Que es una piramide cuadrangular regular. Las principales propiedades de la pirámide correcta.

Los estudiantes se encuentran con el concepto de pirámide mucho antes de estudiar geometría. Culpa a las famosas grandes maravillas egipcias del mundo. Por lo tanto, al comenzar el estudio de este maravilloso poliedro, la mayoría de los estudiantes ya lo imaginan claramente. Todas las vistas anteriores están en la forma correcta. Qué pirámide derecha, y qué propiedades tiene y se discutirán más adelante.

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Definición

Hay muchas definiciones de una pirámide. Desde la antigüedad, ha sido muy popular.

Por ejemplo, Euclides la definió como una figura sólida, formada por planos que, partiendo de uno, convergen en un punto determinado.

Heron proporcionó una formulación más precisa. Insistía en que era una figura que tiene una base y planos en triangulos, convergiendo en un punto.

Depender de interpretación moderna, la pirámide se representa como un poliedro espacial, formado por un cierto k-gon y k figuras planas forma triangular teniendo un punto en común.

Miremos más de cerca, ¿De qué elementos se compone?

• k-gon se considera la base de la figura;
• Las figuras de 3 ángulos sobresalen como los lados de la parte lateral;
• la parte superior, de la que parten los elementos laterales, se denomina parte superior;
• todos los segmentos que conectan el vértice se llaman aristas;
• si se baja una línea recta desde la parte superior al plano de la figura en un ángulo de 90 grados, entonces su parte encerrada en el espacio interior es la altura de la pirámide;
• en cualquier elemento lateral al lado de nuestro poliedro, se puede dibujar una perpendicular, llamada apotema.

El número de aristas se calcula mediante la fórmula 2*k, donde k es el número de lados del k-ágono. Cuántas caras tiene un poliedro como una pirámide se puede determinar mediante la expresión k + 1.

¡Importante! Una pirámide de forma regular es una figura estereométrica cuyo plano base es un k-ágono con lados iguales.

Propiedades básicas

Pirámide correcta tiene muchas propiedades que son exclusivos de ella. Vamos a enumerarlos:

1. La base es una figura de la forma correcta.
2. Los bordes de la pirámide, que limitan los elementos laterales, tienen valores numéricos iguales.
3. Los elementos laterales son triángulos isósceles.
4. La base de la altura de la figura cae en el centro del polígono, mientras que es al mismo tiempo punto central introducido y descrito.
5. Todas las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano base en el mismo ángulo.
6. Todas las superficies laterales tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto a la base.

Gracias a todas las propiedades enumeradas, el rendimiento de los cálculos de elementos se simplifica enormemente. Con base en las propiedades anteriores, prestamos atención a dos signos:

1. En el caso de que el polígono encaje en un círculo, las caras laterales tendrán una base ángulos iguales.
2. Al describir un círculo alrededor de un polígono, todas las aristas de la pirámide que parten del vértice tendrán la misma longitud y ángulos iguales con la base.

El cuadrado se basa

pirámide cuadrangular regular - un poliedro basado en un cuadrado.

Tiene cuatro caras laterales, que son isósceles en apariencia.

En un plano, se representa un cuadrado, pero se basan en todas las propiedades de un cuadrilátero regular.

Por ejemplo, si es necesario unir el lado de un cuadrado con su diagonal, entonces se usa la siguiente fórmula: la diagonal es igual al producto del lado del cuadrado y la raíz cuadrada de dos.

Basado en un triángulo regular

correcto Pirámide triangular es un poliedro cuya base es un 3-ágono regular.

Si la base es un triángulo regular, y las aristas de los lados son iguales a las aristas de la base, entonces tal figura llamado tetraedro.

Todas las caras de un tetraedro son 3-ágonos equiláteros. En este caso, necesita conocer algunos puntos y no perder tiempo en ellos al calcular:

• el ángulo de inclinación de las costillas a cualquier base es de 60 grados;
• el valor de todas las caras internas también es de 60 grados;
• cualquier cara puede actuar como base;
• dibujados dentro de la figura son elementos iguales.

Secciones de un poliedro

En cualquier poliedro hay varios tipos de secciones avión. A menudo en curso escolar Las geometrías funcionan con dos:

• axial;
• base paralela.

Una sección axial se obtiene al cortar un poliedro con un plano que pasa por el vértice, las aristas laterales y el eje. En este caso, el eje es la altura trazada desde el vértice. El plano de corte está limitado por las líneas de intersección con todas las caras, lo que da como resultado un triángulo.

¡Atención! En una pirámide regular, la sección axial es un triángulo isósceles.

Si el plano de corte corre paralelo a la base, entonces el resultado es la segunda opción. En este caso, tenemos en el contexto de una figura similar a la base.

Por ejemplo, si la base es un cuadrado, entonces la sección paralela a la base también será un cuadrado, solo que de menor tamaño.

Al resolver problemas bajo esta condición, se utilizan signos y propiedades de similitud de figuras, basado en el teorema de Tales. En primer lugar, es necesario determinar el coeficiente de similitud.

Si el plano se dibuja paralelo a la base y corta la parte superior del poliedro, entonces se obtiene una pirámide truncada regular en la parte inferior. Entonces se dice que las bases del poliedro truncado son polígonos semejantes. En este caso, las caras laterales son trapecios isósceles. La sección axial también es isósceles.

Para determinar la altura de un poliedro truncado, es necesario dibujar la altura en una sección axial, es decir, en un trapezoide.

Áreas de superficie

Los principales problemas geométricos que se tienen que resolver en el curso de geometría escolar son Encontrar el área de la superficie y el volumen de una pirámide.

Hay dos tipos de superficie:

• área de elementos laterales;
• toda la superficie.

Desde el propio título queda claro de qué se trata. La superficie lateral incluye solo los elementos laterales. De esto se deduce que para encontrarlo, simplemente hay que sumar las áreas de los planos laterales, es decir, las áreas de los 3-ágonos isósceles. Intentemos derivar la fórmula para el área de los elementos laterales:

1. El área de un 3-ágono isósceles es Str=1/2(aL), donde a es el lado de la base, L es la apotema.
2. El número de planos laterales depende del tipo de k-ágono en la base. Por ejemplo, una pirámide cuadrangular regular tiene cuatro planos laterales. Por lo tanto, es necesario sumar las áreas de cuatro figuras Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . La expresión se simplifica de esta manera porque el valor 4a=POS, donde POS es el perímetro de la base. Y la expresión 1/2 * Rosn es su semiperímetro.
3. Entonces, concluimos que el área de los elementos laterales de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base y la apotema: Sside \u003d Rosn * L.

Cuadrado superficie completa la pirámide está formada por la suma de las áreas de los planos laterales y la base: Sp.p. = Slado + Sbase.

En cuanto al área de la base, aquí se usa la fórmula según el tipo de polígono.

Volumen de una pirámide regular es igual al producto del área del plano base y la altura dividido por tres: V=1/3*Sbase*H, donde H es la altura del poliedro.

¿Qué es una pirámide regular en geometría?

Propiedades de una pirámide cuadrangular regular

Una figura tridimensional que aparece a menudo en problemas geométricos es una pirámide. La más simple de todas las figuras de esta clase es triangular. En este artículo analizaremos en detalle las fórmulas básicas y las propiedades del correcto

Representaciones geométricas de la figura.

Antes de proceder a considerar las propiedades de una pirámide triangular regular, echemos un vistazo más de cerca a qué figura en cuestión.

Supongamos que hay un triángulo arbitrario en el espacio tridimensional. Elegimos en este espacio cualquier punto que no esté en el plano del triángulo y lo conectamos a tres vértices del triángulo. Tenemos una pirámide triangular.

Consta de 4 lados, todos los cuales son triángulos. Los puntos donde se unen tres caras se llaman vértices. La figura también tiene cuatro de ellos. Las líneas de intersección de dos caras son aristas. La pirámide en consideración tiene costillas 6. La siguiente figura muestra un ejemplo de esta figura.

Como la figura está formada por cuatro lados, también se le llama tetraedro.

Pirámide correcta

Arriba, se consideró una figura arbitraria de base triangular. Ahora supongamos que dibujamos una línea perpendicular desde la parte superior de la pirámide hasta su base. Este segmento se llama la altura. Es obvio que es posible gastar 4 diferentes alturas para la figura Si la altura interseca la base triangular en el centro geométrico, entonces dicha pirámide se llama pirámide recta.

Una pirámide recta cuya base es un triángulo equilátero se llama pirámide regular. Para ella, los tres triángulos que forman la superficie lateral de la figura son isósceles e iguales entre sí. Un caso especial de una pirámide regular es la situación en la que los cuatro lados son triángulos equiláteros idénticos.

Considere las propiedades de una pirámide triangular regular y dé las fórmulas apropiadas para calcular sus parámetros.

Lado base, altura, arista lateral y apotema

Cualquiera de los dos parámetros enumerados determina de forma única las otras dos características. Damos fórmulas que conectan las cantidades nombradas.

Suponga que el lado de la base de una pirámide triangular regular es a. La longitud de su borde lateral es igual a b. ¿Cuál será la altura de una pirámide triangular regular y su apotema?

Para la altura h obtenemos la expresión:

Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras para el cual son la arista lateral, la altura y 2/3 de la altura de la base.

La apotema de una pirámide es la altura de cualquier triángulo lateral. La longitud del apotema a b es:

un segundo \u003d √ (segundo 2 - un 2 / 4)

De estas fórmulas se puede ver que cualquiera que sea el lado de la base de una pirámide regular triangular y la longitud de su borde lateral, el apotema siempre será mas altura pirámides.

Las dos fórmulas presentadas contienen los cuatro características lineales la figura en cuestión. Por lo tanto, de los dos conocidos, puedes encontrar el resto resolviendo el sistema a partir de las igualdades escritas.

volumen de la figura

Para absolutamente cualquier pirámide (incluida una inclinada), el valor del volumen del espacio limitado por ella se puede determinar conociendo la altura de la figura y el área de su base. La fórmula correspondiente se parece a:

Aplicando esta expresión a la figura en cuestión, obtenemos la siguiente fórmula:

Donde la altura de una pirámide triangular regular es h y el lado de su base es a.

No es difícil obtener una fórmula para el volumen de un tetraedro, en la que todos los lados sean iguales entre sí y representen triángulos equiláteros. En este caso, el volumen de la figura está determinado por la fórmula:

Es decir, está determinada únicamente por la longitud del lado a.

Área de superficie

Seguimos considerando las propiedades de una pirámide regular triangular. área total de todas las caras de una figura se llama área superficial. Es conveniente estudiar este último considerando el desarrollo correspondiente. La siguiente figura muestra cómo se ve una pirámide triangular regular.

Supongamos que conocemos la altura h y el lado de la base a de la figura. Entonces el área de su base será igual a:

Todo estudiante puede obtener esta expresión si recuerda cómo encontrar el área de un triángulo y también tiene en cuenta que la altura de un triángulo equilátero también es una bisectriz y una mediana.

El área de la superficie lateral formada por tres triángulos isósceles idénticos es:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Esta igualdad se sigue de la expresión del apotema de la pirámide en función de la altura y la longitud de la base.

La superficie total de la figura es:

S = S o + S segundo = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Tenga en cuenta que para un tetraedro, en el que los cuatro lados son los mismos triángulos equiláteros, el área S será igual a:

Propiedades de una pirámide triangular truncada regular

Si la parte superior de la pirámide triangular considerada está cortada por un plano paralelo a la base, entonces el resto La parte de abajo se llamará pirámide truncada.

En el caso de una base triangular, como resultado del método de sección descrito, se obtiene un nuevo triángulo, que también es equilátero, pero tiene un lado de menor longitud que el lado de la base. A continuación se muestra una pirámide triangular truncada.

Vemos que esta figura ya está limitada por dos bases triangulares y tres trapecios isósceles.

Supongamos que la altura de la figura resultante es h, las longitudes de los lados de las bases inferior y superior son a 1 y a 2, respectivamente, y la apotema (altura del trapezoide) es igual a a b. Luego, el área de superficie de la pirámide truncada se puede calcular mediante la fórmula:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Aquí el primer término es el área de la superficie lateral, el segundo término es el área de las bases triangulares.

El volumen de la figura se calcula de la siguiente manera:

V = √3/12*h*(un 1 2 + un 2 2 + un 1 *un 2)

Para determinar sin ambigüedades las características de una pirámide truncada, es necesario conocer sus tres parámetros, lo que se demuestra con las fórmulas anteriores.

Una pirámide triangular es una pirámide basada en un triángulo. La altura de esta pirámide es la perpendicular, que se baja desde la parte superior de la pirámide hasta sus bases.

Hallar la altura de una pirámide

¿Cómo encontrar la altura de una pirámide? ¡Muy simple! Para encontrar la altura de cualquier pirámide triangular, puedes usar la fórmula del volumen: V = (1/3)Sh, donde S es el área de la base, V es el volumen de la pirámide, h es su altura. A partir de esta fórmula, obtenga la fórmula de altura: para encontrar la altura de una pirámide triangular, debe multiplicar el volumen de la pirámide por 3 y luego dividir el valor resultante por el área de la base, será: h \u003d (3V ) / S. Dado que la base de una pirámide triangular es un triángulo, puede usar la fórmula para calcular el área de un triángulo. Si conocemos: el área del triángulo S y su lado z, entonces según la fórmula del área S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, donde h es la altura de la pirámide, γ es la arista del triángulo; el ángulo entre los lados del triángulo y los dos lados mismos, luego usando la siguiente fórmula: S = (1/2)γφsinQ, donde γ, φ son los lados del triángulo, encontramos el área del triángulo. El valor del seno del ángulo Q hay que verlo en la tabla de senos, que está en Internet. Luego, sustituimos el valor del área en la fórmula de la altura: h = (2S)/γ. Si la tarea requiere calcular la altura de una pirámide triangular, entonces ya se conoce el volumen de la pirámide.

Pirámide triangular regular

Encuentra la altura de una pirámide triangular regular, es decir, una pirámide en la que todas las caras son triángulos equiláteros, conociendo el tamaño de la arista γ. En este caso, las aristas de la pirámide son los lados de triángulos equiláteros. La altura de una pirámide triangular regular será: h = γ√(2/3), donde γ es la arista de un triángulo equilátero, h es la altura de la pirámide. Si se desconoce el área de la base (S), y solo se dan la longitud de la arista (γ) y el volumen (V) del poliedro, entonces se debe reemplazar la variable necesaria en la fórmula del paso anterior por su equivalente, que se expresa en función de la longitud de la arista. El área de un triángulo (regular) es igual a 1/4 del producto de la longitud del lado de este triángulo, al cuadrado por la raíz cuadrada de 3. Sustituimos esta fórmula en lugar del área de la base en la fórmula anterior , y obtenemos la siguiente fórmula: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). El volumen de un tetraedro se puede expresar en función de la longitud de su arista, luego se pueden eliminar todas las variables de la fórmula para calcular la altura de una figura y solo se puede dejar el lado de la cara triangular de la figura. El volumen de tal pirámide se puede calcular dividiendo por 12 del producto la longitud de su cara al cubo por la raíz cuadrada de 2.

Sustituimos esta expresión en la fórmula anterior, obtenemos la siguiente fórmula para calcular: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Además, un prisma triangular regular se puede inscribir en una esfera, y conociendo solo el radio de la esfera (R), se puede encontrar la altura misma del tetraedro. La longitud de la arista del tetraedro es: γ = 4R/√6. Sustituimos la variable γ por esta expresión en la fórmula anterior y obtenemos la fórmula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. La misma fórmula se puede obtener conociendo el radio (R) de un círculo inscrito en un tetraedro. En este caso, la longitud de la arista del triángulo será igual a 12 razones entre raíz cuadrada de 6 y radio. Sustituimos esta expresión en la fórmula anterior y tenemos: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Cómo encontrar la altura de una pirámide cuadrangular regular

Para responder a la pregunta de cómo encontrar la longitud de la altura de la pirámide, necesitas saber qué es una pirámide regular. Una pirámide cuadrangular es una pirámide basada en un cuadrilátero. Si en las condiciones del problema tenemos: el volumen (V) y el área de la base (S) de la pirámide, entonces la fórmula para calcular la altura del poliedro (h) será la siguiente - divida el volumen multiplicado por 3 por el área S: h \u003d (3V) / S. Con una base cuadrada de una pirámide de volumen (V) y longitud de lado γ conocidos, reemplaza el área (S) de la fórmula anterior por el cuadrado de la longitud de lado: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . La altura de la pirámide regular h = SO pasa justo por el centro del círculo, que está circunscrito cerca de la base. Como la base de esta pirámide es un cuadrado, el punto O es el punto de intersección de las diagonales AD y BC. Tenemos: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Además, encontramos en un triángulo rectángulo SOC (según el teorema de Pitágoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Ahora sabes cómo encontrar la altura de una pirámide regular.

Este video tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea sobre el tema Pyramid. Pirámide correcta. En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición. Considere qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular.

En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición.

Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que está en el plano α, y un punto PAG, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos el punto PAG con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Conseguir norte triangulos: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etc.

Definición. Poliedro RA 1 A 2 ... A n, compuestos de norte-gon Un 1 Un 2...Un y norte triangulos RA 1 A 2, AR 2 A 3 …RA n A n-1 , llamado norte- Pirámide de carbón. Arroz. uno.

Arroz. uno

Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).

R- la parte superior de la pirámide.

A B C D- la base de la pirámide.

REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.

AB- borde base.

desde un punto R dejar caer la perpendicular enfermero en el plano de tierra A B C D. La perpendicular dibujada es la altura de la pirámide.

Arroz. 2

La superficie total de la pirámide está formada por la superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales, y el área de la base:

S completo \u003d S lateral + S principal

Una pirámide se dice correcta si:

• su base es un polígono regular;
• el segmento que conecta la parte superior de la pirámide con el centro de la base es su altura.

Explicación sobre el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular

Considere una pirámide cuadrangular regular PABCD(Fig. 3).

R- la parte superior de la pirámide. base de la piramide A B C D- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto O, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Significa, RO es la altura de la pirámide.

Arroz. 3

Explicación: en lo correcto norte-gon, el centro de la circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia circunscrita coinciden. Este centro se llama el centro del polígono. A veces dicen que la parte superior se proyecta hacia el centro.

La altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su vértice, se llama apotema y denotado ha.

1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;

2. las caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Probemos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.

Dado: RABSD- pirámide cuadrangular regular,

A B C D- cuadrado,

RO es la altura de la pirámide.

Demostrar:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Ver Fig. 4.

Arroz. 4

Prueba.

RO es la altura de la pirámide. es decir, recto RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directa AO, VO, SO y HACER acostado en él. Entonces los triángulos ROA, ROV, ROS, BARRA- rectangular.

Considere un cuadrado A B C D. De las propiedades de un cuadrado se sigue que AO = BO = CO = HACER.

Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, BARRA pierna RO- general y piernas AO, VO, SO y HACER iguales, entonces estos triángulos son iguales en dos catetos. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los segmentos, RA = PB = PC = PD. El punto 1 está probado.

Segmentos AB y Sol son iguales porque son lados del mismo cuadrado, RA = RV = PC. Entonces los triángulos AVR y videograbadora - isósceles e iguales en tres lados.

De manera similar, obtenemos que los triángulos PAA, BCP, CDP, PAD son isósceles e iguales, lo cual se exigió probar en el punto 2.

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema:

Para la demostración, elegimos una pirámide triangular regular.

Dado: RAVS es una pirámide triangular regular.

AB = BC = CA.

RO- altura.

Demostrar: . Véase la figura. 5.

Arroz. 5

Prueba.

RAVS es una pirámide triangular regular. Es decir AB= CA = BC. Permitir O- el centro del triangulo A B C, entonces RO es la altura de la pirámide. La base de la pirámide es un triángulo equilátero. A B C. Darse cuenta de .

triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Entonces, el área de la superficie lateral de la pirámide es:

Lado S = 3S RAB

El teorema ha sido probado.

El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m, encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.

Dado: pirámide cuadrangular regular A B C D,

A B C D- cuadrado,

r= 3m,

RO- la altura de la pirámide,

RO= 4 metros

Encontrar: lado S. Véase la figura. 6.

Arroz. 6

Decisión.

De acuerdo con el teorema probado, .

Encuentra primero el lado de la base AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.

Entonces, m.

Halla el perímetro del cuadrado A B C D de 6 m de lado:

Considere un triángulo BCD. Permitir METRO- lado medio corriente continua. Como O- medio BD, entonces (metro).

Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Es decir, RM- la mediana, y por lo tanto la altura en el triángulo DPC. Entonces RM- apotema de la pirámide.

RO es la altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto la directa OM acostado en él. Encontremos una apotema RM de un triángulo rectángulo ROM.

Ahora podemos encontrar la superficie lateral de la pirámide:

Responder: 60 m2.

El radio de un círculo circunscrito cerca de la base de una pirámide triangular regular es m. El área de la superficie lateral es de 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.

Dado: ABCP- pirámide triangular regular,

AB = BC = SA,

R= m,

Lado S = 18 m 2.

Encontrar: . Véase la figura. 7.

Arroz. 7

Decisión.

en un triangulo rectangulo A B C dado el radio de la circunferencia circunscrita. Busquemos un lado AB este triángulo usando el teorema del seno.

Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.

Según el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde ha- apotema de la pirámide. Entonces:

Responder: 4 metros

Entonces, examinamos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular, demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección, nos familiarizaremos con la pirámide truncada.

Bibliografía

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2. Portal de Internet "Festival de Ideas Pedagógicas "Primero de Septiembre" ()
3. Portal de Internet "Slideshare.net" ()

Tarea

1. ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
2. Demostrar que las aristas que no se cortan de una pirámide regular son perpendiculares.
3. Encuentre el valor del ángulo diedro en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular, si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
4. RAVS es una pirámide triangular regular. Construya el ángulo lineal del ángulo diedro en la base de la pirámide.

Hipótesis: creemos que la perfección de la forma de la pirámide se debe a leyes matematicas incrustado en su forma.

Objetivo: examinando la piramide cuerpo geométrico, para explicar la perfección de su forma.

Tareas:

1. Dé una definición matemática de una pirámide.

2. Estudia la pirámide como cuerpo geométrico.

3. Comprender qué conocimiento matemático pusieron los egipcios en sus pirámides.

Preguntas privadas:

1. ¿Qué es una pirámide como cuerpo geométrico?

2. ¿Cómo se puede explicar matemáticamente la forma única de la pirámide?

3. ¿Qué explica las maravillas geométricas de la pirámide?

4. ¿Qué explica la perfección de la forma de la pirámide?

Definición de pirámide.

PIRÁMIDE (del griego pyramis, género n. pyramidos) - un poliedro, cuya base es un polígono, y las caras restantes son triángulos con un vértice común (figura). Según el número de vértices de la base, las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc.

PIRÁMIDE - una estructura monumental que tiene la forma geométrica de una pirámide (a veces también escalonada o en forma de torre). Las tumbas gigantes de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo se llaman pirámides. e., así como antiguos pedestales americanos de templos (en México, Guatemala, Honduras, Perú) asociados con cultos cosmológicos.

Es posible que Palabra griega"pirámide" proviene de la expresión egipcia per-em-us, es decir, de un término que significaba la altura de la pirámide. El destacado egiptólogo ruso V. Struve creía que el griego “puram…j” proviene del antiguo egipcio “p”-mr”.

de la historia. Habiendo estudiado el material en el libro de texto "Geometría" de los autores de Atanasyan. Butuzova y otros, aprendimos que: Un poliedro compuesto por n-ágono A1A2A3 ... An y n triángulos RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 se llama pirámide. El polígono A1A2A3...An es la base de la pirámide, y los triángulos RA1A2, RA2A3,..., PAnA1 son las caras laterales de la pirámide, P es la cima de la pirámide, los segmentos RA1, RA2,... ., RAn son los bordes laterales.

Sin embargo, tal definición de la pirámide no siempre existió. Por ejemplo, el matemático griego antiguo, el autor de los tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides, define una pirámide como una figura sólida limitada por planos que convergen de un plano a un punto.

Pero esta definición ya ha sido criticada en la antigüedad. Entonces Garza sugirió la siguiente definición pirámides: "Esta es una figura limitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono".

Nuestro grupo, comparando estas definiciones, llegó a la conclusión de que no tienen una formulación clara del concepto de “fundamento”.

Estudiamos estas definiciones y encontramos la definición de Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra “Elements of Geometry” define la pirámide de la siguiente manera: “La pirámide es una figura corpórea formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en diferentes lados de un base plana."

nos parece que última definición da una idea clara de la pirámide, ya que habla de que la base es plana. Otra definición de pirámide apareció en un libro de texto del siglo XIX: “una pirámide es un ángulo sólido cortado por un plano”.

Pirámide como cuerpo geométrico.

Ese. Una pirámide es un poliedro, una de cuyas caras (base) es un polígono, las otras caras (lados) son triángulos que tienen un vértice común (la parte superior de la pirámide).

La perpendicular trazada desde la parte superior de la pirámide al plano de la base se llama altoh pirámides.

Además de una pirámide arbitraria, hay pirámide derecha, cuya base es un polígono regular y pirámide truncada.

En la figura - la pirámide PABCD, ABCD - su base, PO - altura.

superficie completa Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas sus caras.

Slleno = Slado + Sbase, donde lado es la suma de las áreas de las caras laterales.

volumen piramidal se encuentra de acuerdo con la fórmula:

V=1/3Sbase h, donde Sosn. - área de la base h- altura.

El eje de una pirámide regular es una línea recta que contiene su altura.
Apotema ST - la altura de la cara lateral de una pirámide regular.

El área de la cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. =1/2P h, donde P es el perímetro de la base, h- la altura de la cara lateral (la apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es atravesada por el plano A'B'C'D' paralelo a la base, entonces:

1) los bordes laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales;

2) en la sección se obtiene un polígono A'B'C'D', similar a la base;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" ancho="287" alto="151">

Las bases de la pirámide truncada son polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapezoides.

Altura pirámide truncada - la distancia entre las bases.

Volumen truncado la piramide se encuentra por la formula:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> El área de superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Slado.= ½(P+P') h, donde P y P’ son los perímetros de las bases, h- la altura de la cara lateral (la apotema de un regular truncado por las fiestas

Secciones de la pirámide.

Las secciones de la pirámide por planos que pasan por su parte superior son triángulos.

La sección que pasa por dos aristas laterales no adyacentes de la pirámide se llama sección diagonal.

Si la sección pasa por un punto del borde lateral y del lado de la base, entonces este lado será su huella en el plano de la base de la pirámide.

Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide, y una traza dada de la sección en el plano de la base, entonces la construcción debe realizarse de la siguiente manera:

encuentre el punto de intersección del plano de la cara dada y el trazo de la sección de la pirámide y designarlo;

construir una recta que pase por Punto dado y el punto de intersección resultante;

· Repita estos pasos para las siguientes caras.

, que corresponde a la razón de los catetos de un triángulo rectángulo 4:3. Esta proporción de los catetos corresponde al conocido triángulo rectángulo de lados 3:4:5, que se denomina triángulo "perfecto", "sagrado" o "egipcio". Según los historiadores, al triángulo "egipcio" se le dio un significado mágico. Plutarco escribió que los egipcios compararon la naturaleza del universo con un triángulo "sagrado"; simbólicamente asimilaron la pata vertical al marido, la base a la mujer y la hipotenusa a lo que nace de ambos.

Para un triángulo 3:4:5, la igualdad es verdadera: 32 + 42 = 52, lo que expresa el teorema de Pitágoras. ¿No es este el teorema que querían perpetuar sacerdotes egipcios, construyendo una pirámide basada en un triángulo 3:4:5? Es difícil encontrar un mejor ejemplo para ilustrar el teorema de Pitágoras, que los egipcios conocían mucho antes de que Pitágoras lo descubriera.

Así, los ingeniosos creadores Pirámides egipcias buscaron impresionar a los descendientes lejanos con la profundidad de su conocimiento, y lo lograron eligiendo como la "idea geométrica principal" para la pirámide de Keops - "dorada" triángulo rectángulo, y para la pirámide de Khafre, el triángulo "sagrado" o "egipcio".

Muy a menudo, en sus investigaciones, los científicos utilizan las propiedades de las pirámides con las proporciones de la Sección Dorada.

en matematica diccionario enciclopédico se da la siguiente definición de la Sección Dorada - esta es una división armónica, división en razón extrema y media - división del segmento AB en dos partes de tal manera que la mayor parte de su AC es la proporcional media entre todo el segmento AB y su parte menor CB.

Hallazgo algebraico de la sección áurea de un segmento AB = un se reduce a resolver la ecuación a: x = x: (a - x), de donde x es aproximadamente igual a 0.62a. La relación x se puede expresar como fracciones 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0.618, donde 2, 3, 5, 8, 13, 21 son números de Fibonacci.

La construcción geométrica de la Sección Dorada del segmento AB se lleva a cabo de la siguiente manera: en el punto B, se restaura la perpendicular a AB, se coloca el segmento BE \u003d 1/2 AB, A y E están conectados, DE \ u003d BE se pospone y, finalmente, AC \u003d AD, luego se cumple la igualdad AB: CB = 2: 3.

proporción áurea a menudo se usa en obras de arte, arquitectura, que se encuentran en la naturaleza. ejemplos vívidos son la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también brindan ejemplos de la proporción áurea, por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros tienen una proporción de ancho a largo cercana a 0,618. Considerando la disposición de las hojas en un tallo común de plantas, se puede notar que entre cada dos pares de hojas, la tercera se ubica en el lugar de la Proporción Áurea (diapositivas). Cada uno de nosotros "lleva" la Proporción Áurea con nosotros "en nuestras manos": esta es la proporción de las falanges de los dedos.

Gracias al descubrimiento de varios papiros matemáticos, los egiptólogos han aprendido algo sobre los sistemas de cálculo y medidas del antiguo Egipto. Las tareas contenidas en ellos fueron resueltas por escribas. Uno de los más famosos es el Papiro Matemático Rhind. Al estudiar estos acertijos, los egiptólogos aprendieron cómo los antiguos egipcios se enfrentaron a varias cantidades, que surgieron en el cálculo de medidas de peso, longitud y volumen, en las que se usaban con frecuencia las fracciones, así como también en cómo se trataban los ángulos.

Los antiguos egipcios usaban un método para calcular ángulos basado en la relación entre la altura y la base de un triángulo rectángulo. Expresaron cualquier ángulo en el lenguaje del gradiente. El gradiente de la pendiente se expresó como una relación de un número entero, llamado "seked". En Matemáticas en la época de los faraones, Richard Pillins explica: “La sequedad de una pirámide regular es la inclinación de cualquiera de las cuatro caras triangulares con respecto al plano de la base, medida por un número n de unidades horizontales por unidad vertical de elevación. . Así, esta unidad de medida es equivalente a nuestra moderna cotangente del ángulo de inclinación. Por lo tanto, la palabra egipcia "seked" está relacionada con nuestro palabra moderna"degradado"".

La clave numérica de las pirámides radica en la relación entre su altura y la base. EN en terminos practicos- esta es la forma más fácil de hacer las plantillas necesarias para verificar constantemente el ángulo correcto de inclinación durante la construcción de la pirámide.

Los egiptólogos estarían encantados de convencernos de que cada faraón estaba ansioso por expresar su individualidad, de ahí las diferencias en los ángulos de inclinación de cada pirámide. Pero podría haber otra razón. Quizás todos querían encarnar diferentes asociaciones simbólicas escondidas en diferentes proporciones. Sin embargo, el ángulo de la pirámide de Khafre (basado en el triángulo (3:4:5) aparece en los tres problemas presentados por las pirámides en el Papiro Matemático Rhind). Así que esta actitud era bien conocida por los antiguos egipcios.

Para ser justos con los egiptólogos que afirman que los antiguos egipcios no conocían el triángulo 3:4:5, digamos que nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa 5. Pero los problemas matemáticos relacionados con las pirámides siempre se resuelven sobre la base del ángulo seked, la relación entre la altura y la base. Dado que nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa, se concluyó que los egipcios nunca calcularon la longitud del tercer lado.

Las proporciones de altura a base utilizadas en las pirámides de Giza sin duda eran conocidas por los antiguos egipcios. Es posible que estas proporciones para cada pirámide se eligieran arbitrariamente. Sin embargo, esto contradice la importancia otorgada al simbolismo numérico en todos los tipos de escritura egipcia. Artes visuales. Es muy probable que tales relaciones tuvieran una importancia significativa, ya que expresaban ideas religiosas específicas. En otras palabras, todo el complejo de Giza estaba sujeto a un diseño coherente, diseñado para reflejar algún tipo de tema divino. Esto explicaría por qué los diseñadores eligieron diferentes ángulos para las tres pirámides.

En El secreto de Orión, Bauval y Gilbert presentaron pruebas convincentes de la conexión de las pirámides de Giza con la constelación de Orión, en particular con las estrellas del cinturón de Orión. La misma constelación está presente en el mito de Isis y Osiris, y allí Es motivo para considerar cada pirámide como una imagen de una de las tres deidades principales: Osiris, Isis y Horus.

MILAGROS "GEOMÉTRICOS".

Entre las grandiosas pirámides de Egipto, un lugar especial lo ocupa Gran Pirámide del Faraón Keops (Khufu). Antes de proceder al análisis de la forma y el tamaño de la pirámide de Keops, debemos recordar qué sistema de medidas utilizaron los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: "codo" (466 mm), igual a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalía a cuatro "dedos" (16,6 mm).

Analicemos el tamaño de la pirámide de Keops (Fig. 2), siguiendo el razonamiento dado en el maravilloso libro del científico ucraniano Nikolai Vasyutinskiy "Proporción áurea" (1990).

La mayoría de los investigadores están de acuerdo en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo, novia es igual a L\u003d 233,16 m Este valor corresponde casi exactamente a 500 "codos". El cumplimiento total de 500 "codos" será si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.

Altura de la pirámide ( H) es estimado por los investigadores de manera diferente de 146.6 a 148.2 m Y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas las proporciones de sus elementos geométricos cambian. ¿Cuál es la razón de las diferencias en la estimación de la altura de la pirámide? El caso es que, en rigor, la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy tiene un tamaño aproximado de 10 ´ 10 m, y hace un siglo equivalía a 6 ´ 6 m.Es obvio que la parte superior de la pirámide fue desmantelada, y no corresponde a la original.

Al estimar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el "calado" de la estructura. Detrás largo tiempo bajo la influencia de una presión colosal (alcanzando 500 toneladas por 1 m2 de la superficie inferior), la altura de la pirámide disminuyó en comparación con su altura original.

¿Cuál era la altura original de la pirámide? Esta altura se puede recrear si encuentra la "idea geométrica" ​​básica de la pirámide.

Figura 2.

En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a un= 51°51". La mayoría de los investigadores todavía reconocen este valor. El valor indicado del ángulo corresponde a la tangente (tg un), igual a 1.27306. Este valor corresponde a la relación de la altura de la pirámide C.A. a la mitad de su base CB(Fig.2), es decir C.A. / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa!.png" width="25" height="24">= 1,272. Comparando este valor con el valor tg un= 1.27306, vemos que estos valores están muy cerca uno del otro. Si tomamos el ángulo un\u003d 51 ° 50", es decir, reducirlo en solo uno minuto de arco, entonces el valor un será igual a 1.272, es decir, coincidirá con el valor de . Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus medidas y aclaró que el valor del ángulo un=51°50".

Estas medidas han llevado a los investigadores a la siguiente muy hipótesis interesante: el triángulo ASV de la pirámide de Keops se basó en la relación AC / CB = = 1,272!

Considere ahora un triángulo rectángulo A B C, en el que la proporción de piernas C.A. / CB= (Fig.2). Si ahora las longitudes de los lados del rectángulo A B C denotamos por X, y, z, y también tenga en cuenta que la proporción y/X= , entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular con la fórmula:

Si acepta X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ancho="143" alto="27">

figura 3 Triángulo rectángulo "dorado".

Un triángulo rectángulo en el que los lados están relacionados como t triángulo rectángulo :dorado".

Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la "idea geométrica" ​​principal de la pirámide de Keops es el triángulo rectángulo "dorado", entonces a partir de aquí es fácil calcular la altura del "diseño" de la pirámide de Keops. es igual a:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Derivemos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que se derivan de la hipótesis "dorada". En particular, encontramos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud de la pierna. CB por unidad, es decir: CB= 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide novia= 2, y el área de la base E F G H será igual a SEFGH = 4.

Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops Dakota del Sur. porque la altura AB triángulo AEF es igual a t, entonces el área de la cara lateral será igual a Dakota del Sur = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4 t, ¡y la relación entre el área externa total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea! Eso es lo que es - el principal secreto geométrico de la pirámide de Keops!

El grupo de los "milagros geométricos" de la pirámide de Keops incluye propiedades reales e inverosímiles de la relación entre diferentes dimensiones en la pirámide.

Por regla general, se obtienen en busca de alguna "constante", en particular, el número "pi" (número de Ludolf), igual a 3,14159...; bases de logaritmos naturales "e" (número de Napier), igual a 2,71828...; el número "F", el número de la "sección áurea", igual, por ejemplo, 0,618...etc.

Puede nombrar, por ejemplo: 1) Propiedad de Heródoto: (Altura) 2 \u003d 0.5 st. principal x Apotema; 2) Propiedad de V. Precio: Altura: 0,5 cv. osn \u003d Raíz cuadrada de "Ф"; 3) Propiedad de M. Eist: Perímetro de la base: 2 Altura = "Pi"; en una interpretación diferente - 2 cdas. principal : Altura = "Pi"; 4) Propiedad de G. Reber: Radio de la circunferencia inscrita: 0,5 st. principal = "F"; 5) Propiedad de K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 calle principal X Apotema) + (calle principal) 2). Etc. Puede encontrar muchas de esas propiedades, especialmente si conecta dos pirámides adyacentes. Por ejemplo, como "Propiedades de A. Arefiev" se puede mencionar que la diferencia entre los volúmenes de la pirámide de Keops y la pirámide de Khafre es igual al doble del volumen de la pirámide de Menkaure...

Muchos posiciones interesantes, en particular, sobre la construcción de pirámides según la "sección dorada" se describen en los libros de D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" y M. Geek "Estética de la proporción en la naturaleza y el arte". Recuerda que la "sección áurea" es la división del segmento en tal proporción, cuando la parte A es tantas veces mayor que la parte B, cuantas veces A es menor que todo el segmento A + B. La razón A/B es igual al número "Ф" == 1.618... El uso de la "sección dorada" se indica no solo en pirámides individuales, sino en todo el complejo de pirámides en Giza.

Lo más curioso, sin embargo, es que la misma pirámide de Keops simplemente "no puede" albergar a tantos propiedades milagrosas. Tomando una determinada propiedad una por una, puede "ajustarla", pero de una vez no encajan, no coinciden, se contradicen entre sí. Por lo tanto, si, por ejemplo, al verificar todas las propiedades, inicialmente se toma el mismo lado de la base de la pirámide (233 m), entonces las alturas de las pirámides con diferentes propiedades también serán diferentes. En otras palabras, existe una cierta "familia" de pirámides, exteriormente similares a las de Keops, pero correspondientes a diferentes propiedades. Tenga en cuenta que no hay nada particularmente milagroso en las propiedades "geométricas"; mucho surge de forma puramente automática, de las propiedades de la figura misma. Un "milagro" debe considerarse solo algo obviamente imposible para los antiguos egipcios. Esto, en particular, incluye los milagros "cósmicos", en los que las medidas de la pirámide de Keops o el complejo piramidal de Giza se comparan con algunas medidas astronómicas y se indican números "pares": un millón de veces, mil millones de veces menos y pronto. Consideremos algunas relaciones "cósmicas".

Una de las afirmaciones es esta: "si dividimos el lado de la base de la pirámide por la longitud exacta del año, obtenemos exactamente la 10 millonésima parte del eje de la tierra". Calcula: divide 233 por 365, nos sale 0,638. El radio de la Tierra es de 6378 km.

Otra declaración es en realidad lo contrario de la anterior. F. Noetling señaló que si usa el "codo egipcio" inventado por él, entonces el lado de la pirámide corresponderá a "la duración más precisa año solar, expresado a la milmillonésima parte de un día más cercana" - 365.540.903.777.

Declaración de P. Smith: "La altura de la pirámide es exactamente una milmillonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol". Aunque generalmente se toma la altura de 146,6 m, Smith la tomó como 148,2 m. Según las mediciones de radar modernas, el semieje mayor de la órbita terrestre es 149.597.870 + 1,6 km. Esta es la distancia media de la Tierra al Sol, pero en el perihelio es 5.000.000 de kilómetros menos que en el afelio.

Última declaración curiosa:

"¿Cómo explicar que las masas de las pirámides de Keops, Khafre y Menkaure estén relacionadas entre sí, como las masas de los planetas Tierra, Venus, Marte?" Calculemos. Las masas de las tres pirámides están relacionadas como: Khafre - 0.835; Cheops - 1,000; Mikerín - 0.0915. Las proporciones de las masas de los tres planetas: Venus - 0.815; Tierra - 1,000; Marte - 0.108.

Entonces, a pesar del escepticismo, notemos la conocida armonía de la construcción de declaraciones: 1) la altura de la pirámide, como una línea que "va al espacio", corresponde a la distancia de la Tierra al Sol; 2) el lado de la base de la pirámide más cercano "al sustrato", es decir, a la Tierra, es responsable del radio terrestre y de la circulación terrestre; 3) los volúmenes de la pirámide (léase - masas) corresponden a la proporción de las masas de los planetas más cercanos a la Tierra. Se puede rastrear un "cifrado" similar, por ejemplo, en el lenguaje de las abejas, analizado por Karl von Frisch. Sin embargo, nos abstenemos de comentar sobre esto por ahora.

FORMA DE LAS PIRÁMIDES

La famosa forma tetraédrica de las pirámides no apareció de inmediato. Los escitas hicieron entierros en forma de colinas de tierra: túmulos. Los egipcios construyeron "colinas" de piedra: pirámides. Esto sucedió por primera vez después de la unificación del Alto y el Bajo Egipto, en el siglo 28 aC, cuando el fundador de la III dinastía, el faraón Djoser (Zoser), se enfrentó a la tarea de fortalecer la unidad del país.

Y aquí, según los historiadores, el "nuevo concepto de deificación" del zar jugó un papel importante en el fortalecimiento del poder central. Aunque los entierros reales se distinguían por un mayor esplendor, en principio no diferían de las tumbas de los nobles de la corte, eran las mismas estructuras: mastabas. Sobre la cámara con el sarcófago que contenía la momia, se vertió una colina rectangular de pequeñas piedras, donde luego se colocó un pequeño edificio de grandes bloques de piedra - "mastaba" (en árabe - "banco"). En el sitio de la mastaba de su predecesor, Sanakht, el faraón Djoser erigió la primera pirámide. Estaba escalonado y era una etapa de transición visible de una forma arquitectónica a otra, de una mastaba a una pirámide.

De esta manera, el faraón fue "elevado" por el sabio y arquitecto Imhotep, quien luego fue considerado un mago e identificado por los griegos con el dios Asclepio. Era como si se erigieran seis mastabas en fila. Además, la primera pirámide ocupaba un área de 1125 x 115 metros, con una altura estimada de 66 metros (según las medidas egipcias - 1000 "palmas"). Al principio, el arquitecto planeó construir una mastaba, pero no oblonga, sino cuadrada en planta. Más tarde se amplió, pero como la extensión se hizo más baja, se formaron dos escalones, por así decirlo.

Esta situación no satisfizo al arquitecto, y en la plataforma superior de una enorme mastaba plana, Imhotep colocó tres más, disminuyendo gradualmente hacia la parte superior. La tumba estaba debajo de la pirámide.

Se conocen varias pirámides escalonadas más, pero más tarde los constructores pasaron a construir pirámides tetraédricas más familiares. ¿Por qué, sin embargo, no triangular o, digamos, octogonal? Una respuesta indirecta la da el hecho de que casi todas las pirámides están perfectamente orientadas a los cuatro puntos cardinales, y por lo tanto tienen cuatro lados. Además, la pirámide era una "casa", un caparazón de una cámara funeraria cuadrangular.

Pero, ¿qué provocó el ángulo de inclinación de las caras? En el libro "El principio de las proporciones" se dedica un capítulo entero a esto: "Qué podría determinar los ángulos de las pirámides". En particular, se indica que “la imagen sobre la que gravitan las grandes pirámides del Reino Antiguo es un triángulo con un ángulo recto en la parte superior.

En el espacio, es un semi-octaedro: una pirámide en la que las aristas y los lados de la base son iguales, las caras son triángulos equiláteros.Ciertas consideraciones se dan sobre este tema en los libros de Hambidge, Geek y otros.

¿Cuál es la ventaja del ángulo del semioctaedro? Según las descripciones de arqueólogos e historiadores, algunas pirámides colapsaron por su propio peso. Lo que se necesitaba era un "ángulo de durabilidad", un ángulo que fuera el más energéticamente fiable. De manera puramente empírica, este ángulo se puede tomar del ángulo del vértice en una pila de arena seca que se desmorona. Pero para obtener datos precisos, debe usar el modelo. Tomando cuatro bolas firmemente fijadas, debe colocarles la quinta y medir los ángulos de inclinación. Sin embargo, aquí puede cometer un error, por lo tanto, un cálculo teórico ayuda: debe conectar los centros de las bolas con líneas (mentalmente). En la base, obtienes un cuadrado con un lado igual al doble del radio. El cuadrado será sólo la base de la pirámide, cuya longitud de aristas será también igual al doble del radio.

Así, un empaquetamiento denso de bolas del tipo 1:4 nos dará un semi-octaedro regular.

Sin embargo, ¿por qué muchas pirámides, que gravitan hacia una forma similar, no la conservan? Probablemente las pirámides estén envejeciendo. Contrariamente al famoso dicho:

"Todo en el mundo tiene miedo del tiempo, y el tiempo tiene miedo de las pirámides", los edificios de las pirámides deben envejecer, pueden y deben tener lugar no solo los procesos de meteorización externa, sino también los procesos de "contracción" interna. , a partir del cual las pirámides pueden volverse más bajas. La contracción también es posible porque, como descubrieron los trabajos de D. Davidovits, los antiguos egipcios usaban la tecnología de hacer bloques a partir de virutas de cal, en otras palabras, a partir de "concreto". Son estos procesos los que podrían explicar el motivo de la destrucción de la pirámide de Medum, ubicada a 50 km al sur de El Cairo. Tiene 4600 años, las dimensiones de la base son 146 x 146 m, la altura es de 118 m. “¿Por qué está tan mutilado?”, pregunta V. Zamarovsky, “las referencias habituales a los efectos destructivos del tiempo y “el uso de la piedra para otros edificios” no encajan aquí.

Después de todo, la mayoría de sus bloques y losas de paramento han permanecido en su lugar hasta el día de hoy, en ruinas a sus pies. "Como veremos, una serie de disposiciones hacen pensar incluso en el hecho de que pirámide famosa Keops también "encogido". En cualquier caso, en todas las imágenes antiguas, las pirámides son puntiagudas...

La forma de las pirámides también podría generarse por imitación: unos patrones naturales, “perfección milagrosa”, digamos, unos cristales en forma de octaedro.

Dichos cristales podrían ser cristales de diamantes y de oro. De rasgo un gran número de signos de "intersección" para conceptos tales como Faraón, Sol, Oro, Diamante. En todas partes: noble, brillante (brillante), genial, impecable, etc. Las similitudes no son casuales.

El culto solar, como sabéis, era una parte importante de la religión. antiguo Egipto. "No importa cómo traduzcamos el nombre de la mayor de las pirámides, - se señala en uno de los manuales modernos - "Sky Khufu" o "Sky Khufu", significaba que el rey es el sol. Si Khufu, en el brillo de su poder, se imaginó a sí mismo como un segundo sol, entonces su hijo Jedef-Ra se convirtió en el primero de los reyes egipcios que comenzó a llamarse "el hijo de Ra", es decir, el hijo del Sol. El sol fue simbolizado por casi todos los pueblos como "metal solar", oro. "Gran disco de oro brillante" - así llamaron los egipcios a nuestro luz. Los egipcios conocían muy bien el oro, conocían sus formas nativas, donde los cristales de oro pueden aparecer en forma de octaedros.

Como "muestra de formas", la "piedra solar", un diamante, también es interesante aquí. El nombre del diamante proviene de Mundo árabe, "almas" - el más duro, más duro, indestructible. Los antiguos egipcios conocían el diamante y sus propiedades son bastante buenas. Según algunos autores, incluso utilizaron tubos de bronce con fresas de diamante para perforar.

Actualmente, el principal proveedor de diamantes es Sudáfrica, pero África occidental también es rica en diamantes. El territorio de la República de Malí incluso se llama allí la "Tierra de los Diamantes". Mientras tanto, es en el territorio de Malí donde viven los Dogon, en quienes los partidarios de la hipótesis de la paleovisita depositan muchas esperanzas (ver más abajo). Los diamantes no pudieron ser la razón de los contactos de los antiguos egipcios con esta región. Sin embargo, de una forma u otra, pero, es posible que fuera precisamente copiando los octaedros de los cristales de diamante y oro que los antiguos egipcios deificaron por lo tanto "indestructibles" como el diamante y "brillantes" como el oro faraones, los hijos del sol , comparable sólo a la mayoría maravillosas creaciones naturaleza.

Conclusión:

Habiendo estudiado la pirámide como un cuerpo geométrico, familiarizándonos con sus elementos y propiedades, nos convencimos de la validez de la opinión sobre la belleza de la forma de la pirámide.

Como resultado de nuestra investigación, llegamos a la conclusión de que los egipcios, habiendo recopilado el conocimiento matemático más valioso, lo plasmaron en una pirámide. Por lo tanto, la pirámide es verdaderamente la creación más perfecta de la naturaleza y el hombre.

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