Missä vaiheessa funktion derivaatta on negatiivinen? Funktiojohdannainen. Funktion derivaatan merkitys

Tehtävässä B9 on annettu funktion tai derivaatan kuvaaja, josta on määritettävä yksi seuraavista suureista:

1. Derivaatan arvo jossain pisteessä x 0,
2. Korkeat tai matalat pisteet (ääripisteet),
3. Kasvavien ja laskevien funktioiden intervallit (monotonisuuden intervallit).

Tässä tehtävässä esitetyt funktiot ja derivaatat ovat aina jatkuvia, mikä yksinkertaistaa huomattavasti ratkaisua. Huolimatta siitä, että tehtävä kuuluu matemaattisen analyysin osaan, se on aivan heikoimpienkin opiskelijoiden vallassa, koska siellä ei ole syviä teoreettista tietoa ei vaadita täällä.

Derivaatan, ääripisteiden ja monotonisuusvälien arvon löytämiseksi on olemassa yksinkertaisia ​​ja universaaleja algoritmeja- niitä kaikkia käsitellään alla.

Lue huolellisesti tehtävän B9 ehto, jotta et tekisi typeriä virheitä: joskus tulee vastaan ​​melko laajoja tekstejä, mutta muutamia tärkeitä ehtoja, jotka vaikuttavat ratkaisun kulkuun.

Johdannaisen arvon laskeminen. Kahden pisteen menetelmä

Jos tehtävälle annetaan funktion f(x) graafi, joka tangentti tätä kuvaajaa jossain pisteessä x 0 , ja tässä pisteessä on löydettävä derivaatan arvo, käytetään seuraavaa algoritmia:

1. Etsi tangenttikaaviosta kaksi "sopivaa" pistettä: niiden koordinaattien on oltava kokonaislukuja. Merkitään näitä pisteitä A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjoita koordinaatit oikein - tämä on ratkaisun keskeinen kohta, ja mikä tahansa virhe tässä johtaa väärään vastaukseen.
2. Koordinaatit tuntemalla on helppo laskea argumentin Δx = x 2 − x 1 inkrementti ja funktion Δy = y 2 − y 1 inkrementti.
3. Lopuksi löydämme derivaatan D = Δy/Δx arvon. Toisin sanoen, sinun on jaettava funktion lisäys argumentin lisäyksellä - ja tämä on vastaus.

Jälleen kerran huomautetaan: pisteet A ja B on etsittävä tarkalleen tangentista, ei funktion f(x) kaaviosta, kuten usein tapahtuu. Tangentti sisältää välttämättä vähintään kaksi tällaista pistettä, muuten ongelma on muotoiltu väärin.

Tarkastellaan pisteitä A (-3; 2) ja B (-1; 6) ja lasketaan lisäykset:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Etsitään derivaatan arvo: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tehtävä. Kuvassa on funktion y \u003d f (x) kaavio ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x 0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x 0 .

Harkitse pisteitä A (0; 3) ja B (3; 0), etsi lisäykset:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Nyt löydämme derivaatan arvon: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tehtävä. Kuvassa on funktion y \u003d f (x) kaavio ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x 0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x 0 .

Tarkastellaan pisteitä A (0; 2) ja B (5; 2) ja lasketaan lisäykset:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Vielä on löydettävä derivaatan arvo: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Viimeisestä esimerkistä voidaan muotoilla sääntö: jos tangentti on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa, funktion derivaatta kosketuspisteessä on yhtä suuri kuin nolla. Tässä tapauksessa sinun ei tarvitse edes laskea mitään - katso vain kaaviota.

Korkean ja matalan pisteen laskeminen

Joskus tehtävän B9 funktion graafin sijasta annetaan derivaatan kuvaaja ja vaaditaan funktion maksimi- tai minimipisteen löytäminen. Tässä skenaariossa kahden pisteen menetelmä on hyödytön, mutta on olemassa toinen, vielä yksinkertaisempi algoritmi. Ensin määritellään terminologia:

1. Pistettä x 0 kutsutaan funktion f(x) maksimipisteeksi, jos seuraava epäyhtälö pätee jossain tämän pisteen ympäristössä: f(x 0) ≥ f(x).
2. Pistettä x 0 kutsutaan funktion f(x) minimipisteeksi, jos seuraava epäyhtälö pätee jossain tämän pisteen ympäristössä: f(x 0) ≤ f(x).

