Muntazam uchburchak piramida poydevorining chetining uzunligi. Piramida va uning elementlari

11.10.2019

Talabalar geometriyani o'rganishdan ancha oldin piramida tushunchasiga duch kelishadi. Dunyoning mashhur buyuk Misr mo''jizalarini ayblang. Shuning uchun, ushbu ajoyib ko'pburchakni o'rganishni boshlagan holda, ko'pchilik talabalar buni allaqachon aniq tasavvur qilishadi. Yuqoridagi barcha diqqatga sazovor joylar to'g'ri shaklda. Nima to'g'ri piramida, va u qanday xususiyatlarga ega va bundan keyin ham muhokama qilinadi.

Bilan aloqada

Ta'rif

Piramidaning ko'plab ta'riflari mavjud. Qadim zamonlardan beri u juda mashhur.

Masalan, Evklid uni bir nuqtadan boshlab, ma'lum bir nuqtada birlashadigan tekisliklardan tashkil topgan qattiq figura deb ta'riflagan.

Heron aniqroq formulani taqdim etdi. U bu raqam ekanligini ta'kidladi ichida baza va samolyotlar mavjud uchburchaklar, bir nuqtada birlashish.

Tayanib zamonaviy talqin, piramida ma'lum bir k-gon va k yassi figuralardan tashkil topgan fazoviy ko'pburchak sifatida tasvirlangan. uchburchak shakli bitta umumiy fikrga ega.

Keling, yaqinroq ko'rib chiqaylik, U qanday elementlardan iborat?

k-gon figuraning asosi hisoblanadi;
3 burchakli figuralar yon qismning yon tomonlari sifatida tashqariga chiqadi;
yon elementlar kelib chiqadigan yuqori qism tepa deb ataladi;
cho'qqini bog'laydigan barcha segmentlar qirralar deb ataladi;
agar yuqoridan to'g'ri chiziq 90 graduslik burchak ostida figuraning tekisligiga tushirilsa, u holda uning ichki bo'shliqqa o'ralgan qismi piramidaning balandligi;
ko'pburchakning yon tomonidagi har qanday yon elementda siz apotem deb ataladigan perpendikulyar chizishingiz mumkin.

Qirralarning soni 2*k formulasi yordamida hisoblab chiqiladi, bu erda k - k-gon tomonlarining soni. Piramida kabi ko'pburchakning nechta yuzi borligini k + 1 ifodasi bilan aniqlash mumkin.

Muhim! Muntazam shaklli piramida - bu stereometrik figura bo'lib, uning asos tekisligi tomonlari teng bo'lgan k-gondir.

Asosiy xususiyatlar

To'g'ri piramida ko‘p xossalarga ega bu unga xosdir. Keling, ularni sanab o'tamiz:

Baza to'g'ri shakldagi raqamdir.
Yon elementlarni cheklovchi piramidaning qirralari teng sonli qiymatlarga ega.
Yon elementlar teng yonli uchburchaklardir.
Shaklning balandligining asosi ko'pburchakning markaziga tushadi, u bir vaqtning o'zida markaziy nuqta kiritilgan va tavsiflangan.
Barcha yon qovurg'alar bir xil burchak ostida tayanch tekisligiga moyil.
Barcha yon yuzalar taglikka nisbatan bir xil nishab burchagiga ega.

Ro'yxatdagi barcha xususiyatlar tufayli elementlarni hisoblashning ishlashi juda soddalashtirilgan. Yuqoridagi xususiyatlarga asoslanib, biz e'tibor beramiz ikkita belgi:

Agar ko'pburchak aylanaga to'g'ri keladigan bo'lsa, yon yuzlar asosga ega bo'ladi teng burchaklar.
Ko'pburchak atrofidagi aylana tasvirlanganda, piramidaning cho'qqisidan chiqadigan barcha qirralarning uzunligi bir xil va asos bilan teng burchaklarga ega bo'ladi.

Kvadrat asoslanadi

Oddiy to'rtburchak piramida - kvadratga asoslangan ko'pburchak.

Uning to'rtta yon yuzi bor, ular tashqi ko'rinishida teng yonli.

Samolyotda kvadrat tasvirlangan, ammo ular muntazam to'rtburchakning barcha xususiyatlariga asoslangan.

Misol uchun, agar kvadratning yon tomonini uning diagonali bilan bog'lash kerak bo'lsa, unda quyidagi formuladan foydalaniladi: diagonal kvadrat tomoni va ikkita kvadrat ildizning ko'paytmasiga teng.

Muntazam uchburchakka asoslangan

To'g'ri uchburchak piramida asosi muntazam 3 burchakli koʻpburchakdir.

Agar asos oddiy uchburchak bo'lsa va yon qirralari poydevorning chetlariga teng bo'lsa, unda bunday raqam tetraedr deb ataladi.

Tetraedrning barcha yuzlari teng tomonli 3 burchakli. Bunday holda, siz ba'zi fikrlarni bilishingiz va hisoblashda ularga vaqt sarflamasligingiz kerak:

qovurg'alarning har qanday asosga egilish burchagi 60 daraja;
barcha ichki yuzlarning qiymati ham 60 daraja;
har qanday yuz asos bo'lib xizmat qilishi mumkin;
shakl ichiga chizilgan teng elementlar.

Ko'pburchakning bo'limlari

Har qanday ko'pburchakda mavjud bir necha turdagi bo'limlar samolyot. Ko'pincha ichida maktab kursi geometriya ikkita bilan ishlaydi:

eksenel;
parallel asos.

Ko'pburchakni cho'qqi, yon qirralar va o'qdan o'tadigan tekislik bilan kesish orqali eksenel kesma olinadi. Bunday holda, o'q tepadan chizilgan balandlikdir. Kesish tekisligi barcha yuzlar bilan kesishish chiziqlari bilan chegaralanadi, natijada uchburchak hosil bo'ladi.

Diqqat! DA to'g'ri piramida eksenel kesimi teng yonli uchburchakdir.

Agar kesish tekisligi taglikka parallel bo'lsa, unda natija ikkinchi variant bo'ladi. Bunday holda, biz bazaga o'xshash raqam kontekstida mavjud.

Misol uchun, agar taglik kvadrat bo'lsa, unda poydevorga parallel bo'lgan qism ham kvadrat bo'ladi, faqat kichikroq o'lchamdagi.

Ushbu shartdagi muammolarni hal qilishda raqamlarning o'xshashligi belgilari va xususiyatlaridan foydalaniladi, Thales teoremasiga asoslanadi. Avvalo, o'xshashlik koeffitsientini aniqlash kerak.

Agar tekislik poydevorga parallel ravishda chizilgan bo'lsa va u kesilsa yuqori qismi ko'pburchak, keyin pastki qismida muntazam kesilgan piramida olinadi. Keyin kesilgan ko'pburchakning asoslari o'xshash ko'pburchaklar deyiladi. Bunday holda, yon yuzlar izosselli trapezoidlardir. Eksenel qism ham teng yonlidir.

Kesilgan ko'pburchakning balandligini aniqlash uchun balandlikni eksenel kesmada, ya'ni trapetsiyada chizish kerak.

Yuzaki maydonlar

Maktab geometriya kursida echilishi kerak bo'lgan asosiy geometrik masalalar quyidagilardir piramidaning sirt maydoni va hajmini topish.

Ikki xil sirt maydoni mavjud:

yon elementlarning maydoni;
butun sirt maydoni.

Sarlavhaning o'zidan nima haqida ekanligi aniq. Yon sirt faqat yon elementlarni o'z ichiga oladi. Bundan kelib chiqadiki, uni topish uchun lateral tekisliklarning maydonlarini, ya'ni 3-gons teng yon tomonlarning maydonlarini qo'shish kifoya. Keling, yon elementlarning maydoni uchun formulani olishga harakat qilaylik:

3 burchakli teng yon tomonning maydoni Str=1/2(aL), bu erda a - asosning tomoni, L - apotema.
Yon tekisliklar soni asosdagi k-gon turiga bog'liq. Masalan, oddiy to'rtburchak piramida to'rtta lateral tekislikka ega. Shuning uchun Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L to'rtta figuraning maydonlarini qo'shish kerak. . Ifoda shu tarzda soddalashtirilgan, chunki qiymat 4a=POS, bu erda POS bazaning perimetri. Va 1/2 * Rosn ifodasi uning yarim perimetridir.
Shunday qilib, biz oddiy piramidaning yon elementlarining maydoni poydevorning yarim perimetri va apotemning mahsulotiga teng degan xulosaga keldik: Sside \u003d Rosn * L.

Kvadrat to'liq sirt piramida lateral tekisliklar va poydevor maydonlarining yig'indisidan iborat: Sp.p. = Sside + Sbase.

Baza maydoniga kelsak, bu erda formula ko'pburchak turiga qarab ishlatiladi.

Muntazam piramidaning hajmi asos tekislik maydoni va balandlikning uchga bo'lingan ko'paytmasiga teng: V=1/3*Sbase*H, bu erda H - ko'pburchakning balandligi.

Geometriyada muntazam piramida nima

Muntazam to'rtburchakli piramidaning xossalari

Uchburchak piramidasi uchburchakka asoslangan piramidadir. Ushbu piramidaning balandligi perpendikulyar bo'lib, u piramidaning tepasidan poydevoriga tushiriladi.

Piramidaning balandligini topish

Piramidaning balandligini qanday topish mumkin? Juda onson! Har qanday uchburchak piramidaning balandligini topish uchun siz hajm formulasidan foydalanishingiz mumkin: V = (1/3)Sh, bu erda S - tayanch maydoni, V - piramidaning hajmi, h - balandligi. Ushbu formuladan balandlik formulasini oling: uchburchak piramidaning balandligini topish uchun siz piramida hajmini 3 ga ko'paytirishingiz kerak, so'ngra olingan qiymatni tayanch maydoniga bo'lishingiz kerak, u quyidagicha bo'ladi: h \u003d (3V). ) / S. Uchburchak piramidaning asosi uchburchak bo'lganligi sababli, siz uchburchakning maydonini hisoblash uchun formuladan foydalanishingiz mumkin. Agar biz bilsak: uchburchakning maydoni S va uning tomoni z, u holda maydon formulasiga ko'ra S=(1/2)gh: h = (2S)/g, bu erda h - piramidaning balandligi, g uchburchakning cheti; uchburchak tomonlari va ikkala tomonning o'zlari orasidagi burchak, keyin quyidagi formuladan foydalanib: S = (1/2) gphsinQ, bu erda g, ph - uchburchakning tomonlari, biz uchburchakning maydonini topamiz. Q burchagi sinusining qiymatini Internetda joylashgan sinuslar jadvalida ko'rish kerak. Keyinchalik, maydon qiymatini balandlik formulasiga almashtiramiz: h = (2S) / g. Agar vazifa uchburchak piramidaning balandligini hisoblashni talab qilsa, u holda piramidaning hajmi allaqachon ma'lum.

Oddiy uchburchak piramida

Oddiy uchburchak piramidaning balandligini toping, ya'ni barcha yuzlari teng tomonli uchburchaklar bo'lgan piramida, g chetining o'lchamini bilib oling. Bunday holda, piramidaning qirralari teng qirrali uchburchaklarning tomonlari hisoblanadi. Muntazam uchburchakli piramidaning balandligi quyidagicha bo'ladi: h = g√(2/3), bu erda g - teng yonli uchburchakning cheti, h - piramidaning balandligi. Agar asosning maydoni (S) noma'lum bo'lsa va faqat chetining uzunligi (g) va ko'pburchakning hajmi (V) berilgan bo'lsa, oldingi bosqichdagi formuladagi kerakli o'zgaruvchini almashtirish kerak. uning ekvivalenti bilan, bu chekka uzunligi bilan ifodalanadi. Uchburchakning maydoni (muntazam) bu uchburchak tomoni uzunligi ko'paytmasining 1/4 qismiga teng bo'lib, kvadrat ildiz 3 ning kvadratiga teng. Oldingi formuladagi asosiy maydon o'rniga ushbu formulani almashtiramiz. , va biz quyidagi formulani olamiz: h \u003d 3V4 / (g 2 √3) = 12V/(g 2 √3). Tetraedrning hajmini uning chetining uzunligi bilan ifodalash mumkin, keyin barcha o'zgaruvchilar figuraning balandligini hisoblash formulasidan olib tashlanishi mumkin va faqat rasmning uchburchak yuzining yon tomoni qolishi mumkin. Bunday piramidaning hajmini uning yuzining uzunligini 2 ning kvadrat ildiziga kub bo'lgan mahsulotdan 12 ga bo'lish yo'li bilan hisoblash mumkin.

Bu ifodani oldingi formulaga almashtiramiz, hisoblash uchun quyidagi formulani olamiz: h = 12(g 3 √2/12)/(g 2 √3) = (g 3 √2)/(g 2 √3) = g√(2 /3) = (1/3)g√6. Bundan tashqari, muntazam uchburchak prizma sharga yozilishi mumkin va faqat sharning radiusini (R) bilgan holda, siz tetraedrning eng balandligini topishingiz mumkin. Tetraedrning chekka uzunligi: g = 4R/√6. Oldingi formuladagi g o'zgaruvchisini shu ifoda bilan almashtiramiz va formulani olamiz: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Xuddi shu formulani tetraedr ichiga chizilgan aylana radiusini (R) bilish orqali ham olish mumkin. Bunday holda, uchburchakning chetining uzunligi orasidagi 12 nisbatga teng bo'ladi kvadrat ildiz 6 va radius. Biz bu ifodani oldingi formulaga almashtiramiz va quyidagilarga ega bo'lamiz: h = (1/3)g√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Oddiy to'rtburchak piramidaning balandligini qanday topish mumkin

Piramidaning balandligi uzunligini qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob berish uchun siz oddiy piramida nima ekanligini bilishingiz kerak. To'rtburchakli piramida to'rtburchakka asoslangan piramidadir. Agar muammo sharoitida bizda: piramidaning hajmi (V) va poydevorining (S) maydoni bo'lsa, u holda ko'pburchakning balandligini (h) hisoblash formulasi quyidagicha bo'ladi. - 3 ga ko'paytirilgan hajmni S maydoniga bo'ling: h \u003d (3V) / S. Piramidaning kvadrat asosi ma'lum bo'lgan: berilgan hajm (V) va yon uzunligi g, oldingi formuladagi maydonni (S) yon uzunligi kvadratiga almashtiring: S = g 2 ; H = 3V/g 2. Muntazam piramidaning balandligi h = SO aylananing o'rtasidan o'tadi, u poydevor yaqinida chegaralangan. Ushbu piramidaning asosi kvadrat bo'lgani uchun O nuqta AD va BC diagonallarining kesishish nuqtasidir. Bizda: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Keyinchalik, SOC to'g'ri burchakli uchburchakda (Pifagor teoremasi bo'yicha): SO = √(SC 2 -OC 2) ni topamiz. Endi siz oddiy piramidaning balandligini qanday topishni bilasiz.

Gipoteza: piramida shaklining mukammalligi tufaylidir, deb hisoblaymiz matematik qonunlar uning shakliga kiritilgan.

Maqsad: piramidani tekshirish geometrik jism, shaklining mukammalligini tushuntirish.

Vazifalar:

1. Piramidaning matematik ta’rifini bering.

2. Piramidani geometrik jism sifatida o‘rganing.

3. Misrliklar o'z piramidalarida qanday matematik bilimlarni qo'yganliklarini tushuning.

Shaxsiy savollar:

1. Geometrik jism sifatida piramida nima?

2. Piramidaning noyob shaklini matematik tarzda qanday tushuntirish mumkin?

3. Piramidaning geometrik mo'jizalari nima bilan izohlanadi?

4. Piramida shaklining mukammalligi nima bilan izohlanadi?

Piramidaning ta'rifi.

PIRAMIDA (yunoncha piramida, n. pyramidos turkumidan) — koʻpburchak, asosi koʻpburchak, qolgan yuzlari esa umumiy choʻqqisi boʻlgan uchburchaklar (rasm). Poydevorning burchaklari soniga ko'ra, piramidalar uchburchak, to'rtburchak va boshqalar.

PIRAMIDA - piramidaning geometrik shakliga ega bo'lgan monumental inshoot (ba'zan pog'onali yoki minora shaklida ham). Miloddan avvalgi 3-2 ming yillikdagi qadimgi Misr fir'avnlarining ulkan qabrlari piramidalar deyiladi. e., shuningdek, kosmologik kultlar bilan bog'liq bo'lgan qadimgi Amerika ibodatxonalari (Meksika, Gvatemala, Gonduras, Peruda) poydevorlari.

Shunday bo'lishi mumkin yunoncha so'z"piramida" misrlik per-em-us iborasidan, ya'ni piramidaning balandligini anglatuvchi atamadan keladi. Taniqli rus misrshunosi V. Struve yunoncha “puram…j” qadimgi Misr “p”-mr” dan keladi, deb hisoblagan.

Tarixdan. Atanasyan mualliflarining "Geometriya" darsligidagi materialni o'rganib chiqib. Butuzova va boshqalar shuni bilib oldik: n-gon A1A2A3 ... An va n RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 uchburchaklardan tashkil topgan ko‘pburchak piramida deyiladi. A1A2A3 ko'pburchak ... An - piramidaning asosi va RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 uchburchaklar piramidaning lateral yuzlari, P - piramidaning tepasi, RA1, RA2, segmentlari. ., RAn lateral qirralardir.

Biroq, piramidaning bunday ta'rifi har doim ham mavjud emas edi. Masalan, qadimgi yunon matematigi, matematikaga oid bizgacha yetib kelgan nazariy risolalar muallifi Evklid piramidani bir tekislikdan bir nuqtaga yaqinlashuvchi tekisliklar bilan chegaralangan qattiq figura sifatida belgilaydi.

Ammo bu ta'rif antik davrda allaqachon tanqid qilingan. Shunday qilib, Heron taklif qildi quyidagi ta'rif piramidalar: "Bu bir nuqtada yaqinlashuvchi va asosi ko'pburchak bo'lgan uchburchaklar bilan chegaralangan raqam."

Bizning guruhimiz ushbu ta'riflarni taqqoslab, ularda "asos" tushunchasining aniq formulasi yo'q degan xulosaga keldi.

Biz ushbu ta'riflarni o'rganib chiqdik va Adrien Mari Legendre ta'rifini topdik, u 1794 yilda o'zining "Geometriya elementlari" asarida piramidaga quyidagicha ta'rif beradi: "Piramida - bu uchburchaklarning bir nuqtada yaqinlashib, turli tomonlarida tugaydigan tana figurasidir. tekis asos."

Bizga shunday tuyuladi oxirgi ta'rif piramida haqida aniq tasavvur beradi, chunki u poydevor tekisligi haqida gapiradi. Piramidaning yana bir ta'rifi 19-asr darsligida paydo bo'lgan: "piramida - bu tekislik bilan kesishgan qattiq burchak".

Piramida geometrik jism sifatida.

Bu. Piramida ko'pburchak bo'lib, uning yuzlaridan biri (poydevori) ko'pburchak, boshqa yuzlari (tomonlari) bitta umumiy uchi (piramidaning tepasi) bo'lgan uchburchaklardir.

Piramidaning tepasidan poydevor tekisligiga tortilgan perpendikulyar deyiladi balandh piramidalar.

O'zboshimchalik bilan piramidadan tashqari, mavjud o'ng piramida, uning asosida muntazam ko'pburchak va kesilgan piramida.

Rasmda - PABCD piramidasi, ABCD - uning asosi, PO - balandligi.

To'liq sirt maydoni Piramida uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisi deb ataladi.

Sfull = Sside + Sbase, qayerda Sside yon yuzlar maydonlarining yig'indisi.

piramida hajmi formula bo'yicha topiladi:

V=1/3Sbase h, qaerda Sosn. - tayanch maydoni h- balandlik.

Muntazam piramidaning o'qi uning balandligini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqdir.
Apothem ST - oddiy piramidaning yon yuzining balandligi.

Muntazam piramidaning yon yuzining maydoni quyidagicha ifodalanadi: Sside. =1/2P h, bu erda P - asosning perimetri, h- yon yuzning balandligi (muntazam piramidaning apothemi). Agar piramida asosiga parallel bo'lgan A'B'C'D' tekislik bilan kesib o'tsa, u holda:

1) yon qirralar va balandlik ushbu tekislik bilan proportsional qismlarga bo'linadi;

2) kesmada asosga o'xshash A'B'C'D' ko'pburchak olinadi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Kesilgan piramidaning asoslari o'xshash ko'pburchaklar ABCD va A`B`C`D`, yon yuzlari trapetsiyadir.

Balandligi kesilgan piramida - tayanchlar orasidagi masofa.

Qisqartirilgan hajm Piramida quyidagi formula bo'yicha topiladi:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="chap" eni="91" balandligi="96"> Muntazam kesilgan piramidaning lateral yuzasi maydoni quyidagicha ifodalanadi: Sside. = ½(P+P') h, bu erda P va P’ asoslarning perimetrlari, h- yon yuzning balandligi (bayramlar bilan kesilgan muntazam apothem).

Piramidaning bo'limlari.

Piramidaning tepasidan o'tadigan tekisliklarning bo'limlari uchburchaklardir.

Piramidaning ikkita qo'shni bo'lmagan lateral chetidan o'tadigan qism deyiladi diagonal qism.

Agar kesma poydevorning yon chetidagi va yon tomonidagi nuqtadan o'tsa, u holda bu tomon uning piramida poydevori tekisligidagi izi bo'ladi.

Piramidaning yuzida yotgan nuqtadan o'tadigan kesma va poydevor tekisligidagi kesimning berilgan izi, keyin qurilish quyidagicha amalga oshirilishi kerak:

berilgan yuz tekisligining kesishish nuqtasini va piramida kesimining izini toping va uni belgilang;

orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziqni yasang berilgan nuqta va hosil bo'lgan kesishish nuqtasi;

· Keyingi yuzlar uchun ushbu amallarni takrorlang.

, bu to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlarining nisbati 4: 3 ga to'g'ri keladi. Oyoqlarning bu nisbati "mukammal", "muqaddas" yoki "Misr" uchburchagi deb ataladigan tomonlari 3: 4: 5 bo'lgan taniqli o'ng uchburchakka to'g'ri keladi. Tarixchilarning fikriga ko'ra, "Misr" uchburchagiga sehrli ma'no berilgan. Plutarxning yozishicha, misrliklar olam tabiatini “muqaddas” uchburchak bilan solishtirgan; ular ramziy ma'noda vertikal oyoqni eriga, asosini xotinga va gipotenuzani ikkalasidan tug'ilgan narsaga o'xshatishgan.

3:4:5 uchburchak uchun tenglik to'g'ri: 32 + 42 = 52, Pifagor teoremasini ifodalaydi. Bu ular davom ettirmoqchi bo'lgan teorema emasmi? Misr ruhoniylari, uchburchak 3:4:5 asosida piramida qurish? Misrliklarga Pifagor tomonidan kashf etilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan Pifagor teoremasini tasvirlash uchun yaxshiroq misol topish qiyin.

Shunday qilib, Misr piramidalarining mohir yaratuvchilari o'zlarining uzoq avlodlarini o'zlarining chuqur bilimlari bilan hayratda qoldirishga intilishdi va ular Cheops piramidasi uchun "asosiy geometrik g'oya" sifatida "oltin" ni tanlash orqali erishdilar. to'g'ri uchburchak, va Khafre piramidasi uchun - "muqaddas" yoki "Misr" uchburchagi.

Ko'pincha, o'z tadqiqotlarida olimlar Oltin qismning nisbati bilan piramidalarning xususiyatlaridan foydalanadilar.

Matematikada ensiklopedik lug'at Oltin bo'limning quyidagi ta'rifi berilgan - bu garmonik bo'linish, ekstremal va o'rtacha nisbatda bo'linish - AB segmentini ikki qismga bo'linishi, uning ko'p qismi AC butun segment orasidagi o'rtacha proportsional bo'ladi. AB va uning kichikroq qismi CB.

Segmentning oltin kesimini algebraik topish AB = a a tenglamani yechishga qisqartiradi: x = x: (a - x), bundan x taxminan 0,62a ga teng. X nisbati 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618 kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, bunda 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonachchi raqamlari.

AB segmentining oltin qismining geometrik qurilishi quyidagicha amalga oshiriladi: B nuqtasida AB ga perpendikulyar tiklanadi, BE segmenti \u003d 1/2 AB yotqiziladi, A va E ulanadi, DE \ u003d BE qoldiriladi va nihoyat, AC \u003d AD, keyin AB tengligi bajariladi: CB = 2: 3.

oltin nisbat ko'pincha san'at, me'morchilik asarlarida qo'llaniladi, tabiatda topiladi. Yorqin misollar Apollon Belvedere, Parthenon haykali. Parthenonni qurishda bino balandligining uzunligiga nisbati ishlatilgan va bu nisbat 0,618 ni tashkil qiladi. Atrofimizdagi ob'ektlar ham "Oltin nisbat" misollarini beradi, masalan, ko'plab kitoblarning bog'lashlari kengligi va uzunligi nisbati 0,618 ga yaqin. Barglarning o'simliklarning umumiy poyasida joylashishini hisobga olsak, har ikki juft barg o'rtasida uchinchisi Oltin nisbat (slaydlar) o'rnida joylashganligini ko'rish mumkin. Har birimiz "qo'limizda" Oltin nisbatni "kiyamiz" - bu barmoqlarning falanjlarining nisbati.

Bir nechta matematik papiruslarning kashfiyoti tufayli Misrshunoslar qadimgi Misr hisob-kitoblari va o'lchov tizimlari haqida biror narsa bilib oldilar. Ulardagi vazifalarni ulamolar hal qilishgan. Eng mashhurlaridan biri bu Rhind matematik papirusidir. Ushbu jumboqlarni o'rganish orqali Misrshunoslar qadimgi misrliklar qanday qilib engishganini bilib oldilar turli miqdorlar og'irlik, uzunlik va hajm o'lchovlarini hisoblashda paydo bo'lgan, unda kasrlar ko'pincha ishlatilgan, shuningdek, ular burchaklar bilan qanday muomala qilgan.

Qadimgi misrliklar to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi va poydevoriga nisbati asosida burchaklarni hisoblash usulidan foydalanganlar. Ular gradient tilida istalgan burchakni ifodalagan. Nishab gradienti "seked" deb nomlangan butun sonning nisbati sifatida ifodalangan. Richard Pillins “Fir’avnlar davridagi matematika” asarida shunday tushuntiradi: “Doimiy piramidaning sekedi to‘rtta uchburchak yuzlardan birortasining poydevor tekisligiga moyilligi bo‘lib, vertikal balandlik birligi uchun gorizontal birliklarning n-soni bilan o‘lchanadi. . Shunday qilib, bu o'lchov birligi bizning zamonaviy moyillik burchagi kotangentiga teng. Shuning uchun misrlik "seked" so'zi biznikiga bog'liq zamonaviy so'z"gradient"".

Piramidalarning raqamli kaliti ularning balandligining poydevorga nisbatida yotadi. DA amaliy jihatdan- bu piramidaning qurilishi davomida to'g'ri moyillik burchagini doimiy ravishda tekshirish uchun zarur bo'lgan shablonlarni yaratishning eng oson usuli.

Misrologlar bizni har bir fir'avn o'zining individualligini, shuning uchun har bir piramida uchun moyillik burchaklaridagi farqlarni ifoda etishga intilishiga ishontirishdan xursand bo'lishadi. Ammo boshqa sabab ham bo'lishi mumkin. Ehtimol, ularning barchasi turli xil nisbatlarda yashiringan turli xil ramziy uyushmalarni o'zida mujassamlashtirmoqchi bo'lgan. Biroq, Xafre piramidasining burchagi (uchburchak asosida (3:4:5) Rhind matematik papirusidagi piramidalar tomonidan taqdim etilgan uchta masalada ko'rinadi). Shunday qilib, bu munosabat qadimgi misrliklarga yaxshi ma'lum edi.

Qadimgi misrliklar 3:4:5 uchburchagini bilmagan deb da'vo qilayotgan misrshunoslarga nisbatan adolat uchun aytaylik, gipotenuza 5 uzunligi hech qachon tilga olinmagan. Ammo piramidalarga oid matematik masalalar har doim seked burchak - balandlikning poydevorga nisbati asosida hal qilinadi. Gipotenuzaning uzunligi hech qachon aytilmaganligi sababli, Misrliklar uchinchi tomonning uzunligini hech qachon hisoblamagan degan xulosaga keldi.

Giza piramidalarida ishlatiladigan balandlik va poydevor nisbati, shubhasiz, qadimgi misrliklarga ma'lum edi. Har bir piramida uchun bu nisbatlar o'zboshimchalik bilan tanlangan bo'lishi mumkin. Biroq, bu Misrning barcha turlarida raqamli simvolizmga berilgan ahamiyatga zid keladi tasviriy san'at. Ehtimol, bunday munosabatlar muhim ahamiyatga ega edi, chunki ular o'ziga xos diniy g'oyalarni ifodalagan. Boshqacha qilib aytganda, Gizaning butun majmuasi qandaydir ilohiy mavzuni aks ettirish uchun mo'ljallangan izchil dizaynga bo'ysungan. Bu dizaynerlar nima uchun tanlaganini tushuntiradi turli burchaklar uchta piramidaning egilishi.

Bauval va Gilbert “Orion siri” asarida Giza piramidalarining Orion yulduz turkumi bilan, xususan, Orion kamaridagi yulduzlar bilan bog‘liqligi to‘g‘risida ishonchli dalillar keltirdilar.Xuddi shunday yulduz turkumi Isis va Osiris afsonalarida ham mavjud va u yerda. Har bir piramidani uchta asosiy xudolardan biri - Osiris, Isis va Horusning tasviri sifatida ko'rib chiqish uchun sababdir.

"GEOMETRİK" MO'JIZALARI.

Misrning ulug'vor piramidalari orasida alohida o'rin egallaydi Fir'avn Xeopsning buyuk piramidasi (Xufu). Cheops piramidasining shakli va hajmini tahlil qilishdan oldin, misrliklar qanday o'lchovlar tizimidan foydalanganliklarini esga olishimiz kerak. Misrliklar uch uzunlik birligiga ega edi: "tirsak" (466 mm), yetti "xurmo" (66,5 mm) ga teng, bu esa o'z navbatida to'rtta "barmoq" (16,6 mm) ga teng edi.

Ukraina olimi Nikolay Vasyutinskiyning "Oltin nisbat" (1990) ajoyib kitobida keltirilgan mulohazalarga amal qilib, Cheops piramidasining hajmini tahlil qilaylik (2-rasm).

Ko'pgina tadqiqotchilar piramida poydevorining yon tomonining uzunligi, masalan, GF ga teng L\u003d 233,16 m. Bu qiymat deyarli 500 "tirsak" ga to'g'ri keladi. Agar "tirsak" uzunligi 0,4663 m ga teng deb hisoblansa, 500 "tirsak" ga to'liq muvofiqlik bo'ladi.

Piramida balandligi ( H) tadqiqotchilar tomonidan 146,6 dan 148,2 m gacha turlicha baholanadi.Va piramidaning qabul qilingan balandligiga qarab, uning geometrik elementlarining barcha nisbatlari o'zgaradi. Piramida balandligini baholashdagi farqlarning sababi nimada? Gap shundaki, aniq aytganda, Cheops piramidasi kesilgan. Uning yuqori platformasi bugungi kunda taxminan 10´ 10 m o'lchamga ega va bir asr oldin u 6´ 6 m ga teng edi.Ko'rinib turibdiki, piramidaning tepasi demontaj qilingan va u asl nusxaga mos kelmaydi.

Piramidaning balandligini baholashda strukturaning "qoralama" kabi jismoniy omilni hisobga olish kerak. Orqada uzoq vaqt ulkan bosim ta'sirida (pastki sirtning 1 m2 uchun 500 tonnaga etadi), piramidaning balandligi asl balandligiga nisbatan kamaydi.

Piramidaning asl balandligi qancha edi? Agar siz piramidaning asosiy "geometrik g'oyasini" topsangiz, bu balandlikni qayta tiklash mumkin.

2-rasm.

1837 yilda ingliz polkovnigi G. Wise piramida yuzlarining moyillik burchagini o'lchadi: u teng bo'lib chiqdi. a= 51 ° 51 ". Bu qiymat bugungi kunda ko'pchilik tadqiqotchilar tomonidan tan olingan. Burchakning ko'rsatilgan qiymati tangensga (tg) to'g'ri keladi. a), 1,27306 ga teng. Bu qiymat piramidaning balandligi nisbatiga mos keladi AC poydevorining yarmigacha CB(2-rasm), ya'ni. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Va bu erda tadqiqotchilar katta ajablanib bo'lishdi!.png" width="25" height="24">= 1,272. Ushbu qiymatni tg qiymati bilan solishtirish a= 1.27306, biz bu qiymatlar bir-biriga juda yaqin ekanligini ko'ramiz. Agar burchakni olsak a\u003d 51 ° 50", ya'ni uni faqat bittaga kamaytiring yoy daqiqasi, keyin qiymat a 1,272 ga teng bo'ladi, ya'ni ning qiymatiga to'g'ri keladi. Shuni ta'kidlash kerakki, 1840 yilda G. Wise o'z o'lchovlarini takrorlab, burchakning qiymatini aniqlab berdi. a=51°50".

Ushbu o'lchovlar tadqiqotchilarni quyidagilarga olib keldi qiziqarli gipoteza: Xeops piramidasining ASV uchburchagi AC munosabatiga asoslangan edi / CB = = 1,272!

Endi to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing ABC, unda oyoqlarning nisbati AC / CB= (2-rasm). Agar endi to'rtburchak tomonlarning uzunliklari ABC bilan belgilang x, y, z, shuningdek, nisbati hisobga olinishi kerak y/x= , keyin, Pifagor teoremasiga muvofiq, uzunlik z formula bo'yicha hisoblash mumkin:

Qabul qilsa x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3-rasm"Oltin" to'g'ri burchakli uchburchak.

Tomonlari sifatida bog'langan to'g'ri burchakli uchburchak t:oltin" to'g'ri burchakli uchburchak.

Keyin, agar Xeops piramidasining asosiy “geometrik g‘oyasi” “oltin” to‘g‘ri burchakli uchburchak ekanligi haqidagi farazni asos qilib olsak, bu yerdan Xeops piramidasining “loyihaviy” balandligini hisoblash oson bo‘ladi. U quyidagilarga teng:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Keling, Xeops piramidasi uchun "oltin" gipotezadan kelib chiqadigan boshqa munosabatlarni keltiramiz. Xususan, biz piramidaning tashqi maydonini uning poydevorining maydoniga nisbatini topamiz. Buning uchun biz oyoqning uzunligini olamiz CB birlik uchun, ya'ni: CB= 1. Ammo keyin piramida poydevorining yon tomonining uzunligi GF= 2 va poydevorning maydoni EFGH ga teng bo'ladi SEFGH = 4.

Keling, Cheops piramidasining yon tomonining maydonini hisoblaylik SD. Chunki balandlik AB uchburchak AEF ga teng t, keyin yon yuzning maydoni teng bo'ladi SD = t. Keyin piramidaning to'rtta yon yuzlarining umumiy maydoni 4 ga teng bo'ladi t, va piramidaning umumiy tashqi maydonining poydevor maydoniga nisbati oltin nisbatga teng bo'ladi! Bu shunday - Cheops piramidasining asosiy geometrik siri!

Cheops piramidasining "geometrik mo''jizalar" guruhi o'rtasidagi munosabatlarning haqiqiy va uzoqqa cho'zilgan xususiyatlarini o'z ichiga oladi. turli o'lchamlar piramidada.

Qoida tariqasida, ular ba'zi "doimiy", xususan, 3,14159 ... ga teng "pi" (Lyudolf soni) raqamini qidirishda olinadi; natural logarifmlar asoslari "e" (Napier soni) 2,71828... ga teng; "F" raqami, "oltin qism" raqami, teng, masalan, 0,618 ... va hokazo.

Siz nomlashingiz mumkin, masalan: 1) Gerodotning mulki: (Balandligi) 2 \u003d 0,5 st. asosiy x Apotema; 2) V. mulki Narxi: Balandligi: 0,5 st. osn \u003d "F" ning kvadrat ildizi; 3) M. Eistning xossasi: Poydevorning perimetri: 2 Balandligi = "Pi"; boshqa talqinda - 2 osh qoshiq. asosiy : Balandlik = "Pi"; 4) G. Reber xossasi: Ichkarilgan doira radiusi: 0,5 st. asosiy = "F"; 5) K. Kleppishning mulki: (St. Asosiy.) 2: 2 (st. Asosiy. x Apotema) \u003d (st. Asosiy. V. Apotema) \u003d 2 (st. Asosiy. x Apotema) : (( 2-asosiy X Apotema) + (asosiy st.) 2). Va hokazo. Siz juda ko'p bunday xususiyatlarni topishingiz mumkin, ayniqsa ikkita qo'shni piramidani bog'lasangiz. Masalan, “A. Arefievning xossalari” sifatida Xeops piramidasi va Xafre piramidasi hajmlari orasidagi farq Menkaure piramidasining ikki barobar hajmiga teng ekanligini ta’kidlash mumkin...

Ko'pgina qiziqarli qoidalar, xususan, "oltin bo'lim" bo'yicha piramidalarni qurish to'g'risida D.Xambidjning "Arxitekturada dinamik simmetriya" va M.Gikning "Tabiat va san'atdagi mutanosiblik estetikasi" kitoblarida keltirilgan. Eslatib o'tamiz, "oltin qism" segmentning bunday nisbatda bo'linishi, A qismi B qismidan necha marta katta bo'lsa, A butun A + B segmentidan necha marta kichikdir. A / B nisbati “F” soniga teng == 1,618.... “Oltin qism”dan foydalanish nafaqat alohida piramidalarda, balki Gizadagi butun piramida majmuasida ko‘rsatilgan.

Eng qizig'i shundaki, xuddi shu Cheops piramidasi shunchaki ko'p odamlarni sig'dira olmaydi. mo''jizaviy xususiyatlar. Muayyan mulkni birma-bir olib, uni "sozlash" mumkin, lekin barchasi bir vaqtning o'zida mos kelmaydi - ular bir-biriga mos kelmaydi, ular bir-biriga zid keladi. Shuning uchun, masalan, barcha xossalarni tekshirishda dastlab piramida poydevorining bir tomoni (233 m) olinsa, u holda turli xil xususiyatlarga ega piramidalarning balandliklari ham har xil bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, tashqi tomondan Xeopsnikiga o'xshash, ammo har xil xususiyatlarga mos keladigan piramidalarning ma'lum bir "oilasi" mavjud. E'tibor bering, "geometrik" xususiyatlarda ayniqsa mo''jizaviy narsa yo'q - ko'p narsa avtomatik ravishda shaklning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqadi. "Mo''jiza" faqat qadimgi misrliklar uchun imkonsiz bo'lgan narsa deb hisoblanishi kerak. Bu, xususan, "kosmik" mo''jizalarni o'z ichiga oladi, ularda Xeops piramidasi yoki Gizadagi piramida majmuasi o'lchovlari ba'zi astronomik o'lchovlar bilan taqqoslanadi va "juft" raqamlar ko'rsatiladi: million marta, milliard marta kam va hokazo. Keling, ba'zi "kosmik" munosabatlarni ko'rib chiqaylik.

Bayonotlardan biri bu: "agar biz piramida poydevorining tomonini yilning aniq uzunligiga bo'lsak, biz yer o'qining roppa-rosa 10 milliondan bir qismini olamiz". Hisoblang: 233 ni 365 ga bo'ling, biz 0,638 ni olamiz. Yerning radiusi 6378 km.

Boshqa bir bayonot aslida oldingisiga qarama-qarshidir. F. Noetling ta'kidlaganidek, agar siz o'zi ixtiro qilgan "Misr tirsagi" dan foydalansangiz, u holda piramidaning yon tomoni "eng aniq davomiylik" ga to'g'ri keladi. quyosh yili, kunning milliarddan bir qismiga qadar ifodalangan" - 365.540.903.777.

P.Smitning: “Piramidaning balandligi Yerdan Quyoshgacha boʻlgan masofaning roppa-rosa milliarddan bir qismidir” degan fikri. Odatda balandligi 146,6 m bo'lsada, Smit uni 148,2 m deb qabul qilgan.Zamonaviy radar o'lchovlariga ko'ra, Yer orbitasining yarim katta o'qi 149,597,870 + 1,6 km. Bu Yerdan Quyoshgacha bo'lgan o'rtacha masofa, lekin perigeliyda afelionga qaraganda 5 000 000 kilometrga kamroq.

Oxirgi qiziq bayonot:

"Xeops, Xafre va Menkaure piramidalarining massalari Yer, Venera, Mars sayyoralari massalari kabi bir-biriga bog'liqligini qanday tushuntirish mumkin?" Keling, hisoblaylik. Uchta piramidaning massalari quyidagicha bog'langan: Xafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Uchta sayyora massalarining nisbati: Venera - 0,815; Yer - 1000; Mars - 0,108.

Shunday qilib, skeptitsizmga qaramay, bayonotlar qurilishining taniqli uyg'unligini ta'kidlaymiz: 1) piramidaning balandligi, "kosmosga chiquvchi" chiziq sifatida - Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofaga to'g'ri keladi; 2) piramida poydevorining "substratga", ya'ni Yerga eng yaqin tomoni yer radiusi va yer aylanishi uchun javobgardir; 3) piramidaning hajmlari (o'qing - massalar) Yerga eng yaqin sayyoralar massalarining nisbatiga mos keladi. Shunga o'xshash "shifr" ni, masalan, Karl fon Frish tomonidan tahlil qilingan ari tilida kuzatish mumkin. Biroq, biz hozircha bu haqda izoh berishdan tiyilamiz.

PIRAMIDALARNING SHAKLI

Piramidalarning mashhur tetraedral shakli darhol paydo bo'lmadi. Skiflar dafnlarni tuproqli tepaliklar - qo'rg'onlar shaklida qilganlar. Misrliklar toshdan "tepaliklar" - piramidalar qurdilar. Bu birinchi marta Yuqori va Quyi Misr birlashgandan keyin, miloddan avvalgi 28-asrda, III sulola asoschisi Fir'avn Joser (Zoser) oldida mamlakat birligini mustahkamlash vazifasi turganda sodir bo'ldi.

Bu yerda esa, tarixchilarning fikricha, markaziy hokimiyatni mustahkamlashda podshohning “yangi xudolashtirish konsepsiyasi” muhim rol o‘ynagan. Podshoh qabrlari ko'proq ulug'vorligi bilan ajralib tursa-da, ular saroy zodagonlarining qabrlaridan printsipial jihatdan farq qilmagan, ular bir xil tuzilmalar - mastabalar edi. Mumiyani o'z ichiga olgan sarkofagli kameraning tepasida to'rtburchaklar shaklidagi mayda toshlar tepaligi quyilgan, u erda katta tosh bloklardan iborat kichik bino - "mastaba" (arab tilida - "skameyka") joylashtirilgan. Fir'avn Joser o'zidan oldingi Sanaxtning mastabasi o'rnida birinchi piramidani o'rnatdi. Bu pog'onali bo'lib, bir me'moriy shakldan ikkinchisiga, mastabadan piramidaga ko'rinadigan o'tish bosqichi edi.

Shu tariqa fir’avnni donishmand va me’mor Imxotep “ko‘tardi”, keyinchalik u sehrgar hisoblanib, yunonlar tomonidan Asklepiy xudosi bilan tenglashtirildi. Go‘yo oltita mastabani ketma-ket o‘rnatgandek bo‘ldi. Bundan tashqari, birinchi piramida 1125 x 115 metr maydonni egallagan, taxminiy balandligi 66 metr (Misr o'lchovlari bo'yicha - 1000 "xurmo"). Dastlab me'mor mastaba qurishni rejalashtirgan, lekin cho'zinchoq emas, balki kvadrat rejada. Keyinchalik u kengaytirildi, lekin kengaytma pastroq qilinganligi sababli, go'yo ikki qadam hosil bo'ldi.

Bu holat meʼmorni qanoatlantirmadi va ulkan yassi mastabaning tepa supasiga Imxotep yana uchtasini qoʻyib, tepaga qarab asta-sekin pasayib bordi. Qabr piramida ostida edi.

Yana bir nechta pog'onali piramidalar ma'lum, ammo keyinchalik quruvchilar ko'proq tanish tetraedral piramidalarni qurishga o'tdilar. Biroq, nima uchun uchburchak yoki, aytaylik, sakkizburchak emas? Bilvosita javob deyarli barcha piramidalar to'rtta asosiy nuqtaga to'liq yo'naltirilganligi va shuning uchun to'rt tomoni borligi bilan beriladi. Bundan tashqari, piramida to'rtburchak dafn kamerasining qobig'i bo'lgan "uy" edi.

Ammo yuzlarning egilish burchagiga nima sabab bo'ldi? "Proportionlar printsipi" kitobida butun bir bob bunga bag'ishlangan: "Piramidalarning burchaklarini nima aniqlashi mumkin". Xususan, “Qadimgi podshohlikning buyuk piramidalari tortiladigan tasvir tepasida toʻgʻri burchakli uchburchakdir.

Kosmosda u yarim oktaedr: poydevorning chetlari va tomonlari teng bo'lgan piramida, yuzlari teng qirrali uchburchaklar.Bu mavzu bo'yicha Xembidge, Geek va boshqalarning kitoblarida ma'lum fikrlar berilgan.

Yarimoktaedr burchagining afzalligi nimada? Arxeologlar va tarixchilarning ta'riflariga ko'ra, ba'zi piramidalar o'z og'irligi ostida qulab tushgan. Kerakli narsa "chidamlilik burchagi" edi, bu burchak eng baquvvat jihatdan ishonchli edi. To'g'ri empirik tarzda, bu burchakni maydalangan quruq qum uyumidagi cho'qqi burchagidan olish mumkin. Ammo aniq ma'lumotlarni olish uchun siz modeldan foydalanishingiz kerak. To'rtta mahkam o'rnatilgan to'pni olib, ularga beshinchisini qo'yish va moyillik burchaklarini o'lchash kerak. Biroq, bu erda siz xato qilishingiz mumkin, shuning uchun nazariy hisoblash yordam beradi: siz to'plarning markazlarini chiziqlar bilan bog'lashingiz kerak (aqliy). Poydevorda siz radiusning ikki barobariga teng bo'lgan kvadrat olasiz. Kvadrat faqat piramidaning asosi bo'ladi, uning qirralari uzunligi ham radiusning ikki barobariga teng bo'ladi.

Shunday qilib, 1: 4 turdagi to'plarning zich o'rashi bizga oddiy yarim oktaedrni beradi.

Biroq, nega ko'plab piramidalar shunga o'xshash shaklga tortilishadi, lekin uni saqlab qolishmaydi? Ehtimol, piramidalar eskirgan. Mashhur so'zdan farqli o'laroq:

"Dunyoda hamma narsa vaqtdan qo'rqadi, vaqt esa piramidalardan qo'rqadi", piramidalar binolari qarishi kerak, ular nafaqat tashqi ob-havo jarayonlarini, balki ichki "qisqarish" jarayonlarini ham amalga oshirishi mumkin va kerak. piramidalar pastga tushishi mumkin. Siqilish ham mumkin, chunki D. Davidovitsning asarlarida aniqlanganidek, qadimgi misrliklar ohak chiplaridan, boshqacha qilib aytganda, "beton" dan bloklarni tayyorlash texnologiyasidan foydalanganlar. Aynan mana shu jarayonlar Qohiradan 50 km janubda joylashgan Medum piramidasining vayron bo‘lishi sababini tushuntirishi mumkin edi. Uning yoshi 4600 yil, poydevorining o'lchamlari 146 x 146 m, balandligi 118 m. “Nima uchun bunchalik buzilib ketgan?” deb so‘raydi V. Zamarovskiy.“Vaqtning halokatli ta’siri va “boshqa binolar uchun toshdan foydalanish” haqidagi odatiy havolalar bu yerga to‘g‘ri kelmaydi.

Negaki, uning aksariyat bloklari va qoplama plitalari shu kungacha o‘z joyida, etagida xaroba bo‘lib qolgan.“Ko‘rib turganimizdek, bir qator qoidalar kishini o‘ylashga majbur qiladi. mashhur piramida Xeops ham "kichraygan". Qanday bo'lmasin, barcha qadimiy tasvirlarda piramidalar ishora qilingan ...

Piramidalarning shakli taqlid qilish orqali ham yaratilishi mumkin edi: ba'zi tabiiy naqshlar, "mo''jizaviy mukammallik", aytaylik, oktaedr shaklidagi ba'zi kristallar.

Bunday kristallar olmos va oltin kristallari bo'lishi mumkin. Xarakterli ko'p miqdorda Fir'avn, Quyosh, Oltin, Olmos kabi tushunchalar uchun "kesishuvchi" belgilar. Hamma joyda - olijanob, yorqin (porloq), buyuk, benuqson va hokazo. O'xshashliklar tasodifiy emas.

Quyosh kulti, siz bilganingizdek, dinning muhim qismi edi. qadimgi Misr. “Ehromlarning eng ulug‘i nomini qanday tarjima qilsak ham, – deyiladi zamonaviy qo‘llanmalardan birida – “Sky Xufu” yoki “Sky Khufu”da, bu shoh quyosh ekanligini anglatardi. Agar Xufu o'z qudrati yorqinligida o'zini ikkinchi quyoshni tasavvur qilsa, uning o'g'li Jedef-Ra o'zini "Raning o'g'li", ya'ni Quyoshning o'g'li deb atay boshlagan Misr shohlarining birinchisi bo'ldi. Quyosh deyarli barcha xalqlar tomonidan "quyosh metalli", oltin sifatida ramzlangan. "Yorqin oltinning katta diski" - shuning uchun misrliklar bizning kunduzi. Misrliklar oltinni juda yaxshi bilishgan, ular oltin kristallari oktaedr shaklida paydo bo'lishi mumkin bo'lgan uning mahalliy shakllarini bilishgan.

Bu erda "shakllar namunasi" sifatida "quyosh toshi" - olmos ham qiziq. Olmosning nomi kelib chiqqan Arab dunyosi, "almas" - eng qiyin, eng qiyin, buzilmas. Qadimgi misrliklar olmosni bilishgan va uning xususiyatlari juda yaxshi. Ba'zi mualliflarning fikriga ko'ra, ular hatto burg'ulash uchun olmos kesgichli bronza quvurlardan foydalanganlar.

Hozirgi vaqtda olmosning asosiy yetkazib beruvchisi hisoblanadi Janubiy Afrika, lekin G'arbiy Afrika ham olmoslarga boy. Mali Respublikasi hududi hatto u erda "Olmos o'lkasi" deb ataladi. Ayni paytda, Mali hududida Dogon yashaydi, ular bilan paleovisit gipotezasi tarafdorlari ko'p umidlarni bog'lashadi (pastga qarang). Qadimgi misrliklarning bu mintaqa bilan aloqalari uchun olmoslar sabab bo'la olmaydi. Biroq, u yoki bu tarzda, lekin, ehtimol, qadimgi misrliklar olmos va oltin kristallarining oktaedrlarini nusxalash orqali, xuddi olmos kabi "buzilmas" va quyosh o'g'illari - oltin fir'avnlar kabi "porloq" bo'lganlarni ilohiylashtirishgan. , faqat eng ko'p bilan solishtirish mumkin ajoyib ijodlar tabiat.

Xulosa:

Piramidani geometrik jism sifatida o‘rganib, uning elementlari va xossalari bilan tanishib, biz piramida shaklining go‘zalligi haqidagi fikrning to‘g‘riligiga amin bo‘ldik.

Tadqiqotlarimiz natijasida misrliklar eng qimmatli matematik bilimlarni to‘plab, uni piramidada mujassamlashtirgan degan xulosaga keldik. Demak, piramida haqiqatan ham tabiat va insonning eng mukammal ijodidir.

BIBLIOGRAFIYA

"Geometriya: Proc. 7-9 hujayralar uchun. umumiy ta'lim muassasalar \ va boshqalar - 9-nashr - M .: Ta'lim, 1999 yil

Maktabda matematika tarixi, M: "Ma'rifat", 1982 yil

Geometriya 10-11 sinf, M: “Ma’rifat”, 2000 y

Piter Tompkins "Buyuk Xeops piramidasining sirlari", M: "Centropoligraph", 2005 yil

Internet resurslari

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Bu erda piramidalar va tegishli formulalar va tushunchalar haqida asosiy ma'lumotlar to'plangan. Ularning barchasi imtihonga tayyorgarlik ko'rishda matematikadan repetitor bilan birga o'rganiladi.

Bir tekislikni, ko'pburchakni ko'rib chiqing unda yotgan va unda yotmagan nuqta S. S ni ko‘pburchakning barcha uchlariga ulang. Olingan ko'pburchak piramida deb ataladi. Segmentlar lateral qirralar deb ataladi. Ko'pburchak asosi, S nuqtasi esa piramidaning tepasi deb ataladi. n soniga qarab piramida uchburchak (n=3), to‘rtburchak (n=4), beshburchak (n=5) va hokazo deb ataladi. Muqobil ism uchburchak piramida - tetraedr. Piramidaning balandligi uning cho'qqisidan tayanch tekisligiga chizilgan perpendikulyardir.

Agar piramida to'g'ri deb ataladi muntazam ko'pburchak va piramida balandligining asosi (perpendikulyar asos) uning markazidir.

O'qituvchining sharhi:
"muntazam piramida" va "muntazam tetraedr" tushunchalarini chalkashtirmang. Muntazam piramidada yon qirralarning asosning chetlariga teng bo'lishi shart emas, lekin oddiy tetraedrda qirralarning barcha 6 qirrasi tengdir. Bu uning ta'rifi. Tenglik ko'pburchakning markazi P ekanligini ko'rsatishini isbotlash oson balandligi asosi bilan, shuning uchun muntazam tetraedr muntazam piramidadir.

Apotema nima?
Piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir. Agar piramida muntazam bo'lsa, unda uning barcha apotemalari tengdir. Buning aksi haqiqat emas.

Matematika o'qituvchisi terminologiyasi haqida: piramidalar bilan ishlash 80% ikki turdagi uchburchaklar orqali qurilgan:
1) SK apotemini va SP balandligini o'z ichiga oladi
2) Yan qirrasi SA va uning proyeksiyasi PAni o'z ichiga oladi

Ushbu uchburchaklarga havolalarni soddalashtirish uchun matematika o'qituvchisi ulardan birinchisini nomlashi qulayroqdir. apotemik, va ikkinchi kosta. Afsuski, bu atamalarni hech bir darslikda uchratmaysiz va o‘qituvchi uni bir tomonlama kiritishi kerak.

Piramida hajmi formulasi:
1) , bu erda piramida poydevorining maydoni va piramidaning balandligi
2) , bu erda chizilgan sharning radiusi va piramidaning umumiy sirt maydoni.
3) , bu erda MN - har qanday ikkita kesishgan qirralarning masofasi va qolgan to'rtta chekkaning o'rta nuqtalaridan hosil bo'lgan parallelogrammning maydoni.

Piramida balandligi asosi xususiyati:

P nuqtasi (rasmga qarang), agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa, piramidaning tagidagi chizilgan doira markaziga to'g'ri keladi:
1) Barcha apotemalar tengdir
2) Barcha yon yuzlar asosga teng darajada moyil
3) Barcha apotemalar piramida balandligiga teng darajada moyil
4) Piramidaning balandligi barcha yon tomonlarga teng darajada moyil

Matematika o'qituvchisining sharhi: barcha elementlar bitta tomonidan birlashtirilganligini unutmang umumiy mulk: u yoki bu tarzda, yon yuzlar hamma joyda ishtirok etadi (apotemlar ularning elementlari). Shuning uchun repetitor yodlash uchun kamroq aniq, ammo qulayroq formulani taklif qilishi mumkin: P nuqtasi, agar uning lateral yuzlari haqida teng ma'lumot mavjud bo'lsa, piramidaning poydevori, chizilgan doira markaziga to'g'ri keladi. Buni isbotlash uchun barcha apotemik uchburchaklar teng ekanligini ko'rsatish kifoya.

Agar uchta shartdan biri to'g'ri bo'lsa, P nuqtasi piramida poydevoriga yaqin joylashgan aylana markaziga to'g'ri keladi:
1) Barcha yon qirralar teng
2) Barcha yon qovurg'alar asosga teng ravishda moyil
3) Barcha yon qovurg'alar balandlikka teng ravishda moyil

Kirish

Stereometrik raqamlarni o'rganishni boshlaganimizda, biz "Piramida" mavzusiga to'xtaldik. Bizga ushbu mavzu yoqdi, chunki piramida arxitekturada juda tez-tez ishlatiladi. Va bizdan beri kelajak kasbi arxitektor, bu figuradan ilhomlanib, bizni buyuk loyihalarga undaydi deb o'ylaymiz.

Arxitektura inshootlarining mustahkamligi, ularning eng muhim sifati. Kuchni, birinchidan, ular yaratilgan materiallar bilan, ikkinchidan, xususiyatlar bilan bog'lash konstruktiv yechimlar, ma'lum bo'lishicha, strukturaning mustahkamligi uning uchun asosiy bo'lgan geometrik shaklga bevosita bog'liq.

Boshqa so'z bilan, gaplashamiz tegishli me'moriy shaklning modeli sifatida qaralishi mumkin bo'lgan o'sha geometrik figura haqida. Ma’lum bo‘lishicha, geometrik shakl me’moriy inshootning mustahkamligini ham belgilaydi.

Misr piramidalari qadimdan eng mustahkam meʼmoriy inshoot hisoblangan. Ma'lumki, ular muntazam to'rtburchak piramidalar shakliga ega.

Aynan shu geometrik shakl katta tayanch maydoni tufayli eng katta barqarorlikni ta'minlaydi. Boshqa tomondan, piramidaning shakli erdan balandlikning oshishi bilan massaning kamayishini ta'minlaydi. Aynan shu ikki xususiyat piramidani barqaror va shuning uchun tortishish sharoitida kuchli qiladi.

Loyihaning maqsadi: piramidalar haqida yangi narsalarni bilib oling, bilimlarni chuqurlashtiring va amaliy dasturlarni toping.

Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagi vazifalarni hal qilish kerak edi:

Piramida haqidagi tarixiy ma'lumotlarni bilib oling

Piramidani geometrik shakl sifatida ko'rib chiqing

Hayotda va arxitekturada qo'llanilishini toping

Joylashgan piramidalar oʻrtasidagi oʻxshashlik va farqlarni toping turli qismlar Sveta

Nazariy qism

Tarixiy ma'lumotlar

Piramida geometriyasining boshlanishi Qadimgi Misr va Bobilda qo'yilgan, ammo u faol rivojlangan. Qadimgi Gretsiya. Piramidaning hajmi nimaga teng ekanligini birinchi bo'lib Demokrit aniqlagan va Knidlik Evdoks buni isbotlagan. Qadimgi yunon matematigi Evklid o'zining "Boshlanishlari" ning XII jildida piramida haqidagi bilimlarni tizimlashtirgan va piramidaning birinchi ta'rifini ham keltirgan: bir tekislikdan bir nuqtada yaqinlashadigan tekisliklar bilan chegaralangan tana figurasi.

Misr fir'avnlarining qabrlari. Ulardan eng kattasi - Al-Gizadagi Xeops, Xafre va Mikerin piramidalari qadimda dunyoning yetti mo'jizasidan biri hisoblangan. Piramidaning o'rnatilishi, unda yunonlar va rimliklar misli ko'rilmagan shohlar va shafqatsizlikning g'ururiga yodgorlikni ko'rgan, bu butun Misr xalqini bema'ni qurilishga mahkum qilgan, eng muhim diniy harakat edi va aftidan, mamlakat va uning hukmdorining tasavvufiy o'ziga xosligi. Qishloq xoʻjaligi ishlaridan boʻshagan davrda mamlakat aholisi maqbara qurilishida mehnat qilgan. Qator matnlar podshohlarning o‘zlari (keyinroq bo‘lsa ham) qabrini qurish va uni quruvchilarga ko‘rsatgan e’tibor va g‘amxo‘rlikdan dalolat beradi. Bundan tashqari, piramidaning o'zi bo'lgan maxsus diniy sharaflar haqida ham ma'lum.

Asosiy tushunchalar

Piramida Ko'pburchak deyiladi, uning asosi ko'pburchak, qolgan yuzlari esa umumiy uchi bo'lgan uchburchaklardir.

Apothem- muntazam piramidaning yuqori qismidan chizilgan yon yuzining balandligi;

Yon yuzlar- tepada yaqinlashuvchi uchburchaklar;

Yon qovurg'alar- yon yuzlarning umumiy tomonlari;

piramidaning tepasi- yon qirralarni bog'laydigan va poydevor tekisligida yotmaydigan nuqta;

Balandligi- piramidaning tepasi orqali uning asosi tekisligiga chizilgan perpendikulyar segmenti (bu segmentning uchlari piramidaning tepasi va perpendikulyar asosidir);

Piramidaning diagonal kesmasi- piramidaning tepadan va poydevor diagonalidan o'tuvchi kesimi;

Baza- piramidaning tepasiga tegishli bo'lmagan ko'pburchak.

To'g'ri piramidaning asosiy xususiyatlari

Yon qirralar, yon yuzlar va apotemlar mos ravishda tengdir.

Poydevordagi dihedral burchaklar teng.

Yon qirralarning dihedral burchaklari tengdir.

Har bir balandlik nuqtasi barcha asosiy cho'qqilardan bir xil masofada joylashgan.

Har bir balandlik nuqtasi barcha yon yuzlardan bir xil masofada joylashgan.

Asosiy piramida formulalari

Piramidaning lateral va to'liq yuzasining maydoni.

Piramidaning lateral yuzasining maydoni (to'liq va kesilgan) uning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi, umumiy sirt maydoni uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisidir.

Teorema: Muntazam piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor perimetri va piramida apotemasining ko'paytmasining yarmiga teng.

p- poydevorning perimetri;

h- apotema.

Kesilgan piramidaning lateral va to'liq yuzalarining maydoni.

p1, p 2 - asosiy perimetrlar;

h- apotema.

R- muntazam kesilgan piramidaning umumiy sirt maydoni;

S tomoni- muntazam kesilgan piramidaning lateral yuzasi maydoni;

S1 + S2- tayanch maydoni

Piramida hajmi

Shakl Ovoz shkalasi har qanday turdagi piramidalar uchun ishlatiladi.

H piramidaning balandligi.

Piramidaning burchaklari

Piramidaning yon yuzi va poydevoridan hosil bo'lgan burchaklar piramidaning poydevoridagi ikki burchakli burchaklar deb ataladi.

Ikki burchakli burchak ikkita perpendikulyardan hosil bo'ladi.

Ushbu burchakni aniqlash uchun siz ko'pincha uchta perpendikulyar teoremadan foydalanishingiz kerak.

Yon qirra va uning asos tekisligiga proyeksiyasidan hosil bo'lgan burchaklar deyiladi lateral qirrasi va poydevor tekisligi orasidagi burchaklar.

Ikki yon yuzdan hosil bo'lgan burchak deyiladi piramidaning lateral chetidagi ikki burchakli burchak.

Piramidaning bir yuzining ikki yon chetidan hosil bo'lgan burchak deyiladi piramidaning yuqori qismidagi burchak.

Piramidaning bo'limlari

Piramidaning yuzasi ko'pburchakning yuzasi. Uning har bir yuzi tekislikdir, shuning uchun piramidaning sekant tekislik tomonidan berilgan kesimi alohida to'g'ri chiziqlardan iborat siniq chiziqdir.

Diagonal qism

Piramidaning bir yuzida yotmaydigan ikkita lateral chetidan oʻtuvchi tekislik kesimi deyiladi. diagonal qism piramidalar.

Parallel bo'limlar

Teorema:

Agar piramida asosga parallel bo'lgan tekislik bilan kesib o'tilsa, u holda piramidaning yon qirralari va balandliklari shu tekislik bilan proporsional qismlarga bo'linadi;

Bu tekislikning kesmasi asosga o'xshash ko'pburchakdir;

Bo'lim va poydevorning maydonlari bir-biri bilan tepadan masofalarining kvadratlari sifatida bog'langan.

Piramida turlari

To'g'ri piramida- piramida, uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lib, piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan.

To'g'ri piramidada:

1. yon qovurg'alar teng

2. yon yuzlari teng

3. apotemalar teng

4. asosdagi ikki burchakli burchaklar teng

5. yon qirralarning dihedral burchaklari teng

6. har bir balandlik nuqtasi barcha tayanch cho'qqilaridan teng masofada joylashgan

7. har bir balandlik nuqtasi barcha yon yuzlardan teng masofada joylashgan

Kesilgan piramida- piramidaning asosi va poydevorga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi.

Kesilgan piramidaning asosi va mos kesimi deyiladi kesilgan piramidaning asoslari.

Bir asosning istalgan nuqtasidan boshqasining tekisligiga o'tkazilgan perpendikulyar deyiladi kesilgan piramidaning balandligi.

Vazifalar

№ 1. O'ngda to'rtburchak piramida O nuqta asosning markazi, SO=8 sm, BD=30 sm.Yon chetini SA toping.

Muammoni hal qilish

№ 1. Oddiy piramidada barcha yuzlar va qirralar tengdir.

Keling, OSBni ko'rib chiqaylik: OSB-to'rtburchaklar to'rtburchaklar, chunki.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Arxitekturada piramida

Piramida - oddiy muntazam geometrik piramida ko'rinishidagi monumental inshoot, unda tomonlar bir nuqtada birlashadi. Funktsional maqsadiga ko'ra, qadimgi davrlarda piramidalar dafn etish yoki sajda qilish joyi bo'lgan. Piramidaning asosi uchburchak, to'rtburchak yoki ko'p burchakli bo'lishi mumkin, lekin ixtiyoriy sonli uchlari bilan, lekin eng keng tarqalgan versiyasi to'rtburchak asosdir.

Ko'p sonli piramidalar ma'lum, qurilgan turli madaniyatlar qadimgi dunyo asosan ibodatxonalar yoki yodgorliklar sifatida. Eng katta piramidalar Misr piramidalaridir.

Butun er yuzida siz piramidalar ko'rinishidagi me'moriy inshootlarni ko'rishingiz mumkin. Piramida binolari qadim zamonlarni eslatadi va juda chiroyli ko'rinadi.

Misr piramidalari eng buyuk arxitektura yodgorliklari Qadimgi Misr, ular orasida "Dunyoning etti mo'jizasi" dan biri Xeops piramidasi hisoblanadi. Oyoqdan tepaga qadar u 137,3 m ga etadi va cho'qqini yo'qotmasdan oldin uning balandligi 146,7 m edi.

Slovakiya poytaxtidagi teskari piramidaga o'xshagan radiostansiya binosi 1983 yilda qurilgan. Ofis va xizmat xonalaridan tashqari, Slovakiyadagi eng yirik organlardan biriga ega bo'lgan keng kontsert zali mavjud. .

“Piramidadek jim va mahobatli” Luvr dunyodagi eng buyuk muzeyga aylangunga qadar asrlar davomida koʻp oʻzgarishlarni boshdan kechirdi. U 1190 yilda Filipp Avgust tomonidan qurilgan qal'a sifatida tug'ilgan va u tez orada qirollik qarorgohiga aylangan. 1793 yilda saroy muzeyga aylandi. To'plamlar vasiyat qilish yoki sotib olish orqali boyitiladi.