Lineaariset yhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt eivät ole koulumatematiikan vaikein aihe. Mutta siellä on joitain temppuja, jotka voivat hämmentää jopa koulutetun opiskelijan. Selvitetäänkö se?)

Lineaarinen yhtälö määritellään yleensä yhtälöksi, jonka muoto on:

kirves + b = 0 missä a ja b- mitkä tahansa numerot.

2x + 7 = 0. Tässä a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tässä a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tässä a=12, b = 1/2

Ei mitään monimutkaista, eikö? Varsinkin jos et huomaa sanoja: "missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja"... Ja jos huomaat, mutta ajattelet sitä huolimattomasti?) Loppujen lopuksi, jos a=0, b = 0(kaikki numerot ovat mahdollisia?), niin saadaan hauska lauseke:

Mutta ei siinä vielä kaikki! Jos vaikkapa a=0, a b = 5, siitä tulee jotain aivan absurdia:

Mikä rasittaa ja heikentää luottamusta matematiikkaan, kyllä ​​...) Varsinkin kokeissa. Mutta näistä outoista ilmauksista sinun on löydettävä myös X! Jota ei ole ollenkaan olemassa. Ja yllättävää kyllä, tämä X on erittäin helppo löytää. Opimme kuinka se tehdään. Tällä oppitunnilla.

Kuinka tunnistaa lineaarinen yhtälö ulkonäöltään? Riippuu mitä ulkomuoto.) Temppu on siinä, että lineaarisia yhtälöitä ei kutsuta vain muodon yhtälöiksi kirves + b = 0 , mutta myös kaikki yhtälöt, jotka on pelkistetty tähän muotoon muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Ja kuka tietää, vähennetäänkö sitä vai ei?)

Lineaarinen yhtälö voidaan joissain tapauksissa tunnistaa selvästi. Sanotaan, että jos meillä on yhtälö, jossa on vain tuntemattomia ensimmäisessä asteessa, kyllä ​​numerot. Ja yhtälö ei murtoluvut jaettuna tuntematon , on tärkeää! Ja jakamalla määrä, tai murto-osa - siinä se! Esimerkiksi:

Tämä on lineaarinen yhtälö. Tässä on murtolukuja, mutta neliössä, kuutiossa jne. ei ole x:iä, eikä nimittäjissä ole x:iä, ts. Ei jako x:llä. Ja tässä on yhtälö

ei voida kutsua lineaariksi. Tässä x:t ovat kaikki ensimmäisessä asteessa, mutta siellä on jakaminen lausekkeella x:llä. Yksinkertaistusten ja muunnosten jälkeen voit saada lineaarisen yhtälön ja toisen asteen yhtälön ja mitä tahansa.

Osoittautuu, että on mahdotonta löytää lineaarista yhtälöä jossain monimutkaisessa esimerkissä, ennen kuin melkein ratkaiset sen. Se on järkyttävää. Mutta tehtävissä he eivät yleensä kysy yhtälön muotoa, eikö niin? Tehtävissä yhtälöt ovat järjestyksessä päättää. Tämä tekee minut onnelliseksi.)

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Lineaaristen yhtälöiden koko ratkaisu koostuu identtisistä yhtälöiden muunnoksista. Muuten, nämä muunnokset (jopa kaksi!) ovat ratkaisujen taustalla kaikki matematiikan yhtälöt. Toisin sanoen päätös minkä tahansa Yhtälö alkaa samoilla muunnoksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa se (ratkaisu) näissä muunnoksissa päättyy täysimittaiseen vastaukseen. On järkevää seurata linkkiä, eikö?) Lisäksi on myös esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla esimerkillä. Ilman mitään sudenkuoppia. Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö.

x - 3 = 2 - 4x

Tämä on lineaarinen yhtälö. X:t ovat kaikki ensimmäisellä potenssilla, X:llä ei ole jakoa. Mutta itse asiassa emme välitä, mikä yhtälö on. Meidän on ratkaistava se. Kaava tässä on yksinkertainen. Kerää kaikki, jossa on x:t yhtälön vasemmalla puolella, kaikki ilman x:iä (numeroita) oikealta.

Tätä varten sinun on siirrettävä - 4x vasemmalle puolelle, tietysti merkin vaihdolla, mutta - 3 - oikealle. Tämä on muuten ensimmäinen identtinen yhtälöiden muunnos. Yllättynyt? Joten he eivät seuranneet linkkiä, mutta turhaan ...) Saamme:

x + 4x = 2 + 3

Annamme samanlaisia, harkitsemme:

Mitä tarvitsemme ollaksemme täysin onnellisia? Kyllä, niin että vasemmalla on puhdas X! Viisi on tiellä. Päästä eroon viidestä toinen identtinen yhtälöiden muunnos. Nimittäin jaamme yhtälön molemmat osat viidellä. Saamme valmiin vastauksen:

Alkuperäinen esimerkki tietysti. Tämä on lämmittelyä varten.) Ei ole kovin selvää, miksi muistin täällä identtiset muunnokset? OK. Tartumme härkää sarvista.) Päätetään jotain vaikuttavampaa.

Tässä on esimerkiksi tämä yhtälö:

Mistä aloitamme? X:llä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla? Voisi olla niin. Pienet askeleet pitkällä tiellä. Ja voit heti, universaalilla ja tehokkaalla tavalla. Ellei tietenkään arsenaalissasi ole identtisiä yhtälöiden muunnoksia.

Esitän sinulle keskeisen kysymyksen: Mistä et pidä tässä yhtälössä eniten?

