Yksi mielenkiintoisimmista geometrian aiheista koulukurssilla on "Quadangles" (luokka 8). Millaisia ​​tällaisia ​​hahmoja on olemassa, mitä erityisominaisuuksia niillä on? Mitä ainutlaatuista on nelikulmioissa, joissa on 90 asteen kulmat? Katsotaanpa tätä kaikkea.

Mitä geometristä kuviota kutsutaan nelikulmioksi

Monikulmioita, jotka koostuvat neljästä sivusta ja vastaavasti neljästä kärjestä (kulmasta), kutsutaan euklidisessa geometriassa nelikulmioiksi.

Tämän tyyppisten hahmojen nimen historia on mielenkiintoinen. Venäjän kielellä substantiivi "nelikulmainen" muodostetaan lauseesta "neljä kulmaa" (kuten "kolmio" - kolme kulmaa, "viisikulmio" - viisi kulmaa jne.).

Kuitenkin latinaksi (jonka kautta monet geometriset termit tulivat useimpiin maailman kieliin) sitä kutsutaan nelikulmioksi. Tämä sana muodostuu numerosta quadri (neljä) ja substantiivista latus (sivu). Joten voimme päätellä, että muinaisten keskuudessa tätä monikulmiota kutsuttiin vain "nelisivuiseksi".

Muuten, tällainen nimi (painottaen neljän sivun läsnäoloa kulmien sijaan tämän tyyppisissä kuvissa) on säilynyt joissakin nykyaikaisissa kielissä. Esimerkiksi englanniksi - quadrilateral ja ranskaksi - quadrilatère.

Samanaikaisesti useimmissa slaavilaisissa kielissä harkittu hahmotyyppi tunnistetaan edelleen kulmien lukumäärän, ei sivujen, perusteella. Esimerkiksi slovakiksi (štvoruholník), bulgariaksi ("chetirigalnik"), valkovenäläiseksi ("chatyrokhkutnik"), ukrainaksi ("chotirikutnik"), tšekkiksi (čtyřúhelník), mutta puolaksi nelikulmiota kutsutaan numerolla sivut - czworoboczny.

Millaisia ​​nelikulmioita koulun opetussuunnitelmassa tutkitaan

Nykyaikaisessa geometriassa on neljän tyyppisiä polygoneja, joissa on neljä sivua.

Kuitenkin joidenkin niistä liian monimutkaisten ominaisuuksien vuoksi koululaiset esitellään geometrian tunneilla vain kahteen tyyppiin.

• Suunnikas. Tällaisen nelikulmion vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset toistensa kanssa ja vastaavasti myös pareittain yhtä suuret.
• Trapetsi (trapetsi tai puolisuunnikkaan muotoinen). Tämä nelikulmio koostuu kahdesta vastakkaisesta sivusta, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Toisella sivuparilla ei kuitenkaan ole tätä ominaisuutta.

Nelikulmatyypit, joita ei opiskella koulun geometrian kurssilla

Edellä mainittujen lisäksi on olemassa kaksi muuta nelikulmatyyppiä, joihin koululaiset eivät tutustu geometrian tunneilla niiden erityisen monimutkaisuuden vuoksi.

• Deltoid (leija)- kuvio, jossa kumpikin kahdesta vierekkäisten sivujen parista on yhtä pitkä toisiinsa nähden. Tällainen nelikulmio sai nimensä siitä syystä, että se muistuttaa ulkonäöltään melko voimakkaasti kreikkalaisten aakkosten kirjainta - "delta".
• Antiparallelogrammi- Tämä luku on yhtä monimutkainen kuin sen nimi. Siinä kaksi vastakkaista puolta ovat yhtä suuret, mutta samalla ne eivät ole yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Lisäksi tämän nelikulmion pitkät vastakkaiset sivut leikkaavat toisensa, samoin kuin kahden muun, lyhyemmän sivun jatkeet.

Suunnikkaan tyypit

Käsiteltyään nelikulmion päätyyppejä, kannattaa kiinnittää huomiota sen alalajeihin. Joten kaikki suunnikkaat puolestaan ​​​​jaetaan myös neljään ryhmään.

• Klassinen suuntaviiva.
• Rombi (rombi)- nelikulmainen hahmo, jolla on samat sivut. Sen diagonaalit leikkaavat suorassa kulmassa jakaa rombin neljään yhtä suureen suorakulmaiseen kolmioon.
• Suorakulmio. Nimi puhuu puolestaan. Koska se on nelikulmio, jolla on suorat kulmat (kukin niistä on yhdeksänkymmentä astetta). Sen vastakkaiset sivut eivät ole vain yhdensuuntaiset toistensa kanssa, vaan myös yhtä suuret.
• Neliö (neliö). Kuten suorakulmio, se on nelikulmio, jolla on suorat kulmat, mutta sen kaikki sivut ovat yhtä suuret. Tämä luku on lähellä rombista. Voidaan siis väittää, että neliö on rombin ja suorakulmion välinen risti.

Suorakulmion erikoisominaisuudet

Ottaen huomioon kuviot, joissa jokainen sivujen välinen kulma on yhdeksänkymmentä astetta, kannattaa keskittyä lähemmin suorakulmioon. Mitä erityispiirteitä sillä on, jotka erottavat sen muista suunnikasista?

Jotta voidaan väittää, että tarkasteltavana oleva suunnikas on suorakulmio, sen lävistäjien on oltava samat keskenään ja jokaisen kulman on oltava suora. Lisäksi sen diagonaalien neliön on vastattava tämän kuvan kahden vierekkäisen sivun neliöiden summaa. Toisin sanoen klassinen suorakulmio koostuu kahdesta suorakulmaisesta kolmiosta, ja niissä, kuten tiedetään, tarkasteltavan nelikulmion lävistäjä toimii hypotenuusana.

Viimeinen tämän hahmon luetelluista merkeistä on myös sen erityinen ominaisuus. Tämän lisäksi on muitakin. Esimerkiksi se, että tutkitun nelikulmion kaikki suorat kulmat sivut ovat samalla sen korkeuksia.

Lisäksi, jos ympyrä piirretään minkä tahansa suorakulmion ympärille, sen halkaisija on yhtä suuri kuin piirretyn kuvan diagonaali.

Tämän nelikulmion muiden ominaisuuksien joukossa on, että se on litteä eikä sitä ole ei-euklidisessa geometriassa. Tämä johtuu siitä, että tällaisessa järjestelmässä ei ole nelikulmaisia ​​lukuja, joiden kulmien summa on kolmesataa kuusikymmentä astetta.

Neliö ja sen ominaisuudet

Kun olet käsitellyt suorakulmion merkkejä ja ominaisuuksia, on syytä kiinnittää huomiota toiseen tieteen tuntemaan nelikulmioon, jolla on suorat kulmat (tämä on neliö).

Koska tämä kuvio on itse asiassa sama suorakulmio, mutta jolla on samat sivut, sillä on kaikki ominaisuudet. Mutta toisin kuin se, neliö on läsnä ei-euklidisessa geometriassa.

Lisäksi tällä hahmolla on muita erityispiirteitä. Esimerkiksi se, että neliön lävistäjät eivät ole vain yhtä suuret toistensa kanssa, vaan myös leikkaavat suorassa kulmassa. Siten, kuten rombi, neliö koostuu neljästä suorakulmaisesta kolmiosta, joihin se on jaettu diagonaaleilla.

Lisäksi tämä luku on symmetrisin kaikista nelikulmista.

Mikä on nelikulmion kulmien summa

Euklidisen geometrian nelikulmioiden ominaisuudet huomioon ottaen on syytä kiinnittää huomiota niiden kulmiin.

Joten jokaisessa yllä olevissa luvuissa, riippumatta siitä, onko sillä suorat kulmat vai ei, niiden kokonaissumma on aina sama - kolmesataa kuusikymmentä astetta. Tämä on tämän tyyppisen hahmon ainutlaatuinen erottuva piirre.

Nelikulmioiden ympärysmitta

Kun olet selvittänyt, mikä on nelikulmion kulmien summa ja muut tämän tyyppisten kuvioiden erityisominaisuudet, on syytä tietää, mitä kaavoja käytetään parhaiten niiden kehän ja alueen laskemiseen.

Minkä tahansa nelikulmion kehän määrittämiseksi sinun on vain laskettava yhteen sen kaikkien sivujen pituus.

Esimerkiksi KLMN-kuvassa sen ympärysmitta voidaan laskea kaavalla: P \u003d KL + LM + MN + KN. Jos korvaat luvut tässä, saat: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Jos kyseessä oleva kuvio on rombi tai neliö, voit yksinkertaistaa kaavaa kehän löytämiseksi yksinkertaisesti kertomalla sen yhden sivun pituus neljällä: P \u003d KL x 4. Esimerkiksi: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Pinta-alan nelikulmakaavat

Kun olet selvittänyt kuinka löytää minkä tahansa hahmon kehä, jossa on neljä kulmaa ja sivua, kannattaa harkita suosituimpia ja yksinkertaisimpia tapoja löytää sen alue.

Muita nelikulmioiden ominaisuuksia: piirretyt ja rajatut ympyrät

Ottaen huomioon nelikulmion piirteet ja ominaisuudet euklidisen geometrian hahmona, on syytä kiinnittää huomiota kykyyn kuvata ympyröitä sen sisään tai merkitä sen sisään:

• Jos kuvion vastakkaisten kulmien summat ovat kukin satakahdeksankymmentä astetta ja ovat pareittain yhtä suuria keskenään, niin sellaisen nelikulmion ympärille voidaan vapaasti kuvata ympyrä.
• Ptolemaioksen lauseen mukaan, jos ympyrä on rajattu monikulmion ulkopuolelle, jossa on neljä sivua, niin sen diagonaalien tulo on yhtä suuri kuin annetun kuvion vastakkaisten sivujen tulojen summa. Siten kaava näyttää tältä: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Jos rakennat nelikulmion, jossa vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret, niin siihen voidaan kirjoittaa ympyrä.

Kun olet selvittänyt, mikä nelikulmio on, minkä tyyppisiä sitä on, millä niistä on vain suorat kulmat sivujen välillä ja mitä ominaisuuksia niillä on, on syytä muistaa kaikki tämä materiaali. Erityisesti kaavat harkittujen polygonien kehän ja alueen löytämiseksi. Loppujen lopuksi tämän muotoiset luvut ovat yksi yleisimmistä, ja tästä tiedosta voi olla hyötyä tosielämän laskelmissa.

Määritelmä. Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Omaisuus. Suunnikkaassa vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.

Omaisuus. Suunnikkaan diagonaalit jaetaan leikkauspisteen avulla.

1 suuntaviivan merkki. Jos nelikulmion kaksi sivua ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset, niin nelikulmio on suunnikas.

2 suuntaviivan merkki. Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat pareittain yhtä suuret, niin nelikulmio on suunnikas.

3 suuntaviivan merkki. Jos nelikulmiossa lävistäjät leikkaavat ja leikkauspiste on puolitettu, niin tämä nelikulmio on suuntaviiva.

Määritelmä. Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta sivua eivät ole yhdensuuntaisia. Rinnakkaisia ​​puolia kutsutaan perusteita.

Trapetsi on nimeltään tasakylkinen (tasakylkinen) jos sen sivut ovat yhtä suuret. Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat kantassa ovat yhtä suuret.

suorakulmainen.

puolisuunnikkaan keskiviiva. Keskiviiva on yhdensuuntainen kantojen kanssa ja yhtä suuri kuin niiden puolisumma.

Suorakulmio

Määritelmä.

Omaisuus. Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä suuret.

Suorakaide merkki. Jos suunnikkaan lävistäjät ovat yhtä suuret, suunnikka on suorakulmio.

Määritelmä.

Omaisuus. Rombin lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa ja jakavat sen kulmat kahtia.

Määritelmä.

Neliö on tietynlainen suorakulmio ja myös tietynlainen rombi. Siksi sillä on kaikki ominaisuudet.

Ominaisuudet:
1. Neliön kaikki kulmat ovat oikeassa

Nelikulmaistaa kaikki säännöt

Avainsanat:
nelikulmio, kupera, kulmien summa, nelikulmion pinta-ala

nelikulmio kutsutaan kuvioksi, joka koostuu neljästä pisteestä ja neljästä janasta, jotka yhdistävät ne sarjaan. Tässä tapauksessa kolmea näistä pisteistä ei saa olla yhdellä suoralla, eivätkä niitä yhdistävät segmentit saisi leikkiä.

• Nelikulmion kärkipisteitä kutsutaan naapuri jos ne ovat sen yhden sivun päät.
• Vertices, jotka eivät ole naapureita , nimeltään vastapäätä .
• Kutsutaan janaja, jotka yhdistävät nelikulmion vastakkaiset kärjet diagonaalit .
• Nelikulmion sivuja, jotka ovat peräisin samasta kärjestä, kutsutaan naapuri juhlia.
• Sivuja, joilla ei ole yhteistä päätä, kutsutaan vastapäätä juhlia.
• Nelikulmaa kutsutaan kupera , jos se sijaitsee yhdessä puolitasossa sen minkä tahansa sivun sisältävään suoraan nähden.

Nelisivujen tyypit

1. Suunnikas Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset
   • Suorakulmio suunnikas, jossa on kaikki suorat kulmat
   • Rombi - suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret
   • Neliö - suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret
2. Trapetsi - nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta sivua eivät ole yhdensuuntaisia
3. Deltoidi Nelikulmio, jonka kaksi vierekkäisten sivujen paria ovat yhtä suuret

Nelikulmat

nelikulmio kutsutaan kuvioksi, joka koostuu neljästä pisteestä ja neljästä janasta, jotka yhdistävät ne sarjaan. Tässä tapauksessa kolme näistä pisteistä ei ole samalla suoralla, eivätkä niitä yhdistävät segmentit leikkaa.

vastapäätä. vastapäätä.

Nelisivujen tyypit

Suunnikas

Suunnikas kutsutaan nelikulmioksi, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Rinnakkaismallin ominaisuudet

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kaikkien sivujen neliöiden summa:

Parallelogrammin ominaisuudet

Trapetsi Kutsutaan nelikulmiota, jossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia.

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan sen perusteita ja ei-rinnakkaiset sivut sivut. Janaa, joka yhdistää sivujen keskipisteet, kutsutaan keskiviiva.

Trapetsi on nimeltään tasakylkinen(tai tasakylkinen), jos sen sivut ovat yhtä suuret.

Kutsutaan puolisuunnikasta, jolla on yksi suora kulma suorakulmainen.

Trapetsin ominaisuudet

Trapetsin merkkejä

Suorakulmio

Suorakulmio Suunnikkaaksi kutsutaan, jos kaikki kulmat ovat suoria kulmia.

Suorakulmion ominaisuudet

Suorakulmion ominaisuudet

Suuntaviiva on suorakulmio, jos:

1. Yksi sen kulmista on oikeassa.
2. Sen diagonaalit ovat yhtä suuret.

Rombi Suunnikkaaksi kutsutaan, jos kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Rombuksen ominaisuudet

• kaikki suunnikkaan ominaisuudet;
• diagonaalit ovat kohtisuorassa;

Rombin merkkejä

Neliö Kutsutaan suorakulmiota, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Neliön kiinteistöt

• neliön kaikki kulmat ovat oikeassa;
• neliön lävistäjät ovat yhtä suuret, keskenään kohtisuorassa, leikkauspiste on jaettu puoliksi ja neliön kulmat puoliksi.

Neliön merkit

Peruskaavat

S=d 1 d 2 synti

Suunnikas
a ja b- viereiset osapuolet; - niiden välinen kulma; h a - korkeus sivulle a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 synti

Trapetsi
a ja b- perusteet; h- niiden välinen etäisyys; l- keskiviiva .

Suorakulmio

S=d 1 d 2 synti

S = a 2 synti

S=d 1 d 2

Neliö
d- diagonaali.

www.univer.omsk.su

Nelikulmion ominaisuudet. Nelisivujen tyypit. Mielivaltaisten nelikulmioiden ominaisuudet. Parallelogrammin ominaisuudet. Rombin ominaisuudet. Suorakulmion ominaisuudet. Neliön kiinteistöt. puolisuunnikkaan muotoiset ominaisuudet. Noin 7-9 luokka (13-15 vuotta vanha)

Nelikulmion ominaisuudet. Nelisivujen tyypit. Mielivaltaisten nelikulmioiden ominaisuudet.
Parallelogrammin ominaisuudet. Rombin ominaisuudet. Suorakulmion ominaisuudet. Neliön kiinteistöt. puolisuunnikkaan muotoiset ominaisuudet.

Nelisivujen tyypit:

• Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset

• Rombi on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

• Suorakulmio on suunnikas, jossa on kaikki suorat kulmat.

• Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Mielivaltaisten nelikulmioiden ominaisuudet:

Parallelogrammin ominaisuudet:

Rombin ominaisuudet:

Suorakulmion ominaisuudet:

Neliön ominaisuudet:

Trapetsin ominaisuudet:

Konsultointi ja tekninen
sivuston tuki: Zavarka Team

Nelikulmaistaa kaikki säännöt

Ei-euklidinen geometria, geometria samanlainen kuin geometria Euclid siinä, että se määrittelee kuvioiden liikkeen, mutta eroaa euklidisesta geometriasta siinä, että yksi sen viidestä postulaatista (toinen tai viides) on korvattu sen negaatiolla. Yhden euklidisen postulaatin (1825) kieltäminen oli merkittävä tapahtuma ajattelun historiassa, sillä se oli ensimmäinen askel kohti suhteellisuusteoria.

Eukleideen toinen postulaatti sanoo sen mitä tahansa linjaosuutta voidaan jatkaa loputtomiin. Euclid ilmeisesti uskoi, että tämä postulaatti sisälsi myös väitteen, että suoralla on ääretön pituus. kuitenkin "elliptisessä" geometriassa mikä tahansa suora on äärellinen ja, kuten ympyrä, on suljettu.

Viides postulaatti sanoo, että jos suora leikkaa kaksi annettua suoraa siten, että sen toisella puolella olevat kaksi sisäkulmaa ovat yhteensä pienempiä kuin kaksi suoraa kulmaa, nämä kaksi suoraa leikkaavat, jos niitä jatketaan loputtomasti, sillä sivulla, jossa näiden kulmien summa on pienempi kuin kahden suoran summa. Mutta "hyperbolisessa" geometriassa voi olla suora CB (katso kuva), joka on pisteessä C kohtisuorassa annettuun suoraan r ja leikkaa toisen suoran s terävässä kulmassa pisteessä B, mutta siitä huolimatta äärettömät suorat r ja s ei koskaan leikkaa .

Näistä tarkistetuista postulaateista seurasi, että kolmion kulmien summa, joka on 180° euklidisessa geometriassa, on suurempi kuin 180° elliptisessä geometriassa ja alle 180° hyperbolisessa geometriassa.

Nelikulmainen

Nelikulmainen on monikulmio, jossa on neljä kärkeä ja neljä sivua.

Nelikulmainen, geometrinen kuvio - monikulmio, jossa on neljä kulmaa, sekä mikä tahansa esine, tämän muotoinen laite.

Nelikulmion kahta ei vierekkäistä sivua kutsutaan vastapäätä. Kutsutaan myös kahta kärkeä, jotka eivät ole vierekkäisiä vastapäätä.

Nelikulmiot ovat kuperia (kuten ABCD) ja
ei-kupera (A 1 B 1 C 1 D 1).

Nelisivujen tyypit

• Suunnikas- nelikulmio, jonka kaikki vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset;
• Suorakulmio- nelikulmio, jossa on kaikki suorat kulmat;
• Rombi- nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret;
• Neliö- nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suorat ja sivut ovat yhtä suuret;
• Trapetsi- nelikulmio, jonka kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaisia;
• Deltoidi Nelikulmio, jonka kaksi vierekkäisten sivujen paria ovat yhtä suuret.

Suunnikas

Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Parallelogrammi (kreikan sanoista parallelos - yhdensuuntainen ja gramme - viiva) eli makaa yhdensuuntaisilla viivoilla. Suunnikkaan erikoistapaukset ovat suorakulmio, neliö ja rombi.

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi;
• yhden sivun viereisten kulmien summa on 180°;
• diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kaikkien sivujen neliöiden summa.

Nelikulma on suunnikas, jos:

1. Sen kaksi vastakkaista sivua ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset.
2. Vastakkaiset puolet ovat pareittain yhtä suuret.
3. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret pareittain.
4. Leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi.

Suorakulmio

Suorakulmio on suunnikas, jossa on kaikki suorat kulmat.

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi;
• yhden sivun viereisten kulmien summa on 180°;
• diagonaalit ovat yhtä suuret.

Suuntaviiva on suorakulmio, jos:

1. Yksi sen kulmista on oikeassa.
2. Sen diagonaalit ovat yhtä suuret.

Rombi on suuntaviiva, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi;
• yhden sivun viereisten kulmien summa on 180°;
• diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kaikkien sivujen neliöiden summa;
• diagonaalit ovat kohtisuorassa;
• diagonaalit ovat sen kulmien puolittajia.

Suuntaviiva on rombi, jos:

1. Sen kaksi vierekkäistä sivua ovat yhtä suuret.
2. Sen diagonaalit ovat kohtisuorassa.
3. Yksi diagonaaleista on sen kulman puolittaja.

Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

• neliön kaikki kulmat ovat oikeassa;
• neliön lävistäjät ovat yhtä suuret, keskenään kohtisuorassa, leikkauspiste on jaettu puoliksi ja neliön kulmat puoliksi.

1. Suorakulmio on neliö, jos sillä on jokin rombin ominaisuus.

Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaisia ​​ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia.

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan sen kantaviksi ja ei-rinnakkaiset sivuiksi sen sivuiksi. Janaa, joka yhdistää sivujen keskipisteet, kutsutaan keskiviivaksi.

Puolisuunnikkaan kutsutaan tasakylkiseksi (tai tasakylkiseksi), jos sen sivut ovat yhtä suuret.

Puolisuunnikasta, jossa on yksi suora kulma, kutsutaan suorakulmaiseksi puolisuunnikkaaksi.

• sen keskiviiva on yhdensuuntainen kantojen kanssa ja yhtä suuri kuin niiden puolisumma;
• jos puolisuunnikkaan on tasakylkinen, niin sen lävistäjät ovat yhtä suuret ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret;
• jos puolisuunnikkaan on tasakylkinen, niin sen ympärille voidaan kuvata ympyrä;
• jos kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa, niin siihen voidaan kirjoittaa ympyrä.

1. Nelikulma on puolisuunnikkaan muotoinen, jos sen yhdensuuntaiset sivut eivät ole yhtä suuret

Deltoidi Nelikulmio, jossa on kaksi samanpituista sivuparia. Toisin kuin suunnikas, kaksi vierekkäisten sivujen paria eivät ole samanarvoisia, vaan kaksi paria vierekkäisiä sivuja. Hartialihas on leijan muotoinen.

• Eripituisten sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret.
• Hartialihaksen diagonaalit (tai niiden jatkeet) leikkaavat suorassa kulmassa.
• Ympyrä voidaan piirtää mihin tahansa kuperaan hartialihakseen, tämän lisäksi, jos hartialihas ei ole rombi, on toinen ympyrä, joka koskettaa kaikkien neljän sivun jatkeita. Ei-kuperalle hartialihakselle voidaan rakentaa ympyrä, joka tangentti kahta suurempaa sivua ja kahden pienemmän sivun jatketta, ja ympyrä, joka tangentti kahta pienempää sivua ja kahden suuremman sivun jatketta.

• Jos hartialihaksen epätasaisten sivujen välinen kulma on suora, siihen voidaan kirjoittaa ympyrä (kuvattu hartialihas).
• Jos hartialihaksen vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, tällainen hartialihas on rombi.
• Jos hartialihaksen vastakkaisten sivujen pari ja molemmat lävistäjät ovat yhtä suuret, hartialihas on neliö. Kaiverrettu hartialihas, jolla on yhtäläiset lävistäjät, on myös neliö.

Geometrian syntyminen juontaa juurensa muinaisista ajoista ja johtui ihmisen toiminnan käytännön tarpeista (tarpeesta mitata maata, mitata eri kappaleiden tilavuuksia jne.).

Yksinkertaisimmat geometriset tiedot ja käsitteet tunnettiin muinaisessa Egyptissä. Tänä aikana geometriset väitteet muotoiltiin sääntöjen muodossa, jotka annettiin ilman todisteita.

7. vuosisadalta eKr e. 1. vuosisadalle jKr e. geometria tieteenä kehittyi nopeasti antiikin Kreikassa. Tänä aikana ei tapahtunut vain erilaisten geometristen tietojen keräämistä, vaan myös geometristen väittämien todistamisen metodologiaa kehitettiin ja ensimmäiset yritykset yritettiin muotoilla geometrian perussäännöksiä (aksioomia), joista monet erilaiset geometriset lausunnot johdetaan puhtaasti loogisella päättelyllä. Geometrian kehitystaso muinaisessa Kreikassa heijastuu Eukleideen "alkujen" työhön.

Tässä kirjassa yritettiin ensimmäistä kertaa antaa planimetrian systemaattinen konstruktio määrittelemättömien geometristen peruskäsitteiden ja aksioomien (postulaattien) pohjalta.

Erityinen paikka matematiikan historiassa on Eukleideen viides postulaatti (rinnakkaislinjojen aksiooma). Pitkän aikaa matemaatikot yrittivät tuloksetta johtaa viidettä postulaattia muista Eukleideen postulaateista, ja vasta 1800-luvun puolivälissä N. I. Lobachevskyn, B. Riemannin ja J. Boyain tutkimusten ansiosta kävi selväksi, että viidettä postulaattia ei voida johtaa muista, eikä Eukleideen ehdottama aksioomijärjestelmä ole ainoa mahdollinen.

Eukleideen "elementeillä" oli valtava vaikutus matematiikan kehitykseen. Yli kahden tuhannen vuoden ajan tämä kirja ei ollut vain geometrian oppikirja, vaan se toimi myös lähtökohtana monille matemaattisille tutkimuksille, joiden seurauksena syntyi uusia itsenäisiä matematiikan aloja.

Geometrian systemaattinen rakentaminen suoritetaan yleensä seuraavan suunnitelman mukaan:

minä Luettelossa on tärkeimmät geometriset käsitteet, jotka esitellään ilman määritelmiä.

II. Geometrian aksioomien muotoilu on annettu.

III. Aksioomien ja geometristen peruskäsitteiden pohjalta muotoillaan muita geometrisia käsitteitä ja lauseita.

1. Nimen ei-euklidinen geometria alkuperä?
2. Mitä muotoja kutsutaan nelikulmioksi?
3. Suunnikkaan ominaisuuksia?
4. Nelisivujen tyypit?

Luettelo käytetyistä lähteistä

1. A.G. Tsypkin. Matematiikan käsikirja
2. "Yhtenäinen valtionkoe 2006. Matematiikka. Koulutus- ja koulutusmateriaalit opiskelijoiden valmentamiseen / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "M. I. Scanavin toimittaman kokoelman matematiikan tärkeimpien kilpailuongelmien ratkaiseminen"

Työskentely oppitunnin parissa

Voit esittää kysymyksen modernista koulutuksesta, ilmaista ajatuksen tai ratkaista kiireellisen ongelman osoitteessa Koulutusfoorumi jossa tuoreen ajatuksen ja toiminnan koulutusneuvosto kokoontuu kansainvälisesti. Luotuaan blogi, Et vain paranna asemaasi pätevänä opettajana, vaan annat myös merkittävän panoksen tulevaisuuden koulun kehitykseen. Koulutusjohtajien kilta avaa oven huippuasiantuntijoille ja kutsuu sinut yhteistyöhön maailman parhaiden koulujen luomiseksi.

Suosittu:

• Artikla 282. Vihaan tai vihamielisyyteen yllyttäminen sekä ihmisarvon nöyryyttäminen
• Yrityskiinteistöverolaskuri Yrityskiinteistöveron laskeminen Ennakkomaksujen laskentalomake on muuttunut. Alkaen vuoden 2017 ensimmäisen puoliskon raportoinnista yhteisöveron laskeminen […]
• Ekologian lait Yli 100 vuoden populaatioiden ja yhteisöjen kattavan tutkimuksen aikana on kertynyt valtava määrä tosiasioita. Niiden joukossa - suuri määrä, joka heijastaa satunnaisia ​​tai epäsäännöllisiä ilmiöitä ja prosesseja. Mutta ei […]
• Eläketurvavaihtoehdot pakollisessa eläkevakuutusjärjestelmässä Vuoden 2015 loppuun saakka vuonna 1967 syntyneet ja sitä nuoremmat kansalaiset saivat valita, jatkavatko eläkkeen rakentamista […]
• Maatalousministeriön määräys 549 Rekisteröity Venäjän federaation oikeusministeriössä 5. maaliskuuta 2009 N 13476 VENÄJÄN FEDERAATIO MAATALOUSMINISTERIÖ, 16. joulukuuta 2008 N 532 N 532 LUOKITUSLUOKITUKSEN HYVÄKSYMISESTÄ JA […]
• Vammaisten lasten eläkkeitä korotetaan 1.1.2018 Kansalaisten eläketurva on valtion velvollisuus. Tämä on todettu maan lakisäännöissä - perustuslaissa. Vammaisten joukossa, jotka tarvitsevat […]
• JSC RZD JSC "RUSSIAN RAILWAYS":n sisäinen järjestyssääntö 26. heinäkuuta 2012 päivätty MÄÄRÄYS N 87 MATKUSTAJIEN JA MATKUSTAJIEN KEHITTÄMISEN ALUEELLISEN PALVELUN (OSASTO) SISÄISEN TYÖMÄÄRÄYKSEN HYVÄKSYMISESTÄ
• Positivismin 3 vaiheen laki filosofisena liikkeenä lähtee siitä käsityksestä, että suurin osa tiedosta maailmasta, ihmisestä ja yhteiskunnasta saadaan erikoistieteissä, että "positiivisen" tieteen pitäisi hylätä yritykset […]

Neljällä kulmalla ja neljällä sivulla. Nelisivun muodostaa suljettu polyline, joka koostuu neljästä linkistä ja siitä tason osasta, joka on polylinen sisällä.

Nelikulmion nimitys koostuu sen kärjessä olevista kirjaimista, jotka nimeävät ne järjestyksessä. Esimerkiksi he sanovat tai kirjoittavat: nelikulmio ABCD :

Nelikulmassa ABCD pisteitä A, B, C ja D- Tämä nelikulmion kärjet, segmentit AB, eKr, CD ja DA - sivut.

Samalle puolelle kuuluvia pisteitä kutsutaan naapuri, kutsutaan pisteitä, jotka eivät ole vierekkäisiä vastapäätä:

Nelikulmassa ABCD huiput A ja B, B ja C, C ja D, D ja A ovat vierekkäin, ja kärjet A ja C, B ja D- vastapäätä. Vierekkäisissä pisteissä olevia kulmia kutsutaan myös naapuripisteiksi ja vastakkaisissa pisteissä vastakkaisiksi.

Nelikulman sivut voidaan jakaa myös pareittain vierekkäisiin ja vastakkaisiin sivuihin: sivuja, joilla on yhteinen kärki, kutsutaan ns. naapuri(tai liittyvät), sivut, joilla ei ole yhteisiä pisteitä - vastapäätä:

Juhlat AB ja eKr, eKr ja CD, CD ja DA, DA ja AB ovat vierekkäin, ja sivut AB ja DC, ILMOITUS ja eKr- vastapäätä.

Jos vastakkaiset kärjet on yhdistetty segmentillä, tällaista segmenttiä kutsutaan nelikulmion lävistäjä. Ottaen huomioon, että nelikulmion vastakkaisia ​​pisteitä on vain kaksi paria, diagonaaleja voi olla vain kaksi:

Segmentit AC ja BD- diagonaalit.

Harkitse kuperoiden nelikulmioiden päätyyppejä:

• Trapetsi- nelikulmio, jossa yksi vastakkaisten sivujen pari on yhdensuuntainen toistensa kanssa ja toinen pari ei ole yhdensuuntainen.
  • Tasakylkinen puolisuunnikas- puolisuunnikkaan sivut ovat yhtä suuret.
  • Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikkaan muotoinen Puolisuunnikas, jossa on yksi oikeasta kulmasta.
• Suunnikas Nelikulmio, jossa molemmat vastakkaisten sivujen parit ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.
  • Suorakulmio Suuntaviiva, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuret.
  • Rombi Suuntaviiva, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.
  • Neliö Suunnikkapiirros, jolla on yhtäläiset sivut ja kulmat. Sekä suorakulmio että rombi voivat olla neliö.

Kuperoiden nelikulmien kulmaominaisuudet

Kaikilla kuperilla nelikulmioilla on seuraavat kaksi ominaisuutta:

1. Mikä tahansa sisäkulma alle 180°.
2. Sisäkulmien summa on 360°.

Oppitunnin aihe

• Nelikulman määritelmä.

Oppitunnin tavoitteet

• Koulutus - tiedon toisto, yleistäminen ja testaus aiheesta: "Nelikulmat"; perustaitojen kehittäminen.
• Kehittäminen - kehittää opiskelijoiden huomiokykyä, sinnikkyyttä, sinnikkyyttä, loogista ajattelua, matemaattista puhetta.
• Koulutus - oppitunnin kautta kehittää tarkkaavainen asenne toisiaan kohtaan, juurruttaa kyky kuunnella tovereita, keskinäinen avunanto, riippumattomuus.

Oppitunnin tavoitteet

• Muodostaa taitoja nelikulmion rakentamisessa mittakaavapalkin ja piirustuskolmion avulla.
• Tarkista opiskelijoiden kyky ratkaista ongelmia.

Tuntisuunnitelma

1. Historiallinen viittaus. Ei-euklidinen geometria.
2. Nelikulmainen.
3. Nelisivujen tyypit.

Ei-euklidinen geometria

Ei-euklidinen geometria, geometria samanlainen kuin geometria Euclid siinä, että se määrittelee kuvioiden liikkeen, mutta eroaa euklidisesta geometriasta siinä, että yksi sen viidestä postulaatista (toinen tai viides) on korvattu sen negaatiolla. Yhden euklidisen postulaatin (1825) kieltäminen oli merkittävä tapahtuma ajattelun historiassa, sillä se oli ensimmäinen askel kohti suhteellisuusteoria.

Eukleideen toinen postulaatti sanoo sen mitä tahansa linjaosuutta voidaan jatkaa loputtomiin. Euclid ilmeisesti uskoi, että tämä postulaatti sisälsi myös väitteen, että suoralla on ääretön pituus. kuitenkin "elliptisessä" geometriassa mikä tahansa suora on äärellinen ja, kuten ympyrä, on suljettu.

Viides postulaatti sanoo, että jos suora leikkaa kaksi annettua suoraa siten, että sen toisella puolella olevat kaksi sisäkulmaa ovat yhteensä pienempiä kuin kaksi suoraa kulmaa, nämä kaksi suoraa leikkaavat, jos niitä jatketaan loputtomasti, sillä sivulla, jossa näiden kulmien summa on pienempi kuin kahden suoran summa. Mutta "hyperbolisessa" geometriassa voi olla suora CB (katso kuva), joka on pisteessä C kohtisuorassa annettuun suoraan r ja leikkaa toisen suoran s terävässä kulmassa pisteessä B, mutta siitä huolimatta äärettömät suorat r ja s ei koskaan leikkaa .

Näistä tarkistetuista postulaateista seurasi, että kolmion kulmien summa, joka on 180° euklidisessa geometriassa, on suurempi kuin 180° elliptisessä geometriassa ja alle 180° hyperbolisessa geometriassa.

Nelikulmainen

Aineet > Matematiikka > Matematiikka luokka 8

Kupera nelikulmio on kuvio, joka koostuu neljästä kärjessä toisiinsa liitetystä sivusta, jotka muodostavat yhdessä sivujen kanssa neljä kulmaa, kun taas nelikulmio itse on aina samassa tasossa sen suoran suhteen, jolla sen toinen sivuista on. Toisin sanoen koko hahmo on jollain puolellaan.

Yhteydessä

Kuten näet, määritelmä on melko helppo muistaa.

Perusominaisuudet ja tyypit

Melkein kaikki meille tunnetut neljästä kulmasta ja sivusta koostuvat hahmot voidaan katsoa kuperiksi nelikulmioiksi. Seuraavat voidaan erottaa:

1. suunnikas;
2. neliö;
3. suorakulmio;
4. puolisuunnikkaan muotoinen;
5. rombi.

Kaikkia näitä lukuja yhdistää paitsi se, että ne ovat nelikulmaisia, myös se, että ne ovat myös kuperia. Katsokaa vaikka kaaviota:

Kuvassa on kupera puolisuunnikas. Tästä näet, että puolisuunnikkaan on samassa tasossa tai janan toisella puolella. Jos teet samanlaisia ​​toimia, voit selvittää, että kaikilla muilla puolilla puolisuunnikkaan on kupera.

Onko suunnikas kupera nelikulmio?

Yllä on kuva suunnikkaasta. Kuten kuvasta näkyy, suunnikas on myös kupera. Jos katsot kuvaa suhteessa suoriin, joilla segmentit AB, BC, CD ja AD sijaitsevat, käy selväksi, että se on aina samassa tasossa näistä viivoista. Suunnikkaan pääpiirteet ovat, että sen sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset ja yhtä suuret samalla tavalla kuin vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Kuvittele nyt neliö tai suorakulmio. Pääominaisuuksiltaan ne ovat myös suunnikkaita, eli niiden kaikki sivut on järjestetty pareiksi rinnakkain. Vain suorakulmion tapauksessa sivujen pituus voi olla erilainen ja kulmat ovat suorat (yhtä kuin 90 astetta), neliö on suorakulmio, jossa kaikki sivut ovat yhtä suuret ja kulmat ovat myös oikeat, kun taas pituudet Suunnikkaan sivut ja kulmat voivat olla erilaisia.

Tämän seurauksena nelikulmion kaikkien neljän kulman summa on oltava 360 astetta. Helpoin tapa määrittää tämä on suorakulmion avulla: suorakulmion kaikki neljä kulmaa ovat suorassa, eli 90 astetta. Näiden 90 asteen kulmien summa antaa 360 astetta, eli jos lisäät 90 astetta 4 kertaa, saat halutun tuloksen.

Kuperan nelikulmion lävistäjien ominaisuus

Kuperan nelikulmion diagonaalit leikkaavat. Itse asiassa tämä ilmiö voidaan havaita visuaalisesti, katso vain kuvaa:

Vasemmalla olevassa kuvassa on ei-kupera nelikulmio tai nelikulmio. Kuten haluat. Kuten näette, diagonaalit eivät leikkaa, ainakaan kaikki. Oikealla on kupera nelikulmio. Tässä havaitaan jo diagonaalien ominaisuus leikata. Samaa ominaisuutta voidaan pitää nelikulmion kuperuuden merkkinä.

Muut nelikulmion ominaisuudet ja kuperuuden merkit

Erityisesti tämän termin mukaan on erittäin vaikea nimetä mitään erityisiä ominaisuuksia ja ominaisuuksia. Se on helpompi eristää erilaisten tämäntyyppisten nelikulmioiden mukaan. Voit aloittaa suuntaviivalla. Tiedämme jo, että tämä on nelikulmainen kuvio, jonka sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset ja yhtä suuret. Samanaikaisesti tähän sisältyy myös suunnikkaan lävistäjien ominaisuus leikata toisiaan, samoin kuin itse kuvion kuperuuden merkki: suunnikas on aina samassa tasossa ja toisella puolella suhteellinen mille tahansa sen puolelle.

Niin, tärkeimmät ominaisuudet ja ominaisuudet tunnetaan:

1. nelikulmion kulmien summa on 360 astetta;
2. kuvioiden diagonaalit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Suorakulmio. Tällä kuviolla on kaikki samat ominaisuudet ja piirteet kuin suunnikkaalla, mutta kaikki sen kulmat ovat 90 astetta. Siitä nimi, suorakulmio.

Neliö, sama suuntaviiva, mutta sen kulmat ovat oikeassa, kuten suorakulmiossa. Tästä syystä neliötä kutsutaan harvoin suorakulmioksi. Mutta neliön tärkein erottuva piirre edellä jo lueteltujen lisäksi on, että sen kaikki neljä sivua ovat yhtä suuret.

Trapetsi on erittäin mielenkiintoinen hahmo.. Tämä on myös nelikulmio ja myös kupera. Tässä artikkelissa puolisuunnikkaan on jo otettu huomioon piirustuksen esimerkki. On selvää, että hän on myös kupera. Suurin ero ja vastaavasti puolisuunnikkaan merkki on, että sen sivut eivät välttämättä ole yhtä pitkiä kuin toistensa kanssa, samoin kuin sen kulmien arvo. Tässä tapauksessa kuvio pysyy aina samassa tasossa minkä tahansa suoran suhteen, joka yhdistää sen mitkä tahansa kaksi kärkeä pitkin kuvion muodostavia segmenttejä.

Rombi on yhtä mielenkiintoinen hahmo. Osittain rombia voidaan pitää neliönä. Rombin merkki on se, että sen lävistäjät eivät vain leikkaa, vaan myös jakavat rombin kulmat puoliksi, ja itse diagonaalit leikkaavat suorassa kulmassa, eli ne ovat kohtisuorassa. Jos rombin sivujen pituudet ovat yhtä suuret, niin myös lävistäjät jaetaan puoliksi leikkauskohdassa.

Deltoidit tai kuperat romboidit (rombit) sivuilla voi olla eri pituudet. Mutta samaan aikaan sekä itse rombin pääominaisuudet ja piirteet että kuperuuden ominaisuudet ja ominaisuudet säilyvät edelleen. Toisin sanoen voimme havaita, että diagonaalit jakavat kulmat ja leikkaavat suorassa kulmassa.

Päivän tehtävänä oli pohtia ja ymmärtää, mitä kuperat nelikulmiot ovat, mitä ne ovat ja niiden pääpiirteet ja ominaisuudet. Huomio! On syytä muistaa vielä kerran, että kuperan nelikulmion kulmien summa on 360 astetta. Esimerkiksi kuvioiden ympärysmitta on yhtä suuri kuin kaikkien kuvion muodostavien segmenttien pituuksien summa. Kaavoja nelikulmioiden kehän ja pinta-alan laskemiseksi käsitellään seuraavissa artikkeleissa.

Kuperoiden nelikulmioiden tyypit