Mikä on kaltevuuskulman tangentti. Funktiojohdannainen. Johdannan geometrinen merkitys

Sertifiointikokeen aiheelle "Tangentin kulmakerroin kaltevuuskulman tangenttina" annetaan useita tehtäviä kerralla. Tilastaan ​​​​riippuen valmistuneelta voidaan vaatia sekä täydellinen vastaus että lyhyt vastaus. Valmistelussa kokeen läpäiseminen matematiikassa opiskelijan tulee ehdottomasti toistaa tehtävät, joissa sinun on laskettava kaltevuus tangentti.

Tämän tekeminen auttaa sinua koulutusportaali"Shkolkovo". Asiantuntijamme ovat laatineet ja esittäneet teoreettisen ja käytännön materiaalin mahdollisimman helposti saatavilla. Kun olet tutustunut siihen, minkä tahansa koulutustason valmistuneet pystyvät ratkaisemaan menestyksekkäästi johdannaisiin liittyviä ongelmia, joissa on löydettävä tangentin kulman tangentti.

Perushetkiä

Sinun on muistettava löytääksesi oikean ja järkevän ratkaisun tällaisiin tehtäviin kokeessa perusmääritelmä: derivaatta on funktion muutosnopeus; se on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti tietyssä pisteessä. Yhtä tärkeää on saada piirustus valmiiksi. Sen avulla voit löytää oikea ratkaisu KÄYTÄ derivaatan tehtäviä, joissa täytyy laskea tangentin kulman tangentti. Selvyyden vuoksi on parasta piirtää kuvaaja OXY-tasolle.

Jos olet jo perehtynyt derivaatan aiheeseen liittyvään perusmateriaaliin ja olet valmis aloittamaan ongelmien ratkaisemisen tangentin kaltevuuskulman tangentin laskemiseksi, samanlainen kuin KÄYTÄ tehtäviä voit tehdä sen verkossa. Jokaiseen tehtävään, esimerkiksi tehtäviä aiheesta "Dirivaatan suhde kehon nopeuteen ja kiihtyvyyteen", kirjoitimme oikean vastauksen ja ratkaisualgoritmin. Tällöin opiskelijat voivat harjoitella tehtävien suorittamista. eri tasoilla vaikeuksia. Harjoituksen voi tarvittaessa tallentaa "Suosikit"-osioon, jolloin voit myöhemmin keskustella päätöksestä opettajan kanssa.

Opi ottamaan funktioiden johdannaisia. Derivaata kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä, joka sijaitsee tämän funktion kaaviossa. Tässä tapauksessa kaavio voi olla joko suora tai kaareva viiva. Eli derivaatta luonnehtii funktion muutosnopeutta tietyllä hetkellä. Muistaa yleiset säännöt joille johdannaiset otetaan, ja vasta sitten siirrytään seuraavaan vaiheeseen.

• Lue artikkeli.
• Kuinka ottaa yksinkertaisimmat johdannaiset, esimerkiksi derivaatta eksponentiaalinen yhtälö, kuvattu. Seuraavissa vaiheissa esitetyt laskelmat perustuvat niissä kuvattuihin menetelmiin.

Opi erottamaan ongelmat, joissa kulmakerroin on laskettava funktion derivaatan avulla. Tehtävissä ei aina suositella funktion kulmakertoimen tai derivaatan löytämistä. Sinua voidaan esimerkiksi pyytää etsimään funktion muutosnopeus pisteessä A(x, y). Sinua voidaan myös pyytää etsimään tangentin kaltevuus pisteessä A(x, y). Molemmissa tapauksissa on tarpeen ottaa funktion derivaatta.

Kaltevuuskerroin on suora. Tässä artikkelissa tarkastelemme matematiikan kokeeseen sisältyviä koordinaattitasoon liittyviä tehtäviä. Nämä ovat tehtäviä:

- suoran viivan kaltevuuden määrittäminen, kun tunnetaan kaksi pistettä, joiden läpi se kulkee;
- kahden tason suoran leikkauspisteen abskissan tai ordinaatin määrittäminen.

