Extraer la raíz cuadrada de un número. que es una raiz cuadrada

11.10.2019

Antes de la llegada de las calculadoras, los estudiantes y profesores calculaban las raíces cuadradas a mano. Hay varias formas de calcular raíz cuadrada números manualmente. Algunos de ellos ofrecen solo una solución aproximada, otros dan una respuesta exacta.

Pasos

Factorización prima

Factoriza el número raíz en factores que son números cuadrados. Dependiendo del número raíz, obtendrás una respuesta aproximada o exacta. Los números cuadrados son números de los que se puede sacar la raíz cuadrada entera. Los factores son números que, cuando se multiplican, dan el número original. Por ejemplo, los factores del número 8 son 2 y 4, ya que 2 x 4 = 8, los números 25, 36, 49 son números cuadrados, ya que √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factores cuadrados son factores, que son números cuadrados. Primero, trata de factorizar el número raíz en factores cuadrados.

Por ejemplo, calcule la raíz cuadrada de 400 (manualmente). Primero trata de factorizar 400 en factores cuadrados. 400 es un múltiplo de 100, es decir, divisible por 25, este es un número cuadrado. Dividir 400 por 25 te da 16. El número 16 también es un número cuadrado. Por lo tanto, 400 se puede factorizar en factores cuadrados de 25 y 16, es decir, 25 x 16 = 400.
Esto se puede escribir de la siguiente manera: √400 = √(25 x 16).

La raíz cuadrada del producto de algunos términos es igual al producto de raíces cuadradas de cada término, es decir, √(a x b) = √a x √b. Usa esta regla y saca la raíz cuadrada de cada factor cuadrado y multiplica los resultados para encontrar la respuesta.
- En nuestro ejemplo, toma la raíz cuadrada de 25 y 16.
  - √(25x16)
  - √25 x √16
  - 5x4 = 20
Si el número radical no se factoriza en dos factores cuadrados (y lo hace en la mayoría de los casos), no podrás encontrar la respuesta exacta como un número entero. Pero puedes simplificar el problema descomponiendo el número raíz en un factor cuadrado y un factor ordinario (un número del que no se puede sacar la raíz cuadrada completa). Luego sacarás la raíz cuadrada del factor cuadrado y sacarás la raíz del factor ordinario.
- Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada del número 147. El número 147 no se puede factorizar en dos factores cuadrados, pero se puede factorizar en los siguientes factores: 49 y 3. Resuelve el problema de la siguiente manera:
  - = √(49x3)
  - = √49 × √3
  - = 7√3
Si es necesario, evalúe el valor de la raíz. Ahora puedes evaluar el valor de la raíz (encontrar un valor aproximado) comparándolo con los valores de las raíces de los números cuadrados más cercanos (a ambos lados de la recta numérica) a la raíz del número. Obtendrá el valor de la raíz como fracción decimal, que debe multiplicarse por el número detrás del signo raíz.
- Volvamos a nuestro ejemplo. El número raíz es 3. Los números cuadrados más cercanos a él son los números 1 (√1 = 1) y 4 (√4 = 2). Por lo tanto, el valor de √3 está entre 1 y 2. Dado que el valor de √3 probablemente esté más cerca de 2 que de 1, nuestra estimación es: √3 = 1,7. Multiplicamos este valor por el número en el signo raíz: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Si haces los cálculos en una calculadora, obtienes 12,13, que está bastante cerca de nuestra respuesta.
  - Este método también funciona con números grandes. Por ejemplo, considere √35. El número raíz es 35. Los números cuadrados más cercanos a él son los números 25 (√25 = 5) y 36 (√36 = 6). Por lo tanto, el valor de √35 está entre 5 y 6. Dado que el valor de √35 está mucho más cerca de 6 que de 5 (porque 35 es solo 1 menos que 36), podemos afirmar que √35 es ligeramente menor que 6. La verificación con una calculadora nos da la respuesta 5.92: teníamos razón.
Otra forma es descomponer la raíz del número en factores primos. Los factores primos son números que solo son divisibles por 1 y por ellos mismos. anote factores primos en una fila y encuentra pares de factores idénticos. Dichos factores se pueden sacar del signo de la raíz.
- Por ejemplo, calcule la raíz cuadrada de 45. Descomponemos el número raíz en factores primos: 45 \u003d 9 x 5 y 9 \u003d 3 x 3. Por lo tanto, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 se puede sacar del signo raíz: √45 = 3√5. Ahora podemos estimar √5.
- Considere otro ejemplo: √88.
  - = √(2x44)
  - = √ (2x4x11)
  - = √ (2x2x2x11). Tienes tres multiplicadores 2; toma un par de ellos y sácalos del signo de la raíz.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Ahora podemos evaluar √2 y √11 y encontrar una respuesta aproximada.
Calcular la raíz cuadrada manualmente

Usando la división de columnas
1. Este método involucra un proceso similar a la división larga y da una respuesta precisa. Primero, dibuje una línea vertical que divida la hoja en dos mitades y luego dibuje una línea horizontal a la derecha y ligeramente por debajo del borde superior de la hoja hasta la línea vertical. Ahora divide el número raíz en pares de números, comenzando con la parte fraccionaria después del punto decimal. Entonces, el número 79520789182.47897 se escribe como "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Por ejemplo, calculemos la raíz cuadrada del número 780.14. Dibuja dos líneas (como se muestra en la imagen) y escribe el número en la parte superior izquierda como "7 80, 14". Es normal que el primer dígito de la izquierda sea un dígito no pareado. La respuesta (la raíz del número dado) se escribirá en la parte superior derecha.
2. Dado el primer par de números (o un número) de la izquierda, encuentre el entero más grande n cuyo cuadrado sea menor o igual que el par de números (o un número) en cuestión. En otras palabras, encuentra el número cuadrado que está más cerca, pero es menor que el primer par de números (o un solo número) de la izquierda, y saca la raíz cuadrada de ese número cuadrado; obtendrá el número n. Escribe la n encontrada en la parte superior derecha y escribe la n cuadrada en la parte inferior derecha.
  - En nuestro caso, el primer número a la izquierda será el número 7. A continuación, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Resta el cuadrado del número n que acabas de encontrar del primer par de números (o un número) de la izquierda. Escribe el resultado del cálculo debajo del sustraendo (el cuadrado del número n).
  - En nuestro ejemplo, resta 4 de 7 para obtener 3.
4. Anota el segundo par de números y escríbelo junto al valor obtenido en el paso anterior. Luego duplica el número en la parte superior derecha y escribe el resultado en la parte inferior derecha con "_×_=" adjunto.
  - En nuestro ejemplo, el segundo par de números es "80". Escribe "80" después del 3. Luego, duplicar el número de arriba a la derecha da 4. Escribe "4_×_=" desde abajo a la derecha.
5. Completa los espacios en blanco a la derecha.
  - En nuestro caso, si en lugar de guiones ponemos el número 8, entonces 48 x 8 \u003d 384, que es más que 380. Por lo tanto, 8 es un número demasiado grande, pero 7 está bien. Escriba 7 en lugar de guiones y obtenga: 47 x 7 \u003d 329. Escriba 7 desde la parte superior derecha: este es el segundo dígito en la raíz cuadrada deseada del número 780.14.
6. Resta el número resultante del número actual de la izquierda. Escribe el resultado del paso anterior debajo del número actual a la izquierda, encuentra la diferencia y escríbela debajo del número restado.
  - En nuestro ejemplo, resta 329 de 380, que es igual a 51.
7. Repita el paso 4. Si el par de números que se está demoliendo es la parte fraccionaria del número original, coloque el separador (coma) de las partes enteras y fraccionarias en la raíz cuadrada deseada desde la parte superior derecha. A la izquierda, lleve hacia abajo el siguiente par de números. Duplica el número en la parte superior derecha y escribe el resultado en la parte inferior derecha con "_×_=" adjunto.
  - En nuestro ejemplo, el próximo par de números a demoler será la parte fraccionaria del número 780.14, así que coloca el separador de las partes enteras y fraccionarias en la raíz cuadrada requerida desde la parte superior derecha. Demoler 14 y escribir abajo a la izquierda. El doble de la parte superior derecha (27) es 54, así que escribe "54_×_=" en la parte inferior derecha.
8. Repita los pasos 5 y 6. Encuentre el número más grande en lugar de guiones a la derecha (en lugar de guiones, debe sustituir el mismo número) para que el resultado de la multiplicación sea menor o igual que el número actual a la izquierda.
  - En nuestro ejemplo, 549 x 9 = 4941, que es menor que el número actual de la izquierda (5114). Escribe 9 arriba a la derecha y resta el resultado de la multiplicación del número actual de la izquierda: 5114 - 4941 = 173.
9. Si necesita encontrar más lugares decimales para la raíz cuadrada, escriba un par de ceros al lado del número actual a la izquierda y repita los pasos 4, 5 y 6. Repita los pasos hasta que obtenga la precisión de la respuesta que necesita (número de lugares decimales).
Comprender el proceso
1. Considere el primer par de dígitos Sa del número S (Sa = 7 en nuestro ejemplo) y encuentre su raíz cuadrada. En este caso, el primer dígito A del valor buscado de la raíz cuadrada será tal dígito, cuyo cuadrado es menor o igual que S a (es decir, estamos buscando tal A que satisfaga la desigualdad A² ≤ sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Digamos que necesitamos dividir 88962 por 7; aquí el primer paso será similar: consideramos el primer dígito del número divisible 88962 (8) y seleccionamos el número más grande que, al multiplicarlo por 7, da un valor menor o igual a 8. Es decir, buscamos un número d para el cual la desigualdad es verdadera: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Imagina mentalmente el cuadrado cuya área necesitas calcular. Está buscando L, es decir, la longitud del lado de un cuadrado cuya área es S. A, B, C son números en el número L. Puede escribirlo de manera diferente: 10A + B \u003d L (para dos -número de dígitos) o 100A + 10B + C \u003d L (para un número de tres dígitos) y así sucesivamente.
  - Permitir (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Recuerda que 10A+B es un número cuya B representa las unidades y A las decenas. Por ejemplo, si A=1 y B=2, entonces 10A+B es igual al número 12. (10A+B)² es el área de todo el cuadrado, 100A² es el área del cuadrado interior grande, B² es el área del pequeño cuadrado interior, 10A×B es el área de cada uno de los dos rectángulos. Sumando las áreas de las figuras descritas, encontrarás el área del cuadrado original.

