Kirjoita suoran yhtälö pisteistä. Suoran suoran yleinen yhtälö: kuvaus, esimerkkejä, ongelmanratkaisu

Annetaan kaksi pistettä M(X 1 ,klo 1) ja N(X 2,y 2). Etsitään näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö.

Koska tämä viiva kulkee pisteen läpi M, silloin kaavan (1.13) mukaan sen yhtälöllä on muoto

klo – Y 1 = K(X-x 1),

Missä K on tuntematon rinne.

Tämän kertoimen arvo määritetään ehdosta, että haluttu suora kulkee pisteen läpi N, mikä tarkoittaa, että sen koordinaatit täyttävät yhtälön (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Täältä löydät tämän viivan kaltevuuden:

,

Tai muuntamisen jälkeen

(1.14)

Kaava (1.14) määrittelee Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö M(X 1, Y 1) ja N(X 2, Y 2).

Erityisessä tapauksessa, kun pistettä M(A, 0), N(0, B), MUTTA ¹ 0, B¹ 0, makaa koordinaattiakseleilla, yhtälö (1.14) saa yksinkertaisemman muodon

Yhtälö (1.15) nimeltään Segmenttien suoran yhtälö, täällä MUTTA ja B tarkoittaa segmenttejä, jotka on leikattu suoralla akseleilla (kuva 1.6).

Kuva 1.6

Esimerkki 1.10. Kirjoita pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö M(1, 2) ja B(3, –1).

. Kohdan (1.14) mukaan halutun suoran yhtälöllä on muoto

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Siirtämällä kaikki ehdot vasemmalle puolelle, saamme lopulta halutun yhtälön

3X + 2Y – 7 = 0.

Esimerkki 1.11. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle suoralle M(2, 1) ja viivojen leikkauspiste X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Löydämme suorien leikkauspisteen koordinaatit ratkaisemalla nämä yhtälöt yhdessä

Jos lisäämme nämä yhtälöt termi kerrallaan, saamme 2 X+ 1 = 0, mistä . Korvaamalla löydetyn arvon mihin tahansa yhtälöön, löydämme ordinaatan arvon klo:

Kirjoita nyt pisteiden (2, 1) ja :n kautta kulkevan suoran yhtälö:

tai .

Eli tai -5( Y – 1) = X – 2.

Lopuksi saadaan halutun suoran yhtälö muodossa X + 5Y – 7 = 0.

Esimerkki 1.12. Etsi pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö M(2.1) ja N(2,3).

Kaavan (1.14) avulla saamme yhtälön

Siinä ei ole järkeä, koska toinen nimittäjä on nolla. Tehtävän ehdosta voidaan nähdä, että molempien pisteiden abskissoilla on sama arvo. Näin ollen vaadittu viiva on yhdensuuntainen akselin kanssa OY ja sen yhtälö on: x = 2.

Kommentti . Jos kirjoitettaessa suoran yhtälöä kaavan (1.14) mukaisesti, yksi nimittäjistä on yhtä suuri kuin nolla, niin haluttu yhtälö voidaan saada vertaamalla vastaava osoittaja nollaan.

Tarkastellaan muita tapoja asettaa suora viiva tasoon.

1. Olkoon nollasta poikkeava vektori kohtisuorassa annettua suoraa vastaan L, ja pointti M 0(X 0, Y 0) sijaitsee tällä viivalla (kuva 1.7).

Kuva 1.7

Merkitse M(X, Y) mielivaltainen piste viivalla L. Vektorit ja Ortogonaalinen. Käyttämällä ortogonaalisuusehtoja näille vektoreille saamme tai MUTTA(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Olemme saaneet yhtälön pisteen läpi kulkevasta suorasta M 0 on kohtisuorassa vektoriin nähden. Tätä vektoria kutsutaan Normaali vektori suoralle viivalle L. Tuloksena oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

vai niin + Wu + Kanssa= 0, missä Kanssa = –(MUTTAX 0 + Tekijä: 0), (1.16),

Missä MUTTA ja AT ovat normaalivektorin koordinaatit.

