Yksiarvoisten analyyttisten funktioiden yksittäispisteet ovat esimerkkejä. Eristetyt yksittäispisteet, niiden luokittelu. Jäämät ja niiden laskentakaavat

Anna olla zq - funktion f(z) singulaaripiste, t.s. f(z) mutta on tässä vaiheessa analyyttinen (etenkään ei välttämättä ole määritelty siinä). Jos pisteen naapurustossa on tällainen puhjennut alue zq (eli joukko O z - zq f(z) on siis aliattinen zo nimeltään eristetty yksittäinen piste toimintoja f(z). Tämä määritelmä säilyy myös asiassa zn = oo, jos jodi on pisteen puhkaiseva alue zq = oo ymmärrä joukkoa z > minä - jonkin ympyrän ilmaantuminen, jonka keskipiste on origossa. Toisin sanoen yksittäinen piste zq sanotaan olevan eristetty, jos tämän pisteen lähistöllä on muita yksittäispisteitä, jotka eroavat zq. Kaikkialla alla otamme huomioon vain yksiarvoisen merkin yksittäispisteet (funktio f(z) oletetaan olevan ainutlaatuinen).

Riippuen funktion käyttäytymisestä f(z) klo z -> zq Yksittäisiä pisteitä on kolmenlaisia. Eristetty yksittäinen piste zq-funktiot f(z) nimeltään:

1) irrotettava yksittäinen piste jos on rajallinen raja

2) napa jos on raja

3) olennainen kohta, jos f(z) ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa z-> zq.

ESIMERKKI 26.1. Osoitetaan, että kaikki kolme singulaaripistetyyppiä toteutuvat. Harkitse f(z)= piste zq = 0 on eristetty

tämän funktion yksittäinen piste. Kaavan (22.12) avulla saadaan laajennus

josta seuraa, että on olemassa lim fi(z)= 1. Siksi zq = 0 on

on funktion irrotettava yksittäinen piste fi(z).

Toiminto f'j(z) =--- on napa pisteessä zo= 1 koska

2 r"X

Harkitse nyt toimintoa )z(z)= e 1 ^ r ja näytä se zo = O on tämän funktion olennainen yksittäinen piste. Kun yritetään z nollaan todellista akselia pitkin, funktion f vasen ja oikea raja (z) erilainen: lim kanssa 1 / 1 = 0, lim 1 /* = os. Tämä tarkoittaa,

x->0-0 x->0+O

mitä f:i(z) 2:lla ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa -> Ai, eli zq = 0 on tämän funktion olennaisesti singulaarinen piste. (Huomaa, että kuten pointti näyttää z-iy nollaan kuvitteellisella akselifunktiolla

ei ole rajaa ollenkaan.)

Tietenkin on myös eristämättömiä yksittäispisteitä. Esimerkiksi. funktiolla on navat pisteissä z n = -, P= ±1, ±2,...

Siten, Zq = 0 on tämän funktion eristämätön singulaarinen piste: missä tahansa (mielisesti pienessä) tämän pisteen ympäristössä on muita singulaaripisteitä g s.

Anna olla zo- funktion viimeinen eristetty yksittäinen piste f(z). Sitten f(z) on samanlainen jossain puhjennetussa naapurustossa 0 pisteen Zo zo tätä naapurustoa voidaan pitää renkaana, jonka sisäsäde r = 0. Lauseen 25.1 mukaan tarkasteltavassa ympäristössä funktio f(z) voidaan laajentaa Laurent-sarjaan (25.2). Osoitamme, että funktion käyttäytyminen 2:lle -> zq (eli singulaaripisteen tyyppi zo) riippuu hajotuksen (25.2) pääosan muodosta; tämä seikka selittää termin "pääosa" alkuperän.

LAUSE 2G.2. Funktion f(z) eristetty yksittäinen piste zo on poistettavissa, jos ja vain jos Lorap-laajennuksella tämän pisteen puhkaisualueella on oid

nuo. koostuu vain oikeasta osasta, ja kaikki pääosan kertoimet ovat yhtä suuria kuin luoti.

Todiste. 1. Anna zo on irrotettava yksittäinen piste. Osoittakaamme, että funktion Laurent-laajennus f(z) on muotoa (26.1). Yksittäispisteestä lähtien zo irrotettava, silloin on rajallinen raja f(z) = A. Siten, f(z) rajoittuu johonkin pisteen 0 z - zq puhkaisualueeseen zo, nuo. )(z) kaikille z tästä naapurustosta. Ota mikä tahansa R. U р /?| ja käytä kaavoja (25.3) Laurent-sarjan kertoimille:

Laajennuksen pääosan kertoimille n =- 1,-2,... Tällaisille arvoille P meillä on p~n-e 0 klo R-> 0. Arvosta lähtien R voidaan valita mielivaltaisesti pieneksi herra~" voi olla mielivaltaisen pieni. Koska |c t,| ^ Mr~n ja cn eivät ole riippuvaisia ​​p:stä, silloin cn = 0 ja= - 1, -2,..., joka oli todistettava.

2. Oletetaan nyt, että Laurent-laajennuksella on muoto (26.1). Sarja (26.1) on tehosarja ja. siksi se yhtyy ei vain puhkaistuun, vaan myös koko naapurustoon z-zq piste mukaan lukien zo; sen määrä S(z) on analyyttinen z ja S(z) = )(z) 0z - zo R. Siksi on olemassa äärellinen raja )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Siksi yksikköpiste zq

Z->Zo Z-*Zo

kertakäyttöinen. Lause on todistettu.

Kommentti. Lauseen todistuksesta seuraa, että irrotettavan singulaaripisteen puhkaisualueella 0 z - zo funktio f(z) sopii yhteen funktion S(r) kanssa, joka on analyyttinen koko naapurustossa z - zo . Siksi, jos laitamme /(th) = S(zq), sitten muuttamatta funktion arvoja f(z) missä tahansa pisteytetyn alueen kohdassa teemme tästä funktiosta analyyttisen r:ssä, ts. "poistaa" ominaisuus. Tämä selittää termin "irrotettava singulariteetti". On luonnollista pitää tällaisia ​​pisteitä funktion säännöllisinä pisteinä, ei yksittäisinä pisteinä f(z).

Harkitse esimerkiksi funktiota

Esimerkissä 26.1 osoitettiin, että Pm(n) = 1. ts. yksittäinen piste

zq = 0 on irrotettava. Asettamalla /i(0) = 1, eliminoimme siten singulaarisuuden ja saamme funktion, joka on analyyttinen kohdassa zq = 0 (ja koko tasossa C).

Luonnehditaan nyt navat Laurentin laajennuksilla.

Lause 26.3. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste Zo on napa silloin ja vain jos, kun Laurentin laajennuksen pääosassa, jonka keskusta on Zq, on vain äärellinen määrä erillisiä

nollakertoimista n:llä:

Todiste. 1. Anna zq - napa, ts. lim /( z) = oo.

Osoittakaamme, että funktion Laurent-laajennus f(z) on muotoa (2G.2). Koska lim f(z)= oo. silloin on olemassa pisteen reikäalue

ki zq. jossa f(z) on analyyttinen eikä siinä ole nollia. Sitten toiminto g(z) = 1 /f(z) on myös analyyttinen tällä rei'itetyllä alueella, ja lim g(z)= 0. Siksi Zo onko kertakäyttöinen *-? *0

funktion yksittäinen piste g(z). Määritellään uudelleen g(z) pisteessä zo, laittaa g(zo)= 0. Sitten g(z) muuttuu analyyttiseksi (ei-puhkaistun) pisteen koko ympäristössä z 0, ja z0 on sen eristetty nolla. Merkitse N tämän nollan monikerta (kertaluku). Kuten kohdassa §23 näytettiin, pisteen läheisyydessä zq-funktio g(z) edustaa muodossa (katso (23.2))

ja (z$) f 0 ja y>(z) on analyyttinen jossain pisteen läheisyydessä zo- Kuten ip(z) jatkuva pisteessä zo ja g>(zo) F 0" sitten ip(z) ei myöskään ole nollia jossain tämän pisteen läheisyydessä. Siksi toiminto 1 /-p(z) on myös analyyttinen tällä alueella ja siksi laajenee siinä Taylor-sarjassa:

Avaamalla sulut ja muuttamalla kertoimien nimityksiä, kirjoitamme viimeisen laajennuksen muotoon

missä c_jv = 1>o f 0. Näin ollen f(r):n Laurentin laajennuksen pääosa sisältää vain äärellisen määrän termejä; olemme saavuttaneet vaaditun tasa-arvon (26.2).

2. Päästä sisään pisteen reikäalue th toiminto )(z) edustaa Laurentin laajennus (26.2) (laajennetussa muodossa, katso (26.3)), jonka pääosa sisältää vain äärellisen määrän termejä, ja kanssa- d" f 0. Meidän on todistettava se Zq - funktionapa f(z). Kerrotaan yhtäläisyys (26.3) luvulla (G - G o) iV , saamme funktion

Sarja kohdassa (26.4) on potenssisarja, joka konvergoi analyyttiseen funktioon ei vain lävistetyssä, vaan myös koko pisteen ympäristössä Zq. Siksi toiminto h(z) tulee analyyttiseksi tällä alueella, jos laajennamme sitä th asettamalla h(zo)= s_dg f 0. Sitten

Siten piste o on napa, ja Lause 26.3 on todistettu.

Nollafunktion monikertaisuus (järjestys). g(z)= 1//(r) kutsutaan napajärjestys funktio /(r). Jos N- navan järjestys on sitten th g(z)= (r - Zo)N ip(z), ja mene) F 0, ja kuten Lauseen 26.3 todistuksen ensimmäisessä osassa näkyy, f(r):n laajennus on muotoa (26.3), missä c_/v f 0. Kääntäen, jos f(r) laajenee sarjaan (26.3) ja e-z F 0 siis

t.s. N- funktion f(r) navan järjestys. Täten, funktion zq-navan järjestys/(G) on yhtä suuri kuin Laurentin laajennuksen pääosan johtavan nollasta poikkeavan kertoimen numero pisteen zq lävistetyssä ympäristössä(eli yhtä suuri kuin sellainen luku N, mitä s_dg f 0 ja sp= 0 at P > N).

Todistakaamme seuraava väite, joka on kätevä) sovelluksille.

Seuraus 26.4. Piste zq on fiktion N kertaluvun napa/(G) jos ja vain jos/(G) edustaa muodossa

missä h(z) on analyyttinen funktio pisteen läheisyydessä th ja h(zo)f 0.

Todiste. Toiminto cp(z) = l/h(z) on analyyttinen jossain pisteen r ympäristössä. Seurauksen 26.4 ehto vastaa seuraavaa:

Niin zq - monikertaisuus nolla N toimintoja g(z). ja tästä syystä moninaisuusnapa N funktiot /(2).

II esimerkki 26.5. Etsi funktion yksittäiset pisteet ja määritä niiden tyyppi.

T e u c io n Pisteet, joissa (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Jos z 2 L- 1 = 0 ja sitten 2 = ±r jos (z 4 - H) 2 = 0, niin z= -3. Siksi funktiolla on kolme yksittäistä pistettä z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Harkitse z:

G - ensimmäisen asteen napa (käytimme Corollary 26.4:ää). Voidaan todistaa samalla tavalla, että 22 = -i myös ensimmäisen luokan pylväs. Meillä on 2 tunnin ajan:

Siirrytään olennaisesti yksittäisten kohtien tarkasteluun.

Lause 26.6. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste zq on oleellisesti singulaarinen silloin ja vain, jos Laurentin laajennuksen pääosassa, jonka keskipiste on zq, on äärettömän monta erilaista. nolla, kertoimet p.

Todiste. Lause 26.6 seuraa suoraan lauseista 26.2 ja 26.3. Todellakin, jos kohta zq on olennaisesti yksikkö, silloin Laurentin laajennuksen pääosa ei voi olla poissa tai sisältää äärellisen määrän termejä (muuten piste Zq on joko irrotettava tai sauva). Siksi pääosan termien lukumäärän on oltava ääretön.

Päinvastoin, jos pääosassa on äärettömän monta jäsentä, niin Zq ei voi olla irrotettava piste eikä napa. Näin ollen tämä kohta on pohjimmiltaan yksittäinen.

Määritelmän mukaan oleellisesti singulaariselle pisteelle on ominaista se, että funktiolla f(2) ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa. z ->zq. Täydellisempi käsitys siitä, kuinka epäsäännöllistä funktion käyttäytyminen oleellisesti singulaarisen pisteen läheisyydessä on, antaa seuraava lause.

Lause 26.7 (Sochockin lause). Jos zq on oleellisesti singulaarinen, niin funktion f(z), sitten mille tahansa kompleksiluvulle L, mukaan lukien A = oo, on pisteiden z n sarja siten, että z n -> zo ja lim f(zn) = MUTTA.

n->os

Todiste. Harkitse ensin tapausta A = oo. Lauseen 2G.2 todistuksen ensimmäisessä osassa totesimme, että jos f(z) on rajoittunut johonkin pisteen r0 punkturoituun ympäristöön, niin kaikki kertoimet c, n = - Pääosan 1, - 2,... ovat yhtä kuin nolla (ja näin ollen singulaarisuus th:ssä on poistettavissa). Koska oletuksena r on oleellisesti yksittäinen piste, funktio /(r) on rajoittamaton missä tahansa pisteen r pisteytetyssä ympäristössä. Otetaan joku kapea naapurusto 0 Z sellaisella tavalla f(zi) > 1 (jos |/(r)| z - zo R/2 on piste z-2 , jossa |/(dd)| > 2 jne.: puhjennetulla alueella O 71. On selvää, että rn -e go ja lim /(r«) = oo. Eli tapauksessa A = oo, Lause 26.7

todistettu.

Anna nyt A f oo. Oletetaan ensin, että siellä on puhjennut naapurusto 0

= -yy---- on analyyttinen tällä rei'itetyllä alueella ja näin ollen

/(G) - MUTTA

näin ollen r on funktion Φ(r) eristetty singulaaripiste. Näytämme. että r0 on Φ(r:n) oleellisesti singulaaripiste. Anna sen olla väärin. Silloin on olemassa raja lim Φ(r), joko äärellinen tai ääretön. Koska

/(r) = A +, silloin on olemassa myös Hsh /(r), mikä on ristiriidassa ehdon kanssa

F(g) ~ :-*z 0

näkemys lauseesta. Siten r0 on funktion Φ(r) oleellisesti singulaaripiste. Edellä todistetun mukaan on olemassa pisteiden r n sarja, jossa r n o ja lim Φ(r n) = oo. Täältä

Olemme osoittaneet vaaditun väitteen olettaen, että f(r) F A jossain pisteen r lävistetyssä ympäristössä. Oletetaan nyt, että tämä ei ole totta, ts. missä tahansa mielivaltaisen pienessä pisteen th:n lävistetyssä ympäristössä on sellainen piste G", että f(r") = A. Sitten millä tahansa P puhkaisualueella 0 f(z u) = L. Siten vaadittu väite on tosi P-juo

kaikissa tapauksissa ja Lause 26.7 on todistettu.

(Sokhotskin) Lauseen 26.7 mukaan missä tahansa (mielisesti pienessä) oleellisesti singulaarisen pisteen lävistetyssä ympäristössä funktio f(r) ottaa arvoja mielivaltaisesti lähellä mitä tahansa lukua laajennetussa kompleksitasossa C.

Eristettyjen yksittäispisteiden tutkimiseen on usein hyödyllisiä perusfunktioiden Taylor-laajennuksia.

ESIMERKKI 2G.8. Määritä funktion singulaaripisteen tyyppi zq = 0

Ratkaistu ja e. Laajennamme osoittajaa ja nimittäjää Taylor-sarjassa r:n potenssilla. Korvataan (22.11) 3 z r:n sijaan ja vähentämällä 1, saamme

Käyttämällä (22.12) saamme nimittäjän laajennuksen:

Sarjat näissä laajennuksissa konvergoivat koko kompleksitasossa €. Meillä on

ja /2(2) ovat analogisia pisteen läheisyydessä zo = 0 (ja jopa koko tasossa) ja /2(20) F 0 siis h(z) on myös analyyttinen jossain pisteen gF 0 ympäristössä. Seurauksen 26.4 mukaan piste Zo = 0 on järjestyksen napa N = 4.

II esimerkki 26.9. Etsi funktion yksittäispisteet f(z)= sin j - ja määritä niiden tyyppi.

P e in e ja e. Funktiolla on yksi lopullinen yksikköpiste zq = 1. Muissa pisteissä C:stä funktio w =--- analyyttinen; siis syntifunktio w tulee olemaan analyyttinen.

Korvaaminen sinin (22.12) laajennuksessa - r:n sijaan saamme

Olemme saaneet syntifunktion laajennuksen Laurent-sarjassa pisteen 20 = 1 puhkaisualueella. Koska tuloksena oleva laajennus sisältää äärettömän monta termiä, joilla on negatiivinen potenssi (r - 1), niin zq = 1 on olennainen yksikköpiste (tässä tapauksessa Laurent-laajennus koostuu vain pääosasta, ja oikea osa puuttuu).

Huomaa, että tässä tapauksessa oli myös mahdollista määrittää singulaarisuuden luonne suoraan määritelmästä turvautumatta sarjalaajennukseen. Todellakin, on sekvenssejä (r") ja (2"), jotka suppenevat zo= 1, ja niin f(z"n)= 1, /(2") = 0 (määritä tällaiset sekvenssit itse). f(z) ei ole rajaa milloin z -> 1 ja siitä se pointti zq - 1 on olennaisesti yksikkö.

Otetaan käyttöön käsite funktion Laurent-laajennuksesta pisteen ympäristössä Zq = 00 ja ota huomioon laajennuksen ja singulaarisuuden luonteen välinen yhteys tässä vaiheessa. Huomaa, että eristetyn yksittäisen pisteen ja sen tyypin (irrotettava, napainen tai olennaisesti yksittäinen) määritelmät siirtyvät tapaukseen zq = oc muuttumaton. Mutta lauseet 26.2. Laurentin laajennusten luonteeseen liittyvät kohdat 26.3 ja 26.6 on muutettava. Pointti on, että jäsenet c n (z - 2o) s. P= -1,-2,..., pääosa, joka määrittää funktion "epäsäännöllisyyden" lähellä päätepistettä Zq, koska 2 on yleensä oo, he käyttäytyvät "oikein" (yleensä 0). Päinvastoin, jäsenet säännöllisesti osa P= 1,2,... yleensä oo; ne määrittävät singulaarisuuden luonteen Zq = oo. Siksi suurin osa oo:n naapuruston laajentumisesta tulee olemaan positiivisia voimia omaavat termit P, ja oikein - negatiivisella.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja w = 12. Toiminto tv = 1/2, laajennettu siten, että u(oo) = 0, yksi yhteen ja kartoittaa naapuruston yhdenmukaisesti z > R pisteitä zq = 00 |w|:n läheisyydessä wq = 0. Jos funktio f(z) analytiikka puhjennetulla alueella R z Zq = oc, sitten funktio G(w) = f(l/w) on analyyttinen keltaisessa naapurustossa 0 wo = 0. Koska 2 -> oo on w-> 0 siis

Niin G(w) on pisteessä wq = 0 on samaa tyyppiä oleva singuliteetti kuin f(z) pisteessä Zq = 00. Laajennetaan funktiota G(w) Laurent-sarjassa pisteen wo = 0 lävistetyssä ympäristössä:

(26.5):n oikealla puolella olevat summat edustavat laajennuksen oikeaa ja pääosaa, vastaavasti. Siirrytään muuttujaan z, korvaamalla w = 1/z:

merkitsee P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d kanssa p ja sen huomaaminen G(l/z) = f(z), saamme

Hajoamista (2G.G) kutsutaan F(z) funktion Laurent-laajennus pisteen zq lävistetyssä ympäristössä= oo. (2G.6):n ensimmäistä summaa kutsutaan oikea osa, ja toinen summa on pääosa tämä hajoaminen. Koska nämä summat vastaavat laajennuksen (26.5) oikeita ja pääosia, laajennus (26.6) tyydyttää Lauseen 26.2, 26.3 ja 26.6 analogit. Siten seuraava lause on Lauseen 26.2 analogi.

Lause 26.10. Eristetty yksittäinen pisteZq - os (toiminnot/(G) on irrotettavissa, jos ja vain jos Laurent-laajennuksella tämän pisteen puhjennetussa naapurustossa on muoto

t.s. koostuu vain oikeasta osasta.

Laitamme /(oo) = co. Funktio, jonka määrittää naapurissa konvergoiva sarja (26.7). z > R pisteet 2o \u003d oc, kutsutaan analyyttinen pisteessä z o = oo. (Huomaa, että tämä määritelmä vastaa funktion analyyttisuutta G(w) pisteessä voi = 0.)

Esimerkki 26.11. Tutki funktion singulaaripistettä zq = oo

Koska raja on siis rajallinen zo = oo on funktion f(r) irrotettava singulaaripiste. Jos laitamme /(oo) = lim J(z)= 0 siis f(z) tulee

tic kohdassa Zo= os. Näytämme kuinka vastaava laajennus (26.7) löydetään. Siirrytään muuttujaan w = 1 fz. Korvaaminen z= 1 /?e, saamme

(viimeinen yhtälö pätee pisteen ww = 0 punkturoidussa ympäristössä, mutta laajennamme määritelmää (7(0) = 0).) Tuloksena olevalla funktiolla on singulaaripisteitä w =± minä, w =-1/3, ja pisteessä Wq = 0 on analyyttinen. Laajentava toiminto G(w) asteittain w(kuten tehtiin esimerkissä 25.7) ja korvaamalla tuloksena olevaan tehosarjaan w = 1/z voidaan saada funktion laajennus (26.7). f(z).

Lause 26.3 tapaukselle zo= oo kirjoitetaan uudelleen seuraavassa muodossa.

Lause 26.12. Eristetty yksittäinen piste mennä = os funktio f(z) on napa silloin ja vain jos se on Laurentin laajennuksen pääosa (26.6) sillä on vain äärellinen määrä nollasta poikkeavia kertoimia kanssa":

Tässä sarja on säännöllinen osa ja suluissa oleva polynomi on laajennuksen pääosa. Napan monikertaisuus oc:ssa määritellään navan moninkertaisuudeksi wq = 0 funktiota G(z). On helppo nähdä, että navan monikertaisuus on sama kuin numero N vuonna (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Tehtävä. Näytä, että toiminto f(z) =-- -- on mukana

kohta zo = oo napajärjestys 3.

Lause 26.6 olennaisesta singulaaripisteestä kirjoitetaan uudelleen tapaukselle zo= os melkein sanatarkasti, emmekä käsittele sitä yksityiskohtaisesti.

yksittäinen piste

matematiikassa.

1) Yhtälön F antaman käyrän singulaaripiste ( x, y) = 0, - piste M 0 ( x 0, y 0), jossa molemmat funktion F ( x, y) katoaa:

Jos lisäksi kaikki funktion F ( x, y) pisteessä M 0 ovat yhtä suuret kuin nolla, niin O. t.:tä kutsutaan kaksinkertaiseksi. Jos ensimmäisten derivaattojen katoamisen myötä pisteessä M 0 kaikki toiset derivaatat katoavat, mutta kaikki kolmannet derivaatat eivät ole yhtä suuria kuin nolla, niin O.t.:tä kutsutaan kolmiosaiseksi ja niin edelleen. Kun tutkitaan käyrän rakennetta lähellä kaksinkertaista O. t.:tä, tärkeä rooli on lausekkeen merkillä

Jos Δ > 0, niin O.t.:tä kutsutaan eristetyksi; esimerkiksi käyrä v 2 - x 4 + 4x 2= 0 origo on eristetty O. t. (katso riisi. yksi ). Jos Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - 4= 0 koordinaattien origo on solmu O. t. (katso riisi. 2 ). Jos Δ = 0, niin O.t.-käyrä on joko eristetty tai sille on tunnusomaista se, että käyrän eri haaroilla on tässä kohdassa yhteinen tangentti, esimerkiksi: tangentti ja muodostavat pisteen, kuten käyrä v 2 - x 3= 0 (katso riisi. 3 , a); b) 2. tyyppinen huippu - käyrän eri haarat sijaitsevat samalla puolella yhteistä tangenttia, kuten käyrä (y - x 2)2-x5= 0 (katso riisi. 3 , b); c) itsekosketuspiste (käyrälle v 2 - x 4= 0 origo on itsekosketuspiste; (cm. riisi. 3 , sisään). Määritellyn O. t.:n ohella on monia muita O. t.:itä erityisnimillä; Esimerkiksi asymptoottinen piste on spiraalin huippu, jossa on ääretön määrä kierroksia (ks. riisi. 4 ), taitekohta, kulmapiste jne.

2) Differentiaaliyhtälön singulaaripiste on piste, jossa differentiaaliyhtälön oikean puolen osoittaja ja nimittäjä katoavat samanaikaisesti (katso Differentiaaliyhtälöt)

jossa P ja Q ovat jatkuvasti differentioituvia funktioita. Olettaen, että O. t. sijaitsee koordinaattien origossa ja käyttämällä Taylorin kaavaa (katso Taylorin kaava), voimme esittää yhtälön (1) muodossa

missä P 1 ( x, y) ja Q 1 ( x, y) ovat äärettömän pieniä suhteessa

Nimittäin, jos λ 1 ≠ λ 2 ja λ 1 λ 2 > 0 tai λ 1 = λ 2, niin O.t. on solmu; kaikki integraalikäyrät, jotka kulkevat solmun riittävän pienen lähialueen pisteiden läpi, tulevat siihen. Jos λ 1 ≠ λ 2 ja λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 ja β ≠ ​​0, niin O.t. on kohdistus; kaikki integraalikäyrät, jotka kulkevat pisteiden läpi riittävän pienellä tarkennusalueella, ovat spiraaleja, joissa on ääretön määrä kierroksia missä tahansa mielivaltaisen pienessä fokuksen ympäristössä. Jos lopulta λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, silloin O. t:n luonnetta ei määritetä lineaarisilla termeillä P ( x, y) ja Q ( x, y), kuten kaikissa edellä mainituissa tapauksissa; tässä O. t. voi olla painopiste tai keskus, tai sillä voi olla monimutkaisempi luonne. Keskustan läheisyydessä kaikki integraalikäyrät ovat suljettuja ja sisältävät keskuksen sisällään. Joten esimerkiksi piste (0, 0) on yhtälöiden solmu klo" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; katso riisi. 5 , a) ja y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; katso riisi. 5 , b), yhtälön satula y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. riisi. 6 ), yhtälön painopiste y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. riisi. 7 ) ja yhtälön keskipiste y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. riisi. kahdeksan ).

Jos x, y) ja Q ( x, y) ovat analyyttisiä, korkeamman asteen O. t:n lähialue voidaan jakaa alueisiin: D 1 - täytetty integraalikäyrillä, joiden molemmat päät sisältyvät O. t.:iin (elliptiset alueet), D 2 - täytetty integraalikäyrillä, joiden toinen pää sisältyy O. t.:iin (paraboliset alueet) ja D 3 - alueet, joita rajoittavat kaksi integraalikäyrää, jotka sisältyvät O. t.:iin, joiden välissä on hyperbolien tyyppiset integraalikäyrät (hyperboliset alueet) (katso. riisi. yhdeksän ). Jos O.-pisteeseen ei tule integraalikäyriä, niin O-pistettä kutsutaan tyypiltään stabiiliksi pisteeksi. Vakaan O.t.:n ympäristö koostuu suljetuista integraalikäyristä, jotka sisältävät O.t.:n sisällään ja joiden välissä sijaitsevat spiraalit (ks. riisi. kymmenen ).

O.t.-differentiaaliyhtälöiden tutkimus, eli pohjimmiltaan integraalikäyräperheiden käyttäytymisen tutkimus O.t.M.Lyapunov a:n, A. Poincarén ja muiden naapurustossa).

3) Yksiarvoisen analyyttisen funktion singulaaripiste on piste, jossa funktion analyyttisyys rikotaan (katso Analyyttiset funktiot). Jos naapurustossa on O. t. a, vapaa muista O. t., sitten kohta a kutsutaan eristetyksi O. t. Jos a on eristetty O. t. ja on olemassa äärellinen a, jota kutsutaan irrotettavaksi O. t. f(a)= b, se on mahdollista saavuttaa a tulee korjatun funktion tavallinen piste. Esimerkiksi piste z= 0 on irrotettava O.T. funktiolle f 1 ( z) = f(z), jos z≠ 0 ja f 1(0),=1, piste z= 0 on tavallinen piste [ f 1 (z) on pisteessä analyyttinen z= 0]. Jos a- eristettyä O. t.:tä ja a:ta kutsutaan napaksi tai funktion oleellisesti singulaaripisteeksi f(z), jos Laurent-sarja) toimii f(z) eristetyn O. t:n läheisyydessä ei sisällä negatiivisia potenssia z - a, jos a- irrotettava O. t., sisältää rajallisen määrän negatiivisia tehoja z - a, jos a- napa (tässä tapauksessa navan järjestys R määritellään a - olennaisesti singulaarisen pisteen suurimmaksi tehoksi. Esimerkiksi funktiolle

p = 2, 3, …)

piste z= 0 on järjestyksen napa R, toimintoa varten

piste z= 0 on olennainen singulaaripiste.

Potenssisarjan konvergenssiympyrän rajalla tulee olla vähintään yksi O. m funktiota, jonka tämän ympyrän sisällä annetut potenssisarjat edustavat. Kaikki yksiarvoisen analyyttisen funktion olemassaolon rajapisteet (luonnollinen raja) ovat tämän funktion rajapisteitä. Siten kaikki yksikköympyrän pisteet | z| = 1 ovat erityisiä funktiolle

Moniarvoiselle analyyttiselle funktiolle käsite "O. t." vaikeampaa. O. t.:n lisäksi funktion Riemannin pinnan erillisillä arkeilla (eli yksiarvoisten analyyttisten elementtien O. t.:lla) mikä tahansa haarapiste on myös funktion O. t.. Riemannin pinnan eristetyt haarapisteet (eli haarapisteet, joissa joissakin niiden lähiöissä ei ole muita O.t.-funktioita missään lehdissä) luokitellaan seuraavasti. Jos a on äärellinen haarapiste ja on olemassa äärellinen a, sitä kutsutaan kriittiseksi napaksi. Jos a on äärettömän kertaluokan eristetty haarapiste ja a:ta kutsutaan transsendentaaliseksi O. t. Kaikkia muita eristettyjä haarapisteitä kutsutaan kriittisiksi olennaisesti singulaaripisteiksi. Esimerkkejä: piste z= 0 on tavallinen kriittinen piste funktiolle f ( z) = loki z ja funktion kriittinen olennainen singulaaripiste f (z) = syntiloki z.

Mikä tahansa O. t., paitsi irrotettava, on este analyyttiselle jatkamiselle, eli analyyttinen jatkaminen irrotettavan O. t:n läpi kulkevalla käyrällä on mahdotonta.

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .

Katso, mitä "erikoispiste" on muissa sanakirjoissa:

Pisteet tästä. Katso myös singulaaripiste (differentiaaliyhtälöt). Ominaisuus tai singulaarisuus matematiikassa on piste, jossa matemaattista objektia (yleensä funktiota) ei ole määritelty tai sillä on epäsäännöllinen toiminta (esimerkiksi piste, jossa ... ... Wikipedia

Analyyttinen toiminto on kohta, jossa analyyttisyysehtoja rikotaan. Jos analyyttinen funktio f(z) on määritelty jossain pisteen z0 ympäristössä kaikkialla… Fyysinen tietosanakirja

Analyyttinen funktio on kohta, jossa funktion analyyttisyys rikotaan... Suuri tietosanakirja

yksittäinen piste- [Ja.N. Luginski, M.S. Fezi Žilinskaja, Yu.S. Kabirov. Englanti venäjän sähkötekniikan ja voimateollisuuden sanakirja, Moskova, 1999] Sähkötekniikan aiheet, peruskäsitteet FI yksikkökohta ... Teknisen kääntäjän käsikirja

1) Analyyttisen funktion f(z) OT on este kompleksisen muuttujan z funktion f(z) elementin analyyttiselle jatkumiselle jollakin polulla tämän muuttujan tasolla. Määritetään analyyttinen funktio f(z) jollain ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Analyyttinen funktio, piste, jossa funktion analyyttisyys rikotaan. * * * SINGULAARIPISTE Analyyttisen funktion SINGULAARIPISTE, piste, jossa funktion analyyttisyys rikotaan... tietosanakirja

yksittäinen piste- ypatingasis taškas statusas T ala automatika atitikmenys: engl. yksikköpiste vok. singularer Punkt, m rus. yksittäinen piste, fpranc. pistehiukkanen, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas

Taylor-sarjat toimivat tehokkaana työkaluna ympyrässä zol analyyttisten funktioiden tutkimiseen Rengasmaisella alueella analyyttisten funktioiden tutkimiseksi käy ilmi, että on mahdollista rakentaa laajennuksia funktioiden positiivisiin ja negatiivisiin potenssiin (z - zq). muoto, joka yleistää Taylor-laajennukset. Sarjaa (1), joka ymmärretään kahden sarjan summana, kutsutaan Laurent-sarjaksi. On selvää, että sarjan (1) konvergenssialue on kunkin sarjan (2) konvergenssialueiden yhteinen osa. Etsitään hänet. Ensimmäisen sarjan konvergenssialue on ympyrä, jonka säde määräytyy Cauchyn-Hadamardin kaavalla Konvergenssiympyrän sisällä sarja (3) konvergoi analyyttiseksi funktioksi, ja missä tahansa ympyrässä, jonka säde on pienempi, se suppenee ehdottomasti ja tasaisesti. Toinen sarja on muuttujan suhteen potenssisarja. Sarja (5) konvergoi konvergenssiympyrässään kompleksisen muuttujan m-*oo analyyttiseen funktioon, ja missä tahansa pienemmän säteen ympyrässä se konvergoi absoluuttisesti ja tasaisesti, mikä tarkoittaa, että sarjan (4) konvergenssialue on ympyrän ulkonäkö - Jos sitten on sarjojen (3) ja (4) yhteinen konvergenssialue - ympyrärengas, jossa sarja (1) konvergoi analyyttiseksi funktioksi. Lisäksi missä tahansa renkaassa se konvergoituu ehdottomasti ja tasaisesti. Esimerkki 1. Määritä rad Laurent-sarjan konvergenssialue Eristetyt singulaaripisteet ja niiden luokitus (z), joka on yksiarvoinen ja apoliittinen ympyrärenkaassa, voidaan esittää tässä renkaassa konvergentin sarjan summana, jonka kertoimet ovat Cn määritetään yksiselitteisesti ja lasketaan kaavoilla jossa 7p on ympyrä, jonka säde on m. Kiinnitetään mielivaltainen piste z renkaan R sisälle Rakennamme ympyröitä, joiden keskipisteet ovat pisteessä r ja joiden säteet täyttävät epäyhtälöt ja harkitsemme uutta rengasta.. Cauchyn integraalilauseen mukaan moninkertaisesti kytketylle alueelle on Muunnetaan jokainen summan (8) integraali erikseen. Kaikille ympyrän 7d* pisteille £ tasaisesti suppenevan sarjan 1 1 summan suhde täyttyy. Siksi murto-osa ^ voidaan esittää vi- /" / Hieman eri tavalla kaikille pisteille ξ ympyrä ir> meillä on suhde Siksi murto-osa ^ voidaan esittää tasaisesti konvergentin sarjan summana kaavoissa (10) ja (12) ovat analyyttisiä funktioita ympyrärenkaassa. Siksi Cauchyn lauseen mukaan vastaavien integraalien arvot eivät muutu, jos ympyrät 7/r ja 7r/ korvataan millä tahansa ympyrällä. Tämä mahdollistaa kaavojen (10) ja (12) yhdistämisen. Korvaamalla kaavan (8) oikealla puolella olevat integraalit niiden lausekkeilla (9) ja (11) saadaan haluttu laajennus. Koska z on mielivaltainen renkaan pisteestä seuraa, että sarja ( 14) konvergoi funktioon f(z) kaikkialla tässä renkaassa, ja missä tahansa renkaassa sarja konvergoi tähän funktioon absoluuttisesti ja tasaisesti. Osoittakaamme nyt, että muodon (6) hajoaminen on ainutlaatuinen. Oletetaan, että tapahtuu vielä yksi hajoaminen. Sitten kaikkialla renkaan R sisällä on Kehällä sarjat (15) suppenevat tasaisesti. Kerro yhtälön molemmat puolet (jossa m on kiinteä kokonaisluku ja integroi molemmat sarjat termi kerrallaan. Tämän seurauksena saamme vasemmalle puolelle ja oikealle puolelle - Csh. Siten (4, \u003d St. Koska m on mielivaltainen luku, niin viimeistä yhtälösarjaa (6), jonka kertoimet lasketaan kaavoilla (7), kutsutaan renkaan 7) funktion f(z) Laurent-sarjaksi Laurent-sarjan kertoimille. Käytännössä käytetään harvoin, koska ne vaativat pääsääntöisesti hankalia laskelmia.Yleensä, mikäli mahdollista, käytetään valmiita Taylor-laajennuksia alkeisfunktioista Laajennuksen ainutlaatuisuuden perusteella mikä tahansa laillinen menetelmä johtaa samaan tulokseen. Esimerkki 2 Tarkastellaan eri alueiden funktioiden Laurent-sarjan laajennuksia olettaen, että Fuiscius /(r):llä on kaksi singulaaripistettä: Siksi rengasalueita on kolme ja keskitetty pisteeseen r = 0. joissa kussakin funktio f(r) on analyyttinen: a) ympyrä on ympyrän ulkopuoli (kuva 27). Etsitään funktion /(z) Laurent-laajennukset jokaiselta näistä alueista. Esitetään /(z) alkeismurtolukujen summana a) Ympyrämuunnosrelaatio (16) seuraavasti Käyttämällä geometrisen progression termien summan kaavaa saadaan b) Funktion -z rengas pysyy suppenevana tässä renkaassa, koska sarja (19) funktiolle j^j |z| > 1 eroaa. Siksi muunnamme funktion /(z) seuraavasti: soveltamalla kaavaa (19) uudelleen saadaan, että Tämä sarja konvergoi for. Korvaamalla laajennukset (18) ja (21) suhteeksi (20) saadaan c) Ympyrän ulkopuoli funktiolle -z, jossa |z| > 2 hajoaa, ja sarja (21) funktiolle Esitetään funktio /(z) seuraavassa muodossa: /<*> Kaavoilla (18) ja (19) saadaan TAI 1 Tämä esimerkki osoittaa, että samalle funktiolle f(z) Laurentin laajennuksella on yleisesti ottaen eri muoto eri renkaille. Esimerkki 3. Etsi funktion Laurent-sarjan 8 Laurent-sarjan hajotus Eristetyt singulaaripisteet ja niiden luokittelu rengasmaisella alueella A Käytämme funktion f (z) esitystä seuraavassa muodossa: ja muunna toinen termi käyttämällä kaava geometrisen progression termien summalle, saadaan Korvaamalla löydetyt lausekkeet kaavaan (22), meillä on esimerkki 4. Laajenna funktio Laurent-sarjassa ohuen zq = 0:n läheisyydessä. , meillä on Olkoon Tämä laajennus pätee mihin tahansa pisteeseen z Ф 0. Tässä tapauksessa rengasmainen alue on koko kompleksitaso, josta yksi on heitetty ulos pisteestä z - 0. Tämä alue voidaan määritellä seuraavalla suhteella: Tämä funktio on analyyttinen alueella Laurent-sarjan kertoimien kaavoista (13) voidaan saada Kouiw-epäyhtälöt samalla perustelulla kuin edellisessä kappaleessa. jos funktio f(z) on rajattu ympyrään, jossa M on vakio), niin eristetyt singulaaripisteet Pistettä zo kutsutaan funktion f(z) eristetyksi singulaaripisteeksi, jos pisteellä ( () on rengasmainen ympäristö tätä joukkoa kutsutaan joskus myös pisteen 2o punkturoituneeksi ympäristöksi, jossa funktio f(z) on yksiarvoinen ja analyyttinen. Itse pisteessä zo funktiota ei joko ole määritelty tai se ei ole yksiarvoinen ja analyyttinen. Singulaarisia pisteitä erotetaan kolmea tyyppiä riippuen funktion /(z) käyttäytymisestä lähestyttäessä pistettä zo. Eristetyn singulaaripisteen sanotaan olevan: 1) irrotettava, jos on olemassa äärellinen 2) pmusach, jos 3) oleellisesti singulaaripiste, jos funktiolla f(z) ei ole rajaa Laurenti 16. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste z0 on irrotettava piste, jos ja vain jos funktion f(z) Laurent-laajennus pisteen zo ympäristössä ei sisällä pääosaa, ts. on muotoa Let zo - irrotettava yksikköpiste. Silloin on olemassa äärellinen, ja näin ollen funktio f(z) on rajattu pisteen r prokologiseen ympäristöön. Asetetaan Cauchyn epäyhtälöiden perusteella Koska ρ voidaan valita niin pieneksi kuin haluamme, niin kaikki kertoimet negatiivisilla tehoilla (z - 20) ovat yhtä suuria kuin nolla: Päinvastoin, anna Laurentin funktion /(r) laajennus pisteen zq läheisyydessä sisältää vain oikean osan, eli sen muoto on (23) ja siksi on Taylor. On helppo nähdä, että z -* z0 funktiolla /(r) on raja-arvo: Lause 17. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste zq on poistettavissa silloin ja vain, jos funktio J(z) on rajoittuu johonkin pisteen zq puhkaisualueeseen, Zgmechai ei. Olkoon r0 f(r:n) irrotettava singulaaripiste. Olettaen, että funktio f(r) on analyyttinen jossain ympyrässä, jonka keskipiste on piste. Tämä määrittää pisteen nimen - kertakäyttöinen. Laurenti 18. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste zq on napa silloin ja vain, jos funktion f(z) Laurentin laajennuksen pääosa pisteen ympäristössä sisältää äärellisen (ja positiivisen) luvun nollasta poikkeavia termejä, eli sen muoto on 4 Olkoon z0 napa. Siitä lähtien on olemassa pisteen z0 punkturoitu ympäristö, jossa funktio f(z) on analyyttinen ja nollasta poikkeava. Sitten tässä naapurustossa määritellään analyyttinen funktio ja siten piste zq on funktion irrotettava yksikköpiste (nolla) tai missä h(z) on analyyttinen funktio, h(z0) ∩ 0. on analyyttinen funktion naapurissa. pisteen zq, ja mistä saamme, että Oletetaan nyt, että funktiolla f(z) on muodon (24) hajotus pisteen zo punkturoidussa ympäristössä. Tämä tarkoittaa, että tässä ympäristössä funktio f(z) on analyyttinen yhdessä funktion kanssa. Funktiolle g(z) pätee laajennus, josta on selvää, että zq on funktion g(z) irrotettava singulaaripiste ja on olemassa. Sitten funktio pyrkii 0:aan - funktion napaan On vielä yksi yksinkertainen tosiasia. Piste Zq on funktion f(z) napa, jos ja vain jos funktio g(z) = y voidaan laajentaa analyyttiseksi funktioksi pisteen zq läheisyydessä asettamalla g(z0) = 0. Järjestys funktion f(z) napaa kutsutaan funktion jfa nolla-asteeksi. Lauseet 16 ja 18 sisältävät seuraavan väitteen. Laurent 19. Eristetty singulaariohut on olennaisesti singulaarinen, jos ja vain jos Laurentin laajennuksen pääosa tämän pisteen puhkaisualueella sisältää äärettömän monta nollasta poikkeavaa termiä. Esimerkki 5. Funktion singulaaripiste on zo = 0. Meillä on Laurent-sarja Eristetyt singulaaripisteet ja niiden luokittelu Siksi zo = 0 on irrotettava singulaaripiste. Laurent-sarjan funktion /(z) laajennus nollapisteen läheisyydessä sisältää vain oikean osan: Esimerkki7. f(z) = Funktion f(z) singulaaripiste on zq = 0. Tarkastellaan tämän funktion käyttäytymistä reaali- ja imaginaariakselilla: reaaliakselilla kohdassa x 0, imaginaariakselilla Siksi ei äärellinen tai imaginaarinen akseli ääretöntä rajaa f(z) kohdassa z -* 0 ei ole olemassa. Näin ollen piste r0 = 0 on funktion f(z) oleellisesti singulaaripiste. Etsitään funktion f(z) Laurentin laajennus nollapisteen läheisyydestä. Jokaiselle monimutkaiselle C:lle olemme asettaneet. Sitten Laurentin laajennus sisältää äärettömän määrän termejä, joiden potenssit ovat negatiiviset z.

Määritelmä. Funktion singulaaripistettä kutsutaan eristetty, jos jossain tämän pisteen läheisyydessä on analyyttinen funktio (eli analyyttinen renkaassa).

Funktion eristettyjen singulaaripisteiden luokittelu liittyy tämän funktion käyttäytymiseen singulaaripisteen läheisyydessä.

Määritelmä. Piste on ns kertakäyttöinen funktion yksikköpiste, jos tämän funktion raja on .

Esimerkki 5 Osoita, että funktiolla on irrotettava singulaarisuus jossakin pisteessä.

Päätös. Laskemme ensimmäisen merkittävän rajan

Tämä tarkoittaa, että annetulla funktiolla on pisteessä irrotettava singulaarisuus.

Tehtävä 4. Näytä, että piste on irrotettava .

Määritelmä. Piste on ns napa funktio , jos tämä funktio kasvaa loputtomasti , eli .

Kiinnitämme huomiota analyyttisen funktion nolla- ja napakäsitteiden väliseen yhteyteen. Esitetään funktio muodossa .

Jos piste on funktion yksinkertainen nolla, funktiolla on yksinkertainen napa

Jos piste on funktion kertaluku nolla, niin funktiolle se on napa Tilaus.

Esimerkki 6 Osoita, että funktiolla on kolmannen kertaluvun napa jossakin pisteessä.

Päätös. Olettaen, saamme. Koska meillä on tapana nolla, minkä tahansa lain mukaan, meillä on . Sitten ja sen mukana itse funktio kasvaa loputtomasti. Siksi , Eli yksikköpiste on napa. Funktiolle tämä piste on ilmeisesti kolminkertainen nolla. Tästä syystä tälle funktiolle piste on kolmannen kertaluvun napa.

Tehtävä 5. Osoita, että pisteellä on yksinkertainen napa.

Määritelmä. Piste on ns pohjimmiltaan erikoista funktion piste, jos tässä kohdassa funktiolla ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa (funktion käyttäytymistä ei ole määritelty).

Antaa olla olennainen yksikkökohta funktiolle . Sitten mille tahansa ennalta määrätylle kompleksiluvulle on sellainen pistejono, joka suppenee kohtaan , jota pitkin arvoilla on taipumus: ( Sochockin lause).

Esimerkki 7 Osoita, että funktiolla pisteessä on olennainen singulaarisuus.

Päätös. Tarkastellaan tietyn funktion käyttäytymistä pisteen läheisyydessä. Sillä pitkin reaaliakselin positiivista osaa (eli ) meillä on ja ; jos reaaliakselin negatiivista osaa pitkin (eli), niin ja . Ei siis ole mitään rajaa. Määritelmän mukaan funktiolla on olennainen singulaarisuus pisteessä.

Tarkastellaan funktion käyttäytymistä nollassa Sochockin lauseen näkökulmasta. Antaa olla mikä tahansa muu kompleksiluku kuin nolla ja ääretön.

Tasa-arvosta löydämme. Olettaen , että saamme sarjan pisteitä , . Ilmeisesti,. Tämän sekvenssin jokaisessa pisteessä funktio on yhtä suuri kuin , ja siksi

Tehtävä 6. Osoita, että funktiolla on olennainen singulaarisuus jossakin pisteessä.

Pistettä äärettömyydessä pidetään aina erityisenä funktiolle. Pistettä kutsutaan funktion eristetyksi singulaaripisteeksi, jos tällä funktiolla ei ole muita singulaaripisteitä jonkin origossa keskitetyn ympyrän ulkopuolella.

Eristettyjen singulaaripisteiden luokittelu voidaan laajentaa myös tapaukseen.

Esimerkki 8 Osoita, että funktiolla on kaksoisnapa äärettömässä.

Päätös. Tarkastellaan funktiota , jossa on analyyttinen funktio pisteen läheisyydessä, ja . Tämä tarkoittaa, että funktiolla on kaksinkertainen nolla äärettömässä, mutta silloin funktion piste on kaksoisnapa.

Esimerkki 9 Osoita, että funktiolla on olennainen singulaarisuus äärettömässä.

Päätös. Samanlaista ongelmaa tarkastellaan pr.7:ssä. Tarkastellaan funktion käyttäytymistä äärettömän kaukana olevan pisteen läheisyydessä. Reaaliakselin positiivista osaa pitkin ja reaaliakselin negatiivista osaa pitkin. Tämä tarkoittaa, että funktiolla ei ole rajaa pisteessä ja määritelmän mukaan tämä piste on oleellisesti yksittäinen.

Funktion singulaarisuuden luonne pisteessä voidaan päätellä pääosa Laurentin laajennus tämän pisteen naapurustossa.

Lause 1. Jotta pointti olisi kertakäyttöinen funktion yksikköpiste, on välttämätöntä ja riittävää, että vastaava Laurent-laajennus ei sisältänyt pääosaa.

Tehtävä 6. Käytä funktion Taylor-laajennusta pisteen läheisyydessä, osoita, että sillä on irrotettava singulaarisuus nollassa.

Lause 2. Jotta pointti olisi napa toimintoja, on tarpeellista ja riittävää pääosa vastaava Laurentin laajennus sisälsi rajallisen määrän jäseniä :

Korkeimman negatiivisen termin numero määrittää navan järjestyksen.

Tässä tapauksessa funktio voidaan esittää muodossa

missä on funktio analyyttinen pisteessä, , on navan järjestys.

Esimerkki 10 Osoita, että funktiolla on yksinkertaisia ​​napoja pisteissä.

Päätös. Mietitäänpä asiaa. Käytämme tämän funktion Laurent-laajennusta tämän pisteen läheisyydessä, joka on saatu esimerkissä 2:

Koska suurin (ja ainoa) negatiivinen teho tämän laajennuksen pääosassa on yhtä suuri kuin yksi, piste on tämän funktion yksinkertainen napa.

Tämä tulos olisi voitu saavuttaa toisella tavalla. Esitetään muodossa ja laita - tämä on funktio, joka on analyyttinen kohdassa ja . Siksi (8):sta johtuen tällä funktiolla on yksinkertainen napa pisteessä.

Toinen tapa: harkitse funktiota, jonka pisteessä on yksinkertainen nolla. Tästä syystä siinä on tässä vaiheessa yksinkertainen napa.

Vastaavasti, jos kirjoitamme funktion muotoon , jossa on funktio, joka on analyyttinen pisteessä ja, niin on heti selvää, että piste on funktion yksinkertainen napa.

Tehtävä 7. Osoita, että funktiolla on 2. kertaluvun napa pisteessä ja 4. kertaluvun napa pisteessä .

Lause 3. Jotta pointti olisi pohjimmiltaan erikoista funktion pisteessä se on välttämätöntä ja riittävää pääosa Laurentin laajennus pisteen läheisyydessä sisälsi äärettömän määrän jäseniä .

Esimerkki 11. Määritä singulariteetin luonne funktion pisteessä

Päätös. Tunnetussa kosinin laajennuksessa laitamme sen sijaan:

Tästä syystä Laurent-laajennuksella pisteen läheisyydessä on muoto

Tässä oikea osa on yksi termi. Ja pääosa sisältää äärettömän määrän termejä, joten piste on olennaisesti yksikkö.

Tehtävä 8. Osoita, että jossain kohdassa funktiolla on olennainen singulaarisuus.

Harkitse jotakin funktiota ja kirjoita sen Laurent-laajennus kohtaan:

Tehdään korvaava, kun asia menee asiaan. Nyt äärettömän pisteen läheisyydessä meillä on

On vielä otettava käyttöön uusi nimitys. Saamme

missä on pääosa, ja se on funktion Laurentin laajennuksen säännöllinen osa äärettömän kaukana olevan pisteen läheisyydessä. Siten pisteen läheisyydessä olevan funktion Laurent-laajennuksessa pääosa on positiivisten potenssien sarja, kun taas oikea osa on negatiivisten potenssien sarja. Tämän huomioon ottaen

Yllä olevat singulaarisuuden luonteen määrittämiskriteerit ovat kuitenkin voimassa äärettömän kaukaiselle pisteelle.

Esimerkki 12. Selvitä funktion singulaarisuuden luonne pisteessä. , niin jossain vaiheessa se voi osoittautua eristämättömäksi.

Esimerkki 15Äärettömän kaukaisessa pisteessä olevalla funktiolla on olennainen singulaarisuus. Osoita, että funktion piste ei ole eristetty singulaaripiste.

Päätös. Funktiolla on ääretön määrä napoja nimittäjän nollapisteissä, eli pisteissä , . Koska , Sitten kohta , missä tahansa naapurustossa, jossa on navat , on napojen rajapiste.