Kaltevuuskulman tangenttia kutsutaan. Kuinka löytää rinne

Funktion derivaatta on yksi vaikeita aiheita koulun opetussuunnitelmassa. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisesti ja selkeästi, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen esityksen tarkkuuteen. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeimmin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Hänellä on eniten suuri nopeus muutokset eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Näet kaikki kartalla heti, eikö niin? Kostjan tulot ovat yli kaksinkertaistuneet kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matthew'n tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus, ts. johdannainen, - erilainen. Mitä tulee Matveyn tuloihin, hänen tulonsa johdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti voimme helposti arvioida funktion muutosnopeuden. Mutta miten teemme sen?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kaavio nousee (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n kanssa. Ilmeisesti sama toiminto voi olla eri kohdissa eri merkitys johdannainen - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Toiminnon derivaatta on merkitty .

Näytetään kuinka löytää kaavion avulla.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Ota piste siihen abskissalla. Piirrä tangentti funktion kuvaajalle tässä kohdassa. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee. Kätevä arvo tälle on tangentin kaltevuuden tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on sama kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti kyseisessä pisteessä.

Huomaa - tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on ainoa yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään . Muistamme, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan käyttämällä kuvaajaa tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​tehtäviä löytyy usein matematiikan kokeesta numeron alla.

On toinenkin tärkeä korrelaatio. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistetaan tämä kaava. Hän ilmaisee geometrinen tunne johdannainen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangentin kulman tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla voi olla eri derivaatat eri kohdissa. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla, pienentyä toisilla ja kanssa eri nopeus. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Kuvaajan tangentti, joka on piirretty pisteeseen, muodostaa terävän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Joten derivaatta on positiivinen kohdassa.

Tällä hetkellä toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Ja mitä tapahtuu maksimi- ja vähimmäispisteissä? Näemme, että (maksimipisteessä) ja (minimipisteessä) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin kaltevuuden tangentti näissä pisteissä nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste on maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan etumerkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös yhtä suuri kuin nolla, mutta sen etumerkki muuttuu "miinuksesta" "plussiksi".

Johtopäätös: derivaatan avulla saat selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio on laskeva.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen.

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja muuttaa etumerkin miinuksesta plussaksi.

Kirjoitamme nämä havainnot taulukon muodossa:

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

Tapaus on mahdollinen, kun funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä pisteessä maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se on pysynyt positiivisena sellaisenaan.

Sattuu myös niin, että maksimi- tai minimipisteessä derivaatta ei ole olemassa. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Mutta kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee

Tason suoran yhtälön aiheen jatko perustuu suoran tutkimiseen algebran oppitunneista. Tämä artikkeli antaa yleistä tietoa suoran ja kaltevuuden yhtälöstä. Harkitse määritelmiä, hanki itse yhtälö, paljasta suhde muiden yhtälöiden kanssa. Kaikesta keskustellaan esimerkkien avulla ongelmanratkaisusta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen tällaisen yhtälön kirjoittamista on tarpeen määrittää suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden niiden kaltevuuden kanssa. Oletetaan, että tasossa on annettu suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x.

Määritelmä 1

Suoran viivan kaltevuuskulma akseliin O x, joka sijaitsee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y tasossa, tämä on kulma, joka mitataan positiivisesta suunnasta O x vastapäivään olevaan suoraan.

Kun suora on yhdensuuntainen Oxin kanssa tai siinä esiintyy sattuma, kaltevuuskulma on 0. Sitten välissä [0, π) määritetään annetun suoran kaltevuuskulma α.

Määritelmä 2

Suoran viivan kaltevuus on annetun suoran kaltevuuden tangentti.

Vakiomerkintä on k. Määritelmästä saadaan, että k = t g α . Kun viiva on yhdensuuntainen, he sanovat sen kaltevuus ei ole olemassa, koska se ulottuu äärettömyyteen.

Kulmakerroin on positiivinen, kun funktion kuvaaja kasvaa ja päinvastoin. Kuvassa näkyy erilaisia ​​sijainnin muunnelmia oikea kulma suhteessa koordinaattijärjestelmään kertoimen arvolla.

Tämän kulman löytämiseksi on tarpeen soveltaa kaltevuuskertoimen määritelmää ja laskea kaltevuuskulman tangentti tasossa.

Päätös

Ehdosta saamme, että α = 120 °. Määritelmän mukaan sinun on laskettava kaltevuus. Etsitään se kaavasta k = t g α = 120 = - 3 .

