Encuentra el área total de la superficie del cono. El área de la superficie lateral y completa del cono.

Sabemos lo que es un cono, tratemos de encontrar su área de superficie. ¿Por qué es necesario resolver tal problema? Por ejemplo, necesita comprender cuánto la prueba irá Cómo hacer un cono de waffle? ¿O cuántos ladrillos se necesitarían para colocar el techo de ladrillo de un castillo?

No es fácil medir el área de la superficie lateral de un cono. Pero imagina el mismo cuerno envuelto en tela. Para encontrar el área de una pieza de tela, debe cortarla y extenderla sobre la mesa. Obtenemos una figura plana, podemos encontrar su área.

Arroz. 1. Sección del cono a lo largo de la generatriz

Hagamos lo mismo con el cono. "Cortemos" su superficie lateral a lo largo de cualquier generatriz, por ejemplo, (ver Fig. 1).

Ahora "desenrollamos" la superficie lateral en un plano. Obtenemos un sector. El centro de este sector es la parte superior del cono, el radio del sector es igual a la generatriz del cono y la longitud de su arco coincide con la circunferencia de la base del cono. Tal sector se llama desarrollo de la superficie lateral del cono (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Desarrollo de la superficie lateral

Arroz. 3. Medición de ángulos en radianes

Tratemos de encontrar el área del sector según los datos disponibles. Primero, introduzcamos una notación: deje que el ángulo en la parte superior del sector esté en radianes (ver Fig. 3).

A menudo encontraremos el ángulo en la parte superior del barrido en las tareas. Mientras tanto, intentemos responder a la pregunta: ¿este ángulo no puede llegar a tener más de 360 ​​grados? Es decir, ¿no resultará que el barrido se superpondrá? Por supuesto que no. Demostrémoslo matemáticamente. Deje que el barrido se "superponga" a sí mismo. Esto significa que la longitud del arco de barrido es mayor que la circunferencia del radio. Pero, como ya se mencionó, la longitud del arco de barrido es la circunferencia del radio. Y el radio de la base del cono, por supuesto, es menor que la generatriz, por ejemplo, porque el cateto de un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa.

Entonces recordemos dos fórmulas del curso de planimetría: longitud de arco. Área del sector: .

En nuestro caso, el papel lo juega la generatriz. , y la longitud del arco es igual a la circunferencia de la base del cono, es decir. Tenemos:

Finalmente obtenemos:

Junto con el área de la superficie lateral, también se puede encontrar el área superficie completa. Para hacer esto, agregue el área de la base al área de la superficie lateral. Pero la base es un círculo de radio , cuya área, según la fórmula, es .

Finalmente tenemos: , donde es el radio de la base del cilindro, es la generatriz.

Resolvamos un par de problemas con las fórmulas dadas.

Arroz. 4. Ángulo deseado

Ejemplo 1. El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector con un ángulo en el vértice. Encuentra este ángulo si la altura del cono es de 4 cm y el radio de la base es de 3 cm (ver Fig. 4).

Arroz. 5. Triángulo rectángulo formando un cono

Por la primera acción, según el teorema de Pitágoras, encontramos la generatriz: 5 cm (ver Fig. 5). Además, sabemos que .

Ejemplo 2. El área de la sección axial del cono es , la altura es . Encuentre el área de superficie total (vea la Fig. 6).

Los cuerpos de revolución que se estudian en la escuela son un cilindro, un cono y una bola.

Si en una tarea de USE en matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.

Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí es donde comienza el conocimiento de la estereometría.

A veces es bueno dibujar una vista superior. O, como en este problema, desde abajo.

2. ¿Cuántas veces el volumen de un cono circunscrito cerca de la correcta pirámide cuadrangular, mayor que el volumen del cono inscrito en esta pirámide?

Todo es simple: dibujamos una vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo más grande es varias veces mayor que el radio del más pequeño. Las alturas de ambos conos son iguales. Por lo tanto, el volumen del cono más grande será el doble.

Otro punto importante. Recuerda que en las tareas de la parte B USAR opciones en matemáticas, la respuesta se escribe como un número entero o finito fracción decimal. Por lo tanto, no debe tener ningún o en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Hay que reducirlo! Es por esto que en algunas tareas se formula la tarea, por ejemplo, de la siguiente manera: "Encontrar el área de la superficie lateral del cilindro dividida por".

¿Y dónde más se usan las fórmulas para el volumen y el área de superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.

Aquí hay problemas con los conos, la condición está relacionada con su área de superficie. En particular, en algunos problemas hay una pregunta sobre cómo cambiar el área con un aumento (disminución) en la altura del cono o el radio de su base. Teoría para la resolución de problemas en . Considere las siguientes tareas:

27135. La circunferencia de la base del cono es 3, la generatriz es 2. Encuentra el área de la superficie lateral del cono.

El área de la superficie lateral del cono es:

Conectando los datos:

75697. ¿Cuántas veces aumentará el área de la superficie lateral del cono si su generatriz aumenta 36 veces, y el radio de la base permanece igual?

El área de la superficie lateral del cono:

La generatriz se incrementa en 36 veces. El radio sigue siendo el mismo, lo que significa que la circunferencia de la base no ha cambiado.

Entonces el área de la superficie lateral del cono modificado se verá así:

Por lo tanto, aumentará en 36 veces.

*La dependencia es sencilla, por lo que este problema se puede resolver fácilmente por vía oral.

27137. ¿Cuántas veces disminuirá el área de la superficie lateral del cono si se reduce 1,5 veces el radio de su base?

El área de la superficie lateral del cono es:

El radio se reduce en 1,5 veces, es decir:

Se encontró que el área de la superficie lateral disminuyó 1,5 veces.

27159. La altura del cono es 6, la generatriz es 10. Encuentra el área de su superficie total dividida por pi.

Superficie completa del cono:

Encuentra el radio:

Se conocen la altura y la generatriz, por el teorema de Pitágoras calculamos el radio:

De este modo:

Divide el resultado por Pi y escribe la respuesta.

76299. La superficie total del cono es 108. Se dibuja una sección paralela a la base del cono, dividiendo la altura por la mitad. Encuentre el área de superficie total del cono truncado.

La sección pasa por la mitad de la altura paralela a la base. Esto significa que el radio de la base y la generatriz del cono truncado serán 2 veces menores que el radio y la generatriz del cono original. Escribamos a qué es igual el área de la superficie del cono de corte:

La tengo yendo 4 veces menos área superficie del original, es decir, 108:4 = 27.

* Dado que el cono original y el cortado son cuerpos similares, también fue posible usar la propiedad de similitud:

27167. El radio de la base del cono es 3, la altura es 4. Encuentra el área total de la superficie del cono dividida por pi.

La fórmula para la superficie total de un cono es:

El radio es conocido, es necesario encontrar la generatriz.

Según el teorema de Pitágoras:

De este modo:

Divide el resultado por Pi y escribe la respuesta.

Una tarea. El área de la superficie lateral del cono es cuatro veces el área de la base. Encuentra el coseno del ángulo entre la generatriz del cono y el plano de la base.

El área de la base del cono es:

Es decir, el coseno será igual a:

Respuesta: 0.25

Decide por tu cuenta:

27136. ¿Cuántas veces aumentará el área de la superficie lateral del cono si se aumenta 3 veces su generatriz?

27160. El área de la superficie lateral del cono es el doble del área de la base. Encuentra el ángulo entre la generatriz del cono y el plano de la base. Da tu respuesta en grados. .

27161. La superficie total del cono es 12. Se dibuja una sección paralela a la base del cono, dividiendo la altura por la mitad. Encuentre el área de superficie total del cono truncado.

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alejandro.

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El área de superficie de un cono (o simplemente la superficie de un cono) es igual a la suma de las áreas de la base y la superficie lateral.

El área de la superficie lateral del cono se calcula mediante la fórmula: S = πR yo, donde R es el radio de la base del cono, y yo- generatriz de un cono.

Dado que el área de la base del cono es πR 2 (como el área del círculo), entonces el área de la superficie total del cono será igual a : πR 2 + πR yo= πR (R + yo).

La obtención de la fórmula para el área de la superficie lateral de un cono se puede explicar mediante dicho razonamiento. Deje que el dibujo muestre un desarrollo de la superficie lateral del cono. Dividir el arco AB en posibles más partes iguales y conecte todos los puntos de división al centro del arco, y los adyacentes entre sí con cuerdas.

Obtenemos una serie triángulos iguales. el area de cada triangulo es Ah / 2, donde a- longitud de la base del triángulo, a h- su alta.

La suma de las áreas de todos los triángulos es: Ah / 2 norte = ah / 2, donde norte es el número de triángulos.

Con una gran cantidad de divisiones, la suma de las áreas de los triángulos se acerca mucho al área del desarrollo, es decir, al área de la superficie lateral del cono. La suma de las bases de los triángulos, es decir un, se acerca mucho a la longitud del arco AB, es decir, a la circunferencia de la base del cono. La altura de cada triángulo se acerca mucho al radio del arco, es decir, a la generatriz del cono.

Despreciando ligeras diferencias en los tamaños de estas cantidades, obtenemos la fórmula para el área de la superficie lateral del cono (S):

S=C yo / 2, donde C es la circunferencia de la base del cono, yo- generatriz de un cono.

Sabiendo que C \u003d 2πR, donde R es el radio del círculo de la base del cono, obtenemos: S \u003d πR yo.

Nota. En la fórmula S = C yo / 2, se da el signo de igualdad exacta, y no aproximada, aunque en base al razonamiento anterior, podríamos considerar que esta igualdad es aproximada. pero en la secundaria escuela secundaria se demuestra que la igualdad

S=C yo / 2 es exacto, no aproximado.

Teorema. La superficie lateral del cono es igual al producto de la circunferencia de la base por la mitad de la generatriz.

Inscribamos en un cono (Fig.) algunos pirámide correcta y denota por letras R y yo números que expresan las longitudes del perímetro de la base y la apotema de esta pirámide.

Entonces su superficie lateral estará expresada por el producto 1/2 R yo .

Supongamos ahora que el número de lados del polígono inscrito en la base aumenta indefinidamente. Entonces el perímetro R tenderá al límite tomado como la longitud C de la circunferencia de la base, y la apotema yo tendrá como límite un generador de cono (ya que ΔSAK implica que SA - SK
1 / 2 R yo, tenderá al límite 1/2 C L. Este límite se toma como el valor de la superficie lateral del cono. Denotando la superficie lateral del cono con la letra S, podemos escribir:

S = 1 / 2C L = C 1/2L

Consecuencias.
1) Desde C \u003d 2 π R, entonces la superficie lateral del cono se expresa mediante la fórmula:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Obtenemos la superficie completa del cono si sumamos la superficie lateral al área de la base; por lo tanto, denotando la superficie completa por T, tendremos:

T= π RL+ π R2= π D(L+D)

Teorema. La superficie lateral de un tronco de cono es igual al producto de la mitad de la suma de las circunferencias de las bases y la generatriz.

Inscribamos en un cono truncado (Fig.) algunos regulares pirámide truncada y denota por letras r, r 1 y yo números que expresan en las mismas unidades lineales las longitudes de los perímetros de las bases inferior y superior y la apotema de esta pirámide.

Entonces la superficie lateral de la pirámide inscrita es 1/2 ( pag + pag 1) yo

Con un aumento ilimitado en el número de caras laterales de la pirámide inscrita, los perímetros R y R 1 tienden a los límites tomados como las longitudes C y C 1 de los círculos de las bases, y la apotema yo tiene como límite la generatriz L del cono truncado. En consecuencia, el valor de la superficie lateral de la pirámide inscrita tiende al límite igual a (С + С 1) L. Este límite se toma como el valor de la superficie lateral del tronco de cono. Denotando la superficie lateral del cono truncado con la letra S, tendremos:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Consecuencias.
1) Si R y R 1 significan los radios de los círculos de las bases inferior y superior, entonces la superficie lateral del tronco de cono será:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Si en el trapezoide OO 1 A 1 A (Fig.), De cuya rotación se obtiene un cono truncado, dibujamos linea intermedia BC, obtenemos:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

Como consecuencia,

S=2 π BC L,

es decir. la superficie lateral de un tronco de cono es igual al producto de la circunferencia de la sección media y la generatriz.

3) La superficie total T de un cono truncado se expresa de la siguiente manera:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)