Jos kulma on terävä, kerroin. Funktion kaavion tangentin yhtälö. Kattava opas (2019)

Edellisessä luvussa osoitettiin, että valitsemalla tasolle tietyn koordinaattijärjestelmän voimme analyyttisesti ilmaista tarkasteltavan suoran pisteitä kuvaavat geometriset ominaisuudet nykyisten koordinaattien välisellä yhtälöllä. Siten saamme suoran yhtälön. Tässä luvussa tarkastellaan suorien yhtälöitä.

Muodostaaksesi suoran yhtälön suorakulmaisiksi koordinaatteiksi, sinun on jotenkin asetettava ehdot, jotka määrittävät sen sijainnin suhteessa koordinaattiakseleihin.

Ensin otamme käyttöön suoran kaltevuuden käsitteen, joka on yksi suureista, jotka kuvaavat suoran asemaa tasossa.

Kutsutaan suoran kaltevuuskulmaa Ox-akseliin nähden kulmaksi, jolla Ox-akselia on kierrettävä niin, että se osuu yhteen annetun suoran kanssa (tai osoittautuu sen suuntaiseksi). Kuten tavallista, harkitsemme kulmaa ottaen huomioon merkin (merkki määräytyy pyörimissuunnan mukaan: vastapäivään tai myötäpäivään). Koska Ox-akselin lisäkierto 180° kulmalla yhdistää sen jälleen suoran linjan kanssa, suoran kaltevuuskulma akseliin nähden voidaan valita moniselitteisesti (enintään :n kerrannainen).

Tämän kulman tangentti määritetään yksiselitteisesti (koska kulman muuttaminen arvoon ei muuta sen tangenttia).

Suoran viivan kaltevuuskulman tangenttia x-akseliin nähden kutsutaan suoran kaltevuudeksi.

Kaltevuus luonnehtii suoran suuntaa (tässä emme erottele kahta keskenään vastakkaista suoran suuntaa). Jos rinne on suora nolla, niin viiva on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Positiivisella kulmakertoimella suoran kaltevuuskulma x-akseliin on terävä (tarkastelemme tässä pienintä positiivinen arvo kallistuskulma) (kuva 39); tässä tapauksessa mitä suurempi kaltevuus on, sitä suurempi on sen kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden. Jos kaltevuus on negatiivinen, suoran kaltevuuskulma x-akseliin on tylpä (kuva 40). Huomaa, että suoralla, joka on kohtisuorassa x-akseliin nähden, ei ole kaltevuutta (kulman tangenttia ei ole olemassa).

Suora y \u003d f (x) on tangentti kuvassa näkyvälle kuvaajalle pisteessä x0, jos se kulkee koordinaattipisteen (x0; f (x0)) läpi ja sen kaltevuus on f "(x0). Etsi. tällainen kerroin, kun tiedetään tangentin ominaisuudet, se ei ole vaikeaa.

Tarvitset

• - matemaattinen hakuteos;
• - yksinkertainen lyijykynä;
• - muistikirja;
• - astelevy;
• - kompassi;
• - kynä.

Ohje

Jos arvoa f’(x0) ei ole olemassa, joko tangenttia ei ole tai se kulkee pystysuunnassa. Tämän huomioon ottaen funktion derivaatan esiintyminen pisteessä x0 johtuu ei-pystysuoran tangentin olemassaolosta, joka on kosketuksessa funktion kuvaajaan pisteessä (x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x0). Siten se tulee selväksi geometrinen tunne derivaatta - tangentin kaltevuuden laskeminen.

Piirrä lisätangentit, jotka olisivat kosketuksissa funktion kuvaajaan pisteissä x1, x2 ja x3, ja merkitse myös näiden tangenttien muodostamat kulmat abskissa-akselilla (sellainen kulma lasketaan positiivisessa suunnassa akselista tangenttiviiva). Esimerkiksi kulma, eli α1, on terävä, toinen (α2) on tylppä ja kolmas (α3) on nolla, koska tangenttiviiva on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa. Tässä tapauksessa tylpän kulman tangentti on negatiivinen, terävän kulman tangentti on positiivinen ja tg0:lla tulos on nolla.

