Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjan reunan pituus. Pyramidi ja sen elementit

Opiskelijat törmäävät pyramidin käsitteeseen kauan ennen geometrian opiskelua. Syytä kuuluisia suuria egyptiläisiä maailman ihmeitä. Siksi useimmat opiskelijat kuvittelevat sen jo selvästi aloittaessaan tämän upean monitahoisen tutkimuksen. Kaikki yllä olevat nähtävyydet ovat oikeassa kunnossa. Mitä oikea pyramidi, ja mitä ominaisuuksia sillä on, ja niistä keskustellaan edelleen.

Yhteydessä

Määritelmä

Pyramidille on monia määritelmiä. Muinaisista ajoista lähtien se on ollut erittäin suosittu.

Esimerkiksi Eukleides määritteli sen kiinteäksi hahmoksi, joka koostuu tasoista, jotka yhdestä alkaen konvergoivat tietyssä pisteessä.

Heron tarjosi tarkemman muotoilun. Hän väitti, että se oli hahmo on tukikohta ja lentokoneet sisään kolmiot, lähentyvät yhdessä vaiheessa.

Luottaa johonkin moderni tulkinta, pyramidi esitetään avaruudellisena monitahoisena, joka koostuu tietystä k-gonista ja k litteästä hahmosta kolmion muotoinen jolla on yksi yhteinen kohta.

Katsotaanpa tarkemmin, Mistä elementeistä se koostuu?

• k-gon katsotaan kuvion perustaksi;
• 3-kulmaiset hahmot työntyvät esiin sivuosan sivuina;
• yläosaa, josta sivuelementit ovat peräisin, kutsutaan yläosaksi;
• kaikkia kärkeä yhdistäviä segmenttejä kutsutaan reunoiksi;
• jos suora viiva lasketaan ylhäältä kuvion tasoon 90 asteen kulmassa, niin sen sisätilaan suljettu osa on pyramidin korkeus;
• missä tahansa monitahoisen sivuelementissä voit piirtää kohtisuoran, jota kutsutaan apoteemiksi.

Reunojen lukumäärä lasketaan kaavalla 2*k, jossa k on k-gonin sivujen lukumäärä. Kuinka monta pintaa pyramidin kaltaisella monitahoisella on, voidaan määrittää lausekkeella k + 1.

Tärkeä! Säännöllisen muotoinen pyramidi on stereometrinen kuvio, jonka kantataso on k-gon, jolla on yhtäläiset sivut.

Perusominaisuudet

Oikea pyramidi on monia ominaisuuksia jotka ovat hänelle ainutlaatuisia. Listataan ne:

1. Pohja on oikean muotoinen hahmo.
2. Pyramidin reunoilla, jotka rajoittavat sivuelementtejä, on samat numeroarvot.
3. Sivuelementit ovat tasakylkisiä kolmioita.
4. Figuurin korkeuden pohja putoaa monikulmion keskelle, kun se on samalla keskipiste sisään ja kuvattu.
5. Kaikki sivurivat on kallistettu perustasoon nähden samassa kulmassa.
6. Kaikilla sivupinnoilla on sama kaltevuuskulma pohjaan nähden.

Kaikkien lueteltujen ominaisuuksien ansiosta elementtilaskelmien suoritus yksinkertaistuu huomattavasti. Yllä olevien ominaisuuksien perusteella kiinnitämme huomiota kaksi merkkiä:

1. Siinä tapauksessa, että monikulmio sopii ympyrään, sivupinnoilla on pohja yhtäläiset kulmat.
2. Kun kuvataan ympyrää monikulmion ympärillä, kaikilla kärjestä lähtevillä pyramidin reunoilla on sama pituus ja samat kulmat kantaan nähden.

Neliö perustuu

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - monitahoinen, joka perustuu neliöön.

Siinä on neljä sivupintaa, jotka ovat ulkonäöltään tasakylkisiä.

Tasossa neliö on kuvattu, mutta ne perustuvat kaikkiin säännöllisen nelikulmion ominaisuuksiin.

Jos esimerkiksi on tarpeen yhdistää neliön sivu sen lävistäjään, käytetään seuraavaa kaavaa: diagonaali on yhtä suuri kuin neliön sivun ja kahden neliöjuuren tulo.

Perustuu säännölliseen kolmioon

oikea kolmion muotoinen pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on säännöllinen 3 kulmio.

Jos pohja on säännöllinen kolmio ja sivureunat ovat yhtä suuret kuin pohjan reunat, niin tällainen kuva kutsutaan tetraedriksi.

Kaikki tetraedrin pinnat ovat tasasivuisia 3 kulmia. Tässä tapauksessa sinun on tiedettävä joitain kohtia eikä tuhlata aikaa niihin laskettaessa:

• kylkiluiden kaltevuuskulma mihin tahansa alustaan ​​on 60 astetta;
• kaikkien sisäpintojen arvo on myös 60 astetta;
• kaikki kasvot voivat toimia pohjana;
• kuvion sisään piirretyt elementit ovat samanarvoisia.

Monitahoisen osat

Missä tahansa polyhedronissa niitä on useita tyyppejä kone. Usein sisään koulun kurssi geometriat toimivat kahdella:

• aksiaalinen;
• rinnakkain.

Aksiaalinen leikkaus saadaan leikkaamalla monitahoinen taso, joka kulkee kärjen, sivureunojen ja akselin läpi. Tässä tapauksessa akseli on kärjestä vedetty korkeus. Leikkaustasoa rajoittavat leikkausviivat kaikkien pintojen kanssa, jolloin tuloksena on kolmio.

Huomio! AT oikea pyramidi aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen kolmio.

Jos leikkaustaso kulkee yhdensuuntaisesti alustan kanssa, tuloksena on toinen vaihtoehto. Tässä tapauksessa meillä on taustaa vastaava luku.

Esimerkiksi, jos pohja on neliö, niin alustan suuntainen osa on myös neliö, vain pienempi koko.

Ratkaistaessa ongelmia tässä tilanteessa, käytetään kuvioiden samankaltaisuuden merkkejä ja ominaisuuksia, perustuu Thales-lauseeseen. Ensinnäkin on tarpeen määrittää samankaltaisuuskerroin.

Jos taso piirretään samansuuntaisesti alustan kanssa, ja se leikkaa pois ylempi osa monitahoinen, niin alaosaan saadaan säännöllinen katkaistu pyramidi. Tällöin katkaistun monitahoisen kantapään sanotaan olevan samanlaisia ​​polygoneja. Tässä tapauksessa sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita. Myös aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen.

Katkaistun monitahoisen korkeuden määrittämiseksi on tarpeen piirtää korkeus aksiaalileikkaukseen, toisin sanoen puolisuunnikkaan.

Pinta-alueet

Tärkeimmät geometriset ongelmat, jotka koulun geometriakurssilla on ratkaistava, ovat pyramidin pinta-alan ja tilavuuden löytäminen.

Pinta-alaa on kahta tyyppiä:

• sivuelementtien pinta-ala;
• koko pinta-ala.