Derivaatan kaavion maksimi- ja minimipisteiden löytämiseksi riittää, että suoritat seuraavat vaiheet:

1. Piirrä derivaatan kaavio uudelleen poistamalla kaikki tarpeettomat tiedot. Kuten käytäntö osoittaa, ylimääräiset tiedot vain häiritsevät ratkaisua. Siksi merkitsemme derivaatan nollat ​​koordinaattiakselille - ja siinä se.
2. Selvitä derivaatan merkit nollien välisillä väleillä. Jos jollekin pisteelle x 0 tiedetään, että f'(x 0) ≠ 0, niin vain kaksi vaihtoehtoa on mahdollista: f'(x 0) ≥ 0 tai f'(x 0) ≤ 0. Derivaatan etumerkki on helppo määrittää alkuperäisestä piirustuksesta: jos derivaattagraafi on OX-akselin yläpuolella, niin f'(x) ≥ 0. Kääntäen, jos derivaattagraafi on OX-akselin alapuolella, niin f'(x) ≤ 0.
3. Tarkistamme jälleen derivaatan nollat ​​ja merkit. Jos merkki muuttuu miinuksesta plussiksi, on vähimmäispiste. Päinvastoin, jos derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinukseen, tämä on maksimipiste. Lasku tapahtuu aina vasemmalta oikealle.

Tämä kaavio toimii vain jatkuville toiminnoille - tehtävässä B9 ei ole muita.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio janalle [−5; 5]. Etsi tämän janan funktion f(x) minimipiste.

Päästään eroon tarpeettomasta tiedosta - jätämme vain rajat [−5; 5] ja derivaatan nollat ​​x = −3 ja x = 2,5. Huomioi myös merkit:

On selvää, että pisteessä x = −3 derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi. Tämä on vähimmäispiste.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio janalle [−3; 7]. Etsi funktion f(x) maksimipiste tällä segmentillä.

Piirretään graafi uudelleen jättäen vain rajat [−3; 7] ja derivaatan nollat ​​x = −1.7 ja x = 5. Huomaa derivaatan merkit tuloksena olevaan graafiin. Meillä on:

On selvää, että pisteessä x = 5 derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinukseen - tämä on maksimipiste.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio janalle [−6; 4]. Etsi funktion f(x) maksimipisteiden lukumäärä, jotka kuuluvat väliin [−4; 3].

Tehtävän ehdoista seuraa, että riittää, kun tarkastellaan vain segmentin [−4; 3]. Siksi rakennamme uusi aikataulu, johon merkitsemme vain rajat [−4; 3] ja sen sisällä olevan derivaatan nollat. Nimittäin pisteet x = −3.5 ja x = 2. Saamme:

Tässä kaaviossa on vain yksi maksimipiste x = 2. Siinä derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinusarvoksi.

Pieni huomautus pisteistä, joiden koordinaatit eivät ole kokonaislukuja. Esimerkiksi viimeisessä tehtävässä tarkasteltiin pistettä x = −3.5, mutta samalla menestyksellä voidaan ottaa x = −3.4. Jos ongelma on kirjoitettu oikein, tällaisten muutosten ei pitäisi vaikuttaa vastaukseen, koska kohdat "ilman tietty paikka asuinpaikka” eivät ota suoraan osaa ongelman ratkaisemiseen. Tietenkin kokonaislukupisteillä tällainen temppu ei toimi.

Funktion kasvu- ja laskuvälien löytäminen

Tällaisessa ongelmassa, kuten maksimi- ja minimipisteissä, ehdotetaan etsimään alueita, joissa funktio itse kasvaa tai pienenee derivaatan kaaviosta. Ensin määritellään, mitä nouseva ja laskeva ovat:

1. Funktiota f(x) kutsutaan janan kasvavaksi, jos tämän janan kahdelle pisteelle x 1 ja x 2 lause on tosi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Toisin sanoen mitä suurempi argumentin arvo on, sitä suurempi on funktion arvo.
2. Funktiota f(x) kutsutaan janan pieneneväksi, jos tämän janan kahdelle pisteelle x 1 ja x 2 lause on tosi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Nuo. suurempi arvo argumentti vastaa funktion pienempää arvoa.

Muotoilemme riittävät edellytykset lisääntymiselle ja vähentämiselle:

1. Jotta jatkuva funktio f(x) kasvaisi segmentillä , riittää, että sen derivaatta segmentin sisällä on positiivinen, ts. f'(x) ≥ 0.
2. Jotta jatkuva funktio f(x) pienenisi segmentillä , riittää, että sen derivaatta segmentin sisällä on negatiivinen, ts. f'(x) ≤ 0.

Hyväksymme nämä väitteet ilman todisteita. Siten saamme kaavion kasvu- ja laskuvälien löytämiseksi, joka on monella tapaa samanlainen kuin ääripisteiden laskenta-algoritmi:

1. Poista kaikki tarpeettomat tiedot. Derivaatan alkuperäisessä kaaviossa meitä kiinnostavat ensisijaisesti funktion nollat, joten jätämme vain ne.
2. Merkitse derivaatan merkit nollien väliin. Kun f'(x) ≥ 0, funktio kasvaa ja missä f'(x) ≤ 0, se pienenee. Jos ongelmassa on rajoituksia muuttujalle x, merkitsemme ne lisäksi uuteen kaavioon.
3. Nyt kun tiedämme funktion käyttäytymisen ja rajoitteen, on jäljellä tehtävän vaaditun arvon laskeminen.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio janalle [−3; 7.5]. Etsi laskevan funktion f(x) välit. Kirjoita vastaukseesi näiden välien sisältämien kokonaislukujen summa.