Huomautus

Määritä tangentin muodostama kulma oikein. Käytä tätä varten astelevyä.

Hyödyllinen neuvo

Kaksi vinoa viivaa ovat yhdensuuntaisia, jos niiden kaltevuus on yhtä suuri. kohtisuorassa, jos näiden tangenttien kaltevuuden tulo on -1.

Lähteet:

• Funktiokaavion tangentti

Kosiinia, kuten siniä, kutsutaan "suoriksi" trigonometrisiksi funktioiksi. Tangentti (yhdessä kotangentin kanssa) lisätään toiseen pariin, jota kutsutaan "johdannaisiksi". Näille funktioille on olemassa useita määritelmiä, joiden avulla on mahdollista löytää tangentin antama tunnettu arvo saman arvon kosini.

Ohje

Vähennä osamäärä yksiköstä arvoon korotetulla annetun kulman kosinilla ja ota tuloksesta neliöjuuri - tämä on kulman tangentin arvo ilmaistuna sen kosinina: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Kiinnitä samalla huomiota siihen, että kaavassa kosini on murtoluvun nimittäjässä. Nollalla jakamisen mahdottomuus sulkee pois tämän lausekkeen käytön kulmille, jotka ovat yhtä suuria kuin 90°, sekä poikkeamisen tästä arvosta 180°:n kerrannaisilla (270°, 450°, -90° jne.).

On myös vaihtoehtoinen tapa tangentin laskeminen kosinin tunnetusta arvosta. Sitä voidaan käyttää, jos muiden käyttöä ei rajoiteta. Tämän menetelmän toteuttamiseksi määritä ensin kulman arvo tunnetusta kosiniarvosta - tämä voidaan tehdä arkosiinifunktiolla. Laske sitten yksinkertaisesti saadun arvon kulman tangentti. Yleensä tämä algoritmi voidaan kirjoittaa seuraavasti: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

On olemassa toinen eksoottinen vaihtoehto, jossa käytetään kosinin ja tangentin määritelmää suorakulmaisen kolmion terävien kulmien kautta. Tässä määritelmässä kosini vastaa tarkasteltavan kulman vieressä olevan jalan pituuden suhdetta hypotenuusan pituuteen. Kun tiedät kosinin arvon, voit valita näiden kahden sitä vastaavan sivun pituudet. Esimerkiksi, jos cos(α) = 0,5, niin viereinen voidaan ottaa 10 cm:ksi ja hypotenuusa - 20 cm. Tietyillä luvuilla ei ole tässä väliä - saat saman ja oikean kaikilla arvoilla, joilla on samat. Määritä sitten Pythagoraan lauseen avulla puuttuvan puolen - vastakkaisen jalan - pituus. Hän on tasa-arvoinen neliöjuuri neliön hypotenuusan ja tunnetun haaran pituuksien erosta: √(20²-10²)=√300. Määritelmän mukaan tangentti vastaa vastakkaisten ja vierekkäisten haarojen pituuksien suhdetta (√300/10) - laske se ja hanki löydetty tangentin arvo käyttämällä klassista kosinin määritelmää.

Lähteet:

• kosini tangenttikaavan kautta

Yksi trigonometriset funktiot, jota useimmiten merkitään kirjaimilla tg, vaikka myös nimityksiä tan löytyy. Helpoin tapa on esittää tangentti sinin suhteena kulma sen kosinukseen. Tämä on pariton jaksollinen eikä jatkuva funktio, jonka jokainen jakso on yhtä suuri kuin luku Pi, ja taitepiste vastaa puolta tästä luvusta.

Matematiikassa yksi suoran sijaintia suorakulmaisella koordinaattitasolla kuvaavista parametreista on tämän suoran kaltevuus. Tämä parametri kuvaa suoran kaltevuutta x-akseliin nähden. Ymmärtääksesi kaltevuuden löytämisen, muista ensin XY-koordinaatistossa olevan suoran yhtälön yleinen muoto.

Yleensä mitä tahansa suoraa voidaan esittää lausekkeella ax+by=c, jossa a, b ja c ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja, mutta välttämättä a 2 + b 2 ≠ 0.