Itse otsikosta selviää mistä on kyse. Sivupinta sisältää vain sivuelementit. Tästä seuraa, että sen löytämiseksi sinun on yksinkertaisesti laskettava yhteen sivutasojen pinta-alat, toisin sanoen tasakylkisten 3 kulmien alueet. Yritetään johtaa kaava sivuelementtien pinta-alalle:

1. Tasakylkisen 3 kulman pinta-ala on Str=1/2(aL), missä a on kannan sivu, L on apoteemi.
2. Sivutasojen määrä riippuu pohjassa olevan k-gonin tyypistä. Esimerkiksi tavallisella nelikulmaisella pyramidilla on neljä sivutasoa. Siksi on tarpeen laskea yhteen neljän luvun alueet Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Lauseke yksinkertaistuu tällä tavalla, koska arvo 4a=POS, jossa POS on kannan ympärysmitta. Ja lauseke 1/2 * Rosn on sen puolikehä.
3. Joten päätämme, että säännöllisen pyramidin sivuelementtien pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan puolikehän ja apoteemin tulo: Sside = Rosn * L.

Neliö koko pinta pyramidi koostuu sivutasojen ja kannan pinta-alojen summasta: Sp.p. = Sside + Sbase.

Mitä tulee pohjan pinta-alaan, kaavaa käytetään tässä monikulmion tyypin mukaan.

Säännöllisen pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin perustason pinta-alan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella: V=1/3*Skanta*H, missä H on monitahoisen korkeus.

Mikä on säännöllinen pyramidi geometriassa

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin ominaisuudet

Kolmion muotoinen pyramidi on pyramidi, joka perustuu kolmioon. Tämän pyramidin korkeus on kohtisuora, joka lasketaan pyramidin huipulta sen pohjalle.

Pyramidin korkeuden löytäminen

Kuinka löytää pyramidin korkeus? Erittäin yksinkertainen! Minkä tahansa kolmionmuotoisen pyramidin korkeuden selvittämiseksi voit käyttää tilavuuskaavaa: V = (1/3)Sh, missä S on kantapinta-ala, V on pyramidin tilavuus, h on sen korkeus. Tästä kaavasta johdetaan korkeuskaava: kolmion muotoisen pyramidin korkeuden löytämiseksi sinun on kerrottava pyramidin tilavuus kolmella ja jaettava sitten saatu arvo perusalalla, se on: h \u003d (3V ) / S. Koska kolmion muotoisen pyramidin kanta on kolmio, voit käyttää kaavaa kolmion pinta-alan laskemiseen. Jos tiedämme: kolmion S pinta-ala ja sen sivu z, niin pinta-alan kaavan S=(1/2)γh mukaan: h = (2S)/γ, missä h on pyramidin korkeus, γ on kolmion reuna; kolmion sivujen ja itse kahden sivun välinen kulma, käyttämällä seuraavaa kaavaa: S = (1/2)γφsinQ, missä γ, φ ovat kolmion sivut, löydämme kolmion alueen. Kulman Q sinin arvo tulee katsoa sinitaulukosta, joka on Internetissä. Seuraavaksi korvataan pinta-ala korkeuskaavassa: h = (2S)/γ. Jos tehtävä edellyttää kolmiopyramidin korkeuden laskemista, pyramidin tilavuus on jo tiedossa.

Säännöllinen kolmiopyramidi

Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus, eli pyramidin, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, tietäen reunan γ koon. Tässä tapauksessa pyramidin reunat ovat tasasivuisten kolmioiden sivuja. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on: h = γ√(2/3), missä γ on tasasivuisen kolmion reuna, h on pyramidin korkeus. Jos kannan pinta-ala (S) on tuntematon ja vain monitahoisen reunan pituus (γ) ja tilavuus (V) on annettu, on edellisen vaiheen kaavan tarvittava muuttuja korvattava. sen vastineella, joka ilmaistaan ​​reunan pituudella. Kolmion pinta-ala (säännöllinen) on yhtä suuri kuin 1/4 tämän kolmion sivun pituuden tulosta 3:n neliöjuurella. Korvataan tämä kaava edellisen kaavan kanta-alan sijaan , ja saamme seuraavan kaavan: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedrin tilavuus voidaan ilmaista sen reunan pituudella, jolloin kuvion korkeuden laskentakaavasta voidaan poistaa kaikki muuttujat ja vain kuvion kolmiomaisen pinnan sivu voidaan jättää. Tällaisen pyramidin tilavuus voidaan laskea jakamalla 12:lla tulosta sen pinnan pituus kuutioituna 2:n neliöjuurella.

Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan, saamme seuraavan kaavan laskentaan: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Myös säännöllinen kolmion muotoinen prisma voidaan piirtää palloon, ja tietäen vain pallon säteen (R), voit löytää tetraedrin korkeuden. Tetraedrin reunan pituus on: γ = 4R/√6. Korvataan muuttuja γ tällä lausekkeella edellisessä kaavassa ja saadaan kaava: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama kaava voidaan saada tietämällä tetraedriin piirretyn ympyrän säde (R). Tässä tapauksessa kolmion reunan pituus on yhtä suuri kuin 12 välistä suhdetta neliöjuuri 6 ja säde. Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan ja saamme: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuinka löytää säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus

Vastataksesi kysymykseen, kuinka löytää pyramidin korkeuden pituus, sinun on tiedettävä, mikä on tavallinen pyramidi. Nelikulmainen pyramidi on pyramidi, joka perustuu nelikulmioon. Jos ongelman olosuhteissa meillä on: pyramidin tilavuus (V) ja pohjan pinta-ala (S), niin monitahoisen korkeuden (h) laskentakaava on seuraava - jaa tilavuus kerrottuna 3:lla alueella S: h \u003d (3V) / S. Kun pyramidin neliökanta tunnetaan: annettu tilavuus (V) ja sivun pituus γ, korvaa pinta-ala (S) edellisessä kaavassa sivun pituuden neliöllä: S = γ 2 ; H = 3 V/y2. Säännöllisen pyramidin korkeus h = SO kulkee juuri ympyrän keskustan läpi, joka on rajattu lähellä kantaa. Koska tämän pyramidin kanta on neliö, piste O on diagonaalien AD ja BC leikkauspiste. Meillä on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edelleen löydämme suorassa kolmiossa SOC (Pythagoraan lauseen mukaan): SO = √(SC 2 -OC 2). Nyt tiedät kuinka löytää säännöllisen pyramidin korkeus.

Hypoteesi: uskomme, että pyramidin muodon täydellisyys johtuu matemaattisia lakeja upotettuna sen muotoon.

Kohde: pyramidin tutkiminen geometrinen runko, selittääkseen sen muodon täydellisyyden.

Tehtävät:

1. Anna pyramidin matemaattinen määritelmä.

2. Tutki pyramidia geometrisena kappaleena.

3. Ymmärrä, mitä matemaattista tietoa egyptiläiset asettivat pyramideihinsa.

Yksityisiä kysymyksiä:

1. Mikä on pyramidi geometrisena kappaleena?

2. Miten pyramidin ainutlaatuinen muoto voidaan selittää matemaattisesti?

3. Mikä selittää pyramidin geometriset ihmeet?

4. Mikä selittää pyramidin muodon täydellisyyden?

Pyramidin määritelmä.

PYRAMIDI (kreikan sanasta pyramis, suku n. pyramidos) - monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki (kuva). Pohjan kulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​jne.

PYRAMIDI - monumentaalinen rakenne, jolla on pyramidin geometrinen muoto (joskus myös porrastettu tai tornin muotoinen). Muinaisten egyptiläisten faaraoiden jättimäisiä hautoja 3.–2. vuosituhannella eKr. kutsutaan pyramideiksi. kuten myös muinaiset amerikkalaiset temppelien jalustat (Meksikossa, Guatemalassa, Hondurasissa, Perussa), jotka liittyvät kosmologisiin kultteisiin.