95 ihmistä 100:sta vastaa: murto-osia ! Vastaus on oikea. Joten päästään niistä eroon. Aloitamme siis heti toinen identtinen muunnos. Mitä tarvitaan kertomaan vasemmalla oleva murto-osa, jotta nimittäjä pienenee kokonaan? Aivan oikein, 3. Ja oikealla? 4:llä. Mutta matematiikka antaa meille mahdollisuuden kertoa molemmat puolet sama numero. Miten pääsemme ulos? Kerrotaan molemmat puolet 12:lla! Nuo. yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten kolme pienenee ja neljä. Älä unohda, että sinun on kerrottava jokainen osa täysin. Ensimmäinen vaihe näyttää tältä:

Hakasulkeiden laajentaminen:

Huomautus! Osoittaja (x+2) Otin suluissa! Tämä johtuu siitä, että murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan kokonaisuudella, kokonaan! Ja nyt voit pienentää murtolukuja ja vähentää:

Loput sulkeet avataan:

Ei esimerkki, vaan puhdas ilo!) Nyt muistamme loitsun alemmista luokista: x:llä - vasemmalle, ilman x:tä - oikealle! Ja käytä tätä muutosta:

Tässä muutamia kuten:

Ja jaamme molemmat osat 25:llä, ts. käytä toista muutosta uudelleen:

Siinä kaikki. Vastaus: X=0,16

Huomaa: saadaksemme alkuperäisen hämmentävän yhtälön miellyttävään muotoon käytimme kahta (vain kahta!) identtisiä muunnoksia- käännös vasen-oikea etumerkin muutoksella ja yhtälön kerto-jakalla samalla luvulla. Tämä on universaali tapa! Työskentelemme tällä tavalla minkä tahansa yhtälöt! Ehdottomasti mikä tahansa. Siksi toistan näitä identtisiä muunnoksia koko ajan.)

Kuten näet, lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen periaate on yksinkertainen. Otamme yhtälön ja yksinkertaistamme sitä identtisten muunnosten avulla, kunnes saamme vastauksen. Tärkeimmät ongelmat ovat tässä laskelmissa, eivät ratkaisun periaatteessa.

Mutta... Alkeisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessissa on sellaisia ​​yllätyksiä, että ne voivat ajaa vahvaan umpikujaan...) Onneksi tällaisia ​​yllätyksiä voi olla vain kaksi. Kutsutaanpa niitä erikoistapauksiksi.

Erikoistapaukset lineaariyhtälöiden ratkaisemisessa.

Yllätys ensin.

Oletetaan, että törmäät perusyhtälöön, kuten:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Hieman tylsistyneenä siirrymme X:llä vasemmalle, ilman X:llä - oikealle ... Etumerkin vaihdolla kaikki on leuka-chinaaria ... Saamme:

2x-5x+3x=5-2-3

Me uskomme, ja ... voi! Saamme:

Tämä tasa-arvo ei sinänsä ole moitittavaa. Oikeasti nolla nolla. Mutta X on poissa! Ja meidän on kirjoitettava vastaukseen, mikä x on yhtä suuri. Muuten ratkaisua ei lasketa, kyllä...) Umpikuja?

Rauhoittaa! Tällaisissa epäilyttävissä tapauksissa yleisimmät säännöt pelastavat. Kuinka ratkaista yhtälöt? Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Se tarkoittaa, Etsi kaikki x:n arvot, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat meille oikean yhtälön.

Mutta meillä on oikea tasa-arvo jo tapahtui! 0=0, missä oikein?! On vielä selvitettävä, millä x:llä tämä saadaan. Millä x:n arvoilla voidaan korvata alkukirjain yhtälö, jos nämä x:t vieläkin kutistuu nollaan?Älä viitsi?)

Joo!!! X:t voidaan korvata minkä tahansa! Mitä haluat. Vähintään 5, vähintään 0,05, vähintään -220. Ne kutistuvat silti. Jos et usko minua, voit tarkistaa sen.) Korvaa mitkä tahansa x-arvot alkukirjain yhtälö ja laske. Koko ajan tulee olemaan puhdas totuus: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja niin edelleen.

Tässä on vastauksesi: x on mikä tahansa luku.

Vastaus voidaan kirjoittaa erilaisilla matemaattisilla symboleilla, olemus ei muutu. Tämä on täysin oikea ja täydellinen vastaus.

Yllätys kakkosena.

Otetaan sama alkeislineaarinen yhtälö ja muutetaan vain yksi luku siinä. Tästä päätämme:

2x+1=5x+5 - 3x -2

Samojen identtisten muutosten jälkeen saamme jotain kiehtovaa:

Kuten tämä. Ratkaistiin lineaarinen yhtälö, saatiin outo yhtälö. Matemaattisesti sanottuna meillä on väärä tasa-arvo. Ja puhuminen selkeää kieltä, Tämä ei ole totta. Rave. Mutta kuitenkin, tämä hölynpöly on varsin hyvä syy oikea päätös yhtälöt.)

Jälleen ajattelemme alkaen yleiset säännöt. Mitä x, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön, antaa meille oikea tasa-arvo? Kyllä, ei yhtään! Sellaisia ​​x:iä ei ole olemassa. Mitä tahansa korvaatkin, kaikki vähenee, hölynpölyä jää.)

Tässä on vastauksesi: ei ole ratkaisuja.

Tämä on myös täysin pätevä vastaus. Matematiikassa tällaisia ​​vastauksia esiintyy usein.