Saamme suoran yleisen yhtälön parametrisessa muodossa.

2. Tasossa oleva suora voidaan määritellä seuraavasti: olkoon nollasta poikkeava vektori yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa L ja piste M 0(X 0, Y 0) sijaitsee tällä rivillä. Ota jälleen mielivaltainen kohta M(X, y) suoralla viivalla (kuva 1.8).

Kuva 1.8

Vektorit ja kollineaarinen.

Kirjataan ylös näiden vektorien kollineaarisuuden ehto: , missä T on mielivaltainen luku, jota kutsutaan parametriksi. Kirjoita tämä yhtälö koordinaatteina:

Näitä yhtälöitä kutsutaan Parametriset yhtälöt Suoraan. Jätetään parametri pois näistä yhtälöistä T:

Nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa

. (1.18)

Tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan Suoran suoran kanoninen yhtälö. Vektoripuhelu Suuntavektori suora .

Kommentti . On helppo nähdä, että jos on suoran normaalivektori L, niin sen suuntavektori voi olla vektori , koska , eli .

Esimerkki 1.13. Kirjoita pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö M 0(1, 1) yhdensuuntainen linjan 3 kanssa X + 2klo– 8 = 0.

Päätös . Vektori on normaalivektori annetuille ja halutuille viivoille. Käytetään pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöä M 0 annetulla normaalivektorilla 3( X –1) + 2(klo– 1) = 0 tai 3 X + 2v- 5 \u003d 0. Saimme halutun suoran yhtälön.

Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälön muoto on y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6), saamme pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälön:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 \u003d x 2, niin pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 \u003d y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y \u003d y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Segmenttien suoran yhtälö

Olkoon suora leikkaava Ox-akselin pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy-akselin - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat mitkä segmentit suora katkaisee koordinaattiakseleilta.

Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

Etsi läpi kulkevan suoran yhtälö annettu piste Mo (x O; y o) on kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja katsotaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Yhtälöä (10.8) kutsutaan tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevaa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

missä A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C \u003d -Ax o - Vu o - vapaa jäsen. Yhtälö (10.9) on suoran suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

,

Missä
ovat sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen ympyrän käyrät

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste on sama kuin origo, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, etäisyyksien summa jokaisesta niistä kahteen annettuun pisteeseen ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja jonka origo on polttopisteiden keskellä, on muotoa
G de a suuren puoliakselin pituus; b on pienemmän puoliakselin pituus (kuva 2).

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

3D-tilassa on kolme vaihtoehtoa. suhteellinen sijainti kaksi suoraa viivaa:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Yleinen yhtälö suoraan.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja Kanssa Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää muodossa useita muotoja riippuen mistä tahansa

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Päätös. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Päätös. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Päätös. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

geometrinen tunne kertoimet siten, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Suoran suoran normaali yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Pakollinen kirjoittamiseen Erilaisia ​​tyyppejä yhtälöt

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jakaa 5:llä)

Suoran linjan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi suorat viivat ovat kohtisuorassa,

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen kautta kulkeva suora M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Artikkelissa" " Lupasin sinulle analysoida toista tapaa ratkaista esitettyjä ongelmia derivaatan löytämiseksi annetulla funktiokaaviolla ja tämän graafin tangentilla. Tutkimme tätä menetelmää , Älä missaa! Miksi Seuraava?

Tosiasia on, että siellä käytetään suoran yhtälön kaavaa. Tietysti voidaan yksinkertaisesti näyttää tämä kaava ja neuvoa sinua oppimaan se. Mutta on parempi selittää, mistä se tulee (miten se on johdettu). Se on välttämätöntä! Jos unohdat sen, palauta se nopeastiei tule olemaan vaikeaa. Kaikki on kuvattu yksityiskohtaisesti alla. Meillä on siis kaksi pistettä A koordinaattitasolla(x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) piirretään suora viiva osoitettujen pisteiden läpi:

Tässä on suora kaava:

*Toisin sanoen, kun pisteiden tietyt koordinaatit korvataan, saadaan yhtälö muotoa y=kx+b.