Yksinkertaisten muunnosten avulla tällainen yhtälö voidaan saada muotoon y=kx+d, jossa k ja d ovat reaalilukuja. Luku k on kaltevuus, ja tämän tyyppistä suoran yhtälöä kutsutaan kaltevuuden yhtälöksi. Osoittautuu, että kaltevuuden löytämiseksi sinun on vain saatettava alkuperäinen yhtälö yllä olevaan muotoon. Jotta ymmärrät paremmin, harkitse tiettyä esimerkkiä:

Tehtävä: Etsi yhtälön 36x - 18y = 108 antaman suoran kaltevuus

Ratkaisu: Muunnetaan alkuperäinen yhtälö.

Vastaus: Tämän viivan haluttu kaltevuus on 2.

Jos yhtälön muunnoksen aikana saimme lausekkeen, jonka tyyppi on x = const, emmekä siksi voi esittää y:tä x:n funktiona, niin kyseessä on X-akselin suuntainen suora. tällainen suora on yhtä suuri kuin ääretön.

Linjojen, jotka ilmaistaan ​​yhtälöllä, kuten y = const, kulmakerroin on nolla. Tämä on tyypillistä x-akselin suuntaisille suorille viivoille. Esimerkiksi:

Tehtävä: Etsi yhtälön 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 antaman suoran kaltevuus

Ratkaisu: Tuomme alkuperäisen yhtälön yleiseen muotoon

24x + 12v - 12v + 28 = 4

Y:tä on mahdotonta ilmaista tuloksena olevasta lausekkeesta, joten tämän suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin ääretön, ja itse suora on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa.

geometrinen tunne

Katsotaanpa kuvaa, jotta ymmärrät paremmin:

Kuvassa on funktion kaavio, jonka tyyppi on y = kx. Yksinkertaistamiseksi otamme kertoimen c = 0. Kolmiossa OAB sivun BA ja AO suhde on yhtä suuri kuin kaltevuus k. Samanaikaisesti suhde VA/AO on terävän kulman α in tangentti suorakulmainen kolmio OAV. Osoittautuu, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin sen kulman tangentti, jonka tämä suora muodostaa koordinaattiruudukon x-akselin kanssa.

Ratkaisemme suoran viivan kaltevuuden löytämisen ongelman, löydämme sen ja koordinaattiverkon x-akselin välisen kulman tangentin. Rajatapaukset, joissa tarkasteltava suora on yhdensuuntainen koordinaattiakseleiden kanssa, vahvistavat edellä olevan. Todellakin, yhtälöllä y=const kuvatulle suoralle sen ja x-akselin välinen kulma on nolla. Nollakulman tangentti on myös nolla ja kaltevuus on myös nolla.

Suorilla viivoilla, jotka ovat kohtisuorassa x-akseliin nähden ja joita kuvaa yhtälö x=const, niiden ja x-akselin välinen kulma on 90 astetta. Tangentti oikea kulma on yhtä suuri kuin ääretön, ja samankaltaisten suorien viivojen kaltevuus on yhtä suuri kuin ääretön, mikä vahvistaa edellä kirjoitetun.

Tangentin kaltevuus

Yleinen, käytännössä usein tavattu tehtävä on myös löytää jossain pisteessä funktiokaavion tangentin kaltevuus. Tangentti on suora, joten kaltevuuden käsite pätee myös siihen.

Jotta voimme selvittää, kuinka löytää tangentin kaltevuus, meidän on muistettava derivaatan käsite. Minkä tahansa funktion derivaatta jossain vaiheessa on numeerisesti vakio yhtä suuri kuin tangentti kulma, joka muodostuu tämän funktion kuvaajan määritellyssä pisteessä olevan tangentin ja abskissa-akselin välille. Osoittautuu, että tangentin kaltevuuden määrittämiseksi pisteessä x 0 meidän on laskettava alkuperäisen funktion derivaatan arvo tässä pisteessä k \u003d f "(x 0). Tarkastellaan esimerkkiä:

Tehtävä: Etsi funktion y = 12x 2 + 2xe x tangentin jyrkkyys kohdassa x = 0,1.

Ratkaisu: Etsi alkuperäisen funktion derivaatta yleisessä muodossa

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Vastaus: Haluttu kaltevuus pisteessä x \u003d 0,1 on 4,831

Tason suoran yhtälön aiheen jatko perustuu suoran tutkimiseen algebran oppitunneista. Tämä artikkeli antaa yleistä tietoa suoran ja kaltevuuden yhtälöstä. Harkitse määritelmiä, hanki itse yhtälö, paljasta yhteys muuntyyppisiin yhtälöihin. Kaikesta keskustellaan esimerkkien avulla ongelmanratkaisusta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen tällaisen yhtälön kirjoittamista on tarpeen määrittää suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden niiden kaltevuuden kanssa. Oletetaan, että tasossa on annettu suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x.

Määritelmä 1

Suoran viivan kaltevuuskulma akseliin O x, joka sijaitsee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y tasossa, tämä on kulma, joka mitataan positiivisesta suunnasta O x vastapäivään olevaan suoraan.

Kun suora on yhdensuuntainen Oxin kanssa tai siinä esiintyy sattuma, kaltevuuskulma on 0. Sitten välissä [0, π) määritetään annetun suoran kaltevuuskulma α.

Määritelmä 2

Suoran viivan kaltevuus on annetun suoran kaltevuuden tangentti.

Vakiomerkintä on k. Määritelmästä saadaan, että k = t g α . Kun suora on yhdensuuntainen Oxin kanssa, kaltevuuden sanotaan olevan olemassa, koska se menee äärettömään.

Kulmakerroin on positiivinen, kun funktion kuvaaja kasvaa ja päinvastoin. Kuvassa on esitetty erilaisia ​​muunnelmia oikean kulman sijainnista suhteessa koordinaattijärjestelmään kertoimen arvolla.

Tämän kulman löytämiseksi on tarpeen soveltaa kaltevuuskertoimen määritelmää ja laskea kaltevuuskulman tangentti tasossa.

Päätös

Ehdosta saamme, että α = 120 °. Määritelmän mukaan sinun on laskettava kaltevuus. Etsitään se kaavasta k = t g α = 120 = - 3 .

Vastaus: k = -3 .

Jos kulmakerroin tunnetaan, mutta on tarpeen löytää kaltevuuskulma x-akseliin nähden, kulmakertoimen arvo tulee ottaa huomioon. Jos k > 0, niin suora kulma on terävä ja se saadaan kaavasta α = a r c t g k . Jos k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Esimerkki 2

Määritä annetun suoran kaltevuuskulma suhteessa O x:ään, jonka kaltevuus on 3.

Päätös

Ehdolla on, että kaltevuus on positiivinen, mikä tarkoittaa, että kaltevuuskulma O x:ään nähden on alle 90 astetta. Laskelmat tehdään kaavan α = a r c t g k = a r c t g 3 mukaisesti.

Vastaus: α = a r c t g 3 .

Esimerkki 3

Etsi suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, jos kaltevuus = - 1 3 .

Päätös

Jos otamme kaltevuuden merkinnäksi kirjaimen k, niin α on kaltevuuskulma annettuun suoraan nähden positiivisessa suunnassa O x. Tästä syystä k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Vastaus: 5 pi 6.

Yhtälöä, jonka muoto on y \u003d k x + b, jossa k on kaltevuus ja b on jokin reaaliluku, kutsutaan yhtälöksi suorasta ja kaltevasta viivasta. Yhtälö on tyypillinen mille tahansa suoralle, joka ei ole yhdensuuntainen O y -akselin kanssa.

Jos tarkastellaan yksityiskohtaisesti suoraa tasossa kiinteässä koordinaattijärjestelmässä, joka saadaan yhtälöllä, jonka kaltevuus näyttää tältä y = k · x + b . Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että minkä tahansa suoran pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä. Jos korvaamme pisteen M koordinaatit M 1 (x 1, y 1) yhtälöön y \u003d k x + b, niin tässä tapauksessa suora kulkee tämän pisteen läpi, muuten piste ei kuulu linja.

Esimerkki 4

Annettu suora kaltevuus y = 1 3 x - 1 . Laske, kuuluvatko pisteet M 1 (3 , 0) ja M 2 (2 , - 2) annettuun suoraan.

Päätös

On tarpeen korvata pisteen M 1 (3, 0) koordinaatit annettuun yhtälöön, jolloin saadaan 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Tasa-arvo on totta, joten piste kuuluu riville.

Jos korvaamme pisteen M 2 (2, - 2) koordinaatit, saadaan virheellinen yhtälö muotoon - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Voimme päätellä, että piste M 2 ei kuulu suoralle.

Vastaus: M 1 kuuluu riville, mutta M 2 ei.

Tiedetään, että suora määritellään yhtälöllä y = k · x + b, joka kulkee M 1 (0 , b) :n kautta, substituutiolla saatiin yhtälö muotoa b = k · 0 + b ⇔ b = b . Tästä voidaan päätellä, että tasaisen suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = k · x + b, määrittää suoran, joka kulkee pisteen 0, b kautta. Se muodostaa kulman α O x -akselin positiivisen suunnan kanssa, missä k = t g α .

Tarkastellaan esimerkiksi suoraa, joka on määritelty käyttämällä muotoa y = 3 · x - 1 annettua kaltevuutta. Saadaan, että suora kulkee pisteen, jonka koordinaatti on 0, - 1, kaltevuus α = a r c t g 3 = π 3 radiaania O x -akselin positiivisessa suunnassa. Tästä voidaan nähdä, että kerroin on 3.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

On tarpeen ratkaista tehtävä, jossa on tarpeen saada yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta.

Yhtälöä y 1 = k · x + b voidaan pitää pätevänä, koska suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1) kautta. Numeron b poistamiseksi on vähennettävä yhtälö kaltevuuskertoimella vasemmalta ja oikealta puolelta. Tästä seuraa, että y - y 1 = k · (x - x 1) . Tätä yhtälöä kutsutaan pisteen M 1 (x 1, y 1) koordinaattien kautta kulkevan suoran yhtälöksi, jolla on tietty kaltevuus k.

Esimerkki 5

Muodosta yhtälö pisteen M 1 läpi kulkevasta suorasta koordinaateista (4, - 1), jonka kaltevuus on -2.

Päätös

Ehdolla meillä on x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Tästä eteenpäin suoran yhtälö kirjoitetaan näin y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Vastaus: y = -2 x + 7.

Esimerkki 6

Kirjoita yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 läpi koordinaattein (3, 5) yhdensuuntaisina suoran y \u003d 2 x - 2 kanssa.

Päätös

Ehdolla meillä on, että yhdensuuntaisilla viivoilla on yhtenevät kaltevuuskulmat, joten kaltevuuskertoimet ovat yhtä suuret. Löytääksesi rinteen annettu yhtälö, on tarpeen muistaa sen peruskaava y = 2 x - 2, joten tästä seuraa, että k = 2 . Muodostamme yhtälön kaltevuuskertoimella ja saamme:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Vastaus: y = 2 x - 1 .

Siirtyminen kaltevan suoran yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Tällaista yhtälöä ei aina voida soveltaa ongelmien ratkaisemiseen, koska sen merkintätapa ei ole kovin kätevä. Tätä varten se on esitettävä eri muodossa. Esimerkiksi yhtälö, jonka muoto on y = k · x + b, ei salli suoran suuntavektorin tai normaalivektorin koordinaattien kirjoittamista. Tätä varten sinun on opittava esittämään erilaisia ​​yhtälöitä.

Voimme saada tasossa olevan suoran kanonisen yhtälön käyttämällä yhtälöä suora kaltevuus. Saamme x - x 1 a x = y - y 1 a y . On tarpeen siirtää termiä b vasemmalle puolelle ja jakaa tuloksena olevan epäyhtälön lausekkeella. Sitten saadaan yhtälö muotoa y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Suoran ja kaltevuuden yhtälöstä on tullut tietyn suoran kanoninen yhtälö.

Esimerkki 7

Tuo suoran yhtälö, jonka kaltevuus on y = - 3 x + 12, kanoniseen muotoon.

Päätös

Laskemme ja edustamme suoran kanonisen yhtälön muodossa. Saamme muodon yhtälön:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Vastaus: x 1 = y - 12 - 3.

Suoran suoran yleinen yhtälö on helpoin saada kaavasta y = k x + b, mutta tämä vaatii muunnoksia: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Suoritetaan siirtymä suoran yleisestä yhtälöstä toisen tyyppisiin yhtälöihin.

Esimerkki 8

On annettu yhtälö muotoa y = 1 7 x - 2 olevasta suorasta. Selvitä, onko vektori, jonka koordinaatit a → = (- 1 , 7), normaali suoravektori?

Päätös

Sen ratkaisemiseksi on vaihdettava tämän yhtälön toiseen muotoon, tätä varten kirjoitamme:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Muuttujien edessä olevat kertoimet ovat suoran normaalivektorin koordinaatit. Kirjoitetaan se näin n → = 1 7 , - 1 , joten 1 7 x - y - 2 = 0 . On selvää, että vektori a → = (- 1 , 7) on kollineaarinen vektorin n → = 1 7, - 1 kanssa, koska meillä on reilu relaatio a → = - 7 · n → . Tästä seuraa , että alkuperäinen vektori a → = - 1 , 7 on suoran 1 7 x - y - 2 = 0 normaalivektori , mikä tarkoittaa , että sitä pidetään normaalivektorina suoralle y = 1 7 x - 2 .

Vastaus: On

Ratkaistaan ​​ongelma käänteisesti tälle.

Pitää muuttaa pois yleisnäkymä yhtälö A x + B y + C = 0, missä B ≠ 0, kaltevuusyhtälöön. Tätä varten ratkaisemme yhtälön y:lle. Saamme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Tuloksena on yhtälö, jonka kaltevuus on -A B .

Esimerkki 9

On annettu yhtälö muotoa 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hanki yhtälö tietylle suoralle, jolla on kaltevuus.

Päätös

Ehdon perusteella on ratkaistava y, jolloin saadaan yhtälö muotoa:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Vastaus: y = 1 6 x + 1 4 .

Samalla tavalla ratkaistaan ​​yhtälö, jonka muoto on x a + y b \u003d 1, jota kutsutaan suoran yhtälöksi segmenteissä tai kanonisessa muodossa x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Se on ratkaistava y:n suhteen, vasta sitten saadaan yhtälö, jolla on kaltevuus:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanoninen yhtälö voidaan pelkistää muotoon, jossa on kaltevuus. Tätä varten:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

Esimerkki 10

On olemassa yhtälön x 2 + y - 3 = 1 antama suora viiva. Muodosta yhtälö, jossa on kaltevuus.

Päätös.

Ehdon perusteella on muunnettava, jolloin saadaan yhtälö muotoa _kaava_. Yhtälön molemmat puolet tulee kertoa -3:lla, jotta saadaan vaadittu kaltevuusyhtälö. Muuntamalla saamme:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Vastaus: y = 3 2 x - 3.

Esimerkki 11

Muodon x - 2 2 \u003d y + 1 5 suora yhtälö tuodaan muotoon, jossa on kaltevuus.

Päätös

On tarpeen laskea lauseke x - 2 2 = y + 1 5 suhteessa. Saamme, että 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nyt sinun on otettava se käyttöön kokonaan tätä varten:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Vastaus: y = 5 2 x - 6 .

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi tulee tuoda suoran x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ parametriset yhtälöt kanoninen yhtälö suora, vasta sen jälkeen voit siirtyä yhtälöön kaltevuuskertoimella.

Esimerkki 12

Laske suoran kaltevuus, jos se on annettu parametriyhtälöillä x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Päätös

Sinun on siirryttävä parametrinäkymästä kaltevuustilaan. Tätä varten löydämme kanonisen yhtälön annetusta parametrisesta yhtälöstä:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nyt on tarpeen ratkaista tämä yhtälö y:n suhteen, jotta saadaan yhtälö suorasta kulmasta. Tätä varten kirjoitamme näin:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Tästä seuraa, että suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin 2. Tämä kirjoitetaan muodossa k = 2 .

Vastaus: k = 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Kuvassa on esitetty suoran kaltevuuskulma ja kaltevuuskertoimen arvo eri vaihtoehdoille suoran sijainnille suhteessa suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään.

