen.

Todistakaamme kaikkien paraabelien affininen ekvivalenssi. Todistamme vielä enemmän, nimittäin sen, että kaikki paraabelit ovat samanlaisia ​​toistensa kanssa. Riittää, kun todistetaan, että paraabeli on annettu jossain koordinaattijärjestelmässä sen kanonisella yhtälöllä

kuin paraabeli

Tätä varten kohdistamme tasolle samankaltaisuusmuunnoksen kertoimella -:

Sitten niin, että muutoksemme alla käyrä

menee mutkalle

eli paraabeliksi

Q.E.D.

Siirrytään rappeutuviin käyriin. §:n kaavoissa (9) ja (11), s. 401 ja 402) todistettiin, että jossain (jopa suorakaiteen muotoisessa) koordinaattijärjestelmässä leikkaavien viivojen pariksi hajoavalla käyrällä on yhtälö

Suoritetaan ylimääräinen koordinaattimuunnos

näemme, että jokaisella käyrällä, joka hajoaa pariksi leikkaavia reaalisia tai vastaavasti imaginaarikonjugaatteja, suoria viivoja, on jossain affiinissa koordinaattijärjestelmässä yhtälö

Mitä tulee käyriin, jotka jakautuvat pariksi yhdensuuntaisiksi viivoiksi, jokainen niistä voidaan (jopa jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä) antaa yhtälöllä

vastaavasti todellisuudessa

kuvitteelliselle, suoralle. Koordinaattien muunnos mahdollistaa näiden yhtälöiden (tai yhtymäkohtien) asettamisen, mikä tarkoittaa kaikkien samannimististen vaimenevien toisen kertaluvun käyrien affinista ekvivalenssia.

Siirrymme väitteen B todisteeseen.

Ensinnäkin huomaamme, että tason affiinisessa muunnoksessa algebrallisen käyrän järjestys pysyy muuttumattomana. Lisäksi: mikä tahansa toisen kertaluvun vaimeneva käyrä on suorien pari, ja affiinin muunnoksen yhteydessä suorasta tulee suora, leikkausviivojen parista tulee pari leikkausta ja yhdensuuntaisten viivojen parista pari rinnakkaisia; lisäksi todellisista viivoista tulee todellisia ja kuvitteellisista viivoista kuvitteellisia. Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että kaikki kertoimet kaavoissa (3) (luku XI, § 3), jotka määrittelevät affiinin muunnoksen, ovat reaalilukuja.

Sanomasta seuraa, että viiva, joka on affinisesti ekvivalentti tietylle vaimenevalle toisen asteen käyrälle, on samanniminen vaimeneva käyrä.

Siirrymme hajoamattomiin käyriin. Jälleen, affiinilla muunnoksella todellinen käyrä ei voi mennä kuvitteelliseksi ja päinvastoin. Siksi kuvitteellisten ellipsien luokka on affiininen invariantti.

Tarkastellaan todellisten hajoamattomien käyrien luokkia: ellipsit, hyperbelit, paraabelit.

Kaikkien toisen asteen käyrien joukossa jokainen ellipsi ja vain ellipsi sijaitsee jossain suorakulmiossa, kun taas paraabelit ja hyperbelit (sekä kaikki vaimenevat käyrät) ulottuvat äärettömyyteen.

Affiinissa muunnoksessa suorakulmio ABCD, joka sisältää annetun ellipsin, menee suunnikkaaksi, joka sisältää muunnetun käyrän, joka ei siksi voi mennä äärettömyyteen ja on siksi ellipsi.

Siten käyrä, joka vastaa affinisesti ellipsiä, on välttämättä ellipsi. Todistusta seuraa, että hyperbolaa tai paraabelia affinisesti vastaava käyrä ei voi olla ellipsi (ja kuten tiedämme, se ei myöskään voi olla vaimeneva käyrä. Siksi on vain todistettava, että affiinin alla tason muunnos, hyperbeli ei voi siirtyä paraabeliksi, ja päinvastoin, tämä johtuu luultavasti yksinkertaisimmin siitä tosiasiasta, että paraabelilla ei ole symmetriakeskusta, kun taas hyperabelilla on. Mutta koska symmetriakeskuksen puuttuminen paraabeli todistetaan vasta seuraavassa luvussa, nyt annamme toisen, myös hyvin yksinkertaisen todistuksen hyperabelin ja paraabelin affiinin epäekvivalenssin.