Kuten tämä. Nyt toivon, että X:iden menetys minkä tahansa (ei vain lineaarisen) yhtälön ratkaisuprosessissa ei häiritse sinua ollenkaan. Asia on tuttu.)

Nyt kun olemme käsitelleet kaikki sudenkuopat lineaariset yhtälöt, on järkevää ratkaista ne.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Palvelu yhtälöiden ratkaisemiseksi verkossa auttaa sinua ratkaisemaan minkä tahansa yhtälön. Sivustoamme käyttämällä et vain saa vastausta yhtälöön, vaan myös näet yksityiskohtainen ratkaisu, eli vaiheittainen näyttö tuloksen saamisprosessista. Palvelumme on hyödyllinen lukiolaisille ja heidän vanhemmilleen. Opiskelijat voivat valmistautua kokeisiin, kokeisiin, testata tietonsa ja vanhemmat voivat ohjata lastensa matemaattisten yhtälöiden ratkaisua. Yhtälöiden ratkaisukyky on pakollinen vaatimus opiskelijoille. Palvelu auttaa sinua oppimaan itse ja parantamaan matemaattisten yhtälöiden osaamistasi. Sen avulla voit ratkaista minkä tahansa yhtälön: neliöllisen, kuutioisen, irrationaalisen, trigonometrisen jne. verkkopalvelu mutta korvaamaton, koska oikean vastauksen lisäksi saat yksityiskohtaisen ratkaisun jokaiseen yhtälöön. Edut yhtälöiden ratkaisemisesta verkossa. Voit ratkaista minkä tahansa yhtälön verkossa verkkosivuillamme täysin ilmaiseksi. Palvelu on täysin automaattinen, sinun ei tarvitse asentaa mitään tietokoneellesi, sinun tarvitsee vain syöttää tiedot ja ohjelma antaa ratkaisun. Laskenta- tai kirjoitusvirheet eivät ole mahdollisia. Kaikkien yhtälöiden ratkaiseminen verkossa kanssamme on erittäin helppoa, joten muista käyttää sivustoamme kaikenlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Sinun tarvitsee vain syöttää tiedot ja laskenta suoritetaan sekunneissa. Ohjelma toimii itsenäisesti, ilman ihmisen väliintuloa, ja saat tarkan ja yksityiskohtaisen vastauksen. Yhtälön ratkaisu yleisessä muodossa. Tällaisessa yhtälössä muuttujakertoimet ja halutut juuret liittyvät toisiinsa. Muuttujan suurin teho määrittää tällaisen yhtälön järjestyksen. Tämän perusteella yhtälöiden käyttöön erilaisia ​​menetelmiä ja lauseita ratkaisujen löytämiseen. Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa haluttujen juurien löytämistä yleisessä muodossa. Palvelumme avulla voit ratkaista monimutkaisimmatkin algebralliset yhtälöt verkossa. Voit saada sekä yhtälön yleisen ratkaisun että yksityisen ratkaisun määrittämillesi. numeerisia arvoja kertoimet. Algebrallisen yhtälön ratkaisemiseksi sivustolla riittää, että täytät oikein vain kaksi kenttää: annetun yhtälön vasen ja oikea osa. Algebrallisissa yhtälöissä, joissa on muuttujakerroin, on ääretön määrä ratkaisuja, ja tietyt ehdot asettamalla valitaan ratkaisujoukosta tietyt. Toisen asteen yhtälö. Neliöyhtälön muoto on ax^2+bx+c=0 kun a>0. Neliön muotoisten yhtälöiden ratkaisu edellyttää x:n arvojen löytämistä, joilla yhtälö ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 täyttyy. Tätä varten diskriminantin arvo löydetään kaavasta D=b^2-4ac. Jos diskriminantti on pienempi kuin nolla, yhtälöllä ei ole todellisia juuria (juuret ovat kompleksilukujen kentästä), jos se on nolla, yhtälöllä on yksi reaalijuuri, ja jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, niin yhtälöllä on kaksi todellista juuria, jotka löytyvät kaavasta: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Voit ratkaista toisen asteen yhtälön verkossa, sinun tarvitsee vain syöttää tällaisen yhtälön kertoimet (kokolukuja, murtolukuja tai desimaaliarvoja). Jos yhtälössä on vähennysmerkkejä, yhtälön vastaavien ehtojen eteen on laitettava miinus. Voit myös ratkaista toisen asteen yhtälön verkossa riippuen parametrista eli yhtälön kertoimien muuttujista. Verkkopalvelumme yhteisten ratkaisujen löytämiseksi selviää tästä tehtävästä täydellisesti. Lineaariset yhtälöt. Lineaaristen yhtälöiden (tai yhtälöjärjestelmien) ratkaisemiseen käytetään käytännössä neljää päämenetelmää. Kuvataan jokainen menetelmä yksityiskohtaisesti. Korvausmenetelmä. Yhtälöiden ratkaiseminen substituutiomenetelmällä edellyttää yhden muuttujan ilmaisemista muiden kanssa. Tämän jälkeen lauseke korvataan järjestelmän muilla yhtälöillä. Tästä johtuu ratkaisumenetelmän nimi, eli muuttujan sijaan sen ilmaisu muiden muuttujien kautta korvataan. Käytännössä menetelmä vaatii monimutkaisia ​​laskelmia, vaikka se on helppo ymmärtää, joten tällaisen yhtälön ratkaiseminen verkossa säästää aikaa ja helpottaa laskelmia. Sinun tarvitsee vain määrittää yhtälössä tuntemattomien lukumäärä ja täyttää tiedot lineaarisista yhtälöistä, sitten palvelu suorittaa laskelman. Gaussin menetelmä. Menetelmä perustuu järjestelmän yksinkertaisimpiin muunnoksiin, jotta päästään vastaavaan kolmiojärjestelmään. Tuntemattomat määritetään yksitellen siitä. Käytännössä tällainen yhtälö on ratkaistava verkossa Yksityiskohtainen kuvaus, jonka ansiosta hallitset hyvin Gaussin menetelmän lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Kirjoita lineaariyhtälöjärjestelmä muistiin oikeaan muotoon ja ota huomioon tuntemattomien lukumäärä järjestelmän oikein ratkaisemiseksi. Cramerin menetelmä. Tämä menetelmä ratkaisee yhtälöjärjestelmät tapauksissa, joissa järjestelmällä on ainoa päätös. Tärkein matemaattinen operaatio tässä on matriisideterminanttien laskenta. Yhtälöiden ratkaisu Cramer-menetelmällä suoritetaan verkossa, saat tuloksen välittömästi täydellisellä ja yksityiskohtaisella kuvauksella. Riittää, kun täytät järjestelmän kertoimilla ja valitset tuntemattomien muuttujien lukumäärän. matriisimenetelmä. Tämä menetelmä koostuu tuntemattomien kertoimet matriisista A, tuntemattomien kertoimet sarakkeesta X ja vapaat termit sarakkeesta B. Siten lineaarinen yhtälöjärjestelmä pelkistetään matriisiyhtälö muotoa AxX=B. Tällä yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu vain, jos matriisin A determinantti on muu kuin nolla, muuten järjestelmällä ei ole ratkaisuja tai ratkaisuja on ääretön määrä. Yhtälöiden ratkaisu matriisimenetelmällä on löytää käänteismatriisi A.

7. luokan matematiikan kurssilla he tapaavat ensimmäisen kerran yhtälöt kahdella muuttujalla, mutta niitä tutkitaan vain yhtälöjärjestelmien yhteydessä, joissa on kaksi tuntematonta. Siksi se on poissa näkyvistä koko rivi ongelmia, joissa tietyt ehdot asetetaan niitä rajoittaville yhtälön kertoimille. Lisäksi ongelmien ratkaisumenetelmät, kuten "Ratkaise yhtälö luonnollisina tai kokonaislukuina", jätetään myös huomiotta, vaikka KÄYTÄ materiaaleja ja pääsykokeissa tällaisia ​​ongelmia kohdataan yhä useammin.

Mitä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on kaksi muuttujaa?

Joten esimerkiksi yhtälöt 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 tai xy = 12 ovat kaksimuuttujayhtälöitä.

Tarkastellaan yhtälöä 2x - y = 1. Se muuttuu todelliseksi yhtälöksi kohdissa x = 2 ja y = 3, joten tämä muuttujaarvopari on ratkaisu tarkasteltavaan yhtälöön.

Siten minkä tahansa yhtälön ratkaisu kahdella muuttujalla on joukko järjestettyjä pareja (x; y), muuttujien arvot, jotka tämä yhtälö muuttaa todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, voi:

a) on yksi ratkaisu. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + 5y 2 = 0 on ainutlaatuinen ratkaisu (0; 0);

b) on useita ratkaisuja. Esimerkiksi (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 sisältää 4 ratkaisua: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

sisään) ei ole ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + y 2 + 1 = 0 ei ole ratkaisuja;

G) ratkaisuja on äärettömän monta. Esimerkiksi x + y = 3. Tämän yhtälön ratkaisut ovat lukuja, joiden summa on 3. Tämän yhtälön ratkaisujoukko voidaan kirjoittaa muodossa (k; 3 - k), missä k on mikä tahansa reaaliluku.

Tärkeimmät menetelmät kahdella muuttujalla olevien yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat menetelmät, jotka perustuvat lausekkeiden jakamiseen tekijöiksi, täysneliön valintaan, toisen asteen yhtälön ominaisuuksien käyttöön, lausekkeiden rajoittuvuuteen ja arviointimenetelmät. Yhtälö muunnetaan pääsääntöisesti muotoon, josta voidaan saada järjestelmä tuntemattomien löytämiseksi.

Faktorisointi

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: xy - 2 = 2x - y.

Päätös.

Ryhmittelemme ehdot factoringia varten:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Ota yhteinen kerroin kustakin suluista:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Meillä on:

y = 2, x on mikä tahansa reaaliluku tai x = -1, y on mikä tahansa reaaliluku.

Täten, vastaus on kaikki muodon (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R parit.

Nolla ei ole negatiivisia lukuja

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Päätös.

Ryhmittely:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nyt jokainen sulku voidaan tiivistää neliöerokaavalla.

(3x - 2) 2 + (2v - 3) 2 = 0.

Kahden ei-negatiivisen lausekkeen summa on nolla vain, jos 3x - 2 = 0 ja 2y - 3 = 0.

Joten x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastaus: (2/3; 3/2).

Arviointimenetelmä

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Päätös.

Valitse jokaisesta hakasulkeesta täysi neliö:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Arvio suluissa olevien ilmaisujen merkitys.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, silloin yhtälön vasen puoli on aina vähintään 2. Tasa-arvo on mahdollinen, jos:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y - 2) 2 + 2 = 2, joten x = -1, y = 2.

Vastaus: (-1; 2).

