Kuinka monessa pisteessä funktion derivaatta on positiivinen? Missä vaiheessa johdannaisen arvo on suurin?

Esitetään derivaatan etumerkin suhde funktion monotonisuuden luonteeseen.

Ole erittäin varovainen seuraavassa. Katso, aikataulu MITÄ sinulle annetaan! Funktio tai sen johdannainen

Annettu derivaatan kaavio, silloin meitä kiinnostavat vain funktiomerkit ja nollat. Meitä ei periaatteessa kiinnosta mitkään "kyhmyt" ja "ontelot"!

Tehtävä 1.

Kuvassa on kaavio funktiosta, joka on määritelty aikavälille. Määritä niiden kokonaislukupisteiden lukumäärä, joissa funktion derivaatta on negatiivinen.

Ratkaisu:

Kuvassa pienenevän toiminnon alueet on korostettu värein:

Näille laskevan funktion alueille kuuluu 4 kokonaislukuarvoa.

Tehtävä 2.

Kuvassa on kaavio funktiosta, joka on määritelty aikavälille. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen tai sama kuin suora.

Ratkaisu:

Koska funktiokaavion tangentti on yhdensuuntainen (tai osuu yhteen) suoran kanssa (tai joka on sama, ), jolla on kaltevuus , nolla, silloin tangentilla on kaltevuus .

Tämä puolestaan ​​tarkoittaa, että tangentti on yhdensuuntainen akselin kanssa, koska kaltevuus on tangentin kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

Siksi löydämme kaaviosta ääripisteet (maksimi- ja minimipisteet), - juuri niissä kaaviota tangentit funktiot ovat yhdensuuntaisia ​​akselin kanssa.

Tällaisia ​​pisteitä on 4.

Tehtävä 3.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen tai sama kuin suora.

Ratkaisu:

Koska funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen (tai osuu yhteen) suoran kanssa, jolla on kaltevuus, tangentilla on kaltevuus.

Tämä puolestaan ​​tarkoittaa, että kosketuspisteissä.

Siksi tarkastelemme kuinka monen kaavion pisteen ordinaatit ovat yhtä suuria kuin .

Kuten näet, tällaisia ​​kohtia on neljä.

Tehtävä 4.

Kuvassa on kaavio funktiosta, joka on määritelty aikavälille. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion derivaatta on 0.

Ratkaisu:

Derivaata on nolla ääripisteissä. Meillä on niitä 4:

Tehtävä 5.

Kuvassa on funktiokaavio ja yksitoista pistettä x-akselilla:. Kuinka monessa näistä pisteistä funktion derivaatta on negatiivinen?

Ratkaisu:

Laskevan funktion aikaväleillä sen derivaatta saa negatiiviset arvot. Ja funktio pienenee pisteissä. Tällaisia ​​pisteitä on 4.

Tehtävä 6.

Kuvassa on kaavio funktiosta, joka on määritelty aikavälille. Laske funktion ääripisteiden summa.

Ratkaisu:

ääripisteet ovat maksimipisteet (-3, -1, 1) ja vähimmäispisteet (-2, 0, 3).

Ääripisteiden summa: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tehtävä 7.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Etsi kasvavan funktion välit. Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa.

Ratkaisu:

Kuvassa näkyvät intervallit, joilla funktion derivaatta on ei-negatiivinen.

Pienellä kasvuvälillä ei ole kokonaislukupisteitä, kasvuvälillä on neljä kokonaislukuarvoa: , , ja .

Niiden summa:

Tehtävä 8.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Etsi kasvavan funktion välit. Kirjoita vastaukseesi niistä suurimman pituus.

Ratkaisu:

Kuvassa on korostettu kaikki ne intervallit, joilla derivaatta on positiivinen, mikä tarkoittaa, että itse funktio kasvaa näillä aikaväleillä.

Niistä suurimman pituus on 6.

Tehtävä 9.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Missä vaiheessa segmentti tekee korkein arvo.

Ratkaisu:

Katsomme, kuinka kaavio käyttäytyy segmentillä, nimittäin olemme kiinnostuneita vain johdannainen merkki .

Derivaatan etumerkki on miinus, koska tämän segmentin kuvaaja on akselin alapuolella.

Funktion derivaatta on yksi vaikeita aiheita koulun opetussuunnitelmassa. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisesti ja selkeästi, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen esityksen tarkkuuteen. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeimmin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Hänellä on eniten suuri nopeus muutokset eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Näet kaikki kartalla heti, eikö niin? Kostjan tulot ovat yli kaksinkertaistuneet kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matthew'n tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus, ts. johdannainen, - erilainen. Mitä tulee Matveyn tuloihin, hänen tulonsa johdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti voimme helposti arvioida funktion muutosnopeuden. Mutta kuinka teemme sen?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kaavio nousee (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n kanssa. Ilmeisesti sama toiminto voi olla eri kohdissa eri merkitys johdannainen - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Toiminnon derivaatta on merkitty .

Näytetään kuinka löytää kaavion avulla.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Ota piste siihen abskissalla. Piirrä tangentti funktion kuvaajalle tässä kohdassa. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee. Kätevä arvo tälle on tangentin kaltevuuden tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on sama kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti kyseisessä pisteessä.

Huomaa - tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on ainoa yhteinen kohta kaaviolla ja kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään . Muistamme, että terävän kulman tangentti in suorakulmainen kolmio yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan käyttämällä kuvaajaa tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​tehtäviä löytyy usein matematiikan kokeesta numeron alla.

On toinenkin tärkeä korrelaatio. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistetaan tämä kaava. Hän ilmaisee geometrinen merkitys johdannainen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangentin kulman tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla eri pisteissä voi olla erilainen derivaatta. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla, pienentyä toisilla ja kanssa eri nopeus. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Pisteeseen piirretyn kaavion tangentti muodostuu terävä kulma; positiivisella akselisuunnalla. Joten derivaatta on positiivinen kohdassa.

Tällä hetkellä toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Ja mitä tapahtuu maksimi- ja vähimmäispisteissä? Näemme, että (maksimipisteessä) ja (minimipisteessä) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin kulmakertoimen tangentti näissä pisteissä on nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste on maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan etumerkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös yhtä suuri kuin nolla, mutta sen etumerkki muuttuu "miinuksesta" "plussiksi".

Johtopäätös: derivaatan avulla saat selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio on laskeva.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen.

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja muuttaa etumerkin miinuksesta plussaksi.

Kirjoitamme nämä havainnot taulukon muodossa:

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

Tapaus on mahdollinen, kun funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä pisteessä maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se on pysynyt positiivisena sellaisenaan.

Sattuu myös niin, että maksimi- tai minimipisteessä derivaatta ei ole olemassa. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Mutta kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee

Hei! Isketään lähestyvään KÄYTTÖÖN laadukkaalla systemaattisella harjoittelulla ja sitkeydellä tieteen graniitin hiomisessa!!! ATPostauksen lopussa on kilpailutehtävä, ole ensimmäinen! Yhdessä tämän osan artikkeleista sinä ja minä, jossa funktion kaavio annettiin, ja asetamme erilaisia ​​kysymyksiä koskien ääripäitä, nousun (vähenemisen) aikaväliä ja muita.

Tässä artikkelissa tarkastellaan matematiikan KÄYTTÖÖN sisältyviä tehtäviä, joissa annetaan funktion derivaatan kuvaaja ja esitetään seuraavat kysymykset:

1. Missä tietyn segmentin kohdassa funktio saa suurimman (tai pienimmän) arvon.

2. Etsi funktion maksimi- (tai minimi-) pisteiden lukumäärä, jotka kuuluvat annettuun segmenttiin.

3. Selvitä tiettyyn segmenttiin kuuluvien funktion ääripisteiden lukumäärä.

4. Etsi annettuun segmenttiin kuuluvan funktion ääripiste.

5. Etsi funktion kasvu- (tai lasku)välit ja ilmoita vastauksessa näihin väliin sisältyvien kokonaislukupisteiden summa.

6. Etsi funktion kasvu- (tai lasku)välit. Ilmoita vastauksessasi suurimman aikavälin pituus.

7. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion kuvaajan tangentti on yhdensuuntainen suoran y = kx + b kanssa tai yhtyy sen kanssa.

8. Etsi sen pisteen abskissa, jossa funktion kuvaajan tangentti on yhdensuuntainen abskissa-akselin kanssa tai yhtyy sen kanssa.

Muita kysymyksiä voi olla, mutta ne eivät aiheuta sinulle vaikeuksia, jos ymmärrät ja (linkkejä artikkeleihin, jotka tarjoavat ratkaisemiseen tarvittavat tiedot, suosittelen toistamista).

Perustiedot (lyhyesti):

1. Kasvavien intervallien derivaatalla on positiivinen etumerkki.

Jos derivaatalla tietyssä pisteessä jostakin intervallista on positiivinen arvo, silloin funktion kuvaaja tällä välillä kasvaa.

2. Laskeutumisväleillä derivaatalla on negatiivinen etumerkki.

Jos derivaatalla tietyssä pisteessä jostakin intervallista on negatiivinen merkitys, niin funktion kuvaaja pienenee tällä aikavälillä.

3. Derivaata pisteessä x on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kaltevuus samassa pisteessä.

4. Funktion ääripisteissä (maksimi-minimi) derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Funktion kaavion tangentti tässä pisteessä on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Tämä on ymmärrettävä selvästi ja muistettava!!!

Derivaatan kaavio "hämmentää" monia ihmisiä. Jotkut pitävät sitä vahingossa itse funktion kaaviona. Siksi sellaisissa rakennuksissa, joissa näet, että graafi on annettu, keskitä huomiosi välittömästi siihen, mikä on annettu: funktion kaavioon vai funktion derivaatan kuvaajaan?

Jos se on funktion derivaatan kuvaaja, käsittele sitä itse funktion "heijastuksena", joka yksinkertaisesti antaa sinulle tietoa tästä funktiosta.

Harkitse tehtävää:

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X), määritetty välissä (–2;21).

Vastaamme seuraaviin kysymyksiin:

1. Missä janan kohdassa funktio on f(X) saa suurimman arvon.

Tietyllä segmentillä funktion derivaatta on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että funktio pienenee tällä segmentillä (se pienenee intervallin vasemmasta rajasta oikealle). Näin ollen funktion maksimiarvo saavutetaan janan vasemmalla rajalla, eli pisteessä 7.

Vastaus: 7

2. Missä janan kohdassa funktio on f(X)

Tästä derivaatan kaaviosta voimme sanoa seuraavaa. Tietyllä segmentillä funktion derivaatta on positiivinen, mikä tarkoittaa, että funktio kasvaa tällä segmentillä (se kasvaa intervallin vasemmasta reunasta oikealle). Tällä tavalla, pienin arvo Funktio saavutetaan janan vasemmalla rajalla, eli pisteessä x = 3.

Vastaus: 3

3. Etsi funktion maksimipisteiden lukumäärä f(X)

Maksimipisteet vastaavat pisteitä, joissa derivaatan etumerkki muuttuu positiivisesta negatiiviseksi. Mieti, missä merkki muuttuu tällä tavalla.

Segmentillä (3;6) derivaatta on positiivinen, segmentillä (6;16) negatiivinen.

Segmentillä (16;18) derivaatta on positiivinen, segmentillä (18;20) negatiivinen.

Näin ollen tietyllä segmentillä funktiolla on kaksi maksimipistettä x = 6 ja x = 18.

Vastaus: 2

4. Etsi funktion minimipisteiden lukumäärä f(X) segmenttiin kuuluvaa.

Minimipisteet vastaavat pisteitä, joissa derivaatan etumerkki muuttuu negatiivisesta positiiviseksi. Meillä on negatiivinen derivaatta väliltä (0; 3) ja positiivinen väliltä (3; 4).

Siten janalla funktiolla on vain yksi minimipiste x = 3.

*Ole varovainen kirjoittaessasi vastausta - pistemäärä kirjataan, ei x-arvoa, tällainen virhe voi tapahtua huolimattomuudesta.

Vastaus: 1

5. Selvitä funktion ääripisteiden lukumäärä f(X) segmenttiin kuuluvaa.

Huomaa, että sinun on löydettävä määräääripisteet (nämä ovat sekä maksimi- että minimipisteitä).

Ääripisteet vastaavat pisteitä, joissa derivaatan etumerkki muuttuu (positiivisesta negatiiviseksi tai päinvastoin). Ehdossa annetussa kaaviossa nämä ovat funktion nollia. Derivaata katoaa pisteistä 3, 6, 16, 18.

Siten funktiolla on janolla 4 ääripääpistettä.

Vastaus: 4

6. Etsi kasvavan funktion intervallit f(X)

Tämän toiminnon lisäysvälit f(X) vastaavat intervalleja, joilla sen derivaatta on positiivinen, eli välit (3;6) ja (16;18). Huomaa, että intervallin rajat eivät sisälly siihen (pyöreät sulut - rajat eivät sisälly väliin, hakasulkeet sisältyvät). Nämä välit sisältävät kokonaislukupisteet 4, 5, 17. Niiden summa on: 4 + 5 + 17 = 26

Vastaus: 26

7. Etsi laskevan funktion intervallit f(X) tietyllä aikavälillä. Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa.

Toiminnon pienennysvälit f(X) vastaavat intervalleja, joilla funktion derivaatta on negatiivinen. Tässä tehtävässä nämä ovat intervallit (–2;3), (6;16), (18;21).

Nämä välit sisältävät seuraavat kokonaislukupisteet: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Niiden summa on:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Vastaus: 140

* Kiinnitä huomiota ehtoon: sisällytetäänkö rajat väliin vai eivät. Jos rajat ovat mukana, niin nämä rajat on myös otettava huomioon ratkaisuprosessissa huomioiduissa aikaväleissä.

8. Etsi kasvavan funktion välit f(X)

Toimintojen lisäysvälit f(X) vastaavat intervalleja, joilla funktion derivaatta on positiivinen. Olemme jo osoittaneet ne: (3;6) ja (16;18). Suurin niistä on väli (3;6), sen pituus on 3.

Vastaus: 3

9. Etsi laskevan funktion intervallit f(X). Kirjoita vastaukseesi niistä suurimman pituus.

Toiminnon pienennysvälit f(X) vastaavat intervalleja, joilla funktion derivaatta on negatiivinen. Olemme jo osoittaneet ne, nämä ovat intervallit (–2; 3), (6; 16), (18; 21), niiden pituudet ovat vastaavasti 5, 10, 3.

Suurimman pituus on 10.

Vastaus: 10

10. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti f(X) yhdensuuntainen linjan y \u003d 2x + 3 kanssa tai yhtyy sen kanssa.

Derivaatan arvo kosketuspisteessä on yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus. Koska tangentti on yhdensuuntainen suoran y \u003d 2x + 3 kanssa tai yhtyy sen kanssa, niin niiden kaltevuus on yhtä suuri kuin 2. Siksi on tarpeen löytää pisteiden lukumäärä, joissa y (x 0) \u003d 2. Geometrisesti tämä vastaa derivaatan graafin leikkauspisteiden lukumäärää suoralla y = 2. Tällaisia ​​pisteitä on 4 tällä välillä.

Vastaus: 4

11. Etsi funktion ääripiste f(X) segmenttiin kuuluvaa.

Funktion ääripiste on piste, jossa sen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, ja tämän pisteen läheisyydessä derivaatta muuttaa etumerkkiä (positiivisesta negatiiviseksi tai päinvastoin). Jaksolla derivaatan kuvaaja ylittää x-akselin, derivaatta muuttaa etumerkin negatiivisesta positiiviseksi. Siksi piste x = 3 on ääripiste.

Vastaus: 3

12. Etsi niiden pisteiden abskissat, joissa graafin tangentit y \u003d f (x) ovat samansuuntaisia ​​abskissa-akselin kanssa tai yhtenevät sen kanssa. Ilmoita vastauksessasi suurin niistä.

Graafin tangentti y \u003d f (x) voi olla yhdensuuntainen x-akselin kanssa tai yhtyä sen kanssa, vain pisteissä, joissa derivaatta on nolla (nämä voivat olla ääripisteitä tai stationaaripisteitä, joiden läheisyydessä derivaatta ei muuta merkkiään). Tämä kaavio osoittaa, että derivaatta on nolla pisteissä 3, 6, 16, 18. Suurin on 18.

Argumentti voidaan rakentaa näin:

Derivaatan arvo kosketuspisteessä on yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus. Koska tangentti on yhdensuuntainen tai yhteneväinen x-akselin kanssa, sen kaltevuus on 0 (itse asiassa nolla asteen kulman tangentti on nolla). Siksi etsimme pistettä, jossa kaltevuus on yhtä suuri kuin nolla, ja siten derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Derivaata on yhtä suuri kuin nolla kohdassa, jossa sen kuvaaja leikkaa x-akselin, ja nämä ovat pisteet 3, 6, 16, 18.

Vastaus: 18

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X) määritellään välissä (–8;4). Missä janan [–7;–3] kohdassa funktio on f(X) ottaa pienimmän arvon.

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X), määritetty välissä (–7;14). Etsi funktion enimmäispisteiden lukumäärä f(X) kuuluvat segmenttiin [–6;9].

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X) määritelty intervalliin (–18;6). Etsi funktion minimipisteiden lukumäärä f(X) kuuluvat väliin [–13;1].

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X), määritetty välissä (–11; –11). Laske funktion ääripisteiden lukumäärä f(X), joka kuuluu segmenttiin [–10; -kymmenen].

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X) määritellään välissä (–7;4). Etsi kasvavan funktion intervallit f(X). Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa.

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X), määritetty välissä (–5; 7). Etsi laskevan funktion intervallit f(X). Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa.

Kuvassa on kaavio y=f'(X)- johdannainen funktio f(X) määritelty intervalliin (–11;3). Etsi kasvavan funktion intervallit f(X). Kirjoita vastaukseesi niistä suurimman pituus.

F Kuvassa on kaavio

Ongelman tila on sama (jota harkitsimme). Etsi kolmen luvun summa:

1. Funktion f (x) ääriarvojen neliöiden summa.

2. F (x) funktion maksimipisteiden summan ja minimipisteiden summan neliöiden erotus.

3. Suoran y \u003d -3x + 5 suuntaisten tangenttien lukumäärä f (x):lle.

Ensimmäisenä oikean vastauksen antava saa kannustinpalkinnon - 150 ruplaa. Kirjoita vastauksesi kommentteihin. Jos tämä on ensimmäinen kommenttisi blogissa, se ei ilmesty heti, hieman myöhemmin (älä huoli, kommentin kirjoittamisaika kirjataan).

Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitsikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.