Cálculos de la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta. Fórmula de esperanza matemática. Ley de distribución de una variable aleatoria discreta

La teoría de la probabilidad es una rama especial de las matemáticas que solo estudian estudiantes de instituciones de educación superior. ¿Te gustan los cálculos y las fórmulas? ¿No tiene miedo de las perspectivas de familiarizarse con la distribución normal, la entropía del conjunto, la expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta? Entonces este tema te resultará de gran interés. Conozcamos algunos de los conceptos básicos más importantes de esta sección de la ciencia.

Recordemos lo básico

Incluso si recuerda los conceptos más simples de la teoría de la probabilidad, no descuide los primeros párrafos del artículo. El hecho es que sin una comprensión clara de los conceptos básicos, no podrá trabajar con las fórmulas que se analizan a continuación.

Entonces, hay algún evento aleatorio, algún experimento. Como resultado de las acciones realizadas, podemos obtener varios resultados, algunos de ellos son más comunes, otros menos comunes. La probabilidad de un evento es la relación entre el número de resultados recibidos de un tipo y el número total de resultados posibles. Solo conociendo la definición clásica de este concepto, puede comenzar a estudiar la expectativa matemática y la dispersión de variables aleatorias continuas.

Promedio

En la escuela, en las lecciones de matemáticas, empezaste a trabajar con la media aritmética. Este concepto es ampliamente utilizado en la teoría de la probabilidad y, por lo tanto, no puede ser ignorado. Lo principal para nosotros en este momento es que lo encontraremos en las fórmulas para la expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria.

Tenemos una secuencia de números y queremos encontrar la media aritmética. Todo lo que se requiere de nosotros es sumar todo lo disponible y dividirlo por el número de elementos en la secuencia. Tengamos números del 1 al 9. La suma de los elementos será 45, y dividiremos este valor por 9. Respuesta: - 5.

Dispersión

En términos científicos, la varianza es el cuadrado promedio de las desviaciones de los valores de característica obtenidos de la media aritmética. Uno se denota con una letra latina mayúscula D. ¿Qué se necesita para calcularlo? Para cada elemento de la secuencia, calculamos la diferencia entre el número disponible y la media aritmética y la elevamos al cuadrado. Habrá exactamente tantos valores como resultados para el evento que estamos considerando. A continuación, resumimos todo lo recibido y lo dividimos por el número de elementos de la secuencia. Si tenemos cinco resultados posibles, entonces divida por cinco.

La varianza también tiene propiedades que debes recordar para aplicarla al resolver problemas. Por ejemplo, si la variable aleatoria aumenta X veces, la varianza aumenta X veces el cuadrado (es decir, X*X). Nunca es menor que cero y no depende de cambiar los valores por un valor igual hacia arriba o hacia abajo. Además, para ensayos independientes, la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas.

Ahora definitivamente necesitamos considerar ejemplos de la varianza de una variable aleatoria discreta y la expectativa matemática.

Digamos que realizamos 21 experimentos y obtenemos 7 resultados diferentes. Observamos cada uno de ellos, respectivamente, 1,2,2,3,4,4 y 5 veces. ¿Cuál será la varianza?

Primero, calculamos la media aritmética: la suma de los elementos, por supuesto, es 21. La dividimos por 7, obteniendo 3. Ahora restamos 3 de cada número en la secuencia original, elevamos al cuadrado cada valor y sumamos los resultados. . Resulta 12. Ahora nos queda dividir el número por el número de elementos y, al parecer, eso es todo. ¡Pero hay una trampa! Discutámoslo.

Dependencia del número de experimentos.

Resulta que al calcular la varianza, el denominador puede ser uno de dos números: N o N-1. Aquí N es el número de experimentos realizados o el número de elementos en la secuencia (que es esencialmente lo mismo). ¿De qué depende?

Si el número de pruebas se mide en centenas, entonces en el denominador debemos poner N. Si en unidades, entonces N-1. Los científicos decidieron dibujar el borde de manera bastante simbólica: hoy corre a lo largo del número 30. Si realizamos menos de 30 experimentos, dividiremos la cantidad por N-1, y si es más, entonces por N.

Tarea

Volvamos a nuestro ejemplo de resolver el problema de la varianza y la expectativa. Obtuvimos un número intermedio de 12, que había que dividir por N o N-1. Como llevamos a cabo 21 experimentos, que son menos de 30, elegiremos la segunda opción. Entonces la respuesta es: la varianza es 12/2 = 2.

Valor esperado

Pasemos al segundo concepto, que debemos considerar en este artículo. La expectativa matemática es el resultado de sumar todos los resultados posibles multiplicados por las probabilidades correspondientes. Es importante entender que el valor obtenido, así como el resultado del cálculo de la varianza, se obtiene una sola vez para toda la tarea, sin importar cuántos resultados se consideren en ella.

La fórmula de la expectativa matemática es bastante simple: tomamos el resultado, lo multiplicamos por su probabilidad, sumamos lo mismo para el segundo, tercer resultado, etc. Todo lo relacionado con este concepto es fácil de calcular. Por ejemplo, la suma de las expectativas matemáticas es igual a la expectativa matemática de la suma. Lo mismo es cierto para el trabajo. No todas las cantidades en la teoría de la probabilidad permiten realizar operaciones tan simples. Tomemos una tarea y calculemos el valor de dos conceptos que hemos estudiado a la vez. Además, la teoría nos distrajo: es hora de practicar.

Un ejemplo más

Realizamos 50 ensayos y obtuvimos 10 tipos de resultados, números del 0 al 9, que aparecieron en porcentajes variables. Estos son, respectivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Recuerda que para obtener las probabilidades, debes dividir los valores porcentuales entre 100. Así, obtenemos 0.02; 0.1 etc Presentemos un ejemplo de resolución del problema de la varianza de una variable aleatoria y la expectativa matemática.

Calculamos la media aritmética usando la fórmula que recordamos de la escuela primaria: 50/10 = 5.

Ahora traduzcamos las probabilidades al número de resultados "en partes" para que sea más conveniente contar. Obtenemos 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 y 9. Restamos la media aritmética de cada valor obtenido, luego elevamos al cuadrado cada uno de los resultados obtenidos. Vea cómo hacer esto con el primer elemento como ejemplo: 1 - 5 = (-4). Además: (-4) * (-4) = 16. Para otros valores, realice estas operaciones usted mismo. Si hiciste todo bien, luego de agregar todo obtienes 90.

Sigamos calculando la varianza y la media dividiendo 90 por N. ¿Por qué elegimos N y no N-1? Así es, porque el número de experimentos realizados supera los 30. Entonces: 90/10 = 9. Obtuvimos la dispersión. Si obtiene un número diferente, no se desespere. Lo más probable es que haya cometido un error banal en los cálculos. Verifique dos veces lo que escribió, y seguro que todo encajará.

Finalmente, recordemos la fórmula de la expectativa matemática. No daremos todos los cálculos, solo escribiremos la respuesta con la que podrá verificar después de completar todos los procedimientos requeridos. El valor esperado será 5,48. Solo recordamos cómo realizar operaciones, usando el ejemplo de los primeros elementos: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... y así sucesivamente. Como puede ver, simplemente multiplicamos el valor del resultado por su probabilidad.

Desviación

Otro concepto estrechamente relacionado con la dispersión y la expectativa matemática es la desviación estándar. Se denota por las letras latinas sd, o por la minúscula griega "sigma". Este concepto muestra cómo, en promedio, los valores se desvían de la característica central. Para encontrar su valor, necesitas calcular la raíz cuadrada de la varianza.

Si traza una distribución normal y desea ver la desviación al cuadrado directamente en ella, puede hacerlo en varios pasos. Tome la mitad de la imagen a la izquierda o derecha de la moda (valor central), dibuje una perpendicular al eje horizontal para que las áreas de las figuras resultantes sean iguales. El valor del segmento entre la mitad de la distribución y la proyección resultante en el eje horizontal será la desviación estándar.

Software

Como puede verse en las descripciones de las fórmulas y los ejemplos presentados, calcular la varianza y la expectativa matemática no es el procedimiento más fácil desde el punto de vista aritmético. Para no perder el tiempo, tiene sentido usar el programa que se usa en la educación superior: se llama "R". Tiene funciones que te permiten calcular valores para muchos conceptos de la estadística y la teoría de la probabilidad.