Kuten tavallista, piirrämme kaavion uudelleen ja merkitsemme rajat [−3; 7.5] sekä derivaatan x = −1.5 ja x = 5.3 nollat. Sitten merkitsemme derivaatan merkit. Meillä on:

Koska derivaatta on negatiivinen välillä (− 1,5), tämä on pienenevän funktion väli. Jäljelle jää vielä summaa kaikki tämän välin sisällä olevat kokonaisluvut:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tehtävä. Kuvassa on kaavio janalle [−10; 4]. Etsi kasvavan funktion f(x) välit. Kirjoita vastaukseesi niistä suurimman pituus.

Päästään eroon tarpeettomasta tiedosta. Jätämme vain rajat [−10; 4] ja derivaatan nollia, jotka tällä kertaa osoittautuivat neljäksi: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Huomioi derivaatan merkit ja saat seuraavan kuvan:

Olemme kiinnostuneita kasvavien funktioiden aikaväleistä, ts. missä f'(x) ≥ 0. Kuvaajassa on kaksi tällaista väliä: (−8; −6) ja (−3; 2). Lasketaan niiden pituudet:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Koska on tarpeen löytää suurimman intervallin pituus, kirjoitamme vastaukseksi arvon l 2 = 5.

Toimintotutkimus. Tässä artikkelissa puhumme tehtävistä, joissa toimintoja tarkastellaan ja tilassa on kysymyksiä, jotka liittyvät niiden tutkimiseen. Harkitse tärkeimpiä teoreettisia kohtia, jotka sinun on tiedettävä ja ymmärrettävä niiden ratkaisemiseksi.

Tämä on koko ryhmä matematiikan tenttiin sisältyvät tehtävät. Yleensä herää kysymys maksimipisteiden (minimipisteiden) löytämisestä tai funktion suurimman (pienimmän) arvon määrittämisestä tietyllä aikavälillä.Harkittu:

— Teho ja irrationaaliset funktiot.

— Rationaaliset toiminnot.

— Teosten ja yksityisten opiskelu.

— Logaritmiset funktiot.

— Trigonometriset funktiot.

Jos ymmärrät rajojen teorian, derivaatan käsitteen, derivaatan ominaisuudet funktioiden kaavioiden tutkimiseen ja sen , niin tällaiset ongelmat eivät aiheuta sinulle vaikeuksia ja ratkaiset ne helposti.

Alla olevat tiedot ovat teoreettisia kohtia, joiden ymmärtäminen mahdollistaa tällaisten ongelmien ratkaisemisen. Yritän ilmaista ne niin, että jopa ne, jotka eivät ole löytäneet tätä aihetta tai opiskelleet sitä huonosti, voivat ratkaista tällaiset ongelmat ilman suuria vaikeuksia.

Tämän ryhmän ongelmissa, kuten jo mainittiin, on löydettävä joko funktion minimi (maksimi) piste tai funktion suurin (pienin) arvo väliltä.

Vähimmäis- ja maksimipisteet.Johdannaiset ominaisuudet.

Harkitse funktion kuvaajaa:

Piste A on maksimipiste, välillä O:sta A:han funktio kasvaa, välillä A:sta B:hen se pienenee.

Piste B on minimipiste, välissä A paikkaan B funktio pienenee, välillä B:stä C se kasvaa.

Näissä pisteissä (A ja B) derivaatta katoaa (on nolla).

Tangentit näissä kohdissa ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa härkä.

Lisään vielä, että pisteitä, joissa funktio muuttaa käyttäytymistään kasvavasta laskevaksi (ja päinvastoin, pienenemisestä kasvavaan), kutsutaan ääripisteiksi.

Tärkeä pointti:

1. Derivaata kasvavilla aikaväleillä on positiivinen etumerkki (nKun arvo väliltä korvataan derivaatalla, saadaan positiivinen luku).

Tämä tarkoittaa, että jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietyltä aikaväliltä on positiivinen arvo, silloin funktion kuvaaja tällä välillä kasvaa.

2. Pienennysväleillä derivaatalla on negatiivinen etumerkki (korvattaessa arvo väliltä derivaattalausekkeeseen saadaan negatiivinen luku).

Joten jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietyltä aikaväliltä on negatiivinen arvo, funktion kuvaaja tällä välillä pienenee.

Tämä on tehtävä selväksi!

Näin ollen laskemalla derivaatan ja vertaamalla se nollaan, voit löytää pisteitä, jotka jakavat reaaliakselin intervalleiksi.Jokaisella näistä intervalleista voit määrittää derivaatan etumerkin ja tehdä sitten johtopäätöksen sen kasvusta tai laskusta.