Tässä osiossa kuvattiin mikä on pisteen abskissa ja ordinaatta. Siinä olemme jo tarkastelleet useita koordinaattitasoon liittyviä ongelmia. Mitä tulee ymmärtää tarkasteltavana olevien tehtävien osalta? Vähän teoriaa.

Koordinaattitasolla olevan suoran yhtälöllä on muoto:

missä k – tämä on suoran kaltevuus.

Seuraava hetki! Suoran viivan kaltevuus on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuden tangentti. Tämä on annetun suoran ja akselin välinen kulmavai niin.

Se on 0 ja 180 asteen välillä.

Eli jos pelkistetään suoran yhtälö muotoon y = kx + b, niin edelleen voimme aina määrittää kertoimen k (kaltevuuskerroin).

Lisäksi, jos pystymme määrittämään suoran kaltevuuden tangentin ehdon perusteella, niin löydämme siten sen kaltevuuden.

Seuraava teoreettinen hetki!Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.Kaava näyttää tältä:

Harkitse ongelmia (samankaltaisia ​​kuin mistä peräisin avoin pankki tehtävät):

Etsi koordinaattipisteiden (–6; 0) ja (0; 6) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Tässä tehtävässä järkevin tapa ratkaista tämä on löytää x-akselin ja annetun suoran välisen kulman tangentti. Tiedetään, että se on yhtä suuri kuin kulmakerroin. Tarkastellaan suoran ja x- ja y-akselien muodostamaa suorakulmaista kolmiota:

Kulman tangentti in suorakulmainen kolmio on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:

* Molemmat jalat ovat kuusi (nämä ovat niiden pituudet).

Varmasti, tämä tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä kaavaa kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön löytämiseksi. Mutta se on pidempi ratkaisupolku.

Vastaus: 1

Etsi koordinaattien (5;0) ja (0;5) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Pisteillämme on koordinaatit (5;0) ja (0;5). tarkoittaa,

Tuodaan kaava muotoon y = kx + b

Saimme sen kulmakertoimen k = – 1.

Vastaus: -1

Suoraan a kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit (0;6) ja (8;0). Suoraan b kulkee koordinaattipisteen (0;10) läpi ja on yhdensuuntainen suoran kanssa a b akselilla härkä.

Tässä tehtävässä voit löytää suoran yhtälön a, määritä sen kaltevuus. Suora viiva b kaltevuus on sama, koska ne ovat yhdensuuntaisia. Seuraavaksi löydät suoran yhtälön b. Ja sitten korvaamalla arvo y = 0, etsi abskissa. MUTTA!

Tässä tapauksessa on helpompi käyttää kolmion samankaltaisuusominaisuutta.

Tiettyjen (rinnakkaisten) koordinaattiviivojen muodostamat suorakulmaiset kolmiot ovat samanlaisia, mikä tarkoittaa, että niiden sivujen suhteet ovat yhtä suuret.

Haluttu abskissa on 40/3.

Vastaus: 40/3

Suoraan a kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit (0;8) ja (–12;0). Suoraan b kulkee koordinaattipisteen (0; -12) läpi ja on yhdensuuntainen suoran kanssa a. Etsi suoran leikkauspisteen abskissa b akselilla härkä.

Tämän ongelman rationaalisin tapa ratkaista se on käyttää kolmioiden samankaltaisuusominaisuutta. Mutta ratkaisemme sen eri tavalla.

Tiedämme pisteet, joiden kautta viiva kulkee a. Voimme kirjoittaa suoran yhtälön. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön kaava on:

Ehdon mukaan pisteillä on koordinaatit (0;8) ja (–12;0). tarkoittaa,

Laitetaanpa mieleen y = kx + b:

Sain sen kulman k = 2/3.

*Kulmakerroin löytyi kulman tangentin kautta suorakulmaisessa kolmiossa, jossa on jalat 8 ja 12.

Tiedämme, että yhdensuuntaisilla viivoilla on yhtä suuri kaltevuus. Joten pisteen (0;-12) läpi kulkevan suoran yhtälöllä on muoto:

Etsi arvo b voimme korvata abskissan ja ordinaatoida yhtälöön:

Joten rivi näyttää tältä:

Nyt, jotta voit löytää halutun abskissan suoran leikkauspisteestä x-akselin kanssa, sinun on korvattava y \u003d 0:

Vastaus: 18

Etsi akselin leikkauspisteen ordinaatit oi ja pisteen B(10;12) kautta kulkeva suora ja origon ja pisteen A(10;24) kautta kulkeva yhdensuuntainen viiva.

Etsitään koordinaattien (0;0) ja (10;24) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön kaava on:

Pisteillämme on koordinaatit (0;0) ja (10;24). tarkoittaa,

Laitetaanpa mieleen y = kx + b

Yhdensuuntaisten viivojen kaltevuus on yhtä suuri. Näin ollen pisteen B (10; 12) kautta kulkevan suoran yhtälöllä on muoto:

Merkitys b saamme korvaamalla pisteen B (10; 12) koordinaatit tähän yhtälöön:

Saimme suoran yhtälön:

Tämän suoran ja akselin leikkauspisteen ordinaatin löytäminen OU on korvattava löydettyyn yhtälöön X= 0:

* Helpoin ratkaisu. Rinnakkaiskäännöksen avulla siirrämme tätä viivaa alaspäin akselia pitkin OU pisteeseen (10;12). Siirto tapahtuu 12 yksiköllä, eli piste A(10;24) "läpäisty" pisteeseen B(10;12) ja piste O(0;0) "läpi" pisteeseen (0;-12). Joten tuloksena oleva viiva leikkaa akselin OU pisteessä (0;–12).

Haluttu ordinaatta on -12.

Vastaus: -12

Etsi yhtälön antaman suoran leikkauspisteen ordinaatit

3x + 2v = 6, akselilla Oy.

Annetun suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU on muotoa (0; klo). Korvaa abskissa yhtälöön X= 0 ja etsi ordinaatta:

Suoran ja akselin leikkauspisteen ordinaatta OU on yhtä kuin 3.

*Järjestelmää ratkaistaan:

Vastaus: 3

Etsi yhtälöiden antamien suorien leikkauspisteen ordinaatit

3x + 2v = 6 ja y = - x.

Kun on annettu kaksi suoraa ja kysymys on näiden viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä, näiden yhtälöiden järjestelmä on ratkaistu:

Ensimmäisessä yhtälössä korvaamme - X sijasta klo:

Ordinaatta on miinus kuusi.

Vastaus: – 6

Etsi koordinaattipisteiden (–2; 0) ja (0; 2) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Etsi koordinaattien (2;0) ja (0;2) kautta kulkevan suoran kaltevuus.

Suora a kulkee koordinaattipisteiden (0;4) ja (6;0) läpi. Suora b kulkee koordinaatin (0;8) pisteen läpi ja on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Etsi suoran b ja x-akselin leikkauspisteen abskissa.

Etsi y-akselin ja pisteen B (6;4) kautta kulkevan suoran leikkauspisteen sekä origon ja pisteen A kautta kulkevan yhdensuuntaisen suoran (6;8) leikkauspisteen ordinaatit.

1. On välttämätöntä ymmärtää selvästi, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuden tangentti. Tämä auttaa sinua ratkaisemaan monia tämäntyyppisiä ongelmia.

2. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran löytämisen kaava on ymmärrettävä. Sen avulla voit aina löytää suoran yhtälön, jos sen kahden pisteen koordinaatit on annettu.

3. Muista, että yhdensuuntaisten viivojen jyrkkyys on yhtä suuri.

4. Kuten ymmärrät, joissakin tehtävissä on kätevää käyttää kolmioiden samankaltaisuuden merkkiä. Ongelmat ratkaistaan ​​käytännössä suullisesti.

5. Tehtävät, joissa on annettu kaksi suoraa ja joudutaan löytämään niiden leikkauspisteen abskissa tai ordinaatta, voidaan ratkaista graafisesti. Toisin sanoen rakentaa ne koordinaattitasolle (arkille solussa) ja määritä leikkauspiste visuaalisesti. * Mutta tämä menetelmä ei ole aina käyttökelpoinen.

6. Ja viimeinen. Jos on annettu suora ja sen leikkauspisteiden koordinaatit koordinaattiakseleiden kanssa, niin tällaisissa tehtävissä on kätevää löytää kulmakerroin etsimällä kulman tangentti muodostetusta suorakulmaisesta kolmiosta. Kuinka "nähdä" tämä kolmio eri viivojen järjestelyille tasossa, on kaaviomaisesti esitetty alla:

>> Viivan kaltevuuskulma 0 - 90 astetta<<

>> Suoraviivan kulma 90 - 180 astetta<<

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Suora y \u003d f (x) on tangentti kuvassa näkyvälle kuvaajalle pisteessä x0, jos se kulkee koordinaattipisteen (x0; f (x0)) läpi ja sen kaltevuus on f "(x0). Etsi. tällainen kerroin, kun tiedetään tangentin ominaisuudet, se ei ole vaikeaa.

Tarvitset

• - matemaattinen hakuteos;
• - yksinkertainen lyijykynä;
• - muistikirja;
• - astelevy;
• - kompassi;
• - kynä.

Ohje

Jos arvoa f’(x0) ei ole olemassa, joko tangenttia ei ole tai se kulkee pystysuunnassa. Tämän huomioon ottaen funktion derivaatan esiintyminen pisteessä x0 johtuu ei-pystysuoran tangentin olemassaolosta, joka on kosketuksessa funktion kuvaajaan pisteessä (x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x0). Näin ollen derivaatan geometrinen merkitys tulee selväksi - tangentin kaltevuuden laskenta.

Piirrä lisätangentit, jotka olisivat kosketuksissa funktion kuvaajaan pisteissä x1, x2 ja x3, ja merkitse myös näiden tangenttien muodostamat kulmat abskissa-akselilla (sellainen kulma lasketaan positiivisessa suunnassa akselista tangenttiviiva). Esimerkiksi kulma, eli α1, on terävä, toinen (α2) on tylppä ja kolmas (α3) on nolla, koska tangenttiviiva on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa. Tässä tapauksessa tylpän kulman tangentti on negatiivinen, terävän kulman tangentti on positiivinen ja tg0:lla tulos on nolla.

Huomautus

Määritä tangentin muodostama kulma oikein. Käytä tätä varten astelevyä.

Hyödyllinen neuvo

Kaksi vinoa viivaa ovat yhdensuuntaisia, jos niiden kaltevuus on yhtä suuri. kohtisuorassa, jos näiden tangenttien kaltevuuden tulo on -1.

Lähteet:

• Funktiokaavion tangentti

Kosiinia, kuten siniä, kutsutaan "suoriksi" trigonometrisiksi funktioiksi. Tangentti (yhdessä kotangentin kanssa) lisätään toiseen pariin, jota kutsutaan "johdannaisiksi". Näille funktioille on olemassa useita määritelmiä, joiden avulla voidaan löytää saman arvon tunnetun arvon antaman kosinin tangentti.

Ohje

Vähennä osamäärä yksiköstä arvoon korotetulla annetun kulman kosinilla ja ota tuloksesta neliöjuuri - tämä on kulman tangentin arvo ilmaistuna sen kosinina: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Kiinnitä samalla huomiota siihen, että kaavassa kosini on murtoluvun nimittäjässä. Nollalla jakamisen mahdottomuus sulkee pois tämän lausekkeen käytön kulmille, jotka ovat yhtä suuria kuin 90°, sekä poikkeamisen tästä arvosta 180°:n kerrannaisilla (270°, 450°, -90° jne.).

On olemassa vaihtoehtoinen tapa laskea tangentti tunnetusta kosiniarvosta. Sitä voidaan käyttää, jos muiden käyttöä ei rajoiteta. Tämän menetelmän toteuttamiseksi määritä ensin kulman arvo kosinin tunnetusta arvosta - tämä voidaan tehdä käyttämällä arkosiinifunktiota. Laske sitten yksinkertaisesti saadun arvon kulman tangentti. Yleisesti ottaen tämä algoritmi voidaan kirjoittaa seuraavasti: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

On olemassa toinen eksoottinen vaihtoehto, jossa käytetään kosinin ja tangentin määritelmää suorakulmaisen kolmion terävien kulmien kautta. Tässä määritelmässä kosini vastaa tarkasteltavan kulman vieressä olevan jalan pituuden suhdetta hypotenuusan pituuteen. Kun tiedät kosinin arvon, voit valita näiden kahden sitä vastaavan sivun pituudet. Esimerkiksi, jos cos(α) = 0,5, niin viereinen voidaan ottaa 10 cm:ksi ja hypotenuusa - 20 cm. Tietyillä luvuilla ei ole tässä väliä - saat saman ja oikean kaikilla arvoilla, joilla on samat. Määritä sitten Pythagoraan lauseen avulla puuttuvan puolen - vastakkaisen jalan - pituus. Se on yhtä suuri kuin neliöjuuri hypotenuusan ja tunnetun haaran pituuksien välisestä erosta: √(20²-10²)=√300. Määritelmän mukaan tangentti vastaa vastakkaisten ja vierekkäisten haarojen pituuksien suhdetta (√300/10) - laske se ja hanki löydetty tangentin arvo käyttämällä klassista kosinin määritelmää.

Lähteet:

• kosini tangenttikaavan kautta

Yksi trigonometrisista funktioista, useimmiten merkitty kirjaimilla tg, vaikka merkintä tan löytyy myös. Helpoin tapa esittää tangentti on sinin suhde kulma sen kosinukseen. Tämä on pariton jaksollinen eikä jatkuva funktio, jonka jokainen jakso on yhtä suuri kuin luku Pi ja taitepiste vastaa merkkiä puolessa tästä luvusta.

Edellisessä luvussa osoitettiin, että valitsemalla tasolle tietyn koordinaattijärjestelmän voimme analyyttisesti ilmaista tarkasteltavan suoran pisteitä kuvaavat geometriset ominaisuudet nykyisten koordinaattien välisellä yhtälöllä. Siten saamme suoran yhtälön. Tässä luvussa tarkastellaan suorien yhtälöitä.

Muodostaaksesi suoran yhtälön suorakulmaisiksi koordinaatteiksi, sinun on jotenkin asetettava ehdot, jotka määrittävät sen sijainnin suhteessa koordinaattiakseleihin.

Ensin otamme käyttöön suoran kaltevuuden käsitteen, joka on yksi suureista, jotka kuvaavat suoran asemaa tasossa.

Kutsutaan suoran kaltevuuskulmaa Ox-akseliin nähden kulmaksi, jolla Ox-akselia on kierrettävä niin, että se osuu yhteen annetun suoran kanssa (tai osoittautuu sen suuntaiseksi). Kuten tavallista, harkitsemme kulmaa ottaen huomioon merkin (merkki määräytyy pyörimissuunnan mukaan: vastapäivään tai myötäpäivään). Koska Ox-akselin lisäkierto 180° kulmalla yhdistää sen jälleen suoran linjan kanssa, suoran kaltevuuskulma akseliin nähden voidaan valita moniselitteisesti (enintään :n kerrannainen).

Tämän kulman tangentti määräytyy yksiselitteisesti (koska kulman muuttaminen arvoon ei muuta sen tangenttia).

Suoran viivan kaltevuuskulman tangenttia x-akseliin nähden kutsutaan suoran kaltevuudeksi.

Kaltevuus kuvaa suoran suuntaa (tässä emme erottele kahta keskenään vastakkaista suoran suuntaa). Jos suoran kaltevuus on nolla, suora on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Positiivisella kulmakertoimella suoran kaltevuuskulma Ox-akseliin on terävä (tarkastelemme tässä kaltevuuskulman pienintä positiivista arvoa) (kuva 39); tässä tapauksessa mitä suurempi kaltevuus on, sitä suurempi on sen kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden. Jos kaltevuus on negatiivinen, suoran kaltevuuskulma x-akseliin on tylppä (kuva 40). Huomaa, että suoralla, joka on kohtisuorassa x-akseliin nähden, ei ole kaltevuutta (kulman tangenttia ei ole olemassa).