Konusning umumiy sirt maydonini toping. Konusning lateral va to'liq yuzasining maydoni

Biz konusning nima ekanligini bilamiz, keling, uning sirt maydonini topishga harakat qilaylik. Nima uchun bunday muammoni hal qilish kerak? Misol uchun, siz qancha ekanligini tushunishingiz kerak sinov ketadi vafli konusini tayyorlash uchunmi? Yoki qal'aning g'ishtli tomini yotqizish uchun qancha g'isht kerak bo'ladi?

Konusning lateral yuzasini o'lchash oson emas. Ammo xuddi shu shoxni matoga o'ralgan holda tasavvur qiling. Bir parcha matoning maydonini topish uchun uni kesib, stolga yoyish kerak. Biz tekis figurani olamiz, uning maydonini topa olamiz.

Guruch. 1. Konusning generatrix bo'ylab kesmasi

Keling, konus bilan ham xuddi shunday qilaylik. Keling, uning lateral yuzasini har qanday generatrix bo'ylab "kesib" olaylik, masalan, (1-rasmga qarang).

Endi biz yon sirtni tekislikka "echamiz". Biz sektorni olamiz. Bu sektorning markazi konusning yuqori qismidir, sektor radiusi konusning generatrixiga teng va uning yoyi uzunligi konusning asosining aylanasiga to'g'ri keladi. Bunday sektor konusning lateral yuzasining rivojlanishi deb ataladi (2-rasmga qarang).

Guruch. 2. Yon yuzaning rivojlanishi

Guruch. 3. Burchakni radianlarda o‘lchash

Keling, mavjud ma'lumotlarga ko'ra sektorning maydonini topishga harakat qilaylik. Birinchidan, belgini kiritamiz: sektorning yuqori qismidagi burchak radianlarda bo'lsin (3-rasmga qarang).

Biz ko'pincha vazifalarni supurishning yuqori qismida burchakka duch kelamiz. Ayni paytda, keling, savolga javob berishga harakat qilaylik: bu burchak 360 darajadan ortiq bo'lishi mumkin emasmi? Ya'ni, supurish o'z-o'zidan ustun bo'lib qolmaydimi? Albatta yo'q. Keling, buni matematik tarzda isbotlaylik. Supurishning o'zi "bir-biriga yopishib qolsin". Bu shuni anglatadiki, süpürme yoyi uzunligi radiusning atrofidan kattaroqdir. Ammo, yuqorida aytib o'tilganidek, supurish yoyi uzunligi radiusning atrofidir. Va konusning asosining radiusi, albatta, generatrixdan kichik, masalan, to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzadan kichikroq.

Keyin planimetriya kursidan ikkita formulani eslaylik: yoy uzunligi. Soha hududi: .

Bizning holatda, rolni generatrix o'ynaydi , va yoyning uzunligi konusning asosining aylanasiga teng, ya'ni. Bizda ... bor:

Nihoyat, biz olamiz:

Yanal sirt maydoni bilan bir qatorda, maydonni ham topish mumkin to'liq sirt. Buning uchun taglik maydonini lateral sirt maydoniga qo'shing. Lekin asos radiusli aylana bo'lib, uning maydoni formula bo'yicha .

Nihoyat bizda: , silindr asosining radiusi qayerda, generatrix.

Keling, berilgan formulalar bo'yicha bir nechta masalani yechaylik.

Guruch. 4. Istalgan burchak

1-misol. Konusning lateral yuzasining rivojlanishi tepada burchakka ega bo'lgan sektordir. Konusning balandligi 4 sm va asosning radiusi 3 sm bo'lsa, bu burchakni toping (4-rasmga qarang).

Guruch. 5. Konusni hosil qiluvchi to'g'ri burchakli uchburchak

Birinchi harakat bilan, Pifagor teoremasiga ko'ra, biz generatrixni topamiz: 5 sm (5-rasmga qarang). Bundan tashqari, biz buni bilamiz .

2-misol. Konusning eksenel kesimining maydoni , balandligi . Umumiy sirt maydonini toping (6-rasmga qarang).

Maktabda o'rganilgan inqilob jismlari silindr, konus va to'pdir.

Agar matematikadan USE topshirig'ida konusning hajmini yoki sharning maydonini hisoblashingiz kerak bo'lsa, o'zingizni omadli deb hisoblang.

Silindr, konus va sharning hajmi va sirt maydoni uchun formulalarni qo'llang. Ularning barchasi bizning jadvalimizda. Yoddan o'rganing. Stereometriya haqidagi bilimlar shu yerda boshlanadi.

Ba'zan yuqoridan ko'rinishni chizish yaxshi. Yoki, bu muammoda bo'lgani kabi, pastdan.

2. To'g'ri chiziqqa yaqin chegaralangan konusning hajmi necha marta to'rtburchak piramida, bu piramidaga chizilgan konusning hajmidan kattaroqmi?

Hammasi oddiy - biz pastdan ko'rinishni chizamiz. Biz katta doiraning radiusi kichikroqning radiusidan bir necha marta katta ekanligini ko'ramiz. Ikkala konusning balandligi bir xil. Shuning uchun kattaroq konusning hajmi ikki barobar katta bo'ladi.

Yana bitta muhim nuqta. Esda tutingki, B qismidagi vazifalarda FOYDALANISH opsiyalari matematikada javob butun yoki chekli son sifatida yoziladi o'nlik kasr. Shuning uchun, B qismidagi javobingizda hech qanday bo'lmasligi kerak. Raqamning taxminiy qiymatini almashtirish ham shart emas! Buni kamaytirish kerak! Aynan shuning uchun ba'zi vazifalarda vazifa, masalan, quyidagicha tuzilgan: "Tsilindrning lateral yuzasining maydonini bo'lingan holda toping".

Va yana qayerda inqilob jismlarining hajmi va sirt maydoni uchun formulalar qo'llaniladi? Albatta, C2 muammosida (16). Bu haqda sizga ham aytib beramiz.

Bu erda konuslar bilan bog'liq muammolar mavjud, bu holat uning sirt maydoni bilan bog'liq. Xususan, ba'zi muammolarda konusning balandligi yoki uning asosining radiusi ortishi (kamayishi) bilan maydonni o'zgartirish haqida savol tug'iladi. Muammoni hal qilish nazariyasi. Quyidagi vazifalarni ko'rib chiqing:

27135. Konus asosining aylanasi 3, generatrix 2. Konusning lateral yuzasi maydonini toping.

Konusning lateral yuzasining maydoni:

Ma'lumotlarni ulash:

75697. Agar konusning generatriksi 36 marta oshsa va poydevor radiusi o'zgarmas bo'lsa, uning yon yuzasining maydoni necha marta oshadi?

Konusning lateral yuzasining maydoni:

Generatrix 36 baravar ko'paydi. Radius bir xil bo'lib qoladi, ya'ni taglikning atrofi o'zgarmagan.

Shunday qilib, o'zgartirilgan konusning lateral yuzasining maydoni quyidagicha ko'rinadi:

Shunday qilib, u 36 barobar ortadi.

*Tobelik oddiy, shuning uchun bu muammoni og'zaki hal qilish oson.

27137. Agar konusning asosining radiusi 1,5 marta kamaytirilsa, uning yon yuzasining maydoni necha marta kamayadi?

Konusning lateral yuzasining maydoni:

Radius 1,5 baravar kamayadi, ya'ni:

Yon sirt maydoni 1,5 barobarga kamayganligi aniqlandi.

27159. Konusning balandligi 6, generatrix 10. Uning umumiy yuzasi maydonini pi ga bo'lingan holda toping.

Konusning to'liq yuzasi:

Radiusni toping:

Balandlik va generatrix ma'lum, Pifagor teoremasi bo'yicha biz radiusni hisoblaymiz:

Shunday qilib:

Natijani Pi ga bo'ling va javobni yozing.

76299. Konusning umumiy sirt maydoni 108. Konusning poydevoriga parallel ravishda balandlikni yarmiga bo'lgan kesma chizilgan. Kesilgan konusning umumiy sirt maydonini toping.

Bo'lim poydevorga parallel ravishda o'rta balandlikdan o'tadi. Bu kesilgan konusning asosi va generatrisi radiusi asl konusning radiusi va generatrixidan 2 baravar kam bo'lishini anglatadi. Keling, kesilgan konusning sirt maydoni nimaga teng ekanligini yozamiz:

Uni 4 marta olib ketdi kamroq maydon asl nusxaning yuzasi, ya'ni 108:4 = 27.

* Asl va kesilgan konus o'xshash jismlar bo'lganligi sababli, o'xshashlik xususiyatidan ham foydalanish mumkin edi:

27167. Konus asosining radiusi 3 ga, balandligi 4 ga teng. Konusning umumiy sirt maydonini pi ga bo‘lingan holda toping.

Konusning umumiy yuzasi formulasi:

Radius ma'lum, generatrixni topish kerak.

Pifagor teoremasiga ko'ra:

Shunday qilib:

Natijani Pi ga bo'ling va javobni yozing.

Vazifa. Konusning lateral yuzasining maydoni taglik maydonidan to'rt baravar katta. Konusning generatritsasi bilan asos tekisligi orasidagi burchakning kosinusini toping.

Konusning asosining maydoni:

Ya'ni, kosinus quyidagilarga teng bo'ladi:

Javob: 0,25

O'zingiz qaror qiling:

27136. Konusning generatrixini 3 marta oshirsa, uning yon yuzasining maydoni necha marta oshadi?

27160. Konusning lateral yuzasining maydoni taglik maydonidan ikki baravar katta. Konusning generatritsasi bilan asos tekisligi orasidagi burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering. .

27161. Konusning umumiy sirt maydoni 12. Konusning poydevoriga parallel ravishda balandlikni yarmiga bo'lgan kesma chizilgan. Kesilgan konusning umumiy sirt maydonini toping.

Hammasi shu. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr.

*Ijtimoiy tarmoqlar orqali sayt haqidagi ma'lumotlarni do'stlaringizga ulashing.

Konusning sirt maydoni (yoki oddiygina konusning yuzasi) taglik va yon sirt maydonlarining yig'indisiga teng.

Konusning lateral yuzasining maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: S = pR l, bu erda R - konusning asosining radiusi va l- konusning avlodi.

Konusning asosining maydoni pR 2 (doiraning maydoni sifatida) bo'lganligi sababli, konusning to'liq yuzasining maydoni teng bo'ladi. : pR 2 + pR l= pR (R + l).

Konusning lateral yuzasining maydoni uchun formulani olish bunday fikrlash bilan tushuntirilishi mumkin. Chizma konusning lateral yuzasining rivojlanishini ko'rsatsin. AB yoyini mumkin bo'lganlarga ajrating Ko'proq teng qismlarga bo'ling va barcha bo'linish nuqtalarini yoyning markaziga va qo'shnilarini bir-biriga akkordlar bilan bog'lang.

Biz seriyani olamiz teng uchburchaklar. Har bir uchburchakning maydoni Ah / 2, qayerda a- uchburchak asosining uzunligi, a h- uning balandligi.

Barcha uchburchaklar maydonlarining yig'indisi: Ah / 2 n = anh / 2, qayerda n uchburchaklar soni.

Ko'p sonli bo'linishlar bilan uchburchaklar maydonlarining yig'indisi rivojlanish maydoniga, ya'ni konusning lateral yuzasi maydoniga juda yaqin bo'ladi. Uchburchaklar asoslarining yig'indisi, ya'ni. a, AB yoyi uzunligiga, ya'ni konusning asosining aylanasiga juda yaqin bo'ladi. Har bir uchburchakning balandligi yoy radiusiga, ya'ni konusning generatrisiga juda yaqin bo'ladi.

Ushbu miqdorlarning o'lchamlaridagi ozgina farqlarni e'tiborsiz qoldirib, biz konusning lateral yuzasi (S) maydoni uchun formulani olamiz:

S=C l / 2, bu erda C - konusning asosining aylanasi, l- konusning avlodi.

C \u003d 2pR ekanligini bilib, bu erda R - konusning asosi doirasining radiusi, biz quyidagilarni olamiz: S \u003d pR l.

Eslatma. S = C formulasida l / 2, taqribiy emas, aniq tenglik belgisi berilgan, ammo yuqoridagi mulohazalar asosida biz bu tenglikni taxminiy deb hisoblashimiz mumkin. Ammo o'rta maktabda o'rta maktab tengligi isbotlangan

S=C l / 2 aniq, taxminiy emas.

Teorema. Konusning lateral yuzasi taglik aylanasi va generatrixning yarmi mahsulotiga teng.

Keling, bir nechtasini konusga yozamiz (rasm). to'g'ri piramida va harflar bilan belgilang R va l asos perimetri uzunliklarini ifodalovchi raqamlar va bu piramidaning apothemi.

Keyin uning lateral yuzasi 1/2 mahsulot bilan ifodalanadi R l .

Endi asosga chizilgan ko‘pburchakning tomonlari soni cheksiz ortadi, deb faraz qilaylik. Keyin perimetri R asos aylanasining uzunligi C sifatida qabul qilingan chegara va apotemga moyil bo'ladi l uning chegarasi sifatida konusning generatori bo'ladi (chunki DASAK SA - SK ekanligini bildiradi
1 / 2 R l, 1/2 C chegarasiga moyil bo'ladi L. Bu chegara konusning lateral yuzasi qiymati sifatida qabul qilinadi. Konusning lateral yuzasini S harfi bilan belgilab, biz yozishimiz mumkin:

S = 1/2 S L = C 1/2 l

Oqibatlari.
1) C \u003d 2 dan beri π R bo'lsa, konusning lateral yuzasi formula bilan ifodalanadi:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Biz konusning to'liq yuzasini olamiz, agar biz lateral sirtni taglik maydoniga qo'shsak; shuning uchun butun sirtni T bilan belgilab, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Kesilgan konusning lateral yuzasi asoslar va generatrix aylanalari yig'indisining yarmiga teng.

Keling, kesilgan konusga (rasm) qandaydir muntazam yozaylik kesilgan piramida va harflar bilan belgilang r, r 1 va l pastki va yuqori asoslar perimetrlari uzunligini bir xil chiziqli birliklarda ifodalovchi raqamlar va bu piramidaning apothemi.

U holda yozilgan piramidaning lateral yuzasi 1/2 ( p + p 1) l

Yozilgan piramidaning lateral yuzlari sonining cheksiz ko'payishi bilan perimetrlar R va R 1 asoslar doiralarining C va C 1 uzunliklari va apotema sifatida qabul qilingan chegaralarga moyil. l uning chegarasi sifatida kesilgan konusning L generatrixiga ega. Binobarin, chizilgan piramidaning lateral yuzasi qiymati (S + S 1) L ga teng chegaraga intiladi. Bu chegara kesilgan konusning lateral yuzasi qiymati sifatida qabul qilinadi. Kesilgan konusning yon yuzasini S harfi bilan belgilab, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Oqibatlari.
1) Agar R va R 1 pastki va yuqori asoslar doiralarining radiuslarini bildirsa, kesilgan konusning lateral yuzasi quyidagicha bo'ladi:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Agar trapetsiya OO 1 A 1 A bo'lsa (rasm), uning aylanishidan kesilgan konus olinadi, biz chizamiz. o'rta chiziq BC, biz olamiz:

Miloddan avvalgi \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Demak,

S=2 π BC L,

ya'ni kesilgan konusning lateral yuzasi o'rtacha kesma va generatrixning aylanasi mahsulotiga teng.

3) Kesilgan konusning T umumiy yuzasi quyidagicha ifodalanadi:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)