* Erikseen on sanottava pisteistä, joissa johdannaista ei ole olemassa. Esimerkiksi voimme saada derivaatan, jonka nimittäjä häviää tietyssä x:ssä. On selvää, että tällaiselle x:lle derivaatta ei ole olemassa. Joten tämä kohta on myös otettava huomioon määritettäessä kasvun (vähenemisen) väliä.

Funktio pisteissä, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, ei aina muuta etumerkkiään. Tämä tulee olemaan erillinen artikkeli. Itse USE:ssa ei ole tällaisia ​​tehtäviä.

Yllä olevat ominaisuudet ovat välttämättömiä funktion käyttäytymisen tutkimiseksi kasvaessa ja pienentyessä.

Mitä muuta sinun on tiedettävä määritettyjen ongelmien ratkaisemiseksi: johdannaistaulukko ja differentiointisäännöt. Ei mitään ilman tätä. Tämä on perustietämys, johdannaisen aiheessa. Sinun pitäisi tietää alkeisfunktioiden johdannaiset erittäin hyvin.

Kompleksisen funktion derivaatan laskeminenf(g(x)), kuvittele toimintog(x) on muuttuja ja laske sitten derivaattaf’(g(x)) taulukkokaavojen avulla muuttujan tavallisena johdannaisena. Kerro sitten tulos funktion derivaatallag(x) .

Katso Maxim Semenikhinin video-opastus monimutkaisesta toiminnosta:

Tehtäviä maksimi- ja minimipisteiden löytämisessä

Algoritmi funktion maksimi- (minimi)pisteiden löytämiseksi:

1. Etsi funktion derivaatta f’(x).

2. Etsi derivaatan nollat ​​(vertaamalla derivaatan nollaan f’(x)=0 ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö). Löydämme myös kohdat, joissa johdannaista ei ole olemassa(etenkin tämä koskee murto-rationaalisia funktioita).

3. Merkitsemme saadut arvot numeroviivalle ja määritämme derivaatan etumerkit näille intervalleille korvaamalla välien arvot derivaattalausekkeella.

Tulos on toinen kahdesta:

1. Maksimipiste on pistejossa derivaatta muuttuu positiivisesta negatiiviseksi.

2. Minimipiste on pistejossa derivaatta muuttuu negatiivisesta positiiviseksi.

Ongelmat suurimman tai pienimmän arvon löytämisessä

toimii välissä.

Toisessa ongelmatyypissä on löydettävä suurin tai pienin arvo toimii tietyllä aikavälillä.

Algoritmi suurimman (pienimmän) funktioarvon löytämiseksi:

1. Selvitä, onko enimmäispisteitä (minimipisteitä). Tätä varten löydämme johdannaisen f’(x) , ratkaise sitten f’(x)=0 (Edellisen algoritmin kohdat 1 ja 2).

2. Selvitetään, kuuluvatko saadut pisteet tiettyyn väliin ja kirjoitetaan sen sisällä olevat pisteet.

3. Korvaamme alkuperäiseen funktioon (ei derivaatta, vaan ehdossa annettuun) annetun intervallin rajat ja intervallin sisällä olevat pisteet (maksimi-minimi) (kohta 2).

4. Laskemme funktion arvot.

5. Valitsemme saaduista suurimman (pienimmän) arvon sen mukaan, mikä tehtävässä esitettiin, ja kirjoita vastaus muistiin.

Kysymys: miksi funktion suurimman (pienimmän) arvon löytämisessä pitää etsiä maksimi- (minimi)pisteitä?

Vastaus on havainnollistettu parhaiten, katso kaavamainen esitys funktioiden antamista kaavioista:

Tapauksissa 1 ja 2 riittää vaihtamalla välin rajat funktion maksimi- tai minimiarvon määrittämiseksi. Tapauksissa 3 ja 4 on tarpeen löytää funktion nollat ​​(maksimi-minimipisteet). Jos korvaamme välin rajat (löytämättä funktion nollia), saamme väärän vastauksen, tämä näkyy kaavioista.

Ja asia on, että emme voi nähdä, miltä kaavio näyttää intervallilla (onko sillä maksimi tai minimi intervallin sisällä) käyttämällä annettua funktiota. Siksi etsi funktion nollat ​​ilman epäonnistumista!!!

Jos yhtälö f'(x)=0 ei ole ratkaisua, tämä tarkoittaa, että maksimi-minimipisteitä ei ole (kuva 1.2), ja asetetun tehtävän löytämiseksi tähän funktioon korvataan vain välin rajat.

