Kuinka muodostaa suoran kulman konjugaatio. Piirustuksen tekeminen osasta kavereiden kanssa. Ympyröiden (kaarien) konjugointi suoralla viivalla

02.11.2019

Pariliitos.

Pariliitos on sujuva siirtyminen riviltä toiselle.

Leikkaavien viivojen konjugointi tietyn säteisen ympyrän kaarella.

Ongelma rajoittuu piirtämään ympyrän tangentti molemmille annetuille suorille.

Vaihtoehto 1.

Piirretään apuviivat yhdensuuntaisesti annettujen kanssa etäisyyden päässä R annetuista.

Näiden viivojen leikkauspiste on keskipiste O konjugaatiokaaret. Pystysuorat putosivat keskeltä O kohtaan

annetut suorat määrittävät tangenttipisteet K ja K 1 .

Vaihtoehto 2.

Rakenne on sama.

Pariliitokset. Linjojen konjugoinnin rakentaminen.

Vaihtoehto 3.

Jos haluat piirtää ympyrän niin, että se koskettaa kolme leikkaavia suoria viivoja, niin tässä tapauksessa

Ongelman olosuhteet eivät voi määrittää sädettä. Keskusta O ympyrä on risteyksessä puolittaja kulmat

AT ja Kanssa. Ympyrän säde on kohtisuora, joka on pudonnut keskeltä O mihin tahansa annetuista kolmesta suorasta

Linjat.

Pariliitokset. Linjakonjugaatioiden rakentaminen.

Tietyn ympyrän ulkoisen konjugaation rakentaminen tietyllä suoralla kaarella, jonka säde on R 1 .

Keskustasta O tästä ympyrästä piirretään kaari apuympyrästä, jonka säde on R+R1.

Piirrämme etäisyyden päässä annetun suoran yhdensuuntaisen suoran R1.

Suoran ja rakennuskaaren leikkauspiste antaa fileekaarin keskipisteen Noin 1.

Kaarien kosketuspiste Vastaanottaja on linjalla OO 1.

Kaaren ja viivan välinen kosketuspiste K 1 sijaitsee pisteen O 1 ja kaaren suoran välisen kohtisuoran leikkauskohdassa.

Pariliitokset. Ympyrän ulkoisen konjugoinnin rakentaminen suoralla viivalla.

Tietyn ympyrän sisäisen konjugoinnin rakentaminen tietyllä suoralla kaarella, jonka säde on R 1 .

Keskustasta O tästä ympyrästä piirretään apuympyrä, jonka säde on R-R1.

Pariliitokset. Ympyrän sisäisen konjugoinnin rakentaminen suoralla viivalla.

Kahden tietyn ympyrän konjugoinnin rakentaminen tietyn säteen R 3 kaarella.

Ulkoinen kosketus.

Ympyrän keskeltä Noin 1 R1+R3.

Ympyrän keskeltä Noin 2 kuvaa apuympyrän kaaria säteellä R2+R3.

Risteys apuympyröiden kaaret antavat pisteen Noin 3, joka on konjugaatiokaaren keskipiste

kosketuspisteet K 1 ja K 2 ovat linjoilla O 1 O 3 ja O 2 O 3.

Sisäinen kosketus

Ympyrän keskeltä Noin 1 kuvaa apuympyrän kaaria säteellä R3-R1.

Ympyrän keskeltä Noin 2 kuvaa apuympyrän kaaria säteellä R3 - R2.

Risteys

(ympyrät, joiden säde on R 3) .

Pariliitokset. Kahden ympyrän konjugointi kaarella.

Ulkoinen ja sisäinen kosketus.

Annettu kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat O 1 ja O 2 ja joiden säteet ovat r 1 ja r 2 . On tarpeen piirtää annetun ympyrän

Säde R siten, että saadaan sisäinen kosketus yhteen ympyrään ja ulkoinen kosketus toiseen.

Ympyrän keskeltä Noin 1 kuvaa apuympyrän kaaria säteellä R-r 1.

Ympyrän keskeltä Noin 2 kuvaa apuympyrän kaaria säteellä R+r2.

Risteysapuympyröiden kaaret antavat pisteen, joka on konjugaatiokaaren keskipiste

(ympyrät säteellä R) .

Pariliitokset. Kahden ympyrän konjugointi kaarella.

Tietyn pisteen A kautta kulkevan ympyrän rakentaminen, joka tangentti tiettyä ympyrää

tietyssä kohdassa B.

Suoran viivan keskipisteen löytäminen AB. Piirrä suoran AB keskeltä kohtisuora. Jatkoristeys

OB ja kohtisuorat suorat antavat pisteen Noin 1. noin 1 - halutun ympyrän keskipiste säteellä R = O 1 B = O 1 A.

Pariliitokset. Ympyrän ja kaaren sisäinen tangentti.

Ympyrän konjugoinnin muodostaminen suoralla tietyssä pisteessä A suoralla.

Suoran LM tietystä pisteestä A palautetaan kohtisuora suoraa LM vastaan. Jatkossa

Pystysuoraan syrjään segmentti AB. AB = R. Yhdistämme pisteen B ympyrän keskipisteeseen O 1 suoraviiva.

Pisteestä A vedetään BO 1:n suuntainen suora, kunnes se leikkaa ympyrän. Otetaan pointti Vastaanottaja-piste

Kosketus. Yhdistä piste K ympyrän O 1 keskipisteeseen. Jatketaan suorat O 1 K ja AB leikkauspisteeseen. Otetaan pointti

Noin 2, joka on säteisen konjugaatiokaaren keskipiste O 2 A \u003d O 2 K.

Pariliitokset. Ympyrän konjugaatio suoralla linjalla tietyssä pisteessä.

Ympyrän konjugoinnin muodostaminen suoralla pisteellä A ympyrän annetussa pisteessä.

Ulkoinen kosketus.

Me kulutamme tangentti ympyrään pisteen kautta MUTTA. Tangentin ja suoran LM leikkauspiste antaa pisteen AT.

Kulman jakaminen puoliksi

Noin 1. Noin 1 O 1 A \u003d O 1 K.

Sisäinen kosketus.

