¿Cuál es la tangente del ángulo de inclinación? Derivada de función. El significado geométrico de la derivada.

El tema "El coeficiente angular de la tangente como la tangente del ángulo de inclinación" en el examen de certificación recibe varias tareas a la vez. Dependiendo de su condición, se le puede solicitar al graduado que proporcione una respuesta completa y una breve. En preparación para pasando el examen en matemáticas, el estudiante definitivamente debe repetir las tareas en las que necesita calcular Pendiente tangente.

Hacer esto te ayudará portal educativo"Shkolkovo". Nuestros expertos han preparado y presentado material teórico y práctico lo más accesible posible. Al familiarizarse con él, los graduados con cualquier nivel de capacitación podrán resolver con éxito problemas relacionados con las derivadas, en los que se requiere encontrar la tangente de la pendiente de la tangente.

Momentos basicos

Para encontrar la solución correcta y racional a tales tareas en el examen, debe recordar definición básica: la derivada es la tasa de cambio de la función; es igual a la tangente de la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en un punto determinado. Es igualmente importante completar el dibujo. Te permitirá encontrar la decisión correcta USE problemas sobre la derivada, en los que se requiere calcular la tangente de la pendiente de la tangente. Para mayor claridad, es mejor trazar un gráfico en el plano OXY.

Si ya se ha familiarizado con el material básico sobre el tema de la derivada y está listo para comenzar a resolver problemas para calcular la tangente del ángulo de inclinación de una tangente, similar a USAR asignaciones Lo puedes hacer en linea. Para cada tarea, por ejemplo, tareas sobre el tema "Relación de la derivada con la velocidad y la aceleración del cuerpo", escribimos la respuesta correcta y el algoritmo de solución. En este caso, los estudiantes pueden practicar la realización de tareas. niveles diferentes dificultades. Si es necesario, el ejercicio se puede guardar en la sección "Favoritos", para que luego puedas discutir la decisión con el profesor.

Aprende a sacar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un cierto punto que se encuentra en el gráfico de esta función. En este caso, el gráfico puede ser una línea recta o una línea curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de la función en un punto particular en el tiempo. Recuerda reglas generales para lo cual se toman derivados, y solo entonces se procede al siguiente paso.

• Leer el artículo.
• Cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, la derivada ecuación exponencial, descrito . Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos descritos allí.

Aprenda a distinguir entre problemas en los que la pendiente debe calcularse en términos de la derivada de una función. En las tareas, no siempre se sugiere encontrar la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, se le puede pedir que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A(x, y). También se le puede pedir que encuentre la pendiente de la tangente en el punto A(x, y). En ambos casos, es necesario tomar la derivada de la función.

El coeficiente de la pendiente es recto. En este artículo, consideraremos tareas relacionadas con el plano de coordenadas incluidas en el examen de matemáticas. Estas son tareas para:

- determinación de la pendiente de una línea recta, cuando se conocen dos puntos por los que pasa;
- determinación de la abscisa o de la ordenada del punto de intersección de dos rectas en el plano.

Lo que es la abscisa y la ordenada de un punto se describió en esta sección. En él, ya hemos considerado varios problemas relacionados con el plano de coordenadas. ¿Qué debe entenderse para el tipo de tareas bajo consideración? Un poco de teoría.

La ecuación de una recta en el plano de coordenadas tiene la forma:

dónde k – esta es la pendiente de la recta.

¡Próximo momento! La pendiente de una recta es igual a la tangente de la pendiente de la recta. Este es el ángulo entre la línea dada y el eje.Oh.

Se encuentra entre 0 y 180 grados.

Es decir, si reducimos la ecuación de una recta a la forma y = kx + b, luego, además, siempre podemos determinar el coeficiente k (coeficiente de pendiente).

Además, si podemos determinar la tangente de la pendiente de la línea recta según la condición, entonces encontraremos su pendiente.

¡El próximo momento teórico!Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.La fórmula se parece a:

Considere problemas (similares a los de banco abierto asignaciones):

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (–6; 0) y (0; 6).

En este problema, la forma más racional de resolver esto es encontrar la tangente del ángulo entre el eje x y la línea recta dada. Se sabe que es igual al coeficiente angular. Considere un triángulo rectángulo formado por una línea recta y los ejes x e y:

La tangente de un ángulo en triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente:

* Ambas piernas son iguales a seis (estas son sus longitudes).

Por supuesto, esta tarea se puede resolver usando la fórmula para encontrar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados. Pero será un camino de solución más largo.

Respuesta 1

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (5;0) y (0;5).

Nuestros puntos tienen coordenadas (5;0) y (0;5). Medio,

Llevemos la fórmula a la forma. y = kx + b

Tenemos que el coeficiente angular k = – 1.

Respuesta 1

Directo a pasa por puntos con coordenadas (0;6) y (8;0). Directo b pasa por el punto de coordenadas (0;10) y es paralela a la recta a b con eje buey.

En este problema, puedes encontrar la ecuación de una línea recta. a, determine su pendiente. Línea recta b la pendiente será la misma ya que son paralelas. A continuación, puedes encontrar la ecuación de una línea recta. b. Y luego, sustituyendo el valor y = 0 en él, encuentre la abscisa. ¡PERO!

En este caso, es más fácil usar la propiedad de similitud de triángulos.

Los triángulos rectángulos formados por las líneas de coordenadas (paralelas) dadas son similares, lo que significa que las proporciones de sus respectivos lados son iguales.

La abscisa buscada es 40/3.

Respuesta: 40/3

Directo a pasa por puntos con coordenadas (0;8) y (–12;0). Directo b pasa por el punto de coordenadas (0; -12) y es paralela a la recta a. Encuentre la abscisa del punto de intersección de la recta b con eje buey.

Para este problema, la forma más racional de resolverlo es usar la propiedad de semejanza de los triángulos. Pero lo resolveremos de otra manera.

Conocemos los puntos por donde pasa la recta a. Podemos escribir la ecuación de una línea recta. La fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es:

Por condición, los puntos tienen coordenadas (0;8) y (–12;0). Medio,

vamos a traer a la mente y = kx + b:

Tengo esa esquina k = 2/3.

*El coeficiente angular se puede encontrar a través de la tangente del ángulo en un triángulo rectángulo con catetos 8 y 12.

Sabemos que las rectas paralelas tienen pendientes iguales. Entonces la ecuación de una recta que pasa por el punto (0;-12) tiene la forma:

Encuentra valor b podemos sustituir la abscisa y la ordenada en la ecuación:

Así que la línea se ve así:

Ahora, para encontrar la abscisa deseada del punto de intersección de la línea con el eje x, debe sustituir y \u003d 0:

Respuesta: 18

Encuentre la ordenada del punto de intersección del eje oye y una recta que pasa por el punto B(10;12) y una paralela que pasa por el origen y el punto A(10;24).

Encontremos la ecuación de una recta que pasa por los puntos de coordenadas (0;0) y (10;24).

La fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es:

Nuestros puntos tienen coordenadas (0;0) y (10;24). Medio,

vamos a traer a la mente y = kx + b

Las pendientes de las rectas paralelas son iguales. Por tanto, la ecuación de una recta que pasa por el punto B (10; 12) tiene la forma:

Sentido b encontramos sustituyendo las coordenadas del punto B (10; 12) en esta ecuación:

Obtuvimos la ecuación de una recta:

Para hallar la ordenada del punto de intersección de esta recta con el eje UNED debe ser sustituido en la ecuación encontrada X= 0:

* La solución más fácil. Con la ayuda de la traslación paralela, desplazamos esta línea hacia abajo a lo largo del eje UNED al punto (10;12). El desplazamiento se produce en 12 unidades, es decir, el punto A(10;24) "pasó" al punto B(10;12) y el punto O(0;0) "pasó" al punto (0;–12). Así que la línea resultante intersecará el eje. UNED en el punto (0;–12).

La ordenada deseada es -12.

Respuesta: -12

Encuentra la ordenada del punto de intersección de la recta dada por la ecuación

3x + 2 años = 6, con eje Oye.

Coordenada del punto de intersección de la recta dada con el eje UNED tiene la forma (0; a). Sustituir la abscisa en la ecuación X= 0, y encuentra la ordenada:

Ordenada del punto de intersección de una recta con un eje UNED es igual a 3

* El sistema se está resolviendo:

Respuesta: 3

Encuentra la ordenada del punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones

3x + 2y = 6 y y = - x.

Cuando se dan dos rectas, y se trata de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas, se resuelve el sistema de estas ecuaciones:

En la primera ecuación sustituimos - X en vez de a:

La ordenada es menos seis.

Responder: – 6

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (–2; 0) y (0; 2).

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2;0) y (0;2).

La recta a pasa por los puntos de coordenadas (0;4) y (6;0). La línea b pasa por el punto de coordenadas (0;8) y es paralela a la línea a. Encuentre la abscisa del punto de intersección de la línea b con el eje x.

Encuentra la ordenada del punto de intersección del eje y y la recta que pasa por el punto B (6;4) y la recta paralela que pasa por el origen y el punto A (6;8).

1. Es necesario entender claramente que la pendiente de la recta es igual a la tangente de la pendiente de la recta. Esto le ayudará a resolver muchos problemas de este tipo.

2. Debe entenderse la fórmula para encontrar una línea recta que pase por dos puntos dados. Con su ayuda, siempre puedes encontrar la ecuación de una línea recta si se dan las coordenadas de dos de sus puntos.

3. Recuerda que las pendientes de las rectas paralelas son iguales.

4. Como comprenderás, en algunos problemas conviene utilizar el signo de semejanza de triángulos. Los problemas se resuelven prácticamente de forma oral.

5. Las tareas en las que se dan dos líneas y se requiere encontrar la abscisa o la ordenada de su punto de intersección se pueden resolver gráficamente. Es decir, constrúyalos en el plano de coordenadas (en una hoja en una celda) y determine visualmente el punto de intersección. *Pero este método no siempre es aplicable.

6. Y el último. Si se dan una línea recta y las coordenadas de los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas, entonces en tales problemas es conveniente encontrar la pendiente al encontrar la tangente del ángulo en el triángulo rectángulo formado. A continuación se muestra esquemáticamente cómo "ver" este triángulo para varios arreglos de líneas en el plano:

>> Ángulo de inclinación de línea de 0 a 90 grados<<

>> Ángulo de línea recta de 90 a 180 grados<<

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alejandro.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

La línea y \u003d f (x) será tangente al gráfico que se muestra en la figura en el punto x0 si pasa por el punto con coordenadas (x0; f (x0)) y tiene una pendiente f "(x0). Encuentra tal coeficiente, conociendo las características de la tangente, no es difícil.

Necesitará

• - libro de referencia matemático;
• - un lápiz simple;
• - computadora portátil;
• - transportador;
• - Brújula;
• - un bolígrafo.

Instrucción

Si el valor f‘(x0) no existe, entonces no hay tangente o pasa verticalmente. En vista de esto, la presencia de la derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical que está en contacto con la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, la pendiente de la tangente será igual a f "(x0). Por lo tanto, el significado geométrico de la derivada queda claro: el cálculo de la pendiente de la tangente.

Dibuje tangentes adicionales que estarían en contacto con el gráfico de función en los puntos x1, x2 y x3, y también marque los ángulos formados por estas tangentes con el eje de abscisas (dicho ángulo se cuenta en la dirección positiva desde el eje hasta la tangente línea). Por ejemplo, el ángulo, es decir, α1, será agudo, el segundo (α2) es obtuso y el tercero (α3) es cero, ya que la recta tangente es paralela al eje OX. En este caso, la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la tangente de un ángulo agudo es positiva y para tg0 el resultado es cero.

Nota

Determina correctamente el ángulo que forma la tangente. Para hacer esto, use un transportador.

Aviso util

Dos rectas oblicuas serán paralelas si sus pendientes son iguales entre sí; perpendicular si el producto de las pendientes de estas tangentes es -1.

Fuentes:

• Gráfico de tangente a función

El coseno, como el seno, se conoce como funciones trigonométricas "directas". La tangente (junto con la cotangente) se suma a otro par llamado "derivadas". Hay varias definiciones de estas funciones, que permiten encontrar la tangente del coseno dada por el valor conocido del mismo valor.

Instrucción

Reste el cociente de la unidad por el coseno del ángulo dado elevado al valor y extraiga la raíz cuadrada del resultado: este será el valor de la tangente del ángulo, expresado por su coseno: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Al mismo tiempo, preste atención al hecho de que en la fórmula el coseno está en el denominador de la fracción. La imposibilidad de dividir por cero excluye el uso de esta expresión para ángulos iguales a 90°, así como diferir de este valor por múltiplos de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

Existe una forma alternativa de calcular la tangente a partir de un valor de coseno conocido. Se puede usar si no hay restricción en el uso de otros. Para implementar este método, primero determine el valor del ángulo a partir del valor del coseno conocido; esto se puede hacer usando la función arcocoseno. Luego simplemente calcule la tangente para el ángulo del valor resultante. En general, este algoritmo se puede escribir de la siguiente manera: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Hay otra opción exótica usando la definición de coseno y tangente a través de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. El coseno en esta definición corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente al ángulo considerado y la longitud de la hipotenusa. Conociendo el valor del coseno, puedes elegir las longitudes de estos dos lados que le corresponden. Por ejemplo, si cos(α)=0.5, entonces el adyacente puede tomarse igual a 10 cm y la hipotenusa - 20 cm. Los números específicos no importan aquí: obtendrá lo mismo y lo corregirá con cualquier valor que tenga lo mismo. Luego, utilizando el teorema de Pitágoras, determine la longitud del lado que falta: el cateto opuesto. Será igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa al cuadrado y el cateto conocido: √(20²-10²)=√300. Por definición, la tangente corresponde a la relación de las longitudes de los catetos opuestos y adyacentes (√300/10); calcúlela y obtenga el valor de la tangente utilizando la definición clásica de coseno.

Fuentes:

• fórmula del coseno a través de la tangente

Una de las funciones trigonométricas, más a menudo denotada por las letras tg, aunque también se encuentra la notación tan. La forma más fácil es representar la tangente como la razón del seno esquina a su coseno. Esta es una función periódica impar y no continua, cada ciclo de la cual es igual al número Pi, y el punto de ruptura corresponde a la marca en la mitad de este número.

En el capítulo anterior se mostró que, eligiendo un cierto sistema de coordenadas en el plano, podemos expresar analíticamente las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la línea en consideración mediante la ecuación entre las coordenadas actuales. Así, obtenemos la ecuación de la recta. En este capítulo, se considerarán las ecuaciones de líneas rectas.

Para formular la ecuación de una línea recta en coordenadas cartesianas, debe establecer de alguna manera las condiciones que determinan su posición en relación con los ejes de coordenadas.

Primero, introducimos el concepto de pendiente de una línea recta, que es una de las cantidades que caracterizan la posición de una línea recta en un plano.

Llamemos ángulo de inclinación de la línea al eje Ox al ángulo por el cual se debe girar el eje Ox para que coincida con la línea dada (o resulte ser paralelo a ella). Como de costumbre, consideraremos el ángulo teniendo en cuenta el signo (el signo está determinado por la dirección de rotación: en sentido antihorario o en sentido horario). Dado que una rotación adicional del eje Ox en un ángulo de 180 ° lo combinará nuevamente con la línea recta, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje se puede elegir de manera ambigua (hasta un múltiplo de ).

La tangente de este ángulo está determinada de forma única (ya que cambiar el ángulo a no cambia su tangente).

La tangente del ángulo de inclinación de una línea recta al eje x se llama pendiente de la línea recta.

La pendiente caracteriza la dirección de la línea recta (aquí no distinguimos entre dos direcciones de la línea recta mutuamente opuestas). Si la pendiente de la línea es cero, entonces la línea es paralela al eje x. Con una pendiente positiva, el ángulo de inclinación de la línea recta al eje Ox será agudo (estamos considerando aquí el valor positivo más pequeño del ángulo de inclinación) (Fig. 39); en este caso, cuanto mayor sea la pendiente, mayor será el ángulo de su inclinación con respecto al eje Ox. Si la pendiente es negativa, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje x será obtuso (Fig. 40). Tenga en cuenta que una línea recta perpendicular al eje x no tiene pendiente (la tangente de un ángulo no existe).