Lemma. Jos paraabelilla on yhteisiä pisteitä kunkin kahdesta tietyn suoran d tasossa määritellyn puolitason kanssa, niin sillä on vähintään yksi yhteinen piste suoran kanssa.

Olemme todellakin nähneet, että on olemassa koordinaattijärjestelmä, jossa annetulla paraabelilla on yhtälö

Olkoon suoralla d yhtälö suhteessa tähän koordinaattijärjestelmään

Oletuksena on, että paraabelissa on kaksi pistettä, joista toinen, oletetaan, on positiivisessa ja toinen negatiivisessa puolitasossa yhtälön (1) suhteen. Siksi muistaen, että voimme kirjoittaa

Toisen asteen rivit

tasoviivat, joiden suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit täyttävät 2. asteen algebrallisen yhtälön

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 v 2 + 2a 13 x + 2a 23 v + a 11 = 0. (*)

Yhtälö (*) ei välttämättä määritä todellista geometristä kuvaa, mutta yleisyyden vuoksi tällaisissa tapauksissa sanotaan, että se määrittää kuvitteellisen lineaarisen esityksen. n. Riippuen yleisen yhtälön (*) kertoimien arvoista, se voidaan muuntaa rinnakkaisella käännöksellä koordinaattijärjestelmän origosta ja kiertymisestä jonkin kulman verran johonkin alla olevista 9 kanonisesta muodosta, joista jokainen vastaa tiettyä riviluokkaa. Tarkalleen,

katkeamattomat rivit:

y 2 = 2px - paraabelit,

katkoviivat:

x 2 - a 2 \u003d 0 - paria yhdensuuntaisia ​​viivoja,

x 2 + a 2 \u003d 0 - paria kuvitteellisia yhdensuuntaisia ​​viivoja,

x 2 = 0 - samansuuntaisten viivojen parit.

L.:n katseen tutkimus. voidaan suorittaa pelkistämättä yleistä yhtälöä kanoniseen muotoon. Tämä saavutetaan ottamalla yhteisesti huomioon ns. L.v.:n perusinvariantit. n. - yhtälön (*) kertoimista koostuvat lausekkeet, joiden arvot eivät muutu koordinaattijärjestelmän rinnakkaissiirron ja kierron aikana:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Joten esimerkiksi ellipseille, hajoamattomina viivoina, on tunnusomaista se, että niille Δ ≠ 0; invariantin δ positiivinen arvo erottaa ellipsit muun tyyppisistä ei-hajoavista viivoista (hyperboloille δ

Kolme pääinvarianttia Δ, δ ja S määrittävät LV:n. (paitsi yhdensuuntaisten viivojen tapauksessa) euklidisen tason liikkeeseen (katso Liike) asti: jos kahden suoran vastaavat invariantit Δ, δ ja S ovat yhtä suuret, niin tällaiset suorat voidaan yhdistää liikkeellä. Toisin sanoen nämä suorat ovat ekvivalentteja tason liikeryhmän suhteen (metrisesti ekvivalentti).

