• apoteemi- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus, joka vedetään sen yläosasta (lisäksi apoteemi on kohtisuoran pituus, joka lasketaan säännöllisen monikulmion keskeltä yhdelle sen sivuista);
• sivupinnat (ASB, BSC, CSD, DSA) - kolmiot, jotka lähentyvät yläreunassa;
• kylkiluut ( KUTEN , BS , CS , D.S. ) - sivupintojen yhteiset puolet;
• pyramidin huipulla (v. S) - piste, joka yhdistää sivureunat ja joka ei ole alustan tasossa;
• korkeus ( NIIN ) - kohtisuoran segmentti, joka vedetään pyramidin yläosan läpi sen pohjan tasoon (sellaisen segmentin päät ovat pyramidin yläosa ja kohtisuoran kanta);
• pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin osa, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;
• pohja (ABCD) on monikulmio, johon pyramidin huippu ei kuulu.

pyramidin ominaisuudet.

1. Kun kaikki sivureunat ovat samankokoisia, niin:

• pyramidin pohjan lähellä on helppo kuvata ympyrää, kun taas pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle;
• sivurivat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa;
• lisäksi päinvastoin on myös totta, ts. kun sivurivat muodostuvat pohjatason kanssa yhtäläiset kulmat, tai kun ympyrä voidaan kuvata lähellä pyramidin kantaa ja pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle, mikä tarkoittaa, että pyramidin kaikki sivureunat ovat samankokoisia.

2. Kun sivupintojen kaltevuuskulma pohjan tasoon on sama, niin:

• pyramidin pohjan lähellä on helppo kuvata ympyrää, kun taas pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle;
• sivupintojen korkeudet ovat yhtä pitkiä;
• sivupinnan pinta-ala on ½ pohjan kehän ja sivupinnan korkeuden tulo.

3. Pallo voidaan kuvata lähellä pyramidia, jos pyramidin kanta on monikulmio, jonka ympärille voidaan kuvata ympyrä (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on niihin nähden kohtisuorassa olevien pyramidin reunojen keskipisteiden läpi kulkevien tasojen leikkauspiste. Tästä lauseesta päätämme, että pallo voidaan kuvata sekä minkä tahansa kolmion ympärillä että minkä tahansa säännöllisen pyramidin ympärillä.

4. Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat 1. pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tästä pisteestä tulee pallon keskipiste.

Yksinkertaisin pyramidi.

Pyramidin pohjan kulmien lukumäärän mukaan ne jaetaan kolmiomaisiin, nelikulmaisiin ja niin edelleen.

Pyramidi tulee kolmion muotoinen, nelikulmainen, ja niin edelleen, kun pyramidin kanta on kolmio, nelikulmio ja niin edelleen. Kolmion muotoinen pyramidi on tetraedri - tetraedri. Nelikulmainen - viisihedri ja niin edelleen.

Geometrisissa tehtävissä usein esiintyvä kolmiulotteinen hahmo on pyramidi. Kaikista tämän luokan hahmoista yksinkertaisin on kolmiomainen. Tässä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti oikean peruskaavoja ja ominaisuuksia

Kuvion geometriset esitykset

Ennen kuin jatkamme säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin ominaisuuksien tarkastelua, katsotaanpa tarkemmin, mistä kuviosta puhumme.

Oletetaan, että kolmiulotteisessa avaruudessa on mielivaltainen kolmio. Valitsemme tämän tilan minkä tahansa pisteen, joka ei ole kolmion tasossa, ja yhdistämme sen kolmion kolmeen kärkeen. Meillä on kolmion muotoinen pyramidi.

Se koostuu 4 sivusta, jotka kaikki ovat kolmioita. Pisteitä, joissa kolme kasvoa kohtaavat, kutsutaan pisteiksi. Figuurissa on niitä myös neljä. Kahden pinnan leikkausviivat ovat reunoja. Tarkasteltavana olevassa pyramidissa on 6 kylkiluuta. Alla olevassa kuvassa on esimerkki tästä kuviosta.