Vastaus: k = -3 .

Jos kulmakerroin tunnetaan, mutta on tarpeen löytää kaltevuuskulma x-akseliin nähden, kulmakertoimen arvo tulee ottaa huomioon. Jos k > 0, niin suora kulma on terävä ja se saadaan kaavasta α = a r c t g k . Jos k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Esimerkki 2

Määritä annetun suoran kaltevuuskulma suhteessa O x:ään, jonka kaltevuus on 3.

Päätös

Ehdolla on, että kaltevuus on positiivinen, mikä tarkoittaa, että kaltevuuskulma O x:ään nähden on alle 90 astetta. Laskelmat tehdään kaavan α = a r c t g k = a r c t g 3 mukaisesti.

Vastaus: α = a r c t g 3 .

Esimerkki 3

Etsi suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, jos kaltevuus = - 1 3 .

Päätös

Jos otamme kaltevuuden merkinnäksi kirjaimen k, niin α on kaltevuuskulma annettuun suoraan nähden positiivisessa suunnassa O x. Tästä syystä k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Vastaus: 5 pi 6.

Yhtälöä, jonka muoto on y \u003d k x + b, jossa k on kaltevuus ja b on jokin reaaliluku, kutsutaan yhtälöksi suorasta ja kaltevasta viivasta. Yhtälö on tyypillinen mille tahansa suoralle, joka ei ole yhdensuuntainen O y -akselin kanssa.

Jos tarkastelemme yksityiskohtaisesti suoraa tasossa kiinteässä koordinaattijärjestelmässä, joka saadaan yhtälöllä, jonka kaltevuus näyttää y = k · x + b . Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että minkä tahansa suoran pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä. Jos korvaamme pisteen M koordinaatit M 1 (x 1, y 1) yhtälöön y \u003d k x + b, niin tässä tapauksessa suora kulkee tämän pisteen läpi, muuten piste ei kuulu linja.

Esimerkki 4

Annettu suora kaltevuus y = 1 3 x - 1 . Laske, kuuluvatko pisteet M 1 (3 , 0) ja M 2 (2 , - 2) annettuun suoraan.

Päätös

On tarpeen korvata pisteen M 1 (3, 0) koordinaatit annettuun yhtälöön, jolloin saadaan 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Tasa-arvo on totta, joten piste kuuluu riville.

Jos korvaamme pisteen M 2 (2, - 2) koordinaatit, saadaan virheellinen yhtälö muotoon - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Voimme päätellä, että piste M 2 ei kuulu suoralle.

Vastaus: M 1 kuuluu riville, mutta M 2 ei.

Tiedetään, että suora määritellään yhtälöllä y = k · x + b, joka kulkee M 1 (0 , b) :n kautta, substituutiolla saatiin yhtälö muotoa b = k · 0 + b ⇔ b = b . Tästä voidaan päätellä, että tasaisen suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = k · x + b, määrittää suoran, joka kulkee pisteen 0, b kautta. Se muodostaa kulman α O x -akselin positiivisen suunnan kanssa, missä k = t g α .

Tarkastellaan esimerkiksi suoraa, joka on määritelty käyttämällä muotoa y = 3 · x - 1 annettua kaltevuutta. Saadaan, että suora kulkee pisteen, jonka koordinaatti on 0, - 1, kaltevuus α = a r c t g 3 = π 3 radiaania O x -akselin positiivisessa suunnassa. Tästä voidaan nähdä, että kerroin on 3.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

On tarpeen ratkaista tehtävä, jossa on tarpeen saada yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta.

Yhtälöä y 1 = k · x + b voidaan pitää pätevänä, koska suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1) kautta. Numeron b poistamiseksi on vähennettävä yhtälö kaltevuuskertoimella vasemmalta ja oikealta puolelta. Tästä seuraa, että y - y 1 = k · (x - x 1) . Tätä yhtälöä kutsutaan pisteen M 1 (x 1, y 1) koordinaattien kautta kulkevan suoran yhtälöksi, jolla on tietty kaltevuus k.

Esimerkki 5

Muodosta yhtälö pisteen M 1 läpi kulkevasta suorasta koordinaateista (4, - 1), jonka kaltevuus on -2.

Päätös

Ehdolla meillä on x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Tästä eteenpäin suoran yhtälö kirjoitetaan näin y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Vastaus: y = -2 x + 7.

Esimerkki 6

Kirjoita yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 läpi koordinaattein (3, 5) yhdensuuntaisina suoran y \u003d 2 x - 2 kanssa.

Päätös

Ehdolla meillä on, että yhdensuuntaisilla viivoilla on yhtenevät kaltevuuskulmat, joten kaltevuuskertoimet ovat yhtä suuret. Löytääksesi rinteen annettu yhtälö, on tarpeen muistaa sen peruskaava y = 2 x - 2, joten tästä seuraa, että k = 2 . Muodostamme yhtälön kaltevuuskertoimella ja saamme:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Vastaus: y = 2 x - 1 .

Siirtyminen kaltevan suoran yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Tällaista yhtälöä ei aina voida soveltaa ongelmien ratkaisemiseen, koska sen merkintätapa ei ole kovin kätevä. Tätä varten se on esitettävä eri muodossa. Esimerkiksi yhtälö, jonka muoto on y = k · x + b, ei salli suoran suuntavektorin tai normaalivektorin koordinaattien kirjoittamista. Tätä varten sinun on opittava esittämään erilaisia ​​yhtälöitä.

Voimme saada kanoninen yhtälö suora tasossa käyttämällä yhtälöä suora ja kaltevuus. Saamme x - x 1 a x = y - y 1 a y . On tarpeen siirtää termiä b vasemmalle puolelle ja jakaa saadun epäyhtälön lausekkeella. Sitten saadaan yhtälö muotoa y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Suoran ja kaltevuuden yhtälöstä on tullut tietyn suoran kanoninen yhtälö.

Esimerkki 7

Tuo suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = - 3 x + 12, kanoniseen muotoon.

Päätös

Laskemme ja edustamme suoran kanonisen yhtälön muodossa. Saamme muodon yhtälön:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Vastaus: x 1 = y - 12 - 3.

Suoran yleinen yhtälö on helpoin saada kaavasta y = k x + b, mutta tämä vaatii muunnoksia: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Siirto tehdään yleinen yhtälö suoraan toisenlaisiin yhtälöihin.

Esimerkki 8

On annettu yhtälö muotoa y = 1 7 x - 2 olevasta suorasta. Selvitä, onko vektori, jonka koordinaatit a → = (- 1 , 7), normaali suoravektori?

Päätös

Sen ratkaisemiseksi on vaihdettava tämän yhtälön toiseen muotoon, tätä varten kirjoitamme:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Muuttujien edessä olevat kertoimet ovat suoran normaalivektorin koordinaatit. Kirjoitetaan se näin n → = 1 7 , - 1 , joten 1 7 x - y - 2 = 0 . On selvää, että vektori a → = (- 1 , 7) on kollineaarinen vektorin n → = 1 7, - 1 kanssa, koska meillä on reilu relaatio a → = - 7 · n → . Tästä seuraa, että alkuperäinen vektori a → = - 1 , 7 on suoran 1 7 x - y - 2 = 0 normaalivektori , mikä tarkoittaa , että sitä pidetään normaalivektorina suoralle y = 1 7 x - 2 .

Vastaus: On

Ratkaistaan ​​ongelma käänteisesti tälle.

On tarpeen siirtyä yhtälön A x + B y + C = 0 yleisestä muodosta, jossa B ≠ 0, yhtälöön, jossa on kaltevuus. Tätä varten ratkaisemme yhtälön y:lle. Saamme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Tuloksena on yhtälö, jonka kaltevuus on -A B .

Esimerkki 9

On annettu yhtälö muotoa 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hanki yhtälö tietylle suoralle, jolla on kaltevuus.

Päätös

Ehdon perusteella on ratkaistava y, jolloin saadaan yhtälö muotoa:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Vastaus: y = 1 6 x + 1 4 .

Samalla tavalla ratkaistaan ​​yhtälö, jonka muoto on x a + y b \u003d 1, jota kutsutaan suoran yhtälöksi segmenteissä tai kanonisessa muodossa x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Se on ratkaistava y:n suhteen, vasta sitten saadaan yhtälö, jolla on kaltevuus:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanoninen yhtälö voidaan pelkistää muotoon, jossa on kaltevuus. Tätä varten:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

Esimerkki 10

On olemassa yhtälön x 2 + y - 3 = 1 antama suora viiva. Muodosta yhtälö, jossa on kaltevuus.

Päätös.