L:n luokitukset ovat olemassa. muiden muunnosryhmien näkökulmasta. Siten suhteellisesti yleisemmin kuin liikeryhmä, affiinisten muunnosten ryhmä (katso Affine-muunnokset), mitkä tahansa kaksi saman kanonisen muodon yhtälöiden määrittelemää suoraa ovat ekvivalentteja. Esimerkiksi kaksi samanlaista L. in. n. (katso samankaltaisuus) katsotaan vastaaviksi. Lineaarisen c.v:n eri affiiniluokkien väliset yhteydet. mahdollistaa luokituksen projektiivisen geometrian näkökulmasta (katso projektiiivinen geometria), jossa äärettömässä olevilla elementeillä ei ole erityistä roolia. Todellinen hajoamaton L. in. jne.: ellipsit, hyperbelit ja paraabelit muodostavat yhden projektiivisen luokan - todellisten soikeiden viivojen (ovaalien) luokan. Todellinen soikea viiva on ellipsi, hyperbola tai paraabeli riippuen siitä, kuinka se sijaitsee suhteessa suoraan äärettömyyteen: ellipsi leikkaa väärän suoran kahdessa kuvitteellisessa pisteessä, hyperbola kahdessa eri todellisessa pisteessä, paraabeli koskettaa väärää suoraa ; on projektiivisia muunnoksia, jotka vievät nämä rivit toisiinsa. L.v:llä on vain 5 projektitiivista ekvivalenssiluokkaa. n. Nimenomaan

ei-degeneroituneita linjoja

(x 1, x 2, x 3- homogeeniset koordinaatit):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - todellinen soikea,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - kuvitteellinen soikea,

rappeutuneet rivit:

x 1 2 - x 2 2= 0 - todellisten viivojen pari,

x 1 2 + x 2 2= 0 - kuvitteellinen viivojen pari,

x 1 2= 0 - pari yhteneviä reaaliviivoja.

A. B. Ivanov.

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .

Katso, mitä "toisen järjestyksen rivit" ovat muissa sanakirjoissa:

Tasoviivat, joiden suorakulmaiset pistekoordinaatit täyttävät 2. asteen algebrallisen yhtälön. Toisen kertaluvun rivien joukossa ovat ellipsit (erityisesti ympyrät), hyperbolit, paraabelit ... Suuri tietosanakirja

Tasoviivat, joiden suorakulmaiset pistekoordinaatit täyttävät 2. asteen algebrallisen yhtälön. Toisen kertaluvun rivien joukossa ovat ellipsit (erityisesti ympyrät), hyperbolit, paraabelit. * * * TOINEN TÄÄRÄYKSEN RIVI TOINEN TÄÄRÄYKSEN RIVI,… … tietosanakirja

Litteät linjat, suorakaiteen muotoiset pisteiden k px koordinaatit täyttävät algebrat. 2. asteen urnium. L. in joukossa. n. ellipsit (erityisesti ympyrät), hyperbolit, paraabelit… Luonnontiede. tietosanakirja

Tasainen viiva, suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit parven täyttämiseksi algebrallisesti. 2. asteen yhtälö. Yhtälö (*) ei välttämättä määritä todellista geometriaa. kuva, mutta yleisyyden säilyttämiseksi tällaisissa tapauksissa he sanovat, että se määrittää ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Kolmiulotteisen todellisen (tai kompleksisen) avaruuden pistejoukko, jonka koordinaatit karteesisessa järjestelmässä täyttävät algebrallisen avaruuden. 2. asteen yhtälö (*) Yhtälö (*) ei välttämättä määritä todellista geometriaa. kuvat sellaisina ...... Matemaattinen tietosanakirja

Tällä sanalla, jota käytetään hyvin usein kaarevien viivojen geometriassa, ei ole aivan tarkka merkitys. Kun tätä sanaa käytetään ei-suljetuille ja haarautumattomille kaareville viivoille, käyrän haara tarkoittaa jokaista jatkuvaa yksilöä ... ... Ensyklopedinen sanakirja F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Toisen kertaluvun viivat, kaksi halkaisijaa, joista kumpikin jakaa tämän käyrän jänteet, yhdensuuntaisesti toisen kanssa. SD:llä on tärkeä rooli yleisessä toisen asteen linjojen teoriassa. Ellipsin yhdensuuntainen projektio sen S. d. ympyrään. ... ...

