Muntazam olti burchakli piramidaning hajmi 6 tomon. Muntazam olti burchakli piramidaning hajmi

Fazoviy figuralarning hajmlarini hisoblash stereometriyaning muhim vazifalaridan biridir. Ushbu maqolada biz piramida kabi ko'pburchakning hajmini aniqlash masalasini ko'rib chiqamiz, shuningdek oddiy olti burchaklini beramiz.

Olti burchakli piramida

Boshlash uchun, maqolada muhokama qilinadigan raqam nima ekanligini ko'rib chiqaylik.

Keling, tomonlari bir-biriga teng bo'lmagan ixtiyoriy olti burchakli bo'lsin. Shuningdek, biz fazoda olti burchak tekisligida bo'lmagan nuqtani tanladik deb faraz qilaylik. Ikkinchisining barcha burchaklarini tanlangan nuqta bilan bog'lab, biz piramidani olamiz. Quyidagi rasmda olti burchakli asosga ega bo'lgan ikki xil piramida ko'rsatilgan.

Ko'rinib turibdiki, olti burchakdan tashqari, rasm oltita uchburchakdan iborat bo'lib, ularning ulanish nuqtasi cho'qqi deb ataladi. Tasvirlangan piramidalar orasidagi farq shundaki, o'ngdagi h balandligi olti burchakli asosni uning geometrik markazida kesib o'tmaydi, chap figuraning balandligi esa aynan shu markazga to'g'ri keladi. Ushbu mezon tufayli chap piramida to'g'ri, o'ng esa eğimli deb nomlandi.

Rasmdagi chap figuraning asosini tomonlari va burchaklari teng boʻlgan oltiburchak tashkil qilganligi uchun u toʻgʻri deyiladi. Keyingi maqolada biz faqat ushbu piramida haqida gaplashamiz.

Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun quyidagi formula to'g'ri keladi:

Bu erda h - figuraning balandligining uzunligi, S o - uning asosining maydoni. Oddiy olti burchakli piramidaning hajmini aniqlash uchun ushbu ifodadan foydalanamiz.

Ko'rib chiqilayotgan rasm teng yonli oltiburchakga asoslanganligi sababli, uning maydonini hisoblash uchun n-burchak uchun quyidagi umumiy ifodadan foydalanish mumkin:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Bu erda n - ko'pburchakning tomonlari (burchaklari) soniga teng butun son, a - uning tomonining uzunligi, kotangent funktsiyasi tegishli jadvallar yordamida hisoblanadi.

n = 6 uchun ifodani qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Endi bu iborani o'rniga qo'yish qoladi umumiy formula V jild uchun:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan piramidaning hajmini hisoblash uchun uning ikkita chiziqli parametrini bilish kerak: poydevorning yon tomonining uzunligi va rasmning balandligi.

Muammoni hal qilish misoli

Keling, V 6 uchun olingan ifodani quyidagi masalani hal qilish uchun qanday ishlatish mumkinligini ko'rsatamiz.

Ma'lumki, to'g'ri hajm 100 sm 3. Poydevorning yon tomonini va figuraning balandligini aniqlash kerak, agar ular bir-biriga quyidagi tenglik bilan bog'liqligi ma'lum bo'lsa:

Hajm formulasiga faqat a va h kiritilganligi sababli, ushbu parametrlardan istalgan birini ikkinchisi orqali ifodalash mumkin. Masalan, a ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Shaklning balandligi qiymatini topish uchun uzunlik o'lchamiga mos keladigan hajmdan uchinchi darajali ildizni olish kerak. Muammo shartidan piramidaning V 6 hajm qiymatini almashtiramiz, balandlikni olamiz:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 sm

Muammoning shartiga ko'ra, poydevorning tomoni topilgan qiymatdan ikki barobar bo'lganligi sababli, biz uning qiymatini olamiz:

a = 2 * h = 2 * 3,0676 = 6,1352 sm

Ovoz balandligi olti burchakli piramida faqat figuraning balandligi va uning poydevorining yon tomonining qiymati orqali topish mumkin. Uni hisoblash uchun piramidaning ikki xil chiziqli parametrlarini bilish kifoya, masalan, apotem va yon chetining uzunligi.

Piramidalar bilan bog'liq muammolar. Ushbu maqolada biz piramidalar bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqishni davom ettiramiz. Ularni har qanday sinf yoki vazifalar turiga kiritish mumkin emas va ularni hal qilish uchun umumiy (algoritmlar) tavsiyalarini beradi. Faqat ilgari ko'rib chiqilmagan qolgan vazifalar bu erda to'plangan.

Yechishdan oldin xotirada yangilanishi kerak bo'lgan nazariyani sanab o'taman: piramidalar, figuralar va jismlarning o'xshashlik xususiyatlari, muntazam piramidalarning xususiyatlari, Pifagor teoremasi, uchburchak maydoni formulasi (bu ikkinchisi). Vazifalarni ko'rib chiqing:

Kimdan uchburchak piramida, hajmi 80 ga teng bo'lgan uchburchak piramida piramidaning yuqori qismidan va poydevorning o'rta chizig'idan o'tadigan tekislik bilan kesiladi. Kesilgan uchburchak piramidaning hajmini toping.

Piramidaning hajmi uning asosi maydoni va balandligi mahsulotining uchdan biriga teng:

Ushbu piramidalar (asl va qirqilgan) umumiy balandlikka ega, shuning uchun ularning hajmlari asoslarining maydonlari bilan bog'liq. o'rta chiziq asl uchburchakdan maydoni to'rt baravar kichik bo'lgan uchburchakni kesib tashlaydi, ya'ni:

Bu haqda ko'proq ma'lumotni bu yerda ko'rishingiz mumkin.

Bu shuni anglatadiki, kesish piramidasining hajmi to'rt baravar kichik bo'ladi.

Shunday qilib, 20 bo'ladi.

Javob: 20

* shunga o'xshash muammo, uchburchakning maydoni uchun formuladan foydalaniladi.

Uchburchak piramidaning hajmi 15 ga teng. Tekislik bu piramida poydevorining yon tomonidan o'tadi va qarama-qarshi yon chetini piramidaning tepasidan sanab, uni 1: 2 nisbatda bo'ladigan nuqtada kesib o'tadi. Tekislik asl piramidani ajratadigan piramidalar hajmlarining eng kattasini toping.

Piramida quramiz, uchlarini belgilaymiz.AS chetida E nuqtani shunday belgilangki, AE ES dan ikki baravar katta bo'lsin (shartda ES AE ga 1 dan 2 gacha tegishli deb aytiladi) va AC chetidan va E nuqtadan o'tuvchi ko'rsatilgan tekislikni tuzing:

Keling, qaysi piramidaning hajmini tahlil qilaylik: EABC yoki SEBC?

* Piramidaning hajmi uning asosi maydoni va balandligi mahsulotining uchdan biriga teng:

Agar ikkita hosil bo'lgan piramidani ko'rib chiqsak va ikkalasida EBC yuzini asos qilib olsak, AEBC piramidasining hajmi SEBC piramidasining hajmidan kattaroq bo'lishi aniq bo'ladi. Nega?

A nuqtadan EBC tekisligiga masofa S nuqtadan masofadan kattaroqdir. Va bu masofa biz uchun balandlik rolini o'ynaydi.

Shunday qilib, EABC piramidasining hajmini topamiz.

Dastlabki piramidaning hajmi bizga berilgan, SABC va EABC piramidalarining asosi umumiydir. Agar biz balandliklar nisbatini o'rnatsak, unda biz hajmni osongina aniqlashimiz mumkin.

ES va AE segmentlarining nisbatidan kelib chiqadiki, AE ES ning uchdan ikki qismiga teng. SABC va EABC piramidalarining balandliklari bir xil munosabatda -EABC piramidasining balandligi SABC piramidasi balandligining 2/3 qismiga teng bo'ladi.

Shunday qilib, agar

Bu

Javob: 10

Muntazam olti burchakli piramidaning hajmi 6. Asosning tomoni 1. Yon chetini toping.

Oddiy piramidada tepa poydevorning o'rtasiga proyeksiya qilinadi.Keling, qo'shimcha konstruktsiyalarni bajaramiz:

Yon chetini dan topishimiz mumkin to'g'ri uchburchak SOC. Buning uchun siz SO va OTni bilishingiz kerak.

SO - piramidaning balandligi, uni hajm formulasi yordamida hisoblashimiz mumkin:

Baza maydonini hisoblang. Bu tomoni 1 ga teng bo'lgan muntazam olti burchakli. Muntazam oltiburchakning maydoni bir xil tomonli oltita teng qirrali uchburchaklar maydoniga teng, bu haqda batafsilroq (6-band), shuning uchun:

anglatadi

OS \u003d BC \u003d 1, chunki oddiy olti burchakda uning markazini tepaga bog'laydigan segment ushbu olti burchakning yon tomoniga teng.

Shunday qilib, Pifagor teoremasiga ko'ra:

Javob: 7

Ovoz balandligiTetraedrning o'lchami 200. Cho'qqilari shu tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning hajmini toping.

Ko'rsatilgan ko'pburchakning hajmi farqiga teng boshlang'ich tetraedr hajmi V 0 va to'rtta teng tetraedr, ularning har biri umumiy cho'qqiga ega bo'lgan qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tadigan tekislik bilan kesish orqali olinadi:

Keling, nimani aniqlaymiz hajmiga teng tetraedrni kesib tashlang.

E'tibor bering, asl tetraedr va "kesilgan" tetraedr o'xshash jismlardir. Ma'lumki, o'xshash jismlar hajmlarining nisbati k 3 , bu erda k - o'xshashlik koeffitsienti. Bunday holda, u 2 ga teng (chunki asl tetraedrning barcha chiziqli o'lchamlari kesilganining mos keladigan o'lchamlaridan ikki baravar ko'pdir):

Kesilgan tetraedr hajmini hisoblang:

Shunday qilib, kerakli hajm quyidagilarga teng bo'ladi:

Javob: 100

Tetraedrning sirt maydoni 120 ga teng. Cho'qqilari shu tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Birinchi usul:

Kerakli sirt 8 ta teng qirrali uchburchakdan iborat bo'lib, bir tomoni asl tetraedrning yarmiga teng. Asl tetraedrning yuzasi 16 ta shunday uchburchakdan iborat (tetraedrning 4 ta yuzining har birida 4 ta uchburchak), shuning uchun kerakli maydon ushbu tetraedr sirtining yarmiga teng va 60 ga teng.

Ikkinchi yo'l:

Tetraedrning sirt maydoni ma'lum bo'lganligi sababli, biz uning chetini topamiz, keyin ko'pburchakning chetining uzunligini aniqlaymiz va keyin uning sirtini hisoblaymiz.

Piramidalar: uchburchak, to'rtburchak va boshqalar, asosi nima bo'lishiga qarab - uchburchak, to'rtburchak va boshqalar.
Piramida to'g'ri deb ataladi ( 286-rasm, b) agar, birinchidan, uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa, ikkinchidan, balandlik shu ko'pburchakning markazidan o'tadi.
Aks holda, piramida tartibsiz deb ataladi ( 286-rasm, ichida). Muntazam piramidada barcha yon qirralar bir-biriga teng (teng proyeksiyalar bilan eğimli). Shuning uchun, barcha yon tomonlar to'g'ri piramida teng yon tomonli uchburchaklardir.
Muntazam olti burchakli piramida elementlarini tahlil qilish va ularni murakkab chizmada tasvirlash ( 287-rasm) .

a) Muntazam olti burchakli piramidaning murakkab chizmasi. Piramidaning asosi P 1 tekislikda joylashgan; piramida asosining ikki tomoni proyeksiyalar tekisligiga P 2 parallel.
b) ABCDEF asosi - P 1 proyeksiyalar tekisligida joylashgan olti burchakli.
c) lateral yuz ASF - umumiy holatda tekislikda joylashgan uchburchak.
d) yon yuzi FSE - profilda joylashgan uchburchak - proyeksiyalovchi tekislik.
e) SE chekkasi umumiy holatdagi segmentdir.
f) Edge SA - frontal segment.
g) Piramidaning yuqori S nuqtasi fazodagi nuqtadir.
Ustida ( 288-rasm va 289-rasm) piramidalarning murakkab chizma va vizual tasvirlarini (aksonometriyani) bajarishda ketma-ket grafik amallarga misollar keltiriladi.

Berilgan:
1. Baza P 1 tekislikda joylashgan.
2. Asosning bir tomoni x 12 o'qiga parallel.
I. Birlashtirilgan chizma.
men, a. P 1 tekislikda yotgan piramidaning asosini - ko'pburchakni ushbu shartga muvofiq loyihalashtiramiz.
Biz vertexni loyihalashtiramiz - kosmosda joylashgan nuqta. S nuqtaning balandligi piramidaning balandligiga teng. S nuqtaning S 1 gorizontal proyeksiyasi piramida asosining proyeksiyasining markazida bo'ladi (shart bo'yicha).
I, b. Biz piramidaning qirralarini loyihalashtiramiz - segmentlar; Buning uchun ABCDE asos uchlarining to‘g‘ridan-to‘g‘ri proyeksiyalarini S piramidasi tepasining tegishli proyeksiyalari bilan bog‘laymiz. Piramida qirralarining S 2 C 2 va S 2 D 2 frontal proyeksiyalari piramidaning yuzlari (SBA va SAE) bilan yopilgan ko'rinmas, kesilgan chiziqlar bilan tasvirlangan.
Tushunarli. SBA yon yuzidagi K nuqtaning K 1 gorizontal proyeksiyasi berilgan, uning frontal proyeksiyasini topish talab qilinadi. Buning uchun S 1 va K 1 nuqtalar orqali S 1 F 1 yordamchi chiziqni o'tkazamiz, uning frontal proyeksiyasini topamiz va uning ustida vertikal aloqa chizig'idan foydalanib, nuqtaning kerakli frontal proyeksiyasi K 2 o'rnini aniqlaymiz. K.
II. Piramida yuzasining rivojlanishi - bu yon tomonlardan tashkil topgan tekis shakl - bir tomoni taglikning yon tomoniga, qolgan ikkitasi esa - yon qirralarga va muntazam ko'pburchakdan - bir xil teng yonli uchburchaklar. asos.
Poydevorning yon tomonlarining tabiiy o'lchamlari uning gorizontal proyeksiyasida aniqlanadi. Proektsiyalarda qovurg'alarning tabiiy o'lchamlari aniqlanmagan.
Gipotenuza S 2 ¯A 2 ( 288-rasm, 1 , b) to'g'ri burchakli uchburchakning S 2 O 2 ¯A 2, bunda katta oyog'i piramidaning S 2 O 2 balandligiga, kichiki esa S 1 A 1 chetining gorizontal proyeksiyasiga teng. - piramida chetining tabiiy kattaligi. Supurish quyidagi tartibda qurilishi kerak:
a) ixtiyoriy S nuqtadan (cho'qqi) radiusi R piramida chetiga teng bo'lgan yoy chizamiz;
b) chizilgan yoyda taglikning yon tomoniga teng bo'lgan R 1 o'lchamdagi beshta akkordni ajratib qo'ying;
c) D, C, B, A, E, D nuqtalarni ketma-ket va S nuqta bilan to'g'ri chiziqlar bilan bog'laymiz, biz beshta teng yon tomonni olamiz. teng uchburchaklar, bu piramidaning lateral yuzasining rivojlanishini tashkil etuvchi, chekka bo'ylab kesilgan SD ;
d) biz har qanday yuzga piramida asosini - beshburchakni triangulyatsiya usulidan foydalanib, masalan, DSE yuziga biriktiramiz.
K nuqta gorizontal proyeksiyada olingan B 1 F 1 o'lchamidan va qovurg'aning tabiiy o'lchamidan olingan A 2 K 2 o'lchamidan foydalangan holda yordamchi to'g'ri chiziq yordamida supurishga o'tkaziladi.
III. Piramidaning izometriyada vizual tasviri.
III, a. Biz koordinatalardan foydalanib, piramidaning asosini tasvirlaymiz ( 288-rasm, 1 , a).
Biz piramidaning yuqori qismini koordinatalaridan foydalanib tasvirlaymiz ( 288-rasm, 1 , a).
III, b. Biz piramidaning yon qirralarini tasvirlaymiz, tepani poydevorning tepalari bilan bog'laymiz. S"D" qirrasi va C"D" va D"E" asosining yon tomonlari C"S"B", B"S"A" piramidasi yuzlari bilan yopilgan ko'rinmas kesilgan chiziqlar bilan ko'rsatilgan. va A "S" E.
III, e. K piramida yuzasidagi nuqtani y F va x K o'lchamlari yordamida aniqlaymiz. Piramidaning dimetrik tasviri uchun bir xil ketma-ketlikka rioya qilish kerak.
Noto'g'ri uchburchak piramidaning tasviri.

Berilgan:
1. Baza P 1 tekislikda joylashgan.
2. Asosning BC tomoni X o'qiga perpendikulyar.
I. Birlashtirilgan chizma
men, a. Biz piramidaning asosini - P 1 tekisligida yotadigan teng yonli uchburchakni va yuqori S - kosmosda joylashgan, balandligi piramida balandligiga teng bo'lgan nuqtani loyihalashtiramiz.
I, b. Biz piramidaning qirralarini - segmentlarni loyihalashtiramiz, buning uchun biz poydevor cho'qqilarining bir xil nomdagi proyeksiyalarini piramida tepasining bir xil nomdagi proyeksiyalari bilan to'g'ri chiziqlar bilan bog'laymiz. Samolyot poydevorining yon tomonining gorizontal proektsiyasini ABS, ACS piramidasining ikkita yuzi bilan yopilgan ko'rinmas chiziq bilan kesilgan chiziq bilan tasvirlaymiz.
Tushunarli. Yon yuzning A 2 C 2 S 2 frontal proyeksiyasida D nuqtaning D 2 proyeksiyasi berilgan. Uning gorizontal proyeksiyasini topish talab qilinadi. Buning uchun D 2 nuqta orqali x 12 o'qiga parallel yordamchi to'g'ri chiziq - gorizontalning frontal proyeksiyasini o'tkazamiz, so'ngra uning gorizontal proyeksiyasini topamiz va uning ustida vertikal aloqa chizig'idan foydalanib, biz joylashuvni aniqlaymiz. D nuqtaning kerakli gorizontal proyeksiyasi D 1.
II. Piramidani tozalash.
Gorizontal proyeksiyada poydevorning yon tomonlarining tabiiy o'lchamlari aniqlanadi. AS qovurg'aning tabiiy kattaligi frontal proyeksiyada aniqlanadi; proyeksiyalarda BS va CS qovurg'alarning tabiiy o'lchamlari mavjud emas, bu qovurg'alarning o'lchami ularni i o'qi atrofida, S piramidaning tepasidan o'tuvchi P 1 tekislikka perpendikulyar aylantirish orqali aniqlanadi. Yangi frontal proyeksiya ¯C 2 S 2 - chekka CS ning tabiiy qiymati.
Piramida yuzasining rivojlanishini qurish ketma-ketligi:
a) asosi CB piramidasi poydevorining yon tomoniga teng bo'lgan CSB yuzli teng yonli uchburchakni chizish va tomonlar- qovurg'a SCning tabiiy kattaligi;
b) qurilgan uchburchakning SC va SB tomonlariga ikkita uchburchakni - CSA va BSA piramidasining yuzlarini va qurilgan uchburchakning CB asosiga - CBA piramidasining asosini qo'shamiz, natijada biz to'liq natijaga erishamiz. bu piramida sirtining ochilishi.
D nuqtasini ishlanmaga o'tkazish quyidagi tartibda amalga oshiriladi: birinchi navbatda, R 1 o'lchamidan foydalanib, ASC tomoni yuzining rivojlanishiga gorizontal chiziq chiziladi, so'ngra R yordamida gorizontal chiziqda D nuqtasining joylashishini aniqlang. 2 o'lchamli.
III. Piramidaning vizual tasviri e frontal dimetrik proyeksiya
III, a. Biz koordinatalardan foydalanib, piramidaning A "B" C asosini va yuqori S "ni tasvirlaymiz (

Sana: 2015-01-19

Agar kerak bo'lsa bosqichma-bosqich ko'rsatma piramidani qanday qurish kerak, keyin men darsimizni so'rayman. Avvalo, sizning piramidangiz 1-rasmdagi kabi ochilganligini baholang.

Agar siz uni 90 gradusga aylantirgan bo'lsangiz, u holda rasmda "ma'lum haqiqiy qiymatlar" sifatida belgilangan chekka siz qurishingiz kerak bo'lgan profil proektsiyasida topilishi mumkin. Mening holatimda, bu talab qilinmaydi, bizda qurilish uchun zarur bo'lgan barcha miqdorlar mavjud. Shuni unutmaslik kerakki, ushbu chizmada faqat frontal proyeksiyadagi SA va SD qirralari to'liq hajmda ko'rsatilgan. Qolganlarning hammasi uzunlik buzilishi bilan prognoz qilingan. Bundan tashqari, yuqori ko'rinishda olti burchakning barcha tomonlari ham to'liq hajmda prognoz qilingan. Shunga asoslanib, keling, boshlaylik.

1. Kattaroq go'zallik uchun birinchi chiziqni gorizontal ravishda chizamiz (1-rasm). Keyin, radiusi R=a bo'lgan keng yoyni chizamiz, ya'ni. piramidaning lateral chetining uzunligiga teng radius bilan. Biz A nuqtasini olamiz. Undan biz radiusli r \u003d b (piramida poydevorining yon tomonining uzunligi) bilan kompas bilan yoyda bir tirqish hosil qilamiz. Keling, B nuqtasini olaylik. Bizda allaqachon piramidaning birinchi yuzi bor!

2. B nuqtadan yana bir xil radiusli tirqish hosil qilamiz - biz C nuqtani olamiz va uni B va S nuqtalari bilan bog'lab, biz piramidaning ikkinchi yon yuzini olamiz (2-rasm).

3. Ushbu amallarni kerakli miqdordagi takrorlash (barchasi sizning piramidangiz qancha yuzga ega ekanligiga bog'liq) biz bunday fanni olamiz (3-rasm). To'g'ri qurilish bilan siz poydevorning barcha nuqtalarini olishingiz kerak va ekstremallarni takrorlash kerak.

4. Bu har doim ham talab qilinmaydi, lekin hali ham zarur: yon yuzaning rivojlanishiga piramidaning asosini qo'shing. Ishonamanki, shu nuqtaga qadar o'qigan har bir kishi olti-sakkiz beshburchakni chizishi mumkin (beshburchakni qanday chizish darsda batafsil tasvirlangan) Qiyinchilik shundaki, rasm chizilgan bo'lishi kerak. to'g'ri joy va to'g'ri burchak ostida. Har qanday yuzning o'rtasidan o'qni torting. Poydevor chizig'i bilan kesishgan nuqtadan 4-rasmda ko'rsatilganidek, m masofani chizamiz.


Ushbu nuqta orqali perpendikulyar chizib, biz kelajakdagi olti burchakning o'qlarini olamiz. Olingan markazdan biz yuqori ko'rinishni qurishda qilganingizdek aylana chizamiz. Shuni esda tutingki, aylana yon yuzning ikkita nuqtasidan o'tishi kerak (mening holimda bular F va A)

5. 5-rasmda olti burchakli prizmaning oxirgi ochilgan ko'rinishi ko'rsatilgan.


Bu piramidani tozalashni qurishni yakunlaydi. O'z ishlaringizni yarating, yechim topishni o'rganing, korroziv bo'ling va hech qachon taslim bo'lmang. To'xtaganingiz uchun tashakkur. Bizni do'stlaringizga tavsiya qilishni unutmang :) Hammaga yaxshilik!

yoki telefon raqamimizni yozing va do'stlaringizga biz haqimizda aytib bering - kimdir rasm chizish usulini qidirayotgandir

yoki o'z sahifangizda yoki blogingizda darslarimiz haqida eslatma yarating - va kimdir rasmni o'zlashtira oladi.