Koska kuvio muodostuu neljästä sivusta, sitä kutsutaan myös tetraedriksi.

Oikea pyramidi

Yllä tarkasteltiin mielivaltaista hahmoa, jolla on kolmion muotoinen pohja. Oletetaan nyt, että piirretään kohtisuora viiva pyramidin huipulta sen pohjaan. Tätä segmenttiä kutsutaan korkeudeksi. On selvää, että on mahdollista käyttää 4 eri korkeuksia figuuria varten. Jos korkeus leikkaa kolmion pohjan geometrisessa keskustassa, niin tällaista pyramidia kutsutaan suoraksi pyramidiksi.

Suoraa pyramidia, jonka kanta on tasasivuinen kolmio, kutsutaan säännölliseksi pyramidiksi. Hänelle kaikki kolme kolmiota, jotka muodostavat hahmon sivupinnan, ovat tasakylkisiä ja yhtä suuria keskenään. Säännöllisen pyramidin erikoistapaus on tilanne, jossa kaikki neljä sivua ovat tasasivuisia identtisiä kolmioita.

Harkitse säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin ominaisuuksia ja anna sopivat kaavat sen parametrien laskemiseen.

Pohjan puoli, korkeus, sivureuna ja apoteemi

Mitkä tahansa kaksi luetelluista parametreista määrittelevät yksiselitteisesti kaksi muuta ominaisuutta. Annamme kaavat, jotka yhdistävät nimetyt suureet.

Oletetaan, että säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjan sivu on a. Sen sivureunan pituus on yhtä suuri kuin b. Mikä on säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin ja sen apoteemin korkeus?

Korkeudelle h saadaan lauseke:

Tämä kaava seuraa Pythagoraan lausetta, jolle ovat sivureuna, korkeus ja 2/3 kannan korkeudesta.

Pyramidin apoteemi on minkä tahansa sivuttaiskolmion korkeus. Apoteeman a b pituus on:

a b \u003d √ (b 2 - a 2/4)

Näistä kaavoista voidaan nähdä, että mikä tahansa kolmion muotoisen säännöllisen pyramidin pohjan sivu ja sivureunan pituus tahansa, apoteema on aina lisää korkeutta pyramidit.

Esitetyt kaksi kaavaa sisältävät kaikki neljä lineaariset ominaisuudet kyseessä oleva hahmo. Siksi tunnetuista kahdesta niistä löydät loput ratkaisemalla järjestelmän kirjoitetuista yhtälöistä.

hahmon tilavuus

Täysin mille tahansa pyramidille (mukaan lukien kalteva) sen rajoittaman tilan tilavuuden arvo voidaan määrittää tuntemalla kuvan korkeus ja sen pohjan pinta-ala. Vastaava kaava näyttää tältä:

Kun tätä lauseketta sovelletaan kyseessä olevaan kuvaan, saadaan seuraava kaava:

Missä säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on h ja sen kantasivu on a.

Ei ole vaikeaa saada kaavaa tetraedrin tilavuudelle, jossa kaikki sivut ovat yhtä suuret ja edustavat tasasivuisia kolmioita. Tässä tapauksessa kuvan tilavuus määritetään kaavalla:

Toisin sanoen sen määrittää yksiselitteisesti sivun a pituus.

Pinta-ala

Jatkamme kolmion muotoisen säännöllisen pyramidin ominaisuuksien tarkastelua. kokonaisalue hahmon kaikista pinoista kutsutaan sen pinta-alaksi. Jälkimmäistä on kätevää tutkia vastaavaa kehitystä huomioiden. Alla oleva kuva näyttää, miltä tavallinen kolmiopyramidi näyttää.

Oletetaan, että tiedämme kuvion korkeuden h ja kannan a sivun. Sitten sen pohjan pinta-ala on yhtä suuri:

Jokainen opiskelija voi saada tämän lausekkeen, jos hän muistaa, kuinka löytää kolmion pinta-ala, ja ottaa myös huomioon, että tasasivuisen kolmion korkeus on myös puolittaja ja mediaani.

