Tangenttien sinien kosinin neljännekset. trigonometrinen ympyrä. Trigonometristen funktioiden perusarvot

Jos olet jo perehtynyt trigonometrinen ympyrä , ja haluat vain päivittää yksittäisiä elementtejä muistissasi tai olet täysin kärsimätön, niin tässä se on, :

Täällä analysoimme kaiken yksityiskohtaisesti askel askeleelta.

Trigonometrinen ympyrä ei ole luksusta, vaan välttämättömyys

Trigonometria monet liittyvät läpäisemättömään tiheään. Niin monia merkityksiä kasaantuu yhtäkkiä trigonometriset funktiot, niin monia kaavoja ... Mutta se on kuin - se ei toiminut aluksi, ja ... päälle ja pois ... silkkaa väärinkäsitystä ...

On erittäin tärkeää olla heiluttamatta kättäsi trigonometristen funktioiden arvot, - he sanovat, aina voi katsoa kannustetta arvotaulukolla.

Jos katsot jatkuvasti taulukkoa trigonometristen kaavojen arvoilla, päästään eroon tästä tavasta!

Pelastaa meidät! Työskentelet sen kanssa useita kertoja, ja sitten se ponnahtaa päähäsi itsestään. Miksi se on parempi kuin pöytä? Kyllä, taulukosta löydät rajoitetun määrän arvoja, mutta ympyrästä - KAIKKI!

Oletetaan esimerkiksi, että katsot trigonometristen kaavojen vakioarvotaulukko , joka on esimerkiksi 300 asteen sini tai -45.

Ei mitenkään? .. voit tietysti muodostaa yhteyden pelkistyskaavat... Ja katsomalla trigonometristä ympyrää, voit helposti vastata tällaisiin kysymyksiin. Ja pian tiedät kuinka!

Ja kun ratkaistaan ​​trigonometrisiä yhtälöitä ja epäyhtälöitä ilman trigonometristä ympyrää - ei missään.

Johdatus trigonometriseen ympyrään

Mennään järjestyksessä.

Kirjoita ensin seuraavat numerosarjat muistiin:

Ja nyt tämä:

Ja lopuksi tämä:

Tietenkin on selvää, että itse asiassa ensinnäkin on, toiseksi on, ja viimeinen -. Eli olemme enemmän kiinnostuneita ketjusta.

Mutta kuinka kaunis siitä tulikaan! Siinä tapauksessa palautamme nämä "ihanat tikkaat".

Ja miksi me tarvitsemme sitä?

Tämä ketju on sinin ja kosinin pääarvot ensimmäisellä neljänneksellä.

Piirretään yksikkösäteinen ympyrä suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään (eli otamme minkä tahansa säteen pituudelta ja julistamme sen pituudeksi yksikkö).

"0-Start" -palkista siirrämme sivuun nuolen (katso kuva) kulmat.

Saamme vastaavat pisteet ympyrästä. Joten jos projisoimme pisteet jokaiselle akselille, saamme tarkalleen arvot yllä olevasta ketjusta.

Miksi niin, kysyt?

Älkäämme purkako kaikkea. Harkitse periaate, jonka avulla voit selviytyä muista samankaltaisista tilanteista.

Kolmio AOB on suorakulmainen kolmio, jossa on . Ja tiedämme, että kulmaa vastapäätä on jalka, joka on kaksi kertaa pienempi kuin hypotenuusa (hypotenuusamme = ympyrän säde, eli 1).

Siten AB= (ja siten OM=). Ja Pythagoraan lauseen mukaan

Toivottavasti nyt on jotain selvää.

Joten piste B vastaa arvoa ja piste M vastaa arvoa

Samoin muiden ensimmäisen vuosineljänneksen arvojen kanssa.

Kuten ymmärrät, meille tuttu akseli (härkä) tulee olemaan kosiniakseli, ja akseli (oy) - sinus-akseli . myöhemmin.

Nollan vasemmalla puolella kosiniakselilla (nollan alapuolella siniakselilla) on tietysti negatiiviset arvot.