Toinen tärkeä pointti. Muista, että vastauksen on oltava kokonaisluku tai äärellinen desimaali. Kun lasketaan funktion suurinta ja pienintä arvoa, saat lausekkeita, joissa on luku e ja pi, sekä lausekkeita, joissa on juuri. Muista, että sinun ei tarvitse laskea niitä loppuun, ja on selvää, että tällaisten lausekkeiden tulos ei ole vastaus. Jos tällainen arvo halutaan laskea, niin tee se (luvut: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Kirjoitin paljon, luultavasti hämmentynyt? Tarkemmilla esimerkeillä näet, että kaikki on yksinkertaista.

Seuraavaksi haluan kertoa sinulle pienen salaisuuden. Tosiasia on, että monet tehtävät voidaan ratkaista tietämättä derivaatan ominaisuuksia ja jopa ilman eriyttämissääntöjä. Kerron ehdottomasti näistä vivahteista ja näytän kuinka se tehdään? Älä missaa!

Mutta miksi sitten ylipäänsä esitin teorian ja sanoin myös, että se on tiedettävä erehtymättä. Aivan oikein - sinun täytyy tietää. Jos ymmärrät sen, mikään tämän aiheen tehtävä ei hämmentä sinua.

Ne "temput", joista opit, auttavat sinua ratkaisemaan tiettyjä (joitakin) prototyyppiongelmia. VastaanottajaLisätyökaluna nämä tekniikat ovat tietysti käteviä käyttää. Ongelma voidaan ratkaista 2-3 kertaa nopeammin ja säästää aikaa osan C ratkaisemiseen.

Kaikki parhaat!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Geometrisestä merkityksestä on kirjoitettu paljon teoriaa. En mene funktion lisäyksen johtamiseen, vaan muistutan sinua tärkeimmistä tehtävien suorittamisen kannalta:

Derivaata kohdassa x on kulmakerroin tangentti funktion y \u003d f (x) kuvaajalle tässä kohdassa, eli se on X-akselin kaltevuuskulman tangentti.

Otetaan heti tehtävä kokeesta ja aletaan ymmärtää sitä:

Tehtävä numero 1. Kuvassa näkyy funktiokaavio y = f(x) ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x0.
Kenellä on kiire eikä halua ymmärtää selityksiä: rakenna mihin tahansa sellaiseen kolmioon (kuten alla) ja jaa seisova puoli (pysty) makaavalla (vaakasuuntaisella) ja olet onnellinen, jos et unohda merkkiä (jos suora viiva pienenee (→ ↓), niin vastauksen tulee olla miinus, jos suora kasvaa (→), niin vastauksen on oltava positiivinen!)

Sinun on löydettävä tangentin ja X-akselin välinen kulma, kutsutaan sitä α:ksi: vedämme X-akselin suuntaisen suoran minne tahansa kaavion tangentin läpi, saamme saman kulman.

On parempi olla ottamatta pistettä x0, koska tarvitset suuren suurennuslasin tarkkojen koordinaattien määrittämiseen.

Ottamalla mikä tahansa suorakulmainen kolmio (kuvassa ehdotetaan 3 vaihtoehtoa), saadaan tgα (kulmat ovat yhtä suuret, vastaavasti), ts. saamme funktion f(x) derivaatan pisteessä x0. Miksi niin?

Jos piirretään tangentit muihin pisteisiin x2, x1 jne. tangentit ovat erilaisia.

Palataan 7. luokkaan rakentamaan suora viiva!

Suoran yhtälö saadaan yhtälöstä y = kx + b , missä

k - kallistus suhteessa X-akseliin.

b on Y-akselin leikkauspisteen ja origon välinen etäisyys.

Suoran derivaatta on aina sama: y" = k.

Missä tahansa pisteessä viivalla otamme derivaatan, se pysyy muuttumattomana.

Siksi jää vain löytää tgα (kuten edellä mainittiin: jaetaan seisova puoli makuulla). Jaamme vastakkaisen jalan viereisellä, saamme, että k \u003d 0,5. Jos kuvaaja kuitenkin pienenee, kerroin on negatiivinen: k = -0,5.

Suosittelen tarkistamaan toinen tapa:
Kahta pistettä voidaan käyttää suoran määrittämiseen. Etsi minkä tahansa kahden pisteen koordinaatit. Esimerkiksi (-2;-2) ja (2;-4):

Korvaa yhtälössä y = kx + b y:n ja x:n sijaan pisteiden koordinaatit:

-2 = -2k + b

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme b = −3, k = −0.5

Johtopäätös: Toinen menetelmä on pidempi, mutta siinä et unohda merkkiä.

Vastaus: - 0,5

Tehtävä numero 2. Kuvassa näkyy johdannainen graafi funktiot f(x). X-akselille on merkitty kahdeksan pistettä: x1, x2, x3, ..., x8. Kuinka monta näistä pisteistä on kasvavan funktion f(x) intervalleilla?

Jos funktion kuvaaja pienenee - derivaatta on negatiivinen (ja päinvastoin).