Onko mahdollista että Kreikan sana"pyramidi" tulee egyptiläisestä ilmaisusta per-em-us, eli termistä, joka tarkoitti pyramidin korkeutta. Tunnettu venäläinen egyptiologi V. Struve uskoi, että kreikkalainen "puram…j" tulee muinaisesta egyptiläisestä "p"-mr.

Historiasta. Tutkittuaan materiaalia Atanasyanin kirjoittajien oppikirjassa "Geometria". Butuzova ja muut, opimme, että: Monitahoista, joka koostuu n-kulmiosta A1A2A3 ... An ja n kolmiosta RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, kutsutaan pyramidiksi. Monikulmio A1A2A3 ... An on pyramidin kanta ja kolmiot RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ovat pyramidin sivupinnat, P on pyramidin huippu, segmentit RA1, RA2, .. ., RAn ovat sivureunat.

Tällaista pyramidin määritelmää ei kuitenkaan aina ollut olemassa. Esimerkiksi antiikin kreikkalainen matemaatikko, meille tulleiden matematiikan teoreettisten tutkielmien kirjoittaja, Eukleides, määrittelee pyramidin kiinteäksi hahmoksi, jota rajoittavat tasot, jotka suppenevat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Mutta tätä määritelmää on kritisoitu jo antiikissa. Joten Heron ehdotti seuraava määritelmä pyramidit: "Tämä on kuvio, jota rajoittavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja joiden kanta on monikulmio."

Ryhmämme, kun vertaili näitä määritelmiä, tuli siihen tulokseen, että heillä ei ole selkeää sanamuotoa "säätiön" käsitteestä.

Tutkimme näitä määritelmiä ja löysimme Adrien Marie Legendren määritelmän, joka vuonna 1794 työssään "Elements of Geometry" määrittelee pyramidin seuraavasti: "Pyramidi on kehon hahmo, jonka muodostavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja päättyvät pyramidin eri puolille. tasainen pohja.”

Meistä näyttää siltä viimeinen määritelmä antaa selkeän käsityksen pyramidista, koska se puhuu siitä, että pohja on tasainen. Toinen pyramidin määritelmä ilmestyi 1800-luvun oppikirjaan: "pyramidi on avaruuskulma, jonka taso leikkaa."

Pyramidi geometrisena kappaleena.

Että. Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinoista (kanta) on monikulmio, muut pinnat (sivut) ovat kolmioita, joilla on yksi yhteinen kärki (pyramidin huippu).

Pyramidin huipulta pohjan tasoon vedettyä kohtisuoraa kutsutaan korkeush pyramidit.

Mielivaltaisen pyramidin lisäksi on olemassa oikea pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja katkaistu pyramidi.

Kuvassa - pyramidi PABCD, ABCD - sen pohja, PO - korkeus.

Koko pinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sen pintojen pinta-alojen summaksi.

Täysi = Sside + Sbase, missä Sside on sivupintojen pinta-alojen summa.

pyramidin tilavuus löytyy kaavan mukaan:

V = 1/3Sbase h, missä Sosn. - perusalue h- korkeus.

Säännöllisen pyramidin akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden.
Apothem ST - säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. =1/2P h, jossa P on kannan ympärysmitta, h- sivupinnan korkeus (säännöllisen pyramidin apoteemi). Jos pyramidin ylittää pohjan suuntainen taso A'B'C'D', niin:

1) sivureunat ja korkeus jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

2) leikkauksessa saadaan kantaa vastaava monikulmio A'B'C'D';

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja ABCD ja A`B`C`D`, sivupinnat ovat puolisuunnikkaita.

Korkeus katkaistu pyramidi - tukien välinen etäisyys.

Katkaistu tilavuus pyramidi löytyy kaavasta:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. = ½(P+P') h, jossa P ja P' ovat kantajen ympärysmitat, h- sivupinnan korkeus (juhlien katkaiseman säännöllisen apoteemi

Pyramidin osat.

Pyramidin leikkaukset sen yläosan läpi kulkevien tasojen mukaan ovat kolmioita.

Pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi kulkevaa osaa kutsutaan diagonaalinen leikkaus.

Jos leikkaus kulkee sivureunassa ja pohjan sivulla olevan pisteen läpi, tämä sivu on sen jälki pyramidin pohjan tasolla.

Poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin pinnalla sijaitsevan pisteen läpi ja osuuden tietty jälki pohjan tasossa, rakentaminen tulisi suorittaa seuraavasti:

etsi tietyn pinnan tason ja pyramidileikkauksen jäljen leikkauspiste ja nimeä se;

rakentaa läpi kulkeva suora annettu piste ja tuloksena oleva leikkauspiste;

· Toista nämä vaiheet seuraaville kasvoille.

, joka vastaa suorakulmaisen kolmion jalkojen suhdetta 4:3. Tämä jalkojen suhde vastaa hyvin tunnettua suorakulmaista kolmiota, jonka sivut ovat 3:4:5, jota kutsutaan "täydelliseksi", "pyhäksi" tai "egyptiläiseksi" kolmioksi. Historioitsijoiden mukaan "egyptiläiselle" kolmiolle annettiin maaginen merkitys. Plutarch kirjoitti, että egyptiläiset vertasivat maailmankaikkeuden luonnetta "pyhään" kolmioon; he vertasivat symbolisesti pystysuoraa jalkaa aviomieheen, pohjaa vaimoon ja hypotenuusa siihen, mikä on syntynyt molemmista.

Kolmiolle 3:4:5 yhtäläisyys on tosi: 32 + 42 = 52, mikä ilmaisee Pythagoraan lauseen. Eikö tämä ole se teoreema, jota he halusivat jatkaa Egyptiläiset papit, rakentaa pyramidi kolmion perusteella 3:4:5? On vaikea löytää parempaa esimerkkiä havainnollistamaan Pythagoraan lausetta, jonka egyptiläiset tunsivat kauan ennen kuin Pythagoras löysi sen.

Niinpä Egyptin pyramidien nerokkaat luojat yrittivät hämmästyttää kaukaisia ​​jälkeläisiään tietonsa syvyydellä, ja he saavuttivat tämän valitsemalla "kultaisen" Cheops-pyramidin "geometriseksi pääideaksi". suorakulmainen kolmio, ja Khafren pyramidille - "pyhä" tai "egyptiläinen" kolmio.

Hyvin usein tutkijat käyttävät tutkimuksessaan pyramidien ominaisuuksia kultaisen leikkauksen mittasuhteilla.

Matematiikassa tietosanakirjasta Kultaisen leikkauksen määritelmä annetaan seuraava - tämä on harmoninen jako, jako ääri- ja keskiarvosuhteessa - segmentin AB jako kahteen osaan siten, että sen suurin osa AC on koko segmentin keskiarvo verrannollinen AB ja sen pienempi osa CB.

Janan kultaisen osan algebrallinen löytö AB = a pelkistyy yhtälön a ratkaisemiseksi: x = x: (a - x), jolloin x on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,62a. x-suhde voidaan ilmaista murto-osina 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, jossa 2, 3, 5, 8, 13, 21 ovat Fibonacci-lukuja.