Me kulutamme tangentti ympyrään pisteen kautta MUTTA. Tangenttiviivan leikkauspiste LM-viivan kanssa antaa pisteen AT.

Kulman jakaminen, jonka muodostavat tangentti ja suora LM , puoliksi. Kulman puolittajan leikkauspiste ja

Säteen OA laajentaminen antaa pisteen Noin 1. Noin 1 - O 1 A \u003d O 1 K.

Pariliitokset. Ympyrän konjugaatio suoran kanssa ympyrän tietyssä pisteessä.

Kahden epäkeskisen ympyrän kaaren konjugaation rakentaminen tietyn säteen kaarella.

Piirrä kaaren keskeltä Noin 1 apukaari säteellä R1-R3. Piirrä kaaren keskeltä O 2 apu

Kaaren säde R2+R3. Kaarien leikkauspiste antaa pisteen Voi voi- konjugaatiokaaren keskipiste säteen kanssa R3. kosketuspisteet

K 1 ja K 2 makaa linjoilla OO 1 ja OO 2.

Pariliitokset. Kahden epäkeskisen ympyrän kaaren yhdistäminen kaaren kanssa.

Kaarevan käyrän rakentaminen valitsemalla kaaria.

Valitsemalla kaarien keskipisteet, jotka osuvat yhteen käyrän osien kanssa, voit piirtää minkä tahansa kaarevan käyrän kompassilla.

Jotta kaaret siirtyvät sujuvasti yhdestä toiseen, on välttämätöntä, että niiden konjugaatiopisteet (tangentti)

Ne olivat suorilla linjoilla, jotka yhdistävät näiden kaarien keskipisteet.

Rakenteiden järjestys.

Valitsemme keskuksen 1 mielivaltaisen osan kaaria ab.

Jatkossa ensimmäinen säde valitse keskipiste 2 kuvaajan kaaren säde eKr.

Jatkossa toinen säde valitse keskipiste 3 kuvaajan kaaren säde CD jne.

Joten rakennamme koko käyrän.

Pariliitokset. Kaarien valinta.

Kahden yhdensuuntaisen suoran konjugoinnin rakentaminen kahdella kaarella.

Pisteet määritellään suorille yhdensuuntaisille viivoille MUTTA ja AT yhdistää linjaan AB.

Valitse suoralla linjalla AB mielivaltainen piste M.

Jaamme segmentit OLEN ja VM puoliksi.

Palautamme kohtisuorat segmenttien keskelle.

Pisteissä A ja B, annetuilla viivoilla, palautetaan kohtisuorat suoriin.

Risteys asiaankuuluvaa kohtisuorat antaa pisteitä Noin 1 ja Noin 2.

Noin 1 konjugaation kaaren keskipiste säteen kanssa O 1 A \u003d O 1 M.

Noin 2 konjugaation kaaren keskipiste säteen kanssa O 2 V \u003d O 2 M.

Jos kohta M valitse päälle keskellä rivit AB, sitten säteet konjugaatiokaaret tulevat ovat tasavertaisia.

Koskettavat kaaret pisteessä M sijaitsee linjalla Noin 1 noin 2.

Pariliitokset. Yhdensuuntaisten viivojen konjugointi kahdella kaarella.

Pariliitoskeskus- piste, joka on yhtä kaukana liitosviivoista. Ja näiden linjojen yhteistä pistettä kutsutaan konjugaatiopiste .

Konjugaatioiden rakentaminen suoritetaan kompassin avulla.

Seuraavat pariliitostyypit ovat mahdollisia:

1) risteävien viivojen konjugointi käyttämällä kaaria, jonka säde on R (pyöristyskulmat);

2) ympyrän kaaren ja suoran konjugointi käyttämällä kaaria, jonka säde on R;

3) säteiden R1 ja R2 ympyröiden kaarien konjugointi suoralla viivalla;

4) kahden säteen R 1 ja R 2 ympyrän kaarien konjugointi tietyn säteen R kaarella (ulkoinen, sisäinen ja sekakonjugaatio).

Ulkoisessa liitoksessa säteiden R 1 ja R 2 kytkentäkaarien keskipisteet ovat säteen R kytkentäkaaren ulkopuolella. Sisäisessä parituksessa kytkentäkaarien keskipisteet ovat säteen R mukaisen kytkentäkaaren sisällä. yhden kytkentäkaaren keskipiste on säteen R kytkentäkaaren sisällä ja toisen kytkentäkaaren keskipiste sen ulkopuolella.

Taulukossa. Kuva 1 esittää yksinkertaisten konjugaatioiden konstruoinnin ja antaa lyhyet selitykset.

Pariliitoksetpöytä 1

Esimerkki yksinkertaisista kavereista	Kavereiden graafinen rakentaminen	Lyhyt selitys rakenteesta

1. Leikkaavien viivojen konjugointi tietyn säteen kaarella R.		Piirrä suorat viivat, jotka ovat yhdensuuntaisia kulman sivujen kanssa etäisyyden päässä R. kohdasta O näiden viivojen keskinäinen leikkaus, laskemalla kohtisuorat kulman sivuille, saadaan konjugaatiopisteet 1 ja 2 . Säde R piirrä kaari.
2. Ympyräkaaren ja suoran konjugointi tietyn säteen kaarella R.		Etäisyydellä R piirrä viiva yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa ja keskeltä O 1 säteellä R+R 1- ympyrän kaari. Piste O- konjugaatiokaaren keskipiste. kohta 2 pääsemme kohtisuoraan, joka on piirretty pisteestä O tiettyyn suoraan, ja piste 1 - suoralle viivalle OO 1.
3. Kahden säteen ympyrän kaarien konjugaatio R1 ja R2 suora viiva.		Piirrä pisteestä O 1 ympyrä, jonka säde on R 1 - R2. Jana O 1 O 2 jaetaan puoliksi ja piirretään pisteestä O 3 kaari, jonka säde on 0,5 OiO2. Yhdistä pisteet O 1 ja O 2 pisteellä MUTTA. Pudota pisteestä O 2 kohtisuora viivaan nähden AO 2, pisteitä 1.2 - parituspisteet.