Tutustutaan toiseen menetelmään yhtälöiden ratkaisemiseksi kahdella toisen asteen muuttujalla. Tämä menetelmä on, että yhtälöä pidetään neliö jonkin muuttujan suhteen.

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Päätös.

Ratkaistaan ​​yhtälö neliöllisenä x:n suhteen. Etsitään diskriminantti:

D = 36-4(y-4√y + 13) = -4y + 16√y-16 = -4(√y-2)2. Yhtälöllä on ratkaisu vain kun D = 0, eli jos y = 4. Korvaamme y:n arvon alkuperäiseen yhtälöön ja huomaamme, että x = 3.

Vastaus: (3; 4).

Usein yhtälöissä kaksi tuntematonta osoittavat muuttujien rajoitukset.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Päätös.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Tuloksena olevan yhtälön oikea puoli, kun se jaetaan 5:llä, antaa jäännöksen 2:sta. Siksi x 2 ei ole jaollinen viidellä. Mutta neliö luku, joka ei ole jaollinen viidellä, antaa jäännöksen 1 tai 4. Näin ollen yhtäläisyys on mahdotonta eikä ratkaisuja ole.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 6

Ratkaise yhtälö: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Päätös.

Valitsemme täydet ruudut kustakin suluista:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Yhtälön vasen puoli on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 3. Tasa-arvo on mahdollinen, jos |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Siten x = ± 2, y = -3.

Vastaus: (2; -3) ja (-2; -3).

Esimerkki 7

Jokaiselle negatiivisten kokonaislukujen (x; y) parille, joka täyttää yhtälön
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, laske summa (x + y). Vastaa pienin summa.

Päätös.

Valitse täydet neliöt:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Koska x ja y ovat kokonaislukuja, myös niiden neliöt ovat kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun neliöiden summa, joka on yhtä suuri kuin 37, saadaan, jos lasketaan yhteen 1 + 36. Siksi:

(x - y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Ratkaisemalla nämä järjestelmät ja ottaen huomioon, että x ja y ovat negatiivisia, löydämme ratkaisut: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastaus: -17.

Älä vaivu epätoivoon, jos sinulla on vaikeuksia ratkaista yhtälöitä kahdella tuntemattomalla. Pienellä harjoituksella pystyt hallitsemaan minkä tahansa yhtälön.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista yhtälöitä kahdella muuttujalla?
Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Ohje

Korvausmenetelmä Ilmaise yksi muuttuja ja korvaa se toisella yhtälöllä. Voit ilmaista minkä tahansa muuttujan, josta haluat. Esitä esimerkiksi "y" toisesta yhtälöstä:
x-y=2 => y=x-2 Liitä sitten kaikki ensimmäiseen yhtälöön:
2x+(x-2)=10 Siirrä kaikki ilman x:tä oikealle ja laske:
2x+x=10+2
3x=12 Seuraavaksi "x:lle, jaa yhtälön molemmat puolet kolmella:
x=4. Olet siis löytänyt "x. Etsi "at. Voit tehdä tämän korvaamalla "x" yhtälöön, josta ilmaisit "y:
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Tee sekki. Voit tehdä tämän korvaamalla saadut arvot yhtälöihin:
2*4+2=10
4-2=2
Tuntematon löytyi oikein!

Yhtälöiden lisääminen tai vähentäminen Päästä eroon kaikista muuttujista kerralla. Meidän tapauksessamme tämä on helpompi tehdä "y.
Koska "y":ssä on "+" ja toisessa "-", voit suorittaa summaustoiminnon, ts. Lisäämme vasemman puolen vasemmalle ja oikean puolen oikealle:
2x+y+(x-y)=10+2Muunna:
2x+y+x-y=10+2
3x = 12
x=4 Korvaa "x" mihin tahansa yhtälöön ja etsi "y:
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2 Ensimmäisen menetelmän mukaan voit löytää sen, mitä löysit oikein.

Jos selkeästi määriteltyjä muuttujia ei ole, yhtälöitä on muutettava hieman.
Ensimmäisessä yhtälössä on "2x" ja toisessa vain "x". Jotta summa tai "x" pienenee, kerro toinen yhtälö kahdella:
x-y = 2
2x-2y=4 Vähennä sitten toinen yhtälö ensimmäisestä yhtälöstä:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3v = 6
etsi y \u003d 2 "x ilmaisemalla mistä tahansa yhtälöstä, ts.
x=4

Liittyvät videot

Vihje 2: Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla

Yhtälö, joka on kirjoitettu yleisessä muodossa ax + by + c \u003d 0, kutsutaan lineaariseksi yhtälöksi kahdella muuttujia. Tällainen yhtälö itsessään sisältää äärettömän määrän ratkaisuja, joten ongelmissa sitä täydennetään aina jollakin - yhdellä yhtälöllä tai rajoittavilla ehdoilla. Riippuen tehtävän tarjoamista ehdoista, ratkaise lineaarinen yhtälö kahdella muuttujia pitäisi eri tavoilla.

Tarvitset

• - lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla;
• - toinen yhtälö tai lisäehdot.

Ohje

Kun on annettu kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä, ratkaise se seuraavasti. Valitse yksi yhtälöistä, jossa kertoimet ovat ennen muuttujia pienempi ja ilmaista jokin muuttujista, esimerkiksi x. Liitä sitten y:n sisältävä arvo toiseen yhtälöön. Tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja y, siirrä kaikki osat y:llä vasemmalle ja vapaat oikealle. Etsi y ja korvaa se missä tahansa alkuperäisessä yhtälössä, etsi x.

On toinenkin tapa ratkaista kahden yhtälön järjestelmä. Kerro toinen yhtälöistä luvulla niin, että kerroin yhden muuttujan edessä, esimerkiksi x:n edessä, on sama molemmissa yhtälöissä. Vähennä sitten toinen yhtälöistä toisesta (jos oikea puoli ei ole 0, muista vähentää oikea puoli samalla tavalla). Näet, että x-muuttuja on kadonnut ja vain yksi y on jäljellä. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö ja korvaa löydetty y:n arvo jollakin alkuperäisestä yhtälöstä. Etsi x.

Kolmas tapa ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä on graafinen. Piirrä koordinaattijärjestelmä ja piirrä kaaviot kahdesta suorasta, joiden yhtälöt näkyvät järjestelmässäsi. Korvaa tätä varten yhtälön mitkä tahansa kaksi x-arvoa ja etsi vastaava y - nämä ovat linjaan kuuluvien pisteiden koordinaatit. On kätevintä löytää leikkauspiste koordinaattiakseleiden kanssa - korvaa vain arvot x=0 ja y=0. Näiden kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit ovat tehtäviä.

Jos ongelman ehdoissa on vain yksi lineaarinen yhtälö, sinulle annetaan lisäehtoja, joiden ansiosta voit löytää ratkaisun. Lue ongelma huolellisesti löytääksesi nämä ehdot. Jos muuttujia x ja y ovat etäisyys, nopeus, paino - voit asettaa rajat x≥0 ja y≥0. On täysin mahdollista, että x tai y piilottaa numeron , omenat jne. – silloin arvot voivat olla vain . Jos x on pojan ikä, on selvää, ettei hän voi olla vanhempi kuin isä, joten määritä se tehtävän ehdoissa.

Lähteet:

• kuinka ratkaista yhtälö yhdellä muuttujalla

Itsestään yhtälö kolmen kanssa tuntematon on monia ratkaisuja, joten useimmiten sitä täydennetään kahdella muulla yhtälöllä tai ehdolla. Riippuen siitä, mitkä ovat lähtötiedot, päätöksen kulku riippuu suurelta osin.

Tarvitset

• - kolmen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta.

Ohje

Jos kahdessa kolmesta järjestelmästä on vain kaksi kolmesta tuntemattomasta, kokeile ilmaista jotkin muuttujat muiden termein ja kytkeä ne yhtälö kolmen kanssa tuntematon. Tavoitteesi tällä on muuttaa se normaaliksi yhtälö tuntemattoman kanssa. Jos tämä on , jatkoratkaisu on melko yksinkertainen - korvaa löydetty arvo muilla yhtälöillä ja etsi kaikki muut tuntemattomat.

Jotkut yhtälöjärjestelmät voidaan vähentää yhtälöstä toisella. Katso, onko mahdollista kertoa yksi arvosta tai muuttuja niin, että kaksi tuntematonta pienenee kerralla. Jos tällainen mahdollisuus on, käytä sitä todennäköisesti, myöhempi päätös ei ole vaikeaa. Älä unohda, että kun kerrot numerolla, sinun on kerrottava sekä vasen puoli että oikea puoli. Samoin kun vähennät yhtälöitä, muista, että myös oikea puoli on vähennettävä.

Jos edelliset menetelmät eivät auttaneet, käytä yleisellä tavalla minkä tahansa yhtälön ratkaisut kolmella tuntematon. Kirjoita yhtälöt uudelleen muotoon a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Tee nyt kertoimien matriisi kohdassa x (A), tuntemattomien matriisi (X) ja vapaiden matriisi (B). Kiinnitä huomiota, kertomalla kertoimien matriisi tuntemattomien matriisilla, saat matriisin, vapaiden jäsenten matriisin, eli A * X \u003d B.

Etsi matriisi A potenssille (-1), kun olet löytänyt , huomioi, että sen ei pitäisi olla yhtä suuri kuin nolla. Sen jälkeen kerrotaan saatu matriisi matriisilla B, jolloin saadaan haluttu matriisi X, joka ilmaisee kaikki arvot.

Voit myös löytää ratkaisun kolmen yhtälön järjestelmään käyttämällä Cramer-menetelmää. Tätä varten etsitään järjestelmän matriisia vastaava kolmannen kertaluvun determinantti ∆. Etsi sitten peräkkäin kolme muuta determinanttia ∆1, ∆2 ja ∆3 korvaamalla vapaiden termien arvot vastaavien sarakkeiden arvojen sijaan. Etsi nyt x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Lähteet:

• yhtälöiden ratkaisut kolmella tuntemattomalla

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen on monimutkaista ja jännittävää. Mitä monimutkaisempi järjestelmä, sitä mielenkiintoisempaa se on ratkaista. Useimmiten matematiikassa lukio on yhtälöjärjestelmiä, joissa on kaksi tuntematonta, mutta korkeammassa matematiikassa muuttujia voi olla enemmän. Järjestelmät voidaan ratkaista monella tapaa.

Ohje

Yleisin tapa yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi on substituutio. Tätä varten sinun on ilmaistava yksi muuttuja toisella ja korvattava se toisella yhtälö järjestelmät, mikä tuo yhtälö yhteen muuttujaan. Esimerkiksi yhtälöillä: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

On kätevää ilmaista yksi muuttujista toisesta lausekkeesta siirtämällä kaikki muu lausekkeen oikealle puolelle, unohtamatta muuttaa kertoimen etumerkkiä: x = 3-y.

