Raqamning kvadrat ildizini chiqarish. Kvadrat ildiz nima

11.10.2019

Kalkulyatorlar paydo bo'lishidan oldin, talabalar va o'qituvchilar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblab chiqdilar. Hisoblashning bir necha usullari mavjud kvadrat ildiz raqamlarni qo'lda. Ulardan ba'zilari faqat taxminiy echimni taklif qiladi, boshqalari aniq javob beradi.

Qadamlar

Asosiy faktorizatsiya

Ildiz sonni kvadrat sonlar bo'lgan omillarga aylantiring. Ildiz raqamiga qarab, siz taxminiy yoki aniq javob olasiz. Kvadrat raqamlar - bu butun kvadrat ildizni olish mumkin bo'lgan raqamlar. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 8 sonining omillari 2 va 4, chunki 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 raqamlari kvadrat sonlar, chunki √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrat omillar omillar bo'lib, ular kvadrat sonlardir. Birinchidan, ildiz sonini kvadrat omillarga ajratishga harakat qiling.

Masalan, 400 ning kvadrat ildizini hisoblang (qo'lda). Avval 400 ni kvadrat omillarga ajratib ko'ring. 400 100 ning ko'paytmasi, ya'ni 25 ga bo'linadi - bu kvadrat raqam. 400 ni 25 ga bo'lish sizga 16 ni beradi. 16 soni ham kvadrat sondir. Shunday qilib, 400 ni 25 va 16 ning kvadrat omillariga, ya'ni 25 x 16 = 400 ga ko'paytirish mumkin.
Buni quyidagicha yozish mumkin: √400 = √(25 x 16).

Ayrim atamalar ko‘paytmasining kvadrat ildizi ko‘paytmasiga teng kvadrat ildizlar har bir haddan, ya'ni √(a x b) = √a x √b. Ushbu qoidadan foydalaning va har bir kvadrat omilning kvadrat ildizini oling va javobni topish uchun natijalarni ko'paytiring.
- Bizning misolimizda 25 va 16 ning kvadrat ildizini oling.
  - √(25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Agar ildiz raqami ikkita kvadrat omilga ta'sir qilmasa (ko'p hollarda shunday bo'ladi), siz aniq javobni butun son shaklida topa olmaysiz. Ammo siz ildiz sonini kvadrat koeffitsientga va oddiy koeffitsientga (butun kvadrat ildizni olib bo'lmaydigan raqam) ajratish orqali muammoni soddalashtirishingiz mumkin. Keyin kvadrat omilning kvadrat ildizini olasiz va oddiy omilning ildizini olasiz.
- Misol uchun, 147 sonining kvadrat ildizini hisoblang. 147 sonini ikkita kvadrat koeffitsientga ajratib bo'lmaydi, lekin uni quyidagi ko'rsatkichlarga ajratish mumkin: 49 va 3. Masalani quyidagi tarzda yeching:
  - = √(49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Agar kerak bo'lsa, ildizning qiymatini baholang. Endi siz ildizning qiymatini (taxminiy qiymatni toping) uni ildiz raqamiga eng yaqin (son chizig'ining ikkala tomonida) bo'lgan kvadrat raqamlarning ildizlari qiymatlari bilan taqqoslash orqali baholashingiz mumkin. sifatida ildiz qiymatini olasiz o'nlik kasr, bu ildiz belgisi orqasidagi raqamga ko'paytirilishi kerak.
- Keling, misolimizga qaytaylik. Ildiz raqami 3. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 1 (√1 = 1) va 4 (√4 = 2) raqamlaridir. Shunday qilib, √3 qiymati 1 va 2 orasida yotadi. √3 qiymati 1 ga qaraganda 2 ga yaqinroq bo'lgani uchun bizning taxminimiz: √3 = 1,7. Biz bu qiymatni ildiz belgisidagi raqamga ko'paytiramiz: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Agar siz kalkulyatorda hisob-kitob qilsangiz, siz 12.13 ni olasiz, bu bizning javobimizga juda yaqin.
  - Bu usul katta raqamlar bilan ham ishlaydi. Masalan, √35 ni ko'rib chiqing. Ildiz raqami 35. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 25 (√25 = 5) va 36 (√36 = 6) raqamlaridir. Shunday qilib, √35 qiymati 5 va 6 oralig'ida yotadi. √35 qiymati 5 ga qaraganda 6 ga ancha yaqin bo'lgani uchun (chunki 35 36 dan atigi 1 ta kichik), biz √35 dan bir oz kichik ekanligini aytishimiz mumkin. 6. Kalkulyator yordamida tekshirish bizga 5.92 javobini beradi - biz haq edik.
Yana bir usul - ildiz sonini tub omillarga ajratish. Bosh omillar - bu faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlar. yozib qo'ying asosiy omillar qatorga qo'ying va bir xil omillar juftlarini toping. Bunday omillarni ildiz belgisidan chiqarish mumkin.
- Masalan, 45 ning kvadrat ildizini hisoblang. Biz ildiz sonini tub omillarga ajratamiz: 45 \u003d 9 x 5 va 9 \u003d 3 x 3. Shunday qilib, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 ni ildiz belgisidan chiqarish mumkin: √45 = 3√5. Endi biz √5 ni taxmin qilishimiz mumkin.
- Boshqa misolni ko'rib chiqing: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sizda uchta ko'paytiruvchi 2 bor; ulardan bir nechtasini oling va ularni ildiz belgisidan olib tashlang.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Endi biz √2 va √11 ni baholab, taxminiy javobni topishimiz mumkin.
Kvadrat ildizni qo'lda hisoblash

Ustun bo'linishidan foydalanish
1. Bu usul uzoq bo'linishga o'xshash jarayonni o'z ichiga oladi va aniq javob beradi. Birinchidan, varaqni ikkiga bo'ladigan vertikal chiziqni torting, so'ngra gorizontal chiziqni o'ngga va varaqning yuqori chetidan bir oz pastga vertikal chiziqqa torting. Endi o'nli kasrdan keyin kasr qismidan boshlab, ildiz sonini juft raqamlarga bo'ling. Demak, 79520789182.47897 raqami “7 95 20 78 91 82, 47 89 70” deb yoziladi.
  - Masalan, 780.14 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ikki chiziq chizing (rasmda ko'rsatilgandek) va berilgan raqamni yuqori chap tomonda "7 80, 14" shaklida yozing. Chapdagi birinchi raqam juftlashtirilmagan raqam bo'lishi odatiy holdir. Javob (berilgan raqamning ildizi) yuqori o'ng tomonda yoziladi.
2. Chapdan raqamlarning birinchi juftligi (yoki bitta raqam) berilgan bo‘lsa, kvadrati ko‘rib chiqilayotgan sonlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) kichik yoki teng bo‘lgan eng katta n butun sonni toping. Boshqacha qilib aytganda, chapdan birinchi son juftiga (yoki bitta raqamga) eng yaqin, lekin undan kichik kvadrat sonni toping va shu kvadrat sonning kvadrat ildizini oling; n raqamini olasiz. Topilgan n ni yuqori o'ng tomonga yozing va pastki o'ng tomonga n kvadratini yozing.
  - Bizning holatda, chapdagi birinchi raqam 7 raqami bo'ladi. Keyingi, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Chapdagi birinchi raqamlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) hozirgina topilgan n sonining kvadratini ayiring. Hisoblash natijasini ayirma ostiga yozing (n sonining kvadrati).
  - Bizning misolimizda 7 dan 4 ni ayirib, 3 ni oling.
4. Ikkinchi juft raqamlarni olib tashlang va oldingi bosqichda olingan qiymat yoniga yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki baravar oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shib yozing.
  - Bizning misolimizda raqamlarning ikkinchi juftligi "80" dir. 3 dan keyin "80" yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga ko'ra 4 beradi. Pastki o'ngdan "4_×_=" yozing.
5. O'ng tarafdagi bo'sh joylarni to'ldiring.
  - Bizning holatda, agar chiziq o'rniga biz 8 raqamini qo'ysak, u holda 48 x 8 \u003d 384, bu 380 dan ortiq. Shuning uchun 8 juda katta raqam, lekin 7 yaxshi. Chiziqlar o'rniga 7 ni yozing va oling: 47 x 7 \u003d 329. Yuqori o'ngdan 7 ni yozing - bu 780.14 raqamining kerakli kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.
6. Olingan raqamni chapdagi joriy raqamdan ayiring. Oldingi bosqichdan olingan natijani chapdagi joriy raqamning ostiga yozing, farqni toping va ayirilgan raqamning ostiga yozing.
  - Bizning misolimizda 380 dan 329 ni ayirib oling, bu 51 ga teng.
7. 4-bosqichni takrorlang. Agar buzilgan raqamlar juftligi asl sonning kasr qismi bo'lsa, u holda butun son va kasr qismlarini ajratuvchi (vergul) yuqori o'ngdan kerakli kvadrat ildizga qo'ying. Chap tomonda keyingi raqamlar juftini pastga olib boring. Yuqori o'ng tarafdagi raqamni ikki baravar oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shib yozing.
  - Bizning misolimizda, buzib tashlash kerak bo'lgan keyingi juft raqamlar 780.14 raqamining kasr qismi bo'ladi, shuning uchun yuqori o'ngdan kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlarini ajratuvchisini qo'ying. 14 ni buzing va pastki chap tomonga yozing. Yuqori o'ng tomonning ikki barobari (27) 54 ga teng, shuning uchun pastki o'ngga "54_×_=" yozing.
8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. O'ngdagi chiziqchalar o'rniga eng katta raqamni toping (chiziqlar o'rniga siz bir xil raqamni almashtirishingiz kerak), shunda ko'paytirish natijasi chapdagi joriy raqamdan kichik yoki teng bo'ladi.
  - Bizning misolimizda 549 x 9 = 4941, bu chapdagi joriy raqamdan (5114) kamroq. Yuqori o'ng tomonga 9 ni yozing va chapdagi joriy raqamdan ko'paytirish natijasini ayiring: 5114 - 4941 = 173.
9. Kvadrat ildiz uchun koʻproq oʻnli kasrlarni topish kerak boʻlsa, chap tarafdagi joriy raqam yoniga bir juft nol yozing va 4, 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Kerakli javobning aniqligini olmaguningizcha amallarni takrorlang (soni kasrlar).
Jarayonni tushunish
1. S sonining birinchi juft Sa raqamlarini ko'rib chiqing (misolimizda Sa = 7) va uning kvadrat ildizini toping. Bunday holda, kvadrat ildizning qidirilayotgan qiymatining birinchi A raqami kvadrati S a dan kichik yoki teng bo'lgan raqam bo'ladi (ya'ni biz A² tengsizligini qanoatlantiradigan shunday A ni qidiramiz. ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Aytaylik, 88962 ni 7 ga bo'lish kerak; bu erda birinchi qadam shunga o'xshash bo'ladi: biz 88962 (8) bo'linadigan sonning birinchi raqamini ko'rib chiqamiz va 7 ga ko'paytirilganda 8 dan kichik yoki teng qiymat beradigan eng katta raqamni tanlaymiz. Ya'ni, biz qidiramiz. tengsizlik rost bo'lgan d soni: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Maydonini hisoblashingiz kerak bo'lgan kvadratni aqlan tasavvur qiling. Siz L ni qidiryapsiz, ya'ni maydoni S bo'lgan kvadrat tomonining uzunligi. A, B, C - L sonidagi raqamlar. Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 10A + B \u003d L (ikkitasi uchun) -raqamli raqam) yoki 100A + 10B + C \u003d L (uch xonali raqam uchun) va boshqalar.
  - Bo'lsin (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Esda tutingki, 10A+B B birlarni, A esa o'nlarni bildiruvchi sondir. Masalan, agar A=1 va B=2 bo'lsa, 10A+B 12 soniga teng bo'ladi. (10A+B)² butun kvadratning maydoni, 100A² katta ichki kvadratning maydoni, B² kichik ichki kvadratning maydoni, 10A×B ikkita to'rtburchakning har birining maydoni. Ta'riflangan raqamlarning maydonlarini qo'shib, siz asl kvadratning maydonini topasiz.

1-fakt.
\(\ bullet\) Bir oz olmang manfiy raqam\(a\) (ya'ni \(a\geqslant 0\) ). Keyin (arifmetik) kvadrat ildiz\(a\) raqamidan shunday manfiy bo'lmagan \(b\) son chaqiriladi, uning kvadratiga aylanganda \(a\) raqamini olamiz: \[\sqrt a=b\quad \matn(bir xil )\quad a=b^2\] Ta'rifdan kelib chiqadiki \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ushbu cheklovlar kvadrat ildizning mavjudligi uchun muhim shartdir va esda tutish kerak!
Eslatib o'tamiz, har qanday raqam kvadratga aylantirilganda manfiy bo'lmagan natija beradi. Ya'ni, \(100^2=10000\geqslant 0\) va \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\ bullet\) \(\sqrt(25)\) nima? Biz bilamizki, \(5^2=25\) va \((-5)^2=25\) . Ta'rif bo'yicha biz manfiy bo'lmagan sonni topishimiz kerak, \(-5\) mos emas, shuning uchun \(\sqrt(25)=5\) (chunki \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) qiymatini topish \(a\) sonining kvadrat ildizini olish, \(a\) soni esa ildiz ifodasi deb ataladi.
\(\bullet\) Ta'rifga asoslanib, \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) va h.k. ifodalar. mantiqsiz.

2-fakt.
Tez hisob-kitoblar uchun \(1\) dan \(20\) gacha bo'lgan natural sonlar kvadratlari jadvalini o'rganish foydali bo'ladi: \[\begin(massiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiv)\]

3-fakt.
Kvadrat ildizlar bilan nima qilish mumkin?
\(\ o'q \) Kvadrat ildizlarning yig'indisi yoki farqi yig'indi yoki farqning kvadrat ildiziga TENG EMAS, ya'ni. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Shunday qilib, agar siz hisoblashingiz kerak bo'lsa, masalan, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , unda dastlab \(\sqrt(25)\) va \(\sqrt) qiymatlarini topishingiz kerak. (49)\ ) va keyin ularni qo'shing. Demak, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Agar \(\sqrt a+\sqrt b\) qo'shilganda \(\sqrt a\) yoki \(\sqrt b\) qiymatlari topilmasa, bunday ifoda keyingi o'zgartirilmaydi va avvalgidek qoladi. Masalan, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) yig'indisida biz \(\sqrt(49)\) ni topishimiz mumkin - bu \(7\) , lekin \(\sqrt 2\) bo'lishi mumkin emas. har qanday tarzda aylantirilgan, Shuning uchun \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Bundan tashqari, bu iborani, afsuski, hech qanday tarzda soddalashtirish mumkin emas.\(\ bullet\) Kvadrat ildizlarning mahsuloti/kvosi ko'paytma/ko'rsatkichning kvadrat ildiziga teng, ya'ni. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (tenglikning ikkala qismi ham mantiqiy bo'lishi sharti bilan)
Misol: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu xossalardan foydalanib, ning kvadrat ildizlarini topish qulay katta raqamlar faktoring orqali.
Bir misolni ko'rib chiqing. \(\sqrt(44100)\) ni toping. Chunki \(44100:100=441\) , keyin \(44100=100\cdot 441\) . Bo'linish mezoniga ko'ra \(441\) soni \(9\) ga bo'linadi (chunki uning raqamlari yig'indisi 9 va 9 ga bo'linadi), shuning uchun \(441:9=49\) , ya'ni \(441=9\ cdot 49\) .
Shunday qilib, biz oldik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Keling, \(5\sqrt2\) (\(5\cdot \sqrt2\) ifodasining qisqartmasi) ifodasi misolida kvadrat ildiz belgisi ostida raqamlarni qanday kiritishni ko'rsatamiz. Chunki \(5=\sqrt(25)\) , keyin \ Shuni ham yodda tutingki, masalan,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Nega bunday? Keling, 1-misol bilan tushuntiramiz). Siz allaqachon tushunganingizdek, biz \(\sqrt2\) raqamini qandaydir tarzda aylantira olmaymiz. Tasavvur qiling-a, \(\sqrt2\) qandaydir raqam \(a\) . Shunga ko'ra, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifodasi \(a+3a\)dan boshqa narsa emas (bir raqam \(a\) va yana uchta bir xil raqamlar \(a\) ). Va biz bilamizki, bu to'rtta shunday raqamga teng \(a\) , ya'ni \(4\sqrt2\) .

4-fakt.
\(\bullet\) Ba'zi sonning qiymatini topishda ildiz (radikal)ning \(\sqrt () \ \) belgisidan xalos bo'lishning iloji bo'lmasa, "ildizni ajratib bo'lmaydi" deb ko'pincha aytiladi. Masalan, \(16\) raqamini ildizga kiritishingiz mumkin, chunki \(16=4^2\) , shuning uchun \(\sqrt(16)=4\) . Ammo \(3\) raqamidan ildizni ajratib olish, ya'ni \(\sqrt3\) ni topish mumkin emas, chunki kvadrati \(3\) ni beradigan raqam yo'q.
Bunday raqamlar (yoki bunday raqamlar bilan ifodalangan) irratsionaldir. Masalan, raqamlar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) va h.k. mantiqsizdir.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) va hokazo.
\(\bullet\) E'tibor bering, har qanday raqam ratsional yoki irratsional bo'ladi. Va birgalikda hammasi oqilona va hammasi irratsional sonlar nomli to‘plam hosil qiladi haqiqiy (haqiqiy) raqamlar to'plami. Bu to'plam \(\mathbb(R)\) harfi bilan belgilanadi.
Bu shuni anglatadiki, barcha raqamlar mavjud bu daqiqa Biz bilamizki, haqiqiy sonlar deyiladi.

5-fakt.
\(\o'q\) Haqiqiy sonning moduli \(a\) - bu \(a\) nuqtadan \(0\) gacha bo'lgan masofaga teng \(|a|\) manfiy bo'lmagan son. chiziq. Masalan, \(|3|\) va \(|-3|\) 3 ga teng, chunki \(3\) va \(-3\) nuqtalardan \(0\) gacha boʻlgan masofalar bir xil va \(3 \) ga teng.
\(\bullet\) Agar \(a\) manfiy bo'lmagan son bo'lsa, \(|a|=a\) .
Misol: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Agar \(a\) manfiy son bo'lsa, \(|a|=-a\) .
Misol: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ularning ta'kidlashicha, manfiy raqamlar uchun modul minusni, musbat raqamlarni, shuningdek \(0\) raqamini "eydi", modul o'zgarishsiz qoladi.
LEKIN bu qoida faqat raqamlar uchun amal qiladi. Agar sizda modul belgisi ostida noma'lum \(x\) (yoki boshqa noma'lum) mavjud bo'lsa, masalan, \(|x|\) , bu haqda biz uning ijobiy, nolga teng yoki salbiy ekanligini bilmaymiz, keyin moduldan qutula olmaymiz. Bunday holda, bu ifoda shunday bo'lib qoladi: \(|x|\) . \(\ bullet\) Quyidagi formulalar amal qiladi: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( taqdim ) a\geqslant 0\] Ko'pincha quyidagi xatoga yo'l qo'yiladi: ular \(\sqrt(a^2)\) va \((\sqrt a)^2\) bir xil ekanligini aytishadi. Bu faqat \(a\) musbat son yoki nol bo'lganda to'g'ri bo'ladi. Ammo agar \(a\) manfiy son bo'lsa, bu to'g'ri emas. Bunday misolni ko'rib chiqishning o'zi kifoya. \(a\) o'rniga \(-1\) raqamini olaylik. Keyin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , lekin \((\sqrt (-1))^2\) ifodasi umuman mavjud emas (chunki u imkonsiz ildiz belgisi ostida salbiy raqamlarni qo'ying!).
Shuning uchun e'tiboringizni \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) ga teng emasligiga qaratamiz! Misol: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\o'ng)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), chunki \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) dan beri \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifodasi juft sonni bildiradi)
Ya'ni, qaysidir darajada bo'lgan sondan ildiz ajratib olinganda, bu daraja ikki barobar kamayadi.
Misol:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (e'tibor bering, agar modul o'rnatilmagan bo'lsa, u holda raqamning ildizi \(-25 ga teng bo'ladi. \) ; lekin biz eslaymizki, ildizning ta'rifiga ko'ra, bu bo'lishi mumkin emas: ildizni ajratib olishda biz har doim ijobiy raqam yoki nol olishimiz kerak)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (chunki juft darajali har qanday son manfiy emas)

6-fakt.
Ikki kvadrat ildizni qanday solishtirish mumkin?
\(\ bullet\) Kvadrat ildizlar uchun to'g'ri: agar \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aMisol:
1) \(\sqrt(50)\) va \(6\sqrt2\) ni solishtiring. Birinchidan, biz ikkinchi ifodani aylantiramiz \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Shunday qilib, \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) qaysi butun sonlar orasida joylashgan?
Chunki \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) va \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) va \(0,5\) ni solishtiring. Faraz qilaylik \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((har ikki tomonga bittasini qo'shing))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \to'rtta\matn((kvadrat ikkala qism))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(hizalangan)\] Biz noto'g'ri tengsizlikni olganimizni ko'ramiz. Shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri edi va \(\sqrt 2-1<0,5\) .
E'tibor bering, tengsizlikning ikkala tomoniga ma'lum bir son qo'shilishi uning belgisiga ta'sir qilmaydi. Tengsizlikning ikkala qismini musbat songa ko'paytirish/bo'lish ham uning belgisiga ta'sir qilmaydi, lekin manfiy songa ko'paytirish/bo'lish tengsizlik belgisini teskari qiladi!
Tenglama/tengsizlikning ikkala tomonini FAQAT ikkala tomoni manfiy bo'lmagan taqdirdagina kvadratlash mumkin. Masalan, oldingi misoldagi tengsizlikda siz ikkala tomonni kvadratga olishingiz mumkin, tengsizlikda \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\ bullet\) Shuni yodda tuting \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2\taxminan 1,4\\ &\sqrt 3\taxminan 1,7 \end(hizalangan)\] Bu raqamlarning taxminiy ma'nosini bilish raqamlarni solishtirishda sizga yordam beradi! \(\ o'q \) Kvadratchalar jadvalida mavjud bo'lmagan katta sondan ildizni (agar u ajratilgan bo'lsa) ajratib olish uchun avval qaysi "yuzliklar", keyin qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlashingiz kerak. va keyin bu raqamning oxirgi raqamini aniqlang. Keling, misol bilan qanday ishlashini ko'rsatamiz.
\(\sqrt(28224)\) oling. Biz bilamizki, \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) va hokazo. E'tibor bering, \(28224\) \(10\,000\) va \(40\,000\) orasida. Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) \(100\) va \(200\) orasida.
Endi bizning raqamimiz qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlaymiz (masalan, \(120\) va \(130\) ). Kvadratlar jadvalidan shuni ham bilamizki, \(11^2=121\) , \(12^2=144\) va boshqalar, keyin \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Shunday qilib, biz \(28224\) \(160^2\) va \(170^2\) orasida ekanligini ko'ramiz. Shuning uchun \(\sqrt(28224)\) soni \(160\) va \(170\) orasida.
Keling, oxirgi raqamni aniqlashga harakat qilaylik. Keling, kvadratlashtirishda qaysi bir xonali raqamlar oxirida berishini eslaylik \ (4 \) ? Bular \(2^2\) va \(8^2\) . Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) 2 yoki 8 bilan tugaydi. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. \(162^2\) va \(168^2\) ni toping:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Demak, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matematikadan imtihonni adekvat hal qilish uchun, birinchi navbatda, ko'plab teoremalar, formulalar, algoritmlar va boshqalarni kiritadigan nazariy materialni o'rganish kerak.Bir qarashda, bu juda oddiydek tuyulishi mumkin. Biroq, matematikadan Yagona davlat imtihonining nazariyasi har qanday darajadagi tayyorgarlikka ega bo'lgan talabalar uchun oson va tushunarli tarzda taqdim etiladigan manbani topish, aslida, juda qiyin vazifadir. Maktab darsliklarini har doim ham qo'lda ushlab turish mumkin emas. Va matematikadan imtihon uchun asosiy formulalarni topish hatto Internetda ham qiyin bo'lishi mumkin.

Nega faqat imtihon topshirganlar uchun emas, balki matematikada nazariyani o'rganish juda muhim?

Chunki u sizning dunyoqarashingizni kengaytiradi. Matematika bo'yicha nazariy materialni o'rganish dunyoni bilish bilan bog'liq keng ko'lamli savollarga javob olishni istagan har bir kishi uchun foydalidir. Tabiatdagi hamma narsa tartibli va aniq mantiqqa ega. Aynan shu narsa fanda o'z aksini topadi, bu orqali dunyoni tushunish mumkin.
Chunki u aqlni rivojlantiradi. Matematikadan imtihon uchun ma'lumotnomalarni o'rganish, shuningdek, turli muammolarni hal qilish, inson mantiqiy fikrlash va fikr yuritishni, fikrlarni to'g'ri va aniq shakllantirishni o'rganadi. U tahlil qilish, umumlashtirish, xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantiradi.

Sizni o'quv materiallarini tizimlashtirish va taqdim etishga bo'lgan yondashuvimizning barcha afzalliklarini shaxsan baholashga taklif qilamiz.

Ildizni qanday olish kerak raqamdan. Ushbu maqolada biz to'rt va besh xonali raqamlarning kvadrat ildizini qanday olishni o'rganamiz.

Misol tariqasida 1936 yil kvadrat ildizini olaylik.

Demak, .

1936 yildagi oxirgi raqam 6. 4 va 6 ning kvadrati 6 bilan tugaydi. Shuning uchun 1936 44 yoki 46 ning kvadrati bo'lishi mumkin. Buni ko'paytirish yordamida tekshirish kerak.

Ma'nosi,

15129 sonining kvadrat ildizini chiqaramiz.

Demak, .

15129 ning oxirgi raqami 9. 9 soni 3 va 7 ning kvadrati bilan tugaydi. Shuning uchun 15129 123 yoki 127 ning kvadrati bo'lishi mumkin. Ko'paytirish bilan tekshiramiz.

Ma'nosi,

Qanday ildiz otish - video

Va endi men sizga Anna Denisovaning videosini tomosha qilishni taklif qilaman - "Ildizni qanday olish kerak ", sayt muallifi" oddiy fizika", unda u kvadrat va kub ildizlarini kalkulyatorsiz qanday ajratib olishni tushuntiradi.

Videoda ildizlarni olishning bir necha usullari muhokama qilinadi:

1. Kvadrat ildizni chiqarishning eng oson usuli.

2. Yig‘indining kvadrati yordamida moslashtirish.

3. Bobil usuli.

4. Ustundagi kvadrat ildizni ajratib olish usuli.

5. Kub ildizini olishning tezkor usuli.

6. Ustundagi kub ildizini ajratib olish usuli.

Ildizni ajratib olish darajaga ko'tarishning teskari amalidir. Ya'ni, X sonining ildizini ajratib, biz kvadratga teng bo'lgan X sonini beradigan raqamni olamiz.

Ildizni ajratib olish juda oddiy operatsiya. Kvadratchalar jadvali ekstraktsiya ishini osonlashtirishi mumkin. Chunki barcha kvadrat va ildizlarni yoddan eslab qolish mumkin emas va raqamlar katta bo'lishi mumkin.

Raqamdan ildizni ajratib olish

Raqamning kvadrat ildizini chiqarish oson. Bundan tashqari, bu darhol emas, balki asta-sekin amalga oshirilishi mumkin. Masalan, √256 ifodasini oling. Dastlab, bilmagan odamga darhol javob berish qiyin. Keyin qadamlarni qo'yamiz. Birinchidan, biz faqat 4 raqamiga bo'linamiz, undan tanlangan kvadratni ildiz sifatida chiqaramiz.

Durang: √(64 4), u holda u 2√64 ga ekvivalent bo'ladi. Va siz bilganingizdek, ko'paytirish jadvaliga ko'ra 64 = 8 8. Javob 2*8=16 bo‘ladi.

Raqamlarni tez va toʻgʻri qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlish, kvadratchalar va hatto ildiz olish usullarini oʻrganish uchun “Aqliy hisobni tezlashtiring, aqliy arifmetika emas” kursiga yoziling. 30 kun ichida siz arifmetik amallarni soddalashtirish uchun oson fokuslardan qanday foydalanishni o'rganasiz. Har bir darsda yangi texnikalar, aniq misollar va foydali vazifalar mavjud.

Murakkab ildiz chiqarish

Kvadrat ildizni manfiy sonlardan hisoblab bo'lmaydi, chunki har qanday sonning kvadrati musbat sondir!

Kompleks son - bu kvadrati -1 bo'lgan i son. Ya'ni i2=-1.

Matematikada -1 raqamining ildizini olish orqali olinadigan raqam mavjud.

Ya'ni, salbiy sonning ildizini hisoblash mumkin, lekin bu allaqachon maktabga emas, balki oliy matematikaga tegishli.

Bunday ildiz olish misolini ko'rib chiqing: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Root kalkulyator onlayn

Kalkulyatorimiz yordamida siz kvadrat ildizdan raqamni chiqarishni hisoblashingiz mumkin:

Ildizni ajratib olish operatsiyasini o'z ichiga olgan ifodalarni aylantirish

Radikal iboralarni o'zgartirishning mohiyati radikal sonni oddiyroqlarga ajratish, undan ildiz olish mumkin. Masalan, 4, 9, 25 va boshqalar.

Misol keltiramiz, √625. Radikal ifodani 5 raqamiga ajratamiz. Biz √(125) olamiz 5), biz operatsiyani takrorlaymiz √(25 25), lekin biz 25 ning 52 ekanligini bilamiz. Demak, javob 5*5=25.

Ammo bu usul bilan ildizni hisoblab bo'lmaydigan raqamlar mavjud va siz shunchaki javobni bilishingiz yoki qo'lda kvadratchalar jadvaliga ega bo'lishingiz kerak.

√289=√(17*17)=17

Natija

Biz matematikani yaxshiroq tushunish uchun aysbergning faqat uchini ko'rib chiqdik - kursimizga yoziling: Mental arifmetikani tezlashtiring - aqliy arifmetika emas.

Kursdan siz nafaqat soddalashtirilgan va tez ko'paytirish, qo'shish, ko'paytirish, bo'lish, foizlarni hisoblash uchun o'nlab fokuslarni o'rganasiz, balki ularni maxsus topshiriqlar va o'quv o'yinlarida ham ishlab chiqasiz! Aqliy hisoblash, shuningdek, qiziqarli muammolarni hal qilishda faol o'qitilgan juda ko'p e'tibor va konsentratsiyani talab qiladi.

Inson o'zini anglab, o'zini dunyoning avtonom birligi sifatida ko'rsata boshlaganida matematika tug'ilgan. Sizni o'rab turgan narsalarni o'lchash, taqqoslash, hisoblash istagi bizning kunlarimizdagi fundamental fanlardan biri hisoblanadi. Avvaliga bular boshlang'ich matematikaning zarralari bo'lib, bu raqamlarni ularning fizik ifodalari bilan bog'lash imkonini berdi, keyinchalik xulosalar faqat nazariy (mavhumligi sababli) taqdim etila boshlandi, ammo bir muncha vaqt o'tgach, bir olim aytganidek, " matematika murakkablik cho'qqisiga barcha raqamlar erishganida erishdi." "Kvadrat ildiz" tushunchasi hisob-kitoblar tekisligidan tashqariga chiqib, empirik ma'lumotlar bilan osongina qo'llab-quvvatlanishi mumkin bo'lgan davrda paydo bo'ldi.

Hammasi qanday boshlandi

Hozirgi vaqtda √ sifatida belgilangan ildiz haqida birinchi eslatma zamonaviy arifmetikaga asos solgan Bobil matematiklarining asarlarida qayd etilgan. Albatta, ular hozirgi shaklga biroz o'xshardi - o'sha yillar olimlari birinchi marta katta hajmli planshetlardan foydalanganlar. Ammo miloddan avvalgi II ming yillikda. e. ular kvadrat ildizni qanday olish kerakligini ko'rsatadigan taxminiy hisoblash formulasini o'ylab topishdi. Quyidagi fotosuratda Bobil olimlari √2 chiqish jarayonini o'yib chizgan tosh ko'rsatilgan va u shunchalik to'g'ri bo'lib chiqdiki, javobdagi nomuvofiqlik faqat o'ninchi kasrda topilgan.

Bundan tashqari, agar boshqa ikkitasi ma'lum bo'lsa, uchburchakning tomonini topish kerak bo'lsa, ildiz ishlatilgan. Xo'sh, kvadrat tenglamalarni yechishda, ildizni ajratib olishdan qutulib bo'lmaydi.

Bobil asarlari bilan bir qatorda maqolaning ob'ekti Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" asarida ham o'rganilgan va qadimgi yunonlar ildizi qoldiqsiz olinmagan har qanday son irratsional natija beradi degan xulosaga kelishgan. .

Bu atamaning kelib chiqishi raqamning arabcha ifodalanishi bilan bog'liq: qadimgi olimlar ixtiyoriy sonning kvadrati o'simlik kabi ildizdan o'sadi, deb hisoblashgan. Lotin tilida bu so'z radixga o'xshaydi (naqshni kuzatish mumkin - "ildiz" semantik yukiga ega bo'lgan hamma narsa undosh bo'ladi, u turp yoki siyatik).

Keyingi avlod olimlari bu fikrni qabul qilib, uni Rx deb belgilashdi. Misol uchun, XV asrda kvadrat ildiz ixtiyoriy a sonidan olinganligini ko'rsatish uchun R 2 a ni yozishgan. Zamonaviy qiyofaga tanish bo'lgan √ belgisi faqat 17-asrda Rene Dekart tufayli paydo bo'lgan.

Bizning kunlarimiz

Matematik jihatdan y ning kvadrat ildizi kvadrati y bo'lgan z sonidir. Boshqacha aytganda, z 2 =y √y=z ga ekvivalentdir. Biroq, bu ta'rif faqat arifmetik ildiz uchun tegishli, chunki u ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, √y=z, bu erda z 0 dan katta yoki teng.

Umuman olganda, algebraik ildizni aniqlash uchun amal qiladi, ifodaning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, z 2 =y va (-z) 2 =y bo'lganligi sababli bizda: √y=±z yoki √y=|z|.

Matematikaga bo'lgan mehr-muhabbat ilm-fan rivoji bilan ortganligi sababli, unga bo'lgan mehrning quruq hisob-kitoblarda ifodalanmaydigan turli ko'rinishlari mavjud. Masalan, Pi kuni kabi qiziqarli voqealar bilan bir qatorda kvadrat ildiz bayramlari ham nishonlanadi. Ular yuz yil ichida to'qqiz marta nishonlanadi va quyidagi tamoyilga muvofiq belgilanadi: kun va oyni tartib bilan bildiruvchi raqamlar yilning kvadrat ildizi bo'lishi kerak. Shunday qilib, keyingi safar ushbu bayram 2016 yil 4 aprelda nishonlanadi.

R maydonidagi kvadrat ildizning xossalari

Deyarli barcha matematik ifodalar geometrik asosga ega, bu taqdir o'tmadi va √y maydoni y bo'lgan kvadratning tomoni sifatida belgilanadi.

Raqamning ildizini qanday topish mumkin?

Bir nechta hisoblash algoritmlari mavjud. Eng oddiy, ammo ayni paytda juda og'ir, odatiy arifmetik hisob-kitob bo'lib, u quyidagicha:

1) bizga ildizi kerak bo'lgan sondan toq raqamlar navbatma-navbat ayiriladi - natijaning qolgan qismi ayirilgandan kam yoki hatto nolga teng bo'lguncha. Harakatlar soni oxir-oqibat kerakli raqamga aylanadi. Masalan, 25 ning kvadrat ildizini hisoblash:

Keyingi toq raqam 11, qolgani: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bunday holatlar uchun Teylor seriyasining kengayishi mavjud:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , bu yerda n 0 dan qiymatlarni oladi

+∞ va |y|≤1.

z=√y funksiyaning grafik tasviri

R haqiqiy sonlar maydonida z=√y elementar funksiyani ko'rib chiqaylik, bunda y noldan katta yoki teng. Uning jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Egri chiziq boshlang'ichdan o'sadi va shartli ravishda nuqtani kesib o'tadi (1; 1).

R haqiqiy sonlar maydonidagi z=√y funksiyaning xossalari

1. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyani aniqlash sohasi noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan oraliqdir (nol kiritilgan).

2. Ko'rib chiqilayotgan funktsiya qiymatlari diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol yana kiritilgan).

3. Funksiya minimal qiymatni (0) faqat (0; 0) nuqtada oladi. Maksimal qiymat yo'q.

4. z=√y funksiya juft ham, toq ham emas.

5. z=√y funksiya davriy emas.

6. z=√y funksiya grafigining koordinata o’qlari bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud: (0; 0).

7. z=√y funksiya grafigining kesishish nuqtasi ham shu funksiyaning nolga teng.

8. z=√y funksiya uzluksiz ortib bormoqda.

9. z=√y funksiya faqat musbat qiymatlarni oladi, shuning uchun uning grafigi birinchi koordinata burchagini egallaydi.

z=√y funksiyasini aks ettirish variantlari

Matematikada murakkab ifodalarni hisoblashni osonlashtirish uchun baʼzan kvadrat ildizni yozishning kuch shakli qoʻllaniladi: √y=y 1/2. Bu variant, masalan, funktsiyani quvvatga ko'tarishda qulaydir: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu usul, shuningdek, integratsiya bilan farqlash uchun yaxshi vakildir, chunki uning yordamida kvadrat ildiz oddiy quvvat funktsiyasi bilan ifodalanadi.

Dasturlashda esa √ belgisini almashtirish sqrt harflarining birikmasidir.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu sohada kvadrat ildiz katta talabga ega, chunki u hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan geometrik formulalarning aksariyat qismidir. Hisoblash algoritmining o'zi ancha murakkab va rekursiyaga (o'zini chaqiradigan funksiya) asoslangan.

Kompleks maydonidagi kvadrat ildiz C

Umuman olganda, ushbu maqolaning mavzusi kompleks sonlar maydonini kashf etishga turtki bo'ldi, chunki matematiklarni manfiy sondan juft darajali ildiz olish masalasi hayratda qoldirdi. Hayoliy birlik i shunday paydo bo'ldi, u juda qiziq xususiyat bilan ajralib turadi: uning kvadrati -1 ga teng. Buning yordamida kvadrat tenglamalar va manfiy diskriminant bilan yechim topildi. C da kvadrat ildiz uchun xuddi shu xususiyatlar R dagi kabi tegishli, yagona narsa shundaki, ildiz ifodasidagi cheklovlar olib tashlanadi.