Kolmen identtisen tasakylkisen kolmion muodostaman sivupinnan pinta-ala on:

Sb = 3/2*√(a2/12+h2)*a

Tämä yhtäläisyys seuraa pyramidin apoteeman ilmaisusta pohjan korkeuden ja pituuden suhteen.

Kuvan kokonaispinta-ala on:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Huomaa, että tetraedrin, jonka kaikki neljä sivua ovat samoja tasasivuisia kolmioita, pinta-ala S on yhtä suuri:

Säännöllisen katkaistun kolmion muotoisen pyramidin ominaisuudet

Jos tarkastellun kolmion muotoisen pyramidin yläosa leikataan pois pohjan kanssa yhdensuuntaisella tasolla, niin loput Alaosa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi.

Kolmiopohjan tapauksessa saadaan kuvatun leikkausmenetelmän tuloksena uusi kolmio, joka on myös tasasivuinen, mutta jonka sivun pituus on pienempi kuin pohjasivu. Alla on esitetty katkaistu kolmiopyramidi.

Näemme, että tämä luku on jo rajoitettu kahteen kolmion muotoiset pohjat ja kolme tasakylkistä puolisuunnikasta.

Oletetaan, että tuloksena olevan kuvan korkeus on h, alemman ja ylemmän kannan sivujen pituudet ovat a 1 ja a 2, ja apoteemi (suunnikkaan korkeus) on yhtä suuri kuin a b. Sitten katkaistun pyramidin pinta-ala voidaan laskea kaavalla:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Tässä ensimmäinen termi on sivupinnan pinta-ala, toinen termi on kolmiopohjan pinta-ala.

Kuvion tilavuus lasketaan seuraavasti:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Katkaistun pyramidin ominaisuuksien yksiselitteiseksi määrittämiseksi on tarpeen tietää sen kolme parametria, mikä osoitetaan yllä olevilla kaavoilla.

Tässä on koottu perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa tenttiin valmistautuessa.

Harkitse tasoa, monikulmiota makaa siinä ja piste S, joka ei makaa siinä. Yhdistä S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S kutsutaan pyramidin huipuksi. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen otsikko kolmion muotoinen pyramidi - tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen huipusta perustasoon.

Pyramidia kutsutaan oikeaksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitettä oikea pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Säännöllisessä pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunojen reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P korkeuspohjalla, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiasta: työ pyramidien kanssa on 80-prosenttisesti rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Näiden kolmioiden viittausten yksinkertaistamiseksi matematiikan opettajan on helpompi nimetä niistä ensimmäinen apoteeminen, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuskaava:
1) , missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja pinta-ala koko pinta pyramidit.
3) , jossa MN on minkä tahansa kahden risteävän reunan etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuspohjan omaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu pyramidin pohjassa olevan ympyrän keskipisteen kanssa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kallistettuja pohjaa kohti
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan ohjaajan kommentti: Huomaa, että kaikki kohteet ovat yksi yhteistä omaisuutta: tavalla tai toisella sivupinnat osallistuvat kaikkialle (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta kätevämmän muotoilun muistamiseen: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää, kun osoitetaan, että kaikki apoteemiset kolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin rajatun ympyrän keskipiste lähellä pyramidin kantaa, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjassa
3) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kallistuneet korkeuteen

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka yksi pinta on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Sivujousi Pyramidiksi kutsutaan sivupinnan sitä puolta, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Huipusta vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteema . diagonaalinen leikkaus Pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivupinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaksi. Koko pinta-ala on kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summa.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat tasaisesti kaltevassa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskelle lähellä kantaa.

2. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskelle lähellä kantaa.

3. Jos pyramidissa kaikki pinnat ovat samalla tavalla kalteva pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi kaava on oikea:

missä V- tilavuus;

S pää- peruspinta-ala;

H on pyramidin korkeus.

Säännölliselle pyramidille seuraavat kaavat ovat tosia:

missä s- pohjan kehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pää- peruspinta-ala;

V on säännöllisen pyramidin tilavuus.

katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja leikkaustason väliin pyramidin pohjan suuntaisesti (kuva 17). Oikea katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Säätiöt katkaistu pyramidi - samanlaisia ​​polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoinen. Korkeus Katkaistua pyramidia kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen välillä. Diagonaalinen Katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. diagonaalinen leikkaus Katkaistun pyramidin osaa kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Katkaistun pyramidin kaavat ovat voimassa:

(4)

missä S 1 , S 2 - ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä on kokonaispinta-ala;

S puoli on sivuttainen pinta-ala;

H- korkeus;

V on katkaistun pyramidin tilavuus.

Tavalliselle katkaistulle pyramidille seuraava kaava on totta:

missä s 1 , s 2 - pohjakehät;

h a- säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1 Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että kanta on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: ts. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (rajoitetun ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivurivan kaltevuuskulma (esim SB) on kulma itse reunan ja sen perustason projektion välillä. Kylkiluun SB tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN ja OB. Olkoon segmentin pituus BD on 3 a. piste O Jana BD on jaettu osiin: ja mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2 Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat cm ja cm ja korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Kantojen pinta-alojen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa kantajen pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm3.

Esimerkki 3 Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka pohjasivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen. Puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseksi sinun on tiedettävä pohjat ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Etsi se mistä MUTTA 1 E kohtisuorassa pisteestä MUTTA 1 alemman alustan tasossa, A 1 D- kohtisuoraan MUTTA 1 päälle AC. MUTTA 1 E\u003d 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytämiseen DE teemme lisäpiirustuksen, jossa kuvaamme ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste O- ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK on piirretyn ympyrän säde ja OM on piirretyn ympyrän säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4 Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat a ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD on yhtä suuri kuin pinta-alojen ja puolisuunnikkaan pinta-alan summa ABCD.

Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuina kantan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste O- kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD perustasolle. Tasaisen hahmon ortogonaalisen projektion alaa koskevan lauseen mukaan saamme:

Samalla tavalla se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste O on puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin Pythagoraan lauseen mukaan meillä on

Johdanto

Kun aloimme tutkia stereometrisiä lukuja, kosketimme aihetta "Pyramid". Pidimme tästä teemasta, koska pyramidia käytetään hyvin usein arkkitehtuurissa. Ja meidän tuleva ammatti arkkitehti, tämän hahmon innoittamana, uskomme, että hän voi työntää meidät suuriin projekteihin.

Arkkitehtonisten rakenteiden vahvuus, niiden tärkein laatu. Vahvuuden yhdistäminen ensinnäkin materiaaleihin, joista ne on luotu, ja toiseksi ominaisuuksiin rakentavia ratkaisuja, käy ilmi, että rakenteen lujuus liittyy suoraan geometriseen muotoon, joka sille on perusmuoto.

Toisin sanoen, me puhumme siitä geometrisesta hahmosta, jota voidaan pitää vastaavan arkkitehtonisen muodon mallina. Osoittautuu, että geometrinen muoto määrää myös arkkitehtonisen rakenteen lujuuden.

Egyptiläisiä pyramideja on pitkään pidetty kestävimpänä arkkitehtonisena rakenteena. Kuten tiedät, ne ovat muodoltaan säännöllisiä nelikulmaisia ​​pyramideja.

Juuri tämä geometrinen muoto tarjoaa suurimman vakauden suuren pohjapinta-alan ansiosta. Toisaalta pyramidin muoto varmistaa, että massa pienenee korkeuden maanpinnan kasvaessa. Nämä kaksi ominaisuutta tekevät pyramidista vakaan ja siksi vahvan painovoiman olosuhteissa.

Hankkeen tavoite: oppia uutta pyramideista, syventää tietoa ja löytää käytännön sovelluksia.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi oli tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

Opi historiallista tietoa pyramidista

Tarkastellaan pyramidia geometrisena hahmona

Löydä sovellusta elämässä ja arkkitehtuurissa

Etsi yhtäläisyydet ja erot pyramidien välillä eri osat Sveta

Teoreettinen osa

Historiallista tietoa

Pyramidin geometrian alku laskettiin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, mutta sitä kehitettiin aktiivisesti vuonna Muinainen Kreikka. Ensimmäinen, joka selvitti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus Knidus todisti sen. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Alkujensa" XII osassa ja toi esiin myös pyramidin ensimmäisen määritelmän: kehon hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka yhtyvät yhdestä tasosta yhdessä pisteessä.

Egyptin faaraoiden haudat. Suurimpia niistä - Cheopsin, Khafren ja Mikerinin pyramideja El Gizassa muinaisina aikoina pidettiin yhtenä maailman seitsemästä ihmeestä. Pyramidin pystyttäminen, jossa kreikkalaiset ja roomalaiset näkivät jo muistomerkin kuninkaiden ennennäkemättömälle ylpeydelle ja julmuudelle, joka tuomittiin koko Egyptin kansan järjettömään rakentamiseen, oli tärkein kulttiteko ja sen piti ilmeisesti ilmaista maan ja sen hallitsijan mystinen identiteetti. Maan väestö työskenteli haudan rakentamisessa maataloustöistä vapaana osan vuodesta. Useat tekstit todistavat siitä huomiosta ja huolenpidosta, jota kuninkaat itse (tosin myöhempään aikaan) kiinnittivät haudansa rakentamiseen ja sen rakentajiin. Se tunnetaan myös erityisistä kulttipalkinnoista, jotka osoittautuivat itse pyramidiksi.

Peruskonseptit

Pyramidi Kutsutaan monitahoja, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki.

Apothem- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen yläosasta vedettynä;

Sivukasvot- yläreunassa lähentyvät kolmiot;

Sivukylkiluut- sivupintojen yhteiset puolet;

pyramidin huipulla- sivureunat yhdistävä piste, joka ei ole alustan tasossa;

Korkeus- kohtisuoran segmentti, joka on vedetty pyramidin huipulta sen pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin yläosa ja kohtisuoran kanta);

Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin leikkaus, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;

Pohja- monikulmio, joka ei kuulu pyramidin huipulle.

Oikean pyramidin pääominaisuudet

Sivureunat, sivupinnat ja apoteemit ovat vastaavasti samat.

Dihedraaliset kulmat pohjassa ovat yhtä suuret.

Dihedraaliset kulmat sivureunoilla ovat yhtä suuret.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista.

Pyramidin peruskaavat

Pyramidin sivuttaisen ja koko pinnan pinta-ala.

Pyramidin sivupinnan pinta-ala (täysi ja katkaistu) on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pintojen summa.

Lause: Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pyramidin kannan kehän ja apoteemin tulosta.

s- pohjan kehä;

h- apoteemi.

Katkaistun pyramidin sivu- ja täyspinnan pinta-ala.

p1, s 2 - pohjakehät;

h- apoteemi.

R- säännöllisen katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala;

S puoli- säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala;

S1 + S2- perusalue

Pyramidin tilavuus

Lomake Tilavuusasteikkoa käytetään kaikenlaisille pyramideille.

H on pyramidin korkeus.

Pyramidin kulmat

Pyramidin sivupinnan ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan dihedraalisiksi kulmiksi pyramidin pohjassa.

Dihedraalinen kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta.

Tämän kulman määrittämiseksi sinun on usein käytettävä kolmen kohtisuoran lausetta.

Kulmia, jotka muodostuvat sivureunasta ja sen projektiosta alustan tasoon kutsutaan kulmat sivureunan ja pohjan tason välillä.

Kahden sivupinnan muodostamaa kulmaa kutsutaan kaksitahoinen kulma pyramidin sivureunassa.

Kulmaa, joka muodostuu pyramidin yhden pinnan kahdesta sivureunasta, kutsutaan pyramidin yläkulmassa.

Pyramidin osat

Pyramidin pinta on monitahoisen pinta. Jokainen sen pinta on taso, joten sekanttitason antama pyramidin leikkaus on katkoviiva, joka koostuu erillisistä suorista viivoista.

Diagonaalinen leikkaus

Pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla, on ns. diagonaalinen leikkaus pyramidit.

Rinnakkaiset osat

Lause:

Jos pyramidin poikki kulkee pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, niin pyramidin sivureunat ja korkeudet jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

Tämän tason leikkaus on kantaa vastaava monikulmio;

Leikkauksen ja pohjan pinta-alat ovat suhteessa toisiinsa niiden etäisyyksien neliöinä ylhäältä.

Pyramidin tyypit

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu heijastuu pohjan keskelle.

Oikeassa pyramidissa:

1. sivurivat ovat yhtä suuret

2. sivupinnat ovat yhtä suuret

3. apoteemit ovat tasa-arvoisia

4. dihedral kulmat pohjassa ovat yhtä suuret

5. sivureunojen kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret

6. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä

7. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista

Katkaistu pyramidi- pyramidin osa, joka on suljettu sen pohjan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Katkaistun pyramidin kantaa ja sitä vastaavaa osaa kutsutaan katkaistun pyramidin pohjat.

Kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toisen kantaan katkaistun pyramidin korkeus.

Tehtävät

Nro 1. Oikealla nelikulmainen pyramidi piste O on kannan keskipiste, SO=8 cm, BD=30 cm. Etsi sivureuna SA.

Ongelmanratkaisu

Nro 1. Tavallisessa pyramidissa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan OSB:tä: OSB-suorakulmio, koska.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramidi arkkitehtuurissa

Pyramidi - monumentaalinen rakenne tavallisen säännöllisen geometrisen pyramidin muodossa, jossa sivut lähentyä yhdessä kohdassa. Toiminnallisen tarkoituksen mukaan pyramidit olivat muinaisina aikoina hautauspaikka tai kultin palvontapaikka. Pyramidin kanta voi olla kolmion muotoinen, nelikulmainen tai monikulmio, jossa on mielivaltainen määrä pisteitä, mutta yleisin versio on nelikulmainen kanta.

Huomattava määrä pyramideja tunnetaan, rakennetaan erilaiset kulttuurit muinainen maailma enimmäkseen temppeleinä tai monumentteina. Suurimmat pyramidit ovat Egyptin pyramidit.

Kaikkialla maapallolla voit nähdä arkkitehtonisia rakenteita pyramidien muodossa. Pyramidirakennukset muistuttavat muinaisia ​​aikoja ja näyttävät erittäin kauniilta.

Egyptin pyramidit suurin arkkitehtonisia monumentteja muinainen Egypti, joista yksi "maailman seitsemästä ihmeestä" on Cheopsin pyramidi. Jalusta huipulle se saavuttaa 137,3 metrin korkeuden, ja ennen huipun menettämistä sen korkeus oli 146,7 metriä.

Käänteistä pyramidia muistuttava radioaseman rakennus Slovakian pääkaupungissa on rakennettu vuonna 1983. Tilan sisällä on toimisto- ja palvelutilojen lisäksi melko tilava konserttisali, jossa on yksi Slovakian suurimmista urkuista. .

Louvre, joka "on hiljainen ja majesteettinen kuin pyramidi", on käynyt läpi monia muutoksia vuosisatojen aikana ennen kuin siitä on tullut maailman suurin museo. Se syntyi Philip Augustuksen vuonna 1190 rakentamana linnoituksena, josta tuli pian kuninkaallinen asuinpaikka. Vuonna 1793 palatsista tuli museo. Kokoelmia täydennetään testamenttien tai ostojen kautta.