Jos funktion kuvaaja kasvaa, derivaatta on positiivinen (ja päinvastoin).

Nämä kaksi lausetta auttavat sinua päättämään suurin osa tehtäviä.

Katso tarkkaan johdannaisen tai funktion piirros annetaan sinulle ja valitse sitten toinen kahdesta lauseesta.

Rakennamme funktiosta kaavion. Koska meille annetaan derivaatan kuvaaja, niin missä se on negatiivinen, funktion kuvaaja pienenee, missä se on positiivinen, se kasvaa!

Osoittautuu, että kasvualueilla on 3 pistettä: x4; x5; x6.

Vastaus: 3

Tehtävä numero 3. Funktio f(x) määritellään välille (-6; 4). Kuvassa näkyy sen derivaatan kaavio. Etsi sen pisteen abskissa, jossa funktio saa suurimman arvon.

Suosittelen, että rakennat aina miten funktiokaavio etenee, sellaisilla nuolilla tai kaavamaisesti merkeillä (kuten nro 4 ja nro 5):

Ilmeisesti, jos kuvaaja kasvaa arvoon -2, niin maksimipiste on -2.

Vastaus: -2

Tehtävä numero 4. Kuvassa on funktion f(x) kaavio ja kaksitoista pistettä x-akselilla: x1, x2, ..., x12. Kuinka monessa näistä pisteistä funktion derivaatta on negatiivinen?

Tehtävä on käänteinen, kun otetaan huomioon funktion kaavio, sinun on rakennettava kaavamaisesti, miltä funktion derivaatan kaavio näyttää, ja laskettava kuinka monta pistettä on negatiivisella alueella.

Positiivinen: x1, x6, x7, x12.

Negatiivinen: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Vastaus: 7

Toisen tyyppinen tehtävä, kun kysytään kauheista "ääripäistä"? Sinun ei ole vaikea löytää, mikä se on, mutta selitän kaavioita varten.

Tehtävä numero 5. Kuvassa on kaavio funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty intervallilla (-16; 6). Laske funktion f(x) ääripisteiden lukumäärä janalla [-11; 5].

Huomaa vaihteluväli -11 - 5!

Käännetään kirkkaat silmämme levyyn: funktion derivaatan kuvaaja on annettu => niin ääripäät ovat X-akselin leikkauspisteitä.

Vastaus: 3

Tehtävä numero 6. Kuvassa on kaavio funktion f (x) derivaatta, joka on määritelty intervallilla (-13; 9). Etsi funktion f(x) maksimipisteiden lukumäärä väliltä [-12; 5].

Huomaa vaihteluväli -12 - 5!

Voit katsoa levyä yhdellä silmällä, maksimipiste on ääripää, niin että ennen sitä derivaatta on positiivinen (funktio kasvaa), ja sen jälkeen derivaatta on negatiivinen (funktio pienenee). Nämä pisteet on ympyröity.

Nuolet osoittavat, kuinka funktion kaavio käyttäytyy.

Vastaus: 3

Tehtävä numero 7. Kuvassa on kaavio funktiosta f(x), joka on määritelty intervallilla (-7; 5). Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion f(x) derivaatta on yhtä suuri kuin 0.

Voit katsoa yllä olevaa taulukkoa (derivaata on nolla, mikä tarkoittaa, että nämä ovat ääripisteitä). Ja tässä tehtävässä funktion kaavio on annettu, mikä tarkoittaa, että sinun on löydettävä käännepisteiden määrä!

Ja voit, kuten tavallista: rakennamme derivaatan kaavion.

Derivaata on nolla, kun funktioiden kuvaaja muuttaa suuntaansa (kasvavasta laskevaksi ja päinvastoin)

Vastaus: 8

Tehtävä numero 8. Kuvassa näkyy johdannainen graafi funktio f(x), joka on määritetty välille (-2; 10). Etsi kasvavan funktion intervallit f(x). Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa.

Rakennetaan funktiosta kaavakuva:

Kun se kasvaa, saamme 4 kokonaislukupistettä: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Vastaus: 22

Tehtävä numero 9. Kuvassa näkyy johdannainen graafi funktio f(x), joka on määritetty välille (-6; 6). Etsi pisteiden lukumäärä f(x), joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen tai osuu yhteen suoran y = 2x + 13 kanssa.

Saamme derivaatan kaavion! Tämä tarkoittaa, että tangenttimme on myös "käännettävä" johdannaiseksi.

Tangenttiderivaata: y" = 2.

Rakennetaan nyt molemmat johdannaiset:

Tangentit leikkaavat kolmessa pisteessä, joten vastauksemme on 3.

Vastaus: 3

Tehtävä numero 10. Kuvassa on funktion f (x) kaavio, johon on merkitty pisteet -2, 1, 2, 3. Missä näistä pisteistä derivaatan arvo on pienin? Mainitse tämä kohta vastauksessasi.