** Jos tämä kaava on yksinkertaisesti "muistissa", on suuri todennäköisyys joutua sekaisin indekseihin, kun X. Lisäksi indeksit voidaan merkitä eri tavoin, esimerkiksi:

Siksi on tärkeää ymmärtää merkitys.

Nyt tämän kaavan johtaminen. Kaikki on hyvin yksinkertaista!

Kolmiot ABE ja ACF ovat samanlaisia terävä kulma(ensimmäinen merkki samankaltaisuudesta suorakulmaiset kolmiot). Tästä seuraa, että vastaavien elementtien suhteet ovat yhtä suuret, eli:

Nyt ilmaisemme nämä segmentit yksinkertaisesti pisteiden koordinaattien erona:

Tietenkään ei tapahdu virhettä, jos kirjoitat elementtien suhteet eri järjestyksessä (tärkeintä on säilyttää vastaavuus):

Tuloksena on sama suoran yhtälö. Se on kaikki!

Eli riippumatta siitä, kuinka itse pisteet (ja niiden koordinaatit) on merkitty, tämän kaavan ymmärtäminen löytää aina suoran yhtälön.

Kaava voidaan päätellä vektorien ominaisuuksien avulla, mutta johtamisperiaate on sama, koska puhumme niiden koordinaattien suhteellisuudesta. Tässä tapauksessa sama suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuus toimii. Mielestäni edellä kuvattu johtopäätös on ymmärrettävämpi)).

Näytä tulos vektorikoordinaateilla >>>

Tehdään suora viiva koordinaattitasolle, joka kulkee kahden annetun pisteen A (x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) kautta. Merkitään mielivaltainen piste C suoralle koordinaatteilla ( x; y). Merkitsemme myös kahta vektoria:

Tiedetään, että vektoreille, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisilla viivoilla (tai yhdellä suoralla), niiden vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia, eli:

- kirjoitamme vastaavien koordinaattien suhteiden yhtäläisyyden:

Harkitse esimerkkiä:

Etsi kahden koordinaatin (2;5) ja (7:3) pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö.

Et voi edes rakentaa itse linjaa. Käytämme kaavaa:

On tärkeää, että saat kirjeenvaihdon kiinni suhdetta laadittaessa. Et voi mennä pieleen, jos kirjoitat:

Vastaus: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Varmistaaksesi, että tuloksena oleva yhtälö löytyy oikein, muista tarkistaa se - korvaa datakoordinaatit siihen pisteiden tilassa. Sinun pitäisi saada oikeat tasa-arvot.

Siinä kaikki. Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä.

Ystävällisin terveisin Alexander.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Tämä artikkeli jatkaa aihetta tasaisen suoran yhtälöstä: harkitse tällaista yhtälöä suoran yleisenä yhtälönä. Määritellään lause ja todistetaan se; Selvitetään, mikä on epätäydellinen suoran yleinen yhtälö ja kuinka tehdä siirtymiä yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin. Vahvistamme koko teorian kuvin ja käytännön ongelmien ratkaisemisen avulla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olkoon tasossa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y.

Lause 1

Mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö, jonka muoto on A x + B y + C \u003d 0, jossa A, B, C ovat joitain reaalilukuja (A ja B eivät ole yhtä suuri kuin nolla samanaikaisesti), määrittää suoran suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa. Mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa puolestaan ​​määräytyy yhtälöllä, jonka muoto on A x + B y + C = 0 tietylle arvojoukolle A, B, C.

Todiste

Tämä lause koostuu kahdesta kohdasta, todistamme niistä jokaisen.

