Matemaattiset ongelmat löytävät sovelluksensa monissa tieteissä. Näitä ovat fysiikan, kemian, tekniikan ja taloustieteen lisäksi myös lääketiede, ekologia ja muut tieteenalat. Yksi tärkeä käsite, joka on hallittava, jotta voidaan löytää ratkaisuja tärkeisiin pulmiin, on funktion johdannainen. Sen fyysistä merkitystä ei ole ollenkaan niin vaikea selittää kuin se saattaa vaikuttaa asian pohjimmiltaan tietämättömältä. Riittää, kun löytää tästä sopivia esimerkkejä oikea elämä ja normaaleissa arjen tilanteissa. Itse asiassa jokainen autoilija selviää samanlaisen tehtävän kanssa joka päivä, kun hän katsoo nopeusmittaria ja määrittää autonsa nopeuden tietyllä hetkellä kiinteänä ajankohtana. Loppujen lopuksi juuri tässä parametrissa on johdannaisen fyysisen merkityksen ydin.

Kuinka löytää nopeus

Jokainen viidesluokkalainen voi helposti määrittää tiellä olevan henkilön nopeuden tietäen kuljetun matkan ja matka-ajan. Tätä varten ensimmäinen annetuista arvoista jaetaan toisella. Mutta jokainen nuori matemaatikko ei tiedä sitä Tämä hetki löytää funktion ja argumentin lisäyssuhteen. Todellakin, jos kuvittelemme liikkeen kaavion muodossa, jossa polku on y-akselia pitkin ja aika abskissaa pitkin, se on juuri sitä.

Jalankulkijan tai minkä tahansa muun kohteen nopeus, jonka määrittelemme suurella osalla polkua, liikkeen tasaiseksi katsoen, voi hyvinkin muuttua. Fysiikassa on monia liikemuotoja. Se voidaan suorittaa paitsi jatkuvalla kiihtyvyydellä, myös hidastaa ja lisätä mielivaltaisella tavalla. On huomattava, että tässä tapauksessa liikettä kuvaava viiva ei ole enää suora. Graafisesti se voi ottaa monimutkaisimmat kokoonpanot. Mutta mille tahansa kaavion pisteelle voimme aina piirtää tangentin, jota edustaa lineaarinen funktio.

Siirtymän muutoksen parametrin tarkentamiseksi ajasta riippuen on tarpeen pienentää mitattuja segmenttejä. Kun niistä tulee äärettömän pieniä, laskettu nopeus on hetkellinen. Tämä kokemus auttaa meitä määrittämään johdannaisen. Sen fyysinen merkitys seuraa loogisesti myös tällaisesta päättelystä.

Geometrian suhteen

Tiedetään, että mitä lisää nopeutta Mitä jyrkempi on kaavio siirtymän riippuvuudesta ajasta ja siten kaavion tangentin kaltevuuskulma jossain tietyssä pisteessä. Tällaisten muutosten ilmaisin voi olla x-akselin ja tangenttiviivan välisen kulman tangentti. Hän määrittää derivaatan arvon ja lasketaan vastakkaisen ja viereisen haaran pituuksien suhteella. suorakulmainen kolmio, jonka muodostaa jostain pisteestä x-akselille pudotettu kohtisuora.

Tämä on geometrinen merkitys ensimmäinen johdannainen. Fyysinen paljastuu siinä, että meidän tapauksessamme vastakkaisen jalan arvo on kuljettu matka ja viereisen aika. Niiden suhde on nopeus. Ja taas tulemme siihen johtopäätökseen, että hetkellinen nopeus, joka määräytyy, kun molemmat raot pyrkivät äärettömän pieniksi, on olemus osoittaen sen fyysistä merkitystä. Toinen derivaatta tässä esimerkissä on kehon kiihtyvyys, joka puolestaan ​​osoittaa nopeuden muutoksen asteen.

Esimerkkejä derivaattojen löytämisestä fysiikassa

Johdannainen on minkä tahansa funktion muutosnopeuden indikaattori, vaikka emme puhukaan liikkeestä sanan kirjaimellisessa merkityksessä. Otetaanpa muutama konkreettinen esimerkki tämän osoittamiseksi selvästi. Oletetaan, että virran voimakkuus muuttuu ajasta riippuen seuraavan lain mukaan: minä= 0,4t2. On löydettävä nopeuden arvo, jolla tämä parametri muuttuu prosessin 8. sekunnin lopussa. Huomaa, että itse haluttu arvo, kuten yhtälöstä voidaan päätellä, kasvaa jatkuvasti.