Suorat, jotka saadaan leikkaamalla suora pyöreä kartio tasoilla, jotka eivät kulje sen kärjen kautta. K. s. voi olla kolmea tyyppiä: 1) leikkaustaso leikkaa kaikki kartion generaattorit yhden ontelonsa kohdissa; rivi…… Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Suorat, jotka saadaan leikkaamalla suora pyöreä kartio tasoilla, jotka eivät kulje sen kärjen kautta. K. s. voi olla kolmea tyyppiä: 1) leikkaustaso leikkaa kaikki kartion generaattorit yhden ontelonsa kohdissa (kuva, a): leikkausviiva ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Geometrian osa. Algebrallisen geometrian peruskäsitteet ovat yksinkertaisimmat geometriset kuvat (pisteet, suorat, tasot, käyrät ja toisen asteen pinnat). Tärkeimmät tutkimuskeinot mm. ovat koordinaattimenetelmä (katso alla) ja menetelmät ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Kirjat

• Analyyttisen geometrian lyhyt kurssi, Efimov Nikolai Vladimirovich. Analyyttisen geometrian opiskeluaiheena ovat kuviot, jotka karteesisissa koordinaateissa on annettu ensimmäisen tai toisen asteen yhtälöillä. Tasossa nämä ovat suoria viivoja ja toisen asteen viivoja. ...

Tämä on yhtälön yleisesti hyväksytty vakiomuoto, kun sekunneissa käy selväksi, minkä geometrisen kohteen se määrittelee. Lisäksi kanoninen muoto on erittäin kätevä monien käytännön tehtävien ratkaisemiseen. Joten esimerkiksi kanonisen yhtälön mukaan "tasainen" suora, ensinnäkin on heti selvää, että tämä on suora, ja toiseksi siihen kuuluva piste ja suuntavektori ovat yksinkertaisesti näkyvissä.

Ilmeisesti mikä tahansa 1. tilausrivi edustaa suoraa viivaa. Toisessa kerroksessa meitä ei odota enää talonmies, vaan paljon monipuolisempi yhdeksän patsaan seura:

Toisen asteen rivien luokittelu

Erityisen toimintosarjan avulla mikä tahansa toisen asteen riviyhtälö pelkistetään johonkin seuraavista tyypeistä:

(ja ovat positiivisia reaalilukuja)

1) on ellipsin kanoninen yhtälö;

2) on hyperbelin kanoninen yhtälö;

3) on paraabelin kanoninen yhtälö;

4) – kuvitteellinen ellipsi;

5) - pari leikkaavia viivoja;

6) - pari kuvitteellinen leikkaavat suorat (ainoa todellinen leikkauspiste origossa);

7) - pari yhdensuuntaisia ​​viivoja;

8) - pari kuvitteellinen yhdensuuntaiset viivat;

9) on yhteneväisten viivojen pari.

Jotkut lukijat saattavat saada vaikutelman, että luettelo on epätäydellinen. Esimerkiksi kappaleessa numero 7 yhtälö asettaa parin suoraan, yhdensuuntainen akselin kanssa, ja herää kysymys: missä on yhtälö, joka määrittää y-akselin suuntaiset suorat? Vastaa siihen ei pidetä kaanonina. Suorat viivat edustavat samaa vakiokoteloa 90 astetta kierrettynä, ja lisämerkintä luokituksessa on tarpeeton, koska se ei sisällä mitään olennaisesti uutta.

Siten toisen asteen rivejä on yhdeksän ja vain yhdeksän, mutta käytännössä yleisimmät ovat ellipsi, hyperbola ja paraabeli.

Katsotaan ensin ellipsiä. Kuten tavallista, keskityn niihin kohtiin, joilla on suuri merkitys ongelmien ratkaisemisessa, ja jos tarvitset yksityiskohtaista kaavojen johtamista, lauseiden todisteita, tutustu esimerkiksi Bazylev / Atanasyanin tai Aleksandrovin oppikirjaan.

Ellipsi ja sen kanoninen yhtälö

Oikeinkirjoitus ... älä toista joidenkin Yandex-käyttäjien virheitä, jotka ovat kiinnostuneita "ellipsin rakentamisesta", "ellipsin ja soikean erosta" ja "elebin eksentrisyydestä".