1. Osoitetaan, että yhtälö A x + B y + C = 0 määrittelee tasossa olevan suoran.

Olkoon jokin piste M 0 (x 0, y 0), jonka koordinaatit vastaavat yhtälöä A x + B y + C = 0 . Siten: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä yhtälöiden A x + B y + C \u003d 0 vasemmalta ja oikealta puolelta yhtälön A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasen ja oikea puoli, saadaan uusi yhtälö, joka näyttää A:lta (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Se vastaa A x + B y + C = 0 .

Tuloksena oleva yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on välttämätön ja riittävä ehto vektorien n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) kohtisuoralle. 0, y - y 0) . Siten pistejoukko M (x, y) määrittää suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa suoran, joka on kohtisuorassa vektorin n → = (A, B) suuntaan. Voimme olettaa, että näin ei ole, mutta silloin vektorit n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) eivät olisi kohtisuorassa, ja yhtälö A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei olisi totta.

Siksi yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 määrittää jonkin suoran suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa, ja siksi vastaava yhtälö A x + B y + C \u003d 0 määrittää sama linja. Näin olemme todistaneet lauseen ensimmäisen osan.

1. Osoitetaan, että mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa voidaan antaa ensimmäisen asteen yhtälöllä A x + B y + C = 0 .

Asetetaan suora a suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään tasolle; piste M 0 (x 0 , y 0), jonka kautta tämä suora kulkee, sekä tämän suoran normaalivektori n → = (A , B) .

Olkoon olemassa myös jokin piste M (x , y) - suoran liukuluku. Tässä tapauksessa vektorit n → = (A , B) ja M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja niiden skalaaritulo on nolla:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjoitetaan uudelleen yhtälö A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , määritellään C: C = - A x 0 - B y 0 ja saadaan lopuksi yhtälö A x + B y + C = 0 .

Joten olemme todistaneet lauseen toisen osan ja olemme todistaneet koko lauseen kokonaisuutena.

Määritelmä 1

Yhtälö, joka näyttää A x + B y + C = 0 - Tämä suoran suoran yleinen yhtälö tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässäO x y .

Todistetun lauseen perusteella voidaan päätellä, että kiinteässä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa olevalle tasolle annettu suora ja sen yleinen yhtälö liittyvät erottamattomasti toisiinsa. Toisin sanoen alkuperäinen viiva vastaa sen yleistä yhtälöä; suoran yleinen yhtälö vastaa annettua suoraa.

Lauseen todistuksesta seuraa myös, että kertoimet A ja B muuttujille x ja y ovat suoran normaalivektorin koordinaatit, joka saadaan suoran yleisestä yhtälöstä A x + B y + C = 0.

Tarkastellaan tiettyä esimerkkiä suoran yleisestä yhtälöstä.

Olkoon yhtälö 2 x + 3 y - 2 = 0, joka vastaa suoraa suoraa annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Tämän suoran normaalivektori on vektori n → = (2, 3) . Piirrä piirustukseen annettu suora viiva.

Myös seuraavaa voidaan väittää: piirustuksessa näkemämme suora määräytyy yleisellä yhtälöllä 2 x + 3 y - 2 = 0, koska tietyn suoran kaikkien pisteiden koordinaatit vastaavat tätä yhtälöä.

Saatamme yhtälön λ A x + λ B y + λ C = 0 kertomalla yleisen suorayhtälön molemmat puolet luvulla λ, ei nolla. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä yleisyhtälöä, joten se kuvaa samaa viivaa tasossa.

Määritelmä 2

Suoran suoran täydellinen yleinen yhtälö- tällainen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, jossa luvut A, B, C ovat nollia poikkeavia. Muuten yhtälö on epätäydellinen.

Analysoidaan kaikki epätäydellisen suoran yleisen yhtälön muunnelmat.