Hecho 1.
\(\bullet\) Toma algo no un numero negativo\(a\) (es decir, \(a\geqslant 0\) ). Entonces (aritmética) raíz cuadrada del número \(a\) tal número no negativo se llama \(b\), al elevarlo al cuadrado obtenemos el número \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(igual que )\quad a=b^2\] De la definición se sigue que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ¡Estas restricciones son una condición importante para la existencia de una raíz cuadrada y deben recordarse!
Recuerda que cualquier número elevado al cuadrado da un resultado no negativo. Es decir, \(100^2=10000\geqslant 0\) y \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ¿Qué es \(\sqrt(25)\) ? Sabemos que \(5^2=25\) y \((-5)^2=25\) . Como por definición tenemos que encontrar un número no negativo, \(-5\) no es adecuado, por lo tanto \(\sqrt(25)=5\) (ya que \(25=5^2\) ).
Encontrar el valor \(\sqrt a\) se llama sacar la raíz cuadrada del número \(a\) , y el número \(a\) se llama la expresión raíz.
\(\bullet\) Según la definición, las expresiones \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. no tiene sentido

Hecho 2.
Para cálculos rápidos, será útil aprender la tabla de cuadrados de los números naturales de \(1\) a \(20\) : \[\begin(matriz)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlínea \end(matriz)\]

Hecho 3.
¿Qué se puede hacer con raíces cuadradas?
\(\bala\) La suma o diferencia de raíces cuadradas NO ES IGUAL a la raíz cuadrada de la suma o diferencia, es decir \[\raíz cuadrada a\pm\raíz cuadrada b\ne \raíz cuadrada(a\pm b)\] Por lo tanto, si necesita calcular, por ejemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , entonces inicialmente debe encontrar los valores \(\sqrt(25)\) y \(\sqrt (49)\ ) y luego súmalos. Por lo tanto, \[\raíz cuadrada(25)+\raíz cuadrada(49)=5+7=12\] Si los valores \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) no se pueden encontrar al agregar \(\sqrt a+\sqrt b\), entonces dicha expresión no se convierte más y permanece como está. Por ejemplo, en la suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar \(\sqrt(49)\) - esto es \(7\) , pero \(\sqrt 2\) no puede ser convertido de alguna manera, por eso \(\raíz cuadrada 2+\raíz cuadrada(49)=\raíz cuadrada 2+7\). Además, esta expresión, lamentablemente, no se puede simplificar de ninguna manera.\(\bullet\) El producto/cociente de raíces cuadradas es igual a la raíz cuadrada del producto/cociente, es decir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (siempre que ambas partes de las igualdades tengan sentido)
Ejemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando estas propiedades, es conveniente encontrar las raíces cuadradas de números grandes al factorizarlos.
Considere un ejemplo. Encuentra \(\sqrt(44100)\) . Dado que \(44100:100=441\) , entonces \(44100=100\cdot 441\) . Según el criterio de divisibilidad, el número \(441\) es divisible por \(9\) (dado que la suma de sus dígitos es 9 y es divisible por 9), por tanto, \(441:9=49\), es decir, \(441=9\ cdot 49\) .
Así, obtuvimos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Veamos otro ejemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos a mostrar cómo ingresar números bajo el signo de la raíz cuadrada usando el ejemplo de la expresión \(5\sqrt2\) (abreviatura de la expresión \(5\cdot \sqrt2\) ). Como \(5=\sqrt(25)\) , entonces \ Nótese también que, por ejemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\raíz cuadrada a+\raíz cuadrada a=2\raíz cuadrada a\) .

¿Porqué es eso? Expliquemos con el ejemplo 1). Como ya entendiste, de alguna manera no podemos convertir el número \(\sqrt2\) . Imagina que \(\sqrt2\) es algún número \(a\) . En consecuencia, la expresión \(\sqrt2+3\sqrt2\) no es más que \(a+3a\) (un número \(a\) más tres números iguales \(a\) ). Y sabemos que esto es igual a cuatro de esos números \(a\) , es decir, \(4\sqrt2\) .

hecho 4.
\(\bullet\) A menudo se dice "no se puede extraer la raíz" cuando no es posible deshacerse del signo \(\sqrt () \ \) de la raíz (radical) al encontrar el valor de algún número. Por ejemplo, puede rootear el número \(16\) porque \(16=4^2\) , entonces \(\sqrt(16)=4\) . Pero extraer la raíz del número \(3\) , es decir, encontrar \(\sqrt3\) , es imposible, porque no existe tal número que al cuadrado dé \(3\) .
Tales números (o expresiones con tales números) son irracionales. Por ejemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. son irracionales.
También son irracionales los números \(\pi\) (el número “pi”, aproximadamente igual a \(3,14\) ), \(e\) (este número se llama número de Euler, aproximadamente igual a \(2 ,7\) ) etc
\(\bullet\) Tenga en cuenta que cualquier número será racional o irracional. Y juntos todos racionales y todos Numeros irracionales forman un conjunto llamado conjunto de números reales (reales). Este conjunto se denota con la letra \(\mathbb(R)\) .
Esto significa que todos los números que son este momento sabemos que se llaman números reales.

Hecho 5.
\(\bullet\) Módulo de un número real \(a\) es un número no negativo \(|a|\) igual a la distancia del punto \(a\) a \(0\) en el real línea. Por ejemplo, \(|3|\) y \(|-3|\) son iguales a 3, ya que las distancias de los puntos \(3\) y \(-3\) a \(0\) son las igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) es un número no negativo, entonces \(|a|=a\) .
Ejemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) es un número negativo, entonces \(|a|=-a\) .
Ejemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicen que para los números negativos, el módulo se "come" el menos, y los números positivos, así como el número \(0\), el módulo se queda sin cambios.
PERO esta regla solo se aplica a los números. Si tiene una \(x\) desconocida (o alguna otra incógnita) bajo el signo del módulo, por ejemplo, \(|x|\) , de la que no sabemos si es positiva, igual a cero o negativa, entonces deshacerse del módulo que no podemos. En este caso, esta expresión queda así: \(|x|\) . \(\bullet\) Las siguientes fórmulas son válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(proporcionado) a\geqslant 0\] A menudo se comete el siguiente error: dicen que \(\sqrt(a^2)\) y \((\sqrt a)^2\) son lo mismo. Esto es cierto solo cuando \(a\) es un número positivo o cero. Pero si \(a\) es un número negativo, entonces esto no es cierto. Basta considerar tal ejemplo. Tomemos el número \(-1\) en lugar de \(a\). Entonces \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , pero la expresión \((\sqrt (-1))^2\) no existe en absoluto (porque es ¡imposible poner números negativos bajo el signo raíz!).
Por lo tanto, llamamos su atención sobre el hecho de que \(\sqrt(a^2)\) no es igual a \((\sqrt a)^2\) ! Ejemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), porque \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantasma(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dado que \(\sqrt(a^2)=|a|\) , entonces \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (la expresión \(2n\) denota un número par)
Es decir, al sacar la raíz de un número que está en algún grado, este grado se reduce a la mitad.
Ejemplo:
1) \(\raíz cuadrada(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tenga en cuenta que si el módulo no está configurado, resulta que la raíz del número es igual a \(-25 \); pero recordemos que, por definición de la raíz, esto no puede ser: al extraer la raíz, siempre debemos obtener un número positivo o cero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ya que cualquier número elevado a una potencia par no es negativo)

hecho 6.
¿Cómo comparar dos raíces cuadradas?
\(\bullet\) Verdadero para raíces cuadradas: si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEjemplo:
1) compare \(\sqrt(50)\) y \(6\sqrt2\) . Primero, transformamos la segunda expresión en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Así, dado que \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) ¿Entre qué enteros está \(\sqrt(50)\) ?
Dado que \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , y \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Compara \(\sqrt 2-1\) y \(0,5\) . Supongamos \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(alineado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((añadir uno a ambos lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((cuadrar ambas partes))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(alineado)\] Vemos que hemos obtenido una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta y \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tenga en cuenta que agregar un cierto número a ambos lados de la desigualdad no afecta su signo. Multiplicar/dividir ambas partes de la desigualdad por un número positivo tampoco afecta su signo, ¡pero multiplicar/dividir por un número negativo invierte el signo de la desigualdad!
Ambos lados de una ecuación/desigualdad pueden elevarse al cuadrado SOLO SI ambos lados no son negativos. Por ejemplo, en la desigualdad del ejemplo anterior, puedes elevar al cuadrado ambos lados, en la desigualdad \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Tenga en cuenta que \[\begin(alineado) &\sqrt 2\aprox. 1,4\\ &\sqrt 3\aprox. 1,7 \end(alineado)\]¡Conocer el significado aproximado de estos números te ayudará cuando compares números! \(\bullet\) Para sacar la raíz (si se saca) de algún número grande que no está en la tabla de cuadrados, primero hay que determinar entre qué “centenas” se encuentra, luego entre cuáles “decenas”, y luego determinar el último dígito de este número. Vamos a mostrar cómo funciona con un ejemplo.
Toma \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) y así sucesivamente. Tenga en cuenta que \(28224\) está entre \(10\,000\) y \(40\,000\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) y \(200\) .
Ahora determinemos entre qué “decenas” está nuestro número (es decir, por ejemplo, entre \(120\) y \(130\) ). También sabemos por la tabla de cuadrados que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., entonces \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Entonces vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) y \(170^2\) . Por lo tanto, el número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) y \(170\) .
Tratemos de determinar el último dígito. ¿Recordemos qué números de un solo dígito al elevar al cuadrado dan al final \ (4 \) ? Estos son \(2^2\) y \(8^2\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) terminará en 2 u 8. Verifiquemos esto. Encuentra \(162^2\) y \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Por lo tanto \(\sqrt(28224)=168\) . ¡Voila!

Para resolver adecuadamente el examen de matemáticas, en primer lugar, es necesario estudiar el material teórico, que introduce numerosos teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. A primera vista, puede parecer que esto es bastante simple. Sin embargo, encontrar una fuente en la que la teoría para el Examen de Estado Unificado en matemáticas se presente de manera fácil y comprensible para estudiantes con cualquier nivel de capacitación es, de hecho, una tarea bastante difícil. Los libros de texto escolares no siempre se pueden tener a mano. Y encontrar las fórmulas básicas para el examen de matemáticas puede ser difícil incluso en Internet.

¿Por qué es tan importante estudiar teoría en matemáticas, no solo para quienes toman el examen?

Porque amplía tus horizontes. El estudio de material teórico en matemáticas es útil para cualquiera que quiera obtener respuestas a una amplia gama de preguntas relacionadas con el conocimiento del mundo. Todo en la naturaleza está ordenado y tiene una lógica clara. Esto es precisamente lo que se refleja en la ciencia, a través de la cual es posible comprender el mundo.
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Cómo extraer la raíz del número En este artículo, aprenderemos cómo sacar la raíz cuadrada de números de cuatro y cinco dígitos.

Tomemos como ejemplo la raíz cuadrada de 1936.

Por lo tanto, .

El último dígito en 1936 es 6. El cuadrado de 4 y 6 termina en 6. Por lo tanto, 1936 puede ser el cuadrado de 44 o 46. Queda por comprobar mediante la multiplicación.

Significa,

Extraigamos la raíz cuadrada del número 15129.

Por lo tanto, .

El último dígito en 15129 es 9. El 9 termina con el cuadrado de 3 y 7. Por lo tanto, 15129 puede ser el cuadrado de 123 o 127. Comprobemos con la multiplicación.

Significa,

Cómo rootear - vídeo

Y ahora te sugiero que mires el video de Anna Denisova: "Cómo extraer la raíz ", autor del sitio" física sencilla", en el que explica cómo extraer raíces cuadradas y cúbicas sin calculadora.

El video analiza varias formas de extraer raíces:

1. La forma más fácil de extraer la raíz cuadrada.

2. Emparejamiento usando el cuadrado de la suma.

3. Vía babilónica.

4. Un método para extraer una raíz cuadrada en una columna.

5. Una forma rápida de extraer la raíz cúbica.

6. El método de extracción de la raíz cúbica en una columna.

Extraer una raíz es la operación inversa de la exponenciación. Es decir, extrayendo la raíz del número X, obtenemos un número que, elevado al cuadrado, dará el mismo número X.

Extraer la raíz es una operación bastante simple. Una tabla de cuadrados puede facilitar el trabajo de extracción. Porque es imposible recordar todos los cuadrados y raíces de memoria, y los números pueden ser grandes.

Extrayendo la raíz de un número

Extraer la raíz cuadrada de un número es fácil. Además, esto se puede hacer no de inmediato, sino gradualmente. Por ejemplo, toma la expresión √256. Inicialmente, es difícil para una persona desconocida dar una respuesta de inmediato. Luego daremos los pasos. Primero, dividimos solo por el número 4, del cual sacamos el cuadrado seleccionado como raíz.

Empate: √(64 4), entonces será equivalente a 2√64. Y como saben, según la tabla de multiplicar 64 = 8 8. La respuesta será 2*8=16.

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Extracción de raíces complejas

La raíz cuadrada no se puede calcular a partir de números negativos, ¡porque cualquier número elevado al cuadrado es un número positivo!

Un número complejo es un número i que elevado al cuadrado es -1. Eso es i2=-1.

En matemáticas, hay un número que se obtiene sacando la raíz del número -1.

Es decir, es posible calcular la raíz de un número negativo, pero esto ya se aplica a las matemáticas superiores, no a la escuela.

Considere un ejemplo de tal extracción de raíces: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Calculadora de raíces en línea

Con la ayuda de nuestra calculadora, puedes calcular la extracción de un número de la raíz cuadrada:

Convertir expresiones que contienen la operación de extraer la raíz

La esencia de la transformación de expresiones radicales es descomponer el número radical en otros más simples, de los cuales se puede extraer la raíz. Como 4, 9, 25 y así sucesivamente.

Tomemos un ejemplo, √625. Dividimos la expresión radical por el número 5. Obtenemos √(125 5), repetimos la operación √(25 25), pero sabemos que 25 es 52. Entonces la respuesta es 5*5=25.

Pero hay números para los que no se puede calcular la raíz por este método y solo necesitas saber la respuesta o tener a mano una tabla de cuadrados.

√289=√(17*17)=17

Salir

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Las matemáticas nacieron cuando una persona tomó conciencia de sí misma y comenzó a posicionarse como una unidad autónoma del mundo. El deseo de medir, comparar, calcular lo que te rodea es lo que subyace en una de las ciencias fundamentales de nuestros días. Al principio, estas eran partículas de matemáticas elementales, que permitieron conectar números con sus expresiones físicas, luego las conclusiones comenzaron a presentarse solo teóricamente (debido a su abstracción), pero después de un tiempo, como dijo un científico, " las matemáticas alcanzaron el techo de la complejidad cuando todos los números". El concepto de "raíz cuadrada" apareció en un momento en que podía sustentarse fácilmente en datos empíricos, yendo más allá del plano de los cálculos.

Cómo empezó todo

La primera mención de la raíz, que actualmente se denota como √, se registró en los escritos de los matemáticos babilónicos, quienes sentaron las bases de la aritmética moderna. Por supuesto, se parecían un poco a la forma actual: los científicos de esos años primero usaron tabletas voluminosas. Pero en el segundo milenio antes de Cristo. mi. idearon una fórmula de cálculo aproximado que mostraba cómo sacar la raíz cuadrada. La foto a continuación muestra una piedra en la que los científicos babilónicos tallaron el proceso de salida √2, y resultó ser tan correcto que la discrepancia en la respuesta se encontró solo en el décimo lugar decimal.

Además, se usaba la raíz si era necesario encontrar el lado de un triángulo, siempre que se conocieran los otros dos. Bueno, al resolver ecuaciones cuadráticas, no hay escapatoria de extraer la raíz.

Junto con las obras babilónicas, el objeto del artículo también se estudió en la obra china "Matemáticas en nueve libros", y los antiguos griegos llegaron a la conclusión de que cualquier número del que no se extrae la raíz sin resto da un resultado irracional. .

El origen de este término está asociado con la representación árabe del número: los antiguos científicos creían que el cuadrado de un número arbitrario crece desde la raíz, como una planta. En latín, esta palabra suena como radix (se puede trazar un patrón: todo lo que tiene una carga semántica de "raíz" es consonante, ya sea rábano o ciática).

Los científicos de las generaciones posteriores recogieron esta idea y la designaron como Rx. Por ejemplo, en el siglo XV, para indicar que la raíz cuadrada se toma de un número arbitrario a, escribieron R 2 a. El "tick" √, familiar para el aspecto moderno, apareció solo en el siglo XVII gracias a René Descartes.

Nuestros dias

Matemáticamente, la raíz cuadrada de y es el número z cuyo cuadrado es y. En otras palabras, z 2 =y es equivalente a √y=z. Sin embargo, esta definición es relevante solo para la raíz aritmética, ya que implica un valor no negativo de la expresión. En otras palabras, √y=z, donde z es mayor o igual a 0.

En general, lo cual es válido para determinar la raíz algebraica, el valor de la expresión puede ser positivo o negativo. Así, debido a que z 2 =y y (-z) 2 =y, tenemos: √y=±zo √y=|z|.

Debido al hecho de que el amor por las matemáticas solo ha aumentado con el desarrollo de la ciencia, existen varias manifestaciones de apego a ellas, que no se expresan en cálculos secos. Por ejemplo, junto a eventos tan interesantes como el día del Pi, también se celebran las fiestas de la raíz cuadrada. Se celebran nueve veces en cien años, y se determinan según el siguiente principio: los números que indican el día y el mes en orden deben ser la raíz cuadrada del año. Entonces, la próxima vez que se celebre esta fiesta será el 4 de abril de 2016.

Propiedades de la raíz cuadrada en el campo R

Casi todas las expresiones matemáticas tienen una base geométrica, este destino no pasó y √y, que se define como el lado de un cuadrado con área y.

¿Cómo encontrar la raíz de un número?

Hay varios algoritmos de cálculo. El más sencillo, pero a la vez bastante engorroso, es el cálculo aritmético habitual, que es el siguiente:

1) del número cuya raíz necesitamos, los números impares se restan a su vez, hasta que el resto de la salida sea menor que el restado o incluso igual a cero. El número de movimientos eventualmente se convertirá en el número deseado. Por ejemplo, calculando la raíz cuadrada de 25:

El siguiente número impar es 11, el resto es: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Para tales casos, existe una expansión en serie de Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , donde n toma valores de 0 a

+∞, y |y|≤1.

Representación gráfica de la función z=√y

Considere una función elemental z=√y en el campo de los números reales R, donde y es mayor o igual a cero. Su gráfico se ve así:

La curva crece desde el origen y necesariamente cruza el punto (1; 1).

Propiedades de la función z=√y en el campo de los números reales R

1. El dominio de definición de la función considerada es el intervalo de cero a más infinito (incluido el cero).

2. El rango de valores de la función en consideración es el intervalo de cero a más infinito (se incluye nuevamente el cero).

3. La función toma el valor mínimo (0) solo en el punto (0; 0). No hay valor máximo.

4. La función z=√y no es par ni impar.

5. La función z=√y no es periódica.

6. Solo hay un punto de intersección de la gráfica de la función z=√y con los ejes de coordenadas: (0; 0).

7. El punto de intersección de la gráfica de la función z=√y es también el cero de esta función.

8. La función z=√y crece continuamente.

9. La función z=√y toma solo valores positivos, por lo tanto, su gráfica ocupa el primer ángulo coordenado.

Opciones para mostrar la función z=√y

En matemáticas, para facilitar el cálculo de expresiones complejas, a veces se utiliza la forma potenciada de escribir la raíz cuadrada: √y=y 1/2. Esta opción es conveniente, por ejemplo, para elevar una función a una potencia: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Este método también es una buena representación para la derivación con integración, ya que gracias a él la raíz cuadrada se representa mediante una función de potencia ordinaria.

Y en programación, el reemplazo del símbolo √ es la combinación de letras sqrt.

Vale la pena señalar que en esta área la raíz cuadrada tiene una gran demanda, ya que forma parte de la mayoría de las fórmulas geométricas necesarias para los cálculos. El algoritmo de conteo en sí es bastante complicado y se basa en la recursividad (una función que se llama a sí misma).

La raíz cuadrada en el campo complejo C

En general, fue el tema de este artículo lo que estimuló el descubrimiento del campo de los números complejos C, ya que a los matemáticos les obsesionaba la cuestión de obtener una raíz de grado par a partir de un número negativo. Así apareció la unidad imaginaria i, que se caracteriza por una propiedad muy interesante: su cuadrado es -1. Gracias a esto, las ecuaciones cuadráticas y con discriminante negativo consiguieron una solución. En C, para la raíz cuadrada, son relevantes las mismas propiedades que en R, lo único es que se eliminan las restricciones en la expresión de la raíz.