Ellipsin kanoninen yhtälö on muotoa , jossa ovat positiiviset reaaliluvut ja . Muotoilen ellipsin määritelmän myöhemmin, mutta nyt on aika pitää tauko puhumisesta ja ratkaista yleinen ongelma:

Kuinka rakentaa ellipsi?

Kyllä, ota se ja piirrä se. Tehtävä on yleinen, ja merkittävä osa opiskelijoista ei selviä piirustuksen kanssa aivan taitavasti:

Esimerkki 1

Muodosta yhtälön antama ellipsi

Päätös: ensin tuomme yhtälön kanoniseen muotoon:

Miksi tuoda? Yksi kanonisen yhtälön eduista on, että sen avulla voit määrittää välittömästi ellipsipisteet, jotka ovat pisteissä . On helppo nähdä, että kunkin pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön.

Tässä tapauksessa :


Jana nimeltään pääakseli ellipsi;
Jana – pieni akseli;
määrä nimeltään puolipääakseli ellipsi;
määrä – puolipieni akseli.
esimerkissämme: .

Jos haluat nopeasti kuvitella, miltä tämä tai tuo ellipsi näyttää, katso vain sen kanonisen yhtälön "a" ja "be" arvoja.

Kaikki on hienoa, siistiä ja kaunista, mutta siinä on yksi varoitus: tein piirustuksen ohjelman avulla. Ja voit piirtää millä tahansa sovelluksella. Kuitenkin karussa todellisuudessa ruudullinen paperinpala makaa pöydällä ja hiiret tanssivat käsissämme. Ihmiset, joilla on taiteellista lahjakkuutta, voivat tietysti kiistellä, mutta sinulla on myös hiiriä (tosin pienempiä). Ei ole turhaa, että ihmiskunta keksi viivaimen, kompassin, astemittarin ja muita yksinkertaisia ​​piirustuslaitteita.

Tästä syystä emme todennäköisesti pysty piirtämään ellipsiä tarkasti, kun tiedämme vain kärjet. Edelleen hyvä, jos ellipsi on pieni esim. puoliakselilla. Vaihtoehtoisesti voit pienentää piirustuksen mittakaavaa ja vastaavasti mittoja. Mutta yleensä on erittäin toivottavaa löytää lisäpisteitä.

Ellipsin rakentamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen. En pidä kompassilla ja viivaimella rakentamisesta lyhyen algoritmin ja piirustuksen huomattavan sotkuisuuden vuoksi. Katso hätätapauksessa oppikirjasta, mutta todellisuudessa on paljon järkevämpää käyttää algebran työkaluja. Luonnoksen ellipsiyhtälön perusteella ilmaisemme nopeasti:

Sitten yhtälö jaetaan kahteen funktioon:
– määrittää ellipsin yläkaaren;
– määrittää ellipsin alemman kaaren.

Mikä tahansa ellipsi on symmetrinen koordinaattiakseleiden sekä origon suhteen. Ja se on hienoa - symmetria on melkein aina ilmaiskappaleen ennuste. Ilmeisesti riittää, että käsittelemme 1. koordinaattineljänneksen, joten tarvitsemme funktion . Se ehdottaa lisäpisteiden etsimistä abskissoilla . Löysimme kolme tekstiviestiä laskimeen:

Tietysti on myös mukavaa, että jos laskelmissa tehdään vakava virhe, niin tämä selviää heti rakentamisen aikana.

Merkitse pisteet piirustukseen (punainen väri), symmetriset pisteet muihin kaareihin (sininen väri) ja yhdistä varovasti koko yritys viivalla:


Alkuperäinen luonnos on parempi piirtää ohuesti ja ohuesti ja vasta sitten painaa kynää. Tuloksena pitäisi olla melko kunnollinen ellipsi. Muuten, haluaisitko tietää mikä tämä käyrä on?

Tämän havainnollistamiseksi konkreettisella esimerkillä näytän sinulle, mikä tässä tulkinnassa vastaa seuraavaa väitettä: (tosi tai kuvitteellinen) piste P sijaitsee (todellisella tai kuvitteellisella) suoralla g. Tässä tapauksessa on tietysti tarpeen tehdä ero seuraavien tapausten välillä:

1) todellinen piste ja oikea viiva,

2) todellinen piste ja kuvitteellinen viiva,

Tapaus 1) ei vaadi meiltä erityistä selitystä; tässä on yksi tavallisen geometrian perusrelaatioista.