Taulukko 1 jatkui


4. Kahden säteen ympyrän kaarien konjugaatio R1 ja R2 tietyn säteen kaari R(ulkoinen pariliitos).		Keskuksista O 1 ja O 2 piirtävät säteiden kaaria R+R 1 ja R+R2. O 1 ja O 2 pisteellä O. Pisteitä 1 ja 2 ovat risteyspisteitä.
5. Kahden säteen ympyrän kaarien konjugaatio R1 ja R2 tietyn säteen kaari R(sisäinen pariliitos).		Keskuksista O 1 ja O 2 piirtävät säteiden kaaria R-R1 ja R-R2. Saamme pisteen O- konjugaatiokaaren keskipiste. Yhdistä pisteet O 1 ja O 2 pisteellä O annettujen ympyröiden leikkauspisteeseen asti. pisteitä 1 ja 2- risteyspisteet.
6. Kahden säteen ympyrän kaarien konjugaatio R1 ja R2 tietyn säteen kaari R(sekoitettu konjugaatio).		Piirrä keskuksista O 1 ja O 2 säteiden kaaria R- R 1 ja R+R2. Saamme pisteen O - konjugaatiokaaren keskipisteen. Yhdistä pisteet O 1 ja O 2 pisteellä O annettujen ympyröiden leikkauspisteeseen asti. pisteitä 1 ja 2- risteyspisteet.

kaarevia käyriä

Nämä ovat kaarevia viivoja, joissa kaarevuus muuttuu jatkuvasti jokaisen elementin kohdalla. Kaarevia käyriä ei voi piirtää kompassilla, ne muodostetaan pistesarjasta. Kun piirretään käyrää, tuloksena oleva pistesarja yhdistetään kuviota pitkin, joten sitä kutsutaan kaarevaksi viivaksi. Kaarevan käyrän rakentamisen tarkkuus kasvaa, kun käyräosan välipisteiden lukumäärä kasvaa.

Kaarevat käyrät sisältävät ns. litteät kartion osat - ellipsi, paraabeli, hyperbeli, jotka saadaan pyöreän kartion tason leikkauksen tuloksena. Tällaisia käyriä otettiin huomioon opiskellessa "Kuvausgeometria" -kurssia. Käyrät sisältävät myös involuuttinen, sinusoidi, Archimedesin spiraali, sykloidiset käyrät.

Ellipsi- pisteiden paikka, jonka etäisyyksien summa kahteen kiinteään pisteeseen (foci) on vakioarvo.

Yleisimmin käytetty menetelmä ellipsin rakentamiseksi annettuja puoliakseleita AB ja CD pitkin. Rakennettaessa piirretään kaksi samankeskistä ympyrää, joiden halkaisijat ovat yhtä suuria kuin ellipsin annetut akselit. Ellipsin 12 pisteen rakentamiseksi ympyrät jaetaan 12 yhtä suureen osaan ja tuloksena olevat pisteet yhdistetään keskustaan.

Kuvassa kuvio 15 esittää kuuden pisteen rakennetta ellipsin yläpuoliskosta; alapuoli piirretään samalla tavalla.

Involuutio- on ympyrän pisteen liikerata, joka muodostuu sen leviämisestä ja suoristuksesta (ympyrän kehitys).

Evoluutin rakenne ympyrän tietyn halkaisijan mukaan on esitetty kuvassa. 16. Ympyrä on jaettu kahdeksaan yhtä suureen osaan. Piirrä pisteistä 1,2,3 ympyrän tangentit yhteen suuntaan. Viimeisellä tangentilla evoluutioaskel asetetaan yhtä suureksi kuin ympärysmitta

(2 pR), ja tuloksena oleva segmentti jaetaan myös 8 yhtä suureen osaan. Asettamalla yhden osan ensimmäiseen tangenttiin, kaksi osaa toiseen, kolme osaa kolmanteen jne., saadaan involuutiopisteet.

Sykloidikäyrät- litteät kaarevat viivat, joita kuvaa piste, joka kuuluu ympyrään, joka vierii liukumatta pitkin suoraa tai ympyrää. Jos samaan aikaan ympyrä vierii suoraa, niin piste kuvaa käyrää, jota kutsutaan sykloidiksi.

Sykloidin rakenne tietyn ympyrän halkaisijan d mukaan on esitetty kuvassa 17.

Riisi. 17

Ympyrä ja segmentti, joiden pituus on 2pR, jaetaan 12 yhtä suureen osaan. Piirrä suora viiva ympyrän keskustan läpi yhdensuuntaisesti janan kanssa. Janan jakopisteistä suoralle piirretään kohtisuorat. Niiden suoran ja suoran leikkauspisteissä saamme O 1, O 2, O 3 jne. ovat vierivän ympyrän keskipisteitä.

Näistä keskipisteistä kuvataan kaaria, joiden säde on R. Piirretään ympyrän jakopisteiden kautta suoria, jotka ovat yhdensuuntaisia ympyröiden keskipisteitä yhdistävän suoran kanssa. Pisteen 1 kautta kulkevan suoran ja keskustasta O1 kuvatun kaaren leikkauskohdassa on yksi sykloidin pisteistä; pisteen 2 läpi toisella keskeltä O2 - toinen piste jne.

Jos ympyrä pyörii toista ympyrää pitkin, ollessaan sen sisällä (koveraa osaa pitkin), niin piste kuvaa käyrää ns. hyposykloidi. Jos ympyrä vierii toista ympyrää pitkin sen ulkopuolella (kuperaa osaa pitkin), niin piste kuvaa käyrää ns. episykloidi.

Hyposykloidin ja episykloidin rakenne on samanlainen, mutta 2pR pituisen segmentin sijasta otetaan ohjausympyrän kaari.

Kuvassa 18 on esitetty episykloidin rakenne liikkuvien ja kiinteiden ympyröiden tietyn säteen mukaan. Kulma α, joka lasketaan kaavalla

α = 180°(2r/R), ja säde R on jaettu kahdeksaan yhtä suureen osaan. Piirretään ympyrän kaari, jonka säde on R + r ja pisteistä О 1 , О 2 , О 3 .. - ympyrä, jonka säde on r.