Ratkaisua varten on löydettävä ensimmäinen derivaatta, jonka fyysistä merkitystä tarkasteltiin aiemmin. Tässä dI/ dt = 0,8 t. Seuraavaksi löydämme sen osoitteessa t=8 , saadaan, että nopeus, jolla virran voimakkuuden muutos tapahtuu, on yhtä suuri kuin 6,4 A/ c. Tässä katsotaan, että virran voimakkuus mitataan ampeereina ja vastaavasti aika sekunneissa.

Kaikki on muutettavissa

Näkyy maailma, joka koostuu aineesta, muuttuu jatkuvasti, sillä se on liikkeessä ja virtaa siinä erilaisia ​​prosesseja. Niiden kuvaamiseen voit käyttää eniten erilaisia ​​vaihtoehtoja. Jos niitä yhdistää riippuvuus, ne kirjoitetaan matemaattisesti funktiona, joka näyttää selvästi niiden muutokset. Ja missä on liikettä (missä tahansa muodossa se voidaan ilmaista), on olemassa myös johdannainen, jonka fyysistä merkitystä tarkastelemme tällä hetkellä.

Tältä osin seuraava esimerkki. Oletetaan, että kehon lämpötila muuttuu lain mukaan T=0,2 t 2 . Sinun pitäisi löytää sen kuumenemisnopeus 10. sekunnin lopussa. Ongelma ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa. Eli löydämme derivaatan ja korvaamme sen arvon t= 10 , saamme T= 0,4 t= 4. Tämä tarkoittaa, että lopullinen vastaus on 4 astetta sekunnissa, eli lämmitysprosessi ja lämpötilan muutos asteina mitattuna tapahtuvat juuri tällä nopeudella.

Käytännön ongelmien ratkaisu

Tietysti tosielämässä kaikki on paljon monimutkaisempaa kuin teoreettisissa ongelmissa. Käytännössä määrien arvo määritetään yleensä kokeen aikana. Tässä tapauksessa käytetään laitteita, jotka antavat lukemia mittausten aikana tietyllä virheellä. Siksi laskelmissa on käsiteltävä parametrien likimääräisiä arvoja ja turvauduttava epämukavien lukujen pyöristämiseen sekä muihin yksinkertaistuksiin. Kun tämä on otettu huomioon, siirrymme jälleen derivaatan fyysistä merkitystä koskeviin ongelmiin, koska ne ovat vain eräänlainen matemaattinen malli monimutkaisimmista luonnossa tapahtuvista prosesseista.

Purkaus

Kuvittele, että tulivuori purkautuu. Kuinka vaarallinen hän voi olla? Tähän kysymykseen vastaamiseksi on otettava huomioon monia tekijöitä. Yritämme ottaa yhden niistä huomioon.

"Tulen hirviön" suusta heitetään kivet pystysuunnassa ylöspäin, ja niillä on alkunopeus siitä hetkestä lähtien, kun ne menevät ulos. On tarpeen laskea kuinka korkealle ne voivat nousta.

Halutun arvon löytämiseksi laadimme yhtälön metreinä mitatun korkeuden H riippuvuudelle muista suureista. Näitä ovat alkunopeus ja aika. Kiihtyvyysarvon katsotaan olevan tiedossa ja se on suunnilleen 10 m/s 2 .

Osittainen johdannainen

Tarkastellaan nyt funktion derivaatan fyysistä merkitystä hieman eri kulmasta, koska yhtälö itsessään voi sisältää ei yhden, vaan useita muuttujia. Esimerkiksi edellisessä tehtävässä tulivuoren tuuletusaukosta sinkoutuneiden kivien korkeuden riippuvuus määräytyi paitsi aikaominaisuuksien muutoksen, myös arvon perusteella. alkunopeus. Jälkimmäistä pidettiin vakiona kiinteänä arvona. Mutta muissa tehtävissä, joissa on täysin erilaiset olosuhteet, kaikki voi olla toisin. Jos on useita suureita, joista monimutkainen funktio riippuu, laskelmat tehdään alla olevien kaavojen mukaan.

Toistuvan derivaatan fyysinen merkitys tulisi määrittää tavalliseen tapaan. Tämä on nopeus, jolla funktio muuttuu jossain tietyssä pisteessä muuttujan parametrin kasvaessa. Se lasketaan siten, että kaikki muut komponentit otetaan vakioiksi, vain yhtä pidetään muuttujana. Sitten kaikki tapahtuu tavallisten sääntöjen mukaan.

Ymmärtäen johdannaisen fyysisen merkityksen, ei ole vaikeaa antaa esimerkkejä monimutkaisten ja monimutkaisten ongelmien ratkaisemisesta, joihin vastaus löytyy tällaisella tiedolla. Jos meillä on toiminto, joka kuvaa polttoaineenkulutusta auton nopeudesta riippuen, voimme laskea millä jälkimmäisen parametreilla bensiinin kulutus on pienin.