Tehtävä on hieman samanlainen kuin ensimmäinen: derivaatan arvon löytämiseksi sinun on rakennettava tämän kaavion tangentti johonkin pisteeseen ja löydettävä kerroin k.

Jos viiva pienenee, k< 0.

Jos viiva kasvaa, k > 0.

Mietitään kuinka kertoimen arvo vaikuttaa suoran kaltevuuteen:

Kun k = 1 tai k = − 1, kuvaaja on keskellä x- ja y-akselien välissä.

Mitä lähempänä suora X-akselia on, sitä lähempänä kerroin k on nolla.

Mitä lähempänä viiva on Y-akselia, sitä lähempänä kerroin k on ääretöntä.

Pisteissä -2 ja 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>siellä on johdannaisen pienin arvo

Vastaus: 1

Tehtävä numero 11. Suora on tangentti y = 3x + 9 funktion y = x³ + x² + 2x + 8 kuvaajalle. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Viiva on tangentti kuvaajalle, kun kaavioilla on yhteinen kohta, sekä niiden johdannaiset. Yhdistä kaavioiden yhtälöt ja niiden derivaatat:

Ratkaisemalla toisen yhtälön saamme 2 pistettä. Tarkistaaksemme, mikä niistä on sopiva, korvaamme jokaisen x:n ensimmäisellä yhtälöllä. Vain yksi pärjää.

En halua ratkaista kuutioyhtälöä ollenkaan, vaan neliömäistä suloiselle sielulle.

Se on vain mitä kirjoittaa vastaukseksi, jos saat kaksi "normaalia" vastausta?

Kun korvaat x (x) alkuperäisissä kaavioissa y \u003d 3x + 9 ja y \u003d x³ + x² + 2x + 8, sinun pitäisi saada sama Y

y = 1³+1²+2×1+8=12

Oikein! Joten x=1 on vastaus

Tehtävä numero 12. Suora y = − 5x − 6 on tangentti funktion ax² + 5x − 5 kuvaajalle. Löydä .

Samoin vertaamme funktiot ja niiden johdannaiset:

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä muuttujien a ja x suhteen:

Vastaus: 25

Johdannaisten tehtävää pidetään yhtenä vaikeimmista kokeen ensimmäisessä osassa, mutta pienellä tarkkaavaisuudella ja asian ymmärtämisellä onnistut ja nostat tämän tehtävän suoritusprosenttia!

Valmistumistyöt sisällä KÄYTÄ lomaketta 11-luokkalaisille se sisältää välttämättä tehtäviä raja-arvojen laskemiseen, funktion derivaatan pienentämisen ja suurentamisen intervalleihin, ääripisteiden löytämiseen ja graafien piirtämiseen. Tämän aiheen hyvän tuntemuksen avulla voit vastata oikein useisiin kokeen kysymyksiin etkä koe vaikeuksia jatkokoulutuksessa.

Perusasiat differentiaalilaskenta yksi matematiikan pääteemoista moderni koulu. Hän tutkii derivaatan käyttöä muuttujien riippuvuuksien tutkimiseen - derivaatan avulla voit analysoida funktion kasvua ja vähenemistä piirustukseen viittaamatta.

Valmistuneiden kattava valmistautuminen kokeen läpäiseminen päällä koulutusportaali"Shkolkovo" auttaa syvästi ymmärtämään eriyttämisen periaatteita - ymmärtämään teorian yksityiskohtaisesti, tutkimaan esimerkkejä ratkaisuista tyypillisiä tehtäviä ja kokeilla itsenäistä työtä. Autamme sinua poistamaan tiedon puutteita - selventämään ymmärrystäsi aiheen leksikaalisista käsitteistä ja suureiden riippuvuuksista. Opiskelija osaa toistaa, kuinka löydetään monotonisuusvälejä, mikä tarkoittaa funktion derivaatan nousua tai laskua tietyllä intervallilla, kun rajapisteet ovat mukana mutta eivät sisälly löydettyihin intervalleihin.

Ennen kuin aloitat temaattisten ongelmien suoran ratkaisun, suosittelemme, että siirryt ensin "Teoreettinen viite" -osioon ja toistat käsitteiden, sääntöjen ja taulukkokaavojen määritelmät. Täältä voit myös lukea, kuinka löytää ja tallentaa jokainen kasvavien ja laskevien funktioiden aikaväli derivaattagraafista.

Kaikki tarjottu tieto on esitetty mahdollisimman helposti ymmärrettävässä muodossa, jotta se voidaan ymmärtää käytännössä tyhjästä. Sivusto tarjoaa materiaalia havainnointiin ja assimilaatioon useissa useita muotoja– lukeminen, videon katselu ja suora koulutus kokeneiden opettajien ohjauksessa. Ammattitaitoiset kouluttajat he kertovat sinulle yksityiskohtaisesti kuinka löytää funktion derivaatan kasvu- ja laskuvälit analyyttisten ja graafisten menetelmien avulla. Webinaarien aikana on mahdollista esittää mitä tahansa kiinnostavaa kysymystä sekä teoriassa että tiettyjen ongelmien ratkaisemisessa.

Muista aiheen pääkohdat, katso esimerkkejä funktion derivaatan kasvattamisesta, kuten tenttivaihtoehtojen tehtävät. Vahvistaaksesi, mitä olet oppinut, katso "Katalogi" - täältä löydät käytännön harjoituksia varten itsenäinen työ. Osion tehtävät on valittu eri tasoilla vaikeuksia taitojen kehittämisessä. Jokaiselle niistä on liitetty esimerkiksi ratkaisualgoritmit ja oikeat vastaukset.

Valitsemalla "konstruktori"-osion opiskelijat voivat harjoitella funktion derivaatan lisäyksen ja pienenemisen tutkimista reaaliarvolla. KÄYTÄ vaihtoehtoja, päivitetään jatkuvasti ottaen huomioon viimeaikaiset muutokset ja innovaatioita.

Tietyllä aikavälillä funktiolla on 2 maksimiarvoa ja 2 minimiä, yhteensä 4 ääripäätä. Tehtävä Kuvassa on kaavio intervalleilla määritellyn funktion derivaatasta. Ratkaisu Tietyllä aikavälillä funktion derivaatta on positiivinen, joten funktio kasvaa tällä välillä. Ratkaisu Jos derivaatta jossain pisteessä on yhtä suuri kuin nolla ja sen naapurustossa muuttaa etumerkkiä, niin tämä on ääripiste.

Johdannaisen arvon laskeminen. Kahden pisteen menetelmä

1. Tutki funktiota derivaatan kuvaajalla. Funktio y=f(x) pienenee aikaväleillä (x1;x2) ja (x3;x4). Derivaatan y=f ‘(x) kuvaajalla voit myös verrata funktion y=f(x) arvoja.

Merkitään näitä pisteitä A (x1; y1) ja B (x2; y2). Kirjoita koordinaatit oikein - tämä on ratkaisun avainkohta, ja mikä tahansa virhe tässä johtaa väärään vastaukseen.

AT fyysinen aisti derivaatta on minkä tahansa prosessin muutosnopeus. Materiaalipiste liikkuu suoraviivaisesti lain x(t) = t²-13t+23 mukaan, missä x on etäisyys vertailupisteestä metreinä, t on aika sekunteina mitattuna liikkeen alusta.

Ympyrän tangentti, ellipsi, hyperbola, paraabeli.

Muistutan, että se kuulostaa tältä: funktiota kutsutaan intervallin kasvavaksi/vähentäväksi, jos funktion suurempi argumentti vastaa funktion suurempaa/pienempää arvoa. Mutta katso, ole hyvä, ratkaisusi tehtävään 7089. Siellä, kun määrität kasvuvälejä, rajat eivät sisälly. Huomaa, että derivaatan graafi on annettu. Kuten tavallista: puhjennut piste ei ole kaaviossa, siinä olevia arvoja ei ole olemassa eikä niitä oteta huomioon. Hyvin valmistautuneet lapset erottavat käsitteet "johdannainen" ja "toinen johdannainen". Olet hämmentävä: jos derivaatta kääntyi 0:ksi, niin funktiolla voisi siinä vaiheessa olla minimi tai maksimi. Negatiiviset arvot derivaatta vastaa intervalleja, joilla funktio f(x) pienenee.

Tähän asti olemme etsineet graafien tangenttien yhtälöitä yksiarvoisia toimintoja muotoa y = f(x) eri pisteissä.

Alla olevassa kuvassa on kolme erilaista sekanttia (pisteet A ja B ovat erilaisia), mutta ne ovat yhteneväisiä ja ne on annettu yhdellä yhtälöllä. Mutta silti, jos aloitamme määritelmästä, niin viiva ja sen sekanttiviiva ovat samat. Aloitetaan kosketuspisteiden koordinaattien etsiminen. Kiinnitä siihen huomiota, sillä käytämme sitä myöhemmin kosketuspisteiden ordinaatteja laskettaessa. Hyperbola, jonka keskipiste on pisteessä ja kärjet ja joka saadaan yhtälöllä (kuva alla vasemmalla) ja kärkipisteillä ja - yhtälöllä (kuva alla oikealla). Herää looginen kysymys, kuinka määrittää, mihin funktioista piste kuuluu. Vastataksemme siihen korvaamme koordinaatit jokaiseen yhtälöön ja katsomme, mikä yhtälöistä muuttuu identiteetiksi.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on ainoa yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta. Etsitään. Muistamme sen tangentin terävä kulma sisään suorakulmainen kolmio yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen. Mutta kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla?