Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishini hisoblash. Matematik kutish formulasi. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
Ehtimollar nazariyasi matematikaning maxsus bo'limi bo'lib, uni faqat oliy o'quv yurtlari talabalari o'rganadilar. Hisoblash va formulalarni yaxshi ko'rasizmi? Oddiy taqsimot, ansamblning entropiyasi, matematik kutish va diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu sizni juda qiziqtiradi. Keling, ushbu fan bo'limining eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishamiz.
Keling, asosiy narsalarni eslaylik
Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslab qolsangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, asoslarni aniq tushunmasdan, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.
Shunday qilib, qandaydir tasodifiy hodisa, qandaydir tajriba bor. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va tarqalishini o'rganishni boshlashingiz mumkin.
O'rta arifmetik
Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Hozir biz uchun asosiy narsa shundaki, biz buni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.
Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlarning yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.
Dispersiya
Ilmiy so'z bilan aytganda, dispersiya - bu olingan xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va arifmetik o'rtacha o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, unda beshga bo'ling.
Dispersiya shuningdek, muammolarni hal qilishda uni qo'llash uchun eslab qolishingiz kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Misol uchun, agar tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya kvadratdan X marta ortadi (ya'ni X*X). U hech qachon noldan kam emas va qiymatlarni teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Shuningdek, mustaqil sinovlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng.
Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.
Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1,2,2,3,4,4 va 5 marta kuzatdik. Farqi qanday bo'ladi?
Birinchidan, biz o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: elementlarning yig'indisi, albatta, 21. Biz uni 7 ga bo'lamiz, 3 ga erishamiz. Endi biz dastlabki ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiramiz va natijalarni birgalikda qo'shamiz. . Bu 12 bo'lib chiqdi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, buni muhokama qilaylik.
Tajribalar soniga bog'liqlik
Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (bu asosan bir xil narsa). Bu nimaga bog'liq?
Agar testlar soni yuzlab o'lchangan bo'lsa, u holda biz maxrajga N qo'yishimiz kerak, agar birliklarda bo'lsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqami bo'ylab ishlaydi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, unda biz miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.
Vazifa
Keling, dispersiya va kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.
Kutilgan qiymat
Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, qancha natijalarni hisobga olishidan qat'i nazar, butun vazifa uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.
Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimollik bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, matematik taxminlar yig'indisi yig'indining matematik kutishiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor bunday oddiy amallarni bajarishga imkon bermaydi. Keling, topshiriqni olamiz va bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning qiymatini hisoblaymiz. Bundan tashqari, biz nazariya bilan chalg'idik - amaliyot vaqti keldi.
Yana bir misol
Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda paydo bo'ladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish uchun masalani yechish misolini keltiramiz.
Biz boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: 50/10 = 5.
Keling, hisoblashni qulayroq qilish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayirib tashlaymiz, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga olamiz. Misol sifatida birinchi element bilan buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyinchalik: (-4) * (-4) = 16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu amallarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, hamma narsani qo'shgandan so'ng siz 90 ni olasiz.
90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda xato qildingiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hamma narsa joyiga tushadi.
Va nihoyat, matematik kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutilayotgan qiymat 5,48 bo'ladi. Biz faqat birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarishni eslaymiz: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natijaning qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.
Og'ish
Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha standart og'ishdir. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanday chetga chiqishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash kerak.
Agar siz oddiy taqsimotni chizsangiz va to'g'ridan-to'g'ri kvadrat og'ishini ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizing. Tarqatishning o'rtasi va natijada gorizontal o'qdagi proektsiya o'rtasidagi segmentning qiymati standart og'ish bo'ladi.
Dasturiy ta'minot
Formulalarning tavsiflaridan va keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oson protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollar nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.
Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nihoyat
Dispersiya va matematik kutish - bularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganliklari va ularni hisoblab chiqa olmaganliklari sababli ko‘pchilik talabalar darhol dasturda qolib keta boshlaydilar va keyinchalik mashg‘ulotlar oxirida yomon baholar oladilar, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.
Kuniga kamida bir hafta yarim soat mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin, har qanday ehtimollik nazariyasi testida siz begona maslahatlar va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.
DSW ning xarakteristikalari va ularning xususiyatlari. Matematik kutish, dispersiya, standart og'ish
Taqsimot qonuni tasodifiy miqdorni to'liq tavsiflaydi. Biroq, taqsimot qonunini topishning iloji bo'lmaganda yoki bu talab qilinmasa, tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari deb ataladigan qiymatlarni topish bilan cheklanishi mumkin. Ushbu qiymatlar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari guruhlangan ba'zi o'rtacha qiymatni va ularning ushbu o'rtacha qiymat atrofida tarqalish darajasini belgilaydi.
matematik kutish Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisidir.
Tenglikning o'ng tomonidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashsa, matematik kutish mavjud.
Ehtimollik nuqtai nazaridan shuni aytishimiz mumkinki, matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.
Misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni ma'lum. Matematik taxminni toping.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Qaror:
9.2 Kutish xususiyatlari
1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng.
2. Kutish belgisidan doimiy omilni olish mumkin. 
3. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorning ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalarining ko‘paytmasiga teng.
Bu xususiyat tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soni uchun amal qiladi.
4. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng.
Bu xususiyat tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soniga ham tegishli.
n ta mustaqil sinov o'tkazilsin, A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli p ga teng.
Teorema. n ta mustaqil sinovda A hodisaning sodir bo‘lish sonining M(X) matematik kutilmasi sinovlar soni va har bir sinovda hodisaning ro‘y berish ehtimoli ko‘paytmasiga teng.
Misol. Agar X va Y ning matematik kutilmalari ma’lum bo‘lsa, Z tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Qaror:
9.3 Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi
Biroq, matematik kutish tasodifiy jarayonni to'liq tavsiflay olmaydi. Matematik kutishga qo'shimcha ravishda siz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining matematik kutishdan og'ishini tavsiflovchi qiymatni kiritishingiz kerak.
Bu og'ish tasodifiy o'zgaruvchi va uning matematik kutilishi o'rtasidagi farqga teng. Bunday holda, og'ishning matematik kutilishi nolga teng. Bu ba'zi mumkin bo'lgan og'ishlar ijobiy, boshqalari salbiy bo'lishi va ularning o'zaro bekor qilinishi natijasida nolga erishilishi bilan izohlanadi.
Tarqalish (tarqalish) Diskret tasodifiy miqdor tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan kvadrat og'ishning matematik kutilishi deb ataladi.
Amalda dispersiyani hisoblashning bu usuli noqulay, chunki tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari uchun noqulay hisob-kitoblarga olib keladi.
Shuning uchun boshqa usul qo'llaniladi.
Teorema. Dispersiya X tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi va uning matematik kutilmasining kvadrati o'rtasidagi farqga teng..
Isbot. Matematik kutilma M (X) va M 2 (X) matematik kutilma kvadrati doimiy qiymatlar ekanligini hisobga olib, yozishimiz mumkin:
Misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni bilan berilgan dispersiyasini toping.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Qaror: .
9.4 Dispersiya xossalari
1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng. .
2. Dispersiya belgisidan doimiy koeffitsientni kvadratga ajratib chiqarish mumkin. 
.
3. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng. .
4. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar ayirmasining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng. .
Teorema. Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lgan n ta mustaqil sinovda A hodisasining sodir bo‘lish sonining dispersiyasi sinovlar soni va yuzaga kelish va sodir bo‘lmaslik ehtimoli ko‘paytmasiga teng. har bir sud jarayonidagi voqea.
9.5 Diskret tasodifiy miqdorning standart og'ishi
Standart og'ish X tasodifiy o'zgaruvchiga dispersiyaning kvadrat ildizi deyiladi.
Teorema. O'zaro mustaqil tasodifiy miqdorlarning cheklangan soni yig'indisining standart og'ishi bu o'zgaruvchilarning kvadratik standart og'ishlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng.
Matematik kutish - bu ta'rif
Matni kutish qiymatlarning taqsimlanishini tavsiflovchi matematik statistika va ehtimollar nazariyasidagi eng muhim tushunchalardan biri. ehtimolliklar tasodifiy o'zgaruvchi. Odatda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan parametrlarining o'rtacha og'irligi sifatida ifodalanadi. U texnik tahlilda, sonlar qatorlarini oʻrganishda, uzluksiz va uzoq muddatli jarayonlarni oʻrganishda keng qoʻllaniladi. Moliyaviy bozorlarda savdo qilishda risklarni baholash, narx ko'rsatkichlarini bashorat qilishda muhim ahamiyatga ega bo'lib, o'yin taktikasi strategiyalari va usullarini ishlab chiqishda qo'llaniladi. qimor nazariyasi.
Checkmate kutmoqda- Bu tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, taqsimoti ehtimolliklar tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi.
Matni kutish ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining o'lchovi. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi x belgilangan M(x).
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Matni kutish
Matni kutish ehtimollik nazariyasida bu tasodifiy o'zgaruvchi olishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan qiymatlarning o'rtacha og'irligi.
Matni kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari ko'paytmalarining ushbu qiymatlarning ehtimolliklari bo'yicha yig'indisi.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Matni kutish ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin.
Matni kutish qimor o'yinlari nazariyasida chayqovchi har bir tikish uchun o'rtacha hisobda olishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan yutuq miqdori. Qimor o'yinlari tilida chayqovchilar Bu ba'zan "afzallik" deb ataladi chayqovchi” (agar u chayqovchi uchun ijobiy bo'lsa) yoki "uy chekkasi" (agar u chayqovchi uchun salbiy bo'lsa).
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Matni kutish g'alaba boshiga foyda o'rtacha ko'paytiriladi foyda, minus yo'qotish o'rtacha yo'qotish bilan ko'paytiriladi.
Matematik nazariyada tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Tasodifiy o'zgaruvchining muhim raqamli xususiyatlaridan biri bu kutishdir. Keling, tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi tushunchasini kiritaylik. Xuddi shu tasodifiy tajriba natijalari bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamini ko'rib chiqing. Agar tizimning mumkin bo'lgan qiymatlaridan biri bo'lsa, voqea Kolmogorov aksiomalarini qondiradigan ma'lum bir ehtimolga mos keladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning har qanday mumkin bo'lgan qiymatlari uchun aniqlangan funktsiya qo'shma taqsimot qonuni deb ataladi. Bu funksiya har qanday hodisaning ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Xususan, qo'shma qonun tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimoti va to'plamdan qiymatlarni oladi va ehtimolliklar bilan beriladi.
"mat." atamasi. kutish” tushunchasi Per Simon Markiz de Laplas (1795) tomonidan kiritilgan va birinchi marta 17-asrda qimor oʻyinlari nazariyasida Blez Paskal va Kristian Gyuygens asarlarida paydo boʻlgan “toʻlovning kutilayotgan qiymati” tushunchasidan kelib chiqqan. Biroq, bu kontseptsiyani birinchi to'liq nazariy tushunish va baholashni Pafnutiy Lvovich Chebyshev (19-asr o'rtalari) bergan.
Qonun tasodifiy sonli o'zgaruvchilar taqsimoti (tarqatish funksiyasi va taqsimot qatori yoki ehtimollik zichligi) tasodifiy o'zgaruvchining harakatini to'liq tavsiflaydi. Ammo bir qator masalalarda qo'yilgan savolga javob berish uchun o'rganilayotgan miqdorning ba'zi sonli xarakteristikalarini (masalan, uning o'rtacha qiymati va undan mumkin bo'lgan og'ishini) bilish kifoya. Tasodifiy o'zgaruvchilarning asosiy raqamli xarakteristikalari kutish, dispersiya, rejim va mediandir.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisidir. Ba'zan mat. kutish o'rtacha og'irlik deb ataladi, chunki u ko'p sonli tajribalar davomida tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga tengdir. Kutish matining ta'rifidan kelib chiqadiki, uning qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan eng kichik qiymatidan kam emas va eng kattasidan ko'p emas. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) o'zgaruvchidir.
Matematik kutish oddiy jismoniy ma'noga ega: agar birlik massa to'g'ri chiziqqa joylashtirilsa, ba'zi bir massani ba'zi nuqtalarga joylashtirsa (diskret taqsimlash uchun) yoki uni ma'lum bir zichlik bilan "yog'lash" (mutlaq uzluksiz taqsimlash uchun), u holda mat kutishga mos keladigan nuqta koordinata "og'irlik markazi" to'g'ri bo'ladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati ma'lum bir raqam bo'lib, u go'yo uning "vakili" bo'lib, uni taxminiy taxminiy hisob-kitoblarda almashtiradi. Biz: "chiroqning o'rtacha ishlash vaqti 100 soat" yoki "o'rtacha ta'sir nuqtasi nishonga nisbatan 2 m o'ngga siljiydi" deganda, biz bu bilan tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir raqamli xarakteristikasini ko'rsatamiz, bu uni tavsiflaydi. raqamli o'qdagi joylashuv, ya'ni. pozitsiya tavsifi.
Ehtimollar nazariyasidagi vaziyatning xususiyatlaridan eng muhim rolni tasodifiy o'zgaruvchini kutish o'ynaydi, bu ba'zan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi.
Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, bu mumkin bo'lgan qiymatlarga ega x1, x2, …, xn ehtimollar bilan p1, p2, …, pn. Biz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining x o'qidagi o'rnini qandaydir raqam bilan tavsiflashimiz kerak hisobga olgan holda bu qiymatlar turli xil ehtimolliklarga ega. Buning uchun qiymatlarning "o'rtacha vaznli" deb ataladiganidan foydalanish tabiiydir xi, va o'rtacha hisoblash paytida har bir xi qiymati ushbu qiymatning ehtimoliga mutanosib "og'irlik" bilan hisobga olinishi kerak. Shunday qilib, biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini hisoblaymiz X, biz buni belgilaymiz M|X|:
Ushbu vaznli o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining mat kutilishi deb ataladi. Shunday qilib, biz ehtimollik nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri - mat tushunchasini ko'rib chiqdik. umidlar. Mat. Tasodifiy o'zgaruvchini kutish - bu tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari yig'indisi.
Mat. tasodifiy o'zgaruvchini kutish X Ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining arifmetik o'rtacha qiymatiga o'ziga xos bog'liqlik tufayli. Ushbu bog'liqlik chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlik bilan bir xil turdagi, ya'ni: ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati uning matasiga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). kutish. Chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlikdan kelib chiqib, natijada o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasidagi o'xshash bog'liqlik mavjudligini xulosa qilish mumkin. Haqiqatan ham, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, bir qator taqsimotlar bilan tavsiflanadi:
Ishlab chiqarilsin N mustaqil tajribalar, ularning har birida qiymat X ma'lum bir qiymatni oladi. Qiymati deylik x1 paydo bo'ldi m1 marta, qiymat x2 paydo bo'ldi m2 vaqt, umumiy ma'no xi marta paydo bo'ldi. Keling, X ning kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaylik, bu kutilgan matlardan farqli o'laroq. M|X| belgilaymiz M*|X|:
Tajribalar sonining ko'payishi bilan N chastotalar pi mos keladigan ehtimollarga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati M|X| tajribalar sonining ko'payishi bilan u o'z kutganiga yaqinlashadi (ehtimollik bilan). O'rtacha arifmetik va mat o'rtasidagi bog'liqlik yuqorida ifodalangan. kutish - katta sonlar qonuni shakllaridan birining mazmuni.
Biz allaqachon bilamizki, katta sonlar qonunining barcha shakllari ko'p sonli tajribalar davomida ma'lum o'rtacha qiymatlarning barqarorligini bildiradi. Bu yerda gap bir xil qiymatdagi bir qator kuzatishlar natijasida o‘rtacha arifmetik qiymatning barqarorligi haqida ketmoqda. Kam miqdordagi tajribalar bilan ularning natijalarining o'rtacha arifmetik qiymati tasodifiydir; tajribalar sonining etarli darajada ortishi bilan u "deyarli tasodifiy emas" bo'lib qoladi va barqarorlashtirib, doimiy qiymatga yaqinlashadi - mat. kutish.
Ko'p sonli tajribalar uchun o'rtacha ko'rsatkichlarning barqarorlik xususiyatini eksperimental tekshirish oson. Masalan, laboratoriyada har qanday jismni aniq tarozida tortish, tortish natijasida har safar yangi qiymatga ega bo'lamiz; kuzatish xatosini kamaytirish uchun tanani bir necha marta tortamiz va olingan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan foydalanamiz. Ko'rinib turibdiki, tajribalar (tortishishlar) sonining yanada ortishi bilan o'rtacha arifmetik bu o'sishga kamroq va kamroq ta'sir qiladi va etarlicha ko'p tajribalar bilan u amalda o'zgarishni to'xtatadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining eng muhim xarakteristikasi mat. kutish - barcha tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Qaysi mat uchun bunday tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar keltirish mumkin. hech qanday kutish yo'q, chunki mos keladigan yig'indi yoki integral ajralib chiqadi. Biroq, amaliyot uchun bunday holatlar katta qiziqish uyg'otmaydi. Odatda, biz ko'rib chiqadigan tasodifiy o'zgaruvchilar cheklangan qiymatlar diapazoniga ega va, albatta, kutilgan ma'lumotlarga ega.
Tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining xarakteristikasining eng muhimi - kutilgan qiymatdan tashqari, ba'zida pozitsiyaning boshqa xarakteristikalari, xususan, tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va medianasi qo'llaniladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining rejimi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. "Ehtimoliy qiymat" atamasi, aniq aytganda, faqat uzluksiz miqdorlarga nisbatan qo'llaniladi; uzluksiz miqdor uchun rejim - ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymat. Raqamlar mos ravishda uzluksiz va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar rejimini ko'rsatadi.
Agar taqsimot ko'pburchagi (tarqatish egri chizig'i) birdan ortiq maksimalga ega bo'lsa, taqsimot "polimodal" deyiladi.
Ba'zan o'rtada maksimal emas, balki minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar "antimodal" deb ataladi.
Umumiy holatda tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va kutilishi mos kelmaydi. Maxsus holatda taqsimot nosimmetrik va modal bo'lganda (ya'ni rejimga ega) va mat mavjud. kutish, keyin u rejim va taqsimotning simmetriya markaziga to'g'ri keladi.
Lavozimning yana bir xarakteristikasi tez-tez ishlatiladi - tasodifiy o'zgaruvchining medianasi. Bu xarakteristika odatda faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladi, lekin uni uzluksiz o'zgaruvchi uchun ham rasmiy ravishda aniqlash mumkin. Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon ikkiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir.
Simmetrik modal taqsimotda mediana mat bilan mos keladi. kutish va moda.
Matematik kutish - bu o'rtacha qiymat, tasodifiy o'zgaruvchi - tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotining raqamli xarakteristikasi. Eng umumiy tarzda, tasodifiy o'zgaruvchining mat kutish X(w) ehtimollik o'lchoviga nisbatan Lebeg integrali sifatida aniqlanadi R asl ehtimollik maydonida:
Mat. kutishni Lebeg integrali sifatida ham hisoblash mumkin X ehtimollik taqsimoti bo'yicha px miqdorlar X:
Tabiiy tarzda, cheksiz kutish bilan tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasini aniqlash mumkin. Oddiy misol - ba'zi tasodifiy yurishlarda repatriatsiya vaqtlari.
Mat yordamida. kutishlar taqsimotning ko'plab sonli va funktsional xususiyatlari bilan belgilanadi (tasodifiy o'zgaruvchining mos keladigan funktsiyalarini matematik kutish kabi), masalan, hosil qiluvchi funktsiya, xarakterli funktsiya, har qanday tartibdagi momentlar, xususan dispersiya, kovariatsiya.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Matematik kutish - bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining joylashuvining xarakteristikasi (uning taqsimotining o'rtacha qiymati). Bu sig'imda matematik kutish qandaydir "odatiy" taqsimot parametri bo'lib xizmat qiladi va uning roli mexanikada statik moment - massa taqsimotining og'irlik markazining koordinatasi roliga o'xshaydi. Joylashuvning boshqa xususiyatlaridan, ular yordamida taqsimot umumiy ma'noda tasvirlangan - medianlar, rejimlar, kutish ehtimollar nazariyasining chegaraviy teoremalarida u va tegishli tarqalish xarakteristikasi - dispersiyaga ega bo'lgan kattaroq qiymat bilan farqlanadi. Eng katta to'liqlik bilan kutish matlarining ma'nosi katta sonlar qonuni (Chebishev tengsizligi) va katta sonlarning mustahkamlangan qonuni bilan ochib beriladi.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Bir nechta raqamli qiymatlardan birini olishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin (masalan, rulondagi nuqtalar soni 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6 bo'lishi mumkin). Ko'pincha amalda bunday qiymat uchun savol tug'iladi: ko'p sonli testlar bilan "o'rtacha" qanday qiymatni oladi? Xavfli operatsiyalarning har biridan bizning o'rtacha daromadimiz (yoki zararimiz) qanday bo'ladi?
Aytaylik, qandaydir lotereya bor. Biz unda ishtirok etish (yoki hatto qayta-qayta, muntazam ravishda ishtirok etish) foydali yoki yo'qligini tushunishni istaymiz. Aytaylik, har to'rtinchi chipta yutadi, sovrin 300 rublni, har qanday chipta esa 100 rublni tashkil qiladi. Cheksiz sonli ishtiroklar bilan bu sodir bo'ladi. Ishlarning to'rtdan uch qismida biz yo'qotamiz, har uchta yo'qotish 300 rublni tashkil qiladi. Har to'rtinchi holatda biz 200 rubl yutib olamiz. (mukofot minus narxi), ya'ni to'rtta ishtirok uchun biz o'rtacha 100 rublni, bittasi uchun - o'rtacha 25 rublni yo'qotamiz. Hammasi bo'lib, bizning xarobamizning o'rtacha narxi chipta uchun 25 rublni tashkil qiladi.
Biz zar tashlaymiz. Agar u aldamasa (og'irlik markazini o'zgartirmasdan va hokazo), unda biz bir vaqtning o'zida o'rtacha qancha ball olamiz? Har bir variant bir xil bo'lganligi sababli, biz ahmoqona arifmetik o'rtachani olamiz va 3,5 ni olamiz. Bu O'RTA bo'lgani uchun, hech qanday aniq otish 3,5 ball bermasligidan g'azablanishning hojati yo'q - yaxshi, bu kubning bunday raqamga ega yuzi yo'q!
Endi misollarimizni umumlashtiramiz:
Keling, yuqoridagi rasmni ko'rib chiqaylik. Chap tomonda tasodifiy miqdorni taqsimlash jadvali mavjud. X qiymati n ta mumkin bo'lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin (yuqori qatorda berilgan). Boshqa qadriyatlar bo'lishi mumkin emas. Har bir mumkin bo'lgan qiymat ostida uning ehtimoli quyida imzolanadi. O'ng tomonda formula mavjud, bu erda M (X) mat deb ataladi. kutish. Ushbu qiymatning ma'nosi shundaki, ko'p sonli sinovlar (katta namuna bilan) bilan o'rtacha qiymat aynan shu kutishga moyil bo'ladi.
Keling, xuddi shu o'yin kubiga qaytaylik. Mat. otish paytida ballar sonini kutish 3,5 ni tashkil qiladi (agar ishonmasangiz, formuladan foydalanib hisoblang). Aytaylik, siz uni bir necha marta tashladingiz. 4 va 6 tushib ketdi O'rtacha 5 ga chiqdi, ya'ni 3,5 dan uzoqda. Ular uni yana tashladilar, 3 tasi tushib ketdi, ya'ni o'rtacha (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Qandaydir tarzda matdan uzoqda. umidlar. Endi aqldan ozgan tajriba qiling - kubni 1000 marta aylantiring! Va agar o'rtacha to'liq 3,5 bo'lmasa, unda bu yaqin bo'ladi.
Keling, matni hisoblaylik. yuqorida tavsiflangan lotereyani kutish. Jadval quyidagicha ko'rinadi:
Keyin biz yuqorida belgilab qo'yganimizdek, kutish mat bo'ladi.:
Yana bir narsa shundaki, u ham "barmoqlarda", formulasiz, ko'proq variant bo'lsa, qiyin bo'lar edi. Aytaylik, 75% yutqazilgan chiptalar, 20% yutuqli chiptalar va 5% yutuq chiptalari bor edi.
Endi kutish matining ba'zi xususiyatlari.
Mat. kutish chiziqli. Buni isbotlash oson:
Doimiy multiplikatorni shashka belgisidan chiqarishga ruxsat beriladi. taxminlar, ya'ni:
Bu kutish matlarining chiziqlilik xususiyatining alohida holati.
Matning chiziqliligining yana bir natijasi. umidlar:
bu mat. tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining kutilishi tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutishlari yig'indisiga teng.
X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar bo'lsin, keyin:
Buni isbotlash ham oson) XY o'zi tasodifiy o'zgaruvchidir, agar boshlang'ich qiymatlar olishi mumkin bo'lsa n va m qiymatlari, mos ravishda, keyin XY nm qiymatlarni qabul qilishi mumkin. qiymatlarning har biri mustaqil hodisalarning ehtimolini ko'paytirishga asoslangan holda hisoblanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimot zichligi (ehtimollik zichligi) kabi xususiyatga ega. Bu, aslida, tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy sonlar to'plamidan ba'zi qiymatlarni tez-tez, ba'zilari esa kamroq qabul qiladigan vaziyatni tavsiflaydi. Masalan, ushbu diagrammani ko'rib chiqing:
Bu yerda X- aslida tasodifiy o'zgaruvchi, f(x)- tarqatish zichligi. Ushbu grafikdan ko'ra, tajribalar davomida qiymat X ko'pincha nolga yaqin raqam bo'ladi. oshib ketish imkoniyatlari 3 yoki kamroq bo'lsin -3 anchagina nazariy.
Agar tarqatish zichligi ma'lum bo'lsa, kutilgan mat quyidagi tarzda qidiriladi:
Masalan, bir xil taqsimot mavjud bo'lsin:
Keling, to'shak topamiz. kutish:
Bu intuitiv tushunchaga juda mos keladi. Aytaylik, agar biz bir xil taqsimotga ega bo'lgan juda ko'p tasodifiy haqiqiy sonlarni olsak, segmentning har biri |0; 1| , keyin arifmetik o'rtacha taxminan 0,5 bo'lishi kerak.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladigan kutish matlarining xususiyatlari - chiziqlilik va boshqalar bu erda ham qo'llaniladi.
Matematik kutishning boshqa statistik ko'rsatkichlar bilan aloqasi
DA statistik tahlil, mat kutish bilan bir qatorda, hodisalarning bir xilligi va barqarorligini aks ettiruvchi o'zaro bog'liq ko'rsatkichlar tizimi mavjud. jarayonlar. Ko'pincha variatsiya ko'rsatkichlari mustaqil ma'noga ega emas va keyingi ma'lumotlarni tahlil qilish uchun ishlatiladi. Istisno - bu bir xillikni tavsiflovchi o'zgaruvchanlik koeffitsienti ma'lumotlar nima qimmatli statistik xarakterli.
O'zgaruvchanlik yoki barqarorlik darajasi jarayonlar statistika fanida bir nechta ko'rsatkichlar yordamida o'lchanishi mumkin.
Eng muhim xarakterlovchi ko'rsatkich o'zgaruvchanlik tasodifiy o'zgaruvchi, hisoblanadi Dispersiya, bu mat bilan eng yaqin va bevosita bog'liq. kutish. Ushbu parametr statistik tahlilning boshqa turlarida (gipotezani tekshirish, sabab-natija munosabatlarini tahlil qilish va boshqalar) faol qo'llaniladi. O'rtacha chiziqli og'ish kabi, dispersiya ham tarqalish o'lchovini aks ettiradi ma'lumotlar o'rtacha atrofida.
Belgilar tilini so'zlar tiliga tarjima qilish foydalidir. Ma'lum bo'lishicha, dispersiya og'ishlarning o'rtacha kvadratidir. Ya'ni, avval o'rtacha qiymat hisoblanadi, so'ngra har bir asl va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq olinadi, kvadratga olinadi, qo'shiladi va keyin ushbu populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'linadi. Farq bitta qiymat va o'rtacha o'rtasidagi og'ish o'lchovini aks ettiradi. Barcha og'ishlar faqat ijobiy raqamlarga aylanishini ta'minlash va ular yig'ilganda ijobiy va salbiy og'ishlarning o'zaro bekor qilinishiga yo'l qo'ymaslik uchun kvadratga aylantiriladi. Keyin, kvadrat og'ishlarni hisobga olgan holda, biz oddiygina arifmetik o'rtachani hisoblaymiz. O'rtacha - kvadrat - og'ishlar. Og'ishlar kvadrat bo'lib, o'rtacha hisoblanadi. Sehrli "tarqalish" so'ziga javob faqat uchta so'zdan iborat.
Biroq, uning sof shaklida, masalan, arifmetik o'rtacha yoki , dispersiya ishlatilmaydi. Bu statistik tahlilning boshqa turlari uchun qo'llaniladigan yordamchi va oraliq ko'rsatkichdir. Uning oddiy o‘lchov birligi ham yo‘q. Formulaga ko'ra, bu asl ma'lumotlar birligining kvadratidir.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Keling, tasodifiy o'zgaruvchini o'lchaymiz N marta, masalan, biz shamol tezligini o'n marta o'lchaymiz va o'rtacha qiymatni topmoqchimiz. O'rtacha qiymat taqsimot funktsiyasi bilan qanday bog'liq?
Yoki biz zarlarni ko'p marta tashlaymiz. Har bir otish paytida o'limga tushadigan ballar soni tasodifiy o'zgaruvchidir va 1 dan 6 gacha har qanday tabiiy qiymatlarni olishi mumkin. N u juda aniq raqamga intiladi - mat. kutish Mx. Bunday holda, Mx = 3,5.
Bu qiymat qanday paydo bo'ldi? Ichkariga ruxsat bering N sinovlar n1 1 ball tushirilsa, n2 marta - 2 ball va boshqalar. Keyin bitta nuqta tushgan natijalar soni:
Xuddi shunday, 2, 3, 4, 5 va 6 ball tushib qolgan natijalar uchun.
Keling, biz tasodifiy o'zgaruvchining x taqsimotlarini bilamiz deb faraz qilaylik, ya'ni biz bilamizki, x tasodifiy o'zgaruvchisi p1, p2,... ehtimolliklari bilan x1, x2,..., xk qiymatlarini olishi mumkin. , pk.
X tasodifiy o'zgaruvchining Mx kutiluvchisi:
Matematik kutish har doim ham ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning oqilona bahosi emas. Shunday qilib, o'rtacha ish haqini baholash uchun median tushunchasini, ya'ni shunday qiymatdan foydalanish oqilonaroq bo'ladiki, odamlar soni o'rtachadan kamroq. ish haqi va katta, mos.
X tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan kichik bo'lgan p1 ehtimolligi va x tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan katta bo'lishi p2 ehtimolligi bir xil va 1/2 ga teng. Median barcha taqsimotlar uchun yagona aniqlanmaydi.
Standart yoki standart og'ish statistikada kuzatuv ma'lumotlari yoki to'plamlarning O'RTA qiymatdan chetlanish darajasi deyiladi. s yoki s harflari bilan belgilanadi. Kichik standart og'ish ma'lumotlarning o'rtacha atrofida guruhlanganligini va katta standart og'ish dastlabki ma'lumotlarning undan uzoqligini ko'rsatadi. Standart og'ish dispersiya deb ataladigan miqdorning kvadrat ildiziga teng. Bu o'rtacha qiymatdan chetga chiqqan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik farqlari yig'indisining o'rtacha qiymati. Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi dispersiyaning kvadrat ildizidir:
Misol. Sinov sharoitida nishonga otish paytida tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va standart og'ishini hisoblang:
Variatsiya- atribut qiymatining populyatsiya birliklarida o'zgaruvchanligi, o'zgaruvchanligi. O'rganilayotgan populyatsiyada yuzaga keladigan xususiyatning alohida raqamli qiymatlari qiymat variantlari deb ataladi. Populyatsiyani to'liq tavsiflash uchun o'rtacha qiymatning etarli emasligi o'rtacha qiymatlarni o'rganilayotgan belgining tebranishini (variatsiyasini) o'lchash orqali ushbu o'rtacha ko'rsatkichlarning tipikligini baholash imkonini beradigan ko'rsatkichlar bilan to'ldirish zaruratini keltirib chiqaradi. O'zgaruvchanlik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
O'zgaruvchanlik(R) - o'rganilayotgan populyatsiyadagi belgining maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq. Bu ko'rsatkich o'rganilayotgan belgining tebranishlari haqida eng umumiy fikrni beradi, bu ko'rsatadi farq faqat variantlarning chegara qiymatlari orasida. Atributning ekstremal qiymatlariga bog'liqlik o'zgaruvchanlik diapazoniga beqaror, tasodifiy belgi beradi.
O'rtacha chiziqli og'ish tahlil qilinayotgan aholining barcha qiymatlarining o'rtacha qiymatidan mutlaq (modul) og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymati:
Qimor nazariyasida matematik kutish
Matni kutish qimor spekulyatorining berilgan tikishda yutishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan o'rtacha pul miqdori. Bu chayqovchi uchun juda muhim tushunchadir, chunki u ko'pgina o'yin holatlarini baholash uchun asosdir. Turmush o'rtog'ini kutish, shuningdek, asosiy karta tartiblari va o'yin vaziyatlarini tahlil qilish uchun eng yaxshi vositadir.
Aytaylik, siz do'stingiz bilan tanga o'ynayapsiz, nima bo'lishidan qat'i nazar, har safar 1 dollarga teng pul tikasiz. Dumlar - siz yutdingiz, boshlar - yutqazdingiz. Uning paydo bo'lish ehtimoli birma-bir va siz 1 dollardan 1 dollargacha pul tikasiz. Shunday qilib, sizning shashka kutishingiz nolga teng, chunki Matematik jihatdan aytganda, siz ikkita rulodan keyin yoki 200 dan keyin etakchi bo'lishingiz yoki yutqazishingizni bilolmaysiz.
Sizning soatlik daromadingiz nolga teng. Soatlik to'lov - bu bir soat ichida yutib olishni kutgan pul miqdori. Siz tangani bir soat ichida 500 marta aylantirishingiz mumkin, lekin siz g'alaba qozonmaysiz yoki yutqazmaysiz Sizning koeffitsientlaringiz ijobiy ham, salbiy ham emas. Agar qarasangiz, jiddiy chayqovchi nuqtai nazaridan, bunday tariflar tizimi yomon emas. Lekin bu shunchaki vaqtni behuda sarflash.
Aytaylik, kimdir xuddi shu o'yinda sizning 1 dollaringizga 2 dollar tikishni xohlaydi. Shunda siz darhol har bir tikishdan 50 sent miqdorida ijobiy umidga ega bo'lasiz. Nima uchun 50 sent? O'rtacha, siz bitta garovda g'alaba qozonasiz va ikkinchisini yo'qotasiz. Birinchisiga pul tiking va 1 dollar yo'qoting, ikkinchisiga tiking va 2 dollar yutib oling. Siz ikki marta 1 dollar tikdingiz va $1 ga oldindasiz. Shunday qilib, sizning har bir dollar tikishingiz sizga 50 berdi sent.
Agar tanga bir soat ichida 500 marta tushsa, sizning soatlik daromadingiz allaqachon $250 bo'ladi, chunki. o'rtacha bittasini yo'qotdingiz dollar 250 marta va ikkitasida g'alaba qozongan dollar 250 marta. $ 500 minus $ 250 $ 250 ga teng, bu umumiy g'alaba. E'tibor bering, kutilgan qiymat, ya'ni bitta tikish bo'yicha o'rtacha yutgan summa 50 sent. Siz bir dollarga 500 marta tikish orqali 250 dollar yutib oldingiz, bu sizning tikishingizning 50 sentiga teng.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Mat. kutish qisqa muddatli natijalar bilan hech qanday aloqasi yo'q. Sizga qarshi $2 tikishga qaror qilgan raqibingiz sizni ketma-ket birinchi o'nta to'pda mag'lub etishi mumkin edi, lekin siz 2 ga 1 ga teng bo'lgan pul tikish ustunligi bilan har qanday pul tikish uchun 50 sent ishlab olasiz. holatlar. Bitta garov yoki bir nechta garov yutishingiz yoki yutqazishingiz muhim emas, faqat xarajatlarni osonlikcha qoplash uchun yetarli naqd pulingiz bo‘lishi sharti bilan. Agar siz xuddi shu tarzda pul tikishda davom etsangiz, uzoq vaqt davomida sizning yutuqlaringiz individual otishlarda kutilgan qiymatlar yig'indisiga yaqinlashadi.
Har safar eng yaxshi pul tikish (uzoq muddatda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan garov) koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lganda, siz uni berilgan qo'lda yo'qotasizmi yoki yo'qmi, unda biror narsa yutib olishingiz shart. Aksincha, agar siz koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lmaganda yomonroq tikish (uzoq muddatda foydasiz bo'lgan garov) qilsangiz, g'alaba qozonasizmi yoki qo'lni yo'qotasizmi, biror narsani yo'qotasiz.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, eng yaxshi natijaga pul tikasiz va koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lsa, bu ijobiy bo'ladi. Eng yomon natija bilan pul tikish orqali siz salbiy umidga ega bo'lasiz, bu koeffitsientlar sizga qarshi bo'lganda sodir bo'ladi. Jiddiy chayqovchilar faqat eng yaxshi natija bilan pul tikadilar, eng yomoni - ular katlanadilar. Sizning foydangizga koeffitsientlar nimani anglatadi? Siz haqiqiy koeffitsientlardan ko'ra ko'proq g'alaba qozonishingiz mumkin. Dumlarni urishning haqiqiy koeffitsienti 1 dan 1 gacha, lekin tikish nisbati tufayli siz 2 dan 1 gacha olasiz. Bunday holda, koeffitsientlar sizning foydangizga. Har bir tikish uchun 50 tsent ijobiy kutish bilan siz, albatta, eng yaxshi natijaga erishasiz.
Mana murakkabroq misol. umidlar. Do'st birdan beshgacha bo'lgan raqamlarni yozib qo'yadi va sizning 1 dollaringizga 5 dollar tikadi, siz raqamni tanlamaysiz. Bunday garovga rozimisiz? Bu erda nimani kutish mumkin?
O'rtacha, siz to'rt marta xato qilasiz. Shunga asoslanib, bu raqamni taxmin qilishingizga qarshi koeffitsient 4 ga 1 bo'ladi. Koeffitsientlar shundan iboratki, siz bir urinishda bir dollar yo'qotasiz. Biroq, siz 5: 1 hisobida g'alaba qozonasiz, 4: 1 hisobida mag'lub bo'lish ehtimoli bilan. Shuning uchun, koeffitsientlar sizning foydangizga, siz tikishingiz va eng yaxshi natijaga umid qilishingiz mumkin. Agar siz ushbu garovni besh marta qilsangiz, o'rtacha hisobda siz to'rt marta 1 dollar yo'qotasiz va bir marta 5 dollar yutasiz. Shunga asoslanib, barcha beshta urinish uchun siz tikish uchun 20 tsentlik ijobiy matematik kutish bilan 1 dollar olasiz.
Yuqoridagi misolda bo'lgani kabi tikishdan ko'ra ko'proq g'alaba qozonmoqchi bo'lgan spekulyator koeffitsientlarni ushlaydi. Aksincha, u tiklaganidan kamroq g'alaba qozonishni kutsa, imkoniyatni buzadi. Tikish spekulyatori koeffitsientlarni ushlayotganiga yoki yo'q qilganiga qarab ijobiy yoki salbiy kutishi mumkin.
Agar siz 4 ga 1 g'alaba qozonish imkoniyati bilan 10 dollar yutib olish uchun 50 dollar tiksangiz, siz 2 dollarlik salbiy kutilasiz, chunki o'rtacha, siz to'rt marta yutasiz $10 va yo'qotasiz $50 bir marta, bu har bir tikish uchun yo'qotish $10 bo'lishini ko'rsatadi. Ammo agar siz 10 dollar yutib olish uchun 30 dollar tiksangiz, 4 ga 1 yutish koeffitsienti bir xil bo'lsa, bu holda sizda 2 dollar ijobiy kutilasiz, chunki siz yana to'rt marta g'alaba $10 va yo'qotish $30 bir marta, qaysi foyda 10 dollardan. Bu misollar birinchi tikish yomon, ikkinchisi esa yaxshi ekanligini ko'rsatadi.
Mat. kutish har qanday o'yin vaziyatining markazidir. Bukmekerlar futbol ishqibozlarini 10 dollar yutib olish uchun 11 dollar tikishga undasa, ular har 10 dollar uchun 50 sentdan ijobiy umidga ega. Agar kazino Craps o'tish liniyasidan hatto pul to'lasa, uyning ijobiy kutishi har 100 dollar uchun taxminan 1,40 dollarni tashkil qiladi; bu o'yin shunday tuzilganki, bu chiziqqa pul tikgan har bir kishi o'rtacha 50,7% yo'qotadi va vaqtning 49,3% yutadi. Shubhasiz, bu dunyo bo'ylab qimorxona egalariga katta foyda keltiradigan minimal ijobiy kutishdir. Vegas World kazino egasi Bob Stupak ta'kidlaganidek, “Mingdan bir foiz etarlicha uzoq masofadagi salbiy ehtimollik dunyodagi eng boy odamni bankrot qiladi.
Poker o'ynashda matematik kutish
Poker o'yini - kutish matining nazariyasi va xususiyatlaridan foydalanish nuqtai nazaridan eng yorqin va yorqin misol.
Mat. Pokerda kutilgan qiymat - ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta raqamlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin. Muvaffaqiyatli poker - bu har doim ijobiy matematik kutish bilan harakatlarni qabul qilishdir.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Matematik ma'no. Poker o'ynashda kutish shundan iboratki, qaror qabul qilishda biz ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilarga duch kelamiz (raqibning qo'lida qaysi kartalar borligini, keyingi raundlarda qaysi kartalar kelishini bilmaymiz). savdo). Yechimlarning har birini katta sonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko'rib chiqishimiz kerak, ya'ni etarlicha katta tanlama bilan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati uning o'rtacha qiymatiga moyil bo'ladi.
Kutish matlarini hisoblash uchun maxsus formulalar orasida quyidagilar pokerda eng ko'p qo'llaniladi:
Poker matini o'ynaganda. kutish ham tikish, ham qo'ng'iroqlar uchun hisoblanishi mumkin. Birinchi holda, katlama kapitali, ikkinchidan, potning o'z imkoniyatlarini hisobga olish kerak. Matni baholashda. u yoki bu harakatni kutish, katlama har doim nol kutishga ega ekanligini unutmaslik kerak. Shunday qilib, kartalardan voz kechish har qanday salbiy harakatdan ko'ra har doim foydaliroq qaror bo'ladi.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Kutish sizga har bir xavf uchun nimani kutishingiz (yoki yo'qotishingiz) mumkinligini aytadi. Kazinolar daromad oladi pul chunki ularda o'tkaziladigan barcha o'yinlardan mat kutish kazino foydasiga. Etarlicha uzun o'yinlar seriyasi bilan mijoz o'zini yo'qotishini kutish mumkin pul chunki "ehtimol" kazino foydasiga. Biroq, professional kazino spekulyatorlari o'z o'yinlarini qisqa vaqt oralig'ida cheklab qo'yishadi va shu bilan ularning foydasiga koeffitsientlarni oshiradilar. Xuddi shu narsa investitsiya qilish uchun ham amal qiladi. Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, qisqa vaqt ichida ko'plab savdolarni amalga oshirish orqali ko'proq pul ishlashingiz mumkin. davri vaqt. Kutish - bu har bir g'alabadan olingan foyda foizining o'rtacha daromadga ko'paytirilishi, minus yo'qotish ehtimolining o'rtacha yo'qotish bilan ko'paytirilishi.
Pokerni mat nuqtai nazaridan ham ko'rish mumkin. Siz ma'lum bir harakatni foydali deb hisoblashingiz mumkin, lekin ba'zi hollarda u eng yaxshisi bo'lmasligi mumkin, chunki boshqa harakat foydaliroq. Aytaylik, siz beshta karta o'ynagan pokerda to'liq uyni urdingiz. Raqibingiz tikadi. Bilasizmi, agar siz oldinga chiqsangiz, u qo'ng'iroq qiladi. Demak, ko'tarish eng yaxshi taktikaga o'xshaydi. Ammo agar siz tikishni ko'tarsangiz, qolgan ikkita chayqovchi, albatta, buklanadi. Ammo agar siz garovga qo'ng'iroq qilsangiz, sizdan keyin qolgan ikkita chayqovchi ham xuddi shunday qilishiga to'liq amin bo'lasiz. Tikishni oshirganingizda, siz bitta birlik olasiz va shunchaki qo'ng'iroq qilish orqali - ikkita. Shunday qilib, qo'ng'iroq qilish sizga yuqori ijobiy kutilgan qiymatni beradi va eng yaxshi taktikadir.
Mat. kutish, shuningdek, qaysi poker taktikasi kamroq foydali va qaysi biri foydaliroq ekanligi haqida fikr berishi mumkin. Misol uchun, agar siz ma'lum bir qo'lni o'ynasangiz va o'rtacha yo'qotish 75 sentni tashkil etadi deb hisoblasangiz, u holda bu qo'lni o'ynashingiz kerak, chunki bu ante $1 bo'lganda katlamadan yaxshiroqdir.
Matning mohiyatini tushunishning yana bir muhim sababi. Kutish shundan iboratki, bu sizga garovda g'alaba qozonganingiz yoki yo'qligingizdan qat'iy nazar xotirjamlik hissini beradi: agar siz yaxshi pul tikgan bo'lsangiz yoki o'z vaqtida tikilgan bo'lsangiz, siz kuchsizroq chayqovchi mumkin bo'lgan ma'lum miqdorda pul qilganingizni yoki tejaganingizni bilib olasiz. saqlamang. Raqibingizning durangda qo‘li yaxshiroq ekanligidan hafsalasiz bo‘lsangiz, buklanish ancha qiyin bo‘ladi. Bularning barchasi bilan, tikish o'rniga, o'ynamaslik orqali tejagan narsangiz kecha yoki oyda yutuqingizga qo'shiladi.
Shuni yodda tutingki, agar siz qo'lingizni almashtirsangiz, raqibingiz sizga qo'ng'iroq qiladi va Pokerning asosiy teoremasi maqolasida ko'rib turganingizdek, bu sizning afzalliklaringizdan biridir. Bu sodir bo'lganda xursand bo'lishingiz kerak. Siz hatto yo'qolgan qo'ldan zavqlanishni ham o'rganishingiz mumkin, chunki sizning joyingizdagi boshqa chayqovchilar ko'proq narsani yo'qotishini bilasiz.
Boshidagi tanga o'yini misolida aytib o'tilganidek, soatlik foyda nisbati matematik kutish bilan bog'liq va bu kontseptsiya ayniqsa professional chayqovchilar uchun muhimdir. Poker o'ynamoqchi bo'lganingizda, bir soatlik o'yinda qancha yutib olishingiz mumkinligini aqlan hisoblashingiz kerak. Aksariyat hollarda siz sezgi va tajribangizga tayanishingiz kerak bo'ladi, lekin siz ba'zi matematik hisob-kitoblardan ham foydalanishingiz mumkin. Misol uchun, agar siz lotereya o'yinini o'ynayotgan bo'lsangiz va uchta o'yinchi 10 dollar pul tikib, keyin ikkita karta o'ynaganini ko'rsangiz, bu juda yomon taktikadir, siz o'zingiz hisoblab ko'rishingiz mumkin, ular har safar 10 dollar tikganda ular taxminan 2 dollar yo'qotadilar. Ularning har biri buni soatiga sakkiz marta bajaradi, ya'ni uchalasi ham soatiga taxminan 48 dollar yo'qotadi. Siz qolgan to'rtta chayqovchilardan birisiz, ular taxminan tengdir, shuning uchun bu to'rtta chayqovchi (va siz ular orasida) 48 dollarni bo'lishishlari kerak va har biri soatiga 12 dollardan foyda oladi. Bu holda sizning soatlik stavkangiz bir soat ichida uchta yomon chayqovchilar tomonidan yo'qotilgan pul miqdoridagi ulushingizdir.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Uzoq vaqt davomida chayqovchining umumiy foydasi uning alohida taqsimotlardagi matematik taxminlarining yig'indisidir. Qanchalik ko'p ijobiy kutish bilan o'ynasangiz, shuncha ko'p g'alaba qozonasiz va aksincha, salbiy kutish bilan qancha qo'l o'ynasangiz, shuncha ko'p yo'qotasiz. Natijada, siz soatlik daromadingizni maksimal darajada oshirishingiz uchun ijobiy kutishingizni maksimal darajada oshiradigan yoki salbiyni inkor etadigan o'yinni birinchi o'ringa qo'yishingiz kerak.
O'yin strategiyasida ijobiy matematik kutish
Agar siz kartalarni qanday hisoblashni bilsangiz, ular buni sezmasa va sizni haydab chiqarmasa, siz kazinodan ustunlikka ega bo'lishingiz mumkin. Kazinolar mast chayqovchilarni va nafrat karta hisoblagichlarini yaxshi ko'radilar. Afzallik sizga vaqt o'tishi bilan yo'qotganingizdan ko'ra ko'proq g'alaba qozonish imkonini beradi. Shaxmatli hisob-kitoblardan foydalangan holda pulni yaxshi boshqarish sizning chekingizdan ko'proq foydalanishga va yo'qotishlaringizni kamaytirishga yordam beradi. Imtiyozsiz, pulni xayriyaga berganingiz ma'qul. Birjadagi o'yinda ustunlik o'yin tizimi tomonidan beriladi, bu zarardan ko'ra ko'proq foyda keltiradi, farq narxlar va komissiyalar. Yo'q kapitalni boshqarish yomon o'yin tizimini saqlamaydi.
Ijobiy kutish noldan katta qiymat bilan belgilanadi. Bu raqam qanchalik katta bo'lsa, statistik kutish shunchalik kuchli bo'ladi. Agar qiymat noldan kichik bo'lsa, u holda kutish ham salbiy bo'ladi. Salbiy qiymat moduli qanchalik katta bo'lsa, vaziyat shunchalik yomon bo'ladi. Agar natija nolga teng bo'lsa, unda kutilgan natija buziladi. Siz faqat ijobiy matematik kutish, oqilona o'yin tizimiga ega bo'lganingizda g'alaba qozonishingiz mumkin. Sezgi ustida o'ynash falokatga olib keladi.
Matematik kutish va
Matematik kutilma moliyaviy bozorlarda birja savdolarini amalga oshirishda juda keng talab qilinadigan va ommabop statistik ko'rsatkichdir. bozorlar. Avvalo, ushbu parametr muvaffaqiyatni tahlil qilish uchun ishlatiladi savdo. Bu qiymat qanchalik katta bo'lsa, o'rganilayotgan savdoni muvaffaqiyatli deb hisoblash uchun sabab ko'proq ekanligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, tahlil ish treyder faqat ushbu parametr yordamida amalga oshirilmaydi. Biroq, sifatni baholashning boshqa usullari bilan birgalikda hisoblangan qiymat ish, tahlilning aniqligini sezilarli darajada oshirishi mumkin.
Mat kutish tez-tez depozit bo'yicha amalga oshirilgan ishni tez baholash imkonini beradi savdo hisob monitoring xizmatlari, hisoblanadi. Istisno sifatida biz savdolarni yo'qotishdan "ortiqcha qolish" dan foydalanadigan strategiyalarni keltirishimiz mumkin. Savdogar omad unga bir muncha vaqt hamroh bo'lishi mumkin va shuning uchun uning ishida umuman yo'qotishlar bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, faqat kutish orqali harakat qilish mumkin bo'lmaydi, chunki ishda ishlatiladigan xavflar hisobga olinmaydi.
Savdoda bozor mat kutish ko'pincha savdo strategiyasining rentabelligini bashorat qilishda yoki daromadni prognoz qilishda qo'llaniladi savdogar uning oldingi statistik ma'lumotlariga asoslangan taklif.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Pulni boshqarish bilan bog'liq holda, salbiy kutish bilan savdo qilishda hech qanday sxema yo'qligini tushunish juda muhimdir. boshqaruv pul, bu, albatta, yuqori daromad keltirishi mumkin. Agar siz o'ynashda davom etsangiz Birja ushbu sharoitda, qanday usuldan qat'i nazar boshqaruv pul, siz boshida qanchalik katta bo'lishidan qat'i nazar, butun hisobingizni yo'qotasiz.
Bu aksioma nafaqat salbiy kutish o'yinlari yoki savdolari uchun, balki hatto koeffitsientli o'yinlar uchun ham amal qiladi. Shuning uchun, uzoq muddatda foyda olish imkoniyatiga ega bo'lgan yagona holat - bu ijobiy matematik kutish bilan bitimlar tuzish.
Salbiy kutish va ijobiy kutish o'rtasidagi farq hayot va o'lim o'rtasidagi farqdir. Kutish qanchalik ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas; muhimi ijobiy yoki salbiy. Shuning uchun, boshqaruv masalalarini ko'rib chiqishdan oldin poytaxt siz ijobiy umid bilan o'yin topishingiz kerak.
Agar sizda bu o'yin bo'lmasa, unda dunyodagi hech qanday pul boshqaruvi sizni qutqarmaydi. Boshqa tomondan, agar sizda ijobiy umid bo'lsa, pulni to'g'ri boshqarish orqali uni eksponent o'sish funktsiyasiga aylantirish mumkin. Ijobiy kutish qanchalik kichik bo'lishi muhim emas! Boshqacha qilib aytganda, bitta shartnomaga asoslangan savdo tizimi qanchalik foydali ekanligi muhim emas. Agar sizda bitta savdo bo'yicha har bir shartnoma uchun 10 dollar yutib oladigan tizimingiz bo'lsa (komissiyalar va sirpanishdan keyin), boshqaruv usullaridan foydalanish mumkin. poytaxt har bir savdo uchun o'rtacha $ 1000 foyda ko'rsatadigan tizimdan ko'ra ko'proq foyda keltiradigan tarzda (to'lovlar va sirpanishdan keyin).
Muhimi, tizim qanchalik foydali bo'lganligi emas, balki kelajakda tizim hech bo'lmaganda minimal foyda ko'rsatishini qanchalik aniq aytish mumkin. Shuning uchun, amalga oshirilishi mumkin bo'lgan eng muhim tayyorgarlik, tizim kelajakda kutilgan ijobiy qiymatni ko'rsatishiga ishonch hosil qilishdir.
Kelajakda kutilgan ijobiy qiymatga ega bo'lish uchun tizimingizning erkinlik darajasini cheklamaslik juda muhimdir. Bunga nafaqat optimallashtiriladigan parametrlar sonini yo'q qilish yoki kamaytirish, balki imkon qadar ko'proq tizim qoidalarini kamaytirish orqali erishiladi. Siz qo'shadigan har bir parametr, har bir qoida, tizimga kiritilgan har bir kichik o'zgarish erkinlik darajalarini kamaytiradi. Ideal holda, siz deyarli har qanday bozorda doimiy ravishda kichik daromad keltiradigan juda ibtidoiy va oddiy tizimni qurmoqchisiz. Yana shuni tushunishingiz kerakki, tizim qanchalik foydali bo'lishidan qat'iy nazar, agar u foydali bo'lsa. Savdoda daromadingiz samarali pul boshqaruvi orqali olinadi.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Savdo tizimi oddiygina pul boshqaruvidan foydalanish uchun sizga ijobiy matematik kutish imkonini beruvchi vositadir. Faqat bir yoki bir nechta bozorlarda ishlaydigan (hech bo'lmaganda minimal foyda ko'rsatadigan) yoki turli bozorlar uchun turli qoidalar yoki parametrlarga ega bo'lgan tizimlar real vaqtda uzoq vaqt ishlamaydi. Ko'pgina texnik treyderlar bilan bog'liq muammo shundaki, ular savdo tizimining turli qoidalari va parametrlarini optimallashtirish uchun juda ko'p vaqt va kuch sarflashadi. Bu butunlay qarama-qarshi natijalar beradi. Savdo tizimining foydasini oshirish uchun energiya va kompyuter vaqtini behuda sarflashning o'rniga, kuchingizni minimal foyda olishning ishonchlilik darajasini oshirishga yo'naltiring.
Buni bilish kapitalni boshqarish- bu shunchaki ijobiy umidlardan foydalanishni talab qiladigan raqam o'yini, treyder birjada savdoning "muqaddas grailini" qidirishni to'xtatishi mumkin. Buning o'rniga, u o'zining savdo usulini sinab ko'rishni boshlashi mumkin, bu usul qanchalik mantiqiy ekanligini, ijobiy umidlarni beradimi yoki yo'qligini bilib oladi. Har qanday, hatto juda o'rtacha savdo usullariga qo'llaniladigan to'g'ri pul boshqarish usullari qolgan ishni bajaradi.
Har qanday treyder o'z ishida muvaffaqiyat qozonishi uchun u uchta eng muhim vazifani hal qilishi kerak: Muvaffaqiyatli bitimlar soni muqarrar xatolar va noto'g'ri hisob-kitoblardan oshib ketishini ta'minlash; Pul topish imkoniyati imkon qadar tez-tez bo'lishi uchun savdo tizimingizni sozlang; Operatsiyalaringizning barqaror ijobiy natijasiga erishing.
Va bu erda, biz uchun ishlaydigan savdogarlar, shashka yaxshi yordam berishi mumkin. kutish. Ehtimollar nazariyasidagi bu atama kalitlardan biridir. Uning yordamida siz tasodifiy qiymatning o'rtacha bahosini berishingiz mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini og'irlik markaziga o'xshaydi, agar biz barcha mumkin bo'lgan ehtimollarni turli massali nuqtalar sifatida tasavvur qilsak.
Savdo strategiyasiga nisbatan uning samaradorligini baholash uchun ko'pincha foyda (yoki zarar) kutish qo'llaniladi. Ushbu parametr berilgan foyda va zarar darajasidagi mahsulotlar yig'indisi va ularning paydo bo'lish ehtimoli sifatida aniqlanadi. Masalan, ishlab chiqilgan savdo strategiyasi barcha operatsiyalarning 37% foyda keltiradi, qolganlari - 63% - foydasiz bo'ladi. Shu bilan birga, o'rtacha daromad muvaffaqiyatli bitimdan 7 dollar, o'rtacha yo'qotish esa 1,4 dollarga teng bo'ladi. Keling, matritsani hisoblaylik. Bunday tizimda savdoni kutish:
Bu raqam nimani anglatadi? Unda aytilishicha, ushbu tizim qoidalariga rioya qilgan holda, biz har bir yopiq bitimdan o'rtacha 1,708 dollar olamiz. Olingan samaradorlik ko'rsatkichi noldan katta bo'lganligi sababli, bunday tizim haqiqiy ish uchun ishlatilishi mumkin. Agar matni hisoblash natijasida kutish salbiy bo'lib chiqsa, bu allaqachon o'rtacha yo'qotishni ko'rsatadi va bu halokatga olib keladi.
Savdo bo'yicha foyda miqdori nisbiy qiymat sifatida % shaklida ham ifodalanishi mumkin. Misol uchun:
1 tranzaksiya bo'yicha daromad ulushi - 5%;
Muvaffaqiyatli savdo operatsiyalari ulushi - 62%;
1 savdo uchun yo'qotish foizi - 3%;
Muvaffaqiyatsiz bitimlar ulushi - 38%;
Bunday holda, mat. kutish bo'ladi:
Ya'ni, o'rtacha bitim 1,96% olib keladi.
Savdolarni yo'qotishning ustunligiga qaramay, uning MO>0 bo'lganligi sababli ijobiy natija beradigan tizimni ishlab chiqish mumkin.
Biroq, yolg'iz kutish etarli emas. Tizim juda kam savdo signallarini bersa, pul ishlash qiyin. Bunday holda, u bank foizlari bilan taqqoslanadi. Har bir operatsiya o'rtacha atigi 0,5 dollar olib kelsin, lekin tizim yiliga 1000 ta tranzaksiyani o'z zimmasiga olsa-chi? Bu nisbatan qisqa vaqt ichida juda jiddiy miqdor bo'ladi. Bundan mantiqan kelib chiqadiki, yaxshi savdo tizimining yana bir o'ziga xos belgisini qisqa muddatli saqlash muddati deb hisoblash mumkin.
Manbalar va havolalar
dic.academic.ru - akademik onlayn lug'at
mathematics.ru - matematika bo'yicha o'quv sayti
nsu.ru - Novosibirsk davlat universitetining o'quv sayti
webmath.ru - talabalar, abituriyentlar va maktab o'quvchilari uchun ta'lim portali.
exponenta.ru o'quv matematik sayti
ru.tradimo.com - bepul onlayn savdo maktabi
crypto.hut2.ru - ko'p tarmoqli axborot resursi
poker-wiki.ru - pokerning bepul ensiklopediyasi
sernam.ru - Tanlangan tabiiy fanlar nashrlarining ilmiy kutubxonasi
reshim.su - veb-sayt
unfx.ru - UNFX da Forex: trening, savdo signallari, ishonchli boshqaruv
- - matematik kutish Tasodifiy o'zgaruvchining raqamli tavsiflaridan biri, ko'pincha uning nazariy o'rtacha deb ataladi. Diskret tasodifiy X uchun matematik ...... Texnik tarjimon uchun qo'llanmaKUTILGAN QIYMAT- (kutilgan qiymat) Iqtisodiy o'zgaruvchining taqsimlanishining o'rtacha qiymati, u qabul qilishi mumkin. Agar pt tovarning t vaqtidagi narxi bo'lsa, uning matematik kutilishi Ept bilan belgilanadi. Vaqt nuqtasini ko'rsatish uchun ...... Iqtisodiy lug'at
Kutilgan qiymat- tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati. Matematik kutish deterministik qiymatdir. Tasodifiy o'zgaruvchini amalga oshirishning o'rtacha arifmetik qiymati matematik kutishning taxminidir. O'rta arifmetik… … Rasmiy terminologiya tasodifiy o'zgaruvchining (o'rtacha qiymati) tasodifiy o'zgaruvchining raqamli xarakteristikasidir. Agar tasodifiy miqdor ehtimollik fazosida berilgan boʻlsa (qarang. Ehtimollar nazariyasi), u holda uning M. o. MX (yoki EX) Lebeg integrali sifatida aniqlanadi: bu yerda... Jismoniy entsiklopediya
KUTILGAN QIYMAT- tasodifiy miqdor uning raqamli xarakteristikasi. Agar X tasodifiy miqdor F(x) taqsimot funksiyasiga ega boʻlsa, uning M. o. bo'ladi: . Agar X ning taqsimlanishi diskret bo'lsa, M.o.: , bu erda x1, x2, ... diskret X tasodifiy miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari; p1 ... Geologik entsiklopediya
KUTILGAN QIYMAT- Ingliz. kutilgan qiymat; nemis Ervartung matematika. Stokastik o'rtacha yoki tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish markazi. Antinazi. Sotsiologiya entsiklopediyasi, 2009 yil ... Sotsiologiya entsiklopediyasi
Kutilgan qiymat- Yana qarang: Shartli kutish Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti, ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi. Ingliz adabiyotida va matematikada ... ... Vikipediya
Kutilgan qiymat- 1.14 Matematik kutilma E (X) bunda diskret tasodifiy miqdorning xi qiymatlari; p = P (X = xi); f(x) - uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining zichligi * Agar bu ifoda mutlaq yaqinlashish ma'nosida mavjud bo'lsa Manba ... Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi
Kitoblar
Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Veb-sayt weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK
- 10 ta yangi tug'ilgan chaqaloqlar orasida o'g'il bolalar soni.
Bu raqam oldindan ma'lum emasligi aniq va keyingi o'nta bolada quyidagilar bo'lishi mumkin:
Yoki o'g'il bolalar - bitta va yagona sanab o'tilgan variantlardan.
Va shaklni saqlab qolish uchun ozgina jismoniy tarbiya:
- uzunlikka sakrash masofasi (ba'zi birliklarda).
Hatto sport ustasi ham buni bashorat qila olmaydi :)
Biroq, sizning farazlaringiz qanday?
2) Uzluksiz tasodifiy miqdor - oladi hammasi chekli yoki cheksiz diapazondagi raqamli qiymatlar.
Eslatma : DSV va NSV qisqartmalari o'quv adabiyotlarida mashhur
Birinchidan, diskret tasodifiy o'zgaruvchini tahlil qilaylik, keyin - davomiy.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
- Bu muvofiqlik bu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasida. Ko'pincha qonun jadvalda yoziladi: 
Bu atama juda keng tarqalgan qator
tarqatish, lekin ba'zi holatlarda bu noaniq ko'rinadi va shuning uchun men "qonun" ga rioya qilaman.
Endi esa juda muhim nuqta: tasodifiy o'zgaruvchidan beri albatta qabul qiladi qadriyatlardan biri, keyin tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh va ularning paydo bo'lish ehtimoli yig'indisi bittaga teng:
yoki, agar buklangan bo'lsa:
Masalan, matritsadagi nuqtalarning ehtimolini taqsimlash qonuni quyidagi shaklga ega: 
Sharxsiz.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi faqat "yaxshi" butun son qiymatlarini olishi mumkin degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Keling, illyuziyani yo'q qilaylik - ular hamma narsa bo'lishi mumkin:
1-misol
Ba'zi o'yinlarda quyidagi to'lovni taqsimlash qonuni mavjud: 
…ehtimol, siz uzoq vaqtdan beri bunday vazifalarni orzu qilgandirsiz :) Men sizga bir sirni aytaman - men ham. Ayniqsa, ishni tugatgandan keyin maydon nazariyasi.
Qaror: tasodifiy o'zgaruvchi uchta qiymatdan faqat bittasini olishi mumkinligi sababli, tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh, ya'ni ularning ehtimolliklari yig'indisi birga teng: 
Biz "partizan" ni fosh qilamiz: 
- Shunday qilib, an'anaviy birliklarni yutish ehtimoli 0,4 ga teng.
Nazorat: nimaga ishonch hosil qilishingiz kerak.
Javob:
Tarqatish qonunini mustaqil ravishda tuzish kerak bo'lganda odatiy hol emas. Ushbu foydalanish uchun ehtimollikning klassik ta'rifi, hodisa ehtimollari uchun ko'paytirish / qo'shish teoremalari va boshqa chiplar tervera:
2-misol
Qutida 50 ta lotereya chiptasi mavjud bo'lib, ulardan 12 tasi g'alaba qozonadi va ulardan 2 tasi har biri 1000 rubldan, qolganlari esa 100 rubldan yutadi. Tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimlash qonunini tuzing - agar bitta chipta qutidan tasodifiy olingan bo'lsa, yutuq miqdori.
Qaror: siz sezganingizdek, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini joylashtirish odatiy holdir ortib borayotgan tartib. Shuning uchun biz eng kichik yutuqlardan, ya'ni rubllardan boshlaymiz.
Hammasi bo'lib 50 - 12 = 38 ta bunday chiptalar mavjud va shunga ko'ra klassik ta'rif:
tasodifiy chizilgan chiptaning yutib ololmasligi ehtimoli.
Qolgan holatlar oddiy. Rublni yutish ehtimoli:
Tekshirish: - va bu bunday vazifalarning ayniqsa yoqimli daqiqasi!
Javob: talab qilinadigan to'lovni taqsimlash qonuni: 
Mustaqil qaror qabul qilish uchun quyidagi vazifa:
3-misol
Otuvchining nishonga tegish ehtimoli. Tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimot qonunini tuzing - 2 zarbadan keyin urishlar soni.
... Uni sog'inganingizni bilardim :) Eslaymiz ko‘paytirish va qo‘shish teoremalari. Dars oxirida yechim va javob.
Tarqatish qonuni tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi, lekin amalda uning faqat bir qismini bilish foydalidir (va ba'zan foydaliroq). raqamli xususiyatlar .
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Oddiy qilib aytganda, bu o'rtacha kutilgan qiymat takroriy sinov bilan. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin 
mos ravishda. Keyin bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi teng bo'ladi mahsulotlar yig'indisi uning barcha qiymatlari mos keladigan ehtimollar bo'yicha:
yoki katlanmış shaklda: 
Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi - zarga tushgan ballar sonini hisoblaylik:
Endi faraziy o'yinimizni eslaylik: 
Savol tug'iladi: bu o'yinni o'ynash ham foydalimi? ... kimning taassurotlari bor? Shunday qilib, siz "o'z-o'zidan" deb ayta olmaysiz! Ammo bu savolga matematik kutishni hisoblash orqali osongina javob berish mumkin, aslida - vaznli o'rtacha g'alaba qozonish ehtimoli:
Shunday qilib, bu o'yinning matematik kutish yo'qotish.
Taassurotlarga ishonmang - raqamlarga ishoning!
Ha, bu yerda siz ketma-ket 10, hatto 20-30 marta g'alaba qozonishingiz mumkin, ammo uzoq muddatda biz muqarrar ravishda vayron bo'lamiz. Va men sizga bunday o'yinlarni o'ynashni maslahat bermayman :) Xo'sh, ehtimol faqat o'yin-kulgi uchun.
Yuqorida aytilganlarning barchasidan kelib chiqadiki, matematik kutish TASOSODIY qiymat EMAS.
Mustaqil tadqiqot uchun ijodiy topshiriq:
4-misol
Janob X Evropa ruletini quyidagi tizim bo'yicha o'ynaydi: u doimo qizil rangga 100 rubl tikadi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonunini tuzing - uning to'lovi. Yutuqlarning matematik kutilishini hisoblang va uni tiyinga yaxlitlang. Necha pul o'rtacha futbolchi har yuz tikish uchun yutqazadi?
Malumot : Yevropa ruletida 18 qizil, 18 qora va 1 yashil sektor ("nol") mavjud. Agar "qizil" tushib qolsa, o'yinchiga ikki baravar pul tikish to'lanadi, aks holda u kazino daromadiga o'tadi.
O'zingizning ehtimollik jadvallarini yaratishingiz mumkin bo'lgan boshqa ko'plab rulet tizimlari mavjud. Ammo bu bizga taqsimlash qonunlari va jadvallari kerak bo'lmaganda sodir bo'ladi, chunki o'yinchining matematik kutishlari aynan bir xil bo'lishi aniq belgilangan. Faqat tizimdan tizimga o'zgaradi
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisidir.
Tasodifiy o'zgaruvchi faqat mos ravishda teng bo'lgan ehtimolliklarni qabul qilsin.U holda tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tenglik bilan aniqlanadi.
Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini qabul qilsa, u holda
Bundan tashqari, tenglikning o'ng tomonidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashsa, matematik kutish mavjud.
Izoh. Ta'rifdan kelib chiqadiki, diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) o'zgaruvchidir.
Umumiy holatda matematik kutishning ta'rifi
Keling, taqsimlanishi shartli ravishda diskret bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlaylik. Keling, manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilardan boshlaylik. Matematik kutish allaqachon aniqlangan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar yordamida bunday tasodifiy o'zgaruvchilarni yaqinlashtirish va matematik kutishni uni yaqinlashtiruvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutish chegarasiga tenglashtirishdan iborat bo'ladi. Aytgancha, bu juda foydali umumiy g'oya bo'lib, unda qandaydir xarakteristikalar avval oddiy ob'ektlar uchun aniqlanadi, keyin esa murakkabroq ob'ektlar uchun ularni oddiyroqlari bilan yaqinlashtirish orqali aniqlanadi.
Lemma 1. Ixtiyoriy manfiy bo'lmagan tasodifiy miqdor bo'lsin. Keyin diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi mavjud bo'lib, shunday
Isbot. Yarim o'qni teng uzunlikdagi segmentlarga ajratamiz va aniqlaymiz
Keyin 1 va 2 xossalar tasodifiy o'zgaruvchining ta'rifidan osongina kelib chiqadi va
Lemma 2. Manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi va va Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning ikkita ketma-ketligi bo'lsin.
Isbot. E'tibor bering, salbiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun biz ruxsat beramiz
3-xususiyatga ko'ra, shunday musbat sonlar ketma-ketligi mavjudligini ko'rish oson
Demak, bundan kelib chiqadi
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik taxminlar xususiyatlaridan foydalanib, biz olamiz
Lemma 2 tasdiqini olishimiz bilan chegaraga o'tamiz.
Ta'rif 1. Manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin, Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi bo'lsin. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi sondir.
Lemma 2, taxminiy ketma-ketlikni tanlashga bog'liq emasligini kafolatlaydi.
Keling, ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Keling, aniqlaymiz
Ta'rifdan va bu osonlik bilan kelib chiqadi
Ta'rif 2. Ixtiyoriy tasodifiy miqdorning matematik kutilishi sondir
Agar bu tenglikning o'ng tomonidagi raqamlardan kamida bittasi chekli bo'lsa.
Kutish xususiyatlari
Xossa 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng:
Isbot. Biz doimiyni bitta mumkin bo'lgan qiymatga ega bo'lgan va uni ehtimollik bilan qabul qiladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqamiz, shuning uchun
Izoh 1. Biz doimiy qiymatning diskret tasodifiy o'zgaruvchiga mahsulotini mumkin bo'lgan qiymatlari mumkin bo'lgan qiymatlar bo'yicha doimiyning mahsulotiga teng bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchi sifatida aniqlaymiz; mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklari mos keladigan mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklariga teng.Masalan, agar mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli teng bo'lsa, u holda qiymatning qiymatni olish ehtimoli ham teng bo'ladi.
Xossa 2. Kutish belgisidan doimiy omilni chiqarish mumkin:
Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik taqsimoti qonuni bilan berilgan bo'lsin:
1-izohni hisobga olib, tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini yozamiz
Izoh 2. Keyingi xususiyatga o'tishdan oldin shuni ta'kidlaymizki, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ulardan birining taqsimot qonuni boshqa o'zgaruvchining qanday mumkin bo'lgan qiymatlariga bog'liq bo'lmasa, mustaqil deb nomlanadi. Aks holda, tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'ladi. Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ularning istalgan sonining taqsimlanish qonunlari boshqa o'zgaruvchilar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, o'zaro mustaqil deb ataladi.
Izoh 3. Biz mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotini aniqlaymiz va tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ularning mumkin bo'lgan qiymatlari har bir mumkin bo'lgan qiymatning mahsulotiga teng bo'lgan mahsulotning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimolining har bir mumkin bo'lgan qiymatiga teng. omillarning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli mahsulotiga. Misol uchun, agar mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli bo'lsa, mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli bo'lsa, mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli bo'ladi.
Xossa 3. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorning ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng:
Isbot. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar o'zlarining ehtimollik taqsimot qonunlari bilan berilgan bo'lsin:
Keling, tasodifiy o'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlarni tuzamiz.Buni amalga oshirish uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni har bir mumkin bo'lgan qiymatga ko'paytiramiz; Natijada, biz olamiz va 3-mulohazani inobatga olgan holda, mahsulotning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari boshqacha ekanligini soddalik uchun qabul qilib, taqsimlash qonunini yozamiz (agar bunday bo'lmasa, isbotlash xuddi shunday amalga oshiriladi):
Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng:
Natija. Bir nechta o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.
Xossa 4. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik kutilmalari yig‘indisiga teng:
Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchilar va quyidagi taqsimot qonunlari bilan berilgan bo'lsin:
Miqdorning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini tuzing Buning uchun har bir mumkin bo'lgan qiymatni har bir mumkin bo'lgan qiymatga qo'shing; Biz oddiylik uchun ushbu mumkin bo'lgan qiymatlar boshqacha deb taxmin qilamiz (agar bunday bo'lmasa, isbot xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi) va ularning ehtimolliklarini mos ravishda va bilan belgilaymiz.
Miqdorning matematik kutilishi ularning ehtimolliklari bo'yicha mumkin bo'lgan qiymatlar mahsuloti yig'indisiga teng:
Qiymatni olishdan iborat bo'lgan (bu hodisaning ehtimolligi teng) Hodisa yoki (qo'shilish teoremasi bo'yicha bu hodisaning ehtimoli teng) yoki aksincha, qiymatni olishdan iborat bo'lgan hodisani keltirib chiqarishini isbotlaylik. Bundan kelib chiqadiki, tenglik
Ushbu tengliklarning o'ng qismlarini (*) munosabatga almashtirib, biz hosil bo'lamiz
yoki nihoyat
Dispersiya va standart og'ish
Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha qiymati atrofida tarqalishini baholash talab qilinadi. Masalan, artilleriyada snaryadlar urish kerak bo'lgan nishonga qanchalik yaqin tushishini bilish muhimdir.
Bir qarashda, tarqalishni baholashning eng oson yo'li tasodifiy o'zgaruvchining og'ishining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini hisoblash va keyin ularning o'rtacha qiymatini topishdir. Biroq, bu yo'l hech narsa bermaydi, chunki og'ishning o'rtacha qiymati, ya'ni. har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun nolga teng. Bu xususiyat ba'zi mumkin bo'lgan og'ishlar ijobiy, boshqalari esa salbiy ekanligi bilan izohlanadi; ularning o'zaro bekor qilinishi natijasida og'ishning o'rtacha qiymati nolga teng. Ushbu mulohazalar mumkin bo'lgan og'ishlarni ularning mutlaq qiymatlari yoki kvadratlari bilan almashtirishning maqsadga muvofiqligini ko'rsatadi. Ular buni amalda shunday qilishadi. To'g'ri, mumkin bo'lgan og'ishlar ularning mutlaq qiymatlari bilan almashtirilganda, mutlaq qiymatlar bilan ishlashga to'g'ri keladi, bu ba'zan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun, ko'pincha ular boshqa yo'l bilan borishadi, ya'ni. dispersiya deb ataladigan kvadrat og'ishning o'rtacha qiymatini hisoblang.