Lääketieteessä voit ennustaa, kuinka se reagoi ihmiskehon lääkärin määräämään lääkkeeseen. Lääkkeen ottaminen vaikuttaa useisiin fysiologisiin parametreihin. Näihin sisältyy muutoksia verenpaine, pulssi, kehon lämpötila ja paljon muuta. Ne kaikki riippuvat käytetystä annoksesta. lääkevalmiste. Nämä laskelmat auttavat ennustamaan hoidon kulkua sekä suotuisissa ilmenemismuodoissa että ei-toivotuissa onnettomuuksissa, jotka voivat vaikuttaa kuolettavaan muutoksiin potilaan kehossa.

Epäilemättä on tärkeää ymmärtää johdannaisen fyysinen merkitys teknisissä asioissa, erityisesti sähkötekniikassa, elektroniikassa, suunnittelussa ja rakentamisessa.

Jarrutusmatkat

Mietitään seuraavaa tehtävää. Vakionopeudella liikkuvan auton, joka lähestyi siltaa, piti hidastaa vauhtia 10 sekuntia ennen sisäänkäyntiä, kun kuljettaja huomasi liikennemerkki, joka estää liikkumisen yli 36 km/h nopeudella. Rikkoiko kuljettaja sääntöjä, jos jarrutusmatka voidaan kuvata kaavalla S = 26t - t 2?

Laskettuamme ensimmäisen derivaatan löydämme nopeuden kaavan, saamme v = 28 - 2t. Seuraavaksi korvaamme arvon t=10 määritettyyn lausekkeeseen.

Koska tämä arvo ilmoitettiin sekunneissa, nopeus osoittautuu 8 m / s, mikä tarkoittaa 28,8 km / h. Tämän avulla on mahdollista ymmärtää, että kuljettaja alkoi hidastaa vauhtia ajoissa eikä rikkonut liikennesääntöjä ja siten nopeuskyltissä ilmoitettua rajoitusta.

Tämä todistaa johdannaisen fyysisen merkityksen tärkeyden. Esimerkki tämän ongelman ratkaisemisesta osoittaa tämän käsitteen käytön laajuuden elämän eri aloilla. Myös arjen tilanteissa.

Johdannainen taloustieteessä

Ennen 1800-lukua taloustieteilijät käsittelivät enimmäkseen keskiarvoja, oli kyseessä sitten työn tuottavuus tai tuotannon hinta. Mutta jostain vaiheesta lähtien raja-arvot tulivat tarpeellisempia tehokkaiden ennusteiden tekemiseen tällä alueella. Näitä ovat rajahyöty, tulot tai kustannukset. Tämän ymmärtäminen antoi sysäyksen täysin uuden työkalun luomiseen taloudellinen tutkimus joka on ollut olemassa ja kehittynyt yli sata vuotta.

Tällaisten laskelmien tekemiseksi, joissa minimi- ja maksimikäsitteet ovat vallitsevia, on yksinkertaisesti välttämätöntä ymmärtää derivaatan geometrinen ja fyysinen merkitys. Tekijöiden joukossa teoreettinen perusta Näitä tieteenaloja voidaan kutsua sellaisiksi merkittäviksi englantilaisiksi ja itävaltalaisiksi taloustieteilijöiksi kuin W. S. Jevons, K. Menger ja muut. Taloudellisten laskelmien raja-arvot eivät tietenkään aina ole käteviä käyttää. Ja esimerkiksi neljännesvuosiraportit eivät välttämättä sovi olemassa oleva järjestelmä, mutta silti tällaisen teorian soveltaminen on monissa tapauksissa hyödyllistä ja tehokasta.

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen:

• Luoda olosuhteet opiskelijoiden mielekkäälle omaksumiselle johdannaisen fyysiseen merkitykseen.
• Edistää taitojen ja kykyjen muodostumista derivaatan käytännön käytöstä erilaisten fyysisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Kehitetään:

• Edistää matemaattisen horisontin kehittymistä, opiskelijoiden kognitiivista kiinnostusta tuomalla esiin aiheen käytännön tarpeellisuus ja teoreettinen merkitys.
• Tarjoa edellytykset opiskelijoiden henkisten taitojen parantamiselle: vertaa, analysoi, yleistä.

Koulutuksellinen:

• Edistää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan.

Oppitunnin tyyppi: Oppitunti uuden tiedon hallinnassa.

Työmuodot: frontaalinen, yksilö, ryhmä.

Laitteet: Tietokone, interaktiivinen taulu, esitys, oppikirja.