Tapauksessa 2), yhdessä tietyn imaginaarisen suoran kanssa, siihen konjugoidun suorakompleksin täytyy välttämättä kulkea annetun reaalipisteen kautta; näin ollen tämän pisteen on oltava sama kuin sädekimppu, jota käytämme edustamaan imaginaarista viivaa.

Vastaavasti tapauksessa 3) todellisen suoran on oltava identtinen sen suoraviivaisen pisteiden involuution tuen kanssa, joka edustaa annettua imaginaaripistettä.

Mielenkiintoisin tapaus on 4) (kuva 96): tässä tietysti kompleksin konjugaattipisteen on oltava myös kompleksikonjugaattiviivalla, ja tästä seuraa, että jokaisen pistettä P edustavien pisteiden involuutiopisteiden parin on oltava joillakin viivojen involuutiojuovilla, jotka edustavat suoraa linjaa g, ts. että näiden molempien involuutioiden on sijaittava perspektiivisesti toistensa suhteen; lisäksi käy ilmi, että molempien involuutioten nuolet ovat myös perspektiivissä.

Yleisesti ottaen tason analyyttisessä geometriassa, joka kiinnittää huomiota myös kompleksiseen alueeseen, saadaan tästä tasosta täydellinen todellinen kuva, jos lisäämme uusina elementteinä sen kaikkien todellisten pisteiden ja suorien joukkoon involuutiojoukon. yllä mainitut luvut sekä niiden suuntanuolet. Tässä riittää, jos hahmotan yleisesti, millaisen muodon sellaisen todellisen kuvan rakentaminen monimutkaisesta geometriasta tulisi. Näin tehdessäni noudatan sitä järjestystä, jossa alkeisgeometrian ensimmäiset lauseet nyt yleensä esitetään.

1) Ne alkavat olemassaolon aksioomeista, joiden tarkoituksena on antaa tarkka muotoilu juuri mainittujen alkuaineiden läsnäolosta tavalliseen geometriaan verrattuna laajennetulla alueella.

2) Sitten yhteysaksioomit, jotka väittävät, että myös kohdassa 1) määritellyllä laajennetulla alueella! yksi ja vain yksi suora kulkee (jokaisen) kahden pisteen läpi, ja että (millä tahansa) kahdella suoralla on yksi ja vain yksi yhteinen piste.

Samanaikaisesti, aivan kuten edellä, meidän on joka kerta erotettava neljä tapausta riippuen siitä, ovatko annetut elementit todellisia, ja näyttää erittäin mielenkiintoiselta pohtia tarkalleen, mitkä todelliset pisteiden ja viivojen involuutioineen rakenteet toimivat kuvana näistä monimutkaisista suhteista.

3) Järjestyksen (järjestyksen) aksioomien osalta tässä todellisiin suhteisiin verrattuna aivan uudet olosuhteet tulevat peliin; erityisesti kaikki todelliset ja kompleksiset pisteet, jotka sijaitsevat yhdellä kiinteällä viivalla, sekä kaikki yhden kiinteän pisteen läpi kulkevat säteet muodostavat kaksiulotteisen jatkumon. Loppujen lopuksi jokainen meistä oppi funktioteorian tutkimisesta tapana esittää kompleksisen muuttujan arvojen kokonaisuus tason kaikissa pisteissä.