1. Kun A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, yleisestä yhtälöstä tulee B y + C \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yleinen yhtälö määrittelee suoran suoran suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y, joka on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa, koska minkä tahansa x:n todellisen arvon kohdalla muuttuja y saa arvon. - C B. Toisin sanoen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, kun A \u003d 0, B ≠ 0, määrittelee niiden pisteiden (x, y) paikan, joiden koordinaatit ovat samat. - C B.
2. Jos A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, yleisestä yhtälöstä tulee y \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yhtälö määrittelee x-akselin O x .
3. Kun A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saadaan epätäydellinen yleinen yhtälö A x + C \u003d 0, joka määrittää y-akselin suuntaisen suoran.
4. Olkoon A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, silloin epätäydellinen yleinen yhtälö on muodossa x \u003d 0, ja tämä on koordinaattiviivan O y yhtälö.
5. Lopuksi, kun A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, epätäydellinen yleinen yhtälö saa muotoa A x + B y \u003d 0. Ja tämä yhtälö kuvaa suoraa, joka kulkee origon kautta. Todellakin, lukupari (0, 0) vastaa yhtälöä A x + B y = 0, koska A · 0 + B · 0 = 0 .

Havainnollistetaan graafisesti kaikki edellä mainitut epätäydellisen suoran yleisen yhtälön tyypit.

Esimerkki 1

Tiedetään, että annettu suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa ja kulkee pisteen 2 7 , - 11 kautta. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Y-akselin suuntainen suora saadaan yhtälöllä, jonka muoto on A x + C \u003d 0, jossa A ≠ 0. Ehto määrittää myös sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja tämän pisteen koordinaatit vastaavat epätäydellisen yleisen yhtälön A x + C = 0 ehtoja, ts. tasa-arvo on oikein:

A 2 7 + C = 0

Siitä on mahdollista määrittää C antamalla A:lle jokin nollasta poikkeava arvo, esimerkiksi A = 7 . Tässä tapauksessa saamme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Tunnemme molemmat kertoimet A ja C, korvaamme ne yhtälöllä A x + C = 0 ja saamme vaaditun yhtälön suorasta: 7 x - 2 = 0

Vastaus: 7 x - 2 = 0

Esimerkki 2

Piirustus näyttää suoran viivan, on tarpeen kirjoittaa sen yhtälö.

Päätös

Annetun piirustuksen avulla voimme helposti ottaa lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi. Näemme piirustuksessa, että annettu viiva on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa ja kulkee pisteen (0 , 3) ​​kautta.

Suora, joka on yhdensuuntainen abskissan kanssa, määräytyy epätäydellisen yleisen yhtälön B y + С = 0 avulla. Etsi B:n ja C:n arvot. Pisteen (0, 3) koordinaatit, koska annettu suora kulkee sen läpi, täyttävät suoran yhtälön B y + С = 0, niin yhtälö on voimassa: В · 3 + С = 0. Asetetaan B:lle jokin muu arvo kuin nolla. Oletetaan, että B \u003d 1, tässä tapauksessa yhtälöstä B · 3 + C \u003d 0 löydämme C: C \u003d - 3. Käytämme tunnetut arvot B ja C, saamme vaaditun yhtälön suorasta: y - 3 = 0.

Vastaus: y-3 = 0.

Tietyn tason pisteen kautta kulkevan suoran yleinen yhtälö

Kulkekoon annettu suora pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi, jolloin sen koordinaatit vastaavat suoran yleistä yhtälöä, ts. yhtälö on tosi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä tämän yhtälön vasen ja oikea puoli yleisen vasemmalta ja oikealta puolelta täydellinen yhtälö suoraan. Saamme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yleistä yhtälöä, kulkee pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi ja sillä on normaalivektori n → \u003d (A, B) .

Saamamme tulos mahdollistaa suoran yleisen yhtälön kirjoittamisen suoran normaalivektorin tunnetuille koordinaateille ja tämän suoran tietyn pisteen koordinaateille.