Avaamme sulut: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Tuloksena oleva y:n arvo korvataan lausekkeella: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

Ensimmäisessä lausekkeessa kaikki jäsenet ovat 2, voit ottaa 2 hakasulkeesta kertolaskuominaisuuteen: 2 * (2x-y-3) = 0. Nyt molempia lausekkeen osia voidaan pienentää tällä numerolla ja ilmaista sitten y, koska sen modulokerroin on yhtä suuri: -y \u003d 3-2x tai y \u003d 2x-3.

Aivan kuten ensimmäisessä tapauksessa, korvaamme tämän lausekkeen toisella yhtälö ja saamme: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Korvaa tuloksena oleva arvo lausekkeeseen: y=2x-3;y=4-3=1.

Näemme, että kerroin y:ssä on sama arvo, mutta eri etumerkillä, joten jos lisäämme nämä yhtälöt, pääsemme täysin eroon y:stä: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x=2. Korvaamme x:n arvon mihin tahansa järjestelmän kahdesta yhtälöstä ja saamme y=1.

Liittyvät videot

Bisquare yhtälö edustaa yhtälö neljäs aste yleinen muoto jota edustaa lauseke ax^4 + bx^2 + c = 0. Sen ratkaisu perustuu tuntemattomien substituutiomenetelmän käyttöön. Tässä tapauksessa x^2 korvataan toisella muuttujalla. Näin ollen tuloksena on tavallinen neliö yhtälö, joka on ratkaistava.

Ohje

Ratkaise neliö yhtälö vaihdon seurauksena. Tätä varten laske ensin arvo kaavan mukaan: D = b^2 ? 4ac. Tässä tapauksessa muuttujat a, b, c ovat yhtälömme kertoimia.

Etsi bikvadraattisen yhtälön juuret. Ota tätä varten saatujen ratkaisujen neliöjuuri. Jos oli yksi päätös, niin on kaksi - positiivinen ja negatiivinen merkitys neliöjuuri. Jos ratkaisuja olisi kaksi, bikvadraattisella yhtälöllä olisi neljä juuria.

Liittyvät videot

Yksi klassisia tapoja Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen on Gaussin menetelmä. Se koostuu muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta, kun yhtälöjärjestelmä muunnetaan yksinkertaisten muunnosten avulla askeljärjestelmäksi, josta kaikki muuttujat löydetään peräkkäin viimeisistä alkaen.

Ohje

Ensin vie yhtälöjärjestelmä sellaiseen muotoon, kun kaikki tuntemattomat ovat tiukasti määritellyssä järjestyksessä. Esimerkiksi kaikki tuntemattomat X:t tulevat ensimmäiseksi jokaisella rivillä, kaikki Y:t tulevat X:n jälkeen, kaikki Z:t tulevat Y:n jälkeen ja niin edelleen. Jokaisen yhtälön oikealla puolella ei saa olla tuntemattomia. Määritä henkisesti kertoimet jokaisen tuntemattoman edessä sekä kertoimet kunkin yhtälön oikealla puolella.

Tässä videossa analysoimme koko sarjan lineaarisia yhtälöitä, jotka ratkaistaan ​​samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Aluksi määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja mitä niistä pitäisi kutsua yksinkertaisimmaksi?

Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:

1. Avoimet sulut, jos sellaisia ​​on;
2. Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
3. Tuo samat termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
4. Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.

Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

1. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan. Esimerkiksi kun saat jotain $0\cdot x=8$, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on nollasta poikkeava luku. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
2. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, jolloin tämä on mahdollista, on, kun yhtälö on pelkistetty konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä suuri kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.

Ja nyt katsotaan kuinka se kaikki toimii todellisten ongelmien esimerkissä.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä, ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan ​​suunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on avattava mahdolliset sulut (kuten viimeisessä esimerkissämme);
2. Tuo sitten samanlainen
3. Lopuksi eristetään muuttuja, ts. kaikki muuttujaan liittyvä - sen sisältämät ehdot - siirretään toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, siirretään toiselle puolelle.

Sitten pääsääntöisesti sinun on tuotava samanlainen tuloksena olevan tasa-arvon kummallekin puolelle, ja sen jälkeen jää vain jakaa kertoimella kohdassa "x", ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää mukavalta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Yleensä virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.

Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai niin, että ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Analysoimme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, suurimmasta yksinkertaisia ​​tehtäviä.

Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Aluksi haluan kirjoittaa vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Laajenna mahdolliset sulkeet.
2. Eristä muuttujat, ts. kaikki, mikä sisältää "x":n, siirretään toiselle puolelle ja ilman x:tä - toiselle.
3. Esittelemme samanlaisia ​​termejä.
4. Jaamme kaiken kertoimella "x".

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, sillä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.

Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Tehtävä 1

Ensimmäisessä vaiheessa meidän on avattava kiinnikkeet. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomautus: me puhumme vain yksittäisistä komponenteista. Kirjoitetaan:

Annamme samanlaiset ehdot vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tässä saimme vastauksen.

Tehtävä #2

Tässä tehtävässä voimme tarkkailla sulkuja, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman konstruktion, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. Sequester muuttujat:

Tässä muutamia kuten:

Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.