Por ejemplo, define un vector de valores. Esto se hace de la siguiente manera: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Por fin

La dispersión y la expectativa matemática son sin las cuales es difícil calcular algo en el futuro. En el curso principal de conferencias en universidades, ya se consideran en los primeros meses de estudio del tema. Es precisamente por la falta de comprensión de estos conceptos simples y la incapacidad de calcularlos que muchos estudiantes inmediatamente comienzan a atrasarse en el programa y luego reciben malas calificaciones en la sesión, lo que los priva de becas.

Practique al menos una semana durante media hora al día, resolviendo tareas similares a las presentadas en este artículo. Luego, en cualquier prueba de teoría de la probabilidad, se las arreglará con ejemplos sin consejos superfluos ni hojas de trucos.

Características de los DSW y sus propiedades. Expectativa matemática, varianza, desviación estándar

La ley de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria. Sin embargo, cuando es imposible encontrar la ley de distribución, o no se requiere esta, uno puede limitarse a encontrar valores, llamados características numéricas de una variable aleatoria. Estos valores determinan algún valor medio en torno al cual se agrupan los valores de una variable aleatoria, y el grado de su dispersión en torno a este valor medio.

expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades.

La esperanza matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.

Desde el punto de vista de la probabilidad, podemos decir que la expectativa matemática es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria.

Ejemplo. Se conoce la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Encuentra la expectativa matemática.

X
pag	0.2	0.3	0.1	0.4

Decisión:

9.2 Propiedades de expectativa

1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.

2. Se puede sacar un factor constante del signo de expectativa.

3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Esta propiedad es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.

4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.

Esta propiedad también es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.

Sean realizadas n pruebas independientes, cuya probabilidad de ocurrencia del evento A en el cual es igual a p.

Teorema. La expectativa matemática M(X) del número de ocurrencias del evento A en n intentos independientes es igual al producto del número de intentos y la probabilidad de ocurrencia del evento en cada intento.

Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Decisión:

9.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta

Sin embargo, la expectativa matemática no puede caracterizar completamente un proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, es necesario introducir un valor que caracterice la desviación de los valores de la variable aleatoria de la expectativa matemática.

Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, otras son negativas y, como resultado de su cancelación mutua, se obtiene cero.

Dispersión (dispersión) La variable aleatoria discreta se llama la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática.

En la práctica, este método de cálculo de la varianza es inconveniente, porque conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de una variable aleatoria.

Por lo tanto, se utiliza otro método.

Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la esperanza matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su esperanza matemática.

Prueba. Teniendo en cuenta que la esperanza matemática M (X) y el cuadrado de la esperanza matemática M 2 (X) son valores constantes, podemos escribir:

Ejemplo. Encuentra la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.

X
2x2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Decisión: .

9.4 Propiedades de dispersión

1. La dispersión de un valor constante es cero. .

2. Se puede sacar un factor constante del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. .

3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .

4. La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .

Teorema. La varianza del número de ocurrencias del evento A en n intentos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de ocurrencia del evento es constante, es igual al producto del número de intentos por las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia del evento en cada ensayo.

9.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Desviación Estándar variable aleatoria X se llama la raíz cuadrada de la varianza.

Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de las desviaciones estándar al cuadrado de estas variables.

La expectativa matemática es, la definición

Estera de espera es uno de los conceptos más importantes en estadística matemática y teoría de la probabilidad, que caracteriza la distribución de valores o probabilidades variable aleatoria. Por lo general, se expresa como un promedio ponderado de todos los parámetros posibles de una variable aleatoria. Es ampliamente utilizado en el análisis técnico, el estudio de series de números, el estudio de procesos continuos y de largo plazo. Es importante en la evaluación de riesgos, la predicción de indicadores de precios cuando se negocia en mercados financieros, y se utiliza en el desarrollo de estrategias y métodos de tácticas de juego en teoría del juego.

Jaque mate esperando- Este valor medio de una variable aleatoria, distribución probabilidades variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.

Estera de espera es medida del valor medio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Expectativa matemática de una variable aleatoria X denotado M(x).

La esperanza matemática (media poblacional) es

Estera de espera es

Estera de espera es en la teoría de la probabilidad, el promedio ponderado de todos los valores posibles que puede tomar esta variable aleatoria.

Estera de espera es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por las probabilidades de estos valores.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Estera de espera es el beneficio promedio de una decisión particular, siempre que tal decisión pueda ser considerada en el marco de la teoría de los grandes números y una larga distancia.

Estera de espera es en la teoría del juego, la cantidad de ganancias que un especulador puede ganar o perder, en promedio, por cada apuesta. En el lenguaje de los juegos de azar especuladores esto a veces se llama la "ventaja especulador” (si es positivo para el especulador) o “ventaja de la casa” (si es negativo para el especulador).

La esperanza matemática (media poblacional) es

Estera de espera es ganancia por ganancia multiplicada por el promedio ganancia, menos la pérdida multiplicada por la pérdida media.

Expectativa matemática de una variable aleatoria en teoría matemática

Una de las características numéricas importantes de una variable aleatoria es la expectativa. Introduzcamos el concepto de un sistema de variables aleatorias. Considere un conjunto de variables aleatorias que son los resultados del mismo experimento aleatorio. Si es uno de los posibles valores del sistema, entonces el evento corresponde a una cierta probabilidad que satisface los axiomas de Kolmogorov. Una función definida para cualquier valor posible de variables aleatorias se denomina ley de distribución conjunta. Esta función le permite calcular las probabilidades de cualquier evento. En particular, conjunta ley distribución de variables aleatorias y, que toman valores del conjunto y, viene dada por probabilidades.

El término "mata. expectativa” fue introducido por Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) y se originó a partir del concepto de “valor esperado del pago”, que apareció por primera vez en el siglo XVII en la teoría del juego en las obras de Blaise Pascal y Christian Huygens. Sin embargo, la primera comprensión y evaluación teórica completa de este concepto fue dada por Pafnuty Lvovich Chebyshev (mediados del siglo XIX).

Ley Las distribuciones de variables numéricas aleatorias (función de distribución y series de distribución o densidad de probabilidad) describen completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas basta con conocer algunas características numéricas de la cantidad en estudio (por ejemplo, su valor medio y su posible desviación) para responder a la pregunta planteada. Las principales características numéricas de las variables aleatorias son la expectativa, la varianza, la moda y la mediana.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades. A veces estera. la expectativa se denomina promedio ponderado, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria en una gran cantidad de experimentos. De la definición del tapete de expectativas, se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de una variable aleatoria ni mayor que el más grande. La expectativa matemática de una variable aleatoria es una variable no aleatoria (constante).

La expectativa matemática tiene un significado físico simple: si una unidad de masa se coloca en una línea recta, colocando algo de masa en algunos puntos (para una distribución discreta), o “untándola” con una cierta densidad (para una distribución absolutamente continua), entonces el punto correspondiente a la expectativa del tapete será la coordenada "centro de gravedad" recta.

El valor promedio de una variable aleatoria es un cierto número, que es, por así decirlo, su "representante" y lo reemplaza en cálculos aproximados aproximados. Cuando decimos: “el tiempo medio de funcionamiento de la lámpara es de 100 horas” o “el punto medio de impacto se desplaza en relación con el objetivo 2 m a la derecha”, indicamos con ello una determinada característica numérica de una variable aleatoria que describe su ubicación en el eje numérico, es decir Descripción del Puesto.

De las características de la situación en la teoría de la probabilidad, el papel más importante lo desempeña la expectativa de una variable aleatoria, que a veces se denomina simplemente el valor medio de una variable aleatoria.

Considere una variable aleatoria X, que tiene valores posibles x1, x2, …, xn con probabilidades p1, p2, …, pn. Necesitamos caracterizar por algún número la posición de los valores de la variable aleatoria en el eje x con teniendo en cuenta que estos valores tienen diferentes probabilidades. Para este propósito, es natural utilizar el llamado "promedio ponderado" de los valores xi, y cada valor xi durante el promedio debe tenerse en cuenta con un "peso" proporcional a la probabilidad de este valor. Así, calcularemos la media de la variable aleatoria X, que denotaremos M|X|:

Este promedio ponderado se llama la expectativa mat de la variable aleatoria. Por lo tanto, presentamos en consideración uno de los conceptos más importantes de la teoría de la probabilidad: el concepto de mat. Expectativas. Estera. La expectativa de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades de estos valores.

Estera. esperanza de una variable aleatoria X debido a una peculiar dependencia con la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria con un gran número de experimentos. Esta dependencia es del mismo tipo que la dependencia entre frecuencia y probabilidad, a saber: con un gran número de experimentos, la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria se aproxima (converge en probabilidad) a su estera. esperando. De la presencia de una relación entre frecuencia y probabilidad, se puede deducir como consecuencia la existencia de una relación similar entre la media aritmética y la esperanza matemática. De hecho, considere una variable aleatoria X, caracterizado por una serie de distribuciones:

Que se produzca norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales el valor X toma un cierto valor. Supongamos que el valor x1 apareció m1 tiempos, valor x2 apareció m2 tiempos, significado general xi apareció mi veces. Calculemos la media aritmética de los valores observados de X, que, en contraste con las esteras de expectativa M|X| denotaremos M*|X|:

Con un aumento en el número de experimentos. norte frecuencias Pi se aproximará (convergirá en probabilidad) a las probabilidades correspondientes. Por tanto, la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria M|X| con un aumento en el número de experimentos, se acercará (convergirá en probabilidad) a su expectativa. La relación formulada anteriormente entre la media aritmética y el tapete. la expectativa es el contenido de una de las formas de la ley de los grandes números.

Ya sabemos que todas las formas de la ley de los grandes números establecen el hecho de que ciertos promedios son estables en un gran número de experimentos. Aquí estamos hablando de la estabilidad de la media aritmética de una serie de observaciones del mismo valor. Con un pequeño número de experimentos, la media aritmética de sus resultados es aleatoria; con un aumento suficiente en el número de experimentos, se vuelve "casi no aleatorio" y, al estabilizarse, se acerca a un valor constante: mat. esperando.

La propiedad de estabilidad de los promedios para un gran número de experimentos es fácil de verificar experimentalmente. Por ejemplo, pesando cualquier cuerpo en el laboratorio en balanzas precisas, como resultado del pesaje obtenemos un nuevo valor cada vez; para reducir el error de observación, pesamos el cuerpo varias veces y usamos la media aritmética de los valores obtenidos. Es fácil ver que con un aumento adicional en el número de experimentos (pesadas), la media aritmética reacciona cada vez menos a este aumento, y con un número suficientemente grande de experimentos prácticamente deja de cambiar.

Cabe señalar que la característica más importante de la posición de una variable aleatoria es mat. expectativa - no existe para todas las variables aleatorias. Es posible hacer ejemplos de tales variables aleatorias para las cuales mat. no hay expectativa, ya que la suma o integral correspondiente diverge. Sin embargo, para la práctica, tales casos no son de gran interés. Por lo general, las variables aleatorias con las que tratamos tienen un rango limitado de valores posibles y, por supuesto, tienen una expectativa mat.

Además de las características más importantes de la posición de una variable aleatoria, el valor esperado, a veces se utilizan en la práctica otras características de la posición, en particular, la moda y la mediana de la variable aleatoria.

La moda de una variable aleatoria es su valor más probable. El término "valor más probable", estrictamente hablando, se aplica solo a cantidades discontinuas; para una cantidad continua, la moda es el valor en el que la densidad de probabilidad es máxima. Las figuras muestran la moda para variables aleatorias discontinuas y continuas, respectivamente.

Si el polígono de distribución (curva de distribución) tiene más de un máximo, se dice que la distribución es "polimodal".

A veces hay distribuciones que tienen en el medio no un máximo, sino un mínimo. Tales distribuciones se denominan "antimodales".

En el caso general, la moda y la expectativa de una variable aleatoria no coinciden. En el caso especial cuando la distribución es simétrica y modal (es decir, tiene un modo) y hay un tapete. expectativa, entonces coincide con la moda y el centro de simetría de la distribución.

A menudo se usa otra característica de la posición: la llamada mediana de una variable aleatoria. Esta característica generalmente se usa solo para variables aleatorias continuas, aunque también se puede definir formalmente para una variable discontinua. Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que se biseca el área delimitada por la curva de distribución.

En el caso de una distribución modal simétrica, la mediana coincide con la alfombra. expectativa y moda.

La expectativa matemática es un valor promedio, variable aleatoria, una característica numérica de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. De la manera más general, la expectativa mat de una variable aleatoria X(ancho) se define como la integral de Lebesgue con respecto a la medida de probabilidad R en el espacio de probabilidad original:

Estera. la expectativa también se puede calcular como la integral de Lebesgue de X por distribución de probabilidad píxeles cantidades X:

De forma natural, se puede definir el concepto de variable aleatoria con expectativa infinita. Un ejemplo típico son los tiempos de repatriación en algunos paseos aleatorios.

Con la ayuda de la alfombra. las expectativas se definen por muchas características numéricas y funcionales de la distribución (como la expectativa matemática de las funciones correspondientes de una variable aleatoria), por ejemplo, función generadora, función característica, momentos de cualquier orden, en particular varianza, covarianza.

La esperanza matemática (media poblacional) es

La expectativa matemática es una característica de la ubicación de los valores de una variable aleatoria (el valor promedio de su distribución). En esta capacidad, la expectativa matemática sirve como un parámetro de distribución "típico" y su papel es similar al papel del momento estático, la coordenada del centro de gravedad de la distribución de masa, en mecánica. De otras características de la ubicación, con la ayuda de las cuales la distribución se describe en términos generales: medianas, modas, la expectativa difiere en el mayor valor que tiene y la característica de dispersión correspondiente (varianza) en los teoremas de límite de la teoría de la probabilidad. Con la mayor integridad, el significado de las alfombras de expectativas se revela mediante la ley de los grandes números (desigualdad de Chebyshev) y la ley reforzada de los grandes números.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta

Sea alguna variable aleatoria que pueda tomar uno de varios valores numéricos (por ejemplo, el número de puntos en una tirada de dado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6). A menudo, en la práctica, para tal valor, surge la pregunta: ¿qué valor toma "en promedio" con una gran cantidad de pruebas? ¿Cuál será nuestro rendimiento (o pérdida) promedio de cada una de las operaciones riesgosas?

Digamos que hay algún tipo de lotería. Queremos entender si es rentable o no participar en él (o incluso participar repetidamente, regularmente). Digamos que cada cuarto boleto gana, el premio será de 300 rublos y cualquier boleto, 100 rublos. Con un número infinito de participaciones, esto es lo que sucede. En las tres cuartas partes de los casos, perderemos, cada tres pérdidas costarán 300 rublos. En cada cuarto caso, ganaremos 200 rublos. (premio menos costo), es decir, por cuatro participaciones, perdemos un promedio de 100 rublos, por uno, un promedio de 25 rublos. En total, la tarifa promedio de nuestra ruina será de 25 rublos por boleto.

Tiramos un dado. Si no es hacer trampa (sin cambiar el centro de gravedad, etc.), ¿cuántos puntos tendremos en promedio a la vez? Dado que cada opción es igualmente probable, tomamos la estúpida media aritmética y obtenemos 3,5. Dado que esto es PROMEDIO, no hay necesidad de indignarse de que ningún lanzamiento en particular dé 3.5 puntos; bueno, ¡este cubo no tiene una cara con ese número!

Ahora resumamos nuestros ejemplos:

Echemos un vistazo a la imagen de arriba. A la izquierda hay una tabla de distribución de una variable aleatoria. El valor de X puede tomar uno de los n valores posibles (dados en la fila superior). No puede haber otros valores. Debajo de cada valor posible, su probabilidad se firma a continuación. A la derecha hay una fórmula, donde M(X) se llama mat. esperando. El significado de este valor es que con una gran cantidad de ensayos (con una muestra grande), el valor promedio tenderá a esta misma expectativa.

Volvamos al mismo cubo de juego. Estera. la expectativa de la cantidad de puntos al lanzar es 3.5 (calcule usted mismo usando la fórmula si no se lo cree). Digamos que lo tiraste un par de veces. Cayeron 4 y 6. En promedio, resultó 5, es decir, lejos de 3.5. Lo tiraron de nuevo, cayeron 3, o sea, en promedio (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333... Algo lejos de la lona. Expectativas. Ahora haz un experimento loco: ¡haz rodar el cubo 1000 veces! Y si el promedio no es exactamente 3.5, entonces estará cerca de eso.

Contemos estera. esperando la lotería descrita anteriormente. La tabla se verá así:

Entonces el jaque mate de la expectativa será, como hemos establecido anteriormente:

Otra cosa es que también está "en los dedos", sin fórmula sería difícil que hubiera más opciones. Bueno, digamos que hubo un 75% de boletos perdedores, un 20% de boletos ganadores y un 5% de boletos ganadores.

Ahora algunas propiedades del tapete de expectativas.

Estera. la espera es lineal. Es fácil demostrarlo:

Se permite sacar el multiplicador constante del signo de jaque mate. expectativas, es decir:

Este es un caso especial de la propiedad de linealidad de las alfombras de expectativas.

Otra consecuencia de la linealidad de mat. Expectativas:

eso es mat. la expectativa de la suma de las variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de las variables aleatorias.

Sean X, Y variables aleatorias independientes, entonces:

Esto también es fácil de probar) XY en sí es una variable aleatoria, mientras que si los valores iniciales pudieran tomar norte y metro valores, respectivamente, entonces XY puede tomar valores nm. cada uno de los valores se calcula en base a que se multiplican las probabilidades de eventos independientes. Como resultado, obtenemos esto:

Expectativa matemática de una variable aleatoria continua

Las variables aleatorias continuas tienen una característica como la densidad de distribución (densidad de probabilidad). De hecho, caracteriza la situación en la que una variable aleatoria toma algunos valores del conjunto de números reales con más frecuencia, algunos, con menos frecuencia. Por ejemplo, considere este gráfico:

Aquí X- en realidad una variable aleatoria, f(x)- densidad de distribución. A juzgar por este gráfico, durante los experimentos, el valor X a menudo será un número cercano a cero. posibilidades de superar 3 o ser menos -3 más bien puramente teórico.

Si se conoce la densidad de distribución, la alfombra de expectativas se busca de la siguiente manera:

Supongamos, por ejemplo, que hay una distribución uniforme:

Busquemos una colchoneta. expectativa:

Esto es bastante consistente con la comprensión intuitiva. Digamos que si obtenemos muchos números reales aleatorios con una distribución uniforme, cada uno de los segmentos |0; 1| , entonces la media aritmética debe ser alrededor de 0,5.

Las propiedades de los tapetes de expectativas - linealidad, etc., aplicables a variables aleatorias discretas, también se aplican aquí.

La relación de la expectativa matemática con otros indicadores estadísticos

EN estadístico análisis, junto con la expectativa mat, hay un sistema de indicadores interdependientes que reflejan la homogeneidad de los fenómenos y la estabilidad procesos. A menudo, los indicadores de variación no tienen un significado independiente y se utilizan para análisis de datos adicionales. La excepción es el coeficiente de variación, que caracteriza la homogeneidad datos lo que es valioso estadístico característica.

Grado de variabilidad o estabilidad procesos en la ciencia estadística se puede medir usando varios indicadores.

El indicador más importante que caracteriza variabilidad variable aleatoria, es Dispersión, que está más cercana y directamente conectado con el tapete. esperando. Este parámetro se utiliza activamente en otros tipos de análisis estadístico (prueba de hipótesis, análisis de relaciones de causa y efecto, etc.). Al igual que la desviación lineal media, la varianza también refleja la medida de la dispersión datos alrededor del promedio.

Es útil traducir el lenguaje de los signos al lenguaje de las palabras. Resulta que la varianza es el cuadrado medio de las desviaciones. Es decir, primero se calcula el valor promedio, luego se toma la diferencia entre cada valor original y promedio, se eleva al cuadrado, se suma y luego se divide por el número de valores en esta población. Diferencia entre un solo valor y el promedio refleja la medida de la desviación. Se eleva al cuadrado para garantizar que todas las desviaciones se conviertan exclusivamente en números positivos y para evitar la cancelación mutua de las desviaciones positivas y negativas cuando se suman. Luego, dadas las desviaciones al cuadrado, simplemente calculamos la media aritmética. Promedio - cuadrado - desviaciones. Las desviaciones se elevan al cuadrado y se considera el promedio. La respuesta a la palabra mágica "dispersión" es solo tres palabras.

Sin embargo, en su forma pura, como por ejemplo la media aritmética, o , no se utiliza la dispersión. Es más bien un indicador auxiliar e intermedio que se utiliza para otros tipos de análisis estadístico. Ni siquiera tiene una unidad de medida normal. A juzgar por la fórmula, este es el cuadrado de la unidad de datos original.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Medimos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos la velocidad del viento diez veces y queremos encontrar el valor promedio. ¿Cómo se relaciona el valor medio con la función de distribución?

O tiraremos los dados un gran número de veces. La cantidad de puntos que caerán en el dado durante cada lanzamiento es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural del 1 al 6. norte tiende a un número muy específico - mat. expectativa MX. En este caso, Mx = 3,5.

¿Cómo surgió este valor? Dejar entrar norte juicios n1 una vez que se pierde 1 punto, n2 veces - 2 puntos y así sucesivamente. Entonces el número de resultados en los que cayó un punto:

De manera similar para los resultados cuando cayeron 2, 3, 4, 5 y 6 puntos.

Supongamos ahora que conocemos las distribuciones de la variable aleatoria x, es decir, sabemos que la variable aleatoria x puede tomar los valores x1, x2,..., xk con probabilidades p1, p2,... , paquete.

La expectativa mat Mx de una variable aleatoria x es:

La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Entonces, para estimar el salario promedio, es más razonable usar el concepto de mediana, es decir, un valor tal que el número de personas que reciben menos que la mediana salario y grande, partido.

La probabilidad p1 de que la variable aleatoria x sea menor que x1/2 y la probabilidad p2 de que la variable aleatoria x sea mayor que x1/2 son iguales e iguales a 1/2. La mediana no está determinada de manera única para todas las distribuciones.

Desviación estándar o estándar en estadística, se llama el grado de desviación de los datos o conjuntos de observación del valor PROMEDIO. Denotado por las letras s o s. Una desviación estándar pequeña indica que los datos están agrupados alrededor de la media y una desviación estándar grande indica que los datos iniciales están lejos de ella. La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de una cantidad llamada varianza. Es el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado de los datos iniciales que se desvían de la media. La desviación estándar de una variable aleatoria es la raíz cuadrada de la varianza:

Ejemplo. En condiciones de prueba al disparar a un objetivo, calcule la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria:

Variación- fluctuación, variabilidad del valor del atributo en unidades de la población. Los valores numéricos separados de una característica que ocurren en la población estudiada se denominan variantes de valor. La insuficiencia del valor medio para una caracterización completa de la población hace necesario complementar los valores medios con indicadores que permitan evaluar la tipicidad de estos promedios midiendo la fluctuación (variación) del rasgo en estudio. El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:

variación de tramo(R) es la diferencia entre los valores máximo y mínimo del rasgo en la población estudiada. Este indicador da la idea más general de la fluctuación del rasgo en estudio, ya que muestra diferencia solo entre los valores límite de las variantes. La dependencia de los valores extremos del atributo le da al rango de variación un carácter inestable y aleatorio.

Desviación lineal media es la media aritmética de las desviaciones absolutas (módulo) de todos los valores de la población analizada de su valor promedio:

Expectativa matemática en la teoría del juego

Estera de espera es la cantidad promedio de dinero que un especulador de juegos de azar puede ganar o perder en una apuesta determinada. Este es un concepto muy importante para un especulador, porque es fundamental para la evaluación de la mayoría de las situaciones de juego. La expectativa de mate también es la mejor herramienta para analizar diseños básicos de cartas y situaciones de juego.

Digamos que estás jugando con monedas con un amigo, haciendo una apuesta igual de $1 cada vez, sin importar lo que suceda. Cruz: ganaste, cara: perdiste. Las posibilidades de que salga cruz son de una a una y usted está apostando $1 a $1. Por lo tanto, su expectativa de jaque mate es cero, porque matemáticamente hablando, no puedes saber si liderarás o perderás después de dos tiradas o después de 200.

Su ganancia por hora es cero. El pago por hora es la cantidad de dinero que espera ganar en una hora. Puedes lanzar una moneda 500 veces en una hora, pero no ganarás ni perderás porque sus probabilidades no son ni positivas ni negativas. Si miras, desde el punto de vista de un especulador serio, tal sistema de tarifas no es malo. Pero es sólo una pérdida de tiempo.

Pero suponga que alguien quiere apostar $2 contra su $1 en el mismo juego. Entonces inmediatamente tienes una expectativa positiva de 50 centavos de cada apuesta. porque 50 centavos? En promedio, ganas una apuesta y pierdes la segunda. Apueste al primero y pierda $1, apueste al segundo y gane $2. Ha apostado $1 dos veces y tiene una ventaja de $1. Así que cada una de tus apuestas de un dólar te dio 50 centavos.

Si la moneda cae 500 veces en una hora, su ganancia por hora ya será de $250, porque. en promedio perdiste uno dólar 250 veces y ganó dos dólar 250 veces $500 menos $250 es igual a $250, que es la ganancia total. Tenga en cuenta que el valor esperado, que es la cantidad que gana en promedio en una sola apuesta, es de 50 centavos. Ganaste $250 apostando un dólar 500 veces, lo que equivale a 50 centavos de tu apuesta.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Estera. la expectativa no tiene nada que ver con los resultados a corto plazo. Su oponente, que decidió apostar $2 en su contra, podría ganarle en los primeros diez lanzamientos seguidos, pero usted, con una ventaja de apuestas de 2 a 1, en igualdad de condiciones, gana 50 centavos en cada apuesta de $1 bajo cualquier apuesta. circunstancias. No importa si gana o pierde una apuesta o varias apuestas, pero solo con la condición de que tenga suficiente efectivo para compensar fácilmente los costos. Si continúa apostando de la misma manera, durante un largo período de tiempo sus ganancias se acercarán a la suma de los valores esperados en lanzamientos individuales.

Cada vez que hace una mejor apuesta (una apuesta que puede ser rentable a largo plazo) cuando las probabilidades están a su favor, está obligado a ganar algo, lo pierda o no en una mano determinada. Por el contrario, si hizo una apuesta peor (una apuesta que no es rentable a largo plazo) cuando las probabilidades no están a su favor, pierde algo, ya sea que gane o pierda la mano.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Apuestas con el mejor resultado si tu expectativa es positiva, y es positiva si las probabilidades están a tu favor. Al apostar con el peor resultado, tienes una expectativa negativa, lo que sucede cuando las probabilidades están en tu contra. Los especuladores serios apuestan solo con el mejor resultado, con el peor: se retiran. ¿Qué significa la probabilidad a tu favor? Puede terminar ganando más de lo que ofrecen las probabilidades reales. Las probabilidades reales de salir cruz son de 1 a 1, pero obtienes 2 a 1 debido a la proporción de apuestas. En este caso, las probabilidades están a tu favor. Definitivamente obtienes el mejor resultado con una expectativa positiva de 50 centavos por apuesta.

Aquí hay un ejemplo más complejo. Expectativas. El amigo escribe los números del uno al cinco y apuesta $5 contra tu $1 a que no elegirás el número. ¿Estás de acuerdo con tal apuesta? ¿Cuál es la expectativa aquí?

En promedio, te equivocarás cuatro veces. Basado en esto, las probabilidades en contra de que usted adivine el número serán de 4 a 1. Las probabilidades son que perderá un dólar en un solo intento. Sin embargo, ganas 5 a 1, con la posibilidad de perder 4 a 1. Por lo tanto, las probabilidades están a tu favor, puedes aceptar la apuesta y esperar el mejor resultado. Si hace esta apuesta cinco veces, en promedio perderá cuatro veces $1 y ganará $5 una vez. En base a esto, en los cinco intentos ganará $1 con una expectativa matemática positiva de 20 centavos por apuesta.

Un especulador que va a ganar más de lo que apuesta, como en el ejemplo anterior, está aprovechando las probabilidades. Por el contrario, arruina las posibilidades cuando espera ganar menos de lo que apuesta. El especulador de apuestas puede tener una expectativa positiva o negativa dependiendo de si está atrapando o arruinando las probabilidades.

Si apuesta $50 para ganar $10 con una posibilidad de ganar de 4 a 1, obtendrá una expectativa negativa de $2, porque en promedio, ganará cuatro veces $10 y perderá $50 una vez, lo que muestra que la pérdida por apuesta será de $10. Pero si apuestas $30 para ganar $10, con las mismas probabilidades de ganar 4 a 1, entonces en este caso tienes una expectativa positiva de $2, porque nuevamente gana cuatro veces $10 y pierde $30 una vez, lo cual es ganancia a $10. Estos ejemplos muestran que la primera apuesta es mala y la segunda es buena.

Estera. la expectativa es el centro de cualquier situación de juego. Cuando un corredor de apuestas alienta a los fanáticos del fútbol a apostar $11 para ganar $10, tienen una expectativa positiva de 50 centavos por cada $10. Si el casino paga incluso el dinero de la línea de pase de Dados, entonces la expectativa positiva de la casa es de aproximadamente $1.40 por cada $100; este juego está estructurado para que todos los que apuestan en esta línea pierdan un 50,7% de media y ganen el 49,3% de las veces. Sin duda, es esta expectativa positiva aparentemente mínima la que genera enormes ganancias para los propietarios de casinos de todo el mundo. Como comentó el dueño del casino Vegas World, Bob Stupak: “Una milésima por ciento la probabilidad negativa en una distancia lo suficientemente larga llevará a la bancarrota al hombre más rico del mundo.

Expectativa matemática al jugar al póquer

El juego de Poker es el ejemplo más ilustrativo e ilustrativo en cuanto al uso de la teoría y propiedades de la alfombra de espera.

Estera. Valor esperado en el póquer: el beneficio promedio de una decisión en particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse en el marco de la teoría de los números grandes y la distancia. El póquer exitoso consiste en aceptar siempre movimientos con una expectativa matemática positiva.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Significado matemático. La expectativa al jugar al póquer radica en el hecho de que a menudo nos encontramos con variables aleatorias al tomar una decisión (no sabemos qué cartas tiene el oponente en su mano, qué cartas vendrán en rondas posteriores comercio). Debemos considerar cada una de las soluciones desde el punto de vista de la teoría de los grandes números, que dice que con una muestra suficientemente grande, el valor medio de una variable aleatoria tenderá a su media.

Entre las fórmulas particulares para calcular las alfombras de expectativas, la siguiente es la más aplicable en el póquer:

Al jugar al póquer mat. la expectativa se puede calcular tanto para apuestas como para llamadas. En el primer caso, se debe tener en cuenta el fold equity, en el segundo, las propias probabilidades del bote. Al evaluar mat. expectativa de este o aquel movimiento, debe recordarse que el pliegue siempre tiene una expectativa cero. Así, descartar cartas siempre será una decisión más rentable que cualquier jugada negativa.

La esperanza matemática (media poblacional) es

La expectativa le dice lo que puede esperar (o perder) por cada riesgo que toma. Los casinos ganan dinero porque la expectativa de jaque mate de todos los juegos que en ellos se practican es a favor del casino. Con una serie de juegos lo suficientemente larga, se puede esperar que el cliente pierda su dinero porque la "probabilidad" está a favor del casino. Sin embargo, los especuladores de casino profesionales limitan sus juegos a períodos cortos de tiempo, lo que aumenta las probabilidades a su favor. Lo mismo ocurre con la inversión. Si su expectativa es positiva, puede ganar más dinero realizando muchas operaciones en un corto período de tiempo. período tiempo. La expectativa es su porcentaje de ganancia por ganancia multiplicado por su ganancia promedio menos su probabilidad de pérdida multiplicada por su pérdida promedio.

El póquer también se puede ver en términos de jaque mate. Puede suponer que cierto movimiento es rentable, pero en algunos casos puede que no sea el mejor, porque otro movimiento es más rentable. Digamos que consigues un full house en un póquer de cinco cartas. Tu oponente apuesta. Sabes que si subes la apuesta, te llamará. Así que subir parece la mejor táctica. Pero si aumenta la apuesta, los dos especuladores restantes definitivamente se retirarán. Pero si iguala la apuesta, estará completamente seguro de que los otros dos especuladores después de usted harán lo mismo. Cuando aumentas la apuesta, obtienes una unidad, y simplemente igualando, dos. Así que igualar te da un valor esperado positivo más alto y es la mejor táctica.

Estera. esperar también puede dar una idea de qué tácticas de póquer son menos rentables y cuáles son más rentables. Por ejemplo, si juega una mano en particular y cree que su pérdida promedio es de 75 centavos, incluidos los antes, entonces debe jugar esa mano porque esto es mejor que retirarse cuando la apuesta inicial es de $1.

Otra razón importante para entender la esencia de mat. La expectativa es que le dé una sensación de tranquilidad ya sea que haya ganado la apuesta o no: si hizo una buena apuesta o se retiró a tiempo, sabrá que ha ganado o ahorrado una cierta cantidad de dinero que el especulador más débil podría no guardar Es mucho más difícil retirarse si está frustrado porque su oponente tiene una mejor mano en el proyecto. Con todo esto, lo que ahorras al no jugar, en lugar de apostar, se suma a tus ganancias por noche o por mes.

Solo recuerda que si cambias de manos, tu oponente te pagará y, como verás en el artículo sobre el Teorema fundamental del póquer, esta es solo una de tus ventajas. Deberías alegrarte cuando esto suceda. Incluso puedes aprender a disfrutar de una mano perdida, porque sabes que otros especuladores en tu lugar perderían mucho más.

Como se mencionó en el ejemplo del juego de monedas al principio, la relación de ganancias por hora está relacionada con la expectativa matemática, y este concepto es especialmente importante para los especuladores profesionales. Cuando vas a jugar al poker, debes estimar mentalmente cuánto puedes ganar en una hora de juego. En la mayoría de los casos, deberá confiar en su intuición y experiencia, pero también puede usar algunos cálculos matemáticos. Por ejemplo, si estás jugando draw lowball y ves que tres jugadores apuestan $10 y luego sacan dos cartas, lo cual es una táctica muy mala, puedes calcular por ti mismo que cada vez que apuestan $10 pierden alrededor de $2. Cada uno de ellos hace esto ocho veces por hora, lo que significa que los tres pierden alrededor de $48 por hora. Usted es uno de los cuatro especuladores restantes, que son aproximadamente iguales, por lo que estos cuatro especuladores (y usted entre ellos) tienen que compartir $48 y cada uno obtendrá una ganancia de $12 por hora. Su tarifa por hora en este caso es simplemente su parte de la cantidad de dinero perdido por tres malos especuladores en una hora.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Durante un largo período de tiempo, la ganancia total del especulador es la suma de sus expectativas matemáticas en distribuciones separadas. Cuanto más juegue con expectativas positivas, más ganará y, a la inversa, cuantas más manos juegue con expectativas negativas, más perderá. Como resultado, debe priorizar un juego que pueda maximizar su expectativa positiva o negar la negativa para que pueda maximizar su ganancia por hora.

Expectativa matemática positiva en la estrategia de juego

Si sabe cómo contar cartas, puede tener una ventaja sobre el casino si no se dan cuenta y lo echan. A los casinos les encantan los especuladores borrachos y odian a los contadores de cartas. La ventaja te permitirá ganar más veces de las que pierdes con el tiempo. Una buena administración del dinero mediante cálculos de jaque mate puede ayudarlo a sacar más provecho de su ventaja y reducir sus pérdidas. Sin una ventaja, es mejor dar el dinero a la caridad. En el juego en bolsa, la ventaja la da el sistema del juego, que genera más ganancias que pérdidas, la diferencia precios y comisiones. Ninguna la gestión del capital no salvará un mal sistema de juego.

Una expectativa positiva se define por un valor mayor que cero. Cuanto mayor sea este número, más fuerte será la expectativa estadística. Si el valor es menor que cero, entonces la expectativa también será negativa. Cuanto mayor sea el módulo de un valor negativo, peor será la situación. Si el resultado es cero, entonces la expectativa es de equilibrio. Solo puedes ganar cuando tienes una expectativa matemática positiva, un sistema de juego razonable. Jugar con la intuición conduce al desastre.

Esperanza matemática y

La expectativa matemática es un indicador estadístico bastante demandado y popular en la implementación del comercio de divisas en los mercados financieros. mercados. En primer lugar, este parámetro se utiliza para analizar el éxito comercio. No es difícil adivinar que cuanto mayor sea este valor, más razones para considerar exitosa la operación en estudio. Por supuesto, el análisis trabaja trader no se puede hacer solo con la ayuda de este parámetro. Sin embargo, el valor calculado junto con otros métodos de evaluación de la calidad trabaja, puede mejorar significativamente la precisión del análisis.

La expectativa de Mat a menudo se calcula en los servicios de monitoreo de cuentas comerciales, lo que le permite evaluar rápidamente el trabajo realizado en el depósito. Como excepciones, podemos citar estrategias que utilizan la "permanencia" de operaciones perdedoras. Comerciante la suerte puede acompañarlo durante algún tiempo y, por lo tanto, es posible que no haya pérdidas en absoluto en su trabajo. En este caso, no se podrá navegar sólo por la expectativa, pues no se tendrán en cuenta los riesgos utilizados en la obra.

en el comercio de mercado la expectativa mat se usa con mayor frecuencia cuando se predice la rentabilidad de una estrategia comercial o cuando se pronostican los ingresos comerciante basado en las estadísticas de su anterior ofertas.

La esperanza matemática (media poblacional) es

En relación con la gestión del dinero, es muy importante entender que al realizar transacciones con una expectativa negativa, no existe un esquema. administración dinero, que definitivamente puede traer grandes ganancias. Si sigues jugando bolsa en estas condiciones, independientemente del método administración dinero, perderá toda su cuenta, sin importar cuán grande fuera al principio.

Este axioma no solo es cierto para los juegos o intercambios de expectativas negativas, sino que también es cierto para los juegos de probabilidades pares. Por lo tanto, el único caso en el que tienes la oportunidad de beneficiarte a largo plazo es cuando haces tratos con una expectativa matemática positiva.

La diferencia entre la expectativa negativa y la expectativa positiva es la diferencia entre la vida y la muerte. No importa cuán positiva o negativa sea la expectativa; lo que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de considerar cuestiones de gestión capital debes encontrar un juego con una expectativa positiva.

Si no tienes ese juego, ninguna cantidad de administración de dinero en el mundo te salvará. Por otro lado, si tiene una expectativa positiva, entonces es posible, a través de una adecuada administración del dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡No importa cuán pequeña sea la expectativa positiva! En otras palabras, no importa cuán rentable sea un sistema comercial basado en un contrato. Si tiene un sistema que gana $ 10 por contrato en una sola operación (después de las comisiones y el deslizamiento), se pueden usar técnicas de administración capital de una manera que lo hace más rentable que un sistema que muestra una ganancia promedio de $1,000 por operación (después de las tarifas y el deslizamiento).

Lo que importa no es qué tan rentable fue el sistema, sino qué tan seguro se puede decir que el sistema mostrará al menos una ganancia mínima en el futuro. Por lo tanto, la preparación más importante que se puede hacer es asegurarse de que el sistema muestre un valor esperado positivo en el futuro.

Para tener un valor esperado positivo en el futuro, es muy importante no limitar los grados de libertad de su sistema. Esto se logra no solo eliminando o reduciendo el número de parámetros a optimizar, sino también reduciendo tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla que establece, cada pequeño cambio que realiza en el sistema reduce la cantidad de grados de libertad. Idealmente, desea construir un sistema bastante primitivo y simple que constantemente generará una pequeña ganancia en casi cualquier mercado. Una vez más, es importante que comprenda que no importa cuán rentable sea un sistema, siempre que sea rentable. lo que gane en el comercio se obtendrá a través de una administración efectiva del dinero.

La esperanza matemática (media poblacional) es

Un sistema de comercio es simplemente una herramienta que le brinda una expectativa matemática positiva para que se pueda usar la administración del dinero. Los sistemas que funcionan (muestran al menos una ganancia mínima) en solo uno o unos pocos mercados, o tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados, probablemente no funcionarán en tiempo real por mucho tiempo. El problema con la mayoría de los comerciantes técnicos es que dedican demasiado tiempo y esfuerzo a optimizar las diversas reglas y parámetros de un sistema comercial. Esto da resultados completamente opuestos. En lugar de desperdiciar energía y tiempo de computadora en aumentar las ganancias del sistema comercial, dirija su energía a aumentar el nivel de confiabilidad para obtener la ganancia mínima.

Sabiendo que la gestión del capital- este es solo un juego de números que requiere el uso de expectativas positivas, el comerciante puede dejar de buscar el "santo grial" de negociar en el intercambio. En cambio, puede comenzar a probar su método de negociación, descubrir qué tan lógico es este método, si genera expectativas positivas. Los métodos adecuados de administración del dinero aplicados a cualquier método comercial, incluso a los muy mediocres, harán el resto del trabajo.

Para que cualquier comerciante tenga éxito en su trabajo, necesita resolver las tres tareas más importantes: Para garantizar que el número de transacciones exitosas supere los errores y errores de cálculo inevitables; Configure su sistema de comercio para que la oportunidad de ganar dinero sea tan frecuente como sea posible; Logre un resultado positivo estable de sus operaciones.

Y aquí, para nosotros, los comerciantes que trabajan, el jaque mate puede ser una buena ayuda. expectativa. Este término en la teoría de la probabilidad es una de las claves. Con él, puede dar una estimación promedio de algún valor aleatorio. La expectativa matemática de una variable aleatoria es similar al centro de gravedad, si imaginamos todas las probabilidades posibles como puntos con diferentes masas.

En relación con una estrategia comercial, para evaluar su efectividad, la expectativa de ganancia (o pérdida) se usa con mayor frecuencia. Este parámetro se define como la suma de los productos de los niveles de pérdidas y ganancias dados y la probabilidad de que ocurran. Por ejemplo, la estrategia comercial desarrollada asume que el 37% de todas las operaciones generarán ganancias y el resto, el 63%, no será rentable. Al mismo tiempo, el promedio ingreso de una transacción exitosa será de 7 dólares, y la pérdida promedio será igual a 1,4 dólares. Calculemos mat. expectativa de operar en un sistema de este tipo:

¿Qué significa este número? Dice que, siguiendo las reglas de este sistema, en promedio, recibiremos 1.708 dólares de cada transacción cerrada. Dado que la puntuación de eficiencia resultante es mayor que cero, dicho sistema se puede utilizar para el trabajo real. Si, como resultado del cálculo del tapete, la expectativa resulta negativa, esto ya indica una pérdida promedio y esto conducirá a la ruina.

La cantidad de beneficio por operación también se puede expresar como un valor relativo en forma de %. Por ejemplo:

Porcentaje de ingresos por 1 transacción - 5%;

El porcentaje de operaciones comerciales exitosas - 62%;

Porcentaje de pérdida por 1 comercio - 3%;

El porcentaje de transacciones fallidas - 38%;

En este caso, mat. expectativa será:

Es decir, la transacción promedio traerá 1.96%.

Es posible desarrollar un sistema que, a pesar del predominio de operaciones perdedoras, dará un resultado positivo, ya que su MO>0.

Sin embargo, esperar solo no es suficiente. Es difícil ganar dinero si el sistema da muy pocas señales comerciales. En este caso, será comparable al interés bancario. Deje que cada operación traiga solo 0.5 dólares en promedio, pero ¿qué pasa si el sistema asume 1000 transacciones por año? Esta será una cantidad muy seria en un tiempo relativamente corto. De esto se deduce lógicamente que otro sello distintivo de un buen sistema comercial puede considerarse un período de tenencia breve.

Fuentes y enlaces

dic.academic.ru - diccionario académico en línea

math.ru - sitio educativo sobre matemáticas

nsu.ru - sitio web educativo de la Universidad Estatal de Novosibirsk

webmath.ru - un portal educativo para estudiantes, solicitantes y escolares.

exponenta.ru sitio web matemático educativo

ru.tradimo.com - escuela de comercio en línea gratuita

crypto.hut2.ru - recurso de información multidisciplinario

poker-wiki.ru - enciclopedia libre de poker

sernam.ru - Biblioteca científica de publicaciones seleccionadas de ciencias naturales

reshim.su - sitio web

unfx.ru - Forex en UNFX: formación, señales comerciales, gestión de confianza

- - expectativa matemática Una de las características numéricas de una variable aleatoria, a menudo llamada su promedio teórico. Para una variable aleatoria discreta X, matemática ... ... Manual del traductor técnico

VALOR ESPERADO- (valor esperado) El valor medio de la distribución de la variable económica que puede tomar. Si pt es el precio del bien en el tiempo t, su expectativa matemática se denota por Ept. Para indicar el momento en el que ... ... Diccionario económico

Valor esperado- el valor medio de una variable aleatoria. La esperanza matemática es un valor determinista. La media aritmética de las realizaciones de una variable aleatoria es una estimación de la expectativa matemática. Promedio… … La terminología oficial es el (valor medio) de una variable aleatoria una característica numérica de una variable aleatoria. Si una variable aleatoria dada en un espacio de probabilidad (ver Teoría de la probabilidad), entonces su M. o. MX (o EX) se define como la integral de Lebesgue: donde... Enciclopedia Física

VALOR ESPERADO- una variable aleatoria es su característica numérica. Si una variable aleatoria X tiene una función de distribución F(x), entonces su M. o. será: . Si la distribución de X es discreta, entonces М.о.: , donde x1, x2, ... son valores posibles de la variable aleatoria discreta X; p1... Enciclopedia geológica

VALOR ESPERADO- Inglés. valor esperado; Alemán Erwartung mathematische. Media estocástica o centro de dispersión de una variable aleatoria. Antinazi. Enciclopedia de Sociología, 2009 ... Enciclopedia de Sociología

Valor esperado- Ver también: Expectativa condicional La expectativa matemática es el valor medio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, se considera en la teoría de la probabilidad. En literatura inglesa y en matemática ... ... Wikipedia

Valor esperado- 1.14 Expectativa matemática E (X) donde valores xi de una variable aleatoria discreta; p = P (X = xi); f(x) es la densidad de una variable aleatoria continua * Si esta expresión existe en el sentido de convergencia absoluta Fuente... Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica

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- el número de niños entre 10 recién nacidos.

Está bastante claro que este número no se conoce de antemano, y en los próximos diez niños que nazcan puede haber:

O chicos - uno y solo uno de las opciones enumeradas.

Y, para mantenerse en forma, un poco de educación física:

- distancia de salto de longitud (en algunas unidades).

Incluso el maestro de los deportes no puede predecirlo :)

Sin embargo, ¿cuáles son sus hipótesis?

2) Variable aleatoria continua - toma todos valores numéricos de algún rango finito o infinito.

Nota : las abreviaturas DSV y NSV son populares en la literatura educativa

Primero, analicemos una variable aleatoria discreta, luego - continuo.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta

- Este conformidad entre los posibles valores de esta cantidad y sus probabilidades. La mayoría de las veces, la ley está escrita en una tabla:

El término es bastante común. hilera distribución, pero en algunas situaciones suena ambiguo y, por lo tanto, me adheriré a la "ley".

Y ahora punto muy importante: ya que la variable aleatoria necesariamente Va a aceptar uno de los valores, entonces se forman los eventos correspondientes grupo completo y la suma de las probabilidades de su ocurrencia es igual a uno:

o, si se escribe doblado:

Entonces, por ejemplo, la ley de la distribución de probabilidades de puntos en un dado tiene la siguiente forma:

Sin comentarios.

Puede tener la impresión de que una variable aleatoria discreta solo puede tomar valores enteros "buenos". Disipemos la ilusión: pueden ser cualquier cosa:

Ejemplo 1

Algunos juegos tienen la siguiente ley de distribución de pagos:

…probablemente has estado soñando con tales tareas durante mucho tiempo :) Déjame contarte un secreto: yo también. Especialmente después de terminar el trabajo en teoría del campo.

Decisión: dado que una variable aleatoria puede tomar solo uno de tres valores, los eventos correspondientes se forman grupo completo, lo que significa que la suma de sus probabilidades es igual a uno:

Exponemos al "partidario":

– por lo tanto, la probabilidad de ganar unidades convencionales es de 0,4.

Control: lo que necesitas para asegurarte.

Responder:

No es raro que la ley de distribución deba compilarse de forma independiente. Para este uso definición clásica de probabilidad, teoremas de multiplicación/adición para probabilidades de eventos y otras fichas tevera:

Ejemplo 2

Hay 50 boletos de lotería en la caja, 12 de los cuales son ganadores, y 2 de ellos ganan 1000 rublos cada uno, y el resto, 100 rublos cada uno. Elabore una ley de distribución de una variable aleatoria: el tamaño de las ganancias, si se extrae un boleto al azar de la caja.

Decisión: como notaron, es costumbre colocar los valores de una variable aleatoria en orden ascendente. Por lo tanto, comenzamos con las ganancias más pequeñas y, a saber, los rublos.

En total, hay 50 - 12 = 38 billetes de este tipo, y según definición clásica:
es la probabilidad de que no gane un boleto extraído al azar.

El resto de los casos son simples. La probabilidad de ganar rublos es:

Comprobación: - ¡y este es un momento particularmente agradable de tales tareas!

Responder: la ley de distribución de pagos requerida:

La siguiente tarea para una decisión independiente:

Ejemplo 3

La probabilidad de que el tirador dé en el blanco es . Haga una ley de distribución para una variable aleatoria: el número de aciertos después de 2 disparos.

... Sabía que lo extrañabas :) Lo recordamos teoremas de multiplicacion y suma. Solución y respuesta al final de la lección.

La ley de distribución describe completamente una variable aleatoria, pero en la práctica es útil (ya veces más útil) conocer solo una parte de ella. características numéricas .

Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta

En términos simples, esto valor medio esperado con pruebas repetidas. Que una variable aleatoria tome valores con probabilidades respectivamente. Entonces la expectativa matemática de esta variable aleatoria es igual a suma de obras todos sus valores por las probabilidades correspondientes:

o en forma plegada:

Calculemos, por ejemplo, la expectativa matemática de una variable aleatoria: la cantidad de puntos que se arrojan en un dado:

Ahora recordemos nuestro juego hipotético:

Surge la pregunta: ¿es rentable jugar este juego? ... ¿quién tiene alguna impresión? ¡Así que no puedes decir "a la ligera"! Pero esta pregunta se puede responder fácilmente calculando la expectativa matemática, en esencia: peso promedio probabilidades de ganar:

Por lo tanto, la expectativa matemática de este juego perdiendo.

No confíes en las impresiones, ¡confía en los números!

Sí, aquí puedes ganar 10 o incluso 20-30 veces seguidas, pero a la larga, inevitablemente, estaremos arruinados. Y no te aconsejaría jugar a esos juegos :) Bueno, tal vez solo por diversión.

De todo lo anterior se deduce que la expectativa matemática NO es un valor ALEATORIO.

Tarea creativa para la investigación independiente:

Ejemplo 4

Mr X juega a la ruleta europea según el siguiente sistema: apuesta constantemente 100 rublos al rojo. Componga la ley de distribución de una variable aleatoria: su pago. Calcule la expectativa matemática de ganancias y redondee a kopeks. Cuánto promedio¿Pierde el jugador por cada cien apuesta?

Referencia : La ruleta europea contiene 18 sectores rojos, 18 negros y 1 verde ("cero"). En el caso de que caiga un "rojo", el jugador recibe una apuesta doble; de ​​lo contrario, se destina a los ingresos del casino.

Existen muchos otros sistemas de ruleta para los que puede crear sus propias tablas de probabilidad. Pero este es el caso cuando no necesitamos leyes y tablas de distribución, porque se establece con certeza que la expectativa matemática del jugador será exactamente la misma. Solo cambios de sistema a sistema

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.

Si una variable aleatoria puede tomar solo las probabilidades de que sean respectivamente iguales, entonces la esperanza matemática de una variable aleatoria está determinada por la igualdad

Si una variable aleatoria discreta toma un conjunto contable de valores posibles, entonces

Además, la esperanza matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.

Comentario. De la definición se deduce que la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es una variable no aleatoria (constante).

Definición de esperanza matemática en el caso general

Definamos la expectativa matemática de una variable aleatoria cuya distribución no es necesariamente discreta. Comencemos con el caso de las variables aleatorias no negativas. La idea será aproximar dichas variables aleatorias con la ayuda de variables aleatorias discretas, para las que ya se ha determinado la expectativa matemática, y establecer la expectativa matemática igual al límite de las expectativas matemáticas de las variables aleatorias discretas que la aproximan. Por cierto, esta es una idea general muy útil, que consiste en el hecho de que primero se determina alguna característica para objetos simples, y luego para objetos más complejos se determina aproximándolos con otros más simples.

Lema 1. Sea una variable aleatoria arbitraria no negativa. Entonces hay una secuencia de variables aleatorias discretas tal que

Prueba. Dividamos el semieje en segmentos iguales de longitud y definamos

Entonces las propiedades 1 y 2 se siguen fácilmente de la definición de una variable aleatoria, y

Lema 2. Sean una variable aleatoria no negativa y dos secuencias de variables aleatorias discretas con propiedades 1-3 del Lema 1. Entonces

Prueba. Tenga en cuenta que para variables aleatorias no negativas permitimos

Por la propiedad 3, es fácil ver que existe una secuencia de números positivos tal que

De ahí se sigue que

Usando las propiedades de las expectativas matemáticas para variables aleatorias discretas, obtenemos

Pasando al límite como obtenemos la afirmación del Lema 2.

Definición 1. Sea una variable aleatoria no negativa, sea una secuencia de variables aleatorias discretas con propiedades 1-3 del Lema 1. La expectativa matemática de una variable aleatoria es el número

El lema 2 garantiza que no depende de la elección de la sucesión de aproximación.

Sea ahora una variable aleatoria arbitraria. definamos

De la definición y se deduce fácilmente que

Definición 2. La esperanza matemática de una variable aleatoria arbitraria es el número

Si al menos uno de los números del lado derecho de esta igualdad es finito.

Propiedades de expectativa

Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:

Prueba. Consideraremos una constante como una variable aleatoria discreta que tiene un valor posible y lo toma con probabilidad, por lo tanto,

Observación 1. Definimos el producto de un valor constante por una variable aleatoria discreta como una variable aleatoria discreta cuyos valores posibles son iguales a los productos de una constante por valores posibles; las probabilidades de los valores posibles son iguales a las probabilidades de los valores posibles correspondientes. Por ejemplo, si la probabilidad de un valor posible es igual, entonces la probabilidad de que el valor tome un valor también es igual a

Propiedad 2. Se puede sacar un factor constante del signo de expectativa:

Prueba. Sea la variable aleatoria dada por la ley de distribución de probabilidad:

Considerando la Observación 1, escribimos la ley de distribución de la variable aleatoria

Observación 2. Antes de pasar a la siguiente propiedad, señalamos que dos variables aleatorias se llaman independientes si la ley de distribución de una de ellas no depende de qué valores posibles haya tomado la otra variable. De lo contrario, las variables aleatorias son dependientes. Varias variables aleatorias se denominan mutuamente independientes si las leyes de distribución de cualquier número de ellas no dependen de los posibles valores que hayan tomado las otras variables.

Observación 3. Definimos el producto de variables aleatorias independientes y como una variable aleatoria cuyos valores posibles son iguales a los productos de cada valor posible por cada valor posible de las probabilidades de los valores posibles del producto son iguales a los productos de las probabilidades de los posibles valores de los factores. Por ejemplo, si la probabilidad de un valor posible es, la probabilidad de un valor posible es entonces la probabilidad de un valor posible es

Propiedad 3. La esperanza matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:

Prueba. Sean variables aleatorias independientes y dadas por sus propias leyes de distribución de probabilidad:

Vamos a inventar todos los valores que puede tomar una variable aleatoria, para ello multiplicamos todos los valores posibles por cada valor posible; como resultado, obtenemos y, teniendo en cuenta la Observación 3, escribimos la ley de distribución asumiendo por simplicidad que todos los valores posibles del producto son diferentes (si no es así, entonces la prueba se realiza de manera similar):

La expectativa matemática es igual a la suma de los productos de todos los valores posibles y sus probabilidades:

Consecuencia. La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias independientes entre sí es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Propiedad 4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:

Prueba. Sean variables aleatorias y dadas por las siguientes leyes de distribución:

Componer todos los valores posibles de la cantidad Para ello, suma cada valor posible a cada valor posible; obtenemos Supongamos por simplicidad que estos valores posibles son diferentes (si no es así, entonces la prueba se realiza de manera similar), y denotamos sus probabilidades por y respectivamente

La esperanza matemática de un valor es igual a la suma de los productos de los valores posibles por sus probabilidades:

Probemos que un Evento que consiste en tomar un valor (la probabilidad de este evento es igual) implica un evento que consiste en tomar el valor o (la probabilidad de este evento es igual por el teorema de la suma), y viceversa. De ahí se sigue que las igualdades

Sustituyendo las partes derechas de estas igualdades en la relación (*), obtenemos

o finalmente

Dispersión y desviación estándar

En la práctica, a menudo se requiere estimar la dispersión de los posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio. Por ejemplo, en la artillería es importante saber qué tan cerca caerán los proyectiles del objetivo que debe ser alcanzado.

A primera vista, puede parecer que la forma más fácil de estimar la dispersión es calcular todos los valores posibles de la desviación de una variable aleatoria y luego encontrar su valor promedio. Sin embargo, este camino no dará nada, ya que el valor promedio de la desviación, es decir. para cualquier variable aleatoria es cero. Esta propiedad se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, mientras que otras son negativas; como resultado de su cancelación mutua, el valor medio de la desviación es cero. Estas consideraciones indican la conveniencia de sustituir las posibles desviaciones por sus valores absolutos o sus cuadrados. Así es como lo hacen en la práctica. Es cierto que en el caso de que las posibles desviaciones se reemplacen por sus valores absolutos, uno tiene que operar con valores absolutos, lo que a veces conduce a serias dificultades. Por lo tanto, la mayoría de las veces van en sentido contrario, es decir, calcule el valor promedio de la desviación al cuadrado, que se llama la varianza.