Jakson AB kultaisen leikkauksen geometrinen rakentaminen suoritetaan seuraavasti: pisteessä B palautetaan kohtisuora AB:tä vastaan, segmentti BE \u003d 1/2 AB asetetaan sille, A ja E yhdistetään, DE \ u003d BE lykätään ja lopuksi AC \u003d AD, sitten yhtälö AB täyttyy: CB = 2: 3.

kultainen leikkaus käytetään usein taideteoksissa, arkkitehtuurissa, luonnossa. Eläviä esimerkkejä ovat Apollo Belvederen veistos, Parthenon. Parthenonin rakentamisen aikana käytettiin rakennuksen korkeuden suhdetta sen pituuteen ja tämä suhde on 0,618. Ympärillämme olevat esineet tarjoavat myös esimerkkejä kultaisesta suhteesta, esimerkiksi monien kirjojen sidosten leveys-pituussuhde on lähellä 0,618. Kun tarkastellaan lehtien sijoittelua yhteiseen kasvin varteen, voidaan huomata, että jokaisen kahden lehtiparin välissä kolmas sijaitsee kultaisen suhteen (diat) paikalla. Jokainen meistä "käyttää" kultaista suhdetta "käsissämme" - tämä on sormien sormien suhde.

Useiden matemaattisten papyrusten löytämisen ansiosta egyptiläiset ovat oppineet jotain muinaisista egyptiläisistä lasku- ja mittausjärjestelmistä. Niiden sisältämät tehtävät ratkaisivat kirjanoppineet. Yksi tunnetuimmista on Rhindin matemaattinen papyrus. Näitä arvoituksia tutkimalla egyptiläiset oppivat kuinka muinaiset egyptiläiset selviytyivät erilaisia ​​määriä, joka syntyi laskettaessa painon, pituuden ja tilavuuden mittoja, joissa murtolukuja käytettiin usein, sekä kuinka ne käsittelivät kulmia.

Muinaiset egyptiläiset käyttivät kulmien laskentamenetelmää, joka perustui suorakulmaisen kolmion korkeuden ja pohjan suhteeseen. Ne ilmaisivat minkä tahansa kulman gradientin kielellä. Kaltevuusgradientti ilmaistiin kokonaisluvun suhteena, jota kutsutaan "sekediksi". Richard Pillins selittää teoksessa Mathematics in the Time of the Pharaohs: "Säännöllisen pyramidin seked on minkä tahansa neljän kolmion pinnan kaltevuus pohjan tasoon nähden, mitattuna n:nnellä vaakayksiköiden lukumäärällä pystysuoraa korkeusyksikköä kohti. . Siten tämä yksikkö vastaa nykyaikaista kaltevuuskulman kotangenttiamme. Siksi egyptiläinen sana "seked" liittyy meidän moderni sana"kaltevuus"".

Pyramidien numeerinen avain on niiden korkeuden suhteessa pohjaan. AT käytännössä- tämä on helpoin tapa tehdä malleja, joita tarvitaan oikean kallistuskulman jatkuvaan tarkistamiseen koko pyramidin rakentamisen ajan.

Egyptologit vakuuttaisivat meidät mielellään siitä, että jokainen faarao halusi ilmaista yksilöllisyytensä, mistä johtuu kunkin pyramidin kaltevuuskulmaerot. Mutta syy voi olla toinenkin. Ehkä he kaikki halusivat ilmentää erilaisia ​​symbolisia assosiaatioita eri suhteissa. Kuitenkin Khafren pyramidin kulma (perustuu kolmioon (3:4:5) näkyy Rhindin matemaattisen papyruksen pyramidien esittämissä kolmessa tehtävässä). Joten tämä asenne oli hyvin tuttu muinaisille egyptiläisille.

Ollakseni oikeudenmukainen egyptologeja kohtaan, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset eivät tienneet 3:4:5-kolmiota, oletetaan, että hypotenuusan 5 pituutta ei koskaan mainittu. Mutta pyramideja koskevat matemaattiset ongelmat ratkaistaan ​​aina kulman - korkeuden suhteen pohjaan - perusteella. Koska hypotenuusan pituutta ei koskaan mainittu, pääteltiin, että egyptiläiset eivät koskaan laskeneet kolmannen sivun pituutta.

Muinaiset egyptiläiset tiesivät epäilemättä Gizan pyramideissa käytetyt korkeuden ja pohjan suhteet. On mahdollista, että nämä suhteet kullekin pyramidille valittiin mielivaltaisesti. Tämä on kuitenkin ristiriidassa numeerisen symbolismin merkityksen kanssa kaikentyyppisissä egyptiläisissä Kuvataide. On hyvin todennäköistä, että tällaisilla suhteilla oli suuri merkitys, koska ne ilmaisivat erityisiä uskonnollisia ajatuksia. Toisin sanoen koko Gizan kompleksi oli johdonmukaisen suunnittelun kohteena, joka oli suunniteltu heijastamaan jonkinlaista jumalallista teemaa. Tämä selittäisi, miksi suunnittelijat valitsivat eri kulmat kolmen pyramidin kallistus.

Orionin salaisuudessa Bauval ja Gilbert esittivät vakuuttavia todisteita Gizan pyramidien yhteydestä Orionin tähdistöyn, erityisesti Orionin vyön tähtiin. Sama tähdistö on läsnä myytissä Isis ja Osiris, ja on syytä pitää jokaista pyramidia kuvana yhdestä kolmesta pääjumaluudesta - Osiris, Isis ja Horus.

IHMEÄ "GEOMETRIA".

Egyptin mahtavien pyramidien joukossa on erityinen paikka Farao Cheopsin suuri pyramidi (Khufu). Ennen kuin siirrymme Cheopsin pyramidin muodon ja koon analysointiin, meidän tulee muistaa, mitä mittajärjestelmää egyptiläiset käyttivät. Egyptiläisillä oli kolme pituusyksikköä: "kyynärä" (466 mm), joka vastaa seitsemää "kämmentä" (66,5 mm), mikä puolestaan ​​​​vastasi neljää "sormea" (16,6 mm).

Analysoidaan Cheops-pyramidin kokoa (kuva 2) ukrainalaisen tiedemiehen Nikolai Vasjutinskin upeassa kirjassa "Kultainen osuus" (1990) annettujen perustelujen mukaisesti.

Useimmat tutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että esimerkiksi pyramidin pohjan sivun pituus GF on yhtä suuri kuin L\u003d 233,16 m. Tämä arvo vastaa lähes täsmälleen 500 "kyynärää". Täysi noudattaminen 500 "kyynärää" on, jos "kyynärän" pituudeksi katsotaan 0,4663 m.

Pyramidin korkeus ( H) on tutkijoiden arvioitu eri tavalla 146,6-148,2 m. Ja riippuen pyramidin hyväksytystä korkeudesta, kaikki sen geometristen elementtien suhteet muuttuvat. Mistä johtuu pyramidin korkeusarvion erot? Tosiasia on, että tarkasti ottaen Cheopsin pyramidi on katkaistu. Sen ylälava on nykyään kooltaan noin 10 ´ 10 m ja sata vuotta sitten 6 ´ 6 m. On ilmeistä, että pyramidin huippu on purettu, eikä se vastaa alkuperäistä.

Pyramidin korkeutta arvioitaessa on otettava huomioon sellainen fyysinen tekijä kuin rakenteen "luonnos". Takana pitkä aika kolossaalisen paineen vaikutuksesta (joka saavuttaa 500 tonnia alapinnan 1 m2:tä kohti) pyramidin korkeus laski alkuperäiseen korkeuteen verrattuna.

Mikä oli pyramidin alkuperäinen korkeus? Tämä korkeus voidaan luoda uudelleen, jos löydät pyramidin "geometrisen perusidean".

Kuva 2.

Vuonna 1837 englantilainen eversti G. Wise mittasi pyramidin pintojen kaltevuuskulman: se osoittautui yhtä suureksi kuin a= 51°51". Useimmat tutkijat tunnistavat tämän arvon vielä tänäkin päivänä. Kulman ilmoitettu arvo vastaa tangenttia (tg a), yhtä suuri kuin 1,27306. Tämä arvo vastaa pyramidin korkeuden suhdetta AC puoleen sen pohjasta CB(Kuva 2), so. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja tässä tutkijoilla oli suuri yllätys!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vertaamalla tätä arvoa tg-arvoon a= 1,27306, näemme, että nämä arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos otamme kulman a\u003d 51 ° 50", eli pienennä sitä vain yhdellä kaaren minuutti, sitten arvo a tulee yhtä suureksi kuin 1,272, eli se osuu yhteen arvon kanssa. On huomattava, että vuonna 1840 G. Wise toisti mittauksensa ja selvensi, että kulman arvo a=51°50".

Nämä mittaukset ovat johtaneet tutkijat seuraavaan mielenkiintoinen hypoteesi: Cheopsin pyramidin kolmio ASV perustui suhteeseen AC / CB = = 1,272!

Harkitse nyt suorakulmaista kolmiota ABC, jossa jalkojen suhde AC / CB= (Kuva 2). Jos nyt suorakulmion sivujen pituudet ABC tarkoittaa x, y, z, ja ota myös huomioon, että suhde y/x= , sitten Pythagoraan lauseen mukaisesti pituus z voidaan laskea kaavalla:

Jos hyväksyt x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Kuva 3"Kultainen" suorakulmainen kolmio.

Suorakulmainen kolmio, jonka sivut liittyvät toisiinsa kuten t:kultainen" suorakulmainen kolmio.

Sitten, jos otamme perustaksi hypoteesi, että Cheops-pyramidin tärkein "geometrinen idea" on "kultainen" suorakulmainen kolmio, niin täältä on helppo laskea Cheops-pyramidin "suunnittelu" korkeus. Se on yhtä suuri kuin:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Johdetakaamme nyt joitain muita suhteita Kheopsin pyramidille, jotka seuraavat "kultaisesta" hypoteesista. Erityisesti löydämme pyramidin ulkopinta-alan suhteen sen pohjan pinta-alaan. Tätä varten otamme jalan pituuden CB yksikköä kohti, eli: CB= 1. Mutta sitten pyramidin pohjan sivun pituus GF= 2 ja pohjan pinta-ala EFGH tulee olemaan yhtä suuri kuin SEFGH = 4.

Lasketaan nyt Cheops-pyramidin sivupinnan pinta-ala SD. Koska korkeus AB kolmio AEF on yhtä suuri kuin t, niin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri SD = t. Sitten pyramidin kaikkien neljän sivupinnan kokonaispinta-ala on 4 t, ja pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde pohjapinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen suhde! Sitä se on - Cheopsin pyramidin tärkein geometrinen salaisuus!

Cheops-pyramidin "geometristen ihmeiden" ryhmään kuuluu todellisia ja kaukaa haettuja ominaisuuksia eri mitat pyramidissa.

Yleensä ne saadaan etsimällä jotain "vakiota", erityisesti numeroa "pi" (Ludolf-luku), joka on yhtä suuri kuin 3,14159...; luonnollisten logaritmien kantaluvut "e" (Napierin luku) ovat 2,71828...; luku "F", "kultaisen leikkauksen" numero on esimerkiksi 0,618 ... jne.

Voit nimetä esimerkiksi: 1) Herodotuksen omaisuus: (Korkeus) 2 \u003d 0,5 st. pää x Apothem; 2) V:n omaisuus. Hinta: Korkeus: 0,5 st. osn \u003d "Ф":n neliöjuuri; 3) M. Eistin ominaisuus: Pohjan ympärysmitta: 2 Korkeus = "Pi"; eri tulkinnassa - 2 rkl. pää : Korkeus = "Pi"; 4) G. Reberin ominaisuus: Piirretyn ympyrän säde: 0,5 st. pää = "F"; 5) K. Kleppishin omaisuus: (St. Main.) 2: 2 (st. Main. x Apothem) \u003d (st. Main. W. Apothem) \u003d 2 (St. Main. x Apothem) : (( 2. pää X Apothem) + (st. main) 2). Jne. Voit keksiä monia tällaisia ​​ominaisuuksia, varsinkin jos yhdistät kaksi vierekkäistä pyramidia. Esimerkiksi "A. Arefjevin ominaisuuksina" voidaan mainita, että Kheopsin pyramidin ja Khafren pyramidin tilavuuksien välinen ero on yhtä suuri kuin kaksi kertaa Menkauren pyramidin tilavuus...

Monia mielenkiintoisia säännöksiä, erityisesti koskien pyramidien rakentamista "kultaisen leikkauksen" mukaan, on esitetty D. Hambidgen "Dynamic Symmetry in Architecture" ja M. Geekin kirjoissa "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Muista, että "kultainen leikkaus" on segmentin jako sellaisessa suhteessa, kun osa A on yhtä monta kertaa suurempi kuin osa B, kuinka monta kertaa A on pienempi kuin koko segmentti A + B. Suhde A / B on yhtä suuri kuin luku "Ф" == 1,618. .. "Kultaleikkauksen" käyttö on osoitettu ei vain yksittäisissä pyramideissa, vaan koko Gizan pyramidikompleksissa.

Mielenkiintoisin asia on kuitenkin se, että samaan Cheopsin pyramidiin "ei mahdu" niin paljon ihmeellisiä ominaisuuksia. Kun otat tietyn ominaisuuden yksitellen, voit "säätää" sitä, mutta kerralla ne eivät sovi - ne eivät ole samat, ne ovat ristiriidassa keskenään. Siksi, jos esimerkiksi kaikkia ominaisuuksia tarkasteltaessa otetaan alun perin yksi ja sama puoli pyramidin pohjasta (233 m), myös eri ominaisuuksien omaavien pyramidien korkeudet ovat erilaisia. Toisin sanoen on olemassa tietty "perhe" pyramideja, jotka ovat ulkoisesti samanlaisia ​​kuin Cheopsilla, mutta vastaavat erilaisia ​​ominaisuuksia. Huomaa, että "geometrisissa" ominaisuuksissa ei ole mitään erityisen ihmeellistä - paljon syntyy puhtaasti automaattisesti, itse hahmon ominaisuuksista. "Ihme" tulee pitää vain jotain ilmeisen mahdotonta muinaisille egyptiläisille. Tämä sisältää erityisesti "kosmiset" ihmeet, joissa Cheopsin pyramidin tai Gizan pyramidikompleksin mittoja verrataan joihinkin tähtitieteellisiin mittauksiin ja esitetään "parilliset" numerot: miljoona kertaa, miljardi kertaa vähemmän ja pian. Tarkastellaanpa joitain "kosmisia" suhteita.

Yksi lauseista on tämä: "Jos jaamme pyramidin pohjan sivun tarkalla vuoden pituudella, saamme täsmälleen 10 miljoonasosan maan akselista." Laske: jaa 233 luvulla 365, saamme 0,638. Maan säde on 6378 km.

Toinen väite on itse asiassa edellisen vastakohta. F. Noetling huomautti, että jos käytät hänen keksimäänsä "egyptiläistä kyynärpäätä", niin pyramidin sivu vastaa "tarkinta kestoa aurinko vuosi, ilmaistuna lähimpään päivän miljardisosaan" - 365.540.903.777.

P. Smithin lausunto: "Pyramidin korkeus on täsmälleen yksi miljardisosa etäisyydestä Maan ja Auringon välillä." Vaikka korkeudeksi yleensä otetaan 146,6 m, Smith otti sen 148,2 m. Nykyaikaisten tutkamittausten mukaan maan kiertoradan puolipääakseli on 149 597 870 + 1,6 km. Tämä on keskimääräinen etäisyys Maan ja Auringon välillä, mutta perihelionissa se on 5 000 000 kilometriä pienempi kuin aphelionissa.

Viimeinen utelias lausunto:

"Kuinka selittää, että Cheopsin, Khafren ja Menkauren pyramidien massat liittyvät toisiinsa, kuten planeettojen Maa, Venus ja Mars massat?" Lasketaan. Kolmen pyramidin massat ovat suhteessa toisiinsa: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolmen planeetan massojen suhteet: Venus - 0,815; Maa - 1 000; Mars - 0,108.

Joten, skeptisisyydestä huolimatta, huomioikaa lausuntojen rakentamisen tunnettu harmonia: 1) pyramidin korkeus "avaruuteen menevänä" viivana - vastaa etäisyyttä Maan ja Auringon välillä; 2) pyramidin pohjan "substraattia" lähimpänä oleva puoli, eli Maata, vastaa maan säteestä ja maan kierrosta; 3) pyramidin tilavuudet (lue - massat) vastaavat Maata lähimpänä olevien planeettojen massojen suhdetta. Samanlainen "salaus" voidaan jäljittää esimerkiksi mehiläiskielellä, jonka on analysoinut Karl von Frisch. Emme kuitenkaan toistaiseksi kommentoi tätä.

PYRAMIDIEN MUOTO

Pyramidien kuuluisa tetraedrinen muoto ei ilmestynyt heti. Skytialaiset hautasivat maakukkuloiden - kumpujen - muodossa. Egyptiläiset rakensivat kivestä "kukkulia" - pyramideja. Tämä tapahtui ensimmäistä kertaa Ylä- ja Ala-Egyptin yhdistämisen jälkeen, 2700-luvulla eKr., jolloin III-dynastian perustaja, faarao Djoser (Zoser), joutui maan yhtenäisyyden vahvistamiseen.

Ja täällä historioitsijoiden mukaan tsaarin "uudella jumaluuskonseptilla" oli tärkeä rooli keskusvallan vahvistamisessa. Vaikka kuninkaalliset hautaukset erottuivat suuremmasta loistosta, ne eivät periaatteessa eronneet hoviaatelisten haudoista, ne olivat samoja rakenteita - mastabas. Muumion sisältävän sarkofagin kammion yläpuolelle kaadettiin suorakaiteen muotoinen pienistä kivistä koostuva kukkula, johon sitten asetettiin pieni rakennus suurista kivipaloista - "mastaba" (arabiaksi - "penkki"). Edeltäjänsä Sanakhtin mastaban paikalle farao Djoser pystytti ensimmäisen pyramidin. Se oli porrastettu ja oli näkyvä siirtymävaihe yhdestä arkkitehtonisesta muodosta toiseen, mastabasta pyramidiin.

Tällä tavalla faaraon "kasvatti" viisas ja arkkitehti Imhotep, jota myöhemmin pidettiin taikurina ja kreikkalaiset tunnistivat jumalan Asklepioksen. Oli kuin kuusi mastabaa olisi pystytetty peräkkäin. Lisäksi ensimmäinen pyramidi miehitti alueen 1125 x 115 metriä, ja sen arvioitu korkeus oli 66 metriä (egyptiläisten mittojen mukaan - 1000 "kämmentä"). Aluksi arkkitehti suunnitteli rakentavansa mastaban, mutta ei pitkulaisen, vaan neliömäisen. Myöhemmin sitä laajennettiin, mutta koska laajennus tehtiin alemmas, muodostui ikään kuin kaksi porrasta.

Tämä tilanne ei tyydyttänyt arkkitehtuuria, ja valtavan litteän mastaban ylätasolle Imhotep asetti kolme lisää, laskeen vähitellen ylöspäin. Hauta oli pyramidin alla.

Useita porrastettuja pyramideja tunnetaan, mutta myöhemmin rakentajat siirtyivät rakentamaan tutumpia tetraedrisiä pyramideja. Miksei kuitenkaan kolmiomainen tai vaikkapa kahdeksankulmainen? Epäsuoran vastauksen antaa se tosiasia, että melkein kaikki pyramidit on suunnattu täydellisesti neljään pääpisteeseen ja siksi niillä on neljä sivua. Lisäksi pyramidi oli "talo", nelikulmaisen hautakammion kuori.

Mutta mikä aiheutti kasvojen kaltevuuskulman? Kirjassa "Suhteellisuusperiaate" on koko luku omistettu tälle: "Mikä voisi määrittää pyramidien kulmat." Erityisesti on osoitettu, että "kuva, johon vanhan valtakunnan suuret pyramidit vetoavat, on kolmio, jonka yläosassa on suora kulma.

Avaruudessa se on puolioktaedri: pyramidi, jossa pohjan reunat ja sivut ovat yhtä suuret, pinnat ovat tasasivuisia kolmioita. Tästä aiheesta on tiettyjä pohdintoja Hambidgen, Geekin ja muiden kirjoissa.

Mitä hyötyä puolioktaedrin kulmasta on? Arkeologien ja historioitsijoiden kuvausten mukaan jotkut pyramidit romahtivat oman painonsa alla. Tarvittiin "kestävyyskulma", kulma, joka oli energeettisesti luotettavin. Puhtaasti empiirisesti tämä kulma voidaan ottaa kärkikulmasta murenevan kuivan hiekan kasassa. Mutta saadaksesi tarkkoja tietoja, sinun on käytettävä mallia. Kun otat neljä lujasti kiinnitettyä palloa, sinun on asetettava viides niiden päälle ja mitattava kaltevuuskulmat. Tässä voit kuitenkin tehdä virheen, joten teoreettinen laskelma auttaa: sinun tulee yhdistää pallojen keskustat viivoilla (henkisesti). Pohjassa saat neliön, jonka sivu on kaksi kertaa säde. Neliö on vain pyramidin kanta, jonka reunojen pituus on myös kaksi kertaa säde.

Siten tiheä 1:4-tyyppisten pallojen pakkaus antaa meille säännöllisen puolioktaedrin.

Miksi monet pyramidit, jotka vetoavat kohti samanlaista muotoa, eivät kuitenkaan säilytä sitä? Todennäköisesti pyramidit ovat vanhenemassa. Vastoin kuuluisaa sanontaa:

"Kaikki maailmassa pelkää aikaa, ja aika pelkää pyramideja", pyramidien rakennusten täytyy ikääntyä, ne voivat ja niiden tulee tapahtua paitsi ulkoisen sään prosesseja, myös sisäisiä "kutistumisprosesseja" , josta pyramidit voivat laskea. Kutistuminen on mahdollista myös siksi, että kuten D. Davidovitsin teoksista selvisi, muinaiset egyptiläiset käyttivät tekniikkaa tehdä lohkoja kalkkilastuista, toisin sanoen "betonista". Juuri nämä prosessit voisivat selittää syyn Kairosta 50 km etelään sijaitsevan Medum-pyramidin tuhoutumiseen. Se on 4600 vuotta vanha, pohjan mitat ovat 146 x 146 m, korkeus 118 m. "Miksi se on niin silvottu?" kysyy V. Zamarovsky. "Tavalliset viittaukset ajan tuhoisiin vaikutuksiin ja "kiven käyttöön muissa rakennuksissa" eivät sovi tähän.

Loppujen lopuksi suurin osa sen lohkoista ja päällyslaatoista on pysynyt paikoillaan tähän päivään asti raunioina sen juurella. "Kuten tulemme näkemään, monet säännökset panevat ajattelemaan jopa sitä tosiasiaa, että kuuluisa pyramidi Cheops myös "kutistunut". Joka tapauksessa kaikissa muinaisissa kuvissa pyramidit ovat teräviä ...

Pyramidien muoto voidaan luoda myös jäljitelmällä: joitain luonnollisia kuvioita, "ihmeellistä täydellisyyttä", esimerkiksi joitain kiteitä oktaedrin muodossa.

Tällaiset kiteet voivat olla timantti- ja kultakiteitä. Tyypillistä suuri määrä"leikkaavat" merkit sellaisille käsitteille kuin farao, aurinko, kulta, timantti. Kaikkialla - jalo, loistava (loistava), upea, virheetön ja niin edelleen. Yhtäläisyydet eivät ole sattumaa.

Kuten tiedätte, aurinkokultti oli tärkeä osa uskontoa. muinainen Egypti. "Riippumatta siitä, kuinka käännämme suurimman pyramidin nimen, - se mainitaan yhdessä nykyaikaisista käsikirjoista - "Sky Khufu" tai "Sky Khufu", se tarkoitti, että kuningas on aurinko. Jos Khufu, voimansa loistossa, kuvitteli olevansa toinen aurinko, hänen poikansa Jedef-Ra tuli ensimmäinen Egyptin kuninkaista, joka alkoi kutsua itseään "Ra-pojaksi", eli Auringon pojaksi. Melkein kaikki kansat symboloivat aurinkoa "aurinkometallina", kullana. "Iso kirkkaan kullan levy" - niin egyptiläiset kutsuivat meitä päivänvalo. Egyptiläiset tunsivat kullan erittäin hyvin, he tunsivat sen alkuperäiset muodot, joissa kultakiteet voivat ilmaantua oktaedrien muodossa.

"Muotonäytteenä" "aurinkokivi" - timantti - on myös mielenkiintoinen täällä. Timantin nimi on peräisin arabimaailma, "almas" - vaikein, vaikein, tuhoutumaton. Muinaiset egyptiläiset tiesivät timantin ja sen ominaisuudet ovat melko hyvät. Joidenkin kirjoittajien mukaan he käyttivät jopa pronssiputkia timanttileikkureilla poraamiseen.

Tällä hetkellä tärkein timanttien toimittaja on Etelä-Afrikka, mutta Länsi-Afrikassa on myös runsaasti timantteja. Malin tasavallan aluetta kutsutaan siellä jopa "timanttimaaksi". Samaan aikaan Dogon asuu Malin alueella, jonka kanssa paleovisit-hypoteesin kannattajat panevat monia toiveita (katso alla). Timantit eivät voineet olla syynä muinaisten egyptiläisten yhteyksiin tälle alueelle. Kuitenkin tavalla tai toisella, mutta on mahdollista, että juuri kopioimalla timantin ja kullan kiteiden oktaedrejä muinaiset egyptiläiset jumalailivat siten "tuhoutumattomiksi" kuten timantit ja "loistaviksi" kuten kultafaaraot, Auringon pojat. , verrattavissa vain useimpiin upeita luomuksia luonto.

Johtopäätös:

Tutkittuamme pyramidia geometrisena kappaleena, tutustumalla sen elementteihin ja ominaisuuksiin, olimme vakuuttuneita pyramidin muodon kauneudesta annetun mielipiteen pätevyydestä.

Tutkimuksemme tuloksena tulimme siihen tulokseen, että egyptiläiset, kerättyään arvokkaimman matemaattisen tiedon, sisälsivät sen pyramidiin. Siksi pyramidi on todella luonnon ja ihmisen täydellisin luomus.

KIRJASTUS

"Geometria: Proc. 7-9 solulle. Yleissivistävä koulutus oppilaitokset \ jne. - 9. painos - M .: Koulutus, 1999

Matematiikan historia koulussa, M: "Enlightenment", 1982

Geometria luokka 10-11, M: "Enlightenment", 2000

Peter Tompkins "Cheopsin suuren pyramidin salaisuudet", M: "Centropoligraph", 2005

Internet-resurssit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Tässä on koottu perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa tenttiin valmistautuessa.

Harkitse tasoa, monikulmiota makaa siinä ja piste S, joka ei makaa siinä. Yhdistä S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S kutsutaan pyramidin huipuksi. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen otsikko kolmion muotoinen pyramidi - tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen huipusta perustasoon.

Pyramidia kutsutaan oikeaksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitteitä "säännöllinen pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Säännöllisessä pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunojen reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P korkeuspohjalla, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiasta: työ pyramidien kanssa on 80-prosenttisesti rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Näiden kolmioiden viittausten yksinkertaistamiseksi matematiikan opettajan on helpompi nimetä niistä ensimmäinen apoteeminen, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuskaava:
1) , missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja on pyramidin kokonaispinta-ala.
3) , jossa MN on minkä tahansa kahden risteävän reunan etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuspohjan omaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa pyramidin pohjassa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kallistettuja pohjaa kohti
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan ohjaajan kommentti: Huomaa, että kaikki kohteet yhdistyvät yhdeksi yhteistä omaisuutta: tavalla tai toisella sivupinnat osallistuvat kaikkialle (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta kätevämmän muotoilun muistamiseen: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää osoittamaan, että kaikki apoteemiset kolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin rajatun ympyrän keskipiste lähellä pyramidin kantaa, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjaa kohti
3) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kallistettuja korkeuteen

Johdanto

Kun aloimme tutkia stereometrisiä lukuja, kosketimme aihetta "Pyramid". Pidimme tästä teemasta, koska pyramidia käytetään hyvin usein arkkitehtuurissa. Ja meidän tulevaisuuden ammatti arkkitehti, tämän hahmon innoittamana, uskomme, että hän voi työntää meidät suuriin projekteihin.

Arkkitehtonisten rakenteiden vahvuus, niiden tärkein laatu. Vahvuuden yhdistäminen ensinnäkin materiaaleihin, joista ne on luotu, ja toiseksi ominaisuuksiin rakentavia ratkaisuja, käy ilmi, että rakenteen lujuus liittyy suoraan geometriseen muotoon, joka sille on perusmuoto.

Toisin sanoen, me puhumme siitä geometrisesta hahmosta, jota voidaan pitää vastaavan arkkitehtonisen muodon mallina. Osoittautuu, että geometrinen muoto määrittää myös arkkitehtonisen rakenteen lujuuden.

Egyptiläisiä pyramideja on pitkään pidetty kestävimpänä arkkitehtonisena rakenteena. Kuten tiedät, ne ovat muodoltaan säännöllisiä nelikulmaisia ​​pyramideja.

Juuri tämä geometrinen muoto tarjoaa suurimman vakauden suuren pohjapinta-alan ansiosta. Toisaalta pyramidin muoto varmistaa, että massa pienenee, kun korkeus maanpinnasta kasvaa. Nämä kaksi ominaisuutta tekevät pyramidista vakaan ja siksi vahvan painovoiman olosuhteissa.

Hankkeen tavoite: oppia uutta pyramideista, syventää tietoa ja löytää käytännön sovelluksia.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi oli tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

Opi historiallista tietoa pyramidista

Tarkastellaan pyramidia geometrisena hahmona

Löydä sovellusta elämässä ja arkkitehtuurissa

Etsi yhtäläisyydet ja erot pyramidien välillä eri osat Sveta

Teoreettinen osa

Historiallista tietoa

Pyramidin geometrian alku laskettiin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, mutta sitä kehitettiin aktiivisesti vuonna Muinainen Kreikka. Ensimmäinen, joka selvitti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus of Cnidus todisti sen. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Alkujensa" XII osassa ja toi esiin myös pyramidin ensimmäisen määritelmän: kehon hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka yhtyvät yhdestä tasosta yhdessä pisteessä.

Egyptin faaraoiden haudat. Suurimpia niistä - Cheopsin, Khafren ja Mikerinin pyramideja El Gizassa muinaisina aikoina pidettiin yhtenä maailman seitsemästä ihmeestä. Pyramidin pystyttäminen, jossa kreikkalaiset ja roomalaiset näkivät jo muistomerkin kuninkaiden ennennäkemättömälle ylpeydelle ja julmuudelle, joka tuomittiin koko Egyptin kansan järjettömään rakentamiseen, oli tärkein kulttitoimi, jonka piti ilmeisesti ilmaista maan ja sen hallitsijan mystinen identiteetti. Maan väestö työskenteli haudan rakentamisessa maataloustöistä vapaana osan vuodesta. Useat tekstit todistavat siitä huomiosta ja huolenpidosta, jota kuninkaat itse (tosin myöhempään aikaan) kiinnittivät haudansa rakentamiseen ja sen rakentajiin. Se tunnetaan myös erityisistä kulttipalkinnoista, jotka osoittautuivat itse pyramidiksi.

Peruskonseptit

Pyramidi Kutsutaan monitahoja, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki.

Apothem- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen ylhäältä vedettynä;

Sivukasvot- yläosassa lähentyvät kolmiot;

Sivukylkiluut- sivupintojen yhteiset puolet;

pyramidin huipulla- sivureunat yhdistävä piste, joka ei ole alustan tasossa;

Korkeus- kohtisuoran segmentti, joka on vedetty pyramidin huipulta sen pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin huippu ja kohtisuoran kanta);

Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin leikkaus, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;

Pohja- monikulmio, joka ei kuulu pyramidin huipulle.

Oikean pyramidin pääominaisuudet

Sivureunat, sivupinnat ja apoteemit ovat vastaavasti samat.

Dihedraaliset kulmat pohjassa ovat yhtä suuret.

Dihedraaliset kulmat sivureunoilla ovat yhtä suuret.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista.

Pyramidin peruskaavat

Pyramidin sivuttaisen ja koko pinnan pinta-ala.

Pyramidin sivupinnan (täysi ja katkaistu) pinta-ala on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pintojen summa.

Lause: Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pyramidin kannan kehän ja apoteemin tulosta.

p- pohjan kehä;

h- apoteemi.

Katkaistun pyramidin sivu- ja täyspinnan pinta-ala.

p1, s 2 - pohjakehät;

h- apoteemi.

R- säännöllisen katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala;

S puoli- säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala;

S1 + S2- perusalue

Pyramidin tilavuus

Lomake Tilavuusasteikkoa käytetään kaikenlaisille pyramideille.

H on pyramidin korkeus.

Pyramidin kulmat

Pyramidin sivupinnan ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan dihedraalisiksi kulmiksi pyramidin pohjassa.

Dihedraalinen kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta.

Tämän kulman määrittämiseksi sinun on usein käytettävä kolmen kohtisuoran lausetta.

Kulmia, jotka muodostuvat sivureunasta ja sen projektiosta alustan tasoon kutsutaan kulmat sivureunan ja pohjan tason välillä.

Kahden sivupinnan muodostamaa kulmaa kutsutaan kaksitahoinen kulma pyramidin sivureunassa.

Kulmaa, jonka muodostavat pyramidin yhden pinnan kaksi sivureunaa, kutsutaan pyramidin yläkulmassa.

Pyramidin osat

Pyramidin pinta on monitahoisen pinta. Jokainen sen pinta on taso, joten sekanttitason antama pyramidin leikkaus on katkoviiva, joka koostuu erillisistä suorista viivoista.

Diagonaalinen leikkaus

Pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla, on ns. diagonaalinen leikkaus pyramidit.

Rinnakkaiset osat

Lause:

Jos pyramidin poikki kulkee pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, niin pyramidin sivureunat ja korkeudet jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

Tämän tason leikkaus on kantaa vastaava monikulmio;

Leikkauksen ja pohjan pinta-alat ovat suhteessa toisiinsa niiden etäisyyksien neliöinä ylhäältä.

Pyramidin tyypit

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu heijastuu pohjan keskelle.

Oikeassa pyramidissa:

1. sivurivat ovat yhtä suuret

2. sivupinnat ovat yhtä suuret

3. apoteemit ovat tasa-arvoisia

4. dihedral kulmat pohjassa ovat yhtä suuret

5. sivureunojen kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret

6. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä

7. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista

Katkaistu pyramidi- pyramidin osa, joka on suljettu sen pohjan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Katkaistun pyramidin kantaa ja sitä vastaavaa osaa kutsutaan katkaistun pyramidin pohjat.

Kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toisen kannan tasoon katkaistun pyramidin korkeus.

Tehtävät

Nro 1. Oikealla nelikulmainen pyramidi piste O on kannan keskipiste, SO=8 cm, BD=30 cm. Etsi sivureuna SA.

Ongelmanratkaisu

Nro 1. Tavallisessa pyramidissa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan OSB:tä: OSB-suorakulmio, koska.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramidi arkkitehtuurissa

Pyramidi - monumentaalinen rakenne tavallisen säännöllisen geometrisen pyramidin muodossa, jossa sivut lähentyvät yhdessä kohdassa. Toiminnallisen tarkoituksen mukaan pyramidit olivat muinaisina aikoina hautaus- tai palvontapaikka. Pyramidin kanta voi olla kolmion muotoinen, nelikulmainen tai monikulmio, jossa on mielivaltainen määrä pisteitä, mutta yleisin versio on nelikulmainen kanta.

Huomattava määrä pyramideja tunnetaan, rakennetaan erilaiset kulttuurit muinainen maailma enimmäkseen temppeleinä tai monumentteina. Suurimmat pyramidit ovat Egyptin pyramidit.

Kaikkialla maapallolla voit nähdä arkkitehtonisia rakenteita pyramidien muodossa. Pyramidirakennukset muistuttavat muinaisia ​​aikoja ja näyttävät erittäin kauniilta.

Egyptin pyramidit suurin arkkitehtonisia monumentteja Muinainen Egypti, jonka joukossa yksi "maailman seitsemästä ihmeestä" on Cheopsin pyramidi. Jalusta huipulle se saavuttaa 137,3 metrin korkeuden, ja ennen huipun menettämistä sen korkeus oli 146,7 metriä.

Käänteistä pyramidia muistuttava radioaseman rakennus Slovakian pääkaupungissa on rakennettu vuonna 1983. Tilan sisällä on toimisto- ja palvelutilojen lisäksi melko tilava konserttisali, jossa on yksi Slovakian suurimmista urkuista. .

Louvre, joka "on hiljainen ja majesteettinen kuin pyramidi", on käynyt läpi monia muutoksia vuosisatojen aikana ennen kuin siitä on tullut maailman suurin museo. Se syntyi Philip Augustuksen vuonna 1190 rakentamana linnoituksena, josta tuli pian kuninkaallinen asuinpaikka. Vuonna 1793 palatsista tuli museo. Kokoelmia rikastetaan testamenttien tai ostojen kautta.