Tehtävä nro 3

Kolmas lineaarinen yhtälö on jo mielenkiintoisempi:

\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]

Tässä on muutamia sulkeita, mutta niitä ei kerrota millään, vain niiden edessä erilaisia ​​merkkejä. Puretaan ne:

Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lasketaan:

Suoritamme viimeisen vaiheen - jaamme kaiken kertoimella "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä

Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:

• Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
• Vaikka juuret olisivat, nolla voi päästä niiden joukkoon - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama luku kuin muut, sinun ei pitäisi jotenkin syrjiä sitä tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy sulkeiden laajentamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa muutamme merkit vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen standardialgoritmien mukaan: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän ymmärtäminen yksinkertainen tosiasia estää sinua tekemästä typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisten asioiden tekeminen on itsestäänselvyys.

Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Siirrytään monimutkaisempiin yhtälöihin. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja erilaisia ​​muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Sinun ei kuitenkaan pitäisi pelätä tätä, koska jos ratkaisemme kirjoittajan tarkoituksen mukaisesti lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessissa kaikki monomit, jotka sisältävät toisen asteen funktion, pelkistyvät välttämättä.

Esimerkki #1

On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:

Otetaan nyt yksityisyys:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tässä muutamia kuten:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten vastauksessa kirjoitamme seuraavasti:

\[\lajike \]

tai ei juuria.

Esimerkki #2

Suoritamme samat vaiheet. Ensimmäinen askel:

Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:

Tässä muutamia kuten:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:

\[\varnothing\],

tai ei juuria.

Ratkaisun vivahteet

Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näiden kahden lausekkeen esimerkissä varmistimme jälleen kerran, että jopa yksinkertaisimmissa lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei voi olla niin yksinkertaista: niitä voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, molemmissa ei yksinkertaisesti ole juuria.

Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä sulujen kanssa ja kuinka ne avataan, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:

Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "x":llä. Huomaa: kerro jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrotaan.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voidaan sulku avata siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset on tehty, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alaspäin vain vaihtaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.

Teemme saman toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina alkeismuunnosten sarja, jossa kyvyttömyys tehdä selkeästi ja pätevästi yksinkertaisia ​​​​toimintoja johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat ratkaisemaan niin yksinkertaisia ​​yhtälöitä uudelleen.

Tietysti tulee päivä, jolloin hioat nämä taidot automatismiin. Sinun ei enää tarvitse tehdä niin monia muunnoksia joka kerta, kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.

Tehtävä 1

\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21((x)^(2))=3\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään retriitti:

Tässä muutamia kuten:

Tehdään viimeinen vaihe:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kuitenkin kumosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä täsmälleen lineaarisen, ei neliön.

Tehtävä #2

\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]

Tehdään ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerrotaan jokainen ensimmäisen sulussa oleva elementti jokaisella toisen elementillä. Yhteensä neljä uutta termiä tulisi saada muunnosten jälkeen:

Ja nyt suorita kertolasku huolellisesti jokaisessa termissä:

Siirretään termit "x":n kanssa vasemmalle ja ilman - oikealle:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Olemme saaneet lopullisen vastauksen.

Ratkaisun vivahteet

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on seuraava: heti kun alamme kertoa hakasulkeet, joissa on sitä suurempi termi, niin tämä tehdään seuraava sääntö: otamme ensimmäisen termin ensimmäisestä ja kerromme jokaisella elementillä toisesta; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tuloksena saamme neljä termiä.

Algebrallisella summalla

Viimeisellä esimerkillä haluaisin muistuttaa oppilaita, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennämme seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Tämä algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvattujen rakenteita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi katsotaan vielä muutama esimerkki, jotka ovat vieläkin monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvulla

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi algoritmiimme on lisättävä vielä yksi vaihe. Mutta ensin muistutan algoritmimme:

1. Avaa kiinnikkeet.
2. Erilliset muuttujat.
3. Tuo samanlainen.
4. Jaa kertoimella.

Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan ​​huolimatta ei ole täysin sopiva, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, molemmissa yhtälöissä on murto-osa vasemmalla ja oikealla.

Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan suorittaa sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin päästä eroon murtoluvuista. Algoritmi on siis seuraava:

1. Päästä eroon murtoluvuista.
2. Avaa kiinnikkeet.
3. Erilliset muuttujat.
4. Tuo samanlainen.
5. Jaa kertoimella.

Mitä tarkoittaa "päästä eroon murtoluvuista"? Ja miksi tämä on mahdollista tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat numeerisia nimittäjän suhteen, ts. kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat osat tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.

Esimerkki #1

\[\frac(\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea))(4)=((x)^(2))-1\]

Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi hakasulkua, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa niistä jokainen "neljällä". Kirjoitetaan:

\[\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea)=\vasen(((x)^(2))-1 \oikea)\cdot 4\]

Nyt avataan:

Suoritamme muuttujan eristämisen:

Suoritamme vastaavien ehtojen vähentämisen:

\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrymme toiseen yhtälöön.

Esimerkki #2

\[\frac(\vasen(1-x \oikea)\vasen(1+5x \oikea))(5)+((x)^(2))=1\]

Täällä teemme kaikki samat toiminnot:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ongelma ratkaistu.

Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa tänään.

Avainkohdat

Tärkeimmät havainnot ovat seuraavat:

• Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
• Kyky avata kiinnikkeitä.
• Älä huoli, jos sinulla on toisen asteen funktioita jossain, todennäköisimmin lisämuunnosprosessissa niitä pienennetään.
• Lineaaristen yhtälöiden juuret, jopa yksinkertaisimmat, ovat kolmenlaisia: yksi juuri, koko lukuviiva on juuri, juuria ei ole ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, sinua odottaa paljon muuta mielenkiintoista!