Esimerkki 3

Annettu piste M 0 (- 3, 4), jonka kautta suora kulkee, ja tämän suoran normaalivektori n → = (1, -2) . On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuehdot antavat meille mahdollisuuden saada tarvittavat tiedot yhtälön laatimiseen: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sitten:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Suoran suoran yleinen yhtälö on muotoa A x + B y + C = 0 . Annettu normaalivektori antaa sinun saada kertoimien A ja B arvot, sitten:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Etsi nyt C:n arvo käyttämällä ehdon antama ongelmapiste M 0 (- 3 , 4), jonka kautta suora kulkee. Tämän pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä x - 2 · y + C = 0 , ts. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Näin ollen C = 11. Vaadittu suora yhtälö on muodossa: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastaus: x - 2 y + 11 = 0 .

Esimerkki 4

Annettu suora 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja tällä suoralla oleva piste M 0. Vain tämän pisteen abskissa tunnetaan, ja se on yhtä suuri kuin -3. On tarpeen määrittää annetun pisteen ordinaatit.

Päätös

Asetetaan pisteen M 0 koordinaattien nimeksi x 0 ja y 0 . Alkutiedot osoittavat, että x 0 \u003d - 3. Koska piste kuuluu annettuun suoraan, sen koordinaatit vastaavat tämän suoran yleistä yhtälöä. Sitten seuraava yhtäläisyys on totta:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Määrittele y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastaus: - 5 2

Siirtyminen suoran yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Kuten tiedämme, tasossa on useita saman suoran yhtälön tyyppejä. Yhtälön tyypin valinta riippuu ongelman olosuhteista; on mahdollista valita ratkaisulle sopivampi. Tässä on erittäin hyödyllistä taitoa muuntaa eräänlainen yhtälö toisen tyyppiseksi yhtälöksi.

Tarkastellaan ensin siirtymää yleisestä yhtälöstä muodossa A x + B y + C = 0 kanoniseen yhtälöön x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jos A ≠ 0, siirretään termi B y yleisen yhtälön oikealle puolelle. Vasemmalla puolella otamme A pois suluista. Tuloksena saamme: A x + C A = - B y .

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa suhteessa: x + C A - B = y A .

Jos B ≠ 0, jätämme vain termin A x yleisen yhtälön vasemmalle puolelle, siirrämme muut oikealle puolelle, saamme: A x \u003d - B y - C. Otamme pois - B suluista, sitten: A x \u003d - B y + C B.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen suhteeksi: x - B = y + C B A .

Saatuja kaavoja ei tietenkään tarvitse muistaa. Riittää, kun tietää toimintojen algoritmin siirtyessä yleisestä yhtälöstä kanoniseen yhtälöön.

Esimerkki 5

Suoran 3 y - 4 = 0 yleinen yhtälö on annettu. Se on muutettava kanoniseksi yhtälöksi.

Päätös

Kirjoitamme alkuperäisen yhtälön muodossa 3 y - 4 = 0 . Seuraavaksi toimitaan algoritmin mukaan: termi 0 x jää vasemmalle puolelle; ja oikealla puolella otamme ulos - 3 suluista; saamme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjoitetaan saatu yhtälö suhteessa: x - 3 = y - 4 3 0 . Siten olemme saaneet kanonisen muodon yhtälön.

Vastaus: x - 3 = y - 4 3 0.

Muuntaaksesi suoran yleisen yhtälön parametrisiksi, siirrytään ensin kohtaan kanoninen muoto, ja sitten siirtyminen suoran kanonisesta yhtälöstä parametrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjoita muistiin tämän suoran parametriyhtälöt.

Päätös

Tehdään siirtymä yleisestä yhtälöstä kanoniseen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 v + 1 ⇔ 2 x = 5 v + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Otetaan nyt tuloksena olevan kanonisen yhtälön molemmat osat yhtä suureksi kuin λ, sitten:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastaus:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Yleinen yhtälö voidaan muuntaa suorayhtälöksi, jonka kaltevuus y = k x + b, mutta vain kun B ≠ 0. Vasemman puolen siirtymää varten jätämme termin B y , loput siirretään oikealle. Saamme: B y = - A x - C . Jaetaan tuloksena olevan yhtälön molemmat osat B:llä, joka on eri kuin nolla: y = - A B x - C B .

Esimerkki 7

Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu: 2 x + 7 y = 0 . Sinun on muutettava tämä yhtälö kaltevuusyhtälöksi.

Päätös

Suoritetaan tarvittavat toimenpiteet algoritmin mukaan:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastaus: y = -2 7 x .

Suoran suoran yleisestä yhtälöstä riittää, että saadaan yksinkertaisesti yhtälö segmenteissä, jotka ovat muotoa x a + y b \u003d 1. Tällaisen siirtymisen suorittamiseksi siirrämme luvun C yhtälön oikealle puolelle, jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat osat -С:lla ja lopuksi siirrämme muuttujien x ja y kertoimet nimittäjiin:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Esimerkki 8

On tarpeen muuntaa suoran x - 7 y + 1 2 = 0 yleinen yhtälö segmenttien suoran yhtälöksi.

Päätös

Siirretään 1 2 oikealle: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jaa yhtälön molemmilla puolilla -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastaus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Yleensä käänteinen siirtyminen on myös helppoa: muun tyyppisistä yhtälöistä yleiseen.

Segmenttien suoran yhtälö ja kaltevuusyhtälö voidaan helposti muuntaa yleiseksi yksinkertaisesti keräämällä kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninen yhtälö muunnetaan yleiseksi seuraavan kaavion mukaisesti:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrista siirtymiseksi suoritetaan ensin siirtyminen kanoniseen ja sitten yleiseen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Esimerkki 9

Suoran x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametriyhtälöt on annettu. On tarpeen kirjoittaa muistiin tämän suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Tehdään siirtymä parametrisistä yhtälöistä kanoniseen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Siirrytään kanonisesta yleiseen:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastaus: y - 4 = 0

Esimerkki 10

On annettu suoran yhtälö janoissa x 3 + y 1 2 = 1. On välttämätöntä tehdä siirtyminen yleisnäkymä yhtälöt.

Päätös:

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vaadittuun muotoon:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastaus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Suoran suoran yleisen yhtälön laatiminen

Yllä sanoimme, että yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa tunnetuilla normaalivektorin koordinaateilla ja sen pisteen koordinaateilla, jonka läpi suora kulkee. Tällainen suora määritellään yhtälöllä A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samassa paikassa analysoimme vastaavaa esimerkkiä.

Katsotaan nyt lisää monimutkaisia ​​esimerkkejä, jossa on ensin määritettävä normaalivektorin koordinaatit.

Esimerkki 11

Annettu suoran kanssa yhdensuuntainen suora 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tunnetaan myös piste M 0 (4 , 1), jonka kautta annettu suora kulkee. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuehdot kertovat, että suorat ovat yhdensuuntaisia, kun taas normaalivektorina suoralle, jonka yhtälö on kirjoitettava, otamme suoran suuntavektorin n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nyt tiedämme kaikki tarvittavat tiedot suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastaus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Esimerkki 12

Annettu suora kulkee origon kautta kohtisuoraan suoraa x - 2 3 = y + 4 5 vastaan. On tarpeen kirjoittaa tietyn suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Annetun suoran normaalivektori on suoran x - 2 3 = y + 4 5 suuntausvektori .

Sitten n → = (3 , 5) . Suora kulkee origon kautta, ts. pisteen O kautta (0, 0) . Muodostetaan tietyn suoran yleinen yhtälö:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastaus: 3 x + 5 y = 0 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter