Ympyrä yhtälö. Ympyrän ja suoran yhtälö Näytä, että tämä yhtälö määrittelee ympyrän verkossa

Luokka: 8

Oppitunnin tarkoitus: esitellä ympyrän yhtälö, opettaa opiskelijoita piirtämään ympyrän yhtälö valmiin piirustuksen mukaan, rakentamaan ympyrä annetun yhtälön mukaan.

Laitteet: interaktiivinen taulu.

Tuntisuunnitelma:

1. Organisaatiohetki - 3 min.
2. Toisto. Henkisen toiminnan organisointi - 7 min.
3. Uuden materiaalin selitys. Ympyräyhtälön johtaminen - 10 min.
4. Tutkitun materiaalin konsolidointi - 20 min.
5. Oppitunnin yhteenveto - 5 min.

Tuntien aikana

2. Toisto:

− (Liite 1 dia 2) kirjoita kaava janan keskikohdan koordinaattien löytämiseksi;

− (Dia 3) Z kirjoita kaava pisteiden väliselle etäisyydelle (janan pituus).

3. Uuden materiaalin selitys.

(Diat 4 - 6) Määrittele ympyrän yhtälö. Johda ympyrän yhtälöt, jonka keskipiste on piste ( a;b) ja keskitetty alkupisteeseen.

(X – a ) 2 + (klo – b ) 2 = R 2 − ympyräyhtälö keskipisteen kanssa Kanssa (a;b) , säde R , X ja klo – mielivaltaisen ympyrän pisteen koordinaatit .

X 2 + y 2 = R 2 on ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on origossa.

(Dia 7)

Ympyrän yhtälön kirjoittamiseksi tarvitset:

• tietää keskuksen koordinaatit;
• tietää säteen pituus;
• korvaa ympyrän yhtälön keskipisteen koordinaatit ja säteen pituus.

4. Ongelmanratkaisu.

Tehtävissä nro 1 - nro 6 laaditaan ympyrän yhtälöt valmiiden piirustusten mukaan.

(Dia 14)

№ 7. Täytä taulukko.

(Dia 15)

№ 8. Muodosta ympyröitä muistikirjaan yhtälöillä:

a) ( X – 5) 2 + (klo + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (klo– 7) 2 = 7 2 .

(Dia 16)

№ 9. Etsi keskustan koordinaatit ja säteen pituus jos AB on ympyrän halkaisija.

Annettu:		Päätös:
		R	Keskipisteen koordinaatit
1	MUTTA(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	MUTTA(0; -6) AT(0 ; 2) Kanssa(0 ; – 2) – Keskusta
2	MUTTA(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	MUTTA (-2;0) AT (4 ;0) Kanssa(1 ; 0) – Keskusta

(Dia 17)

№ 10. Kirjoita ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on pisteen läpi kulkeva origo Vastaanottaja(-12;5).

Päätös.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Ympyräyhtälö: x 2 + y 2 = 169 .

(Dia 18)

№ 11. Kirjoita yhtälö ympyrälle, joka kulkee origon läpi ja jonka keskipiste on pisteessä Kanssa(3; - 1).

Päätös.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Ympyräyhtälö: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Dia 19)

№ 12. Kirjoita ympyrän ja keskipisteen yhtälö MUTTA(3;2) kulkee läpi AT(7;5).

Päätös.

1. Ympyrän keskipiste - MUTTA(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Ympyräyhtälö ( X – 3) 2 + (klo − 2) 2 = 25.

(Dia 20)

№ 13. Tarkista, valehtelevatko pisteet MUTTA(1; -1), AT(0;8), Kanssa(-3; -1) yhtälön ( X + 3) 2 + (klo − 4) 2 = 25.

Päätös.

minä. Korvaa pisteen koordinaatit MUTTA(1; -1) ympyräyhtälöön:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - tasa-arvo on väärä, mikä tarkoittaa MUTTA(1; -1) ei valehtele yhtälön antamalla ympyrällä ( X + 3) 2 + (klo − 4) 2 = 25.

II. Korvaa pisteen koordinaatit AT(0;8) ympyräyhtälöön:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)valheita X + 3) 2 + (klo − 4) 2 = 25.

III. Korvaa pisteen koordinaatit Kanssa(-3; -1) ympyräyhtälöön:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - tasa-arvo on totta, joten Kanssa(-3; -1) valheita yhtälön antamalla ympyrällä ( X + 3) 2 + (klo − 4) 2 = 25.

Yhteenveto oppitunnista.

1. Toista: ympyrän yhtälö, ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on origossa.
2. (Dia 21) Kotitehtävät.

ympärysmitta on tasossa olevien pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Jos piste C on ympyrän keskipiste, R on sen säde ja M on mielivaltainen piste ympyrässä, niin ympyrän määritelmän mukaan

Tasa-arvo (1) on ympyräyhtälö säde R keskitetty pisteeseen C.

Olkoon suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (kuva 104) ja piste C ( a; b) on ympyrän keskipiste, jonka säde on R. Olkoon М( X; klo) on tämän ympyrän mielivaltainen piste.

Alkaen |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), yhtälö (1) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Yhtälöä (2) kutsutaan ympyrän yleinen yhtälö tai ympyrän yhtälö, jonka säde on R ja jonka keskipiste on piste ( a; b). Esimerkiksi yhtälö

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

on ympyrän yhtälö, jonka säde on R = 5 ja jonka keskipiste on pisteessä (1; -3).

Jos ympyrän keskipiste on sama kuin origo, yhtälö (2) saa muodon

x 2 + klo 2 = R2. (3)

Yhtälöä (3) kutsutaan ympyrän kanoninen yhtälö .

Tehtävä 1. Kirjoita yhtälö ympyrälle, jonka säde on R = 7 ja jonka keskipiste on origossa.

Korvaamalla säteen arvon suoraan yhtälöön (3), saamme

x 2 + klo 2 = 49.

Tehtävä 2. Kirjoita yhtälö pisteeseen C(3; -6) keskitetylle ympyrälle, jonka säde on R = 9.

Korvaamalla pisteen C koordinaattien arvon ja säteen arvon kaavaan (2) saadaan

(X - 3) 2 + (klo- (-6)) 2 = 81 tai ( X - 3) 2 + (klo + 6) 2 = 81.

Tehtävä 3. Etsi ympyrän keskipiste ja säde

(X + 3) 2 + (klo-5) 2 =100.

Vertaamalla tätä yhtälöä yleiseen ympyräyhtälöön (2), näemme sen a = -3, b= 5, R = 10. Siksi С(-3; 5), R = 10.

Tehtävä 4. Todista, että yhtälö

x 2 + klo 2 + 4X - 2y - 4 = 0

on ympyräyhtälö. Etsi sen keskipiste ja säde.

Muunnetaan tämän yhtälön vasen puoli:

x 2 + 4X + 4- 4 + klo 2 - 2klo +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (klo - 1) 2 = 9.

Tämä yhtälö on ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (-2; 1); ympyrän säde on 3.

Tehtävä 5. Kirjoita ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on pisteessä C(-1; -1), joka koskettaa suoraa AB, jos A (2; -1), B(-1; 3).

Kirjoitetaan suoran AB yhtälö:

tai 4 X + 3y-5 = 0.

Koska ympyrä on annetun suoran tangentti, kosketuspisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tätä suoraa vastaan. Säteen löytämiseksi sinun on löydettävä etäisyys pisteestä C (-1; -1) - ympyrän keskipiste suoraviivaan 4 X + 3y-5 = 0:

Kirjoitetaan halutun ympyrän yhtälö

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Olkoon ympyrä annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä x 2 + klo 2 = R2. Tarkastellaan sen mielivaltaista pistettä M( X; klo) (Kuva 105).

Olkoon sädevektori OM> piste M muodostaa suuruuskulman t O-akselin positiivisella suunnalla X, niin pisteen M abskissa ja ordinaatit muuttuvat riippuen t

(0 t x ja y läpi t, löydämme

x= Rcos t ; y= R synti t , 0 t

Yhtälöitä (4) kutsutaan origossa keskitetyn ympyrän parametriset yhtälöt.

Tehtävä 6. Ympyrä on annettu yhtälöillä

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Kirjoita tämän ympyrän kanoninen yhtälö.

Se seuraa ehdosta x 2 = 3, koska 2 t, klo 2 = 3 synti 2 t. Lisäämällä nämä yhtäläisyydet termiltä saamme

x 2 + klo 2 = 3 (cos 2 t+ synti 2 t)

tai x 2 + klo 2 = 3

Oppitunnin aihe: Ympyrä yhtälö

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen: Johda ympyräyhtälö pitäen tämän ongelman ratkaisua yhtenä mahdollisuutena soveltaa koordinaattimenetelmää.

Pystyä:

– Tunnista ympyrän yhtälö ehdotetun yhtälön mukaan, opeta opiskelijoita laatimaan ympyrän yhtälö valmiin piirustuksen mukaan, rakentamaan ympyrä annetun yhtälön mukaan.

Koulutuksellinen : Kriittisen ajattelun muodostuminen.

Koulutuksellinen : Kehitetään kykyä tehdä algoritmisia määräyksiä ja kyky toimia ehdotetun algoritmin mukaisesti.

Pystyä:

– Katso ongelma ja suunnittele tapoja ratkaista se.

– Tee yhteenveto ajatuksistasi suullisesti ja kirjallisesti.

Oppitunnin tyyppi: uuden tiedon assimilaatiota.

Laitteet : PC, multimediaprojektori, valkokangas.

Tuntisuunnitelma:

1. Avauspuhe - 3 min.

2. Tietojen päivittäminen - 2 min.

3. Ongelma ja sen ratkaisu -10 min.

4. Uuden materiaalin kiinnitys edestä - 7 min.

5. Itsenäinen työskentely ryhmässä - 15 min.

6. Teoksen esittely: keskustelu - 5 min.

7. Oppitunnin tulos. Kotitehtävät - 3 min.

Tuntien aikana

Tämän vaiheen tarkoitus: Opiskelijoiden psykologinen mieliala; Kaikkien opiskelijoiden osallistuminen oppimisprosessiin onnistumistilanteen luominen.

1. Ajan järjestäminen.

3 minuuttia

Kaverit! Tapasit ympyrän 5. ja 8. luokalla. Mitä tiedät hänestä?

Tiedät paljon, ja tätä tietoa voidaan käyttää geometristen ongelmien ratkaisemisessa. Mutta ongelmien ratkaisemiseen, joissa käytetään koordinaattimenetelmää, tämä ei riitä.Miksi?

Aivan oikeassa.

Siksi tämän päivän oppitunnin päätavoitteena on johtaa ympyrän yhtälö tietyn suoran geometrisista ominaisuuksista ja soveltaa sitä geometristen ongelmien ratkaisemiseen.

Anna ollaoppitunnin motto Keski-Aasian tiede-ensyklopedisti Al-Birunin sanoista tulee: "Tieto on omaisuuksien erinomaisinta. Kaikki pyrkivät siihen, mutta se ei tule itsestään."

Kirjoita oppitunnin aihe vihkoon.

Ympyrän määritelmä.

Säde.

Halkaisija.

Sointu. Jne.

Emme vielä tiedä ympyräyhtälön yleistä muotoa.

Oppilaat listaavat kaiken, mitä he tietävät piiristä.

dia 2

dia 3

Vaiheen tarkoituksena on saada käsitys materiaalin opiskelijoiden oppimisen laadusta, selvittää perustiedot.

2. Tiedon päivitys.

2 minuuttia

Kun johdetaan ympyräyhtälö tarvitset jo tunnetun ympyrän määritelmän ja kaavan, jonka avulla voit löytää kahden pisteen välisen etäisyyden niiden koordinaateista.Muistakaamme nämä tosiasiat /Pmateriaalin toistoa aiemmin opiskellut/:

– Kirjoita muistiin kaava janan keskipisteen koordinaattien löytämiseksi.

– Kirjoita muistiin kaava vektorin pituuden laskemiseksi.

– Kirjoita muistiin kaava pisteiden välisen etäisyyden selvittämiseksi (segmentin pituus).

Muokataan tietueita...

Geometrinen harjoitus.

Annetut pisteetA (-1; 7) jaKohdassa (7; 1).

Laske janan AB keskipisteen koordinaatit ja pituus.

Tarkistaa suorituksen oikeellisuuden, korjaa laskelmia ...

Yksi oppilas taulun ääressä ja loput kirjoittavat kaavoja muistivihkoon

Ympyrä on geometrinen kuvio, joka koostuu kaikista pisteistä, jotka sijaitsevat tietyllä etäisyydellä tietystä pisteestä.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Laske: C (3; 4)

| AB | = 10

Kanssa makaa 4

dia 5

3. Uuden tiedon muodostuminen.

12 minuuttia

Tarkoitus: käsitteen muodostaminen - ympyrän yhtälö.

Ratkaise ongelma:

Ympyrä, jonka keskipiste on A(x; y), muodostetaan suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään. M(x; y) - mielivaltainen ympyrän piste. Etsi ympyrän säde.

Täyttävätkö minkä tahansa muun pisteen koordinaatit tämän yhtäläisyyden? Miksi?

Neliötetään yhtälön molemmat puolet.Tämän seurauksena meillä on:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² on ympyrän yhtälö, missä (x; y) on ympyrän keskipisteen koordinaatit, (x; y) on mielivaltaisen ympyrän koordinaatit ympyrän päällä oleva piste, r on ympyrän säde.

Ratkaise ongelma:

Mikä on ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on origossa?

Joten mitä sinun tulee tietää ympyrän yhtälön kirjoittamiseen?

Ehdota algoritmia ympyräyhtälön laatimiseen.

Johtopäätös: ... kirjoita muistivihkoon.

Säde on jana, joka yhdistää ympyrän keskipisteen mielivaltaiseen pisteeseen, joka sijaitsee ympyrässä. Siksi r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Mikä tahansa ympyrän piste sijaitsee siinä ympyrässä.

Oppilaat kirjoittavat muistivihkoon.

(0;0)-ympyrän keskipisteen koordinaatit.

x² + y² = r², missä r on ympyrän säde.

Ympyrän keskipisteen koordinaatit, säde, minkä tahansa ympyrän pisteen...

He ehdottavat algoritmia...

Kirjoita algoritmi muistikirjaan.

dia 6

Dia 7

Dia 8

Opettaja kirjoittaa yhtälön taululle.

Dia 9

4. Ensisijainen kiinnitys.

23 minuuttia

Kohde:Opiskelijat toistavat juuri havaittua materiaalia, jotta muodostuneet ideat ja käsitteet eivät katoa. Uuden tiedon, ideoiden, käsitteiden konsolidointi niiden pohjaltasovellukset.

ZUN ohjaus

Sovelletaan hankittua tietoa seuraavien ongelmien ratkaisemisessa.

Tehtävä: Nimeä ehdotetuista yhtälöistä niiden numerot, jotka ovat ympyrän yhtälöitä. Ja jos yhtälö on ympyrän yhtälö, nimeä keskustan koordinaatit ja osoita säde.

Jokainen toisen asteen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa, ei määrittele ympyrää.

4x² + y² \u003d 4-ellipsiyhtälö.

x²+y²=0-piste.

x² + y² \u003d -4-tämä yhtälö ei määrittele mitään kuviota.

Kaverit! Mitä sinun tulee tietää, jotta voit kirjoittaa yhtälön ympyrälle?

Ratkaise ongelma Nro 966 s. 245 (oppikirja).

Opettaja kutsuu oppilaan taululle.

Riittääkö tehtävän ehdossa määritellyt tiedot ympyrän yhtälön laatimiseen?

Tehtävä:

Kirjoita yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on origossa ja jonka halkaisija on 8.

Tehtävä : piirtää ympyrän.

Onko keskustassa koordinaatit?

Määritä säde... ja rakenna

Tehtävä sivulla 243 (oppikirja) ymmärretään suullisesti.

Ratkaise tehtävä käyttämällä ongelmanratkaisusuunnitelmaa sivulta 243:

Kirjoita pisteen A(3;2) keskipisteen yhtälö, jos ympyrä kulkee pisteen B(7;5) kautta.

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - ympyräyhtälö; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - ympyräyhtälö; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - ympyräyhtälö; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- ympyräyhtälö; (-3; 8), r = √2.

5) 4x² + y² \u003d 4 ei ole ympyrän yhtälö.

6) x² + y² = 0- ei ole ympyrän yhtälö.

7) x² + y² = -4- ei ole ympyrän yhtälö.

Tiedä ympyrän keskipisteen koordinaatit.

Säteen pituus.

Korvaa ympyrän yleisen yhtälön keskipisteen koordinaatit ja säteen pituus.

Ratkaise tehtävä nro 966 s. 245 (oppikirja).

Dataa riittää.

Ne ratkaisevat ongelman.

Koska ympyrän halkaisija on kaksi kertaa sen säde, niin r=8÷2=4. Siksi x² + y² = 16.

Suorita ympyröiden rakentaminen

Oppikirjatyötä. Tehtävä sivulla 243.

Annettu: A (3; 2) - ympyrän keskipiste; В(7;5)є(А;r)

Etsi: ympyräyhtälö

Ratkaisu: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² = 25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Vastaus: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

dia 10-13

Tyypillisten ongelmien ratkaiseminen lausumalla ratkaisu äänekkäällä puheella.

Opettaja pyytää yhtä oppilasta kirjoittamaan muistiin tuloksena olevan yhtälön.

Palaa diaan 9

Keskustelu suunnitelmasta tämän ongelman ratkaisemiseksi.

Liuku. viisitoista. Opettaja kutsuu yhden oppilaan taululle ratkaisemaan tämän ongelman.

dia 16.

dia 17.

5. Yhteenveto oppitunnista.

5 minuuttia

Toiminnan heijastus luokkahuoneessa.

Kotitehtävä: §3, kohta 91, tarkistuskysymykset nro 16,17.

Tehtävät nro 959(b, d, e), 967.

Lisäarviointitehtävä (tehtävätehtävä): Muodosta yhtälön antama ympyrä

x² + 2x + y² -4y = 4.

Mistä puhuimme luokassa?

Mitä halusit vastaanottaa?

Mikä oli oppitunnin tarkoitus?

Mitä tehtäviä voidaan ratkaista "löytöllämme"?

Kuka teistä uskoo, että olet saavuttanut opettajan tunnilla asettaman tavoitteen 100 %, 50 %? ei saavuttanut tavoitetta...?

Arvostelu.

Kirjoita läksyt muistiin.

Oppilaat vastaavat opettajan esittämiin kysymyksiin. Tee itsearviointi omasta suorituksestaan.

Opiskelijoiden tulee ilmaista sanalla tulos ja keinot saavuttaa se.

Tason suoran yhtälö

Otetaan ensin käyttöön kaksiulotteisen koordinaattijärjestelmän suoran yhtälön käsite. Tehdään mielivaltainen suora $L$ suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään (kuva 1).

Kuva 1. Mielivaltainen viiva koordinaattijärjestelmässä

Määritelmä 1

Yhtälöä, jossa on kaksi muuttujaa $x$ ja $y$, kutsutaan suoran $L$ yhtälöksi, jos tämä yhtälö täyttyy minkä tahansa riville $L$ kuuluvan pisteen koordinaateista, eikä mikään piste, joka ei kuulu riviin $L$. rivi $L.$

Ympyrä yhtälö

Johdetaan ympyräyhtälö suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä $xOy$. Olkoon ympyrän $C$ keskipisteen koordinaatit $(x_0,y_0)$ ja ympyrän säde yhtä suuri kuin $r$. Olkoon piste $M$ koordinaattein $(x,y)$ tämän ympyrän mielivaltainen piste (kuva 2).

Kuva 2. Ympyrä suorakulmaisina koordinaatteina

Etäisyys ympyrän keskipisteestä pisteeseen $M$ lasketaan seuraavasti

Mutta koska $M$ on ympyrässä, saamme $CM=r$. Sitten saamme seuraavan

Yhtälö (1) on ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on pisteen $(x_0,y_0)$ ja säteen $r$.

Erityisesti, jos ympyrän keskipiste on sama kuin origo. Silloin ympyrän yhtälöllä on muoto

Suoran linjan yhtälö.

Johdetaan suoran $l$ yhtälö suorakulmaisessa koordinaatistossa $xOy$. Olkoon pisteillä $A$ ja $B$ koordinaatit $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ ja $\(x_2,\ y_2\)$, vastaavasti, ja pisteillä $A$ ja $B $ valitaan siten, että suora $l$ on kohtisuorassa puolittaja janaan $AB$ nähden. Valitsemme mielivaltaisen pisteen $M=\(x,y\)$, joka kuuluu riville $l$ (kuva 3).

Koska suora $l$ on janan $AB$ kohtisuora puolittaja, piste $M$ on yhtä kaukana tämän janan päistä, eli $AM=BM$.

Etsi näiden sivujen pituudet pisteiden välisen etäisyyden kaavalla:

Siten

Merkitään $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Saamme, että suoran yhtälöllä suorakulmaisessa koordinaatistossa on seuraava muoto:

Esimerkki ongelmasta suorayhtälöiden löytämiseksi suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä

Esimerkki 1

Etsi ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on pisteen $(2,\ 4)$. Läpi origon ja sen keskipisteen kautta kulkevan $Ox,$-akselin suuntaisen suoran.

Päätös.

Etsitään ensin annetun ympyrän yhtälö. Tätä varten käytämme ympyrän yleistä yhtälöä (johdettu yllä). Koska ympyrän keskipiste on pisteessä $(2,\ 4)$, saamme

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Etsi ympyrän säde etäisyydenä pisteestä $(2,\ 4)$ pisteeseen $(0,0)$

Saamme ympyrän yhtälön muotoa:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Etsitään nyt ympyräyhtälö erikoistapauksen 1 avulla. Saadaan