4) Lopuksi, mitä tulee jatkuvuuden aksioomeihin, osoitan tässä vain kuinka esittää monimutkaisia ​​pisteitä, jotka sijaitsevat niin lähellä kuin haluat jotain todellista pistettä. Tätä varten sinun on vedettävä otetun todellisen pisteen P kautta (tai jonkin muun sitä lähellä olevan todellisen pisteen kautta) jokin suora ja harkittava siinä kahta pisteparia, jotka erottavat toisistaan ​​(eli makaavat "risteävästi" ") pisteparit (kuva . 97) siten, että kaksi eri pareista otettua pistettä ovat lähellä toisiaan ja pistettä P; jos nyt tuodaan pisteet yhteen loputtomasti, niin nimettyjen pisteparien määrittelemä involuutio degeneroituu, ts. sen molemmat tähän asti monimutkaiset kaksoispisteet ovat yhtäpitäviä pisteen kanssa. Kumpikin tämän involuution edustamasta kuvitteellisesta pisteestä (yhdessä yhden tai toinen nuoli) kulkee, joten se on jatkuva johonkin pisteeseen lähellä P:tä tai jopa suoraan P:tä. Tietenkin, jotta näitä jatkuvuuden käsitteitä voidaan käyttää hyväksi, niiden kanssa on työskenneltävä yksityiskohtaisesti.

Vaikka kaikki tämä rakentaminen onkin melko hankalaa ja työlästä verrattuna tavalliseen todelliseen geometriaan, se voi antaa vertaansa vailla enemmän. Erityisesti se pystyy nostamaan täydellisen geometrisen selkeyden tasolle algebrallisia kuvia, jotka ymmärretään niiden todellisten ja monimutkaisten elementtien joukoiksi, ja sen avulla voi selkeästi itse ymmärtää itse kuvioissa sellaiset lauseet kuin algebran peruslause. tai Bezoutin lause, jonka mukaan kahdella käyrämäärällä on yleisesti ottaen täsmälleen yhteiset pisteet. Tätä tarkoitusta varten olisi tietysti tarpeen ymmärtää perussäännökset paljon tarkemmin ja havainnollistavammin kuin tähän mennessä on tehty; kirjallisuus sisältää kuitenkin jo kaiken tarvittavan materiaalin tällaisiin tutkimuksiin.

Mutta useimmissa tapauksissa tämän geometrisen tulkinnan soveltaminen, huolimatta sen teoreettisista eduista, johtaisi sellaisiin hankaluuksiin, että täytyy tyytyä sen perustavanlaatuiseen mahdollisuuteen ja itse asiassa palata naiivimpaan näkökulmaan, joka on seuraava: kompleksipiste on kolmen kompleksisen koordinaatin kokoelma, ja sillä voidaan toimia täsmälleen samalla tavalla kuin todellisilla pisteillä. Itse asiassa tällainen kuvitteellisten elementtien tuominen, joka pidättyy perustavanlaatuisesta päättelystä, on aina osoittautunut hedelmälliseksi tapauksissa, joissa meidän on käsiteltävä kuvitteellisia syklisiä pisteitä tai pallojen ympyrää. Kuten jo mainittiin, Poncelet alkoi käyttää kuvitteellisia elementtejä tässä mielessä ensimmäistä kertaa; hänen seuraajiaan tässä suhteessa olivat muut ranskalaiset geometrit, pääasiassa Chall ja Darboux; Saksassa useat geometrit, erityisesti Lie, sovelsivat myös tätä käsitystä kuvitteellisista elementeistä suurella menestyksellä.

Tällä poikkeamalla mielikuvitusmaailmaan päätän kurssin koko toisen osan ja siirryn uuteen lukuun,

8.3.15. Piste A on suoralla. Etäisyys pisteestä A tasoon

8.3.16. Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, joka on symmetrinen suoran kanssa

lentokoneeseen nähden .

8.3.17. Laadi projektioiden yhtälöt tasolle seuraavat rivit:

a) ;

b)

sisään) .

8.3.18. Etsi tason ja suoran välinen kulma:

a) ;

b) .

8.3.19. Etsi pisteen kanssa symmetrinen piste viivojen läpi kulkevan tason suhteen:

ja

8.3.20. Piste A on suoralla

Etäisyys pisteestä A suoraan on yhtä suuri. Etsi pisteen A koordinaatit.

§ 8.4 TOINEN KÄYRÄT

Perustetaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasolle ja tarkastellaan toisen asteen yleistä yhtälöä

jossa .

