Nishab burchagi tangensi nimaga teng. Funktsiya hosilasi. Hosilning geometrik ma'nosi

Sertifikatlash imtihonida "Tangensning burchak koeffitsienti qiyalik burchagi tangensi sifatida" mavzusiga bir vaqtning o'zida bir nechta topshiriqlar beriladi. Ularning holatiga qarab, bitiruvchidan ham to'liq javob, ham qisqa javob berish talab qilinishi mumkin. Tayyorgarlikda imtihondan o'tish matematikada talaba siz hisoblashingiz kerak bo'lgan vazifalarni albatta takrorlashi kerak qiyalik tangens.

Buni qilish sizga yordam beradi ta'lim portali"Shkolkovo". Mutaxassislarimiz nazariy va amaliy materiallarni iloji boricha tayyorlab, taqdim etishdi. U bilan tanishib, har qanday darajadagi tayyorgarlikka ega bitiruvchilar tangens qiyalik tangensini topish talab qilinadigan hosilalar bilan bog'liq masalalarni muvaffaqiyatli hal qilishlari mumkin.

Asosiy daqiqalar

Imtihonda bunday vazifalarning to'g'ri va oqilona echimini topish uchun siz eslab qolishingiz kerak asosiy ta'rif: hosila - funksiyaning o'zgarish tezligi; u funksiya grafigiga ma'lum nuqtada chizilgan tangensning qiyaligi tangensiga teng. Chizishni to'ldirish ham bir xil darajada muhimdir. Bu sizga topishga imkon beradi to'g'ri yechim Tangens qiyaligining tangensini hisoblash talab qilinadigan hosila bo'yicha masalalarni QILING. Aniqlik uchun grafikni OXY tekisligida chizish yaxshidir.

Agar siz lotin mavzusi bo'yicha asosiy material bilan allaqachon tanishgan bo'lsangiz va shunga o'xshash tangensning moyillik burchagi tangensini hisoblash uchun muammolarni hal qilishni boshlashga tayyor bo'lsangiz. Topshiriqlardan foydalanish buni onlayn qilishingiz mumkin. Har bir topshiriq uchun, masalan, “Tozinaning tananing tezligi va tezlanishi bilan aloqasi” mavzusidagi topshiriqlar uchun biz to'g'ri javob va yechim algoritmini yozdik. Bunday holda, talabalar topshiriqlarni bajarishda mashq qilishlari mumkin. turli darajalar qiyinchiliklar. Agar kerak bo'lsa, mashqni "Sevimlilar" bo'limida saqlash mumkin, shunda keyin siz o'qituvchi bilan qarorni muhokama qilishingiz mumkin.

Funksiyalarning hosilalarini olishni o‘rganing. Hosila ushbu funktsiya grafigida yotgan ma'lum bir nuqtada funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Bunday holda, grafik to'g'ri chiziq yoki egri chiziq bo'lishi mumkin. Ya'ni, hosila vaqtning ma'lum bir nuqtasida funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Eslab qoling umumiy qoidalar ular uchun hosilalar olinadi va shundan keyingina keyingi bosqichga o'ting.

• Maqolani o'qing.
• Eng oddiy hosilalarni qanday olish mumkin, masalan, hosila eksponensial tenglama, tasvirlangan. Keyingi bosqichlarda keltirilgan hisob-kitoblar u erda tasvirlangan usullarga asoslanadi.

Nishabni funktsiyaning hosilasi bo'yicha hisoblash kerak bo'lgan masalalarni farqlashni o'rganing. Vazifalarda har doim ham funktsiyaning qiyaligini yoki hosilasini topish tavsiya etilmaydi. Masalan, sizdan funksiyaning A(x, y) nuqtadagi o‘zgarish tezligini topish so‘ralishi mumkin. Shuningdek, sizdan A(x, y) nuqtadagi tangensning qiyaligini topish talab qilinishi mumkin. Ikkala holatda ham funktsiyaning hosilasini olish kerak.

Nishab koeffitsienti to'g'ri. Ushbu maqolada biz matematikadan imtihonga kiritilgan koordinata tekisligi bilan bog'liq vazifalarni ko'rib chiqamiz. Bular uchun topshiriqlar:

- to'g'ri chiziqdan o'tadigan ikkita nuqta ma'lum bo'lganda uning qiyaligini aniqlash;
- tekislikdagi ikkita chiziqning kesishish nuqtasining abscissa yoki ordinatasini aniqlash.

Nuqtaning abtsissasi va ordinatasi nima ekanligi ushbu bobda tasvirlangan. Unda biz koordinata tekisligi bilan bog'liq bir nechta muammolarni ko'rib chiqdik. Ko'rib chiqilayotgan vazifalar turi uchun nimani tushunish kerak? Bir oz nazariya.

Koordinata tekisligidagi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

qayerda k – bu to'g'ri chiziqning qiyaligi.

Keyingi daqiqa! To'g'ri chiziqning qiyaligi to'g'ri chiziq qiyaligining tangensiga teng. Bu berilgan chiziq va eksa orasidagi burchakoh.

U 0 dan 180 daraja oralig'ida joylashgan.

Ya'ni, to'g'ri chiziq tenglamasini shaklga keltirsak y = kx + b, keyin biz har doim k koeffitsientini (qiyalik koeffitsientini) aniqlashimiz mumkin.

Shuningdek, agar shart asosida to'g'ri chiziq qiyaligining tangensini aniqlay olsak, u holda uning qiyaligini topamiz.

Keyingi nazariy lahza!Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.Formula quyidagicha ko'rinadi:

Muammolarni ko'rib chiqing (o'xshash ochiq bank topshiriqlar):

(–6; 0) va (0; 6) koordinatali nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning qiyaligini toping.

Bu masalada buni yechishning eng oqilona usuli x o'qi va berilgan to'g'ri chiziq orasidagi burchakning tangensini topishdir. Ma'lumki, u burchak koeffitsientiga teng. To'g'ri chiziq va x va y o'qlaridan tashkil topgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing:

Burchakning tangensi to'g'ri uchburchak qarama-qarshi oyoqning qo'shniga nisbati:

* Ikkala oyoq ham oltitaga teng (bu ularning uzunligi).

Albatta, bu vazifa berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini topish formulasi yordamida yechish mumkin. Ammo bu uzoqroq yechim yo'li bo'ladi.

Javob: 1

(5;0) va (0;5) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping.

Bizning nuqtalarimiz (5;0) va (0;5) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Formulani shaklga keltiramiz y = kx + b

Biz burchak koeffitsientini oldik k = – 1.

Javob: -1

To'g'riga a(0;6) va (8;0) koordinatali nuqtalardan o'tadi. To'g'riga b(0;10) koordinatali nuqtadan o'tadi va chiziqqa parallel bo'ladi a b aks bilan ho'kiz.

Ushbu masalada siz to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin a, buning uchun nishabni aniqlang. To'g'ri chiziq b ular parallel bo'lgani uchun qiyaligi bir xil bo'ladi. Keyinchalik, to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin b. Keyin unga y = 0 qiymatini qo'yib, abscissani toping. LEKIN!

Bunday holda, uchburchakning o'xshashlik xususiyatidan foydalanish osonroq.

Berilgan (parallel) koordinata chiziqlari bilan hosil qilingan to'g'ri burchakli uchburchaklar o'xshashdir, ya'ni ularning tegishli tomonlari nisbatlari tengdir.

Kerakli abscissa 40/3.

Javob: 40/3

To'g'riga a(0;8) va (–12;0) koordinatali nuqtalardan o'tadi. To'g'riga b(0; -12) koordinatali nuqtadan o'tadi va chiziqqa parallel bo'ladi a. Chiziqning kesishgan nuqtasining abtsissasini toping b aks bilan ho'kiz.

Ushbu muammoni hal qilishning eng oqilona usuli uchburchaklarning o'xshashlik xususiyatidan foydalanishdir. Ammo biz buni boshqa yo'l bilan hal qilamiz.

Biz chiziq o'tadigan nuqtalarni bilamiz a. To'g'ri chiziq tenglamasini yozishimiz mumkin. Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi formulasi:

Shartga ko'ra, nuqtalar (0;8) va (-12;0) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Keling, eslaylik y = kx + b:

Bu burchakni oldim k = 2/3.

*Burchak koeffitsientini oyoqlari 8 va 12 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchak tangensi orqali topish mumkin edi.

Biz bilamizki, parallel chiziqlar teng qiyaliklarga ega. Demak (0;-12) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Qiymat toping b Biz tenglamaga abscissa va ordinatani qo'yishimiz mumkin:

Shunday qilib, chiziq quyidagicha ko'rinadi:

Endi chiziqning x o'qi bilan kesishish nuqtasining kerakli abtsissasini topish uchun siz y \u003d 0 ni almashtirishingiz kerak:

Javob: 18

O'qning kesishish nuqtasining ordinatasini toping oy va B(10;12) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq va koordinata boshi va A(10;24) nuqtadan o'tuvchi parallel chiziq.

(0;0) va (10;24) koordinatali nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi topilsin.

Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi formulasi:

Bizning nuqtalarimiz (0;0) va (10;24) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Keling, eslaylik y = kx + b

Parallel chiziqlarning qiyaliklari teng. Demak, B (10; 12) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Ma'nosi b B (10; 12) nuqtaning koordinatalarini ushbu tenglamaga almashtirib topamiz:

Biz to'g'ri chiziq tenglamasini oldik:

Ushbu chiziqning o'q bilan kesishgan nuqtasining ordinatasini topish uchun OU topilgan tenglamaga almashtirilishi kerak X= 0:

* Eng oson yechim. Parallel tarjima yordamida biz bu chiziqni eksa bo'ylab pastga siljitamiz OU nuqtaga (10;12). Shishish 12 birlik bilan sodir bo'ladi, ya'ni A(10;24) nuqta B(10;12) nuqtaga, O(0;0) nuqta esa (0;–) nuqtaga "o'tdi". 12). Shunday qilib, hosil bo'lgan chiziq o'qni kesib o'tadi OU nuqtada (0;–12).

Kerakli ordinata -12.

Javob: -12

Tenglama bilan berilgan chiziqning kesishish nuqtasining ordinatasini toping

3x + 2y = 6, eksa bilan Oy.

Berilgan chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU shaklga ega (0; da). Tenglamadagi abtsissani almashtiring X= 0 va ordinatani toping:

Chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining ordinati OU 3 ga teng.

* Tizim hal qilinmoqda:

Javob: 3

Tenglamalar orqali berilgan chiziqlarning kesishish nuqtasining ordinatasini toping

3x + 2y = 6 va y = - x.

Ikkita chiziq berilganda va savol ushbu chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topish haqida ketsa, ushbu tenglamalar tizimi echiladi:

Birinchi tenglamada biz almashtiramiz - X ning o'rniga da:

Ordinata minus olti.

Javob: – 6

Koordinatalari (–2; 0) va (0; 2) boʻlgan nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning qiyaligini toping.

(2;0) va (0;2) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping.

a chiziq koordinatalari (0;4) va (6;0) bo'lgan nuqtalardan o'tadi. b chiziq koordinatalari (0;8) bo'lgan nuqtadan o'tadi va a chiziqqa parallel. b to‘g‘rining x o‘qi bilan kesishgan nuqtasining absissasini toping.

Y o‘qining kesishish nuqtasi va B nuqtadan o‘tuvchi chiziq (6;4) va koordinata boshi va A nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziqning ordinatasini toping.

1. To'g'ri chiziqning qiyaligi to'g'ri chiziq qiyaligining tangensiga teng ekanligini aniq tushunish kerak. Bu sizga ushbu turdagi ko'plab muammolarni hal qilishda yordam beradi.

2. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni topish formulasini tushunish kerak. Uning yordami bilan siz har doim to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin, agar uning ikkita nuqtasining koordinatalari berilgan bo'lsa.

3. Parallel chiziqlarning qiyaliklari teng ekanligini unutmang.

4. Siz tushunganingizdek, ba'zi masalalarda uchburchaklarning o'xshashlik belgisini qo'llash qulay. Muammolar amaliy jihatdan og'zaki hal qilinadi.

5. Ikki chiziq berilgan va ularning kesishish nuqtasining abtsissa yoki ordinatasini topish talab qilinadigan topshiriqlarni grafik usulda yechish mumkin. Ya'ni, ularni koordinata tekisligida (hujayradagi varaqda) qurish va kesishish nuqtasini ingl. * Ammo bu usul har doim ham qo'llanilmaydi.

6. Va oxirgisi. Agar to'g'ri chiziq va uning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalari berilgan bo'lsa, bunday masalalarda hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchakning tangensini topib, burchak koeffitsientini topish qulay. Ushbu uchburchakni tekislikdagi turli xil chiziqlar uchun qanday "ko'rish" sxematik tarzda quyida ko'rsatilgan:

>> Chiziqning egilish burchagi 0 dan 90 darajagacha<<

>> To'g'ri chiziq burchagi 90 dan 180 darajagacha<<

Hammasi shu. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

y \u003d f (x) chizig'i, agar u (x0; f (x0)) koordinatali nuqtadan o'tsa va f "(x0) qiyaligiga ega bo'lsa, x0 nuqtasida rasmda ko'rsatilgan grafikga tegib turadi. Toping. bunday koeffitsient, tangensning xususiyatlarini bilish qiyin emas.

Sizga kerak bo'ladi

• - matematik ma'lumotnoma;
• - oddiy qalam;
• - daftar;
• - transportyor;
• - kompas;
• - qalam.

Ko'rsatma

Agar f‘(x0) qiymati mavjud bo‘lmasa, u holda yo tangens yo‘q, yoki u vertikal ravishda o‘tadi. Bundan kelib chiqqan holda, funksiya hosilasining x0 nuqtada mavjudligi (x0, f(x0)) nuqtada funktsiya grafigi bilan aloqada bo'lgan vertikal bo'lmagan tangensning mavjudligi bilan bog'liq. Bu holda tangensning qiyaligi f "(x0) ga teng bo'ladi. Shunday qilib, hosilaning geometrik ma'nosi aniq bo'ladi - tangens qiyaligini hisoblash.

X1, x2 va x3 nuqtalarda funktsiya grafigi bilan aloqa qiladigan qo'shimcha tangenslarni chizing, shuningdek, bu teglar tomonidan abscissa o'qi bilan hosil bo'lgan burchaklarni belgilang (bunday burchak o'qdan tangensga musbat yo'nalishda hisoblanadi) chiziq). Masalan, burchak, ya'ni a1 o'tkir bo'ladi, ikkinchisi (a2) o'tmas, uchinchisi (a3) ​​nolga teng, chunki tangens chiziq OX o'qiga parallel. Bunda o'tmas burchakning tangensi manfiy, o'tkir burchakning tangensi musbat, tg0 uchun esa natija nolga teng bo'ladi.

Eslatma

Tangens hosil qilgan burchakni to'g'ri aniqlang. Buning uchun transport vositasidan foydalaning.

Foydali maslahat

Ikki qiya chiziq, agar ularning qiyaliklari bir-biriga teng bo'lsa, parallel bo'ladi; perpendikulyar, agar bu tangenslarning qiyaliklarining mahsuloti -1 bo'lsa.

Manbalar:

• Funksiya grafigiga teginish

Kosinus, xuddi sinus kabi, "to'g'ridan-to'g'ri" trigonometrik funktsiyalar deb ataladi. Tangens (kotangens bilan birga) "hosilalar" deb ataladigan boshqa juftlikka qo'shiladi. Ushbu funktsiyalarning bir nechta ta'riflari mavjud bo'lib, ular bir xil qiymatning ma'lum qiymati bilan berilgan kosinusning tangensini topishga imkon beradi.

Ko'rsatma

Qiymatga ko'tarilgan berilgan burchakning kosinusu bo'yicha birlikdan qismni ayiring va natijadan kvadrat ildizni chiqaring - bu burchakdan tangensning kosinasi bilan ifodalangan qiymati bo'ladi: tg (a) \u003d √ (1-1 / (cos (a)) ²) . Shu bilan birga, formulada kosinus kasrning maxrajida ekanligiga e'tibor bering. Nolga bo'linishning mumkin emasligi 90 ° ga teng burchaklar uchun ushbu ifodadan foydalanishni istisno qiladi, shuningdek, bu qiymatdan 180 ° (270 °, 450 °, -90 ° va boshqalar) ko'paytmalari bilan farqlanadi.

Tangensni ma'lum kosinus qiymatidan hisoblashning muqobil usuli mavjud. Boshqa foydalanishda hech qanday cheklov bo'lmasa, foydalanish mumkin. Ushbu usulni amalga oshirish uchun birinchi navbatda ma'lum kosinus qiymatidan burchak qiymatini aniqlang - bu arkkosin funktsiyasi yordamida amalga oshirilishi mumkin. Keyin olingan qiymatning burchagi uchun tangensni hisoblang. Umuman olganda, bu algoritmni quyidagicha yozish mumkin: tg(a)=tg(arccos(cos(a))).

To'g'ri uchburchakning o'tkir burchaklari orqali kosinus va tangens ta'rifidan foydalangan holda yana bir ekzotik variant mavjud. Ushbu ta'rifdagi kosinus ko'rib chiqilayotgan burchakka ulashgan oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbatiga mos keladi. Kosinusning qiymatini bilib, unga mos keladigan ushbu ikki tomonning uzunligini tanlashingiz mumkin. Masalan, cos(a)=0,5 bo'lsa, u holda qo'shni 10 sm, gipotenuzani esa 20 sm ga teng bo'lishi mumkin. Bu erda aniq raqamlar muhim emas - siz bir xil qiymatga ega bo'lgan har qanday qiymat bilan bir xil va to'g'ri olasiz. Keyin, Pifagor teoremasidan foydalanib, etishmayotgan tomonning uzunligini aniqlang - qarama-qarshi oyoq. Bu kvadrat gipotenuzaning va ma'lum oyoqning uzunliklari orasidagi farqning kvadrat ildiziga teng bo'ladi: √(20²-10²)=√300. Ta'rifga ko'ra, tangens qarama-qarshi va qo'shni oyoqlarning uzunliklari nisbatiga mos keladi (√300/10) - uni hisoblang va kosinusning klassik ta'rifi yordamida topilgan tangens qiymatini oling.

Manbalar:

• tangens formula orqali kosinus

Trigonometrik funktsiyalardan biri, ko'pincha tg harflari bilan belgilanadi, garchi tan belgisi ham topilgan. Eng oson yo'li - tangensni sinusning nisbati sifatida ifodalash burchak uning kosinusiga. Bu g'alati davriy va uzluksiz funktsiya bo'lib, uning har bir aylanishi Pi soniga teng va tanaffus nuqtasi bu raqamning yarmidagi belgiga to'g'ri keladi.

Oldingi bobda tekislikda ma'lum bir koordinatalar tizimini tanlash orqali ko'rib chiqilayotgan chiziqning nuqtalarini tavsiflovchi geometrik xossalarni joriy koordinatalar orasidagi tenglama orqali analitik tarzda ifodalashimiz mumkinligi ko'rsatilgan edi. Shunday qilib, biz chiziq tenglamasini olamiz. Ushbu bobda to'g'ri chiziqlar tenglamalari ko'rib chiqiladi.

Dekart koordinatalarida to'g'ri chiziq tenglamasini shakllantirish uchun uning koordinata o'qlariga nisbatan o'rnini aniqlaydigan shartlarni qandaydir tarzda o'rnatish kerak.

Birinchidan, to'g'ri chiziqning tekislikdagi holatini tavsiflovchi kattaliklardan biri bo'lgan to'g'ri chiziqning qiyaligi tushunchasini kiritamiz.

Chiziqning Ox o'qiga og'ish burchagi deb Ox o'qi berilgan chiziqqa to'g'ri keladigan (yoki unga parallel bo'lib chiqadi) aylantirilishi kerak bo'lgan burchak deb ataymiz. Odatdagidek, biz belgini hisobga olgan holda burchakni ko'rib chiqamiz (belgi aylanish yo'nalishi bilan belgilanadi: soat sohasi farqli o'laroq yoki soat yo'nalishi bo'yicha). Ox o'qining 180 ° burchakka qo'shimcha aylanishi uni yana to'g'ri chiziq bilan birlashtirganligi sababli, to'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi noaniq tarzda tanlanishi mumkin (ko'p martagacha).

Bu burchakning tangensi yagona aniqlanadi (chunki burchakni ga o'zgartirish uning tangensini o'zgartirmaydi).

To'g'ri chiziqning x o'qiga moyillik burchagi tangensi to'g'ri chiziqning qiyaligi deyiladi.

Nishab to'g'ri chiziqning yo'nalishini tavsiflaydi (bu erda biz to'g'ri chiziqning ikkita o'zaro qarama-qarshi yo'nalishini farqlamaymiz). Agar chiziqning qiyaligi nolga teng bo'lsa, u holda chiziq x o'qiga parallel bo'ladi. Ijobiy qiyalik bilan to'g'ri chiziqning Ox o'qiga moyillik burchagi keskin bo'ladi (biz bu erda moyillik burchagining eng kichik ijobiy qiymatini ko'rib chiqamiz) (39-rasm); bu holda, qiyalik qanchalik katta bo'lsa, uning Ox o'qiga moyillik burchagi shunchalik katta bo'ladi. Agar qiyalik manfiy bo'lsa, u holda to'g'ri chiziqning x o'qiga qiyshayish burchagi o'tmas bo'ladi (40-rasm). E'tibor bering, x o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq qiyalikka ega emas (burchakning tangensi mavjud emas).