Ehdon perusteella on muunnettava, jolloin saadaan yhtälö muotoa _kaava_. Yhtälön molemmat puolet tulee kertoa -3:lla, jotta saadaan vaadittu kaltevuusyhtälö. Muuntamalla saamme:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Vastaus: y = 3 2 x - 3.

Esimerkki 11

Muodon x - 2 2 \u003d y + 1 5 suora yhtälö tuodaan muotoon, jossa on kaltevuus.

Päätös

On tarpeen laskea lauseke x - 2 2 = y + 1 5 suhteessa. Saamme, että 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nyt sinun on otettava se käyttöön kokonaan tätä varten:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Vastaus: y = 5 2 x - 6 .

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi suoran muodon x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametriset yhtälöt tulisi pelkistää suoran kanoniseen yhtälöön, vasta sen jälkeen voit siirtyä yhtälö kaltevuuden kanssa.

Esimerkki 12

Laske suoran kaltevuus, jos se on annettu parametriyhtälöillä x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Päätös

Sinun on siirryttävä parametrinäkymästä kaltevuustilaan. Tätä varten löydämme kanonisen yhtälön annetusta parametrisesta yhtälöstä:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nyt on tarpeen ratkaista tämä yhtälö y:n suhteen, jotta saadaan yhtälö suorasta kulmasta. Tätä varten kirjoitamme näin:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Tästä seuraa, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin 2. Tämä kirjoitetaan muodossa k = 2 .

Vastaus: k = 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Sertifiointikokeen aiheelle "Tangentin kulmakerroin kaltevuuskulman tangenttina" annetaan useita tehtäviä kerralla. Tilastaan ​​riippuen valmistuja voidaan vaatia antamaan sekä täydellinen että lyhyt vastaus. Valmistelussa kokeen läpäiseminen matematiikassa opiskelijan tulee ehdottomasti toistaa tehtävät, joissa tangentin kaltevuus on laskettava.

Tämän tekeminen auttaa sinua koulutusportaali"Shkolkovo". Asiantuntijamme ovat laatineet ja esittäneet teoreettisen ja käytännön materiaalin mahdollisimman helposti saatavilla. Kun olet tutustunut siihen, minkä tahansa koulutustason valmistuneet pystyvät ratkaisemaan menestyksekkäästi johdannaisiin liittyviä ongelmia, joissa on löydettävä tangentin kulman tangentti.

Perushetkiä

Sinun on muistettava löytääksesi oikean ja järkevän ratkaisun tällaisiin tehtäviin kokeessa perusmääritelmä: derivaatta on funktion muutosnopeus; se on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti tietyssä pisteessä. Yhtä tärkeää on saada piirustus valmiiksi. Sen avulla voit löytää oikea ratkaisu KÄYTÄ derivaatan tehtäviä, joissa täytyy laskea tangentin kulman tangentti. Selvyyden vuoksi on parasta piirtää kuvaaja OXY-tasolle.

Jos olet jo perehtynyt derivaatan aiheeseen liittyvään perusmateriaaliin ja olet valmis aloittamaan ongelmien ratkaisemisen tangentin kaltevuuskulman tangentin laskemiseksi, samanlainen kuin KÄYTÄ tehtäviä voit tehdä sen verkossa. Jokaiseen tehtävään, esimerkiksi tehtäviä aiheesta "Dirivaatan suhde kehon nopeuteen ja kiihtyvyyteen", kirjoitimme oikean vastauksen ja ratkaisualgoritmin. Tällöin opiskelijat voivat harjoitella tehtävien suorittamista. eri tasoilla vaikeuksia. Harjoituksen voi tarvittaessa tallentaa "Suosikit"-osioon, jolloin voit myöhemmin keskustella päätöksestä opettajan kanssa.

Suora y \u003d f (x) on tangentti kuvassa näkyvälle kuvaajalle pisteessä x0, jos se kulkee koordinaattipisteen (x0; f (x0)) läpi ja sen kaltevuus on f "(x0). Etsi. tällainen kerroin, kun tiedetään tangentin ominaisuudet, se ei ole vaikeaa.

Tarvitset

• - matemaattinen hakuteos;
• - yksinkertainen lyijykynä;
• - muistikirja;
• - astelevy;
• - kompassi;
• - kynä.

Ohje

Jos arvoa f’(x0) ei ole olemassa, joko tangenttia ei ole tai se kulkee pystysuunnassa. Tämän huomioon ottaen funktion derivaatan esiintyminen pisteessä x0 johtuu ei-pystysuoran tangentin olemassaolosta, joka on kosketuksessa funktion kuvaajaan pisteessä (x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x0). Näin ollen derivaatan geometrinen merkitys tulee selväksi - tangentin kaltevuuden laskenta.

Piirrä lisätangentit, jotka olisivat kosketuksessa funktiokaavion kanssa pisteissä x1, x2 ja x3, ja merkitse myös näiden tangenttien muodostamat kulmat abskissa-akselilla (sellainen kulma lasketaan positiivisessa suunnassa akselista tangenttiin linja). Esimerkiksi kulma, eli α1, on terävä, toinen (α2) on tylppä ja kolmas (α3) on nolla, koska tangenttiviiva on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa. Tässä tapauksessa tylpän kulman tangentti on negatiivinen, terävän kulman tangentti on positiivinen ja tg0:lla tulos on nolla.

Huomautus

Määritä tangentin muodostama kulma oikein. Käytä tätä varten astelevyä.

Hyödyllinen neuvo

Kaksi vinoa viivaa ovat yhdensuuntaisia, jos niiden kaltevuus on yhtä suuri. kohtisuorassa, jos näiden tangenttien kaltevuuden tulo on -1.

Lähteet:

• Funktiokaavion tangentti

Kosini, kuten sini, kutsutaan "suoriksi" trigonometrisiksi funktioiksi. Tangentti (yhdessä kotangentin kanssa) lisätään toiseen pariin, jota kutsutaan "johdannaisiksi". Näille funktioille on olemassa useita määritelmiä, joiden avulla on mahdollista löytää tangentin antama tunnettu arvo saman arvon kosini.

Ohje

Vähennä osamäärä yksiköstä arvoon korotetulla annetun kulman kosinilla ja ota tuloksesta neliöjuuri - tämä on kulman tangentin arvo ilmaistuna sen kosinina: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Kiinnitä samalla huomiota siihen, että kaavassa kosini on murtoluvun nimittäjässä. Nollalla jakamisen mahdottomuus sulkee pois tämän lausekkeen käytön kulmille, jotka ovat yhtä suuria kuin 90°, sekä poikkeamisen tästä arvosta 180°:n kerrannaisilla (270°, 450°, -90° jne.).

On myös vaihtoehtoinen tapa tangentin laskeminen kosinin tunnetusta arvosta. Sitä voidaan käyttää, jos muiden käyttöä ei rajoiteta. Tämän menetelmän toteuttamiseksi määritä ensin kulman arvo tunnetusta kosiniarvosta - tämä voidaan tehdä arkosiinifunktiolla. Laske sitten yksinkertaisesti saadun arvon kulman tangentti. AT yleisnäkymä tämä algoritmi voidaan kirjoittaa seuraavasti: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

On myös eksoottinen vaihtoehto, jossa käytetään kosinin ja tangentin läpi terävät kulmat suorakulmainen kolmio. Tässä määritelmässä kosini vastaa tarkasteltavan kulman vieressä olevan jalan pituuden suhdetta hypotenuusan pituuteen. Kun tiedät kosinin arvon, voit valita näiden kahden sitä vastaavan sivun pituudet. Esimerkiksi, jos cos(α) = 0,5, niin viereinen voidaan ottaa 10 cm:ksi ja hypotenuusa - 20 cm. Tietyillä luvuilla ei ole tässä väliä - saat saman ja oikean kaikilla arvoilla, joilla on samat. Määritä sitten Pythagoraan lauseen avulla puuttuvan puolen - vastakkaisen jalan - pituus. Hän on tasa-arvoinen neliöjuuri neliön hypotenuusan ja tunnetun haaran pituuksien erosta: √(20²-10²)=√300. Määritelmän mukaan tangentti vastaa vastakkaisten ja vierekkäisten haarojen pituuksien suhdetta (√300/10) - laske se ja hanki löydetty tangentin arvo käyttämällä klassista kosinin määritelmää.

Lähteet:

• kosini tangenttikaavan kautta

Yksi trigonometriset funktiot, jota useimmiten merkitään kirjaimilla tg, vaikka myös nimityksiä tan löytyy. Helpoin tapa on esittää tangentti sinin suhteena kulma sen kosinukseen. Tämä on pariton jaksollinen eikä jatkuva funktio, jonka jokainen jakso on yhtä suuri kuin luku Pi, ja taitepiste vastaa puolta tästä luvusta.