Joten tässä se on, KAIKKIVOIMAKAS, jota ilman ei missään trigonometriassa.

Mutta kuinka trigonometristä ympyrää käytetään, puhumme.

Viitetiedot tangentille (tg x) ja kotangentille (ctg x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko tangenteista ja kotangenteista, derivaatoista, integraaleista, sarjalaajennuksista. Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.

Geometrinen määritelmä

|BD| - pisteessä A keskitetyn ympyrän kaaren pituus.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Tangentti ( tgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu hypotenuusan ja jalan välisestä kulmasta α suorakulmainen kolmio, yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan pituuden suhde |BC| viereisen haaran pituuteen |AB| .

Kotangentti ( ctgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| vastakkaisen jalan pituuteen |BC| .

Tangentti

Missä n-kokonainen.

AT Länsimainen kirjallisuus tangentti määritellään seuraavasti:
.
;
;
.

Tangenttifunktion kuvaaja, y = tg x

Kotangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa kotangentti merkitään seuraavasti:
.
Myös seuraava merkintä on otettu käyttöön:
;
;
.

Kotangenttifunktion kuvaaja, y = ctg x

Tangentin ja kotangentin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y= tg x ja y= ctg x ovat jaksollisia jaksolla π.

Pariteetti

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat parittomia.

Määritelmä- ja arvoalueet, nouseva, laskeva

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Tangentin ja kotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa ( n- kokonaisluku).

	y= tg x	y= ctg x
Laajuus ja jatkuvuus
Arvoalue	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Nouseva		-
Laskeva	-
Äärimmäisyydet	-	-
Nollat, y= 0
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	y= 0	-

Kaavat

Lausekkeet sinin ja kosinin suhteen

; ;
; ;
;

Kaavat summan ja erotuksen tangentille ja kotangentille

Muut kaavat ovat esimerkiksi helppoja saada

Tangenttien tulo

Tangenttien summan ja eron kaava

Tämä taulukko näyttää tangenttien ja kotangenttien arvot joillekin argumentin arvoille.

Lausekkeet kompleksilukuina

Hyperbolisten funktioiden lausekkeet

;
;

Johdannaiset

; .

.
N:nnen kertaluvun johdannainen funktion muuttujan x suhteen:
.
Tangentin > > > kaavojen johtaminen ; kotangentille >>>

Integraalit

Laajennukset sarjoiksi

Saadaksesi tangentin laajennuksen potenssilla x, sinun on otettava useita termejä teho sarja toimintoja varten synti x ja cos x ja jakaa nämä polynomit toisiinsa , . Tämä johtaa seuraaviin kaavoihin.

klo .

osoitteessa .
missä B n- Bernoullin numerot. Ne määritetään joko toistuvuussuhteesta:
;
;
missä .
Tai Laplacen kaavan mukaan:

Käänteiset funktiot

Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arctangentti ja arkotangentti.

Arktangentti, arktg

, missä n-kokonainen.

Kaaretangentti, arcctg

, missä n-kokonainen.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
G. Korn, Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille, 2012.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, saatamme kerätä erilaisia ​​tietoja mukaan lukien nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia ​​tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn mukaisesti, in oikeudenkäynti ja/tai julkisten pyyntöjen tai lähettäjien pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietojasi, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun kannalta.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojellaksemme henkilökohtaisia ​​tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Kulmien laskeminen trigonometrisellä ympyrällä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Se on melkein sama kuin edellisellä oppitunnilla. On kirveitä, ympyrä, kulma, kaikki on chin-chinaa. Lisätty neljännesnumerot (suuren neliön kulmissa) - ensimmäisestä neljänteen. Ja sitten yhtäkkiä kuka ei tiedä? Kuten näette, neljännekset (niitä kutsutaan myös kaunis sana"neljänneset") on numeroitu liikettä vastaan myötäpäivään. Lisätty kulma-arvot akseleille. Kaikki on selvää, ei röyhelöitä.

Ja lisäsi vihreän nuolen. Plussalla. Mitä hän tarkoittaa? Haluan muistuttaa, että kulman kiinteä puoli aina naulattu positiiviseen akseliin OH. Jos siis kierrämme kulman liikkuvaa puolta plus nuoli, eli nousevissa vuosineljänneksissä, kulma katsotaan positiiviseksi. Esimerkiksi kuvassa on +60° positiivinen kulma.

Jos lykkäämme kulmia sisään kääntöpuoli, myötäpäivään, kulma katsotaan negatiiviseksi. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletissa), näet sinisen nuolen, jossa on miinus. Tämä on kulmien negatiivisen lukeman suunta. Negatiivinen kulma (-60°) on esitetty esimerkkinä. Ja näet myös kuinka akseleiden numerot ovat muuttuneet ... Käänsin ne myös negatiivisiksi kulmiksi. Kvadranttien numerointi ei muutu.

Tästä yleensä alkavat ensimmäiset väärinkäsitykset. Kuinka niin!? Ja jos ympyrän negatiivinen kulma osuu yhteen positiivisen kanssa!? Ja yleensä käy ilmi, että samaa liikkuvan puolen (tai numeerisen ympyrän pisteen) sijaintia voidaan kutsua sekä negatiiviseksi että positiiviseksi kulmaksi!?

Joo. Tarkalleen. Oletetaan, että 90 asteen positiivinen kulma muodostaa ympyrän täysin sama asema negatiivisena kulmana miinus 270 astetta. Positiivinen kulma, esimerkiksi +110° astetta, kestää täysin sama asentoon, koska negatiivinen kulma on -250°.

Ei ongelmaa. Kaikki on oikein.) Positiivisen tai negatiivisen kulman laskennan valinta riippuu tehtävän ehdosta. Jos tilanne ei kerro mitään pelkkää tekstiä kulman merkistä (kuten "määritä pienin positiivinen kulma" jne.), sitten työskentelemme meille sopivien arvojen kanssa.

Poikkeuksena (ja miten ilman niitä ?!) ovat trigonometriset epätasa-arvot, mutta siellä hallitsemme tämän tempun.

Ja nyt sinulle kysymys. Mistä tiedän, että 110° kulman sijainti on sama kuin -250° kulman sijainti?
Vihjaan, että tämä johtuu koko liikevaihdosta. 360°... Etkö ole selvä? Sitten piirrämme ympyrän. Piirrämme paperille. Kulman merkitseminen noin 110°. Ja uskoa kuinka paljon on jäljellä täyteen kierrokseen. Vain 250° jäljellä...

Sain sen? Ja nyt - huomio! Jos kulmat 110° ja -250° ovat ympyrän sisällä sama asema, mitä sitten? Kyllä, se, että kulmat ovat 110 ° ja -250 ° täysin sama sini, kosini, tangentti ja kotangentti!
Nuo. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja niin edelleen. Tämä on nyt todella tärkeää! Ja sinänsä - on paljon tehtäviä, joissa on tarpeen yksinkertaistaa lausekkeita ja pohjana myöhempään pelkistyskaavojen ja muiden trigonometrian monimutkaisuuksien kehittämiseen.

Tietenkin otin 110 ° ja -250 ° satunnaisesti, puhtaasti esimerkiksi. Kaikki nämä yhtäläisyydet toimivat kaikilla kulmilla, jotka ovat samassa paikassa ympyrässä. 60° ja -300°, -75° ja 285° ja niin edelleen. Huomaan heti, että näiden parien kulmat - eri. Mutta niillä on trigonometriset toiminnot - sama.

Luulen, että ymmärrät mitä negatiiviset näkökulmat ovat. Se on melko yksinkertaista. Vastapäivään on positiivinen luku. Matkan varrella se on negatiivinen. Harkitse kulmaa positiivinen tai negatiivinen riippuu meistä. Meidän halusta. No, ja tietysti enemmän tehtävästä... Toivottavasti ymmärrät kuinka trigonometrisissa funktioissa siirrytään negatiivisista positiivisiin kulmiin ja päinvastoin. Piirrä ympyrä, likimääräinen kulma ja katso kuinka paljon puuttuu ennen täyttä käännöstä, ts. jopa 360°.

Kulmat yli 360°.

Käsitellään kulmia, jotka ovat suurempia kuin 360 °. Ja sellaisia ​​asioita tapahtuu? Niitä on tietysti. Kuinka piirtää ne ympyrään? Ei ole ongelma! Oletetaan, että meidän on ymmärrettävä, missä neljänneksessä 1000 asteen kulma putoaa? Helposti! Teemme yhden täyden kierroksen vastapäivään (kulma annettiin meille positiivinen!). Kelaa taaksepäin 360°. No, mennään eteenpäin! Toinen käännös - se on jo osoittautunut 720 °. Kuinka paljon on jäljellä? 280°. Se ei riitä täyteen käännökseen ... Mutta kulma on yli 270 ° - ja tämä on kolmannen ja neljännen neljänneksen välinen raja. Joten 1000°:n kulmamme osuu neljännelle neljännekselle. Kaikki.

Kuten näet, se on melko yksinkertaista. Muistutan vielä kerran, että kulma 1000° ja kulma 280°, jotka saimme hylkäämällä "ylimääräiset" täyskäännökset, ovat tarkasti ottaen eri kulmat. Mutta näiden kulmien trigonometriset funktiot täysin sama! Nuo. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Jos olisin sini, en huomaisi eroa näiden kahden kulman välillä...

Miksi tämä kaikki on välttämätöntä? Miksi meidän täytyy kääntää kulmia yhdestä toiseen? Kyllä, kaikki samasta syystä.) Ilmaisujen yksinkertaistamiseksi. Ilmaisujen yksinkertaistaminen on itse asiassa koulumatematiikan päätehtävä. No, matkan varrella pää harjoittelee.)

No, harjoitellaanko?)

Vastaamme kysymyksiin. Yksinkertaista aluksi.

1. Millä neljänneksellä kulma -325° putoaa?

2. Millä neljänneksellä kulma 3000° putoaa?

3. Millä neljänneksellä kulma -3000° putoaa?

On ongelma? Tai epävarmuutta? Siirrymme kohtaan 555, Käytännön työ trigonometrisen ympyrän kanssa. Siellä, tämän ensimmäisellä oppitunnilla " käytännön työ..." kaikki on yksityiskohtaista ... Sisältö sellaisia epävarmuuden kysymyksiä ei pitäisi!

4. Mikä on sin555°:n merkki?

5. Mikä on tg555°:n merkki?

Päättäväinen? Hieno! Epäillä? On välttämätöntä § 555 ... Muuten, siellä opit piirtämään tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään. Erittäin hyödyllinen asia.

Ja nyt viisaammat kysymykset.

6. Tuo lauseke sin777° pienimmän positiivisen kulman siniin.

7. Tuo lauseke cos777° suurimman negatiivisen kulman kosiniin.

8. Muunna lauseke cos(-777°) pienimmän positiivisen kulman kosiniksi.

9. Tuo lauseke sin777° suurimman negatiivisen kulman siniin.

Mitä, kysymykset 6-9 ymmällään? Totu siihen, kokeessa ei ole sellaisia ​​​​muotoja... Olkoon niin, minä käännän sen. Vain sinulle!

Sanat "pienennä lauseke ..." tarkoittavat lausekkeen muuttamista niin, että sen arvo on ei ole muuttunut a ulkomuoto muutettu tehtävän mukaisesti. Joten tehtävissä 6 ja 9 meidän pitäisi saada sini, jonka sisällä on pienin positiivinen kulma. Kaikella muulla ei ole väliä.

Annan vastaukset järjestyksessä (sääntöjemme vastaisesti). Mutta mitä tehdä, on vain kaksi merkkiä ja vain neljä neljäsosaa ... Et hajoa vaihtoehdoissa.

6. sin57°.

7.cos (-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Oletan, että vastaukset kysymyksiin 6-9 hämmentyivät joitain ihmisiä. Erityisesti -sin (-57°), eikö?) Todellakin, kulmien laskemisen perussäännöissä on tilaa virheille ... Siksi minun piti tehdä oppitunti: "Kuinka määrittää funktioiden merkit ja antaa kulmat trigonometrisellä ympyrällä?" Kohdassa 555. Siellä tehtävät 4 - 9 on järjestetty. Hyvin lajiteltu, kaikkine sudenkuoppineen. Ja he ovat täällä.)

Seuraavalla oppitunnilla käsittelemme salaperäisiä radiaaneja ja numeroa "Pi". Opi muuttamaan asteet helposti ja oikein radiaaneiksi ja päinvastoin. Ja olemme yllättyneitä huomatessamme, että tämä perustieto sivustolla riittää jo ratkaista joitain epätyypillisiä trigonometriapulmia!

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Trigonometrisen funktion etumerkki riippuu yksinomaan koordinaattineljänneksestä, jossa numeerinen argumentti sijaitsee. Viime kerralla opimme kääntämään argumentit radiaanimittasta astemittaksi (katso oppitunti "Kulman radiaani ja astemitta") ja määrittämään sitten tämä sama koordinaattineljännes. Käsitellään nyt itse asiassa sinin, kosinin ja tangentin merkin määritelmää.

Kulman α sini on trigonometrisen ympyrän pisteen ordinaatti (koordinaatti y), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulman α läpi.

Kulman α kosini on trigonometrisen ympyrän pisteen abskissa (x-koordinaatti), joka syntyy, kun säde pyörii kulman α läpi.

Kulman α tangentti on sinin ja kosinin suhde. Tai vastaavasti y-koordinaatin suhde x-koordinaattiin.

Merkintä: sin α = y ; cosa = x; tgα = y:x.

Kaikki nämä määritelmät ovat sinulle tuttuja lukion algebrakurssilta. Emme kuitenkaan ole kiinnostuneita itse määritelmistä, vaan trigonometrisen ympyrän seurauksista. Katso:

Sininen osoittaa OY-akselin positiivista suuntaa (y-akseli), punainen osoittaa OX-akselin positiivista suuntaa (abskissa). Tässä "tutkassa" trigonometristen funktioiden merkit tulevat ilmeisiksi. Erityisesti:

1. sin α > 0, jos kulma α on I tai II koordinaattineljänneksessä. Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan sini on ordinaatti (y-koordinaatti). Ja y-koordinaatti on positiivinen juuri I- ja II-koordinaattineljänneksissä;
2. cos α > 0, jos kulma α on I tai IV koordinaattineljänneksessä. Koska vain siellä x-koordinaatti (se on myös abskissa) on suurempi kuin nolla;
3. tg α > 0, jos kulma α on I- tai III-koordinaattikvadrantissa. Tämä seuraa määritelmästä: loppujen lopuksi tg α = y : x , joten se on positiivinen vain silloin, kun x:n ja y:n merkit ovat samat. Tämä tapahtuu 1. koordinaattineljänneksellä (tässä x > 0, y > 0) ja 3. koordinaattineljänneksellä (x< 0, y < 0).

Selvyyden vuoksi huomaamme kunkin trigonometrisen funktion merkit - sini, kosini ja tangentti - erillisessä "tutkassa". Saamme seuraavan kuvan:

Huomaa: päättelyssäni en koskaan puhunut neljännestä trigonometrisesta funktiosta - kotangentista. Tosiasia on, että kotangentin merkit ovat samat kuin tangentin merkit - siellä ei ole erityisiä sääntöjä.

Nyt ehdotan tarkastelemaan esimerkkejä, jotka ovat samankaltaisia ​​​​kuin ongelmat B11 alkaen koe koe matematiikassa, joka pidettiin 27. syyskuuta 2011. Loppujen lopuksi Paras tapa teorian ymmärtäminen on käytäntöä. Mieluummin paljon harjoittelua. Tehtävien ehtoja tietysti hieman muutettiin.

Tehtävä. Määritä trigonometristen funktioiden ja lausekkeiden merkit (itse funktioiden arvoja ei tarvitse ottaa huomioon):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. vaaleanruskea (5x/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Toimintasuunnitelma on seuraava: ensin muunnetaan kaikki kulmat radiaanimittasta astemittaksi (π → 180°) ja sitten katsotaan missä koordinaattineljänneksessä tuloksena oleva luku sijaitsee. Neljännekset tuntemalla löydämme merkit helposti - juuri kuvattujen sääntöjen mukaan. Meillä on:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Koska 135° ∈ , tämä on kulma II koordinaattineljänneksestä. Mutta sini toisella neljänneksellä on positiivinen, joten sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Koska 210° ∈ , tämä on kulma III-koordinaattikvadrantista, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia. Siksi cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ lähtien olemme neljännessä IV, jossa tangentti saa negatiiviset arvot. Siksi tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Käsitellään siniä: koska 135° ∈ , tämä on toinen neljännes, jossa sinit ovat positiivisia, ts. sin (3π/4) > 0. Nyt työskentelemme kosinin kanssa: 150° ∈ - jälleen toinen neljännes, kosinit siellä ovat negatiivisia. Siksi cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Katsomme kosinia: 120° ∈ on II koordinaattineljännes, joten cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Saimme jälleen tuotteen, jossa eri merkkisiä tekijöitä. Koska "miinus kertaa plus antaa miinuksen", meillä on: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Työskentelemme sinin kanssa: koska 150° ∈ , me puhumme noin II koordinaattineljänneksestä, jossa sinit ovat positiivisia. Siksi sin (5π/6) > 0. Vastaavasti 315° ∈ on IV-koordinaattineljännes, siellä olevat kosinit ovat positiivisia. Siksi cos (7π/4) > 0. Saimme kahden positiivisen luvun tulon - tällainen lauseke on aina positiivinen. Päättelemme: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mutta kulma 135° ∈ on toinen neljännes, ts. rusketus (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Koska "miinus plus antaa miinusmerkin", meillä on: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tarkastellaan kotangenttiargumenttia: 240° ∈ on III-koordinaattineljännes, joten ctg (4π/3) > 0. Vastaavasti meillä olevalle tangentille: 30° ∈ on I-koordinaattineljännes, ts. helpoin kulma. Siksi tg (π/6) > 0. Saimme jälleen kaksi positiivista lauseketta - myös niiden tulo on positiivinen. Siksi ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lopuksi katsotaan vielä muutama haastavia tehtäviä. Trigonometrisen funktion etumerkin selvittämisen lisäksi tässä on tehtävä pieni laskutoimitus - aivan kuten todellisissa tehtävissä B11. Periaatteessa nämä ovat melkein todellisia tehtäviä, jotka todella löytyvät matematiikan kokeesta.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Koska sin 2 α = 0,64, meillä on: sin α = ±0,8. On vielä päätettävä: plus vai miinus? Oletuksena on, että kulma α ∈ [π/2; π] on II koordinaattineljännes, jossa kaikki sinit ovat positiivisia. Siksi sin α = 0,8 - etumerkkien epävarmuus on eliminoitu.

Tehtävä. Etsi cos α, jos cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Toimimme samalla tavalla, ts. ottaa talteen Neliöjuuri: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ± 0,2. Oletuksena on, että kulma α ∈ [π; 3π/2], so. puhumme III koordinaattineljänneksestä. Siellä kaikki kosinit ovat negatiivisia, joten cos α = −0,2.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meillä on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Jälleen tarkastellaan kulmaa: α ∈ on IV-koordinaattineljännes, jossa, kuten tiedät, sini on negatiivinen. Tästä päätämme: sin α = −0,5.

Tehtävä. Etsi tg α, jos tg 2 α = 9 ja α ∈ .

Kaikki on sama, vain tangentin osalta. Otetaan neliöjuuri: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Mutta ehdon mukaan kulma α ∈ on I-koordinaattineljännes. Kaikki trigonometriset funktiot, sis. tangentti, on positiivisia, joten tg α = 3. Siinä se!