Tiedossa olevan suoran kaltevuuden löytäminen Ox-akseliin nähden ei aiheuta vaikeuksia. Tätä varten riittää, että muistaa kaltevuuskertoimen määritelmä ja laskea kaltevuuskulman tangentti.

Esimerkki.

Etsi viivan kaltevuus, jos sen kaltevuuskulma x-akseliin nähden on yhtä suuri kuin .

Päätös.

Ehdon mukaan. Sitten lasketaan suoran kaltevuuden määritelmän mukaan .

Vastaus:

Tehtävä löytää kaltevuuskulma suoran viivan x-akseliin nähden, jolla on tunnettu kaltevuus, on hieman vaikeampi. Tässä on otettava huomioon kaltevuuskertoimen etumerkki. Kun suoran kaltevuuskulma on terävä ja löytyy muodossa . Kun suoran viivan kaltevuuskulma on tylppä ja se voidaan määrittää kaavalla .

Esimerkki.

Määritä suoran kaltevuuskulma x-akseliin nähden, jos sen kaltevuus on 3.

Päätös.

Koska ehdon mukaan kaltevuus on positiivinen, suoran kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden on terävä. Laskemme sen kaavan mukaan.

Vastaus:

Esimerkki.

Suoran viivan kaltevuus on . Määritä suoran kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden.

Päätös.

Merkitse k on suoran kaltevuus, on tämän suoran kaltevuuskulma Ox-akselin positiiviseen suuntaan. Kuten , niin käytämme kaavaa seuraavan muotoisen suoran kaltevuuskulman löytämiseksi . Korvaamme ehdon tiedot siihen: .

Vastaus:

Suoran ja kaltevuuden yhtälö.

Viivayhtälö kaltevuuden kanssa on muotoa , jossa k on suoran kaltevuus, b on jokin reaaliluku. Kaltevan suoran yhtälöllä voidaan määrittää mikä tahansa suora, joka ei ole samansuuntainen Oy-akselin kanssa (y-akselin suuntaiselle suoralle kaltevuutta ei määritellä).

Katsotaanpa lauseen merkitystä: "tasolla oleva suora kiinteässä koordinaattijärjestelmässä annetaan yhtälöllä, jolla on muodon kaltevuus". Tämä tarkoittaa, että yhtälön täyttävät minkä tahansa suoran pisteen koordinaatit eivätkä minkään muun tason pisteen koordinaatit. Siten, jos oikea yhtälö saadaan korvaamalla pisteen koordinaatit, suora kulkee tämän pisteen kautta. Muuten piste ei ole suoralla.

Esimerkki.

Suora on yhtälö, jonka kaltevuus on . Kuuluvatko pisteet myös tälle riville?

Päätös.

Korvaa pisteen koordinaatit kaltevan suoran alkuperäiseen yhtälöön: . Olemme saaneet oikean yhtälön, joten piste M 1 on suoralla.

Kun pisteen koordinaatit korvataan, saadaan väärä yhtälö: . Näin ollen piste M 2 ei ole suoralla viivalla.

Vastaus:

Piste M 1 kuuluu riville, M 2 ei.

On huomattava, että suora, jonka kaltevuus yhtälöllä määrittää, kulkee pisteen läpi, koska kun korvaamme sen koordinaatit yhtälöön, saamme oikean yhtälön: .

Siten yhtälö suora viiva kaltevuus määrittää suoran tasossa, joka kulkee pisteen läpi ja muodostaa kulman abskissa-akselin positiivisen suunnan kanssa, ja .

Esimerkkinä piirretään suora, joka määritellään yhtälöllä suora viiva, jonka kaltevuus on muotoa . Tämä viiva kulkee pisteen läpi ja sillä on kaltevuus radiaaneja (60 astetta) Ox-akselin positiiviseen suuntaan. Sen kaltevuus on .

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö.

Nyt ratkaisemme erittäin tärkeän ongelman: saamme yhtälön suorasta viivasta, jolla on tietty kaltevuus k ja joka kulkee pisteen läpi.

Koska viiva kulkee pisteen läpi, niin tasa-arvo . Numero b on meille tuntematon. Päästäksemme eroon siitä vähennämme kaltevan suoran yhtälön vasemmasta ja oikeasta osasta viimeisen yhtälön vasen ja oikea osa. Näin tehdessämme saamme . Tämä tasa-arvo on Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö, jolla on tietty kaltevuus k.