Oppitunnin rakenne:

1. Ajan järjestäminen oppitunnin tavoitteen asettaminen
2. Uuden materiaalin oppiminen
3. Uuden materiaalin ensisijainen kiinnitys
4. Itsenäinen työ
5. Yhteenveto oppitunnista. Heijastus.

Tuntien aikana

minä Organisatorinen hetki, oppitunnin tavoitteen asettaminen (2 min.)

II. Uuden materiaalin oppiminen (10 min)

Opettaja: Edellisillä tunneilla tutustuimme derivaattojen laskentasääntöihin, opimme löytämään derivaatat lineaarista, potenssista, trigonometriset funktiot. Opimme mikä on derivaatan geometrinen merkitys. Tänään oppitunnilla opimme, missä tätä käsitettä sovelletaan fysiikassa.

Tätä varten muistamme derivaatan määritelmän (Dia 2)

Siirrytään nyt fysiikan kurssiin (Dia 3)

Oppilaat keskustelevat ja muistelevat fyysisiä käsitteitä ja kaavat.

Olkoon kappale liikkua lain S(t)=f(t) mukaan. Tarkastellaan kappaleen kulkemaa polkua aikana t 0 - t 0 + Δ t, missä Δt on argumentin inkrementti. Hetkellä t 0 kappale kulki polun S(t 0), hetkellä t 0 +Δt - polun S(t 0 +Δt). Siksi kappale on ajanut ajan Δt aikana polun S(t 0 +Δt) –S(t 0), ts. saimme funktiolisäyksen. Kehon keskinopeus tällä ajanjaksolla υ==

Mitä lyhyempi aikaväli t, sitä tarkemmin saadaan selville millä nopeudella kappale liikkuu hetkellä t. Kun annetaan t → 0, saadaan hetkellinen nopeus - numeerinen arvo nopeus tämän liikkeen hetkellä t.

υ= , kohdassa Δt → 0 nopeus on etäisyyden derivaatta ajan suhteen.

dia 4

Muista kiihtyvyyden määritelmä.

Yllä olevaa materiaalia soveltaen voimme päätellä, että kohdassa t a(t)= υ’(t) kiihtyvyys on nopeuden derivaatta.

Lisäksi interaktiiviselle taululle ilmestyvät kaavat virran voimakkuudelle, kulmanopeudelle, EMF:lle jne.. Opiskelijat täydentävät näiden fyysisten suureiden hetkelliset arvot derivaatan käsitteen avulla. (Poissaolon kanssa interaktiivinen taulu käytä esitystä)

Diat 5-8

Johtopäätöksen tekevät opiskelijat.

Johtopäätös:(Dia 9) Derivaata on funktion muutosnopeus. (Reitin, koordinaattien, nopeuden, magneettivuon funktiot jne.)

υ (x) \u003d f '(x)

Opettaja: Näemme, että suhde määrälliset ominaisuudet laaja valikoima fysiikan tutkimia prosesseja, tekniset tieteet, kemia, on analoginen polun ja nopeuden välisen suhteen kanssa. Voit antaa paljon tehtäviä, joiden ratkaisemiseksi on myös tarpeen löytää tietyn funktion muutosnopeus, esimerkiksi: liuoksen pitoisuuden löytäminen tietyllä hetkellä, nesteen virtausnopeuden löytäminen, kappaleen pyörimiskulmanopeus, lineaaritiheys pisteessä jne. Ratkaisemme nyt osan näistä ongelmista.

III. Hankitun tiedon lujittaminen (ryhmätyöskentely) (15 min.)

Myöhemmällä analyysillä taululla

Selvitä fysikaalisten suureiden mittayksiköt ennen tehtävien ratkaisemista.

Nopeus - [m/s]
Kiihtyvyys - [m/s 2]
Vahvuus - [N]
Energia - [J]

Tehtävä 1 ryhmä

Piste liikkuu lain s(t)=2t³-3t mukaan (s on etäisyys metreinä, t on aika sekunteina). Laske pisteen nopeus, sen kiihtyvyys hetkellä 2s

Tehtävä 2 ryhmä

Vauhtipyörä pyörii akselin ympäri lain φ(t)= t 4 -5t mukaan. Etsi sen kulmanopeus ω hetkellä 2s (φ on pyörimiskulma radiaaneina, ω on kulmanopeus rad/s)

Tehtävä 3 ryhmä

Kappale, jonka massa on 2 kg, liikkuu suorassa linjassa lain mukaan x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Selvitä kehon ja sen nopeus kineettinen energia 3 s liikkeen alkamisesta. Mikä voima vaikuttaa kehoon tällä hetkellä? (t mitataan sekunneissa, x on metreissä)

Tehtävä 4

Dot Commits värähteleviä liikkeitä lain mukaan x(t)=2sin3t. Osoita, että kiihtyvyys on verrannollinen x-koordinaattiin.

IV. Itsenäinen ratkaisu tehtäviin nro 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov ym. "Algebra ja analyysiluokkien 10-11 alku"] 12 min

Annettu:	Ratkaisu:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)'= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=(+6t)'= 2t+6=-t+6; a(t) = 0; -t+6=0; t = 6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Vastaus: t=6c; υ(6) = 18 m/s

Funktion f (x) derivaatta pisteessä x0 on raja (jos se on olemassa) pisteessä x0 olevan funktion lisäyksen suhteelle argumentin Δx lisäykseen, jos argumentin inkrementti pyrkii nolla ja sitä merkitään f '(x0). Toimintoa, jossa funktion derivaatta etsitään, kutsutaan differentiaatioksi.
Funktion derivaatalla on seuraava fyysinen merkitys: funktion derivaatta in annettu piste- funktion muutosnopeus tietyssä pisteessä.

Derivaatan geometrinen merkitys. Derivaata pisteessä x0 on yhtä suuri kuin funktion y=f(x) kuvaajan tangentin kaltevuus tässä pisteessä.

Johdannan fyysinen merkitys. Jos piste liikkuu x-akselia pitkin ja sen koordinaatti muuttuu x(t)-lain mukaan, niin pisteen hetkellinen nopeus:

Differentiaalin käsite, sen ominaisuudet. Erottamisen säännöt. Esimerkkejä.

Määritelmä. Funktion differentiaali jossain pisteessä x on funktion inkrementin pääosa, lineaarinen osa. Funktion y = f(x) differentiaali on yhtä suuri kuin sen derivaatan ja riippumattoman muuttujan x inkrementin tulo. Perustelu).

Se on kirjoitettu näin:

tai

Tai


Differentiaaliset ominaisuudet
Differentiaalilla on samanlaiset ominaisuudet kuin derivaatalla:





Vastaanottaja erottelun perussäännöt sisältää:
1) vakiokertoimen ottaminen pois derivaatan etumerkistä
2) summan derivaatta, erotuksen derivaatta
3) funktioiden tulon derivaatta
4) kahden funktion osamäärän derivaatta (murtoluvun derivaatta)

Esimerkkejä.
Todistetaan kaava: Derivaatan määritelmän mukaan meillä on:

Rajalle siirtymisen merkistä voidaan ottaa mielivaltainen tekijä (tämä tiedetään rajan ominaisuuksista), joten

Esimerkiksi: Etsi funktion derivaatta
Ratkaisu: Käytämme sääntöä, jossa kerroin otetaan pois derivaatan etumerkistä :

Melko usein joutuu ensin yksinkertaistamaan differentioituvan funktion muotoa voidakseen käyttää derivaattataulukkoa ja derivaatan etsimisen sääntöjä. Seuraavat esimerkit vahvistavat tämän selvästi.

Erotuskaavat. Differentiaalin soveltaminen likimääräisissä laskelmissa. Esimerkkejä.

Differentiaalin käyttö likimääräisissä laskelmissa mahdollistaa differentiaalin käytön funktioarvojen likimääräisiin laskelmiin.
Esimerkkejä.
Laske likimääräinen differentiaali
Laskea annettu arvo soveltaa kaavaa teoriasta
Esitetään funktio ja esitetään annettu arvo muodossa
sitten Laske

Korvaamalla kaikki kaavaan, saamme lopulta
Vastaus:

16. L'Hopitalin sääntö muotoa 0/0 tai ∞/∞ olevien epävarmuustekijöiden paljastamiseksi. Esimerkkejä.
Kahden äärettömän pienen tai kahden äärettömän suuren määrän suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden johdannaisten suhteen raja.

1)

17. Kasvavat ja vähentävät toiminnot. funktion ääripää. Algoritmi monotonisuuden ja ääripään funktion tutkimiseen. Esimerkkejä.

Toiminto lisääntyy aikavälillä, jos tämän aikavälin kahdelle pisteelle, liittyvää suhdetta, epätasa-arvo on totta. Tuo on, suurempi arvo argumentti vastaa funktion suurempaa arvoa, ja sen kaavio kulkee "alhaalta ylös". Demotoiminto kasvaa ajanjakson kuluessa

Samoin toiminto vähenee on väli, jos millä tahansa kahdella pisteellä tietyn välin siten, että , Epäyhtälö on totta. Toisin sanoen argumentin suurempi arvo vastaa pienempää funktion arvoa, ja sen kaavio kulkee "ylhäältä alas". Meidän vähenee väliajoin pienenee väliajoin .

Äärimmäisyydet Pistettä kutsutaan funktion y=f(x) maksimipisteeksi, jos epäyhtälö on tosi kaikille x:ille sen naapurustosta. Kutsutaan funktion arvo maksimipisteessä toiminto maksimi ja merkitsee.
Pistettä kutsutaan funktion y=f(x) minimipisteeksi, jos epäyhtälö on tosi kaikille x:ille sen naapurustosta. Kutsutaan funktion arvo minimipisteessä funktion minimi ja merkitsee.
Pisteen lähialue ymmärretään intervalliksi , jossa on riittävän pieni positiivinen luku.
Minimi- ja maksimipisteitä kutsutaan ääripisteiksi ja ääripisteitä vastaavia funktioarvoja ns. funktion äärimmäinen.

Tutkiaksesi toimintoa yksitoikkoisuuden vuoksi käytä seuraavaa kaaviota:
- Etsi toiminnon laajuus;
- Etsi funktion derivaatta ja derivaatan alue;
- Etsi derivaatan nollat, ts. argumentin arvo, jolla derivaatta on nolla;
- Merkitse numeroriville yleinen osa funktion alue ja sen derivaatan alue, ja siinä - derivaatan nollat;
- Määritä derivaatan merkit kullakin saadulla aikavälillä;
- Määritä derivaatan etumerkeillä, millä aikaväleillä funktio kasvaa ja missä se pienenee;
- Merkitse asianmukaiset välit puolipisteillä erotettuina.

Algoritmi jatkuvan funktion y = f(x) tutkimiseksi monotonisuudelle ja äärimmäisyydelle:
1) Etsi derivaatta f ′(x).
2) Etsi funktion y = f(x) stationaariset (f ′(x) = 0) ja kriittiset (f ′(x) ei ole olemassa) pisteet.
3) Merkitse reaaliviivalle stationaariset ja kriittiset pisteet ja määritä derivaatan etumerkit tuloksena oleville intervalleille.
4) Tee johtopäätökset funktion monotonisuudesta ja sen ääripisteistä.

18. Funktion kupera. Käännepisteet. Algoritmi funktion konveksiteetti (koveruus) tutkimiseksi Esimerkkejä.

kupera alaspäin X-välillä, jos sen kuvaaja ei ole alempana kuin sen tangentti missä tahansa X-välin kohdassa.

Differentioituvaa funktiota kutsutaan kupera ylöspäin X-välillä, jos sen kuvaaja ei sijaitse sen tangentin yläpuolella missään X-välin kohdassa.

Pistekaavaa kutsutaan kaavion käännepiste funktio y \u003d f (x), jos tietyssä pisteessä on funktion kaavion tangentti (se voi olla Oy-akselin suuntainen) ja pistekaavalla on sellainen naapuruus, jonka sisällä funktion kuvaaja funktiolla on eri kuperasuunnat pisteen M vasemmalle ja oikealle puolelle.

Intervallien etsiminen kuperalle:

Jos funktiolla y=f(x) on äärellinen toinen derivaatta välillä X ja jos epäyhtälö (), silloin funktion kuvaajalla on konveksiteetti, joka on suunnattu alas (ylös) X:ssä.
Tämän lauseen avulla voit löytää funktion koveruuden ja kuperuuden intervallit, sinun tarvitsee vain ratkaista epäyhtälöt ja vastaavasti alkuperäisen funktion määrittelyalueelta.

Esimerkki: Selvitä aikavälit, joilla funktion kaavio Selvitä välit, joilla funktion kaavio sillä on ylöspäin suunnattu kupera ja alaspäin suunnattu kupera. sillä on ylöspäin suunnattu kupera ja alaspäin suunnattu kupera.
Ratkaisu: Tämän funktion toimialue on koko joukko reaalilukuja.
Etsitään toinen derivaatta.

Toisen derivaatan määritelmäalue on sama kuin alkuperäisen funktion määritelmäalue, joten koveruuden ja konveksisuuden välien selvittämiseksi riittää ratkaisemaan ja vastaavasti. Siksi funktio on alaspäin kupera välikaavassa ja ylöspäin kupera välikaavassa.

19) Funktion asymptootit. Esimerkkejä.

Suora soitto vertikaalinen asymptootti funktion kaavio, jos vähintään yksi raja-arvoista tai on yhtä suuri kuin tai .

Kommentti. Viiva ei voi olla pystysuora asymptootti, jos funktio on jatkuva kohdassa . Siksi vertikaalisia asymptootteja tulisi etsiä funktion epäjatkuvuuspisteistä.

Suora soitto horisontaalinen asymptootti funktion kaavio, jos vähintään yksi raja-arvoista tai on yhtä suuri kuin .

Kommentti. Funktiokaaviossa voi olla vain oikea vaaka-asymptootti tai vain vasen.

Suora soitto vino asymptootti funktion kaavio if

ESIMERKKI:

Harjoittele. Etsi funktion kaavion asymptootit

Ratkaisu. Toiminnan laajuus:

a) pystyasymptootit: suora on pystysuora asymptootti, koska

b) vaakasuuntaiset asymptootit: löydämme funktion rajan äärettömästä:

eli ei ole horisontaalisia asymptootteja.

c) vinot asymptootit:

Siten vino asymptootti on: .

Vastaus. Pystyasymptootti on suora viiva.

Vino asymptootti on suora viiva.

20) Yleinen kaava funktiotutkimukset ja piirtäminen. Esimerkki.

a.
Etsi funktion ODZ ja keskeytyspisteet.

b. Etsi funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

2. Suorita funktion tutkimus käyttäen ensimmäistä derivaatta, eli etsi funktion ääripisteet sekä kasvu- ja laskuvälit.

3. Tutki funktiota toisen kertaluvun derivaatan avulla, eli löydä funktiograafin käännepisteet sekä sen konveksiteetti- ja koveruusvälit.

4. Etsi funktion kaavion asymptootit: a) pystysuora, b) vino.

5. Rakenna tutkimuksen perusteella funktion kuvaaja.

Huomaa, että ennen piirtämistä on hyödyllistä selvittää, onko tietty funktio parillinen vai pariton.

Muista, että funktiota kutsutaan, vaikka funktion arvo ei muutu argumentin etumerkin muuttuessa: f(-x) = f(x) ja funktiota kutsutaan parittomaksi jos f(-x) = -f(x).

Tässä tapauksessa riittää tutkia funktiota ja piirtää sen kuvaaja positiiviset arvot ODZ:lle kuuluva väite. klo negatiiviset arvot argumentti, kuvaaja täydennetään sillä perusteella, että parillisen funktion kohdalla se on symmetrinen akselin suhteen Oy, ja parittomat alkuperän suhteen.

Esimerkkejä. Tutustu funktioihin ja rakenna niiden kaavioita.

Toiminnan laajuus D(y)= (–∞; +∞). Taukopisteitä ei ole.

Akselin leikkaus Härkä: x = 0,y= 0.

Funktio on pariton, joten sitä voidaan tutkia vain välillä , ja sen argumentti on [x] yksiköissä, jolloin derivaatta (nopeus) mitataan yksiköissä .

Tehtävä 6

x(t) = 6t 2 − 48t+17, missä x t t= 9s.

Johdannan löytäminen
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Siten olemme saaneet nopeuden riippuvuuden ajasta. Jotta voit löytää nopeuden tietyllä hetkellä, sinun on korvattava sen arvo tuloksena olevassa kaavassa:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 - 48 = 60.

Vastaus: 60

Kommentti: Varmistetaan, ettemme erehtyneet määrien mitoissa. Tässä etäisyyden yksikkö (funktio) [x] = metri, ajan yksikkö (funktion argumentti) [t] = sekunti, joten derivaatan yksikkö = [m/s], ts. derivaatta antaa nopeuden juuri niissä yksiköissä, jotka on mainittu ongelmakysymyksessä.

Tehtävä 7

Aineellinen piste liikkuu lain mukaan suorassa linjassa x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+23, missä x- etäisyys vertailupisteestä metreinä, t- aika sekunneissa mitattuna liikkeen alusta. Etsi sen nopeus (metreinä sekunnissa) sillä hetkellä t= 3s.

Johdannan löytäminen
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Korvaamme annetun ajanhetken tuloksena olevassa kaavassa
x"(3) = −4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Vastaus: 59

Tehtävä 8

Aineellinen piste liikkuu lain mukaan suorassa linjassa x(t) = t 2 − 13t+23, missä x- etäisyys vertailupisteestä metreinä, t- aika sekunneissa mitattuna liikkeen alusta. Millä hetkellä (sekunteina) hänen nopeus oli 3 m/s?

Johdannan löytäminen
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Yhdistämme saadun kaavan antaman nopeuden arvoon 3 m/s.
2t − 13 = 3.
Ratkaisemalla tämän yhtälön määritämme, milloin yhtälö on tosi.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Vastaus: 8

Tehtävä 9

Aineellinen piste liikkuu lain mukaan suorassa linjassa x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+3, missä x- etäisyys vertailupisteestä metreinä, t- aika sekunneissa mitattuna liikkeen alusta. Millä hetkellä (sekunteina) hänen nopeus oli 2 m/s?

Johdannan löytäminen
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Teemme myös yhtälön:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Tämä on toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia tai Vietan lausetta. Tässä mielestäni toinen tapa on helpompi:
t 1 + t 2 = 6; t yksi · t 2 = −7.
Se on helppo arvata t 1 = −1; t 2 = 7.
Laitamme vastaukseen vain positiivisen juuren, koska aika ei voi olla negatiivinen.

Tarkastellaan mielivaltaista suoraa, joka kulkee funktion kaavion pisteen läpi - pisteen A (x 0, f (x 0)) ja leikkaa kuvaajan jossain pisteessä B(x; f(x )). Tällaista suoraa (AB) kutsutaan sekantiksi. Alkaen ∆ABC: ​​AC = ∆ x; eKr \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

Koska AC || Ox , sitten Р ALO = Р BAC = β (vastaa rinnakkaista). MuttaÐ ALO on sekantin AB kaltevuuskulma Ox-akselin positiiviseen suuntaan. tarkoittaa, tgβ = k - kaltevuus suora AB.

Nyt vähennetään ∆x, ts. ∆x→ 0. Tässä tapauksessa piste B lähestyy pistettä A käyrän mukaisesti ja sekantti AB pyörii. Sekantin AB raja-asema kohdassa ∆х→ 0 on suora ( a ), jota kutsutaan funktion y = kaavion tangentiksi f(x) pisteessä A.

Jos siirrytään rajaan yhtälössä ∆х → 0 tg β =∆ y /∆ x , niin saadaan

tai tg a \u003d f "(x 0), koska
a - tangentin kaltevuuskulma Ox-akselin positiiviseen suuntaan

johdannaisen määritelmän mukaan. Mutta tg a = k on tangentin kaltevuus, joten k = tg a \u003d f "(x 0).

Joten derivaatan geometrinen merkitys on seuraava:

Funktion derivaatta pisteessä x 0 on yhtä suuri kuin kulmakerroin tangentti funktion kuvaajalle, joka on piirretty pisteeseen, jossa on abskissa x 0 .

Johdannan fyysinen merkitys.

Harkitse pisteen liikettä suoraa pitkin. Olkoon pisteen koordinaatti millä tahansa ajanhetkellä annettu x(t ). Tiedetään (fysiikan kurssista), että keskinopeus jonkin aikaa [ t0; t0 + ∆t ] on yhtä suuri kuin tämän ajanjakson aikana kuljetun matkan suhde aikaan, ts.

Vav = ∆x /∆t . Siirrytään viimeisen yhtälön rajaan ∆ t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - hetkellinen nopeus ajankohdassa t 0, ∆t → 0.

ja lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (johdannaisen määritelmän mukaan).

Joten n(t) = x "(t).

Derivaatan fyysinen merkitys on seuraava: funktion derivaatta y = f( x) pisteessäx 0 on funktion muutosnopeus f(x) kohdassax 0

Derivaattaa käytetään fysiikassa nopeuden löytämiseen tunnetusta koordinaattifunktiosta ajasta ja kiihtyvyydestä tunnetusta nopeuden funktiosta ajasta.

u (t) \u003d x "(t) - nopeus,

a(f) = n "(t ) - kiihtyvyys tai

a (t) \u003d x "(t).

Jos tunnetaan materiaalipisteen liikkeen laki ympyrää pitkin, niin on mahdollista löytää kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys pyörivän liikkeen aikana:

φ = φ (t ) - kulman muutos ajasta,

ω = φ "(t ) - kulmanopeus,

ε = φ "(t ) - kulmakiihtyvyys taiε \u003d φ "(t).

Jos epähomogeenisen sauvan massan jakautumislaki tunnetaan, niin epähomogeenisen sauvan lineaaritiheys löytyy:

m \u003d m (x) - massa,

x н , l - tangon pituus,

p = m "(x) - lineaarinen tiheys.

Derivaatan avulla ratkaistaan ​​joustoteorian ja harmonisten värähtelyjen tehtäviä. Kyllä, Hooken lain mukaan

F = - kx, x - muuttuva koordinaatti, k - jousen joustokerroin. Laittaminenω 2 = k/m , saamme differentiaaliyhtälö jousiheiluri x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

missä ω = √k /√m värähtelytaajuus ( l/c ), k - jousen jäykkyys ( H/m).

Yhtälö muotoa y" +ω 2 v = 0 kutsutaan harmonisten värähtelyjen yhtälöksi (mekaaninen, sähköinen, sähkömagneettinen). Tällaisten yhtälöiden ratkaisu on funktio

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) tai y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), missä

A on värähtelyjen amplitudi,ω - syklinen taajuus,

φ 0 - alkuvaihe.