Hyposykloidin rakenne liikkuvien ja kiinteiden ympyröiden annetuilla säteillä on esitetty kuvassa 19. Laskettu kulma α ja säde R jaetaan kahdeksaan yhtä suureen osaan. Piirretään ympyrän kaari, jonka säde on R - r ja pisteistä O 1, O 2, O 3 ... - ympyrä, jonka säde on r.

Paraabeli- tämä on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä pisteestä - fokus F ja kiinteä viiva - suuntaviiva, kohtisuorassa paraabelin symmetria-akseliin nähden. Paraabelin rakenne tietyn segmentin OO \u003d AB ja sointu CD:n mukaan on esitetty kuvassa 20.

Suora OE ja käyttöjärjestelmä on jaettu samaan määrään yhtä suuria osia. Jatkorakenne selviää piirustuksesta.

Hyperbeli- pisteiden paikka, joiden etäisyyksien ero kahdesta kiinteästä pisteestä (foci) on vakioarvo. Edustaa kahta avointa, symmetrisesti sijoitettua oksaa.

Hyperbolien F 1 ja F 2 vakiopisteet ovat polttopisteitä, ja niiden välistä etäisyyttä kutsutaan polttopisteeksi. Janaja, jotka yhdistävät käyrän pisteet polttopisteisiin, kutsutaan sädevektoreiksi. Hyperbolalla on kaksi keskenään kohtisuoraa akselia - todellinen ja kuvitteellinen. Akseleiden leikkauspisteen läpi kulkevia suoria kutsutaan asymptooteiksi.

Kuvassa 21 on esitetty hyperbelin konstruointi tietyn polttovälin F 1 F 2 ja asymptoottien välisen kulman α mukaan. Piirretään akseli, jolle piirretään polttoväli, joka puolitetaan pisteellä O. Ympyrä, jonka säde on 0,5F 1 F 2, piirretään pisteen O läpi, kunnes se leikkaa pisteet C, D, E, K. Yhdistetään pisteitä C D ja E K:lla saadaan pisteet A ja B ovat hyperbolin kärjet. Pisteestä F 1 vasemmalle on merkitty mielivaltaiset pisteet 1, 2, 3 ... joiden välisten etäisyyksien tulisi kasvaa niiden siirtyessä pois tarkennuksesta. Polttopisteistä F 1 ja F 2, joiden säteet R=B4 ja r=A4, piirretään kaaria keskinäiseen leikkauspisteeseen. Leikkauspisteet 4 ovat hyperbelin pisteitä. Loput pisteet on rakennettu samalla tavalla.

sinusoidi- tasainen käyrä, joka ilmaisee kulman sinin muutoksen lain kulman suuruuden muutoksesta riippuen.

Näytetään sinimuodon rakenne tietylle ympyrän halkaisijalle d

kuvassa 22.

Rakenna se jakamalla annettu ympyrä 12 yhtä suureen osaan; tietyn ympyrän pituinen segmentti (2pR) jaetaan samaan määrään yhtä suuria osia. Piirtämällä vaaka- ja pystysuorat viivat jakopisteiden läpi, he löytävät sinimuotoiset pisteet leikkauspisteestään.

Archimedesin spiraali - e sitten tasokäyrä, jota kuvaa piste, joka pyörii tasaisesti tietyn keskuksen ympäri ja samalla siirtyy tasaisesti siitä poispäin.

Arkhimedes-spiraalin rakenne tietylle ympyrän halkaisijalle D on esitetty kuvassa 23.

Ympyrän ympärysmitta ja säde on jaettu 12 yhtä suureen osaan. Jatkorakenne näkyy piirustuksesta.

Konjugaatioita ja kaarevia käyriä muodostettaessa on turvauduttava yksinkertaisimpiin geometrisiin rakenteisiin - kuten ympyrän tai suoran jakaminen useaan yhtä suureen osaan, kulman ja janan jakaminen kahtia, kohtisuorien rakentaminen, puolittaja jne. Kaikkia näitä rakenteita tutkittiin koulukurssin "Piirustus" -aineella, joten niitä ei käsitellä yksityiskohtaisesti tässä käsikirjassa.

1.5 Toteutusohjeet

Yleisessä tapauksessa ympyrän m, jonka säde on R 1, ja suoran l konjugoinnin rakentaminen säteellä R olevalla ympyrällä (kuva 30, a, b) suoritetaan seuraavasti:

- etäisyydelle R, joka on yhdensuuntainen l:n kanssa, piirretään l '(GM suoralle viivalle);

- kun keskipiste on pisteessä O 1, piirrämme m '(GM ympyrään), jonka säde on yhtä suuri kuin R:n ja R1:n summa tai säde on yhtä suuri kuin R:n ja R1:n erotus;

– l’:n ja m’:n leikkauspiste О on konjugaatiokeskus;

- pudotamme kohtisuoran O:sta suoralle l. Saamme risteyspisteen A;

- piirrä suora viiva O:n ja O 1:n läpi ja merkitse konjugaatiopiste B sen ja ympyrän m leikkauspisteestä;

- Kun keskus on pisteessä O säteellä R pisteiden A ja B välissä, piirrämme konjugaatiokaaren.

Riisi. 30. Suoran ja ympyrän konjugointi

Kahden ympyrän konjugaatio

Rakentaessaan ulkoinen pariliitos kaksi ympyrää m 1 ja m 2 kaarella, jonka säde on R (kuva 31) yhtymäkaaren keskipiste - piste O - määräytyy kahden geometrisen paikan m 1 ' ja m 2 ' leikkauspisteestä - apuympyrät säteet R + R 1 ja R + R 2, vedettynä vastaavasti konjugoitujen ympyröiden keskuksista, ts. pisteistä O 1 ja O 2. Konjugaatiopisteet A ja B määritellään annettujen ympyröiden ja suorien OO 1 ja OO 2 leikkauspisteiksi.

Sisäinen pariliitos kaaret, joiden säteet ovat R1 ja R2 ja joiden säde on R, on esitetty kuvassa. 32.

Riisi. 31. Kahden ympyrän ulkoinen pariliitos

Riisi. 32. Kahden ympyrän sisäinen konjugaatio

Konjugaatiokaaren keskipisteen O määrittämiseksi piirretään pisteistä O 1 ja O 2 - kahdesta geometrisesta paikasta - apukaarit m 1 ’ja m 2 ’ säteillä R–R 1 ja R–R 2. Näiden kaarien leikkauspiste on konjugaation keskipiste. Pisteestä O pisteiden O 1 ja O 2 kautta piirretään suoria viivoja ympyröiden m 1 ja m 2 leikkauspisteeseen ja saadaan konjugaatiopisteet A ja B. Näiden pisteiden välissä on säteen R konjugaatioympyrän kaari. piirretty niin, että keskipiste on pisteessä O.

klo sekoitettu konjugaatio(Kuva 33) konjugaatiokeskipiste O määritetään kahden geometrisen paikan - säteiden R + R 1 ja R–R 2 apuympyröiden leikkauskohdassa, jotka on vedetty keskipisteistä O 1 ja O 2, vastaavasti. Konjugaatiopisteet A ja B ovat keskipisteiden OO 1 ja OO 2 viivojen leikkauspisteessä annettujen ympyröiden kaarien kanssa.

Riisi. 33. Kahden ympyrän sekakonjugaation rakentaminen

Tangenttiviivojen rakentaminen

Ympyröiden tangenttien rakentaminen perustuu siihen, että tangenttiviiva on kohtisuorassa kosketuspisteeseen piirretyn ympyrän säteeseen nähden.

Ympyrän tangentin rakentaminen ympyrän ulkopuolella olevasta pisteestä A (kuva 34). Tietyn pisteen A ja ympyrän keskipisteen O yhdistävä jana OA jaetaan puoliksi ja tuloksena olevasta pisteestä O 1, kuten keskustasta, kuvataan apuympyrä, jonka säde on O 1 A. Apuympyrä leikkaa annetun ympyrän. pisteessä B, joka on kosketuspiste. Suora AB on ympyrän tangentti, koska kulma ABO on oikea, apuympyrään piirrettynä ja sen halkaisijan perusteella.

Kahden ympyrän tangentin rakentaminen. Kahden ympyrän tangentti voi olla ulkoinen, jos molemmat ympyrät sijaitsevat sen samalla puolella, ja sisäinen, jos ympyrät sijaitsevat tangentin eri puolilla.

Riisi. 34. Ympyrän tangentin rakentaminen

Rakentaaksemme ulkoisen tangentin säteiden R 1 ja R 2 ympyröille (kuva 35), toimimme seuraavasti:

yksi). suuremman ympyrän keskustasta O 2 piirretään apuympyrä, jonka säde on R 2 -R 1;

2). segmentti 0102 jaetaan puoliksi;

3). piirrämme keskipisteellä O 3 apuympyrän, jonka säde on O 3 O 2;

4). merkitse kahden apuympyrän - M ja N - leikkauspisteet;

5). vedä suoria viivoja pisteen O 2 ja saatujen pisteiden läpi, kunnes ne leikkaavat ympyrän, jonka säde on R 2 . Saamme pisteet B ja D;

6). keskeltä O 1 piirretään suoria viivoja O 1 A ja O 1 C, jotka ovat samansuuntaisia O 2 B:n ja O 2 D:n kanssa, kunnes ne leikkaavat ympyrän, jonka säde on R 1 pisteissä A ja C.

Suorat AB ja CD ovat haluttuja kahden ympyrän ulkoisia tangentteja.

Riisi. 35. Kahden ympyrän ulkoisen tangentin rakentaminen

Kahden säteiden R 1 ja R 2 ympyrän sisäisen tangentin rakentaminen (kuva 36).

Riisi. 36. Kahden ympyrän sisäisen tangentin rakentaminen

Yhden ympyrän keskustasta, esimerkiksi O 1:stä, piirrämme apuympyrän, jonka säde on R 1 + R 2. Jaamme janan O 1 O 2 kahtia ja piirretään saadusta pisteestä O 3 toinen apuympyrä, jonka säde on O 1 O 3. Yhdistämme suorilla suorien apuympyröiden leikkauspisteen pisteet M ja N keskipisteeseen O 1 ja niiden leikkauskohdassa sädeympyrän R 1 kanssa saamme kosketuspisteet A ja C. Pisteestä O 2 piirretään O 1 A:n suuntainen suora ja saamme ympyrän R 2 kosketuspisteen B. Piste D muodostetaan samalla tavalla. Suorat AB ja CD ovat kahden ympyrän vaadittavat sisäiset tangentit.

Oppitunti numero 23.

Pariliitokset

Näytä useita osia, joissa on fileitä.

Yksityiskohtia tarkasteltaessa näemme, että niiden suunnittelussa usein yksi pinta siirtyy toiseen. Yleensä nämä siirtymät tehdään sileiksi, mikä lisää osien lujuutta ja tekee niistä mukavampaa työskennellä.

Piirustuksessa pinnat on kuvattu viivoilla, jotka myös siirtyvät sujuvasti yhdestä toiseen.

Tällaista sujuvaa siirtymistä riviltä (pinnalta) toiselle viivalle (pinta) kutsutaan konjugaatio.

Konjugaatiota muodostettaessa on tarpeen määrittää raja, jossa yksi rivi päättyy ja toinen alkaa, ts. etsi piirroksesta siirtymäkohta, jota kutsutaan konjugaatiopiste tai kosketuskohta .

Konjugaatioongelmat voidaan jakaa ehdollisesti 3 ryhmään.

Ensimmäinen tehtäväryhmä sisältää tehtäviä matematiikan rakentamiseen, joissa on suoria viivoja. Tämä voi olla suoran ja ympyrän kosketus, kahden suoran konjugointi tietyn säteen kaarella sekä tangenttiviivan piirtäminen kahteen ympyrään.

Muodosta suoraa tangentti ympyrä.

Suoraa tangentin ympyrän rakentaminen , liittyy kosketuspisteen ja ympyrän keskipisteen löytämiseen.

Annettu vaakaviiva AB , täytyy rakentaa ympyrä, jolla on säde R annetun suoran tangentti (kuva 1).

Kosketuspiste valitaan mielivaltaisesti.

Koska tangenttipistettä ei ole määritelty, sädeympyrä R voi koskettaa tätä viivaa missä tahansa kohdassa. Tällaisia piirejä on monia. Näiden ympyröiden keskipisteet ( O 1 , O 2 jne.) on samalla etäisyydellä annetusta suorasta, ts. tietyn suoran kanssa yhdensuuntaisella suoralla AB etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin tietyn ympyrän säde (kuva 1). Kutsutaan tätä linjaa keskiviiva .

Piirrä keskipisteiden viiva, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa AB etäisyydellä R . Koska tangenttiympyrän keskustaa ei ole asetettu, otamme minkä tahansa pisteen keskiviivalla, esimerkiksi pisteen O.

Ennen tangenttiympyrän piirtämistä, kosketuspiste on määritettävä. Kosketuspiste sijaitsee kohtisuorassa, joka on pudonnut pisteestä O suoraan AB . Kohtisuoran ja suoran leikkauskohdassa AB saada piste TO, joka tulee olemaan yhteyspiste. Keskustasta O säde R pisteestä Vastaanottaja piirretään ympyrä. Ongelma ratkaistu.

Kirjoita muistikirjaasi seuraavat säännöt:

Jos konjugaatiossa on suora viiva, niin:

suoraa viivaa sivuavan ympyrän keskipiste on suoralla (keskipisteviivalla), joka on piirretty yhdensuuntaisesti tietyn suoran kanssa etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin annetun ympyrän säde;

2) kosketuspiste on kohtisuorassa, joka on vedetty ympyrän keskipisteestä tiettyyn suoraan.

Kahden rivin konjugaatio.

Tasossa kaksi suoraa voivat olla yhdensuuntaisia tai kulmassa toisiinsa nähden.

Kahden suoran konjugaation muodostamiseksi on tarpeen piirtää ympyrä, joka tangentti näitä kahta viivaa.

Avaa työkirjasi sivulle 31.

Harkitse kahden ei-rinnakkaisen suoran konjugaatiota.

Kaksi ei-rinnakkaista linjaa sijaitsevat kulmassa toisiinsa nähden, jotka voivat olla suoria, tylppoja tai teräviä. Osien piirustuksia tehtäessä sellaiset kulmat on usein pyöristettävä tietyn säteen kaarella (kuva 1). Piirustuksen kulmien pyöristys ei ole muuta kuin kahden ei-rinnakkaisen suoran konjugointi tietyn säteisen ympyrän kaarella. Pariliitoksen muodostamista varten sinun on löydettävä pariliitoskaaren keskipiste ja pariliitospisteet.

Tiedetään, että jos konjugaatioon liittyy suora, niin konjugaatiokaaren keskipiste sijaitsee keskiviivalla, joka piirretään yhdensuuntaisesti annetun suoran kanssa säteen verran. R konjugaatiokaaret.

Koska kulman muodostaa kaksi suoraa, kaksi keskiviivaa piirretään yhdensuuntaisesti kunkin suoran kanssa säteen verran. R konjugaatiokaaret. Niiden leikkauspiste on konjugaatiokaaren keskipiste.

Konjugaatiopisteiden etsiminen pisteestä O pudota kohtisuorat annettuihin suoriin ja hanki konjugaatiopisteet Vastaanottaja ja Vastaanottaja 1 . Pisteiden ja taivutuskeskuksen tunteminen pisteestä O säde R suorittaa konjugaatiokaaren. Kun jäljität piirustuksen, jäljitä ensin kaari ja sitten tangenttiviivat.

Suoran kulman konjugaatiota konstruoitaessa on yksinkertaistettu piirtää keskusviiva, koska kulman sivut ovat keskenään kohtisuorassa. Aseta kulman yläosasta säteen mukaiset segmentit R konjugaatiokaaret ja saatujen pisteiden kautta Vastaanottaja ja Vastaanottaja 1 , jotka ovat kosketuspisteitä, piirrä kaksi keskiviivaa yhdensuuntaisesti kulman sivujen kanssa. Ne ovat sekä keskiviivoja että kohtisuoria, jotka määrittävät risteyspisteet. Vastaanottaja ja Vastaanottaja 1 (s. 31, kuva 1).

Sivu 31, tehtävä 4. Kahden yhdensuuntaisen suoran konjugointi.

Kahden yhdensuuntaisen suoran konjugoinnin rakentamiseksi on tarpeen piirtää ympyrän kaari, joka tangentti näitä suoria (kuva 3).

Kuva 3

Tämän ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet annettujen viivojen välisestä etäisyydestä. Koska tangenttipistettä ei anneta, on monia sellaisia ympyröitä, jotka voidaan piirtää. Niiden keskipisteet ovat suoralla viivalla, joka on piirretty samansuuntaisesti annettujen suorien kanssa etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin puolet niiden välisestä etäisyydestä. Tämä suora on keskipisteiden viiva.

kosketuspisteet ( Vastaanottaja 1 ja Vastaanottaja 2 ) makaa kohtisuoralla, joka on pudotettu tangenttiympyrän keskipisteestä annettuihin suoriin (kuva 3a). Koska tangenttiympyrän keskipistettä ei ole määritetty, kohtisuora piirretään mielivaltaisesti. Jana QC 1 on jaettu kahtia (kuva 3b), annettujen viivojen rinnakkaisten serifien leikkauspisteiden läpi vedetään suora, jolle sijoitetaan annettuja yhdensuuntaisia viivoja tangenttien ympyröiden keskipisteet, ts. tämä viiva on keskipisteiden viiva. Kompassin jalan asettaminen pisteeseen O , piirrä konjugaatiokaari (kuva 3c) pisteestä Vastaanottaja asiaan Vastaanottaja 1 .

Ympyröitä tangenttien viivojen rakentaminen

(R.T. s. 33).

Harjoitus 1. Piirrä ympyrän tangentti pisteen läpi MUTTA makaa ympyrässä.

kohdasta O piirrä suora viiva OB pisteen kautta MUTTA . kohdasta MUTTA Piirrä ympyrä millä tahansa säteellä. Leikkauksessa suoralla sai pisteitä 1 ja 2. Näistä pisteistä millä tahansa säteellä piirretään kaaria, kunnes ne leikkaavat toisensa pisteissä C ja D . kohdasta C tai D piirrä viiva pisteen läpi MUTTA .

Se on ympyrän tangentti, koska tangentti on aina kohtisuorassa tangenttipisteen säteeseen nähden.

Tehtävä 2.

Tämä konstruktio on samanlainen kuin tietyn pisteen läpi kulkevan suoran kohtisuoran rakentaminen, joka voidaan tehdä käyttämällä kahta neliötä.

Ensin neliö 1 on sijoitettu siten, että sen hypotenuusa osuu pisteisiin O ja A . Sitten siihen neliö- 1 neliötä käytetään 2 , josta tulee opas, ts. jota pitkin neliö liikkuu 1 . Sitten neliö 1 kiinnitä toinen jalka neliöön 2. Sitten rullaamme neliön 1 neliön mukaan 2 kunnes hypotenuusa osuu pisteeseen A . Ja piirrämme ympyrän tangentin pisteen kautta A .

Tehtävä 3. Piirrä ympyrän tangentti pisteen kautta, joka ei ole ympyrässä.

Annettu ympyrä, jonka sädeR ja piste MUTTA , ei makaa ympyrän päällä, se on piirrettävä pisteestäMUTTA suora tangentti annettua ympyrää sen yläosassa. Tätä varten sinun on löydettävä yhteyspiste. Tiedämme, että tangenttipiste sijaitsee kohtisuorassa, joka on piirretty ympyrän keskustasta tangenttiviivaan. Siksi tangentti ja kohtisuora muodostavat suoran kulman.

Tietäen, että jokainen ympyrään piirretty kulma sen halkaisijan perusteella on suora kulma, joka yhdistää pisteitäMUTTA ja O , ota segmenttiJSC rajatun ympyrän halkaisijalle. Rajatun ympyrän ja sädeympyrän leikkauskohdassaR on oikean kulman huippu (pisteVastaanottaja ). Jana JSC jaa puoliksi kompassilla, hanki pisteO 1 (Kuva 4, b).

Keskustasta O 1 säde yhtä suuri kuin segmenttiJSC 1 , piirrä ympyrä, hanki pisteitäVastaanottaja ja Vastaanottaja 1 risteyksessä sädeympyrän kanssaR (Kuva 4, c).

Koska ympyrän huipulle tarvitsee piirtää vain yksi tangentti, valitaan haluttu tangenttipiste. Tämä kohta tulee olemaan pointtiVastaanottaja . kohta Vastaanottaja yhdistä pisteilläMUTTA ja O , saamme oikean kulman, joka perustuu halkaisijaanJSC rajattu ympyrä säteelläR 1 . Piste Vastaanottaja - tämän kulman kärki (kuva 4, d), segmentitOK ja AK - suoran kulman sivut, siis pisteVastaanottaja on haluttu kosketuspiste ja suora viivaAK - haluttu tangentti.

Kuva 4

Kahden ympyrän tangentin piirtäminen.

Annettu kaksi ympyrää säteillä R ja R 1 , niille on muodostettava tangentti. Kosketustapauksia on kaksi: ulkoinen ja sisäinen.

Ulkoisella tangentilla tangenttiviiva on samalla puolella ympyröitä eikä leikkaa näiden ympyröiden keskipisteitä yhdistävää segmenttiä.

Sisäisellä tangentilla tangenttiviiva on ympyröiden eri puolilla ja leikkaa ympyröiden keskipisteitä yhdistävän janan.

Sivu 33. Tehtävä 5. Piirrä kahden ympyrän tangentti. Kosketus on ulkoinen.

Ensinnäkin sinun on löydettävä yhteyspisteet. Tiedetään, että niiden on sijaittava kohtisuorassa, joka on piirretty ympyröiden keskipisteistä ( O ja O 1 ) tangentille.

kohdasta O piirrä ympyrä, jolla on säde R - R 1 , koska kosketus on ulkoinen.

Jaa etäisyys OO 1 puoliksi ja piirrä ympyrä, jolla on säde R =OO 2 =O 1 O 2

Tämä ympyrä leikkaa ympyrän, jonka säde on R - R 1 pisteessä TO. Yhdistämme tämän pisteen kanssa O 1 .

kohdasta O pisteen kautta Vastaanottaja piirrä suora viiva, kunnes se leikkaa säteisen ympyrän R . sai pisteen Vastaanottaja 1 - ensimmäinen yhteyspiste.

kohdasta O 1 piirrä yhdensuuntainen viiva QC 1 , kunnes se leikkaa säteen ympyrän R 1 . Sain toisen kosketuspisteen Vastaanottaja 2 . Yhdistää pisteet Vastaanottaja 1 ja Vastaanottaja 2 . Tämä on kahden ympyrän tangentti.

Tehtävä 6. Piirrä kahden ympyrän tangentti. Kosketus on sisäistä.

Rakenne on samanlainen, vain sisäisellä kosketuksella apuympyrän säde on vedetty pisteestä O on yhtä suuri kuin ympyröiden säteiden summa R + R 1 .

Toinen pariliitosongelmien ryhmä sisältää tehtäviä, jotka sisältävät vain ympyröitä ja kaaria. Tasainen siirtyminen ympyrästä toiseen voi tapahtua joko suoraan koskettamalla tai kolmannen elementin - ympyrän kaaren - kautta.

Kahden ympyrän tangentti voi olla ulkoinen (PT: s. 32, kuva 3) tai sisäinen (PT: s. 32, kuva 4).

Tehtävä 3 (sivu 32)

Kun kaksi ympyrää koskettavat ulkoa, näiden ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden säteiden summa.

kohdasta O säde R + R C tehdään kaari. kohdasta O 1 säde R 1 + R C O Kanssa - konjugaatiokeskus.

Yhdistää pisteet O ja O 1 konjugaatiokeskuksen kanssa O Kanssa . Ympyröillä on kosketuspisteitä (konjugaatio).

kohdasta O Kanssa kumppanin säde R C 30 kosketuspisteiden yhdistäminen.

Tehtävä 4 (sivu 32)

Kun kaksi ympyrää koskettavat sisäisesti, yksi tangenttiympyröistä on toisen ympyrän sisällä, ja näiden ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden säteiden ero.

kohdasta O säde ( R C – R ) tehdään kaari. kohdasta O 1 säde ( R C – R 1 ) piirrä kaari, kunnes se leikkaa ensimmäisen kaaren. sai pisteen O Kanssa - konjugaatiokeskus.

Pariliitoskeskus O Kanssa yhdistä pisteillä O ja O 1 ja jatka suoraa linjaa pidemmälle.

Ympyröillä on kosketuspisteitä (konjugaatio).

kohdasta O Kanssa kumppanin säde R C 60 kosketuspisteiden yhdistäminen.

Kolmas ryhmä pariliitosongelmat sisältää tehtäviä tietynsäteisen suoran ja ympyrän kaaren konjugoimiseksi.

Suorittaessaan tällaista tehtävää he ratkaisevat ikään kuin kaksi ongelmaa: piirretään tangentin kaari suoralle ja tangenttikaari ympyrään. Kosketus voi tässä tapauksessa olla sekä ulkoinen että sisäinen.

RT: sivu 32. Tehtävä 1. Ympyrän ja suoran konjugaatio. Kosketus on ulkoinen. R C 20 .

Annettu suora ja ympyrä, jolla on säde R , on konstruoitava konjugaatio säteen kaarella R C 20 .

Koska parisuhteessa on suora viiva, peräkaaren keskipiste on suoralla viivalla, joka on piirretty yhdensuuntaisesti annetun linjan kanssa etäisyydelle, joka on yhtä suuri kuin peräsäde R C 20 . Siksi yhdensuuntaisesti annetun suoran kanssa 20 mm etäisyydellä piirrämme toisen suoran.

Ja konjugaatiokaaren keskipiste, kun kaksi ympyrää koskettaa ulkoisesti, sijaitsee ympyrällä, jonka säde on yhtä suuri kuin säteiden summa R ja R C . Siksi pisteestä O säde ( R + R C O Kanssa

Sitten löydämme yhteyspisteet. Ensimmäinen kosketuspiste on kohtisuora, joka on pudotettu parin keskustasta annettuun viivaan. Löydämme toisen risteyspisteen yhdistämällä liitoskeskuksen O Kanssa ja ympyrän keskipiste R . Tangenttipiste on ensimmäisessä leikkauspisteessä ympyrän kanssa, koska tangentti on ulkoinen.

Siis pisteestä O Kanssa säde R C 20 yhdistä leikkauspisteet.

RT: sivu 32. Tehtävä 2. Ympyrän ja suoran konjugaatio. Kosketus on sisäistä. R C 60 .

Piirrä keskipisteiden viiva, joka on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa 60 mm:n etäisyydelle. kohdasta O säde ( R kanssa - R ) piirretään kaari leikkauspisteeseen uudella suoralla (keskipisteviivalla). Otetaan pointti O Kanssa , joka on konjugaation keskus.

From O Kanssa piirrä viiva ympyrän keskustan läpi O ja kohtisuora tiettyyn suoraan nähden. Saamme kaksi yhteyspistettä. Ja sitten pariliitoksen keskustasta 60 mm säteellä yhdistämme kosketuspisteet.

Pariliitos on sujuva siirtyminen riviltä toiselle. Tasainen siirtyminen voidaan tehdä molempien pyöreiden viivojen avulla
(ympyräkaaret) ja kaarevien käyrien avulla (ellipsi-, paraabeli- tai hyperbelikaaret). Käsittelemme vain konjugaatiotapauksia ympyräkaarien avulla. Kaikesta eri viivojen konjugaatioiden joukosta voidaan erottaa seuraavat päätyypit konjugaatiot: kahden eri sijoittuneen suoran taivutus ympyrän kaarella, suoran konjugointi ympyränkaaren kanssa, yhteisen muodostaminen Kahden ympyrän tangentti, kolmannen kahden ympyrän konjugaatio. Minkä tahansa tyyppinen pariliitos tulee suorittaa seuraavassa järjestyksessä:

- etsi konjugaatiokaaren keskipiste,

- löytää yhteyspisteitä,

- piirretään konjugaatiokaari tietyllä säteellä.

Taulukossa 2 on esitetty erityyppiset kaverit:

taulukko 2

Kavereiden graafinen rakentaminen	Lyhyt selitys rakenteesta

Leikkaavien viivojen konjugointi tietyn säteen kaarella
	Piirrä kulman sivujen suuntaiset suorat etäisyydellä R. Pisteestä O, näiden viivojen keskinäinen leikkaus, pudottamalla kohtisuorat kulman sivuille, saadaan konjugaatiopisteet 1 ja 2. Säteellä R, piirrä konjugaatiokaari pisteiden 1 ja 2 välille.
Ympyrän ja suoran konjugointi tietyn säteen kaarella
	Piirrä etäisyydellä R suora viiva, joka on yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa, ja keskustasta O 1 säteellä R + R 1 - ympyrän kaari. Piste O on konjugaatiokaaren keskipiste. Saamme pisteen 2 kohtisuorassa, joka on pudonnut pisteestä O tietylle suoralle, ja piste 1 - suoran OO 1 ja säteen R leikkauspisteeseen.

Taulukon 2 jatko

Kahden ympyrän kaarien konjugointi suoralla viivalla
	Piirrä pisteestä O apuympyrä, jonka säde on R-R 1. Jaa jana OO 1 kahtia ja piirrä pisteestä O 2 ympyrä, jonka säde on 0,5 OO 1. Tämä ympyrä leikkaa apuviivan pisteessä K 0. Yhdistämällä pisteen K 0 pisteeseen O 1 saadaan yhteisen tangentin suunta. Tangenttipisteet K ja K 1 löytyvät pisteiden O ja O 1 kohtisuorien leikkauspisteestä annetuilla ympyröillä.
Kahden ympyrän kaarien konjugointi tietyn säteen omaavalla kaarella (ulkoinen konjugaatio)
	Piirrä keskipisteistä O 1 ja O 2 kaaria, joiden säteet ovat R + R 1 ja R + R 2. Kun nämä kaaret leikkaavat, saadaan piste O - konjugaatiokaaren keskipiste. Yhdistä pisteet O 1 ja O 2 pisteeseen O. Pisteet K ja K 1 ovat konjugaatiopisteitä. Piirrä pisteiden K ja K 1 väliin konjugaatiokaari, jonka säde on R.