Kutsutaan joukko kaikkia tason pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön (8.4.1). kiero (linja) toinen tilaus.

Jokaiselle toisen asteen käyrälle on olemassa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jota kutsutaan kanoniseksi ja jossa tämän käyrän yhtälöllä on jokin seuraavista muodoista:

1) (ellipsi);

2) (kuvitteellinen ellipsi);

3) (pari kuvitteellista leikkaavaa viivaa);

4) (hyperbeli);

5) (pari leikkaavia viivoja);

6) (paraabeli);

7) (pari yhdensuuntaisia ​​viivoja);

8) (pari kuvitteellista yhdensuuntaista viivaa);

9) (pari yhteensopivia viivoja).

Yhtälöt 1) - 9) kutsutaan toisen asteen käyrien kanoniset yhtälöt.

Toisen kertaluvun käyrän yhtälön pelkistämisen kanoniseen muotoon tehtävään ratkaisuun kuuluu käyrän kanonisen yhtälön ja kanonisen koordinaattijärjestelmän löytäminen. Kanoniseen muotoon pelkistämällä voit laskea käyrän parametrit ja määrittää sen sijainnin suhteessa alkuperäiseen koordinaattijärjestelmään. Siirtyminen alkuperäisestä suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä kanoniseksi suoritetaan kiertämällä alkuperäisen koordinaatiston akseleita pisteen O ympäri jonkin kulman j verran ja sen jälkeen koordinaattijärjestelmän rinnakkaissiirtoa.

Toisen asteen käyräinvariantit(8.4.1) kutsutaan sellaisia ​​sen yhtälön kertoimien funktioita, joiden arvot eivät muutu siirryttäessä yhdestä suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä toiseen saman järjestelmän.

Toisen kertaluvun käyrälle (8.4.1) kertoimien summa neliökoordinaateilla

,

determinantti, joka koostuu johtavien termien kertoimista

ja kolmannen asteen determinantti

ovat invariantteja.

Invarianttien s, d, D arvoilla voidaan määrittää toisen kertaluvun käyrän tyyppi ja muodostaa kanoninen yhtälö.

Taulukko 8.1.

Toisen kertaluvun käyrien luokittelu invarianttien perusteella

Katsotaanpa tarkemmin ellipsiä, hyperbolia ja paraabelia.

Ellipsi(Kuva 8.1) on tason pisteiden paikka, joille kahden kiinteän pisteen etäisyyksien summa tämä lentokone ns ellipsin temppuja, on vakioarvo (suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys). Tämä ei sulje pois ellipsin polttopisteiden yhteensopivuutta. Jos polttopisteet ovat samat, ellipsi on ympyrä.

Ellipsin pisteen polttopisteiden välisten etäisyyksien puolisumma on merkitty a:lla, puolet polttopisteiden välisistä etäisyyksistä - c. Jos tasolle valitaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä siten, että ellipsin polttopisteet sijaitsevat Ox-akselilla symmetrisesti origon suhteen, niin tässä koordinaattijärjestelmässä ellipsi annetaan yhtälöllä

, (8.4.2)

nimeltään ellipsin kanoninen yhtälö, missä .

Riisi. 8.1

Määritetyllä suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän valinnalla ellipsi on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja origon suhteen. Ellipsin symmetria-akselit kutsuvat sitä kirveet, ja symmetriakeskus on ellipsin keskipiste. Samaan aikaan lukuja 2a ja 2b kutsutaan usein ellipsin akseleiksi ja lukuja a ja b kutsutaan suuri ja puolipieni akseli vastaavasti.

Ellipsin ja sen akselien leikkauspisteitä kutsutaan ellipsin kärjet. Ellipsin pisteillä on koordinaatit (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Ellipsin epäkeskisyys soitti numeroon

Alkaen 0£c

.

Tämä osoittaa, että epäkeskisyys luonnehtii ellipsin muotoa: mitä lähempänä e on nollaa, sitä enemmän ellipsi näyttää ympyrältä; kun e kasvaa, ellipsi pitenee.