Lección de la serie "Algoritmos geométricos"

¡Hola querido lector!

Hoy comenzaremos a aprender algoritmos relacionados con la geometría. El hecho es que hay muchos problemas olímpicos en ciencias de la computación relacionados con la geometría computacional, y la solución de tales problemas a menudo causa dificultades.

En algunas lecciones, consideraremos una serie de subproblemas elementales en los que se basa la solución de la mayoría de los problemas de geometría computacional.

En esta lección, escribiremos un programa para hallar la ecuacion de una linea recta pasando por lo dado dos puntos. Para resolver problemas geométricos, necesitamos algunos conocimientos de geometría computacional. Dedicaremos parte de la lección a conocerlos.

Información de la geometría computacional

La geometría computacional es una rama de la informática que estudia algoritmos para resolver problemas geométricos.

Los datos iniciales para tales problemas pueden ser un conjunto de puntos en el plano, un conjunto de segmentos, un polígono (dado, por ejemplo, por una lista de sus vértices en el sentido de las agujas del reloj), etc.

El resultado puede ser una respuesta a alguna pregunta (por ejemplo, ¿pertenece un punto a un segmento, se intersecan dos segmentos, ...), o algún objeto geométrico (por ejemplo, el polígono convexo más pequeño que conecta puntos dados, el área de un polígono, etc.).

Consideraremos problemas de geometría computacional solo en el plano y solo en el sistema de coordenadas cartesianas.

Vectores y coordenadas

Para aplicar los métodos de la geometría computacional, es necesario traducir las imágenes geométricas al lenguaje de los números. Suponemos que se da un sistema de coordenadas cartesianas en el plano, en el que la dirección de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj se llama positiva.

Ahora los objetos geométricos reciben una expresión analítica. Entonces, para establecer un punto, basta con especificar sus coordenadas: un par de números (x; y). Un segmento se puede especificar especificando las coordenadas de sus extremos, una línea recta se puede especificar especificando las coordenadas de un par de sus puntos.

Pero la herramienta principal para resolver problemas serán los vectores. Permítanme recordarles, por lo tanto, algunos datos sobre ellos.

Segmento de línea AB, que tiene un punto PERO considerado el comienzo (punto de aplicación), y el punto EN- el final se llama vector AB y denote ya sea , o en negrita minúscula, Por ejemplo un .

Para indicar la longitud de un vector (es decir, la longitud del segmento correspondiente), utilizaremos el símbolo de módulo (por ejemplo, ).

Un vector arbitrario tendrá coordenadas, diferencias iguales coordenadas correspondientes de su final y comienzo:

,

puntos aquí UN y B tener coordenadas respectivamente.

Para los cálculos, usaremos el concepto ángulo orientado, es decir, un ángulo que tiene en cuenta la posición relativa de los vectores.

Ángulo orientado entre vectores un y b positivo si la rotación se aleja del vector un al vector b se realiza en sentido positivo (sentido antihorario) y negativo en el otro caso. Ver fig.1a, fig.1b. También se dice que un par de vectores un y b orientación positiva (negativa).

Así, el valor del ángulo orientado depende del orden de enumeración de los vectores y puede tomar valores en el intervalo.

Muchos problemas de geometría computacional utilizan el concepto de productos vectoriales (sesgados o pseudoescalares) de vectores.

El producto vectorial de los vectores a y b es el producto de las longitudes de estos vectores y el seno del ángulo entre ellos:

.

Producto vectorial de vectores en coordenadas:

La expresión de la derecha es un determinante de segundo orden:

A diferencia de la definición dada en geometría analítica, este es un escalar.

El signo del producto vectorial determina la posición de los vectores entre sí:

un y b orientado positivamente.

Si el valor es , entonces el par de vectores un y b orientado negativamente.

El producto vectorial de vectores distintos de cero es cero si y solo si son colineales ( ). Esto significa que se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas.

Consideremos algunas tareas simples necesarias para resolver otras más complejas.

Definamos la ecuación de una línea recta por las coordenadas de dos puntos.

La ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos diferentes dada por sus coordenadas.

Sean dados dos puntos no coincidentes en la recta: con coordenadas (x1; y1) y con coordenadas (x2; y2). En consecuencia, el vector con el comienzo en el punto y el final en el punto tiene coordenadas (x2-x1, y2-y1). Si P(x, y) es un punto arbitrario en nuestra línea, entonces las coordenadas del vector son (x-x1, y - y1).

Con la ayuda del producto vectorial, la condición para la colinealidad de los vectores y se puede escribir de la siguiente manera:

Aquellas. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Reescribimos la última ecuación de la siguiente manera:

hacha + por + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Entonces, la línea recta puede estar dada por una ecuación de la forma (1).

Tarea 1. Se dan las coordenadas de dos puntos. Encuentre su representación en la forma ax + by + c = 0.

En esta lección, nos familiarizamos con cierta información de la geometría computacional. Resolvimos el problema de hallar la ecuación de la recta por las coordenadas de dos puntos.

En la próxima lección, escribiremos un programa para encontrar el punto de intersección de dos rectas dadas por nuestras ecuaciones.

Se dan dos puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Escribimos la ecuación de una línea recta en la forma (5), donde k coeficiente aún desconocido:

Desde el punto M 2 pertenece a una línea dada, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (5): . Expresando a partir de aquí y sustituyéndolo en la ecuación (5), obtenemos la ecuación deseada:

si un Esta ecuación se puede reescribir en una forma que sea más fácil de recordar:

(6)

Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 (1.2) y M 2 (-2.3)

Decisión. . Haciendo uso de la propiedad de la proporción, y realizando las transformaciones necesarias, obtenemos la ecuación general de una recta:

Ángulo entre dos rectas

Considere dos líneas el 1 y el 2:

el 1: , , y

el 2: , ,

φ es el ángulo entre ellos (). La Figura 4 muestra: .

De aquí , o

Usando la fórmula (7), se puede determinar uno de los ángulos entre las líneas. El segundo ángulo es .

Ejemplo. Dos líneas rectas están dadas por las ecuaciones y=2x+3 y y=-3x+2. encontrar el ángulo entre estas líneas.

Decisión. A partir de las ecuaciones se puede ver que k 1 \u003d 2 y k 2 \u003d-3. sustituyendo estos valores en la fórmula (7), encontramos

. Entonces el ángulo entre estas líneas es .

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas

si recto el 1 y el 2 son paralelos, entonces φ=0 y tgφ=0. de la fórmula (7) se sigue que , de donde k 2 \u003d k 1. Así, la condición para el paralelismo de dos rectas es la igualdad de sus pendientes.

si recto el 1 y el 2 perpendiculares, entonces φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Así, la condición para que dos rectas sean perpendiculares es que sus pendientes sean recíprocas en magnitud y de signo opuesto.

Distancia de punto a línea

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ax + Vy + C \u003d 0 se define como

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular trazada desde el punto M hasta la recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una línea recta dada.

Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

entonces, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido probado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj= ; j = p/4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 y 10x + 6y - 3 = 0 son perpendiculares.

Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encuentra la ecuación para la altura dibujada desde el vértice C.

Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

La ecuación de la altura deseada es: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k= . Entonces y = . Porque altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuacion: de donde b = 17. Total: .

Respuesta: 3x + 2y - 34 = 0.

La distancia de un punto a una línea está determinada por la longitud de la perpendicular caída desde el punto a la línea.

Si la recta es paralela al plano de proyección (h | | P 1), entonces para determinar la distancia desde el punto PERO a derecho h es necesario dejar caer una perpendicular desde el punto PERO a la horizontal h.

Considere más ejemplo complejo cuando la línea ocupa posición general. Sea necesario determinar la distancia desde el punto METRO a derecho un posición general

Tarea de definición distancias entre lineas paralelas resuelto de forma similar al anterior. Se toma un punto en una línea y se traza una perpendicular desde él a otra línea. La longitud de la perpendicular es igual a la distancia entre las líneas paralelas.

Curva de segundo orden es una línea definida por una ecuación de segundo grado con respecto a las coordenadas cartesianas actuales. En el caso general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

donde A, B, C, D, E, F son números reales y al menos uno de los números A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Círculo

Centro del círculo- este es el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistantes del punto del plano C (a, b).

El círculo está dado por la siguiente ecuación:

Donde x, y son las coordenadas de un punto arbitrario en el círculo, R es el radio del círculo.

Signo de la ecuación del círculo.

1. No hay término con x, y

2. Los coeficientes en x 2 y y 2 son iguales

Elipse

Elipse se llama el lugar geométrico de los puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales desde dos puntos dados de este plano se llama focos (un valor constante).

Ecuación canónica de una elipse:

X e y pertenecen a una elipse.

a es el semieje mayor de la elipse

b es el semieje menor de la elipse

La elipse tiene 2 ejes de simetría OX y OY. Los ejes de simetría de la elipse son sus ejes, el punto de su intersección es el centro de la elipse. El eje sobre el que se ubican los focos se llama eje focal. El punto de intersección de la elipse con los ejes es el vértice de la elipse.

Relación de compresión (estiramiento): ε = c/a- excentricidad (caracteriza la forma de la elipse), cuanto menor es, menos se extiende la elipse a lo largo del eje focal.

Si los centros de la elipse no están en el centro С(α, β)

Hipérbola

Hipérbole Llamado lugar geométrico de los puntos en un plano, el valor absoluto de la diferencia de distancias, cada una de las cuales desde dos puntos dados de este plano, llamados focos, es un valor constante diferente de cero.

Ecuación canónica de una hipérbola

Una hipérbola tiene 2 ejes de simetría:

a - semieje real de simetría

b - semieje imaginario de simetría

Asíntotas de una hipérbola:

Parábola

parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de un punto F, llamado foco, y de una línea dada, llamada directriz.

Ecuación de parábola canónica:

Y 2 \u003d 2px, donde p es la distancia desde el foco hasta la directriz (parámetro de parábola)

Si el vértice de la parábola es C (α, β), entonces la ecuación de la parábola (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Si el eje focal se toma como el eje y, entonces la ecuación de la parábola tomará la forma: x 2 \u003d 2qy

Ecuación de una recta sobre un plano.
El vector de dirección es recto. Vector normal

Una línea recta en un plano es una de las formas geométricas más simples, familiar para usted desde los grados elementales, y hoy aprenderemos cómo tratarla utilizando los métodos de la geometría analítica. Para dominar el material, es necesario poder construir una línea recta; saber qué ecuación define una línea recta, en particular, una línea recta que pasa por el origen y líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Esta información se puede encontrar en el manual. Gráficas y propiedades de funciones elementales, lo creé para matan, pero la sección sobre la función lineal resultó ser muy exitosa y detallada. Por lo tanto, queridas teteras, primero caliéntense allí. Además, necesitas tener conocimiento básico acerca de vectores de lo contrario, la comprensión del material será incompleta.

En esta lección, veremos formas en las que puedes escribir la ecuación de una línea recta en un plano. Te recomiendo que no descuides los ejemplos prácticos (aunque parezcan muy sencillos), ya que te los proporcionaré con elementos elementales y hechos importantes, métodos técnicos que serán necesarios en el futuro, incluso en otras secciones de las matemáticas superiores.

• ¿Cómo escribir la ecuación de una recta con pendiente?
• Cómo ?
• ¿Cómo encontrar el vector de dirección por la ecuación general de una línea recta?
• ¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal?

y empezamos:

Ecuación de línea con pendiente

La conocida forma de "escuela" de la ecuación de una línea recta se llama ecuación de una recta con factor de pendiente . Por ejemplo, si la ecuación da una línea recta, entonces su pendiente: . Considerar sentido geométrico coeficiente dado y cómo su valor afecta la ubicación de la línea:

En el curso de geometría se demuestra que la pendiente de la recta es tangente de un ángulo entre la dirección del eje positivoy línea dada: , y la esquina se "desatornilla" en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Para no abarrotar el dibujo, dibujé ángulos para solo dos líneas rectas. Considere la línea recta "roja" y su pendiente. De acuerdo con lo anterior: (el ángulo "alfa" se indica mediante un arco verde). Para la línea recta "azul" con la pendiente, la igualdad es verdadera (el ángulo "beta" se indica con el arco marrón). Y si se conoce la tangente del ángulo, entonces, si es necesario, es fácil encontrar y la esquina usando la función inversa - arco tangente. Como dicen, tabla trigonométrica o calculadora en mano. Por lo tanto, la pendiente caracteriza el grado de inclinación de la recta con respecto al eje x.

En este caso, los siguientes casos son posibles:

1) Si la pendiente es negativa: entonces la línea, en términos generales, va de arriba hacia abajo. Los ejemplos son líneas rectas "azules" y "carmesí" en el dibujo.

2) Si la pendiente es positiva: , entonces la línea va de abajo hacia arriba. Los ejemplos son líneas rectas "negras" y "rojas" en el dibujo.

3) Si la pendiente es igual a cero: , entonces la ecuación toma la forma , y la recta correspondiente es paralela al eje. Un ejemplo es la línea "amarilla".

4) Para una familia de rectas paralelas al eje (no hay ejemplo en el dibujo, excepto el propio eje), la pendiente no existe (tangente de 90 grados no definida).

Cuanto mayor sea el módulo de la pendiente, más empinado será el gráfico lineal..

Por ejemplo, considere dos líneas rectas. Aquí, por lo que la línea recta tiene una pendiente más pronunciada. Te recuerdo que el modulo te permite ignorar la señal, solo nos interesa valores absolutos coeficientes angulares.

A su vez, una línea recta es más empinada que las líneas rectas. .

Viceversa: cuanto menor es el módulo de pendiente, la línea recta es más plana.

Para lineas rectas la desigualdad es verdadera, por lo tanto, la línea recta es más que un dosel. Tobogán infantil, para no plantar contusiones y golpes.

¿Por qué es necesario?

Prolongue su tormento Conocer los hechos anteriores le permite ver de inmediato sus errores, en particular, errores al trazar gráficos, si el dibujo resultó "claramente que algo está mal". Es deseable que Ud. inmediatamente estaba claro que, por ejemplo, una línea recta es muy empinada y va de abajo hacia arriba, y una línea recta es muy plana, cerca del eje y va de arriba hacia abajo.

En los problemas geométricos suelen aparecer varias rectas, por lo que conviene denotarlas de alguna forma.

Notación: las líneas rectas se indican con pequeños con letras latinas: . Una opción popular es la designación de la misma letra con subíndices naturales. Por ejemplo, las cinco líneas que acabamos de considerar se pueden denotar por .

Dado que cualquier línea recta está determinada únicamente por dos puntos, se puede denotar por estos puntos: etc. La notación obviamente implica que los puntos pertenecen a la línea.

Es hora de relajarse un poco:

¿Cómo escribir la ecuación de una recta con pendiente?

Si se conoce un punto que pertenece a cierta recta, y la pendiente de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Ejemplo 1

Componer la ecuación de una recta con pendiente si se sabe que el punto pertenece a esta recta.

Decisión: Compondremos la ecuación de una recta según la fórmula . En este caso:

Responder:

Examen realizado elementalmente. Primero, observamos la ecuación resultante y nos aseguramos de que nuestra pendiente esté en su lugar. Segundo, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación dada. Vamos a conectarlos en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que el punto satisface la ecuación resultante.

Conclusión: Ecuación encontrada correctamente.

Un ejemplo más complicado para una solución de bricolaje:

Ejemplo 2

Escribe la ecuación de una recta si se sabe que su ángulo de inclinación con la dirección positiva del eje es , y el punto pertenece a esta recta.

Si tienes problemas, vuelve a leer material teorico. Más precisamente, más práctico, echo de menos muchas pruebas.

sonó última llamada, el baile de graduación se ha calmado, y fuera de las puertas escuela en casa estamos esperando, de hecho, la geometría analítica. Se acabaron las bromas... Tal vez solo esté comenzando =)

Con nostalgia, agitamos el mango hacia lo familiar y nos familiarizamos con la ecuación general de una línea recta. Ya que en geometría analítica es precisamente esto lo que se usa:

La ecuación general de una recta tiene la forma: , donde están algunos números. Al mismo tiempo, los coeficientes simultaneamente no son iguales a cero, ya que la ecuación pierde su significado.

Pongámonos un traje y atemos una ecuación con una pendiente. Primero, movemos todos los términos al lado izquierdo:

El término con "x" debe ponerse en primer lugar:

En principio, la ecuación ya tiene la forma , pero según las reglas de etiqueta matemática, el coeficiente del primer término (en este caso ) debe ser positivo. Cambio de signos:

Recuerda esto característica técnica! ¡Hacemos que el primer coeficiente (la mayoría de las veces) sea positivo!

En geometría analítica, la ecuación de una línea recta casi siempre se dará en forma general. Bueno, si es necesario, es fácil llevarlo a una forma de "escuela" con una pendiente (con la excepción de las líneas rectas paralelas al eje y).

Preguntémonos qué suficiente¿Sabes construir una línea recta? Dos puntos. Pero sobre este caso de la infancia más tarde, ahora se queda con la regla de las flechas. Cada recta tiene una pendiente bien definida, a la que es fácil "adaptarse" vector.

Un vector que es paralelo a una recta se llama vector director de esa recta.. Obviamente, cualquier línea recta tiene infinitos vectores de dirección, y todos ellos serán colineales (codirigidos o no, no importa).

Denotaré el vector de dirección de la siguiente manera: .

Pero un vector no es suficiente para construir una línea recta, el vector es libre y no está unido a ningún punto del plano. Por lo tanto, adicionalmente es necesario conocer algún punto que pertenezca a la línea.

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector de dirección?

Si se conoce un cierto punto que pertenece a la línea y el vector director de esta línea, entonces la ecuación de esta línea se puede compilar mediante la fórmula:

A veces se llama ecuación canónica de la recta .

que hacer cuando una de las coordenadas es cero, veremos ejemplos prácticos a continuación. Por cierto, nota - ambos a la vez las coordenadas no pueden ser cero, ya que el vector cero no especifica una dirección específica.

Ejemplo 3

Escribir una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector de dirección

Decisión: Compondremos la ecuación de una recta según la fórmula. En este caso:

Usando las propiedades de la proporción, nos deshacemos de las fracciones:

Y llevamos la ecuación a vista general:

Responder:

Dibujar tales ejemplos, por regla general, no es necesario, pero en aras de la comprensión:

En el dibujo vemos el punto de partida, el vector de dirección original (se puede posponer desde cualquier punto del plano) y la línea construida. Por cierto, en muchos casos, la construcción de una línea recta se lleva a cabo de manera más conveniente utilizando la ecuación de la pendiente. Nuestra ecuación es fácil de convertir a la forma y sin ningún problema toma un punto más para construir una línea recta.

Como se señaló al comienzo de la sección, una línea tiene infinitos vectores de dirección y todos son colineales. Por ejemplo, dibujé tres de esos vectores: . Cualquiera que sea el vector de dirección que elijamos, el resultado siempre será la misma ecuación de línea recta.

Compongamos la ecuación de una recta por un punto y un vector director:

Descomponiendo la proporción:

Divide ambos lados por -2 y obtén la ecuación familiar:

Aquellos que lo deseen pueden probar vectores de manera similar o cualquier otro vector colineal.

Ahora resolvamos el problema inverso:

¿Cómo encontrar el vector de dirección por la ecuación general de una línea recta?

Muy simple:

Si una línea recta viene dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangulares, entonces el vector es el vector director de esta línea recta.

Ejemplos de encontrar vectores de dirección de líneas rectas:

La declaración nos permite encontrar solo un vector de dirección de un conjunto infinito, pero no necesitamos más. Aunque en algunos casos es recomendable reducir las coordenadas de los vectores directores:

Entonces, la ecuación especifica una línea recta que es paralela al eje, y las coordenadas del vector de dirección resultante se dividen convenientemente por -2, obteniendo exactamente el vector base como el vector de dirección. Lógicamente.

De manera similar, la ecuación define una línea recta paralela al eje, y dividiendo las coordenadas del vector por 5, obtenemos el ort como vector de dirección.

Ahora vamos a ejecutar ver ejemplo 3. Subió el ejemplo, así que les recuerdo que en él hicimos la ecuación de una recta usando un punto y un vector director

En primer lugar, según la ecuación de una recta, restituimos su vector director: - todo está bien, obtuvimos el vector original (en algunos casos, puede resultar colineal al vector original, y esto suele ser fácil de ver por la proporcionalidad de las coordenadas correspondientes).

En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación . Los sustituimos en la ecuación:

Se ha obtenido la correcta igualdad, de la que estamos muy satisfechos.

Conclusión: Trabajo completado correctamente.

Ejemplo 4

Escribir una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector de dirección

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución y respuesta al final de la lección. Es muy deseable hacer una verificación de acuerdo con el algoritmo que acabamos de considerar. Trate de verificar siempre (si es posible) en un borrador. Es una tontería cometer errores donde se pueden evitar al 100%.

En el caso de que una de las coordenadas del vector dirección sea cero, es muy sencillo de hacer:

Ejemplo 5

Decisión: La fórmula no es válida porque el denominador del lado derecho es cero. ¡Hay una salida! Usando las propiedades de la proporción, reescribimos la fórmula en la forma , y el resto rodó por un surco profundo:

Responder:

Examen:

1) Restaurar el vector de dirección de la línea recta:
– el vector resultante es colineal al vector de dirección original.

2) Sustituir las coordenadas del punto en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta

Conclusión: trabajo completado correctamente

Surge la pregunta, ¿por qué molestarse con la fórmula si hay una versión universal que funcionará de todos modos? Hay dos razones. Primero, la fórmula fraccionaria. mucho mejor recordar. Y en segundo lugar, la desventaja de la fórmula universal es que Riesgo notablemente mayor de confusión. al sustituir coordenadas.

Ejemplo 6

Componer la ecuación de una recta dado un punto y un vector director.

Este es un ejemplo de bricolaje.

Volvamos a los dos puntos omnipresentes:

¿Cómo escribir la ecuación de una recta dados dos puntos?

Si se conocen dos puntos, entonces la ecuación de una línea recta que pasa por estos puntos se puede compilar usando la fórmula:

De hecho, esta es una especie de fórmula, y he aquí por qué: si se conocen dos puntos, entonces el vector será el vector de dirección de esta línea. en la lección Vectores para tontos nosotros consideramos la tarea mas simple– cómo encontrar las coordenadas de un vector a partir de dos puntos. Según este problema, las coordenadas del vector director:

Nota : los puntos se pueden "intercambiar" y usar la fórmula . Tal decisión sería igual.

Ejemplo 7

Escribe la ecuación de una recta a partir de dos puntos. .

Decisión: Utilice la fórmula:

Peinamos los denominadores:

Y baraja la baraja:

Ahora es el momento de deshacerse de números fraccionarios. En este caso, necesitas multiplicar ambas partes por 6:

Abre los paréntesis y recuerda la ecuación:

Responder:

Examen es obvio - las coordenadas de los puntos iniciales deben satisfacer la ecuación resultante:

1) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

2) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

Conclusión: la ecuación de la recta es correcta.

si un al menos uno de puntos no satisface la ecuación, busque un error.

Vale la pena señalar que la verificación gráfica en este caso es difícil, porque para construir una línea y ver si los puntos pertenecen a ella , No tan fácil.

Señalaré un par de puntos técnicos de la solución. Quizás en este problema sea más ventajoso usar la fórmula del espejo y por los mismos puntos hacer una ecuacion:

Hay menos fracciones. Si lo desea, puede completar la solución hasta el final, el resultado debe ser la misma ecuación.

El segundo punto es mirar la respuesta final y ver si se puede simplificar aún más. Por ejemplo, si se obtiene una ecuación, entonces es recomendable reducirla en dos: - la ecuación será la misma línea recta. Sin embargo, esto ya es un tema de conversación sobre disposición mutua de líneas rectas.

Habiendo recibido una respuesta en el Ejemplo 7, por si acaso, verifiqué si TODOS los coeficientes de la ecuación son divisibles por 2, 3 o 7. Aunque, en la mayoría de los casos, tales reducciones se realizan durante la solución.

Ejemplo 8

Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos .

Este es un ejemplo de una solución independiente, que le permitirá comprender mejor y resolver la técnica de cálculo.

Similar al párrafo anterior: si en la fórmula uno de los denominadores (coordenada del vector de dirección) desaparece, luego lo reescribimos como . Y de nuevo, fíjate en lo incómoda y confundida que empezó a verse. No veo mucho sentido en dar ejemplos prácticos, ya que en realidad ya hemos resuelto ese problema (ver Nos. 5, 6).

Vector normal de línea recta (vector normal)

¿Que es normal? En palabras simples, la normal es la perpendicular. Es decir, el vector normal de una recta es perpendicular a la recta dada. Es obvio que cualquier recta tiene una infinidad de ellos (además de vectores directores), y todos los vectores normales de la recta serán colineales (codireccionales o no - no importa).

Tratar con ellos será aún más fácil que con los vectores de dirección:

Si una línea recta viene dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangulares, entonces el vector es el vector normal de esta línea recta.

Si las coordenadas del vector de dirección tienen que ser cuidadosamente "sacadas" de la ecuación, entonces las coordenadas del vector normal simplemente pueden ser "eliminadas".

El vector normal siempre es ortogonal al vector de dirección de la línea. Verificaremos la ortogonalidad de estos vectores usando producto punto:

Daré ejemplos con las mismas ecuaciones que para el vector de dirección:

¿Es posible escribir una ecuación de una línea recta, conociendo un punto y un vector normal? Se siente como si fuera posible. Si se conoce el vector normal, entonces la dirección de la línea más recta también se determina de manera única: esta es una "estructura rígida" con un ángulo de 90 grados.

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal?

Si se conoce algún punto perteneciente a la recta y el vector normal de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Aquí todo transcurrió sin fracciones y otras sorpresas. Tal es nuestro vector normal. Me encanta. Y respeto =)

Ejemplo 9

Componer la ecuación de una recta dado un punto y un vector normal. Encuentre el vector director de la recta.

Decisión: Utilice la fórmula:

Se obtiene la ecuación general de la recta, comprobemos:

1) "Eliminar" las coordenadas del vector normal de la ecuación: - sí, de hecho, el vector original se obtiene de la condición (o el vector debe ser colineal al vector original).

2) Comprobar si el punto satisface la ecuación:

Verdadera igualdad.

Una vez que estemos convencidos de que la ecuación es correcta, completaremos la segunda parte más fácil de la tarea. Extraemos el vector director de la recta:

Responder:

En el dibujo, la situación es la siguiente:

A los efectos de la formación, una tarea similar para una solución independiente:

Ejemplo 10

Componer la ecuación de una recta dado un punto y un vector normal. Encuentre el vector director de la recta.

La sección final de la lección se dedicará a tipos de ecuaciones menos comunes, pero también importantes, de una línea recta en un plano.

Ecuación de una recta en segmentos.
Ecuación de una recta en forma paramétrica

La ecuación de una recta en segmentos tiene la forma , donde son constantes distintas de cero. Algunos tipos de ecuaciones no se pueden representar de esta forma, por ejemplo, la proporcionalidad directa (ya que el término libre es cero y no hay forma de obtener uno en el lado derecho).

Esto es, en sentido figurado, un tipo de ecuación "técnica". La tarea habitual es representar la ecuación general de una línea recta como una ecuación de una línea recta en segmentos. ¿Por qué es conveniente? La ecuación de una recta en segmentos te permite encontrar rápidamente los puntos de intersección de una recta con ejes coordenados, lo cual es muy importante en algunos problemas de matemáticas superiores.

Encuentre el punto de intersección de la recta con el eje. Reiniciamos la “y”, y la ecuación toma la forma . punto deseado obtenido automáticamente: .

Lo mismo con el eje es el punto donde la recta interseca al eje y.

Las ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio son ecuaciones que definen una línea recta que pasa por un punto dado colinealmente a un vector de dirección.

Sean dados un punto y un vector director. Un punto arbitrario se encuentra en una línea yo solo si los vectores y son colineales, es decir, cumplen la condición:

.

Las ecuaciones anteriores son ecuaciones canónicas derecho.

Números metro , norte y pag son proyecciones del vector de dirección sobre los ejes de coordenadas. Como el vector es distinto de cero, entonces todos los números metro , norte y pag no puede ser cero al mismo tiempo. Pero uno o dos de ellos pueden ser cero. En geometría analítica, por ejemplo, se permite la siguiente notación:

,

lo que significa que las proyecciones del vector sobre los ejes Oye y Onz son iguales a cero. Por tanto, tanto el vector como la recta dada por las ecuaciones canónicas son perpendiculares a los ejes Oye y Onz, es decir, aviones yOz .

Ejemplo 1 Componer ecuaciones de una línea recta en el espacio perpendicular a un plano y pasando por el punto de intersección de este plano con el eje Onz .

Decisión. Encuentre el punto de intersección del plano dado con el eje Onz. Como cualquier punto del eje Onz, tiene coordenadas , entonces, suponiendo en la ecuación dada del plano x=y= 0, obtenemos 4 z- 8 = 0 o z= 2 . Por tanto, el punto de intersección del plano dado con el eje Onz tiene coordenadas (0; 0; 2) . Como la línea deseada es perpendicular al plano, es paralela a su vector normal. Por tanto, el vector normal puede servir como vector director de la recta plano dado.

Ahora escribimos las ecuaciones deseadas de la recta que pasa por el punto UN= (0; 0; 2) en la dirección del vector:

Ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos dados

Una línea recta se puede definir por dos puntos que se encuentran sobre ella. y En este caso, el vector director de la recta puede ser el vector . Entonces las ecuaciones canónicas de la recta toman la forma

.

Las ecuaciones anteriores definen una línea recta que pasa por dos puntos dados.

Ejemplo 2 Escribe la ecuación de una línea recta en el espacio que pasa por los puntos y .

Decisión. Escribimos las ecuaciones deseadas de la línea recta en la forma dada arriba en la referencia teórica:

.

Como , entonces la línea deseada es perpendicular al eje Oye .

Recta como línea de intersección de planos

Una línea recta en el espacio se puede definir como una línea de intersección de dos planos no paralelos y, es decir, como un conjunto de puntos que satisfacen un sistema de dos ecuaciones lineales

Las ecuaciones del sistema también se llaman ecuaciones generales línea recta en el espacio.

Ejemplo 3 Componer ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio dado por ecuaciones generales

Decisión. Para escribir las ecuaciones canónicas de una recta o, lo que es lo mismo, la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario encontrar las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta. Pueden ser los puntos de intersección de una recta con dos planos coordenados cualesquiera, por ejemplo yOz y xOz .

Punto de intersección de una recta con un plano yOz tiene una abscisa X= 0 . Por lo tanto, suponiendo en este sistema de ecuaciones X= 0, obtenemos un sistema con dos variables:

su decisión y = 2 , z= 6 junto con X= 0 define un punto UN(0; 2; 6) de la línea deseada. Suponiendo entonces en el sistema de ecuaciones dado y= 0, obtenemos el sistema

su decisión X = -2 , z= 0 junto con y= 0 define un punto B(-2; 0; 0) intersección de una recta con un plano xOz .

Ahora escribimos las ecuaciones de una recta que pasa por los puntos UN(0; 2; 6) y B (-2; 0; 0) :

,

o después de dividir los denominadores por -2:

,

Deje que la línea recta pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

donde k - Coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

A partir de aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 \u003d x 2, entonces la línea recta que pasa por los puntos M 1 (x 1, y I) y M 2 (x 2, y 2) es paralela al eje y. su ecuacion es x = x 1 .

Si y 2 \u003d y I, entonces la ecuación de la línea recta se puede escribir como y \u003d y 1, la línea recta M 1 M 2 es paralela al eje x.

Ecuación de una recta en segmentos

Deje que la línea recta se cruce con el eje Ox en el punto M 1 (a; 0), y el eje Oy, en el punto M 2 (0; b). La ecuación tomará la forma:
aquellas.
. Esta ecuación se llama la ecuación de una recta en segmentos, porque los números a y b indican qué segmentos corta la línea recta en los ejes de coordenadas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encontremos la ecuación de una recta que pasa por un punto Mo (x O; y o) perpendicular a un vector distinto de cero n = (A; B).

Tome un punto arbitrario M(x; y) en la línea recta y considere el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

El vector n = (A; B) perpendicular a la recta se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C \u003d -Ax o - Vu o - miembro libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de una recta(ver Fig. 2).

Figura 1 Figura 2

Ecuaciones canónicas de la línea recta

,

Donde
son las coordenadas del punto por el que pasa la recta, y
- vector de dirección.

Curvas de segundo orden Círculo

Un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto dado, que se llama centro.

Ecuación canónica de un círculo de radio R centrado en un punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen, la ecuación se verá así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados y , que se llaman focos, es un valor constante
, mayor que la distancia entre los focos
.

La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y cuyo origen está en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware un la longitud del semieje mayor; b es la longitud del semieje menor (Fig. 2).