"Geometrik algoritmlar" turkumidan dars

Salom aziz o'quvchi!

Bugun biz geometriya bilan bog'liq algoritmlarni o'rganishni boshlaymiz. Gap shundaki, informatika fanidan hisoblash geometriyasiga oid juda ko'p olimpiada masalalari mavjud va bunday muammolarni hal qilish ko'pincha qiyinchiliklarga olib keladi.

Bir necha darslarda biz hisoblash geometriyasining aksariyat masalalarini echish asos bo'lgan bir qancha elementar kichik muammolarni ko'rib chiqamiz.

Ushbu darsda biz uchun dastur yozamiz to'g'ri chiziq tenglamasini topish berilganidan o'tish ikki nuqta. Geometrik masalalarni yechish uchun bizga hisoblash geometriyasi bo‘yicha ma’lum bilimlar kerak bo‘ladi. Biz darsning bir qismini ular bilan tanishishga bag'ishlaymiz.

Hisoblash geometriyasidan olingan ma'lumotlar

Hisoblash geometriyasi – geometrik masalalarni yechish algoritmlarini o‘rganuvchi informatika sohasi.

Bunday masalalar uchun dastlabki ma'lumotlar tekislikdagi nuqtalar to'plami, segmentlar to'plami, ko'pburchak (masalan, soat yo'nalishi bo'yicha uning uchlari ro'yxati bilan berilgan) va boshqalar bo'lishi mumkin.

Natija qaysidir savolga javob (masalan, nuqta segmentga tegishlimi, ikkita segment kesishadimi, ...) yoki qandaydir geometrik ob'ekt (masalan, berilgan nuqtalarni bog'laydigan eng kichik qavariq ko'pburchak, maydonning maydoni) bo'lishi mumkin. ko'pburchak va boshqalar).

Hisoblash geometriyasiga oid masalalarni faqat tekislikda va faqat Dekart koordinata tizimida ko‘rib chiqamiz.

Vektorlar va koordinatalar

Hisoblash geometriyasining usullarini qo'llash uchun geometrik tasvirlarni raqamlar tiliga tarjima qilish kerak. Dekart koordinata tizimi tekislikda berilgan deb faraz qilamiz, bunda soat miliga teskari aylanish yo'nalishi musbat deb ataladi.

Endi geometrik jismlar analitik ifodani oladi. Shunday qilib, nuqtani o'rnatish uchun uning koordinatalarini ko'rsatish kifoya: bir juft son (x; y). Segmentni uning uchlari koordinatalarini, to'g'ri chiziqni uning juft nuqtalarining koordinatalarini ko'rsatish orqali aniqlash mumkin.

Ammo muammolarni hal qilishning asosiy vositasi vektorlar bo'ladi. Shuning uchun ular haqida ba'zi ma'lumotlarni eslatib o'taman.

Chiziq segmenti AB, qaysi bir nuqta bor LEKIN boshlanishi (qo'llash nuqtasi) va nuqtani ko'rib chiqdi DA- oxiri vektor deyiladi AB va yo ni yoki qalinni bildiradi kichik harf, Misol uchun a .

Vektor uzunligini (ya'ni mos keladigan segment uzunligini) belgilash uchun modul belgisidan foydalanamiz (masalan, ).

Ixtiyoriy vektor koordinatalariga ega bo'ladi, teng farqlar uning oxiri va boshlanishining tegishli koordinatalari:

,

bu yerda nuqtalar A va B koordinatalariga ega mos ravishda.

Hisob-kitoblar uchun biz kontseptsiyadan foydalanamiz yo'naltirilgan burchak, ya'ni vektorlarning nisbiy holatini hisobga oladigan burchak.

Vektorlar orasidagi yo'naltirilgan burchak a va b agar aylanish vektordan uzoqda bo'lsa, ijobiy a vektorga b ijobiy yo'nalishda (soat miliga teskari) va boshqa holatda salbiy amalga oshiriladi. 1a-rasm, 1b-rasmga qarang. Shuningdek, vektor juftligi ham aytiladi a va b ijobiy (salbiy) yo'naltirilgan.

Shunday qilib, yo'naltirilgan burchakning qiymati vektorlarni sanab o'tish tartibiga bog'liq va intervalda qiymatlarni olishi mumkin.

Ko'pgina hisoblash geometriyasi muammolari vektorlarning vektor (qiyshiq yoki psevdoskalar) mahsuloti tushunchasidan foydalanadi.

a va b vektorlarning vektor ko'paytmasi bu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak sinuslarining ko'paytmasiga teng:

.

Koordinatadagi vektorlarning vektor mahsuloti:

O'ngdagi ifoda ikkinchi tartibli determinantdir:

Analitik geometriyada berilgan ta'rifdan farqli o'laroq, bu skalerdir.

O'zaro mahsulot belgisi vektorlarning bir-biriga nisbatan o'rnini aniqlaydi:

a va b ijobiy yo'naltirilgan.

Agar qiymat bo'lsa, u holda vektorlar juftligi a va b salbiy yo'naltirilgan.

Nolga teng bo'lmagan vektorlarning o'zaro ko'paytmasi, agar ular kollinear bo'lsa, nolga teng bo'ladi ( ). Bu ularning bir xil chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotishini anglatadi.

Keling, murakkabroq narsalarni hal qilish uchun zarur bo'lgan bir nechta oddiy vazifalarni ko'rib chiqaylik.

To'g'ri chiziq tenglamasini ikkita nuqtaning koordinatalari orqali aniqlaymiz.

Ikki xil nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi ularning koordinatalari bilan berilgan.

Chiziqda ikkita mos kelmaydigan nuqta berilgan bo'lsin: koordinatali (x1;y1) va koordinatali (x2; y2). Shunga ko'ra, boshi nuqtada va oxiri nuqtada bo'lgan vektor koordinatalarga ega (x2-x1, y2-y1). Agar P(x, y) bizning chiziqdagi ixtiyoriy nuqta bo'lsa, vektorning koordinatalari (x-x1, y - y1) bo'ladi.

O'zaro ko'paytma yordamida vektorlarning kollinearligi sharti va quyidagicha yozilishi mumkin:

Bular. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Oxirgi tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Demak, to'g'ri chiziq (1) ko'rinishdagi tenglama bilan berilishi mumkin.

Vazifa 1. Ikki nuqtaning koordinatalari berilgan. Uning ax + by + c = 0 ko'rinishdagi ko'rinishini toping.

Ushbu darsda biz hisoblash geometriyasidan ba'zi ma'lumotlar bilan tanishdik. Ikki nuqtaning koordinatalari bo'yicha chiziq tenglamasini topish masalasini hal qildik.

Keyingi darsda biz tenglamalarimiz orqali berilgan ikki chiziqning kesishish nuqtasini topish dasturini tuzamiz.

Ikki ball berilsin M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2). To'g'ri chiziq tenglamasini (5) ko'rinishda yozamiz, bu erda k Hali noma'lum koeffitsient:

Gap shundaki M 2 berilgan chiziqqa tegishli bo'lsa, uning koordinatalari (5) tenglamani qanoatlantiradi: . Bu yerdan ifodalab, uni (5) tenglamaga almashtirib, kerakli tenglamani olamiz:

Agar a Ushbu tenglamani eslab qolish osonroq bo'lgan shaklda qayta yozish mumkin:

(6)

Misol. M 1 (1.2) va M 2 (-2.3) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror. . Proportsional xususiyatdan foydalanib, kerakli o'zgartirishlarni amalga oshirib, biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olamiz:

Ikki chiziq orasidagi burchak

Ikki qatorni ko'rib chiqing l 1 va l 2:

l 1: , , va

l 2: , ,

ph - ular orasidagi burchak (). 4-rasmda ko'rsatilgan: .

Bu yerdan , yoki

Formuladan (7) foydalanib, chiziqlar orasidagi burchaklardan birini aniqlash mumkin. Ikkinchi burchak - bu.

Misol. Ikki to'g'ri chiziq y=2x+3 va y=-3x+2 tenglamalar bilan berilgan. bu chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Qaror. Tenglamalardan k 1 \u003d 2 va k 2 \u003d-3 ekanligini ko'rish mumkin. bu qiymatlarni (7) formulaga almashtirib, topamiz

. Demak, bu chiziqlar orasidagi burchak .

Ikki chiziqning parallelligi va perpendikulyarligi shartlari

To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 u holda parallel bo'ladi φ=0 va tgph=0. (7) formuladan kelib chiqadiki, , qaerdan k 2 \u003d k 1. Shunday qilib, ikkita chiziq parallelligining sharti ularning qiyaliklarining tengligidir.

To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 perpendikulyar, keyin ph=p/2, a 2 = p/2+ a 1 . . Demak, ikkita toʻgʻri chiziqning perpendikulyar boʻlishi sharti shundaki, ularning qiyaligi kattaligi boʻyicha oʻzaro va ishorasi boʻyicha qarama-qarshi boʻladi.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C \u003d 0 chizig'igacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.

Isbot. M nuqtadan berilgan chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo'lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:

x 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.

Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Misol. 3x - 5y + 7 = 0 va 10x + 6y - 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko'rsating.

Biz topamiz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, shuning uchun chiziqlar perpendikulyar.

Misol. Uchburchakning A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

AB tomonining tenglamasini topamiz: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Kerakli balandlik tenglamasi: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b.

k=. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari qanoatlanadi bu tenglama: bundan b = 17. Jami: .

Javob: 3x + 2y - 34 = 0.

Nuqtadan chiziqqa masofa nuqtadan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi bilan aniqlanadi.

Agar chiziq proyeksiya tekisligiga parallel bo'lsa (h | | P 1), keyin nuqtadan masofani aniqlash uchun LEKIN to'g'riga h nuqtadan perpendikulyar tushirish kerak LEKIN gorizontalga h.

Ko'proq o'ylab ko'ring murakkab misol chiziq egallaganda umumiy pozitsiya. Nuqtadan masofani aniqlash kerak bo'lsin M to'g'riga a umumiy pozitsiya.

Ta'rif vazifasi parallel chiziqlar orasidagi masofalar oldingisiga o'xshash tarzda hal qilinadi. Bir chiziqda nuqta olinadi va undan boshqa chiziqqa perpendikulyar o'tkaziladi. Perpendikulyarning uzunligi parallel chiziqlar orasidagi masofaga teng.

Ikkinchi tartibli egri chiziq joriy dekart koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali tenglama bilan aniqlangan chiziq. Umumiy holatda, Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

bu yerda A, B, C, D, E, F haqiqiy sonlar va A 2 + B 2 + C 2 ≠0 raqamlaridan kamida bittasi.

Doira

Doira markazi- bu C (a, b) tekislik nuqtasidan teng masofada joylashgan tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi.

Doira quyidagi tenglama bilan berilgan:

Bu yerda x, y aylanadagi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari, R aylananing radiusi.

Doira tenglamasining belgisi

1. X, y bilan atama mavjud emas

2. x 2 va y 2 da koeffitsientlar teng

Ellips

Ellips tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi deyiladi, ularning har birining shu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan masofalari yig'indisi fokuslar (doimiy qiymat) deb ataladi.

Ellipsning kanonik tenglamasi:

X va y ellipsga tegishli.

a - ellipsning asosiy yarim o'qi

b - ellipsning kichik yarim o'qi

Ellips 2 simmetriya o'qiga ega OX va OY. Ellipsning simmetriya o'qlari uning o'qlari, ularning kesishish nuqtasi ellipsning markazidir. Fokuslar joylashgan o'q deyiladi fokus o'qi. Ellipsning o'qlari bilan kesishish nuqtasi ellipsning cho'qqisidir.

Siqish (cho'zish) nisbati: e = c/a- ekssentriklik (ellips shaklini xarakterlaydi), u qanchalik kichik bo'lsa, ellips fokus o'qi bo'ylab kamroq cho'ziladi.

Agar ellips markazlari markazda bo'lmasa S(a, b)

Giperbola

Giperbola tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi deb ataladi, masofalar farqining mutlaq qiymati, bu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan, fokuslar deb ataladigan har biri noldan farq qiladigan doimiy qiymatdir.

Giperbolaning kanonik tenglamasi

Giperbolada ikkita simmetriya o'qi mavjud:

a - simmetriyaning haqiqiy yarim o'qi

b - simmetriyaning xayoliy yarim o'qi

Giperbolaning asimptotalari:

Parabola

parabola- tekislikdagi nuqtalarning fokus deb ataladigan ma'lum F nuqtadan va direktrisa deb ataladigan to'g'ri chiziqdan teng masofadagi nuqtalarning joylashuvi.

Kanonik parabola tenglamasi:

Y 2 \u003d 2px, bu erda p - fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofa (parabola parametri)

Agar parabolaning tepasi C (a, b) bo'lsa, u holda parabolaning tenglamasi (y-b) 2 \u003d 2p (x-a)

Agar fokus o'qi y o'qi sifatida qabul qilinsa, parabola tenglamasi quyidagi shaklni oladi: x 2 \u003d 2qy

Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Yo'nalish vektori to'g'ri. Oddiy vektor

Tekislikdagi to'g'ri chiziq sizga boshlang'ich sinflardan beri tanish bo'lgan eng oddiy geometrik shakllardan biri bo'lib, bugun biz analitik geometriya usullaridan foydalangan holda u bilan qanday kurashishni o'rganamiz. Materialni o'zlashtirish uchun to'g'ri chiziq qura olish kerak; Qaysi tenglama to‘g‘ri chiziqni, xususan, koordinata o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlarni va koordinatalarning bosh nuqtasidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni aniqlashini biling. Ushbu ma'lumotni qo'llanmada topish mumkin. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari, Men uni matan uchun yaratdim, lekin chiziqli funktsiya bo'limi juda muvaffaqiyatli va batafsil bo'lib chiqdi. Shuning uchun, aziz choynaklar, avval u erda isinib turing. Bundan tashqari, sizda bo'lishi kerak asosiy bilim haqida vektorlar aks holda materialni tushunish to'liq bo'lmaydi.

Ushbu darsda biz tekislikda to'g'ri chiziq tenglamasini yozish usullarini ko'rib chiqamiz. Amaliy misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikni tavsiya qilaman (hatto bu juda oddiy bo'lib tuyulsa ham), chunki men ularni boshlang'ich va muhim faktlar, kelajakda talab qilinadigan texnik usullar, shu jumladan oliy matematikaning boshqa bo'limlarida.

• Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?
• Qanday ?
• To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'yicha yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?
• Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

va biz boshlaymiz:

Nishab bilan chiziqli tenglama

To'g'ri chiziq tenglamasining mashhur "maktab" shakli deyiladi bilan to'g'ri chiziq tenglamasi qiyalik omili . Masalan, tenglama bilan to'g'ri chiziq berilgan bo'lsa, uning qiyaligi: . O'ylab ko'ring geometrik ma'no berilgan koeffitsient va uning qiymati chiziqning joylashishiga qanday ta'sir qiladi:

Bu geometriya kursida isbotlangan to'g'ri chiziqning qiyaligi burchak tangensi musbat o'q yo'nalishi o'rtasidava berilgan qator: , va burchak soat sohasi farqli ravishda "ochiladi".

Chizmani chalkashtirib yubormaslik uchun men faqat ikkita to'g'ri chiziq uchun burchaklar chizdim. "Qizil" to'g'ri chiziqni va uning qiyaligini ko'rib chiqing. Yuqoridagilarga ko'ra: ("alfa" burchagi yashil yoy bilan ko'rsatilgan). Nishab bilan "ko'k" chiziq uchun tenglik haqiqiydir ("beta" burchagi jigarrang yoy bilan ko'rsatilgan). Va agar burchakning tangensi ma'lum bo'lsa, agar kerak bo'lsa, uni topish oson va burchak teskari funksiya yordamida - yoy tangensi. Ular aytganidek, trigonometrik jadval yoki qo'lda kalkulyator. Shunday qilib, qiyalik to'g'ri chiziqning x o'qiga moyillik darajasini tavsiflaydi.

Bunday holda, quyidagi holatlar mumkin:

1) Nishab manfiy bo'lsa: , u holda chiziq, taxminan aytganda, yuqoridan pastga o'tadi. Masalan, chizmadagi "ko'k" va "qizil" to'g'ri chiziqlar.

2) Nishab musbat bo'lsa: , u holda chiziq pastdan yuqoriga o'tadi. Masalan, chizmadagi "qora" va "qizil" to'g'ri chiziqlar.

3) Nishab nolga teng bo'lsa: , u holda tenglama shaklni oladi , va mos keladigan chiziq o'qga parallel. Masalan, "sariq" chiziq.

4) O'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar oilasi uchun (chizmada o'qning o'zidan tashqari hech qanday misol yo'q), qiyalik mavjud emas (90 daraja tangensi aniqlanmagan).

Nishab moduli qanchalik katta bo'lsa, chiziq chizig'i shunchalik tiklanadi.

Masalan, ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. Bu erda, shuning uchun to'g'ri chiziq keskinroq nishabga ega. Sizga eslatib o'tamanki, modul sizga belgini e'tiborsiz qoldirishga imkon beradi, biz faqat qiziqamiz mutlaq qiymatlar burchak koeffitsientlari.

O'z navbatida, to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqlarga qaraganda tikroqdir. .

Aksincha: Nishab moduli qanchalik kichik bo'lsa, to'g'ri chiziq tekisroq bo'ladi.

To'g'ri chiziqlar uchun tengsizlik to'g'ri, shuning uchun to'g'ri chiziq soyabondan ko'ra ko'proq. Ko'karishlar va zarbalarni o'tqazmaslik uchun bolalar slaydlari.

Bu nima uchun kerak?

Qiynoqlaringizni uzaytiring Yuqoridagi faktlarni bilish sizning xatolaringizni, xususan, grafiklarni tuzishda xatolaringizni darhol ko'rish imkonini beradi - agar chizma "aniq bir narsa noto'g'ri" bo'lib chiqsa. Siz bo'lishingiz ma'qul to'g'ridan-to'g'ri masalan, to'g'ri chiziq juda tik va pastdan tepaga, to'g'ri chiziq esa juda tekis, o'qga yaqin va yuqoridan pastgacha borishi aniq edi.

Geometrik masalalarda ko'pincha bir nechta to'g'ri chiziqlar paydo bo'ladi, shuning uchun ularni qandaydir tarzda belgilash qulay.

Belgilash: to'g'ri chiziqlar kichik bilan ko'rsatilgan lotin harflari bilan: . Ommabop variant - bu tabiiy pastki belgilar bilan bir xil harfning belgilanishi. Masalan, biz ko'rib chiqqan besh qatorni bilan belgilash mumkin .

Har qanday to'g'ri chiziq yagona ikkita nuqta bilan aniqlanganligi sababli, uni quyidagi nuqtalar bilan belgilash mumkin: va hokazo. Belgilanish nuqtalar chiziqqa tegishli ekanligini aniq ko'rsatadi.

Biroz bo'shash vaqti keldi:

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar ma'lum bir chiziqqa tegishli nuqta va bu chiziqning qiyaligi ma'lum bo'lsa, bu chiziq tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

1-misol

Agar nuqta shu to'g'ri chiziqqa tegishli ekanligi ma'lum bo'lsa, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.

Qaror: Formula bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz . Ushbu holatda:

Javob:

Imtihon elementar tarzda amalga oshiriladi. Birinchidan, biz hosil bo'lgan tenglamani ko'rib chiqamiz va nishabimiz o'z o'rnida ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari berilgan tenglamani qanoatlantirishi kerak. Keling, ularni tenglamaga kiritamiz:

To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni nuqta hosil bo'lgan tenglamani qanoatlantiradi.

Xulosa: Tenglama to'g'ri topildi.

O'z-o'zidan hal qilish uchun yanada murakkab misol:

2-misol

To'g'ri chiziq tenglamasini yozing, agar uning o'qning musbat yo'nalishiga moyillik burchagi ga teng bo'lsa va nuqta shu to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lsa.

Agar muammoga duch kelsangiz, qayta o'qing nazariy material. Aniqrog'i, amaliyroq, ko'p dalillarni sog'indim.

jiringladi oxirgi qo `ng` iroq, Balo tugadi va darvoza tashqarisida uy maktabi biz kutamiz, aslida, analitik geometriya. Hazillar tugadi... Balki endigina boshlanayotgandir =)

Nostaljik tarzda biz tutqichni tanishga silkitamiz va to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan tanishamiz. Chunki analitik geometriyada aynan shu narsa qo'llaniladi:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklga ega: , ba'zi raqamlar qayerda. Shu bilan birga, koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki tenglama o'z ma'nosini yo'qotadi.

Keling, kostyum kiyib, nishab bilan tenglamani bog'laymiz. Birinchidan, biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

"X" bilan atama birinchi o'ringa qo'yilishi kerak:

Asos sifatida, tenglama allaqachon shaklga ega, ammo matematik odob-axloq qoidalariga ko'ra, birinchi atama koeffitsienti (bu holda ) ijobiy bo'lishi kerak. O'zgaruvchan belgilar:

Buni eslab qoling texnik xususiyat! Biz birinchi koeffitsientni (ko'pincha) ijobiy qilamiz!

Analitik geometriyada to'g'ri chiziq tenglamasi deyarli har doim beriladi umumiy shakl. Xo'sh, agar kerak bo'lsa, uni qiyalik bilan "maktab" shakliga keltirish oson (y o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar bundan mustasno).

Keling, o'zimizga nima deb so'raylik yetarli to'g'ri chiziq qurishni bilasizmi? Ikki ball. Ammo bu bolalik ishi haqida keyinroq, endi o'qlar qoidasiga amal qiladi. Har bir to'g'ri chiziq aniq belgilangan qiyalikga ega, unga "moslashish" oson. vektor.

Chiziqqa parallel bo'lgan vektor shu chiziqning yo'nalishi vektori deyiladi.. Shubhasiz, har qanday to'g'ri chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollinear bo'ladi (birga yo'naltirilgan yoki yo'q - bu muhim emas).

Yo'nalish vektorini quyidagicha belgilayman: .

Ammo to'g'ri chiziq qurish uchun bitta vektor etarli emas, vektor erkin va tekislikning biron bir nuqtasiga biriktirilmagan. Shuning uchun, chiziqqa tegishli bo'lgan ba'zi bir nuqtani bilish qo'shimcha ravishda zarur.

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar chiziqqa tegishli ma'lum nuqta va bu chiziqning yo'naltiruvchi vektori ma'lum bo'lsa, u holda bu chiziq tenglamasini quyidagi formula bilan tuzish mumkin:

Ba'zan deyiladi chiziqning kanonik tenglamasi .

Qachon nima qilish kerak koordinatalaridan biri nolga teng, biz quyida amaliy misollarni ko'rib chiqamiz. Aytgancha, e'tibor bering - ikkalasi birdan koordinatalar nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki nol vektor ma'lum bir yo'nalishni belgilamaydi.

3-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

Qaror: Formula bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz. Ushbu holatda:

Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz kasrlardan xalos bo'lamiz:

Va biz tenglamani keltiramiz umumiy ko'rinish:

Javob:

Bunday misollarni chizish, qoida tariqasida, kerak emas, lekin tushunish uchun:

Chizilgan rasmda biz boshlang'ich nuqtani, asl yo'nalish vektorini (u tekislikning istalgan nuqtasidan kechiktirish mumkin) va qurilgan chiziqni ko'ramiz. Aytgancha, ko'p hollarda to'g'ri chiziqni qurish eng qulay tarzda qiyalik tenglamasi yordamida amalga oshiriladi. Bizning tenglamani shaklga aylantirish oson va hech qanday muammosiz to'g'ri chiziq qurish uchun yana bitta nuqtani oling.

Bo'lim boshida ta'kidlanganidek, chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollineardir. Masalan, men uchta vektorni chizdim: . Qaysi yo'nalish vektorini tanlasak, natija har doim bir xil to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi.

Nuqta va yo‘naltiruvchi vektor bo‘yicha to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Proporsiyani taqsimlash:

Ikkala tomonni -2 ga bo'ling va tanish tenglamani oling:

Xohlaganlar xuddi shunday vektorlarni sinab ko'rishlari mumkin yoki boshqa har qanday kollinear vektor.

Endi teskari masalani yechamiz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'yicha yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?

Juda onson:

Agar to'g'ri chiziq to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor bu to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori bo'ladi.

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topishga misollar:

Ushbu bayonot cheksiz to'plamdan faqat bitta yo'nalish vektorini topishga imkon beradi, ammo bizga ko'proq kerak emas. Ba'zi hollarda yo'nalish vektorlarining koordinatalarini kamaytirish tavsiya etiladi:

Shunday qilib, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni belgilaydi va natijada paydo bo'lgan boshqariladigan vektorning koordinatalari -2 ga qulay tarzda bo'linadi va Rulda vektori sifatida aynan bazis vektorini oladi. Mantiqan.

Xuddi shunday, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni aniqlaydi va vektorning koordinatalarini 5 ga bo'lib, biz yo'nalish vektori sifatida ortni olamiz.

Endi bajaramiz 3-misolni tekshiring. Misol yuqoriga ko'tarildi, shuning uchun eslataman, unda biz nuqta va yo'nalish vektoridan foydalangan holda to'g'ri chiziq tenglamasini tuzdik.

Birinchidan, to'g'ri chiziq tenglamasiga ko'ra, biz uning yo'naltiruvchi vektorini tiklaymiz: - hamma narsa yaxshi, biz asl vektorni oldik (ba'zi hollarda u asl vektorga to'g'ri kelishi mumkin va buni odatda mos keladigan koordinatalarning mutanosibligi bilan ko'rish oson).

Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari tenglamani qondirishi kerak. Biz ularni tenglamaga almashtiramiz:

To'g'ri tenglik olindi, biz bundan juda mamnunmiz.

Xulosa: Ish toʻgʻri bajarildi.

4-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida yechim va javob. Ko'rib chiqilgan algoritm bo'yicha tekshirishni amalga oshirish juda ma'qul. Har doim (agar iloji bo'lsa) qoralamani tekshirishga harakat qiling. 100% oldini olish mumkin bo'lgan xatolarga yo'l qo'yish ahmoqlikdir.

Yo'nalish vektorining koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, buni qilish juda oddiy:

5-misol

Qaror: Formula noto'g'ri, chunki o'ng tomondagi maxraj nolga teng. Chiqish bor! Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz formulani shaklda qayta yozamiz, qolganlari esa chuqur yo'l bo'ylab aylantiriladi:

Javob:

Imtihon:

1) To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini tiklang:
- olingan vektor dastlabki yo'nalish vektoriga kollinear.

2) Tenglamadagi nuqta koordinatalarini almashtiring:

To'g'ri tenglik olinadi

Xulosa: ish to'g'ri bajarildi

Savol tug'iladi, agar baribir ishlaydigan universal versiya mavjud bo'lsa, nima uchun formula bilan bezovta qilish kerak? Buning ikkita sababi bor. Birinchidan, kasr formulasi eslash yaxshiroq. Ikkinchidan, universal formulaning kamchiligi shundaki chalkashlik xavfi sezilarli darajada oshdi koordinatalarni almashtirganda.

6-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

Keling, hamma joyda mavjud bo'lgan ikkita nuqtaga qaytaylik:

Ikki nuqta berilgan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, u holda ushbu nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi formula yordamida tuzish mumkin:

Aslida, bu formulaning bir turi va buning sababi: agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, vektor bu chiziqning yo'nalishi vektori bo'ladi. Darsda Dummies uchun vektorlar ko‘rib chiqdik eng oddiy vazifa– ikki nuqtadan vektorning koordinatalarini qanday topish mumkin. Ushbu masala bo'yicha yo'nalish vektorining koordinatalari:

Eslatma : nuqtalarni "almashtirish" mumkin va formuladan foydalaning . Bunday qaror teng bo'ladi.

7-misol

Ikki nuqtadan toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing .

Qaror: Formuladan foydalaning:

Biz maxrajlarni taraymiz:

Va pastki qismni aralashtiramiz:

Endi qutulish vaqti keldi kasr sonlar. Bunday holda, siz ikkala qismni 6 ga ko'paytirishingiz kerak:

Qavslarni oching va tenglamani yodda tuting:

Javob:

Imtihon aniq - boshlang'ich nuqtalarning koordinatalari hosil bo'lgan tenglamani qondirishi kerak:

1) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

2) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

Xulosa: to'g'ri chiziq tenglamasi to'g'ri.

Agar a kamida bitta ballar soni tenglamani qanoatlantirmaydi, xatoni qidiring.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda grafik tekshirish qiyin, chunki chiziq qurish va nuqtalar unga tegishli yoki yo'qligini ko'rish. , unchalik oson emas.

Men yechimning bir nechta texnik nuqtalarini qayd etaman. Ehtimol, bu muammoda oyna formulasidan foydalanish foydaliroqdir va, xuddi shu nuqtalar uchun tenglama tuzing:

Kamroq fraktsiyalar mavjud. Agar xohlasangiz, yechimni oxirigacha bajarishingiz mumkin, natijada bir xil tenglama bo'lishi kerak.

Ikkinchi nuqta - yakuniy javobga qarash va uni yanada soddalashtirish mumkinmi? Misol uchun, agar tenglama olingan bo'lsa, uni ikkiga qisqartirish tavsiya etiladi: - tenglama bir xil to'g'ri chiziqni o'rnatadi. Biroq, bu allaqachon suhbat mavzusi to'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashishi.

Javob olgandan keyin 7-misolda, har qanday holatda, men tenglamaning HAMMA koeffitsientlari 2, 3 yoki 7 ga bo'linishini tekshirdim. Garchi ko'pincha bunday qisqartirishlar yechim jarayonida amalga oshiriladi.

8-misol

Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing .

Bu mustaqil yechim uchun misol bo'lib, bu sizga hisoblash texnikasini yaxshiroq tushunish va ishlab chiqish imkonini beradi.

Oldingi paragrafga o'xshash: formulada bo'lsa maxrajlardan biri (yo'nalish vektori koordinatasi) yo'qoladi, keyin uni qayta yozamiz. Va yana e'tibor bering, u qanchalik noqulay va sarosimaga tushdi. Amaliy misollar keltirishda men unchalik ma'no ko'rmayapman, chunki biz allaqachon bunday muammoni hal qilganmiz (5, 6-sonlarga qarang).

To'g'ri chiziqli normal vektor (normal vektor)

Oddiy nima? Oddiy so'zlar bilan aytganda, normal - perpendikulyar. Ya'ni, chiziqning normal vektori berilgan chiziqqa perpendikulyar. Ko'rinib turibdiki, har qanday to'g'ri chiziqda ularning cheksiz soni (shuningdek, yo'naltiruvchi vektorlar) mavjud va to'g'ri chiziqning barcha normal vektorlari kollinear bo'ladi (ko'p yo'nalishli yoki yo'q - muhim emas).

Ular bilan ishlash yo'nalish vektorlariga qaraganda osonroq bo'ladi:

Agar to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida umumiy tenglama bilan berilgan bo‘lsa, vektor bu to‘g‘ri chiziqning normal vektori bo‘ladi.

Agar yo'nalish vektorining koordinatalarini tenglamadan ehtiyotkorlik bilan "chiqarib tashlash" kerak bo'lsa, u holda oddiy vektorning koordinatalari oddiygina "olib tashlanadi".

Oddiy vektor har doim chiziqning yo'nalishi vektoriga ortogonal bo'ladi. Biz ushbu vektorlarning ortogonalligini tekshiramiz nuqta mahsuloti:

Men yo'nalish vektori bilan bir xil tenglamalar bilan misollar keltiraman:

Bir nuqta va normal vektorni bilgan holda to'g'ri chiziq tenglamasini yozish mumkinmi? Bu mumkindek tuyuladi. Agar normal vektor ma'lum bo'lsa, unda to'g'ri chiziqning yo'nalishi o'ziga xos tarzda aniqlanadi - bu 90 graduslik burchakka ega "qattiq struktura".

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar chiziqqa tegishli biron bir nuqta va bu chiziqning normal vektori ma'lum bo'lsa, bu chiziqning tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Bu erda hamma narsa kasrlarsiz va boshqa kutilmagan hodisalarsiz o'tdi. Bu bizning oddiy vektorimiz. Juda yoqtirdim. Va hurmat =)

9-misol

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Qaror: Formuladan foydalaning:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi olinadi, tekshiramiz:

1) Oddiy vektorning koordinatalarini tenglamadan "olib tashlang": - ha, albatta, asl vektor shartdan olinadi (yoki vektor asl vektorga kollinear bo'lishi kerak).

2) Nuqta tenglamani qanoatlantirishini tekshiring:

Haqiqiy tenglik.

Tenglamaning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilganimizdan so'ng, vazifaning ikkinchi, osonroq qismini bajaramiz. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini chiqaramiz:

Javob:

Chizmada vaziyat quyidagicha:

O'qitish maqsadlarida mustaqil hal qilish uchun shunga o'xshash vazifa:

10-misol

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Darsning yakuniy qismi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalarining kamroq tarqalgan, ammo muhim turlariga bag'ishlangan.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.
To'g'ri chiziqning parametrik ko'rinishdagi tenglamasi

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi , bu erda nolga teng bo'lmagan doimiylar. Ba'zi turdagi tenglamalarni bu shaklda ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik (chunki erkin atama nolga teng va o'ng tomonda bittasini olishning imkoni yo'q).

Bu, obrazli qilib aytganda, tenglamaning “texnik” turi. Odatiy vazifa - to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlarda to'g'ri chiziq tenglamasi sifatida ifodalash. Nima uchun qulay? To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi to'g'ri chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini tezda topish imkonini beradi, bu oliy matematikaning ba'zi masalalarida juda muhimdir.

Chiziqning o'q bilan kesishgan nuqtasini toping. Biz "y" ni tiklaymiz va tenglama shaklni oladi. Istalgan nuqta avtomatik ravishda olinadi: .

O'q bilan bir xil chiziqning y o'qini kesishgan nuqtasidir.

Fazodagi toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamalari berilgan nuqtadan yoʻnalish vektoriga kollinear oʻtuvchi toʻgʻri chiziqni aniqlovchi tenglamalardir.

Nuqta va yo'nalish vektori berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqta chiziq ustida yotadi l faqat va vektorlari kollinear bo'lsa, ya'ni ular shartni qondirsa:

.

Yuqoridagi tenglamalar kanonik tenglamalar To'g'riga.

Raqamlar m , n va p yo‘nalish vektorining koordinata o‘qlariga proyeksiyalaridir. Vektor nolga teng bo'lmagani uchun barcha raqamlar m , n va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas. Ammo ulardan bir yoki ikkitasi bo'lishi mumkin nol. Masalan, analitik geometriyada quyidagi belgilarga ruxsat beriladi:

,

demak, vektorning o'qlarga proyeksiyalari Oy va Oz nolga teng. Demak, kanonik tenglamalar orqali berilgan vektor ham, to‘g‘ri chiziq ham o‘qlarga perpendikulyar Oy va Oz, ya'ni samolyotlar yOz .

1-misol Tekislikka perpendikulyar bo'lgan fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalarini tuzing va bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasidan o'tish Oz .

Qaror. Berilgan tekislikning o‘q bilan kesishish nuqtasini toping Oz. O'qning istalgan nuqtasidan boshlab Oz, tekislikning berilgan tenglamasida faraz qilsak, koordinatalariga ega x=y= 0, biz 4 ni olamiz z- 8 = 0 yoki z= 2 . Demak, berilgan tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasi Oz koordinatalariga ega (0; 0; 2) . Kerakli chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun u normal vektoriga parallel. Shuning uchun normal vektor to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'lib xizmat qilishi mumkin berilgan samolyot.

Endi nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz A= (0; 0; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari

To'g'ri chiziqni uning ustida joylashgan ikkita nuqta bilan aniqlash mumkin va Bunday holda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori vektor bo'lishi mumkin. Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklni oladi

.

Yuqoridagi tenglamalar ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

2-misol va nuqtalardan o'tuvchi fazodagi to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror. To'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini nazariy ma'lumotnomada yuqorida keltirilgan shaklda yozamiz:

.

Chunki , u holda kerakli chiziq o'qga perpendikulyar Oy .

To'g'ri tekisliklarning kesishish chizig'i sifatida

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni ikkita parallel bo'lmagan tekisliklarning kesishish chizig'i va, ya'ni ikkita chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantiradigan nuqtalar to'plami sifatida aniqlash mumkin.

Tizim tenglamalari ham deyiladi umumiy tenglamalar kosmosdagi to'g'ri chiziq.

3-misol Umumiy tenglamalar bilan berilgan fazoda to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

Qaror. To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini yoki bir xil bo'lgan ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozish uchun to'g'ri chiziqdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Ular, masalan, har qanday ikkita koordinatali tekislik bilan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari bo'lishi mumkin yOz va xOz .

Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi yOz abtsissaga ega x= 0. Shuning uchun, bu tenglamalar tizimida faraz qilish x= 0, biz ikkita o'zgaruvchiga ega tizimni olamiz:

Uning qarori y = 2 , z= 6 bilan birga x= 0 nuqtani belgilaydi A(0; 2; 6) kerakli chiziq. U holda berilgan tenglamalar tizimida faraz qilsak y= 0, biz tizimni olamiz

Uning qarori x = -2 , z= 0 bilan birga y= 0 nuqtani belgilaydi B(-2; 0; 0) chiziqning tekislik bilan kesishishi xOz .

Endi nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalarini yozamiz A(0; 2; 6) va B (-2; 0; 0) :

,

yoki maxrajlarni -2 ga bo'lgandan keyin:

,

To'g'ri chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y- y 1 \u003d ko'rinishga ega. k (x - x 1), (10.6)

qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtasidan o'tganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qondirishi kerak: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.

Agar x 1 \u003d x 2 bo'lsa, u holda M 1 (x 1, y I) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalaridan o'tadigan to'g'ri chiziq y o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi x = x 1 .

Agar y 2 \u003d y I bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini y \u003d y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq x o'qiga parallel.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

Toʻgʻri chiziq Oʻq oʻqini M 1 (a; 0) nuqtada, Oy oʻqi esa M 2 (0; b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
bular.
. Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari to'g'ri chiziq koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Berilgan nolga teng bo‘lmagan n = (A; B) vektorga perpendikulyar Mo (x O; y o) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.

To'g'ri chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasini oling va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqing (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlar perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .

Chiziqga perpendikulyar n = (A; B) vektor normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C \u003d -Ax o - Vu o - erkin a'zo. Tenglama (10.9) toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasidir(2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli aylana egri chiziqlari

Doira - berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, u markaz deb ataladi.

Radiusli aylananing kanonik tenglamasi R nuqtaga markazlashtirilgan
:

Xususan, agar qoziqning markazi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Ellips

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. va fokuslar deb ataladigan , doimiy qiymatdir
, fokuslar orasidagi masofadan kattaroq
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan va kelib chiqishi fokuslar orasidagi o'rtada joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega.
G de a asosiy yarim o'qning uzunligi; b - kichik yarim o'qning uzunligi (2-rasm).