Harkitse esimerkkiä.

Esimerkki.

Kirjoita pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö, jonka kaltevuus on -2.

Päätös.

Tilanteemme perusteella . Sitten yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus, saa muodon .

Vastaus:

Esimerkki.

Kirjoita suoran yhtälö, jos tiedetään, että se kulkee pisteen läpi ja kaltevuuskulma Ox-akselin positiiviseen suuntaan on .

Päätös.

Ensin lasketaan sen suoran kaltevuus, jonka yhtälöä etsimme (ratkaisimme tällaisen ongelman tämän artikkelin edellisessä kappaleessa). A-priory . Nyt meillä on kaikki tiedot kaltevan suoran yhtälön kirjoittamiseen:

Vastaus:

Esimerkki.

Kirjoita yhtälö suoralle, jonka kaltevuus kulkee suoran kanssa yhdensuuntaisen pisteen kautta.

Päätös.

On selvää, että yhdensuuntaisten viivojen kaltevuuskulmat akseliin Ox ovat samat (katso tarvittaessa artikkeli yhdensuuntaiset viivat), joten yhdensuuntaisten viivojen kaltevuuskertoimet ovat yhtä suuret. Sitten suoran kaltevuus, jonka yhtälö meidän on saatava, on yhtä suuri kuin 2, koska suoran kaltevuus on 2. Nyt voimme muodostaa vaaditun yhtälön suorasta, jossa on kaltevuus:

Vastaus:

Siirtyminen kaltevuuskertoimella varustetun suoran yhtälöstä muun tyyppiseen suoran yhtälöön ja päinvastoin.

Kaikella tutulla tavalla suoran ja kaltevuuden yhtälö ei ole läheskään aina kätevää käyttää ongelmia ratkaistaessa. Joissakin tapauksissa ongelmat on helpompi ratkaista, kun suoran yhtälö esitetään eri muodossa. Esimerkiksi suoran kaltevuuden yhtälö ei salli suoran suuntausvektorin koordinaatteja tai suoran normaalivektorin koordinaatteja heti kirjoittaa muistiin. Siksi tulisi oppia siirtymään kaltevan suoran yhtälöstä tämän suoran yhtälön muihin tyyppeihin.

Suoran ja kaltevuuden yhtälöstä on helppo saada suoran kanoninen yhtälö muototasolla . Tätä varten siirrämme termin b yhtälön oikealta puolelta vasemmalle puolelle, jossa on vastakkainen etumerkki, ja jaamme sitten tuloksena olevan yhtälön molemmat osat kulmakertoimella k:. Nämä toiminnot johtavat meidät yhtälöstä suora kaltevuus kanoniseen yhtälöön suoran viivan.

Esimerkki.

Esitä yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus kanoniseen muotoon.

Päätös.

Suoritetaan tarvittavat muunnokset: .

Vastaus:

Esimerkki.

Suora saadaan yhtälöllä suora kaltevuus . Onko vektori tämän suoran normaalivektori?

Päätös.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi siirrytään kaltevan suoran yhtälöstä tämän suoran yleiseen yhtälöön: . Tiedämme, että suoran yleisen yhtälön muuttujien x ja y edessä olevat kertoimet ovat tämän suoran normaalivektorin vastaavat koordinaatit, eli suoran normaalivektorin. . Ilmeisesti vektori on kollineaarinen vektorin kanssa, koska relaatio on tosi (tarvittaessa katso artikkeli). Siten alkuperäinen vektori on myös suoran normaalivektori , ja siksi on normaalivektori ja alkuperäinen viiva .

Vastaus:

Kyllä se on.

Ja nyt ratkaisemme käänteisen ongelman - ongelman tuoda tasaisen suoran yhtälö kaltevan suoran yhtälöön.

Yleisestä suorayhtälöstä , missä , on erittäin helppo siirtyä kaltevuusyhtälöön. Tätä varten tarvitset yleinen yhtälö suora päätös y:n suhteen. Samalla saamme. Tuloksena oleva yhtälö on yhtälö suorasta viivasta, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin .